《函数的最大与最小值》教案(优质课)
《函数的最大值和最小值》教案教学设计
《函数的最大值和最小值》教学设计函数的最大值和最小值【教学目标】一、理解函数的最大（小）值的意义，掌握求函数最大（小）值的方法；并能解决一些实际问题；二、加深对求最值问题意义的认识，提高分析问题和解决问题的能力；三、数学应用于实践，推动社会不断进步，激发学习动力，学会数学地思考；四、体验数学应用广泛性，培养学好数学的信念。
【教学重点难点】1、利用函数单调性求函数最值的方法。
2、求一些实际问题的最大值与最小值。
【教具使用】直尺【课时安排】1课时【教学过程】一、知识回顾，设置情境，引入课题由于前面两节课我们讲了函数单调性和函数单调性的证明口述（老师和学生一起）：我们规定在函数定义域内的某个区间D上，任意x1<x2,我们只需要判断f(x1)与f(x2)大小？板书：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，1、如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数, 区间D称为函数f(x)的单调增区间.2、如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1) >f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数, 区间D称为函数f(x)的单调减区间.3、画出前面例1的函数图像让他们观察y值的最高点与最低点，引出课题—1.3.2（2）函数最大（小）值（给学生3分钟看今天需要讲解的教材）二、新课讲解让学生先自己在草稿本上画y=-x2+9的函数图像，老师在黑板上画出图像并讲解要点，观察图像得出最大值存在的两个条件，给出函数最大值定义一般地，在函数y=f(x)的定义域I内，满足：⨯⨯≈⨯24(-4.9)18-14.7h =294(-4.9)2∈f(x)=(x [2,6])x -1212112121212(x -2)-(x -2)x -x 11f(x )-f(x )=-==x -2x -2(x -2)(x -2)(x -2)(x -2)26≤≤≤12x x ,1221x -x >0,(x -2)(x -2)>0,12f(x )-f(x )>012f(x )>f(x )（1） 对于x ∈I ，有f(x)≤M（2） 存在x 0∈I ，使得f(x 0)=M此时称M 为f(x)的最大值，并记作：f(x)max让学生画出y=x 2的函数图像并探究出最小值的定义（板书如下）一般地，在函数y=f(x)的定义域I 内，满足：（1） 对于x ∈I ，有f(x)≥N（2） 存在x 0∈I ，使得f(x 0)=N此时称N 为f(x)的最小值，并记作：f(x)min三、例题讲解、训练例1 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般期望它在最高点时爆炸。
《函数的最大(小)值与导数》参考教案
《函数的最大(小)值与导数》参考教案一、教学目标1. 让学生理解函数的最大值和最小值的概念，并掌握求解函数最大值和最小值的方法。
2. 让学生掌握导数的定义和性质，并能运用导数求解函数的极值。
3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 函数的最大值和最小值的概念。
2. 求解函数最大值和最小值的方法。
3. 导数的定义和性质。
4. 运用导数求解函数的极值。
5. 实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的最大值和最小值的求解方法，导数的定义和性质，运用导数求解函数的极值。
2. 教学难点：导数的运算规则，运用导数求解复杂函数的最大值和最小值。
四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的教学方法。
2. 使用多媒体课件辅助教学，提高学生的学习兴趣。
3. 引导学生通过合作、探究、实践等方式，提高解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引入函数的最大值和最小值的概念。
2. 讲解：讲解求解函数最大值和最小值的方法，并举例演示。
3. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
4. 讲解：讲解导数的定义和性质，并举例演示。
5. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
6. 讲解：讲解如何运用导数求解函数的极值，并举例演示。
7. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。
8. 讨论：分组讨论实际问题，运用所学知识解决问题。
9. 总结：对本节课的内容进行总结，回答学生提出的问题。
10. 作业：布置作业，巩固所学知识。
六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 练习题：评估学生在练习题中的表现，检验学生对知识的掌握程度。
3. 实际问题解决：评估学生在讨论实际问题时的表现，检验学生运用知识解决问题的能力。
