圆锥曲线的点差法应用(人教A版)(含答案)
圆锥曲线之点差法-讲义(教师版)
圆锥曲线之点差法一、课堂目标1、熟练掌握点差法的应用步骤；2、理解点差法相对于联立法有哪些优势。
【备注】在联立法的基础上再学习点差法，是为了让学生在面对一些特殊题型时，能简化步骤和运算量，同时训练学生一题多解的能力。
二、方法说明联立法作为圆锥曲线题型的通法，方法固定，思路简单是它最大的优点，但同时，运算量偏大也是联立法自始至终存在的问题，在应对跟弦的斜率和中点有关的题型时，我们找到了一种比联立法更为优化的特殊武器，尤其是减少了运算量，可以帮我们在考试中节省更多时间，这种方法就是点差法。
【备注】1、在方法类讲义用，用方法说明替代了高考链接，因为对于一个方法的使用是灵活的，方法类的讲义在各版本试卷中是通用的，指向某套考卷意义不大，在这里重点为学生讲解这种方法用在什么类型题中，在后续的类型题讲义中，我们会重点解释该类型题的高考链接。
2、点差法主要应用于中点弦问题。
三、知识讲解1. 知识回顾【备注】提问环节，对圆锥曲线基础知识点选择性提问，如果学生对于这部分基础掌握有问题，老师自行带学生回顾，本讲义难度有所提升，只做方法应用讲解，不单独做基础梳理。
2. 方法提升方法引入1.已知椭圆，过点作直线，设与椭圆交于、两点，若为线段的中点，求直线的方程．【答案】．【解析】方法一：方法二：易知点在椭圆内，不妨设，，设直线的斜率为，由，作差得，又∵，即，，∴的斜率，的方程为，即．不妨设，，易知直线的斜率存在，设直线的方程为，代入中，得，【备注】以基础类型题引入方法，这是一个常规的中点弦问题，解析中分别给出了联立法和点差法两种方法，要结合对比着讲给学生听，重点让学生理解点差法在中点弦问题中的优势是简化运算。
∴，判别式，则，∵的中点为，∴，则，∴直线的方程为，即．【标注】【知识点】直线和椭圆的位置关系；中点弦问题步骤归纳点差法常规步骤（以椭圆为例，双曲线和抛物线同理）：1、设直线与圆锥曲线交点，,，A和B的中点坐标为.2、将交点坐标带入椭圆方程3、两式做差得(显然前提是,)4、灵活运用等式注意：根据步骤三可知，使用点差法的前提是直线斜率存在，且斜率不为零，对于斜率不存在或者为零的情况，我们需要分类讨论。
中点弦问题点差法
圆锥曲线常规题型方法归纳与总结①中点弦问题；②焦点三角形；③直线与圆锥位置关系问题：④圆锥曲线的相关最值(范围)问 题;⑤求曲线的方程问题：⑥存在两点关于直线对称问题；⑦两线段垂直问题圆锥曲线的中点弦问题 ——点差法与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
解题策具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为 A(x i ，yj 、B(X 2,y 2)，将这两点代入圆锥曲线的方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论) 个参数。
(3)y 2=2px( p>0)与直线 I 相交于 A 、B 设弦 AB 中点为 M(x o ,y o ),则有 2y o k=2p,即 y o k=p.经典例题讲解一、求以定点为中点的弦所在直线的方程2 2例1、过椭圆x 匚 1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被 M 点平分，求这条弦所在直线164的方程。
解：设直线与椭圆的交点为 A(x 1, y 1)、B(x 2,y 2)M (2,1)为 AB 的中点x 1 x 2 4 y 1 y 2 22 2 2 2又A 、B 两点在椭圆上，则 x 14y 1 16， x 2 4y 2 16，消去四如: 2(1)笃a2y b 2 1(ax o2阶 o 。
ab22(2)笃y2 1(aa bX oyo, o2ab 2kb 0)与直线相交于 A 、B ，设弦AB 中点为M(x o ,y o ),则有0,b 0)与直线I 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x o ,y o )则有两式相减得 2 2 2(人 X 2 ) 4(% y 22) 0于是(X 1X 2)(X 1 X 2) 4( y 1 y 2)(y 1 y 2)0y 1 y 2 X 1 X 2 4 1 X-I x 24( y 1 y 2)4 221 1即k AB㊁，故所求直线的方程为y 1 -(x 2)，即x 2y 4 0。
2020版《微点教程》高考人教A版理科数学一轮复习文档：第八章 第九节 圆锥曲线的综合问题 Word版含答案
第九节 圆锥曲线的综合问题2019考纲考题考情1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点。
(2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得方程解的情况来判断。
设直线l的方程为Ax＋By ＋C＝0，圆锥曲线方程为f(x，y)＝0。
由Error!消元，(如消去y)得ax2＋bx＋c＝0。
①若a＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行(或重合)。
②若a≠0，设Δ＝b2－4ac。
a．当Δ＞0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点；b．当Δ＝0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c．当Δ＜0时，直线和圆锥曲线没有公共点。
2．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长：|P1P2|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝·|x 1－x 2|1＋k 2＝(1＋1k 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝|y 1－y 2|。
1＋1k 2(2)斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)。
3．圆锥曲线的中点弦问题遇到弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解。
在椭圆＋＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜x 2a 2y 2b 2率k ＝－；在双曲线－＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所b 2x 0a 2y 0x 2a 2y 2b 2在直线的斜率k ＝；在抛物线y 2＝2px (p ＞0)中，以P (x 0，y 0)b 2x 0a2y 0为中点的弦所在直线的斜率k ＝。
在使用根与系数关系时，要py 0注意前提条件是Δ≥0。
点差法的常见结论(设AB 为圆锥曲线的弦，点M 为弦AB 的中点)：标准方程点差法结论＋＝1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2k AB ·k OM ＝－b 2a 2＋＝1(a >b >0)y 2a 2x 2b 2k AB ·k OM ＝－a 2b 2－＝1(a >0，b >0)x 2a 2y 2b 2k AB ·k OM ＝b 2a 2－＝1(a >0，b >0)y 2a 2x 2b 2k AB ·k OM ＝a 2b 2y 2＝2px (p ≠0)k AB ＝(y 0为中点M 的纵坐标)py 0x 2＝2py (p ≠0)k AB ＝(x 0为中点M 的横坐标)x 0p一、走进教材1．(选修2－1P 71例6改编)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)。
“点差法”在圆锥曲线中的应用与推广
a2 b2
.接下来
我们看看高考真题中的“点差法”及其应用. 例 1 ． （ 2015 全 国 卷 II ， 理 科 20 ） 已 知 椭 圆
C : 9x2 y2 m2 (m 0) ,直线 l 不过原点 O 且不平行于坐 标轴， l 与 C 有两个交点 A ， B ，线段 AB 的中点为 M ．
证明：根据椭圆的对称性可知A、B关于原点对称，设
A(x1, y1), B(x2 , y2 ), P(x, y)
x12 a2
y12 b2
x2 1① a2
y2 b2
1②，
①-②可得如下表达式
( x1
x)( x1 a2
x)
( y1
y)( y1 b2
y)
0
，
两
边
同
除
(x1 x)(x1 x)
,
则
k
y2 x2
y1 x1
,
x2
x1
2x0
,
y2
y1
2 y0 .
将点A、B的坐标带入椭圆方程可得,
x12 a2
y12 b2
1
①,
x22 a2
y22 b2
1②
将
②
-
①
可
得: (x2 x1)(x2 x1) ( y2 y1)( y2 y1) 0
a2
b2
2x0 (x2 a2
1 k( )
1
b2
a2
，由点F及A、B中点可求出 k
1 2
高中数学1.3.45圆锥曲线 点差法
1.3.45圆锥曲线点差法学校:________班级:________姓名:________学号:________一、单选题（共4小题）1.直线y=x+1与椭圆x2+2y2=2交于A、B两点，F2是椭圆的右焦点，则△ABF2的面积为（）A．2B．C．D．2.直线y＝4x+m（m∈R）与椭圆相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，则动点M的轨迹方程为（）A．B．C．D．3.已知F为椭圆的右焦点，过点F的直线l与椭圆交于A，B两点，P为AB的中点，O为原点．若△OPF是以OF为底边的等腰三角形，则l的斜率为（）A．B．C．±2D．4.已知焦点在x轴上的椭圆C：的内接平行四边形的一组对边分别经过其两个焦点（如图），当这个平行四边形为矩形时，其面积最大，则b的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（共5小题）5.斜率为的直线l被椭圆截得的弦恰被点M（1，1）平分，则＝．6.斜率为的直线与椭圆+＝1相交于A，B两点，AB的中点M（m，），则m＝．7.已知椭圆C：，过点P（0，6）的直线l与椭圆C交于A，B两点，若A是线段PB的中点，则点A的坐标为﹣．8.斜率为直线l经过椭圆的左顶点A，且与椭圆交于另一个点B，若在y轴上存在点C使得△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为．9.在平面直角坐标系xOy中，动点P在椭圆上，点M是OP的中点，过点M作直线l（和直线OP不重合）与椭圆相交于Q，R两点，若直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，且，则k1k2的值是﹣．三、解答题（共1小题）10.已知椭圆C的两个焦点分别是（0，2），（0，﹣2），并且经过．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求与椭圆C相切且斜率为l的直线方程．1.3.45圆锥曲线点差法参考答案一、单选题（共4小题）1.【答案】D【分析】直线AB的方程，代入椭圆方程，求出A，B的坐标，求出直线与x轴的交点，即可求得△ABF2的面积．【解答】解：椭圆x2+2y2=2的右焦点F2（1，0），直线AB的方程为y=x+1，代入椭圆x2+2y2=2化简可得3x2+4x=0，∴x1=0，x2=，y1=1，y2=，直线y=x+1与x轴的交点为：（﹣1，0），故△ABF2的面积为：（1+1）|y1﹣y2|=1+=．故选：D．2.【答案】D【分析】直线与椭圆联立方程组，通过判别式大于0，求解m的范围；设出AB坐标，利用韦达定理，转化求解M的轨迹方程即可．【解答】解：由，得：50x2+24mx+3m2﹣6＝0；设A（x1，y1），B（x2，y2），可得：△＝242m2﹣4×50×（3m2﹣6）＞0，可得：﹣5＜m＜5．设弦AB的中点为M（x，y），可得：，可得：y＝﹣x．x∈故选：D．3.【答案】A【分析】利用点差法及k OP＝﹣k AB．求解．．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），有，则（x1﹣x2）（x1+x2）（x1+x2）+4（y1﹣y2）（y1+y2）＝0∴∵△FPO是以OF为底边的等腰三角形，∴k OP＝﹣k AB．∴．4.【答案】A【分析】求出AB⊥x轴时矩形的面积为，当AB所在的直线斜率存在时，设直线方程为y＝k （x+1），与椭圆方程联立，再求出平行四边形的面积小于，可知对任意焦点在x轴上的椭圆，平行四边形为矩形时，其面积最大，由此可得b的范围．【解答】解：当直线AB与x轴垂直时，直线AB所在直线方程为x＝﹣1，代入，解得y＝±，此时矩形ABCD的面积S＝2；当AB所在的直线斜率存在时，设直线方程为y＝k（x+1），联立，消去y整理，得（b2+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2b2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝，|AB|＝＝＝．∵AB：kx﹣y+k＝0，AC：kx﹣y﹣k＝0，∴AB与CD间的距离d＝．＝|AB|•d＝＝∴S四边形ABCD＝＝．∴对任意焦点在x轴上的椭圆，平行四边形为矩形时，其面积最大，则0＜b＜．∴b的取值范围是．二、填空题（共5小题）5.【答案】5【分析】设弦的两个端点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），代入椭圆的方程，作差变形，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，以及双曲线的离心率公式，即可得到所求值．【解答】解：解：设弦的两个端点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），可得，，相减可得，，，∵弦恰被点M（1，1）平分，∴，∴，∵直线l斜率为，∴，∴a2＝3b2，又∵a2＝b2+c2，∴c2＝2b2∴故答案为：5．