函数的零点的求法
函数的零点问题
函数的零点问题函数的零点问题是数学中的重要概念，也是不少学生学习数学时比较困难的部分。
本文将对函数的零点问题进行深入阐述，包括其定义、求解方法和实际意义等方面的内容，希望对读者加深对这一概念的理解。
一、定义在数学中，函数的零点指的是函数图像与x轴交点的横坐标。
也就是说，对于函数f(x)，它的零点是指f(x)=0的x值。
经常把求解函数零点问题转换为求解方程f(x)=0的根。
二、求解方法求解函数的零点，关键是求解方程f(x)=0的根。
对于一些形式简单的函数，可以通过手工计算求解；而对于形式复杂、无法手工求解的函数，可以借助计算机等工具进行数值求解。
1.手工计算法手工计算法求解函数零点问题，需要掌握函数的性质和一些基本的求解方法。
以下是几种常见的方法：（1）代数法对于一些形如ax+b=0的方程，可以通过一些基本的代数运算来求解。
比如：对于f(x)=2x-3，要求f(x)=0的解，就要解方程2x-3=0，得到x=3/2。
对于f(x)=x^2-4，要求f(x)=0的解，就要解方程x^2-4=0，得到x=±2。
对于f(x)=x^3+2x^2-x-2，设f(x)=(x-a)(x^2+bx+c)，化简得到a=-1，b=1，c=-2，然后再利用求根公式进行求解。
（2）图像法对于一些简单的函数，可以通过画出函数图像来求解零点。
具体方法是，在坐标系中画出函数f(x)的图像，根据图像与x轴的交点所在的位置和数量来求解零点。
例如：对于f(x)=x^2-1，画出函数图像后可以看出函数有两个零点，即x=1和x=-1。
对于f(x)=sinx，画出函数图像后可以看出函数有无数个零点，它们分别在x=nπ（其中n为整数）处。
（3）因式分解法对于一些可以因式分解的函数，可以通过将其因式分解后再求解。
例如：对于f(x)=x^2-4x+3，将其因式分解为(x-1)(x-3)，得到函数的两个零点分别为1和3。
对于f(x)=x^3-3x^2+2x，将其因式分解为x(x-1)(x-2)，得到函数的三个零点分别为0、1和2。
求函数零点问题的基本方法
[]2012.250【数理化研究】关注新课改使高中课程发生很大的变化，减少和增加了很多内容，其中增加了函数零点问题。
函数零点涉及到很多方法：如等价转化、函数方程、数形结合等思想方法，还有近似求函数零点方法———二分法这些成为求函数零点的基本策略。
一、求函数的零点例1求函数y=x 2-（x<0）2x-1（x 0）{的零点。
解：令x 2-1=0（x<0），解得x=1，2x-1=0（x≥0），解得x=12。
所以原函数的零点为和-1和12。
点评：求函数f （x ）的零点，转化为方程f （x ）=0，通过因式分解把方程转化为一（二）次方程求解。
二、判断函数零点个数例2求f （x ）=x-4x 的零点个数。
解：函数的定义域（-∞，0）∪（0，＋∞）。
令f （x ）=0即x-4x =0，解得：x=2或x=-2。
所以原函数有2个零点。
点评：转化为方程直接求出函数零点，注意函数的定义域。
三、根据函数零点反求参数例3若方程a x -x-a=0有两个解,求a 的取值范围。
析：方程a x -x-a=0转化为a x =x+a。
由题知，方程a x -x-a=0有两个不同的实数解，即函数y=a x 与y=a+x 有两个不同的交点，如图所示。
（1）0<a<1。
此种情况不符合题意。
（2）a>1。
直线y=x+a 在y 轴上的截距大于1时，函数y=a x 与函数y=a+x 有两个不同的交点。
所以a<0与0<a<1均不符合题意，故答案为（1，+∞）。
点评：采用分类讨论与用数形结合的思想。
四、用二分法近似求解零点例4求函数f （x ）=x 3+x 2-2x-2的一个正数零点（精确到0.1）。
解：（1）第一步确定零点所在的大致区间（a，b ），可利用函数性质，也可借助计算机，但尽量取端点为整数的区间，并尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间。
（2）列表如下：零点所在区间中点函数值区间长度（1，2）f （1.5）>01（1，1.5）f （1.25）<00.5（1.25,1.5）f （1.375）<00.25（1.375,1.5）f （1.438）>00.125（1.375,1.438）f （1.4065）>00.0625可知区间（1.375，1.438）长度小于0.1，故可在（1.375，1.438）内取1.4065作为函数f （x ）正数的零点的近似值。
二次函数的最值与零点求解方法
