9第九讲 结构网格生成方法

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4) 在物理平面求解域的边界上划分边界网格点，并 建立和计算平面边界网格点的一一对应关系
且它们和计算平面上求解域内点网格的对应关系为□
5)通过某种方法确定物理平面求解域的内点网格 ( xi,j, yi,j) ，
这样，我们就得到了贴体网格
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实例一、代数网格生成方法
所谓代数网格生成方法，是通过给定（1）或（2）的代数 形式来生成网格。考虑下面的由x=0,x=4;y=y1(x),y=y2(x)围
出内点网格坐标的初始估计值，如
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椭圆型方程方法——泊松方程
二维泊松方程的特性：
∇ ξ = ξ xx + ξ yy = P
2
∇ 2η = η xx + η yy = Q
P<0
P>0
Q<0
Q>0
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卡门翼型网格生成
ξ坐标对应于物理平面上是径线，取68条，用 Laplace方程变换；η坐标对应于物理平面上的 纬线，取25条，用泊松方程变换，方程为：
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1、控制方程的变换
1）、导数的变换
对于一阶偏导数，根据链式求导法则，有
∂φ ∂φ ∂φ ξx + ηx = ∂x ∂ξ ∂η
∂φ ∂φ ∂φ = ξy + ηy ∂y ∂ξ ∂η
对于二阶偏导数，有
∂ 2φ ∂ ∂φ ∂φ ( = ξ + ηx ) x ∂x 2 ∂x ∂ξ ∂η ∂φ ∂φ ∂ ∂φ ∂ ∂φ = ξ xx + η xx + ξ x ( ) + η x ( ) ∂ξ ∂η ∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂φ ∂φ ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ ξ xx + η xx + ξ x [ 2 ξ x + ηx ] +ηx[ ξx + 2 ηx ] = ∂ξ ∂η ∂ξ ∂ξ∂η ∂ξ∂η ∂η ∂φ ∂φ ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ 2 ξ xx + η xx + 2 (ξ x ) + 2 ξ xη x + 2 (η x ) 2 = ∂ξ ∂η ∂ξ ∂ξ∂η ∂η
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2 2 ∂ 2φ ∂φ ∂φ ∂ 2φ ∂ φ ∂ φ 2 2 = + + + + ξ η ( ξ ) 2 ξ η ( η ) yy yy y y y y ∂y 2 ∂ξ ∂η ∂ξ 2 ∂ξ∂η ∂η 2
∂ 2φ ∂φ ∂φ ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ ξ xy + η xy + 2 ξ xξ y + (ξ xη y + ξ yη x ) + 2 η xη y = ∂x∂y ∂ξ ∂η ∂ξ ∂ξ∂η ∂η
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在导数的坐标变换公式中涉及到下列坐标变换系数： ξx，ξy，ηx，ηy。这 些系数称为坐标变换公式（1）对应的度量系数（metrics）。我们看到，为 了求解计算平面中的偏微分方程，如（5）式，必须确定度量系数（有时还 包括ξxx，ξxy，ξyy，ηxx，ηxy，ηyy，等）的离散值。那么，这些度量系数如何 计算呢？由于一般情况下，我们只知道坐标变换关系（1）、（2）的离散
微分方程变换 同样推导 不好离散 其中 若物理平面边界点确定如下：
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离散方程 其中
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（*）
其中
当物理平面求解域边界的网格点坐标已经确定时，（*）式是 封闭的，可以解出xi, j, yi, j。由于（ * ）式是一个非线性方程 (主要是ai,j)，我们只能用迭代法求解：
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首先给定边界网格坐标（已知量） ，并给
ξ = ξ ( x, y ) （1） η = η ( x, y )
x = x(ξ ,η )
y = y(ξ ,η )
（2）
如果我们知道了这一变换关系，流体力学方程可以在计算平面中，用矩形 区域均匀网格下的有限差分方法求解。显然，这将简化数值计算方法的构 造和计算程序的编制
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结构网格原理
1、控制方程的变换 由于计算是在计算平面上进行的,需要把关于(x,y) 的控制方程变换到(ξ, η)的控制方程. 2、计算区域的变换 为把计算结果映射到物理平面上,需要知道物理平 面和计算平面之间的映射关系.