6.【答案】-13【分析】先设直线AB为：y＝x+b然后代入到椭圆方程中消去y得到关于x的一元二次方程，进而可表示出A、B两点的横坐标的和，进而可表示出M的坐标，然后结合AB的中点M（m，），可确定答案．【解答】解：设直线AB为：y＝x+b，代入椭圆方程+＝1得到：4y2﹣6by+3b2﹣3＝0，y A+y B＝b，y M＝（y A+y B）＝＝，所以b＝，直线AB为：y＝x+，AB的中点M（m，），可得＝+，∴m＝﹣，故答案为：﹣．7.【答案】（2，3）或（-2，3）【分析】设直线AB的方程y＝kx+6，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据中点坐标公式可得2x1＝x2，①，再由，消y整理可得（3+4k2）x2+48kx+96＝0，利用韦达定理即可求【解答】解：易知直线的斜率存在，设直线AB的方程y＝kx+6，设A（x1，y1），B（x2，y2），∵A是线段PB的中点，∴2x1＝x2，①由，消y整理可得（3+4k2）x2+48kx+96＝0，∴x1+x2＝﹣，②，x1x2＝，③，由①②③可得＝，整理解得4k2＝9，∴x12＝＝4，∴x1＝±2，∴y1＝±3，∴A（2，3）或（﹣2，3）故答案为：（2，3）或（﹣2，3）63【分析】由题意可得A（﹣a，0），设直线AB的方程为y＝（x+a），联立椭圆方程求得B的坐标，设出C（0，t），由题意可得k AC k BC＝﹣1，且|AC|＝|BC|，运用直线的斜率公式和两点的距离公式，化简整理，结合离心率公式，可得所求值．【解答】解：由题意可得A（﹣a，0），设直线AB的方程为y＝（x+a），代入椭圆方程可得（9b2+a2）x2+2a3x+a4﹣9a2b2＝0，设B（x1，y1），C（0，t），即有﹣a+x1＝﹣，可得x1＝，y1＝（x1+a）＝，即B（，），由题意可得k AC k BC＝﹣1，且|AC|＝|BC|，可得•＝﹣1，即﹣a（9ab2﹣a3）＝t（6ab2﹣ta2﹣9b2t），①又a2+t2＝（）2+（﹣t）2，②将②化简可得t＝，代入①化简可得a2＝3b2，则椭圆的离心率为e＝＝＝＝．故答案为：．9.【答案】-34【分析】设点Q（x1，y1），R（x2，y2），M的坐标为（x0，y0），点P（2x0，2y0），可得＝k2，＝k1，+＝1，化为：3+4＝3.3+4＝12．由，可得x2﹣x0＝（x0﹣x1），y2﹣y0＝（y0﹣y1），代入3+4＝12，展开化简整理即可得出．【解答】解：设点Q（x1，y1），R（x2，y2），M的坐标为（x0，y0），则点P（2x0，2y0），则＝k2，＝k1，+＝1，化为：3+4＝3．∵，∴（x2﹣x0，y2﹣y0）＝（x0﹣x1，y0﹣y1），∴x2﹣x0＝（x0﹣x1），y2﹣y0＝（y0﹣y1），∴x2＝x0﹣x1，y2＝y0﹣y1，∴3+4＝12．3+4＝12，展开化为：64（3+4）+9（3+4）﹣48（3x0x1+4y0y1）＝300．∴64×3+9×12﹣48（3x0x1+4y0y1）＝300．∴3x0x1+4y0y1＝0，∴k1k2＝﹣．故答案为：﹣．三、解答题（共1小题）10.【分析】（Ⅰ）根据题意2a＝＝2，c＝2，所以b2＝a2﹣c2＝10﹣4＝6，进而得出椭圆的方程．（Ⅱ）根据题意设斜率为1的直线y＝x+b，联立得8x2+6bx+3b2﹣30＝0，△＝0⇒b＝±4，进而写出直线方程．【解答】解：（I）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），由椭圆的定义，2a＝＝2，∴a＝，c＝2，∴b2＝a2﹣c2＝10﹣4＝6，椭圆C的方程为；（II）设斜率为1的直线y＝x+b，由得：8x2+6bx+3b2﹣30＝0，△＝0⇒b＝±4，与椭圆C相切且斜率为1的直线方程：x﹣y±4＝0．。
1_2_圆锥曲线定点定值问题之定比点差法
1_2_圆锥曲线定点定值问题之定比点差法一、圆锥曲线定点定值问题圆锥曲线定点定值问题是数学中的一个重要分支，它是求解由圆锥曲线上的点来确定曲线的定值问题。
这类问题常用于统计图形、机械工程、测绘学、几何拓扑等领域的应用。
圆锥曲线定点定值问题一般包括以下四个方面：1. 求取圆锥曲线的函数形式：即给定圆锥曲线的一些特征点（如圆心、焦点或直线），求出该曲线的函数表达式；2. 求取满足定点定值条件的曲线：即给定一组点，求出在这组点上取得指定值的曲线；3. 求取满足定值定点条件的曲线：即给定一组值，求出能使这组值在指定点上取得的曲线；4. 求取满足定点定值定切线条件的曲线：即给定曲线上的一组点及其对应的切线方向，求出在这些点上取得指定的值的曲线。
二、定比点差法方法，它基于圆锥曲线的定义，将曲线上的每两点之间的比率作为关键参数，从而构造出满足定值定点条件的曲线。
定比点差法的基本思想是：给定圆锥曲线上的N个点，根据定义求出每两点之间的比率，即点A（x1,y1）和点B（x2,y2）之间的比率为R=y1/y2，将R作为新的曲线的参数。
令新曲线的关于x的函数为f(x)，则f(x1)=y1，f(x2)=y2，有f(x1)/f(x2)=R，即f(x2)=[f(x1)]/R，再令f(x3)=y3，则f(x3)=[f(x2)]/R，一般情况下，新曲线的函数可表示为：f(xn)=[f(xn-1)]/R其中n=2,3,…,N，即可求解出新曲线的函数f(x)，此函数满足圆锥曲线定点定值问题的要求，即给定N个点的坐标，求出在这N个点上取得指定的值的曲线的函数。
定比点差法的主要优点是，它可以快速求解满足定点定值条件的曲线，并且不需要太多的计算量。
但是，该方法有一定的局限性，即只能用于求解给定点的曲线，无法求解给定值的曲线。
种优秀方法，由于其简单易行，使用比较广泛，是一个值得研究的重要问题。
高考数学点差法在圆锥曲线中的应用(解析版)
点差法在圆锥曲线中的应用一、考情分析圆锥曲线中的中点弦问题是高考常见题型,在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时,我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为x1,y1、x2,y2,代入圆锥曲线得两方程后相减,得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系,然后加以求解,这即为“点差法”.二、解题秘籍(一)求以定点为中点的弦所在直线的方程求解此类问题的方法是设出弦端点坐标,代入曲线方程相减求出斜率,再用点斜式写出直线方程.特别提醒：求以定点为中点的双曲线的弦所在直线的方程,求出直线方程后要检验所求直线与双曲线是否有2个交点.【例1】过椭圆x216+y24=1内一点M(2,1)引一条弦,使弦被M点平分,求这条弦所在直线的方程.【解析】设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2)∵M(2,1)为AB的中点∴x1+x2=4 y1+y2=2∵又A、B两点在椭圆上,则x12+4y12=16,x22+4y22=16两式相减得(x12−x22)+4(y12−y22)=0于是(x1+x2)(x1−x2)+4(y1+y2)(y1−y2)=0∴y1−y2x1−x2=−x1+x24(y1+y2)=−44×2=−12即k AB=−12,故所求直线的方程为y−1=−12(x−2),即x+2y−4=0.【例2】已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),离心率e=3,虚轴长为22．(1)求双曲线C的标准方程；(2)过点P1,1能否作直线l,使直线l与双曲线C交于A,B两点,且点P为弦AB的中点?若存在,求出直线l的方程；若不存在,请说明理由．【解析】(1)∵e=ca=3,2b=22,∴c=3a,b=2．∵c2=a2+b2,∴3a2=a2+2．∴a2=1．∴双曲线C的标准方程为x2-y22=1．(2)假设以定点P(1，1)为中点的弦存在,设以定点P(1，1)为中点的弦的端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),可得x1+x2=2,y1+y2=2．由A,B在双曲线上,可得：x21-y212=1 x22-y222=1,两式相减可得以定点P(1，1)为中点的弦所在的直线斜率为：k=y2-y1x2-x1=2(x1+x2)y1+y2=2,则以定点P(1，1)为中点的弦所在的直线方程为y-1=2(x-1)．即为y=2x-1,代入双曲线的方程可得2x2-4x+3=0,由Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0,所以不存在这样的直线l ．(二)求弦中点轨迹方程求弦中点轨迹方程基本类型有2类,一是求平行弦的中点轨迹方程,二是求过定点的直线被圆锥曲线截得的弦的中点轨迹方程.【例3】(2023届湖北省腾云联盟高三上学期10月联考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 经过点P 0,1 ，且离心率为32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过点0,-35的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，设坐标原点为O ，线段AB 的中点为M ，求MO 的最大值.【解析】(1)∵椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点P (0,1)，其离心率为32．∴b =1，c a =32⇒1-b 2a2=34，∴b a =12，∴a =2，故椭圆C 的方程为：x 24+y 2=1；(2)当直线l 斜率不存在时，M 与O 重合，不合题意，当直线l 斜率存在时，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，M (x 0,y 0)，则有x 0=x 1+x 22，y 0=y 1+y 22，直线l 的斜率为y 1-y 2x 1-x 2=y 0+35x 0，A ，B 两点在椭圆上，有x 124+y 12=1，x 224+y 22=1，两式相减，x 12-x 224=-y 12-y 22 ，即x 1+x 24y 1+y 2 =-y 1-y 2x 1-x 2，得x 04y 0=-y 0+35x 0，化简得x 02=-4y 02-125y 0，MO =x 02+y 02=-3y 02-125y 0=-3y 0+25 2+1225，∴当y 0=-25时，MO 的最大值为235【例4】直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题,是解析几何重要内容之一,也是高考的一个热点问题.引理：设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 是二次曲线C :Ax 2+By 2+Cx +Dy +F =0上两点,P x 0,y 0 是弦AB 的中点,且弦AB 的斜率存在,则Ax 21+By 21+Cx 1+Dy 1+F =0⋯⋯(1)Ax 22+By 22+Cx 2+Dy 2+F =0⋯⋯(2)由(1)-(2)得A x 1-x 2 x 1+x 2 +B y 1-y 2 y 1+y 2 +C x 1-x 2 +D y 1-y 2 =0,∵x 0=x 1+x 22,y 0=y 1+y 22,∴x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0∴2Ax 0x 1-x 2 +2By 0y 1-y 2 +C x 1-x 2 +D y 1-y 2 =0,∴2Ax 0+C x 1-x 2 =-2By 0+D y 1-y 2 ,∴直线AB 的斜率k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-2Ax 0+C2By 0+D2B +D ≠0,x 1≠x 2 .二次曲线也包括了圆、椭圆、双曲线、抛物线等．请根据上述求直线斜率的方法(用其他方法也可)作答下题：已知椭圆x 22+y 2=1.(1)求过点P 12,12且被P 点平分的弦所在直线的方程;(2)过点A 2,1 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程.【解析】(1)设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 是椭圆x 22+y 2=1上两点,P x 0,y 0 是弦AB 的中点,则x 122+y 12=1x 222+y 22=1,两式相减得：x 1-x 2 x 1+x 2 +2y 1-y 2 y 1+y 2 =0,∵12=x 1+x 22,12=y 1+y 22,∴x 1+x 2=1,y 1+y 2=1∴x 1-x 2+2y 1-y 2 =0,∴直线AB 的斜率k AB =-12.直线AB 的方程为y -12=-12x -12,即2x +4y -3=0.因为P 12,12在椭圆内部,成立.(2)由题意知：割线的斜率存在,设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 是椭圆x 22+y 2=1上两点,P x ,y 是弦AB 的中点,则x 122+y 12=1x 222+y 22=1 ,两式相减得：x 1-x 2 x 1+x 2 +2y 1-y 2 y 1+y 2 =0,∵x =x 1+x 22,y =y 1+y 22,∴x 1+x 2=2x ,y 1+y 2=2y∴2x x 1-x 2 +4y y 1-y 2 =0,∴直线AB 的斜率k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-x2yx 1≠x 2又k AB =y -1x -2,所以 y -1x -2=-x 2y ,化简得：x 2+2y 2-2x -2y =0-2≤x ≤2 ,所以截得的弦的中点的轨迹方程为x 2+2y 2-2x -2y =0-2≤x ≤2 (三)求直线的斜率一般来说,给出弦中点坐标,可求弦所在直线斜率【例5】已知椭圆C ：x 25+y 2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点M ,N 在椭圆C 上.