二次函数的最值与零点求解方法二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学建模、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的最值和零点求解方法，帮助读者更好地理解和应用二次函数。
1. 找出二次函数的顶点二次函数的顶点对应着函数的最值，可以通过求解顶点的方法来确定二次函数的最大值或最小值。
对于一般形式的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其顶点的横坐标可以通过公式 x = -b / 2a 求得。
将此横坐标代入二次函数，即可得到对应的纵坐标，从而确定顶点的坐标。
2. 求解二次函数的最值在确定了二次函数的顶点后，即可求得函数的最值。
当二次函数的系数 a 大于 0 时，顶点对应的纵坐标即为函数的最小值；当 a 小于 0 时，顶点对应的纵坐标即为函数的最大值。
3. 求解二次函数的零点二次函数的零点对应着函数与 x 轴的交点，可以通过求解零点来确定函数在横坐标上的位置。
求解二次函数的零点有两种方法：配方法和公式法。
3.1 配方法配方法是一种常用的二次函数零点求解方法。
当二次函数的系数 a不等于0 时，我们可以利用配方法将二次函数化简为因式相乘的形式，从而求解其零点。
具体步骤如下：步骤一：将二次函数表示为完全平方的形式。
例如，f(x) = ax^2 +bx + c，可以通过常数项 c 来确定一个完全平方项。
步骤二：应用配方法，将二次函数表示为因式相乘的形式。
步骤三：令因式相乘得到的结果等于零，求解方程，即可得到二次函数的零点。
3.2 公式法当配方法不适用或不便使用时，可以通过公式法求解二次函数的零点。
对于一般形式的二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，可以利用求根公式得到其零点。
求根公式如下：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示正负两个解。
需要注意的是，使用公式法求解二次函数的零点时，应判断判别式b^2 - 4ac 的值。
零点极点的计算公式
零点极点的计算公式
计算零点和极点是在控制系统和信号处理中非常重要的任务。
零点和极点是系统的特征，它们对系统的稳定性和动态响应有着重
要的影响。
在控制系统理论中，可以使用传递函数来表示系统的动
态特性。
传递函数通常表示为H(s)，其中s是复变量。
零点和极点
可以从传递函数中直接确定。
对于一个一般的传递函数H(s)，可以表示为H(s) = N(s)/D(s)，其中N(s)和D(s)分别是分子和分母多项式。
零点是使得传递函数为
零的s值，即N(s)=0的解。
极点是使得传递函数的分母为零的s值，即D(s)=0的解。
计算零点和极点的具体公式取决于传递函数的形式。
对于一阶
系统和二阶系统，可以直接从传递函数的表达式中找到零点和极点。
对于高阶系统，通常需要使用数值方法或者计算工具来找到零点和
极点。
总的来说，计算零点和极点的公式可以通过传递函数的分子和
分母多项式来确定，具体的计算方法取决于系统的阶数和形式。
在
实际工程中，通常会使用计算工具来进行零点和极点的计算，以便更准确地分析系统的特性和性能。
函数零点区间的求法
函数零点区间的求法
函数零点求法是一种数学技术，其主要作用是通过分析函数的行为来确定它在特定区间内的零点（即根）。
由于函数零点可以揭示函数的性质，它一直是最基本的求解解析函数的方式之一。
如果一个函数在某个区间内只有一个零点，那么可以根据函数表达式的性质使用某种方法找出这个点。
有三种基本方式可以用来求取函数零点：分段函数、图形法以及特征分析法。
首先，最简单的是分段函数，它可以通过迭代一个函数的一个极限，找出一段区间内可能存在零点的函数临界值来确定其零点。
其次，采用图形法时，可以画出函数的曲线图，通过观察其曲线的性质来确定
它的零点。
最后，特征分析法的基本思想是用求导法对函数求导，因此可以由零点的性质确定函数的零点。
此外，当求解函数零点区间时，可以采取多种不同的策略，比如使用函数迭代、采用仿射变换等方法。
这些方法可以精确地求出函数零点区间，并预测函数的行为。
总之，函数零点求法是一种探索函数的特性的重要方法，它可以用来准确地
确定函数在特定区间内的零点，从而更好地分析函数的行为。
所以，这种算法广泛应用于数学、物理和工程等领域，它的重要性和威力不容小觑。
函数的零点
新概念：
一般地，如果函数y=f(x)在实数a处的值等于零，即 f(a)=0,则a叫做这个函数的零点. 注：1.零点是图像与x轴交点的横坐标a，不是号零点两种.
