平面向量的直角坐标运算

向量
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-3
OP
一一对应
P(x ,y) ( ) 10
小结:对向量坐标表示的理解: 小结:对向量坐标表示的理解: (1)任一平面向量都有唯一的坐标; (1)任一平面向量都有唯一的坐标; 任一平面向量都有唯一的坐标 (2)向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标; (2)向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标; 向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标 当向量的起点在原点时, 当向量的起点在原点时,向量终点的坐标即为 向量的坐标. 向量的坐标. (3)相等的向量有相等的坐标. (3)相等的向量有相等的坐标. 相等的向量有相等的坐标
结论1 一个向量的坐标 结论1:一个向量的坐标 等于表示此向量的有 向线段终点的坐标减 去始点的坐标. 去始点的坐标.
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a
b
x
A (x1,y1) A 1
j
i 1
9
向量的坐标与点的坐标关系
4 3
2
P(x,y)
yj
1
j
-2 2 4 6
O i
-1 -2
xi
OP = xi + y j = ( x, y )
共线的向量, 如果 e1 , e 2是同一平面内的两个不 共线的向量, 那么对于这一平面内任 意向量 a , 有且只有一 对实数 λ1 , λ 2使得 a = λ1 e1 + λ 2 e 2
其中e1 , e2叫做这一平面所有向量 的一组基底
λ1 e1
e1
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a
特别的 0 = λ1 e1 + λ 2 e2 λ1 = λ 2 = 0
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复习
2
引入: 引入 1.平面内建立了直角坐标系, 1.平面内建立了直角坐标系,点A可以用什么来 平面内建立了直角坐标系 表示? 表示? 2.平面向量是否也有类似的表示呢 平面向量是否也有类似的表示呢? 2.平面向量是否也有类似的表示呢?
y
b
a
A(a,b)
O
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a
x
3
平面向量基本定理
C D1
x
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课堂总结: 课堂总结:
1.向量的坐标的概念: 1.向量的坐标的概念: a = xi + y j = ( x, y ) 向量的坐标的概念 2.对向量坐标表示的理解 对向量坐标表示的理解: 2.对向量坐标表示的理解: (1)任一平面向量都有唯一的坐标; (1)任一平面向量都有唯一的坐标; 任一平面向量都有唯一的坐标 (2)向量的坐标与其起点 终点坐标的关系; 向量的坐标与其起点, (2)向量的坐标与其起点,终点坐标的关系;
a = (x,
y)叫做 y)叫做向量的坐标表示 叫做向量的坐标表示
以下三个特殊向量的坐标是: 以下三个特殊向量的坐标是:
= i= (1,0) j= (0,1) 0 (0,0)
两个向量相等的等价条件 是两个向量坐标相等
Y
a
如果a = ( x1 , y1 ), b = ( x2 , y2 ), 那么a = b x1 = x2 , 且y1 = y2
(1)a + b = x1 i + y1 j + x2 i + y2 j = ( x1 + x2 ) i + ( y1 + y2 ) j
= ( x1 + x2 , y1 + y2 )
(
) (
)
同理得 a b = ( x1 x2 , y1 y2 ) (2)λ a = λ xi + y j = λ xi + λ y j = (λ x, λ y )
若 a = b a = ( x1 , y1 ), b = ( x2 , y2 ), ,
则( x1 , y1 ) = ( x2 , y2 ), 即x1 = x2 , y1 = y2 .
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练习:在同一直角坐标系内画出下列向量. 练习:在同一直角坐标系内画出下列向量.
(1)a = (1, 2)
a b = ( x1 x2 , y1 y2 ), λ a = (λ x1 , λ y1 ) ( 若A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), AB = ( x2 x1 , y2 y1 ) 2) 4.能初步运用向量解决平面几何问题 向量"的思 能初步运用向量解决平面几何问题: 4.能初步运用向量解决平面几何问题:"向量"21
(
)
结论2 结论2:两个向量和与差的坐标分别等于这两个向 量相应坐标的和与差. 量相应坐标的和与差. 结论3 结论3:实数与向量数量积的坐标等于用这个实数 乘原来向量的相应坐标. 乘原来向量的相应坐标. 13
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的坐标. 已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),求 AB的坐标.