(1)若线段MN 的中点坐标为2,13,求直线MN 的斜率；(2)若M ,N ,O 三点共线,直线NF 1与椭圆C 交于N ,P 两点,求△PMN 面积的最大值.【解析】(1)设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,则x 215+y 21=1,x 225+y 22=1,两式相减,可得x 1+x 2 x 1-x 25+y 1+y 2 y 1-y 2 =0,则4x 1-x 2 5+2y 1-y 2 3=0,解得k MN =y 1-y 2x 1-x 2=-65,即直线MN 的斜率为-65；(2)显然直线NF 1的斜率不为0,设直线NF 1：x =my -2,N x 3,y 3 ,P x 4,y 4 ,联立x =my -2x 25+y 2=1,消去x 整理得m 2+5 y 2-4my -1=0,显然Δ=20m 2+1 >0,故y 3+y 4=4m m 2+5,y 3⋅y 4=-1m 2+5,故△PMN 的面积S △PMN =2S △OPN =2⋅12OF 1 ⋅y 3-y 4=2⋅4m m 2+5 2-4⋅-1m 2+5=45m 2+1m 2+5,令t =m 2+1,t ≥1,则S △PMN =45t t 2+4=45t +4t≤454=5,当且仅当t =2,即m =±3时等号成立,故△PMN 面积的最大值为5.【例6】已知椭圆x 225+y 29=1上不同的三点A x 1,y 1 ,B 4,95,C x 2,y 2 与焦点F 4,0 的距离成等差数列.(1)求证：x 1+x 2=8；(2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ,求直线BT 的斜率k .【解析】(1)证略.(2)解∵x 1+x 2=8,∴设线段AC 的中点为D 4,y 0 .又A 、C 在椭圆上,∴x 1225+y 129=1,(1)x 2225+y 229=1,(2)1 -2 得：x 12-x 2225=-y 12-y 229,∴y 1-y 2x 1-x 2=-9x 1+x 2 25y 1+y 2=-925⋅82y 0=-3625y 0.∴直线DT 的斜率k DT =25y 036,∴直线DT 的方程为y -y 0=25y 036x -4 .令y =0,得x =6425,即T 6425,0 ,∴直线BT 的斜率k =95-04-6425=54.(四)点差法在轴对称中的应用【例7】(2023届江苏省南京市建邺区高三上学期联合统测)已知O 为坐标原点，点1,62 在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 上，直线l ：y =x +m 与C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率为-12．(1)求C 的方程；(2)若m =1，试问C 上是否存在P ，Q 两点关于l 对称，若存在，求出P ，Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】(1)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则M x 1+x 22,y 1+y 22 ,k AB =y 1-y 2x 1-x 2=1,k OM=y 1+y 22x 1+x 22=y 1+y 2x 1+x 2=-12∵A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 在椭圆上，则x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1两式相减得x 12-x 22a 2+y 12-y 22b 2=0，整理得y 12-y 22x 12-x 22=y 1+y 2x 1+x 2×y 1-y 2x 1-x 2=-b 2a 2∴k AB ⋅k OM =-b 2a 2，即-12=-b2a2，则a 2=2b 2又∵点1,62 在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1上，则1a 2+32b 2=1联立解得a 2=4,b 2=2∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1(2)不存在，理由如下：假定存在P ，Q 两点关于l ：y =x +1对称，设直线PQ 与直线l 的交点为N ，则N 为线段PQ 的中点，连接ON∵PQ ⊥l ，则k AB ⋅k PQ =-1，即k PQ =-1由(1)可得k ON ⋅k PQ =-12，则k ON =12，即直线ON :y =12x联立方程y =12x y =x +1，解得x =-2y =-1 即N -2,-1∵-2 24+-1 22=32>1，则N -2,-1 在椭圆C 外∴假定不成立，不存在P ，Q 两点关于l 对称【例8】已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点1,62 ，直线l ：y =x +m 与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，直线OM 的斜率为-12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若椭圆C 上存在P ，Q 两点，使得P ，Q 关于直线l 对称，求实数m 的范围．【解析】(1)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则M x 1+x 22,y 1+y 22，即k OM =y 1+y 2x 1+x 2=-12．因为A ，B 在椭圆C 上，所以x 21a 2+y 21b 2=1，x 22a 2+y 22b2=1，两式相减得x 1+x 2 x 1-x 2 a 2+y 1+y 2 y 1-y 2 b 2=0，即1a 2+y 1+y 2 y 1-y 2b 2x 1+x 2 x 1-x 2=0，又k AB =y 1-y 2x 1-x 2=1，所以1a 2-12b2=0，即a 2=2b 2．又因为椭圆C 过点1,62 ，所以1a 2+32b2=1，解得a 2=4,b 2=2，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1；(2)设P x 3,y 3 ,Q x 4,y 4 ,PQ 的中点为N x 0,y 0 ，所以x 3+x 4=2x 0,y 3+y 4=2y 0，因为P ，Q 关于直线l 对称，所以k PQ =-1且点N 在直线l 上，即y 0=x 0+m ．又因为P ，Q 在椭圆C 上，所以x 234+y 232=1,x 244+y 242=1．两式相减得x 3+x 4 x 3-x 4 4+y 3+y 4 y 3-y 42=0．即x 3+x 44+y 3+y 4 y 3-y 42x 3-x 4=0，所以x 3+x 44=y 3+y 42，即x 0=2y 0．联立x 0=2y 0y 0=x 0+m，解得x 0=-2my 0=-m ，即N (-2m ,-m )．又因为点N 在椭圆C 内，所以(-2m )24+(-m )22<1，所以-63<m <63所以实数m 的范围为-63<m <63．(五)利用点差法可推导的结论在椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 中,若直线l 与该椭圆交于点A ,B ,点P x 0,y 0 为弦AB 中点,O 为坐标原点,则k AB ⋅k OP =b 2a2,对于双曲线、抛物线也有类似结论,求自行总结.【证明】设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 且x 1≠x 2,则x 12a 2+y 12b 2=1,(1)x 22a 2+y 22b2=1,(2)1 -2 得：x 12-x 22a 2=-y 12-y 22b 2,∴y 1-y 2x 1-x 2=-b 2x 1+x 2 a 2y 1+y 2 ,∴k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-b 2x 1+x 2 a 2y 1+y 2.又k OP =y 1+y 2x 1+x 2,∴k AB =-b 2a 2⋅1k OP ,∴k AB ⋅k OP =-b 2a 2(定值).【例9】(2022届江苏省南通市高三上学期期末)在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a 、b为正常数)的右顶点为A ,直线l 与双曲线C 交于P 、Q 两点,且P 、Q 均不是双曲线的顶点,M 为PQ 的中点．(1)设直线PQ 与直线OM 的斜率分别为k 1、k 2,求k 1·k 2的值；(2)若AM PQ=12,试探究直线l 是否过定点？若过定点,求出该定点坐标；否则,说明理由．【解析】(1)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),M (x 0,y 0),因为P 、Q 在双曲线上,所以x 12a 2-y 12b 2=1,x 22a 2-y 22b2=1,两式作差得(x 1+x 2)(x 1-x 2)a 2-(y 1+y 2)(y 1-y 2)b 2=0,即2x 0(x 1-x 2)a 2=2y 0(y 1-y 2)b 2,即y 0(y 1-y 2)x 0(x 1-x 2)=b 2a2,即k 1·k 2=b 2a 2；(2)因为AM PQ=12,所以△APQ 是以A 为直角顶点的直角三角形,即AP ⊥AQ ；①当直线l 的斜率不存在时,设l ：x =t ,代入x 2a 2-y 2b2=1得,y =±bt 2a 2-1,由|t -a |=b t 2a2-1得,(a 2-b 2)t 2-2a 3t +a 2(a 2+b 2)=0,即[(a 2-b 2)t -a (a 2+b 2)](t -a )=0,得t =a (a 2+b 2)a 2-b 2或a (舍),故直线l 的方程为x =a (a 2+b 2)a 2-b 2；②当直线l 的斜率存在时,设l ：y =kx +m ,代入x 2a 2-y 2b2=1,得(b 2-k 2a 2)x 2-2km a 2x -a 2(m 2+b 2)=0,Δ=a 2b 2(m 2+b 2-k 2a 2)>0,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则x 1+x 2=2km a 2b 2-k 2a 2,x 1x 2=-a 2(m 2+b 2)b 2-k 2a 2；因为AP ⊥AQ ,所以AP ·AQ =0,即(x 1-a ,y 1)·(x 2-a ,y 2)=0,即x 1x 2-a (x 1+x 2)+a 2+y 1y 2=0,即x 1x 2-a (x 1+x 2)+a 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=0,即(km -a )(x 1+x 2)+(k 2+1)x 1x 2+m 2+a 2=0,即-2km a 3-k 2a 2b 2-m 2a 2+m 2b 2-k 2a 4b 2-k 2a 2=0,即a 2(a 2+b 2)k 2+2ma 3k +m 2(a 2-b 2)=0,即[a (a 2+b 2)k +m (a 2-b 2)](ak +m )=0,所以k =-m (a 2-b 2)a (a 2+b 2)或k =-ma ；当k =-m a 时,直线l 的方程为y =-max +m ,此时经过A ,舍去；当k =-m (a 2-b 2)a (a 2+b 2)时,直线l 的方程为y =-m (a 2-b 2)a (a 2+b 2)x +m ,恒过定点a (a 2+b 2)a 2-b 2,0,经检验满足题意；综上①②,直线l 过定点a (a 2+b 2)a 2-b 2,0．三、跟踪检测1.已知椭圆C :x 22+y 2=1,F 1为右焦点，直线l :y =t (x -1)与椭圆C 相交于A ，B 两点，取A 点关于x 轴的对称点S ，设线段AS 与线段BS 的中垂线交于点Q ．(1)当t =2时，求QF 1 ；(2)当t ≠0时，求QF 1|AB |是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．【解析】(1)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，线段AB 的中点M 坐标为x M ,y M ，联立得x 2+2y 2-2=0,y =2(x -1), 消去y 可得：9x 2-16x +6=0，所以x 1+x 2=169,x 1x 2=69,所以x M =89，代入直线AB 方程，求得y M =-29，因为Q 为△ABS 三条中垂线的交点，所以MQ ⊥AB ，有k MQ k AB =-1，直线MQ 方程为y +29=-12×x -89.令y =0,x Q =49，所以Q 49,0 .由椭圆C :x 22+y 2=1可得右焦点F 11,0 ，故QF 1 =59．(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，中点M 坐标为x M ,y M ．x 212+y 21=1,x 222+y 22=1,相减得y 2-y 1x 2-x 1=-12×x 1+x 2y 1+y 2=-x M 2y M ，k AB k OM =-12.又Q 为△ABS 的外心，故MQ ⊥AB ,k MQ k AB =-1，所以k MQ =2k OM =2y M x M ，直线MQ 方程为y -y M =2y Mx Mx -x M ，令y =0,x Q =x M 2=x 1+x 24，所以Q x 1+x 24,0 而F 11,0 ,所以QF 1 =1-14x 1+x 2 ，AF 1 =x 1-1 2+y 21=x 1-1 2+1-x 212=x 212-2x 1+2=2-12x 1，同理BF 1 =2-12x 2，|AB |=AF 1 +BF 1 =22-12x 1+x 2 ，QF 1 |AB |=1-14x 1+x 2 22-12x 1+x 2 =24，所以当t 变化时，QF 1 |AB |为定值24．