4. 作业：评估学生的作业完成情况，检验学生对知识的掌握程度。
七、教学资源1. 教材：《数学分析》2. 多媒体课件3. 练习题4. 实际问题案例八、教学进度安排1. 第一课时：介绍函数的最大值和最小值的概念，讲解求解方法。
函数的最大值和最小值教案
函数的最大值和最小值教案1. 引言在数学中，我们经常需要找到一个函数在特定区间内的最大值和最小值。
这对于优化问题和求解约束条件非常重要。
本教案将介绍如何找到函数在给定区间内的最大值和最小值。
我们将使用导数的概念和相关的数学技巧来解决这个问题。
2. 导数和极值点在介绍如何找到函数的最大值和最小值之前，首先需要了解导数的概念和相关术语。
导数描述了函数在某一点上的变化率。
设函数为f(x)，则f′(x)表示函数f(x)的导数。
如果函数在某点x=a的导数f′(a)为零或未定义，那么该点称为函数的极值点。
如果导数在某个点x=a处变号，即从正数变为负数或从负数变为正数，则该点是函数的极值点。
3. 寻找函数的最大值和最小值要找到函数在给定区间内的最大值和最小值，我们可以按照以下步骤进行：步骤 1：计算函数的导数首先，我们需要计算函数f(x)的导数f′(x)。
步骤 2：找到导数为零或未定义的点在给定的区间内，我们找到所有导数f′(x)为零或未定义的点。
这些点可能是函数的最大值和最小值的候选点。
步骤 3：检查极值点对于在步骤 2 中找到的候选点，我们需要检查这些点是否是函数的极值点。
通过求导数f′(x)的符号来判断：•如果导数的符号从正变为负，则该点是函数的极大值点，对应函数的最大值。
•如果导数的符号从负变为正，则该点是函数的极小值点，对应函数的最小值。
步骤 4：检查区间端点我们还需要检查给定区间的端点，即区间的最左侧和最右侧。
这些点也可以是函数的最大值和最小值的候选点。
步骤 5：找出最大值和最小值通过比较候选点和区间端点的函数值，我们可以找到函数在给定区间内的最大值和最小值。
4. 示例让我们通过一个示例来说明如何找到函数在给定区间内的最大值和最小值。
假设我们要找到函数f(x)=x2−4x+3在区间[0,4]内的最大值和最小值。
步骤 1：计算函数的导数计算f′(x)：f'(x) = 2x - 4步骤 2：找到导数为零或未定义的点解方程2x−4=0，我们得到x=2。
【公开课教案】《函数的最大值和最小值》教学设计
函数的最大值和最小值三维目标：⒈ 知识与技能：理解函数的最大值和最小值的概念，了解函数最值与极值的联系与区别，会用导数求在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大或最小；⒉ 过程与方法：通过函数图像的直观，让学生发现函数极值与最值间的联关，掌握利用导数求函数最值的方法和步骤⒊ 情感、态度与价值观：渗透数形结合的思想，体会导数在求函数最值中的优越性，优化学生的思维品质，教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法．教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．教学过程：一、复习引入：1.当函数f(x)在X0处连续时,判别f(x0)是极大(小)值的方法是:①如果在x0附近的左侧 0)(/>x f 右侧 0)(/<x f ,那么,f(x0)是极大值;②如果在x0附近的左侧0)(/<x f 右侧 0)(/>x f ,那么,f(x0)是极小值.2.注意以下几点：（1）极值是一个局部概念并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 （2即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f （4）函数的极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.二、讲解新课：1.函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值．说明：⑴在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值；⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．⑶函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可 ⒉利用导数求函数的最值步骤:由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值三、讲解范例：例1:求函数f(x)=x 4-2x 2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值.例2求函数f(x) =21x+sinx , x ∈[0, 2π]的最值。
函数的最大值和最小值教案
函数的最大值和最小值教案一、教学目标1. 理解函数最大值和最小值的概念。
2. 学会使用导数和图像来求解函数的最大值和最小值。
3. 能够应用函数最大值和最小值解决实际问题。
二、教学内容1. 函数最大值和最小值的定义。
2. 利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 利用图像求函数最大值和最小值的方法。