∵ AB = ( 1 ( 2),3 1) = (1,2)
DC = (3 x,4 y )
A O x
有 AB = DC得:( ,)(3-x, 4 y ) 12 =
B D
1 = 3 x x = 2 ∴ 2 = 4 y y = 2 顶点D的坐标是( , 22 )
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练习:世纪金榜第106页的变式训练
A(x1,y1)
y
B(x2,y2)
∵ AB = OB OA = ( x2, y2 ) ( x1 , y1 )
= ( x2 x1 , y2 y1 )
O
x
结论1 一个向量的坐标等于表示此向量的有向 结论 1:一个向量的坐标等于表示此向量的有向 线段终点的坐标减去始点的坐标. 线段终点的坐标减去始点的坐标.
3 + 2 + x = 0 即: 4 5 + y = 0
∴ F3 (5,1)
x = 5 ∴ y =1
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例4,1)已知A(2,3), B = (3,5), 求 BA的坐标. (
解: = BA
( 2,3) ( 3,5) = ( 5, 2 ) .
( 2)已知 AB = (1, 2), A(2,1), 求B的坐标.
⑴式叫做向量的坐标表示. 式叫做向量的坐标表示.
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a
x
其中x叫做 在 轴上的坐标, 叫做 轴上的坐标 叫做a在 轴上的坐标. 轴上的坐标 其中 叫做a在x轴上的坐标,y叫做 在y轴上的坐标 叫做 注:每个向量都有唯一的坐标. 每个向量都有唯一的坐标.
6
平面向量的坐标表示: 平面向量的坐标表示: 把
4
e2
λ2 e2
平面向量坐标的引入 不共线的向量 e ,e2 叫做这一平面内 1 所有向量的一组基底. 所有向量的一组基底
那么当| 那么当| e1|=| e2|=1且 e1与 e2垂直时,就可以 |=1且 垂直时, 建立直角坐标系… 建立直角坐标系…
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(一)平面向量坐标的概念 在直角坐标系内, 在直角坐标系内,我们分别 y (1)取基底 取基底: 轴方向,y ,y轴方向相 (1)取基底: 与x轴方向,y轴方向相 同的两个单位向量i 作为基底. 同的两个单位向量i,j作为基底. 得到实数对:任作一个向量a (2) 得到实数对:任作一个向量a, 由平面向量基本定理, 由平面向量基本定理,有且只 有一对实数x 使得a=xi+yj. 有一对实数x,y,使得a=xi+yj. j 我们把(x,y)叫做向量a的坐标, (x,y)叫做向量 我们把(x,y)叫做向量a的坐标, o i 记作 a = (x, y) ⑴
长方 是 ________ 形 .
方向相同, 长度是 (4)a = 3b , 则a与b的关系是 __________ __ 3倍 方向相反, 长度是 a = 2b , 则a与b的关系是 __________ ___ 2倍
( 5 )若 AB = λ AC , 则 A, B , C三点的位置关系 三点共线 是 _________ ( 6 )若OA = t OB + (1 t )OC , 则 A, B , C三 三点共线 点的位置关系是 _________
y B(-1,3))
4 3
C(3,4)
2
A(-2,1)
-6 -4 -2
D(x,y) x
1
O
-1 -2
2
4
6
-3
-4
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例5:已知平行四边形 :已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标 的三个顶点的坐标 分别是( , ),( , ),( ),(),(3, ), ),求 分别是(- 2,1),( 1,3),( ,4),求 y 顶点D的坐标 的坐标. 顶点 的坐标 解:设顶点D的坐标为(x, y ) C
-4 -3ຫໍສະໝຸດ -1 -2i12
3
4
x
c
d
d = 2i + ( 3) j = (2, 3)
的坐标有何关系? 问 1 :设 a = AB, a 的坐标与 A,B 的坐标有何关系 设
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a的坐标等于AB 的终边坐标减去起点坐标.
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的坐标有何关系? 问 1 :设 a = AB, a 的坐标与 A,B 的坐标有何关系 设 若 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则
解:
y
(2)b = (1, 2)
B(1, 2)
y
. A(1, 2)
a
x
.
o
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b
o
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x
(二)平面向量的坐标运算: 平面向量的坐标运算:
问题: (1)已知 a = ( x1 , y1 ), b = ( x2 , y2 ), 求 a + b, a b的坐标. (2)已知a = ( x, y )和实数λ , 求λ a 的坐标.