2.(2023届重庆市南开中学校高三上学期9月月考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，上顶点为D ，斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，M 为线段AB 的中点，当点M 的坐标为(2,1)时，直线l 恰好经过D 点.(1)求椭圆C 的方程：(2)当l 不过点D 时，若直线DM 与直线l 的斜率互为相反数，求k 的取值范围.【解析】(1)由题意知，离心率e =22，所以a =2b =2c ，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，x 21a 2+y 21b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1两式相减得k ⋅k OM =-b 2a 2=-12，所以k =-1；所以直线为y -1=-(x -2)，即y =-x +3，所以b =c =3，椭圆方程为x 218+y 29=1；(2)设直线为y =kx +m ，由y =kx +mx 2+2y 2=18得1+2k 2 x 2+4km x +2m 2-18=0，则x M =x 1+x 22=-2km 1+2k 2，y M =m1+2k2，�=16k 2m 2-41+2k 2 2m 2-18 =818k 2-m 2+9 >0，所以k DM =y M -3x M -0=6k 2+3-m 2km =-k ，解得m =6k 2+31-2k2，1-2k 2≠0，k ≠±22因为l 不过D 点，则6k 2+31-2k 2≠3，即k ≠0则18k 2+9-6k 2+3 21-2k 22>0，化简得4k 4-4k 2-3>0，解得2k 2-3 2k 2+1 >0，k 2>32，所以k >62或k <-62.3.已知椭圆x 22+y 2=1．(1)过椭圆的左焦点F 引椭圆的割线，求截得的弦的中点P 的轨迹方程；(2)求斜率为2的平行弦的中点Q 的轨迹方程；(3)求过点M 12,12且被M 平分的弦所在直线的方程．【解析】(1)设弦与椭圆两交点坐标分别为A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，设P x ,y ，当x 1=x 2时，P -1,0 ．当x 1≠x 2时，x 22+y 2=1⇒x 2+2y 2=2，x 21+2y 21=2,x 22+2y 22=2, 两式相减得x 1+x 2 x 1-x 2 +2y 1+y 2 y 1-y 2 =0，即1+2⋅y 1+y 2 y 1-y 2 x 1+x 2 x 1-x 2=0(*)，因为y 1-y 2x 1-x 2=k FP =yx +1，x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ，所以，代入上式并化简得x 2+x +2y 2=0，显然P -1,0 满足方程.所以点P 的轨迹方程为x 2+x +2y 2=0(在椭圆内部分)．(2)设Q x ,y ，在(1)中式子1+2⋅y 1+y 2 y 1-y 2x 1+x 2 x 1-x 2=0里，将y 1-y 2x 1-x 2=2，x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y 代入上式并化简得点Q 的轨迹方程为x +4y =0(在椭圆内部分)．所以，点Q 的轨迹方程x +4y =0(在椭圆内部分).(3)在(1)中式子1+2⋅y 1+y 2 y 1-y 2x 1+x 2 x 1-x 2=0里，将y 1-y 2x 1-x 2=k ，x 1+x 2=1，y 1+y 2=1代入上式可求得k =-12．所以直线方程为2x +4y -3=0．4.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点1,62 ，直线l ：y =x +m 与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，直线OM 的斜率为-0.5.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当m =1时，椭圆C 上是否存在P ，Q 两点，使得P ，Q 关于直线l 对称，若存在，求出P ，Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】(1)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则M x 1+x 22,y 1+y 22，即k OM =y 1+y 2x 1+x 2=-12．因为A，B在椭圆C上，所以x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1，两式相减得x1+x2x1-x2a2+y1+y2y1-y2b2=0，即1a2+y1+y2y1-y2b2x1+x2x1-x2=0，又k AB=y1-y2x1-x2=1，所以1a2-12b2=0，即a2=2b2．又因为椭圆C过点1,6 2，所以1a2+32b2=1，解得a2=4，b2=2，所以椭圆C的标准方程为x24+y22=1；(2)由题意可知，直线l的方程为y=x+1．假设椭圆C上存在P，Q两点，使得P，Q关于直线l对称，设P x3,y3，Q x4,y4，PQ的中点为N x0,y0，所以x3+x4=2x0，y3+y4=2y0，因为P，Q关于直线l对称，所以k PQ=-1且点N在直线l上，即y0=x0+1．又因为P，Q在椭圆C上，所以x234+y232=1，x244+y242=1，两式相减得x3+x4x3-x44+y3+y4y3-y42=0，即x3+x44+y3+y4y3-y42x3-x4=0，所以x3+x44=y3+y42，即x0=2y0．联立x0=2y0y0=x0+1，解得x0=-2y0=-1，即N-2,-1．又因为-224+-122>1，即点N在椭圆C外，这与N是弦PQ的中点矛盾，所以椭圆C上不存在点P，Q两点，使得P，Q关于直线l对称．5.(2022届广东省清远市高三上学期期末)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过焦点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A,B两点,若AB的中点到准线l的距离为4．(1)求抛物线C的方程；(2)设P为l上任意一点,过点P作C的切线,切点为Q,试判断F是否在以PQ为直径的圆上．【解析】(1)设A x1,y1,B x2,y2,则y21=2px1, y22=2px2,所以y21-y22=2p x1-x2,整理得y1-y2x1-x2=2py1+y2=1,所以y1+y2=2p．因为直线AB的方程为y=x-p 2,所以x1+x2=y1+y2+p=3p．因为AB的中点到准线l的距离为4,所以x1+x22+p2=2p=4,得p=2,故抛物线C的方程为y2=4x．(2)设P(-1,t),可知切线PQ的斜率存在且不为0,设切线PQ的方程为x=m(y-t)-1,联立方程组x=m(y-t)-1,y2=4x,得y2-4my+4mt+4=0,由Δ=16m2-16(mt+1)=0,得t=m-1m,即P-1,m-1m,所以方程y 2-4my +4mt +4=y 2-4my +4m 2=0的根为y =2m ,所以x =m 2,即Q m 2,2m ．因为FP =-2,m -1m ,FQ =m 2-1,2m ,所以FP ⋅FQ =-2m 2-1 +2m m -1m=0,所以FP ⊥FQ ,即F 在以PQ 为直径的圆上．6.(2022届河南省中原顶级名校高三上学期1月联考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1-1,0 ,F 21,0 ,过点F 1的直线l 1交椭圆C 于A ,B 两点.当直线l 1的斜率为1时,点-47,37是线段AB 的中点.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图,若过点F 2的直线l 2交椭圆C 于E ,G 两点,且l 1∥l 2,求四边形ABEG 的面积的最大值.【解析】 (1)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 .由题意可得b 2x 21+a 2y 21-a 2b 2=0,b 2x 22+a 2y 22-a 2b 2=0.∴y 1-y 2x 1-x 2=-b 2a 2⋅x 1+x 2y 1+y 2=-b 2a 2⋅-43,即4b 23a2=1,∴b 2a2=34.∵a 2-b 2=1,∴a 2=4,b 2=3,∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)根据对称性知AB =EG ,AB ∥EG ,∴四边形ABEG 是平行四边形,又S 四边形ABEG =2S △F 2AB ,∴问题可转化为求S △F 2AB 的最大值.设直线l 1的方程为x =my -1,代入x 24+y 23=1,得3m 2+4 y 2-6my -9=0.则y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4,∴S △F 2AB =12⋅2⋅y 1-y 2 =y 1+y 2 2-4y 1y 2=6m 3m 2+4 2-4⋅-93m 2+4=121+m 23m 2+4.令1+m 2=t ,则t ≥1,且m 2=t 2-1,∴S △F 2AB =12t 3t 2+1=123t +1t .记h t =3t +1tt ≥1 ,易知h t 在1,+∞ 上单调递增.∴h t min =h 1 =4.∴S △F 2AB =123t +1t≤124=3.∴四边形ABEG 的面积的最大值是6.7.如图,AB 是过抛物线y 2=2px (p >0)焦点F 的弦,M 是AB 的中点,l 是抛物线的准线,MN ⊥l ,N 为垂足,点N 坐标为(-2,-3).(1)求抛物线的方程；(2)求△AOB 的面积(O 为坐标系原点).【解析】 (1)点N (-2,-3)在准线l 上,所以准线l 方程为：x =-2,则p 2=2,解得p =4,所以抛物线的方程为：y 2=8x ；(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由A 、B 在抛物线y 2=8x 上,所以y 21=8x 1y 22=8x 2 ,则y 1-y 2 y 1+y 2 =8x 1-x 2 ,又MN ⊥l ,所以点M 纵坐标为-3,M 是AB 的中点,所以y 1+y 2=-6,所以-6y 1-y 2 =8x 1-x 2 ,即k AB =-43,又知焦点F 坐标为(2,0),则直线AB 的方程为：4x +3y -8=0,联立抛物线的方程y 2=8x ,得y 2+6y -16=0,解得y =2或y =-8,所以y 1-y 2 =10,所以S △AOB =S △AOF +S △BOF =y 1-y 2 =10.8.在平面直角坐标系xOy 中,设点F (1,0),直线l ：x =-1,点P 在直线l 上移动,R 是线段PF 与y 轴的交点,RQ ⊥FP ,PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹E 的方程；(2)过点F 作两条互相垂直的曲线E 的弦AB 、CD ,设AB 、CD 的中点分别为M 、N .求直线MN 过定点D 的坐标.【解析】 (1)依题意,点P 在直线l ：x =-1上移动,令直线l 交x 轴于点K ,而点F(1,0),又R 是线段PF 与y 轴的交点,当点P 与点K 不重合时,OR ⎳l ,而O 为FK 中点,则点R 是线段FP 的中点,因RQ ⊥FP ,则RQ 是线段FP 的垂直平分线,QP =QF ,又PQ ⊥l 于点P ,即PQ 是点Q到直线l 的距离,当点P 与点K 重合时,点R 与点O 重合,也满足上述结论,于是有点Q 到点F 的距离等于点Q 到直线l 的距离,则动点Q 的轨迹E 是以F为焦点,l 为准线的抛物线,其方程为：y 2=4x ,所以动点Q 的轨迹E 的方程为y 2=4x .(2)显然直线AB 与直线CD 的斜率都存在,且不为0,设直线AB 的方程为y =k(x -1),k ≠0,令A x A ,y A ,B x B ,y B ,M x M ,y M ,N x N ,y N ,由y 2A =4x A y 2B =4x B 两式相减得：(y A +y B )(y A -y B )=4(x A -x B ),则y A +y B =4k,即y M =2k,代入方程y =k (x -1),解得x M =2k 2+1,即点M 的坐标为2k 2+1,2k ,而CD ⊥AB ,直线CD 方程为y =-1k (x -1),同理可得：N 的坐标为(2k 2+1,-2k ),当2k 2+1=2k 2+1,即k =±1时,直线MN ：x =3,当k ≠1且k ≠-1时,直线MN 的斜率为k MN =y M -y N x M -x N =k 1-k 2,方程为y +2k =k 1-k 2(x -2k 2-1),整理得y 1k -k =x -3,因此,∀k ∈R ,k ≠0,直线MN ：y 1k-k =x -3过点(3,0),所以直线MN 恒过定点D (3,0).9.中心在原点的双曲线E 焦点在x 轴上且焦距为4,请从下面3个条件中选择1个补全条件,并完成后面问题：①该曲线经过点A 2,3 ；②该曲线的渐近线与圆x 2-8x +y 2+4=0相切；③点P 在该双曲线上,F 1、F 2为该双曲线的焦点,当点P 的纵坐标为32时,恰好PF 1⊥PF 2.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)过定点Q 1,1 能否作直线l ,使l 与此双曲线相交于Q 1、Q 2两点,且Q 是弦Q 1Q 2的中点？