3.如果函数y=f(x)在一个区间[a,b]上的图像不间
断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即
C.有且只有一个
D.可能有无数个
3.已知函数f(x)满足f(2+x)=f(2-x)(x∈R),且函数f(x)有 四个不同零点x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4= 8 ;若 有5个不同零点x1,x2,x3,x4,x5,则x1+x2+x3+x4+x5= 10 .
小贴士：研究函数零点的一个重要方法是数形结合！
4.关于x的一元二次方程x2+(a2-1)x+a-2=0一根大于1， 另一根小于1，求实数a的取值范围。 (-2<a<1) 5.若关于x的方程kx2-(2k+1)x-3=0在(-1,1)和(1,3)内 各有一个实根，求实数k的取值范围 （K<-4,或k>2） 小贴士：1.一元二次方程实根分布问题； 2.函数、方程、不等式是紧密联系在一起的；
f(a)f(b)<0,则这个函数在这个区间上至少有一 个零点，即至少存在一点x0∈(a,b),使f(x0)=0.
做一做： 1.若函数f(x)=3ax-2a+1在[-1,1]上存在零点，则实数a 的取值范围为 a≤-1,或a≥1/5 。 2.若函数f(x)在R上递增，则y=f(x)的零点（B ） A.至少有一个 B.至多有一个
3.转换过程要注意同解性。
6.若函数f(x)=x2+2x-a在区间[-3,3]上有两相异零点， 则实数a的取值范围为 -1<a≤3 。 思考：除了刚才实根分布方法，还可以怎么解？
求函数零点的方法二分法
,
b0]
的中点，那么此中点对应的横坐标为
x0=(1+2)/2=1.
1 1 (3)如果f(a1)f(x1) >0 ，那么零点位于区间[x1 , b1]中，令a2=x1,b2=b1.
xa 点时不变号，这样的零点叫做不变号零点 (ba) (ab).
2 2 变号零点：x1 , x2
0
0
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3)如果f(a1)f(x1) >0 ，那么零点位于区间[x1 , b1]中，令 a2=x1,b2=b1.
……
继续实施上述步骤，直到区间[an,bn] ，函数的零点总位 于区间[an,bn] 上，当an 和 bn 按照给定的精确度所取的近 似值相同时，这个相同的近似值就是函数 y=f(x)的近似零点， 计算中止.这时函数y=f(x) 的近似零点满足给定的精确度.
例题分析
求函数f (x) = x3+x2-2x-2 的一个正实数零点〔精确到0.1〕
解： 由于f (1)=-2<0,f (2)=6>0可以确定区间[1,2]作为 计算的初始区间. 用二分法逐步计算，列表如下：
端点或中点横坐标 计算端点或中点的函数值
定区间
a0=1, b0=2
f (1)=-2， f (2)=6
0
0
0
f (x2)=-0. 计 算 f(x)与 f(a)， 并 判 断 ：
f (1)=-2， f (2)=6
0
0
(1)如果 f (x0)=0 用二分法逐步计算，列表如下：
4375] 的左右端点保
，那么
x0就是f (x)
的零点，计算中止
留两位有效数字所取的近似值都是1.
二分法求函数零点
二分法求函数零点
二分法求函数零点是一种数值解法，它利用二分搜索的思想，通过不断地将函数的定义域划分为较小的子域，来求函数的零点。
假设函数f(x)在区间[a,b]上单调，且f(a)f(b)<0，即函数在区间[a,b]上必定有一个零点。
1. 首先确定区间[a,b]，计算出中点c，即c=(a+b)/2；
2. 计算f(c)，若f(c)=0，则c即为所求零点；若f(c)不等于0，
则根据f(c)与f(a)的符号关系，确定下一个搜索区间；
3. 若f(c)与f(a)异号，则零点位于区间[c,b]，此时a=c，继续重复步骤1；若f(c)与f(a)同号，则零点位于区间[a,c]，此时b=c，继续重复步骤1；
4. 重复步骤1-3，直到搜索区间的宽度小于某一预先设定的精
度值，此时得到的零点即为所求零点。
二次函数零点位置的确定方法
二次函数零点位置的确定方法要确定一个二次函数的零点位置，需要通过以下几个步骤进行推导和计算。
首先，我们来回顾一下什么是二次函数。
二次函数是一个形如f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中a、b、c是实数常数，且a不等于0。
二次函数的图像为一条抛物线，它的形状由参数a的正负和大小决定。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c来说，零点是函数图像与x轴相交的点，也就是函数f(x)等于0的点。
为了确定二次函数的零点位置，我们可以采用以下三种方法。
方法一：二次函数的求解公式对于任意一个二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以利用求根公式来确定其零点位置。
求根公式就是人们所熟悉的“一元二次方程的解法”。
根据一元二次方程的解法，我们可以得到二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的零点位置公式为：x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)其中，±表示两个解，根据b^2-4ac的符号来决定解的类型。
如果b^2-4ac大于0，则有两个不相等的实数解；如果b^2-4ac等于0，则有两个相等的实数解；如果b^2-4ac小于0，则无实数解，也就是二次函数在实数域中没有零点。
因此，我们可以通过带入a、b、c的值计算上述公式，来得到二次函数的零点位置。
方法二：特殊二次函数的零点位置对于特殊的二次函数，我们可以直接通过观察其形式或者性质，确定其零点位置。
1. 当二次函数为f(x) = a(x-h)^2 + k形式时，其中h和k为常数。
这种形式的二次函数称为顶点形式。
它的图像是一个抛物线，并且顶点坐标为(h, k)。
由于抛物线在顶点处与x轴相切，所以顶点即为零点。
因此，这种形式的二次函数的零点位置为x=h。
2. 当二次函数为f(x) = a(x-p)(x-q)形式时，其中p和q为常数。
这种形式的二次函数称为因式分解形式。