成的区域。我们可以定义下面的变换关系：
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计算平面边界和物理平面边界的对应关系为：
则计算平面 网格划分：
内点关系：22来自得贴体网格划分：23若变换关系为：
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应该指出上面给出的例子是非常简单的情况。针对更 复杂的情形，变换关系式中的代数关系可以为分段函 数或者由某种插值方法确定的函数关系。目前，代数 网格生成方法已经发展到比较完善的程度。大部分交 互式网格生成商业软件均采用代数方法作为其基本方 法。代数网格生成方法的优点是方便灵活，可以较好 的控制网格的分布；其缺点是通用性差，自动化程度 不高，需要较多的人工干预，有时网格的质量较差。
表达式，度量系数一般也要通过有限差分方法近似计算。但是，直接构造 度量系数的差分近似是不容易的。以下图为例，根据偏导数的意义， ξ x为 y保持不变时ξ随x的变化，如图1所示，网格点处的的计算公式应为
过插值方法确定
由于Q一般不是网格点，因 此, xQ，ξQ是未知的，只能通
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另一方面，我们可以定义逆变换（2）式的度量系数xξ , xη, yξ, yη 。一旦网 格划分后，在贴体坐标系ξ,η中，这些度量系数的有限差分离散非常简单。 如果采用中心差分离散，有
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实例二、基于微分方程数值解的网格生成方法
我们首先介绍网格质量的概念。差分格式多采用的是直角坐标系 中的矩形网格。矩形网格中两族坐标线是正交的。理论分析和数 值实验均表明，在贴体坐标系中，正交网格下差分格式的计算效 果要优于非正交网格。当然，在某些情况下（如图1所示的求解 域，网格不可能完全正交，此时我们要求两族网格线的夹角尽量 接近90度。也就是说，高质量的网格是尽量正交的网格。在上节， 我们看到，度量系数一般通过有限差分方法计算，而有限差分方 法要求函数是充分光滑的。所以，高质量的网格还应该是充分光 滑的网格。
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贴体网格生成步骤 1）任意给定Δξ，Δη，ξmin和ηmin，并给定ξ，η方 向的网格点数 Mx+1，My+1 。则在(ξ,η) 平面， 网格点的坐标为： 这样，我们就得到了计算平面(ξ, η) 上的网格形状， 它是矩形区域的均匀网格。 2) 画出物理平面求解域的边界。 3）建立计算平面求解域边界和物理平面求解 域边界的对应关系。
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结构网格原理
物理平面 (x,y) 贴体网格
1.4 1.2 1
计算平面 (ξ, η) 均匀网格
0 0.5 1
0.8
0.6
0.4
在物理平面x,y（或空间）中，贴体网格一般是非均匀的。为了更好的模拟 如边界层等流动参数变化剧烈的区域中的流动，我们往往希望这些区域的 网格较密。但是，从有限差分方法的构造和实施上看，均匀网格更加简单。 注意到，贴体网格可以看作由任意曲线坐标(ξ, η) 的坐标线组成的网格， 这个任意曲线坐标和直角坐标系（笛卡儿坐标系）之间应该是一一对应的。 在CFD中，我们往往要寻找一个(ξ, η) 和(x, y) 之间的变换关系
把导数的变换关系代入微分方程，就可以得到微分方程在计 算平面中的形式。以直角坐标系中的Laplace方程为例：
∂ 2φ ∂ 2φ + 2 =0 2 ∂x ∂y
2 2 ∂ 2φ ∂ φ ∂ φ 2 2 2 2 [( ) ( ) ] 2 [ ] [( ) ( ) ] ξ + ξ + ξ η + ξ η + η + η x y x x y y x y 2 2 ∂ξ ∂ξ∂η ∂η （5） ∂φ ∂φ (ξ xx + ξ yy ) + (η xx + η yy ) = 0 + ∂ξ ∂η
因此，一般先数值求得以上度量系数xξ 等，然后通过逆变换求得控制方程中的度量系数ξ x
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(1) (2)
(1)
(3)
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(2)
(4)
上面四个关系中，只有三个是独立的[(3)(4)相同]，写成矩 阵形式，有
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同理
只要坐标变换关系（网格）确定，度量系数就确定：
2 2 ∂ 2φ ∂ φ ∂ φ 2 2 2 2 ξ ξ ξ η ξ η η η [( ) ( ) ] 2 [ ] [( ) ( ) ] + + + + + x y x x y y x y 2 2 ∂η ∂ξ ∂ξ∂η ∂φ ∂φ (ξ xx + ξ yy ) + (η xx + η yy ) = 0 + ∂ξ ∂η 从而可以在计算平面内离散以上控制方程，进行数值计算
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反过来，满足laplace方程并不一定是保形映射。 因此，我们可以用 Laplace 方程作为网格生成的 出发方程。显然 一般情况下，以上两式并不等 价，所以生成的网格不一定是正交的。但由于 Laplace 方程是椭 型方程，(x, y) (ξ, η) 和之间的 变换是光滑的和一一对应的。
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锯齿形 台阶形
画密一些 结果影响
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结构网格 为了解决这些问题，一个常用的方法是 采用所谓“贴体网格”。贴体网格可以看 作由任意曲线坐标的坐标线组成的网格。
1.4
剪开/拉伸1.2
1
0.8
0.6
0.4 0 0.5 1
映射
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结构网格
（1）H型网格
加密
加密
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结构网格
（4）多块网格
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非结构网格
（5）非结构网格。一般用于有限元或有限体积方法
∇ 2ξ = P ∇ 2η = 0
P = − a ⋅ sgn(η − ηj ) ⋅ e