若存在,求出l 的方程；若不存在,说明理由.【解析】 (1)设双曲线E 的标准方程为x 2a 2-y 2b2=1a >b >0 .选①：由题意可知,双曲线E 的两个焦点分别为F 1-2,0 、F 22,0 ,由双曲线的定义可得2a =AF 1 -AF 2 =42+32-3 =2,则a =1,故b =c 2-a 2=3,所以,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.选②：圆x 2-8x +y 2+4=0的标准方程为x -4 2+y 2=12,圆心为4,0 ,半径为23,双曲线E 的渐近线方程为y =±b a x ,由题意可得4b a 1+b a2=23,解得b a =3,即b =3a ,因为c =a 2+b 2=2a =2,则a =1,b =3,因此,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.选③：由勾股定理可得PF 1 2+PF 2 2=4c 2=16=PF 1 -PF 2 2+2PF 1 ⋅PF 2 =4a 2+2PF 1 ⋅PF 2 ,所以,PF 1 ⋅PF 2 =2c 2-a 2 =2b 2,则S △F 1PF 2=12PF 1 ⋅PF 2 =b 2=12×32×4,则b =3,故a =c 2-b 2=1,所以,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.(2)假设满足条件的直线l 存在,设点Q 1x 1,y 1 、Q 2x 2,y 2 ,则x 1+x 2=2y 1+y 2=2 ,由题意可得x 21-y 213=1x 22-y 223=1 ,两式作差得x 1-x 2 x 1+x 2 =y 1-y 2 y 1+y 2 3,所以,直线l 的斜率为k =y 1-y 2x 1-x 2=3,所以,直线l 的方程为y -1=3x -1 ,即y =3x -2.联立y =3x -2x 2-y 23=1,整理可得6x 2-12x +7=0,Δ=122-4×6×7<0,因此,直线l 不存在.10.己知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦距为42,短轴长为2,直线l 过点P -2,1 且与椭圆C 交于A 、B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 的斜率为1,求弦AB 的长；(3)若过点Q 1,12的直线l 1与椭圆C 交于E 、G 两点,且Q 是弦EG 的中点,求直线l 1的方程．【解析】 (1)依题意,椭圆C 的半焦距c =22,而b =1,则a 2=b 2+c 2=9,所以椭圆C 的方程为：x 29+y 2=1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),依题意,直线l 的方程为：y =x +3,由y =x +3x 2+9y 2=9消去y 并整理得：5x 2+27x +36=0,解得x 1=-125,x 2=-3,因此,|AB |=1+12⋅|x 1-x 2|=325,所以弦AB 的长是325.(3)显然,点Q 1,12在椭圆C 内,设E (x 3,y 3),G (x 4,y 4),因E 、G 在椭圆C 上,则x 23+9y 23=9x 24+9y 24=9 ,两式相减得：(x 3-x 4)(x 3+x 4)+9(y 3-y 4)(y 3+y 4)=0,而Q 是弦EG 的中点,即x 3+x 4=2且y 3+y 4=1,则有2(x 3-x 4)+9(y 3-y 4)=0,于是得直线l 1的斜率为y 3-y 4x 3-x 4=-29,直线l 1的方程：y -12=-29(x -1),即4x +18y -13=0,所以直线l 1的方程是4x +18y -13=0.11.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12,AB 为椭圆的一条弦,直线y =kx (k >0)经过弦AB 的中点M ,与椭圆C 交于P ,Q 两点,设直线AB 的斜率为k 1,点P 的坐标为1,32(1)求椭圆C 的方程；(2)求证：k 1k 为定值.【解析】(1)由题意知1a 2+94b 2=1,c a =12,a 2=b 2+c 2, 解得a =2,b =3,c =1,故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)证明：设M x 0,y 0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由于A ,B 为椭圆C 上的点,所以x 214+y 213=1,x 224+y 223=1,两式相减得x 1+x 2 x 1-x 2 4=-y 1+y 2 y 1-y 2 3,所以k 1=y 1-y 2x 1-x 2=-3x 1+x 2 4y 1+y 2=-3x 04y 0.又k =y 0x 0,故k 1k =-34,为定值.12.已知双曲线C ：2x 2-y 2=2与点P 1,2 ．(1)是否存在过点P 的弦AB ,使得AB 的中点为P ；(2)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点,证明：A 、B 、C 、D 四点共圆．【解析】(1)双曲线的标准方程为x 2-y 22=1,∴a 2=1,b 2=2．设存在过点P 的弦AB ,使得AB 的中点为P ,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,x 21-y 212=1,x 22-y 222=1两式相减得y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1+y 2x 1+x 2=b 2a 2,即k AB ⋅21=b 2a2得：k ⋅2=2,∴k =1．∴存在这样的弦．这时直线l 的方程为y =x +1．(2)设CD 直线方程为x +y +m =0,则点P 1,2 在直线CD 上．则m =-3,直线CD 的方程为x +y -3=0,设C x 3,y 3 ,D x 4,y 4 ,CD 的中点为Q x 0,y 0 ,x 23-y 232=1,x 24-y 242=1两式相减得k CD ⋅y 0x 0=b 2a2,则-1⋅y 0x 0=2,则y 0=-2x 0又因为Q x 0,y 0 在直线CD 上有x 0+y 0-3=0,解得Q -3,6 ,x -y +1=02x 2-y 2=2 ,解得A -1,0 ,B 3,4 ,x +y -3=02x 2-y 2=2 ,整理得x 2+6x -11=0,则x 3+x 4=-6x 3⋅x 4=-11则CD =1+k 2x 3-x 4 =410由距离公式得QA =QB =QC =QD =210所以A 、B 、C 、D 四点共圆．13.李华找了一条长度为8的细绳,把它的两端固定于平面上两点F 1,F 2处,|F 1F 2|<8,套上铅笔,拉紧细绳,移动笔尖一周,这时笔尖在平面上留下了轨迹C ,当笔尖运动到点M 处时,经测量此时∠F 1MF 2=π2,且△F 1MF 2的面积为4．(1)以F 1,F 2所在直线为x 轴,以F 1F 2的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系,求李华笔尖留下的轨迹C 的方程(铅笔大小忽略不计)；(2)若直线l 与轨迹C 交于A ,B 两点,且弦AB 的中点为N (2,1),求△OAB 的面积．【解析】(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),由椭圆的定义知2a =8,故a 2=16．∵在Rt △F 1MF 2中,|F 1F 2|=2c ,假设|MF 1|=x ,|MF 2|=y (x ,y >0),又∵△F 1MF 2的面积为4cm 2,x +y =8xy =8 ,故4c 2=x 2+y 2=(x +y )2-2xy =48,∴c 2=12,b 2=a 2-c 2=4,∴椭圆的标准方程为x 216+y 24=1．(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∵弦AB 的中点为N (2,1),∴x 1+x 2=4,y 1+y 2=2 且 x 1≠x 2．又∵A ,B 均在椭圆上,∴x 21+4y 21=16x 22+4y 22=16,得x 21-x 22=-4(y 21-y 22),即(x 1+x 2)⋅(x 1-x 2)=-4(y 1+y 2)⋅(y 1-y 2).∴(x 1-x 2)=-2(y 1-y 2).∵x 1≠x 2,∴k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-12故直线AB 的方程为：x +2y -4=0．联立 x +2y -4=0x 2+4y 2-16=0,整理得x 2-4x =0．得 x 1=0,x 2=4,∴A (0,2),B (4,0),∴S △OAB =12×2×4=4．∴△OAB 的面积为4cm 2．14.若抛物线C :y 2=x 上存在不同的两点关于直线l :y =m x -3 对称,求实数m 的取值范围.【解析】当m =0时,显然满足.当m ≠0时,设抛物线C 上关于直线l :y =m x -3 对称的两点分别为P x 1,y 1 、Q x 2,y 2 ,且PQ 的中点为M x 0,y 0 ,则y 12=x 1,(1)y 22=x 2,(2)1 -2 得：y 12-y 22=x 1-x 2,∴k PQ =y 1-y 2x 1-x 2=1y 1+y 2=12y 0,又k PQ =-1m ,∴y 0=-m 2.∵中点M x 0,y 0 在直线l :y =m x -3 上,∴y 0=m x 0-3 ,于是x 0=52.∵中点M 在抛物线y 2=x 区域内∴y 02<x 0,即-m 2 2<52,解得-10<m <10.综上可知,所求实数m 的取值范围是-10,10 .。
（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx
（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx圆锥曲线⼀、椭圆：（ 1）椭圆的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的和等于常数（⼤于| F1 F2 |）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意： 2a | F1F2 | 表⽰椭圆；2a | F1F2|表⽰线段F1F2； 2a| F1F 2 |没有轨迹；（2）椭圆的标准⽅程、图象及⼏何性质：中⼼在原点，焦点在x 轴上中⼼在原点，焦点在y 轴上标准⽅程图形x2y2y2x2a2b 21( a b 0)a 2b21(ab 0)yB 2yB 2P F2 PA 1 A 2x A 1xA 2OF1O F21B 1FB 1顶点对称轴焦点焦距离⼼率通径2b2aA1 (a,0), A2 (a,0)A1( b,0), A2 (b,0)B1 (0, b), B2(0, b)B1( 0,a), B2 (0, a) x 轴，y轴；短轴为2b，长轴为2aF1 (c,0), F2(c,0)F1 ( 0,c), F2 (0,c)| F1 F2 | 2c(c 0)c2 a 2 b 2(0 e 1) （离⼼率越⼤，椭圆越扁）a（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3．常⽤结论：（1）椭圆x2y21(a b 0) 的两个焦点为F1, F2，过F1的直线交椭圆于A, B两a2 b 2点，则ABF 2的周长=（2）设椭圆x2y2221( a b 0)左、右两个焦点为 F1, F2，过 F1且垂直于对称轴的直线a b交椭圆于 P, Q 两点，则 P, Q 的坐标分别是| PQ |⼆、双曲线：（ 1）双曲线的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的差的绝对值等于常数（⼩于| F1F2 | ）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意： | PF1 || PF2 | 2a 与 | PF2 | | PF1 |2a （ 2a| F1F2 | ）表⽰双曲线的⼀⽀。
高考数学复习基础知识专题讲解与练习27 圆锥曲线点差法(解析版)