它的图像是一个抛物线，相对于原点对称，并且与x 轴交于点(p,0)和(q,0)。
计算二次函数的零点
计算二次函数的零点二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。
在数学中，零点也称为函数的根或者方程的解，即函数取值为0的输入值。
要计算二次函数的零点，有两种常用的方法：配方法和求根公式法。
下面将分别介绍这两种方法。
一、配方法：对于一般形式的二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们可以通过配方法将其转化为平方的形式来求解零点。
1. 首先，将函数f(x)写成完全平方的形式：f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c= a(x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 - (\frac{b}{2a})^2) + c = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c2. 然后，将该函数转化为零点的形式：f(x) = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a}3. 令f(x) = 0，我们可以得到方程：a(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a}4. 再进行变形，得到：(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}5. 最后，对方程两边开平方，可得：x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}x = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}通过配方法，我们可以得到二次函数的零点公式。
二、求根公式法：二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的零点也可以通过求根公式来计算。
求根公式给出了一般二次方程ax^2 + bx + c = 0的解。
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函数的零点的求法
复习内容：1.知识点（1）函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=
，
把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点．（2）函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．即：方程0)(=x f 有实数根⇔函数)(x f y =的图象与x 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点．
2.方法（1）代数法求函数零点：直接求方程0)(=x f 的实数根；（2）几何法求函
数零点：对于不能直接求解的超越方程，可以将)()(0)(x h x g x f =⇔=再分别设
)(x g y =，)(x h y =转化为它们的图象交点问题，即：函数)(x g y =与)(x h y =的图象
有几个交点，那么方程0)(=x f 就有几个实根，函数)(x f y =就有几个有零点。
1.函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为
（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
2．函数1
2
1()()2
x
f x x =-的零点个数为
（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3 ．函数3
()=2+2x
f x x -在区间(0,1)内的零点个数是
（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4.若0x 是方程式 lg 2x x +=的解，则0x 属于区间 [答]（ ） （A ）（0，1）. （B ）（1，1.25）. （C ）（1.25，1.75） （D ）（1.75，2） 解析：04
147lg )47
()75.1(,2lg )(<-==-+=f f x x x f 由构造函数 02lg )2(>=f 知0x 属于区间（1.75，2） 5.0x 是函数f(x)=2x +
1
1x
-的一个零点.若1x ∈（1，0x ）， 2x ∈（0x ，+∞），则
（A ）f(1x )＜0，f(2x )＜0 （B ）f(1x )＜0，f(2x )＞0 （C ）f(1x )＞0，f(2x )＜0 （D ）f(1x )＞0，f(2x )＞0
6. f （x ）=2x
e x +-的零点所在的一个区间是
(A)（-2,-1） (B) （-1,0） (C) （0,1） (D) （1,2） 7.函数()
f x 的零点与
()422
x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则
()
f x 可以
是
A. ()41f x x =-
B. ()2(1)f x x =-
C. ()1x f x e =-
D.
()12f x In x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭ 8.设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数,()f x '是()f x 的导函数,当
[]0,x π∈时,0()1f x <<;当(0,)x π∈且2
x π
≠
时 ,()()02
x f x π
'-
>,则函数
()sin y f x x =-在[2,2]ππ-上的零点个数为
（ ）
A ．2
B ．4
C ．5
D ．8
9.函数22)(x x f x -=的零点个数为 （ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
答案:1.C .2,B.3,B.4,D.5,B.6,C.7,A.8,B 9.D。