4. 实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：函数最大值和最小值的概念，求解方法及实际应用。
2. 教学难点：利用导数和图像求解函数最大值和最小值的方法。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解函数最大值和最小值的概念及求解方法。
2. 使用案例分析法分析实际问题中的应用。
3. 利用数形结合法讲解利用图像求解函数最大值和最小值的方法。
五、教学准备1. 教学课件：包含函数最大值和最小值的概念、求解方法及实际应用。
2. 案例分析：选取几个实际问题进行分析。
3. 数形结合：准备函数图像，用于讲解求解方法。
六、教学过程1. 引入新课：通过复习导数的概念和性质，引导学生思考如何利用导数求解函数的最值。
2. 讲解函数最大值和最小值的定义，解释其在数学和实际应用中的重要性。
3. 分步讲解利用导数求解函数最值的方法，包括：a. 确定函数的单调区间b. 找到导数为零的点c. 判断极值点是最大值还是最小值4. 通过案例分析，让学生练习利用导数求解函数最值，并讨论解题过程中的关键步骤。
七、案例分析1. 分析案例一：给定函数f(x) = x^2 4x + 5，引导学生利用导数求解最值。
2. 分析案例二：给定函数g(x) = (x 1)^2 + 3，引导学生利用导数求解最值。
3. 学生分组讨论，分享解题过程和结果，教师点评并总结。
八、图像分析1. 利用计算机软件或板书，绘制函数f(x) = x^2 4x + 5和g(x) = (x 1)^2 + 3的图像。
2. 引导学生观察图像，找出函数的局部最大值和最小值。
3. 解释图像分析与导数求解之间的关系，强调数形结合的重要性。
(完整word版)函数的最大值与最小值教案
§1.3 函数的最大值与最小值(第1课时)泰和中学 胡常达【教学目标】1．使学生理解函数的最大值、最小值的概念，并能正确把握最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系．2．使学生初步掌握求函数最大值、最小值的方法与步骤．【教学重点】最大值、最小值概念，求函数最大值、最小值的方法。
【教学难点】闭区间[a,b]上连续函数的最值定理。
【教学方法】发现式教学法，通过引入实例，进而对实例的分析，发现并抽象出普遍规律，这一点与上一堂完全一样。
【授课类型】新授课【教 具】多媒体、实物投影仪【教学过程】一、复习引入：1．求可导函数f(x)极值的步骤：(1) 确定函数的定义域； (2)求导数f ’(x)； (3)求方程f ’(x ）=0的根；(4)把定义域划分为部分区间，并列成表格，检查f ’(x)在方程根左右的符号 ①如果左正右负（+ ~ -）， 那么f(x)在这个根处取得极大值②如果左负右正（- ~ +）， 那么f(x)在这个根处取得极小值；2．连续函数的最大值和最小值定理如果f(x)是闭区间[a , b]上的连续函数，那么f(x)在闭区间 [a , b]上有最大值和最小值。
注： 我们只考虑在闭区间[a ，b]上连续的，并且在开区间(a ，b)内可导的函数．如果将这一前提条件设为“在开区间(a ，b)上连续可导的函数”，那么，会出现什么情况呢？如图图(1)中的函数y=f(x)在(a ，b)上有最大值而无最小直；图(2)中的函数y=f(x)在(a ，b)上有最小值而无最大值；图(3)中的函数y=f(x)在(a ，b)上既无最大值也无最小值；图(4)中的函数y=f(x)在(a ，b)上有最大值也有最小值．二、讲授新课观察下图一个定义在区间[a,b]上的函数f(x)的图象问：①何处取得极大(小)值？能在x=a,x=b 处取得极大(小)值吗？②何处取得最大(小)值？最大(小)值可以怎样定义？③一般地,极值与最值有何区别？最值处是否一定取得极值？极值处是否一定取得最值？④一般地，最大(小)值可以在何处取得？1．最值的定义：可导函数f(x)在闭区间[a ，b]上的一切点(包括端点a ，b)处的函数值中的最大值(最小值)，叫做函数f(x)的最大值(最小值)．2．函数的最值与极值的区别与联系：(1)函数的最值(最大值、最小值)是整体性概念，函数的极值(极大值、极小值)是局部性概念．(2)一个函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个；而极大值、极小值可能有两个以上．(3)可导函数的极大值、极小值不一定是最大值、最小值，但在定义区间内部(端点除外)的最大值、最小值一定是极大值、极小值．如上图3－15所示，f(x1)是最小值，也是极小值．3．求f(x)在[a , b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求 f(x) 在（a , b ）内的极值；（2）将f(x)的各极值与f(a) ，f(b)比较 ；最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
函数的极值-最大值与最小值省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
(2) 找出f (x)的所有驻点和f (x)不存在的点
x1,, xk .