高考数学复习基础知识专题讲解与练习专题27 圆锥曲线点差法一、单选题1．已知双曲线22142x y -=被直线截得的弦AB ，弦的中点为M （4，2），则直线AB 的斜率为（ ）A ．1BCD ．2【答案】A 【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，利用点差法计算可得． 【详解】解：设交点坐标分别为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则128x x +=，124y y +=，2211142x y -=，2222142x y -= 两式相减可得22221212042x x y y ---=，即()()()()1212121242x x x x y y y y +-+-=，所以()()121212122248144AB x x y y k x x y y +-⨯====-+⨯，即直线AB 的斜率为1； 故选：A ．2．若点()1,1P 为圆2260x y y +-=的弦AB 的中点，则弦AB 所在直线的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y -+= C ．230x y +-= D ．230x y +-=【答案】B 【分析】利用点差法求出直线AB 的斜率，进而得到方程，注意检验是否符合题意即可. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2211160x y y +-=，2222260x y y +-=，两式做差可得2222121212660x x y y y y -+--+=，即()()()()()121212121260x x x x y y y y y y +-++---=， 又因为()1,1P 是AB 的中点，则12122,2x x y y +=+=，因此()()()1212122260x x y y y y -+---=，即()()1212240x x y y ---=， 所以11212AB y y k x x -==-， 因此直线AB 的方程为()1112y x -=-，即210x y -+=， 经检验，符合题意，故弦AB 所在直线的方程为210x y -+=. 故选：B.3．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，直线12y x =-与直线l 的交点恰好为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（ ）A ．12 B ．14C ．1D ．4【答案】C 【分析】根据离心率可得a =，利用点差法即可求解. 【详解】由题意可得c e a ==a =．设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+= 两式相减可得()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-++=．因为直线12y x =-与直线l 的交点恰好为线段AB 的中点，所以121212y y x x +=-+， 则直线l 的斜率21212212121(2)12y y x x b k x x a y y -+==-⋅=-⨯-=-+． 故选：C4．若直线l 与椭圆22162x y +=交于点A 、B ，线段AB 中点P 为（1，2），则直线l 的斜率为（ ） A ．16B ．16-C ．6D ．－6【答案】B 【分析】设A ，B 分别为1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆方程，相减后利用中点坐标公式可得直线斜率． 【详解】设A ，B 分别为1122(,),(,)A x y B x y ，2211162x y ∴+=，2222162x y +=，相减得22222121062x x y y --+= ， 即()()()21212121()062x x x x y y y y -++-+=，又AB 中点是P （1，2），121224x x y y +=⎧∴⎨+=⎩ ，()()212124062x x y y -⋅-⋅∴+=，1+203k = 123k ∴=-， 16k =-，故选：B ．5．过点(2,1)M 的直线交抛物线24y x =于,A B 两点，当点M 恰好为AB 的中点时，直线AB 的方程为（ ） A ．250x y +-= B ．210x y --= C ．250x y +-= D ．230x y --=【答案】D 【分析】利用点差法求得直线AB 的斜率，进而可求出直线AB 的方程，注意检验判别式是否大于0. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，所以2211224,4y x y x ==，两式相减得，()()()1212124y y y y x x +-=-， 因为点(2,1)M 为AB 的中点，所以122y y +=，所以12122y y x x --=，故直线AB 的斜率为2，所以直线AB 的方程为()122y x -=-，即230x y --=，联立22304x y y x--=⎧⎨=⎩，所以241690x x -+=，()2164490∆=--⨯⨯>，故斜率为2符合题意，因此直线AB 的方程为230x y --=， 故选：D.6．以椭圆22143x y +=内一点()1,1P 为中点的弦所在的直线方程是（ ）A ．4370x y +-=B ．3470x y +-= C2(20y +-= D．2(20x +-=【答案】B 【分析】首先设直线与椭圆的两个交点()11,A x y ，()22,B x y ，再利用点差法求直线的斜率，最后求解直线方程. 【详解】设过点()1,1P 的直线交椭圆于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=， 因为122x x +=，122y y +=，12x x ≠，两边同时除以12x x -得121211043y yx x -+⨯=-，得121234y y k x x -==--，所以直线方程为()3114y x -=--，即3470x y +-=. 故选：B7．已知椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点为F ，过点F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点为()1,1，则直线l 的斜率为（ ）A ．14- B ．34-C ．12-D ．1【答案】A 【分析】根据中点坐标公式、椭圆离心率公式，结合点差法进行求解即可. 【详解】解：设()11,A x y ，()22,B x y ，则AB 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭， 由题意可得122x x +=，122y y +=，将A ，B 的坐标的代入椭圆的方程：22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 作差可得22221212220x x y y a b --+=， 所以221212221212y y x x b b x x a y y a-+=-⋅=--+，又因为离心率c e a ==222c a b =-，所以22234a b a -=，所以2214b a -=-，即直线AB 的斜率为14-，故选：A.8．已知直线l 被双曲线C ：24x ﹣y 2=1所截得的弦的中点坐标为(1，2)，则直线l 的方程（ ） A ．x +4y ﹣9=0B ．x ﹣4y +7=0C ．x ﹣8y +15=0D ．x +8y ﹣17=0【答案】C 【分析】运用代入法、点差法求出直线l 的斜率，最后利用直线的点斜式方程进行求解即可. 【详解】解：设P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， ∵线段PQ 的中点为(1，2)，∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=4，∵222212121,144x x y y -=-=， ∴()()12124x x x x -+﹣(y 1﹣y 2)(y 1+y 2)=0，整理得121218y y x x -=-，即直线l 的斜率为18，故直线l 的方程为y ﹣2=18(x ﹣1)， 即x ﹣8y +15=0， 故选：C.9．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点，若AB 的中点坐标为()1,1-，则椭圆E 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=【答案】D 【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，可得122x x +=，122y y +=-，将,A B 两点的坐标分别代入椭圆方程，两式相减可求出AB k =1212y y x x --=212212()()b x x a y y +-+=22b a ，进而可求出,a b 的值. 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，则122x x +=，122y y +=-，则22222211222211x y a x y a b b ⎧+=⎪+⎨=⎪⎪⎪⎩， 两式相减得：1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，∴AB k =1212y y x x --=22122212()2()2b x x b a y y a +-=-⋅+-=22b a ， 又AB k =0131+-=12，∴22ba12=， 联立22222312c ba c ab =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩，得22189a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩.∴椭圆方程为221189x y +=.故选：D ．10．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点F 为右焦点，B 为上顶点，平行于FB 的直线l 交椭圆于M ，N 两点且线段MN 的中点为11,24Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为（ ）AB ．12C ．14D【答案】A 【分析】求得直线l 的斜率，然后使用点差法进行计算，最后根据离心率的公式计算即可. 【详解】设()()1122,,,M x y N x y ，直线l 的斜率为k则()()()()2211221212121222222222101x y x x x x y y y y a b a b x y a b ⎧+=⎪-+-+⎪⇒+=⎨⎪+=⎪⎩ 所以2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=--+，由线段MN 的中点为11,24Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭所以121211,2x x y y +=-+=-所以222k b a =-，又b k c =-，所以222b b c a=，又222a b c =+所以b c =，∴2a e =⇒=， 故选：A.11．在抛物线28y x =中，以()1,1-为中点的弦所在直线的方程是（ ） A ．430x y --= B ．430x y +-= C ．430x y +-= D ．430x y ++=【答案】C 【分析】先设弦的两端点的坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，代入抛物线方程，两式作差，求出弦所在直线的斜率，进而可求出直线方程. 【详解】设以()1,1-为中点的弦的两端点的坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，由题意可得，21122288y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差可得，22121288y y x x -=-，所以1212128842AB y y k x x y y -====--+-因此所求直线的方程为()()141y x --=--，整理得430x y +-=. 故选：C.12．已知斜率为1k =的直线与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于A ，B 两点，若A ，B 的中点为()1,3M ，则双曲线的渐近线方程为（ ） A．0x ±= B0y ±= C ．20x y ±= D ．20x y ±=【答案】B【分析】利用点差法，设()()1122,,,A x y B x y ，代入双曲线方程后作差，得12121222120x x y y y y a b x x ++--⋅=-，利用直线的斜率和线段AB 的中点坐标求得ba的值. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ，两式相减得22221212220x x y y a b ---=， 即()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+--=，两边同时除以12x x -得12121222120x x y y y y a b x x ++--⋅=-，由条件可知122x x +=，126y y +=，12121y y x x -=-， 22260a b ∴-=，解得：223b ba a=⇒=所以双曲线的渐近线方程是y =0y ±=. 故选：B13．直线:20l x y -=经过椭圆2222+1(0)x y a b a b=>>的左焦点F ，且与椭圆交于,A B 两点，若M 为线段AB 中点，||||MF OM =，则椭圆的标准方程为（ ）A ．22+163x y =B ．22+185x y =C ．2214x y += D ．22+1129x y =【答案】C 【分析】由已知求得3c =，得到M的横坐标为进而求得M 的纵坐标，然后得出OM 的斜率，由22OM l b k k a =-,得到2214b a =，即可判定结论.【详解】易得直线l 的与x轴的交点横坐标为∴椭圆的半焦距3c =,又∵||||MF OM =，∴M的横坐标为代入直线方程得到M∴OM 的斜率01201212OM y y yk x x x +=-==+,由于直线l 的斜率121212l y y k x x -==-, 2212121222121212OM l y y y y y y k k x x x x x x +--=⨯=+--, 2211221x y a b +=,222222 1x y a b +=,∴2221222212y y b x x a -=--, ∴2214OM l b k k a =-=-,∴2214b a =,逐项检验，即可判定只有C 符合， 故选：C .14．已知曲线2244x y -=，过点(3,1)A 且被点A 平分的弦MN 所在的直线方程为（ ） A ．3450x y --= B ．3450x y +-= C ．4350x y --= D ．4350x y +-=【答案】A 【分析】设()()1122,,,M x y N x y ，根据点差法求()1212344MN x x k y y +==+，进而求出方程并检验即可.【详解】解：设()()1122,,,M x y N x y ，故221122224444x y x y ⎧-=⎨-=⎩， 两式做差得：()()()()121212124x x x x y y y y -+=-+， 所以()111212124MN y y x xk x x y y -+==-+， 又因为12126,2x x y y +=+=， 所以()11121212344MN y y x x k x x y y -+===-+， 故弦MN 所在的直线方程为()3413y x -=-，即：3450x y --=.联立方程22345044x y x y --=⎧⎨-=⎩得：22040110y y -+=， 16008807200∆=-=>，故满足条件.故选：A.15．过点()1,1M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)相交于A ､B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于（ ） ABC ．12D ．13【答案】A 【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，由点差法运算可得2212b a =，再由离心率公式即可得解.【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122,2x x y y +=+=， 121212AB y yk x x -==--，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b -+-++=， 所以1212222()2()0x x y y a b --+=，即21221212y y b a x x -=-=-，所以该椭圆的离心率c e a ===故选：A.16．过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点(2,0)F 的直线与C 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的坐标为95,77⎛⎫- ⎪⎝⎭，则C 的方程为（ ）A ．22195x y +=B ．2215x y +=C ．22162x y +=D ．221106x y +=【答案】A 【分析】设,A B 以及AB 中点M 坐标，利用“点差法”得到,AB MO k k 之间的关系，从而得到22,a b 之间的关系，结合()2,0F 即可求解出椭圆的方程. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则12x x ≠AB 的中点95,77M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以5071927AB MFk k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭===-， 又2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎨+=⎩，所以()()2222221212b x x a y y -=--， 即2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=--+， 而12121ABy yk x x -==-，121252579927y y x x ⎛⎫⨯- ⎪+⎝⎭==-+⨯， 所以2255199b a =⨯=，又2c =，所以22222254499c a b a a a =-=-==，所以2295a b ==，椭圆方程为：22195x y +=.故选：A.17．已知斜率为1k ()10k ≠的直线l 与椭圆2214y x +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，直线OC （O 为坐标原点）的斜率为2k ，则12k k ⋅=（ ） A ．14- B ．4- C ．12-D ．2-【答案】B 【分析】首先设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点()00,C x y ，将A ，B 代入椭圆方程再相减得到()()2102011202y y y x x x --+=，从而得到121202k k +⋅=，即可得到答案.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点()00,C x y ， 则1202x x x +=，1202y y y +=.因为A ，B 两点在椭圆上，所以221114y x +=，222214y x +=. 两式相减得：()22222112104x y x y -+=-， ()()()()11112222104x x y y x x y y +-+-+=，()()0122011202x y x y y x --+=，()()2102011202y y y x x x --+=， 即121202k k +⋅=，解得124k k ⋅=-. 故选：B18．过点()1,1M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>相交于A ，B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为（ ） ABC ．12D ．13【答案】A 【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，由条件可得12122,2x x y y +=+=，121212y y x x -=--，由2211221x y a b +=，2222221x y a b +=得到()()()()1212121222x x x x y y y y ab+-+-+=，然后得出222a b =即可.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由条件可得12122,2x x y y +=+=，121212y y x x -=-- 因为2211221x y a b +=，2222221x y a b+=所以()()()()12121212220x x x x y y y y a b+-+-+=将12122,2x x y y +=+=，121212y y x x -=--代入可得222a b =，所以c e a ==故选：A第II 卷（非选择题）二、填空题19．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为()4,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，若AB 的中点坐标为()1,1M -，则椭圆E 的方程为___________．【答案】221248x y +=【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，采用“点差法”，得22ABb k a=，再根据直线过点()4,0F ，和AB 的中点坐标()1,1-，得2213b a =，结合椭圆中a ，b ，c 的关系，可求得28b =，224a =，即可得E 的方程. 【详解】由题意，设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程22221x y a b +=，可得2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减可22221212220x x y y a b --+=，变形可得()()2121221212AB x x b y y k x x y y a -+-==-+﹐又AB 的中点M 为()1,1-，所以12122,2x x y y +=+=-，代入上式可得，222222AB b b k a a -==-，又1,(4,0),3AB MF MFk k F k ==，所以22221,33b b a a ==，又2222,16a b c c =+=，解得2222,16a b c c =+=，所以椭圆E 的方程为221248x y +=．故答案为：221248x y +=20．椭圆()222210x y a b a b +=>>20x y b -+=与椭圆交于P ，Q 两点，且PQ中点为E ，O 为原点，则直线OE 的斜率是_______． 【答案】43- 【分析】设()11,P x y ，()22,Q x y ，利用点差法即可求出直线OE 的斜率； 【详解】解：因为椭圆()222210x y a b a b +=>>c e a ==2223b a =设()11,P x y ，()22,Q x y ，所以121212PQy y k x x -==-，1212,22x x y y E ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为P ，Q 在椭圆上，所以22112222222211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得22221212220x x y y a b --+=，即2221222212y y b x x a -=--，即()()()()1212121223y y y y x x x x -+-=-+，即23PQ OE k k ⋅=-，所以43OE k =- 故答案为：43-21．已知AB 为抛物线24x y =的一条长度为8的弦，当弦AB 的中点离x 轴最近时，直线AB 的斜率为___________. 【答案】±1 【分析】利用抛物线的定义，找到直线AB 中点M 的纵坐标，以及最短距离时点F 也在直线AB 上，再次利用直线的两点表示出斜率，即可解出M 的坐标，求出AB 的斜率． 【详解】由题意得抛物线的准线方程为l ：1y =-，过A 作1AA l ⊥于1A ，过B 作1BB l ⊥于1B ，设弦AB 的中点为M ，过M 作1MMl⊥于1M ，则1112MM AA BB =+，设抛物线的焦点为F ，则AF BF AB +≥，即118AA BB AF BF +=+≥(当且仅当A ，B ，F 三点共线时等号成立)，所以11128AA BB MM +=≥，解得14MM ≥， 即弦AB 的中点到x 轴的最短距离为：413-=，所以点M 的纵坐标为()0,3x ，()11,A x y ，()22,B x y ，()0,1F ，2114x y =，2224x y =，∴所以直线AB 的斜率0121212031420x y yx x k x x x -+-====--， ∴02x =±，此时1k =±，当弦AB 的中点离x 轴最近时，直线AB 的斜率为±1， 故答案为：±1.22．直线m 与椭圆2214xy +=交于1P ，2P ，线段12PP 的中点为P ，设直线m 的斜率为()110k k ≠，直线OP 的斜率为2k ，则12k k =______． 【答案】14- 【分析】设点，代入椭圆的方程，利用点差法，结合线段12PP 的中点P 的坐标，即可得到答案. 【详解】设111222(,),(,)P x y P x y ，中点00(,)P x y ，则012121212012,y y y y yk k x x x x x -+===-+，把点111222(,),(,)P x y P x y 代入椭圆的方程2214x y +=， 整理得222212121,144x x y y +=+=，两式相减得22221212()04x x y y -+-=， 整理得2212121222121212()()1()()4y y y y y y x x x x x x --+==---+，即1214k k =-.23．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，过点（4，0）的直线交椭圆E 于,A B 两点.若AB 中点坐标为（2，﹣1），则椭圆E 的离心率为_______【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，两式作差，利用离心率公式即可求解. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2211221x y a b +=，① 2222221x y a b +=，② ①-②可得()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-+=，因为AB 中点坐标为（2，﹣1），则124x x +=，122y y +=-，所以()2122120121422y y b x x a ---===--， 所以224a b =，因为222b a c =-， 所以2234a c =，所以c e a ==24．设()11,A x y 、()22,B x y 是抛物线()2:20C x py p =>上不同的两点，线段AB 的垂直平分线为y x b =+，若1212x x +=-，则p =______. 【答案】14【分析】根据线段AB 的垂直平分线方程可得出直线AB 的斜率，由此利用点差法可得出关于p 的等式，进而可求得实数p 的值. 【详解】由题知，2112x py =，2222x py =，两式相减得()()()1212122x x x x p y y -+=-，所以1212122AB y y x x k x x p -+==-，由题知1AB k =-，所以12122x x p +=-=-，所以14p =.故答案为：14.25．已知直线3y x m =-与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>相交于P ，Q 两点，若PQ 中点的横坐标恰好为2m ，则椭圆C 的离心率为______.【答案】2【分析】设()11,P x y ，()22,Q x y ，代入椭圆方程得2211221x y a b +=，2222221x ya b +=，两式作差，利用中点坐标和斜率公式可得2212b a =，再根据离心率公式可得结果.【详解】设()11,P x y ，()22,Q x y ，代入椭圆方程得2211221x y a b +=，2222221x ya b +=， 两式作差得22221212220x x y y a b --+=，整理得122122121222y y y y b x x x x a +-⋅=-+-， 因为1222x x m +=，所以12123322y y x m x mm +-+-==-， 又因为12121PQ y y k x x -==-，所以2212m b m a-⨯=-，所以2212b a =，所以c e a ==2212c a=.26．在直角坐标系xOy 中，AB 是圆O 的弦，M 是AB 中点，若AB ，OM 都存在非零斜率AB k ，OM k ，则1AB OMk k ⋅=-.类比于圆，在直角坐标系xOy 中，AB 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的弦，M 是AB 中点，若AB ，OM 都存在非零斜率AB k ，OM k ，则AB OM k k ⋅=________.【答案】22b a-【分析】利用椭圆中的点差法进行求解即可，也就是设出椭圆弦的两个端点的坐标，代入椭圆标准方程中，两个方程相减，根据斜率公式和中点坐标公式进行求解即可. 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，所以有2121()()AB y y k x x -=-.由M 是AB 中点，所以点M 的横坐标为：122x x +，纵坐标为：122y y +，因此直线OM 的斜率为：1212OM y y k x x +=+； 1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆上的点，因此有2222112222221(1),1(2),(2)(1)x y x y a b a b+=+=-得： 22222121212121212222()()()()0x x y y x x x x y y y y a b a b +=⇒=----+-+2212122121()()()()y y y y b x x x x a -+-+∴=-，因此有AB OMk k ⋅=22b a-. 故答案为：22b a-三、解答题27．已知椭圆C ：2222 1 (0)x y a b a b+=>>过点(2,，长轴长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点(1,1)P 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，当P 为线段AB 中点时，求直线l 的方程. 【答案】（1）22184x y +=（2）230x y +-= 【分析】（1）椭圆基本量计算. （2）点差法求斜率即可. （1）因为椭圆C 的长轴长为2a =，得a =又椭圆C 过点(2,， 所以24218b+=，得24b =. 所以椭圆C 的标准方程为:22184x y +=.（2）直线l 的斜率不存在时，过点(1,1)P ，直线l 的方程为：1x = 此时线段AB 中点为()1,0，不合题意.所以直线l 的斜率必存在，设其为k ，()11,A x y ，()22,B x y ，因为P 为AB 的中点，则12121212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，将A 、B 坐标代入椭圆C 的标准方程为22184x y +=得，22112222184184x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：22221212084x x y y --+=，整理得：12121212()()()()084x x x x y y y y -+-++=， 所以12121212()()()()84x x x x y y y y -+-+=-，1212()2()284x x y y -⨯-⨯=-，所以12124182y y k x x --===--. 所以直线AB 的方程为11(1)2y x -=--，即230x y +-=.因为点P 在椭圆内部，所以直线l 必与椭圆相交于两点，此直线即为所求.28．已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，过2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点.若1F AB的周长为（1）求椭圆C 的方程； （2）椭圆C中以(M 为中点的弦所在直线方程. 【答案】（1）22154x y +=；（2）20x +=.【分析】（1）由已知得4a =a ，又1c =，可得2224b a c =-=，进而可得答案． （2）根据题意得中点弦的斜率存在，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2211154x y +=，2222154x y +=，两式作差，化简可得斜率，即可得出答案． 【详解】解：（1）由已知得4a =a = 又由1c =，可得2224b ac =-=，所以椭圆方程为22154x y +=．（2）根据题意得中点弦的斜率存在，且M 在椭圆内， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 所以2211154x y +=，2222154x y +=， 两式作差，得12121212()()()()045x x x x y y y y +-+-+=， 所以121212121105242x x y y y y x x ++-⨯+⨯⨯=-，所以11(1054k ⨯+⨯⨯=，所以k =所以中点弦的方程为1y x -，所求的直线方程20x +．29．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()0,4，离心率为35（1）求C 的方程；（2）求过点()3,1M 且以M 点为中点的弦的方程．【答案】（1）2212516x y +=；（2）481692525y x =-+. 【分析】（1）利用待定系数法求出b =4，再根据35c e a ==，代入即可求解. （2）利用点差法可求得直线的斜率，根据点斜式方程即可得出结果. 【详解】（1）将()0,4代入C 的方程得2161b =， ∴b =4，又35c e a == 得222925a b a -=，即2169125a -=，∴5a =，∴C 的方程为2212516x y +=．（2）设直线与C 的交点为A ()11,x y ，B ()22,x y ，代入椭圆方程得221122221251612516x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差化简可得2222121202516x x y y --+=，即()()()()12121212++02516x x x x y y y y --+=，又1212+32+12x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 则()()()()12121212+102516+y y y y x x x x -+=-，4825AB k ∴=-∴以M 点为中点的弦的方程: 481(3)25y x -=--,即：481692525y x =-+.30．已知椭圆()222:124x y C a a +=>的离心率为2，点,A B 是椭圆C 上的两个点，点()2,1P 是线段AB 的中点.（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求AB .【答案】（1）22184x y +=；（2. 【分析】 （1）由题意得ca=，根据a ，b ，c 的关系，可求得a 的值，即可得答案； （2）解法一：由题意得AB 的斜率存在，设为k ，可得直线AB 的方程，与椭圆联立，可得关于x 的一元二次方程，根据韦达定理，可得1212,x x x x +的表达式，根据AB 的中点为()2,1P ，可得k 的值，代入弦长公式，即可得答案；解法二：利用点差法，可求得直线AB 的斜率k ，进而可得直线AB 的方程，与椭圆联立，可得关于x 的一元二次方程，根据韦达定理，可得1212,x x x x +的值，代入弦长公式，即可得答案. 【详解】（1）由条件知，c a =，22224c a b a =-=-，=，解得a = 所以椭圆的标准方程为22184x y +=；（2）解法一：当直线AB 斜率不存在时，线段AB 的中点在x 轴上，不符合题意， 故可设直线AB 的方程为()21y k x =-+，并设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程()222812x y y kx k ⎧+=⎪⎨=+-⎪⎩消去y ，得()()()2222141224430k x k k x k k ++-+--=，()()21212222443421,2121k k k k x x x x k k ---+==++， 由点()2,1P 是线段AB 的中点知，1222x x+=，所以()2421421k k k -=+，解得1k =-，代入得1212104,3x x x x +==，所以AB =解法二：当直线AB 斜率不存在时，线段AB 的中点在x 轴上，不符合题意， 设()()1122,,,A x y B x y ，其中12x x ≠，代入椭圆方程，22112222184184x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()12121212084x x x x y y y y -+-++=， 由点()2,1P 是线段AB 的中点知，12122,122x x y y ++==， 直线AB 斜率为()()12121212418x x y y k x x y y +-==-=--+， 直线AB 方程为3y x =-+，联立方程22283x y y x ⎧+=⎨=-+⎩，消去y ，得2312100x x -+=，所以1212104,3x x x x +==，所以()212AB x x =+=。
圆锥曲线专题点差法
点差法的应用技巧
定义：点差法是一种通过将两点坐标代入方程，然后相减来消元，简化计算的方法
应用场景：适用于求圆锥曲线中点坐标的问题
步骤：设两点坐标，代入圆锥曲线方程并相减，整理得到中点坐标的表达式
注意事项：需确保两点确实在圆锥曲线上，否则计算结果可能不准确
设两个点$P_1(x_1,y_1)$和 $P_2(x_2,y_2)$在圆锥曲线上
将两点代入圆锥曲线方程，得到两个等 式
将两个等式相减，消除$x_1, y_1, x_2, y_2$中的任意三个
整理得到一个关于$x_1, y_1, x_2, y_2$的二次方程
利用二次方程的性质，求出所求点的坐 标
点差法在圆锥曲线 中的应用
适用范围：点差法适 用于求两条平行直线 间的距离
解题步骤：利用点差法 求出两条平行直线间的 中点坐标，然后利用距 离公式求出距离
注意事项：在应用点差 法求距离时，需要注意 平行直线的斜率相等， 并且中点坐标的求解要 准确
实例解析：通过具体实 例解析点差法在求距离 中的应用，并给出相应 的解题步骤和答案
圆锥曲线专题点差法
汇报人：XX
目录
添加目录标题
点差法的基本原理
点差法在圆锥曲线 中的应用
点差法的应用技巧
点差法的注意事项
添加章节标题
点差法的基本原理
点差法是一种通 过将两个相交曲 线的交点坐标代 入方程，然后相 减来消去变量， 简化计算的方法。
点差法适用于解 决与中点、斜率 等有关的圆锥曲 线问题ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ尤其在 处理弦的斜率和 中点问题时非常 方便。
点差法的核心思想 是利用点差法公式 将两个交点的坐标 代入方程后相减， 得到一个关于斜率 的等式，从而解决 问题。
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圆锥曲线的点差法应用（人教A版）
一、单选题(共8道，每道12分)
1.设双曲线的一条弦被直线平分,则所在直线的斜率
为( )
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：圆锥曲线的点差法应用
2.已知双曲线的中心为原点,是的焦点,过的直线与相交于两点,
且的中点为,则的方程为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：圆锥曲线的点差法应用
3.已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于
两点,若的中点坐标为,则的方程为( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：圆锥曲线的点差法应用
4.中心为原点,一个焦点为的椭圆,截直线所得弦中点的横坐标为,则该椭圆的方程是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：圆锥曲线的点差法应用
5.直线过抛物线的焦点且与相交于两点,且的中点坐标为,则抛物线的方程为( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：圆锥曲线的点差法应用
6.已知椭圆,则斜率为2的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹方程为( )
A.的一部分
B.的一部分
C.的一部分
D.的一部分
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：圆锥曲线的点差法应用
7.过椭圆内一点的弦的中点的轨迹方程为( )
A. B.的一部分
C. D.的一部分
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：圆锥曲线的点差法应用
8.直线(是参数)与抛物线的相交弦是,则弦的中点轨迹方程是( )
A.的一部分
B.的一部分
C.的一部分
D.的一部分
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：圆锥曲线的点差法应用。