(3) 鉴定每个驻点和导数不存在旳点
xi (i 1,2,, k) 两侧(在xi 较小旳邻域内)
f (x)旳符号, 依定理鉴定xi 是否为f(x)旳 极值点.
例1.求y 3x4 8x3 6x2的极值与极值点.
令 0, 得驻点 x 2.4 (0, )
根据问题旳实际意义, 观察者最佳站位存在, 驻点 又唯一, 所以他站在距墙 2.4 m 处看图最清楚 .
特殊情况下旳最大值与最小值: 若 f(x)在一区间(有限或无限 开或闭)内可导且
有且只有一种驻点x0 则： 当f(x0)是极大值时 f(x0)就是f(x)在该区间上旳
可导 且
(2) 令f (x)0 得驻点x1 x1为不可导点 (3) 列表判断
x ( 1) 1 (1 1) 1 (1 )
f (x) 不可导 0
f(x) ↗
0
↘
↗
定理3 (第二充分条件) 设函数f(x)在点x0处 具有二阶导数, 且 f (x0 ) 0, f (x0 ) 0, 则
(1)当f (x0 ) 0时，x0为f (x)的极大值点，
例4. 求 y 2x3 3x2 12x 14 在 [3,4] 上旳最大值与最小值. 解: y 6x2 6x 12 6(x 2)(x 1),
令 y 0, 得驻点 x1 2, x2 1.
因为
f (3) 23, f (2) 34, f (1) 7, f (4) 142,
所以
M max{ f (3), f (2), f (1), f (4)} f (4) 142,
极小值, 称 x0为f(x)旳极小值点；
函数的最大值和最小值教案
函数的最大值和最小值教案一、教学目标1. 让学生理解函数最大值和最小值的概念。
2. 让学生掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 函数最大值和最小值的概念。
2. 利用导数求函数最大值和最小值的方法。
三、教学重点与难点1. 教学重点：函数最大值和最小值的概念，利用导数求函数最大值和最小值的方法。
2. 教学难点：利用导数求函数最大值和最小值的方法。
四、教学方法1. 采用讲解法，引导学生理解函数最大值和最小值的概念。
2. 采用案例分析法，让学生通过实际案例掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 采用练习法，巩固学生对函数最大值和最小值的求解能力。
五、教学准备1. 教学课件。
2. 相关案例题。
3. 粉笔、黑板。
教案内容：一、导入（5分钟）1. 引入函数最大值和最小值的概念。
二、新课讲解（15分钟）1. 讲解函数最大值和最小值的概念。
2. 讲解利用导数求函数最大值和最小值的方法。
3. 通过案例分析，让学生理解并掌握利用导数求函数最大值和最小值的方法。
三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成相关案例题，巩固所学知识。
四、课堂小结（5分钟）1. 总结本节课所学内容，强调函数最大值和最小值的概念及求解方法。
五、作业布置（5分钟）1. 布置相关作业，巩固学生对函数最大值和最小值的求解能力。
六、教学拓展（10分钟）1. 讲解函数在区间上的最大值和最小值的存在性定理。
2. 介绍利用拉格朗日中值定理和柯西中值定理证明函数最大值和最小值的存在性。
七、实际应用（10分钟）1. 介绍函数最大值和最小值在实际问题中的应用，如最优化问题、经济管理问题等。
2. 让学生举例说明函数最大值和最小值在实际问题中的应用。
八、课堂互动（10分钟）1. 学生分组讨论：如何求解多元函数的最大值和最小值。
2. 各组汇报讨论成果，教师点评并总结。
九、总结与反思（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学内容，总结函数最大值和最小值的求解方法。
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《函数的最大与最小值》教案
【教学目标】：
1、使学生掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值；
2、使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法 【教学重点】：掌握用导数求函数的极值及最值的方法
【教学难点】：提高“用导数求函数的极值及最值”的应用能力 【教学过程】 一、复习： 1、()
___________/
=n
x ；2、[]_____________)()(/
=±⋅x g x f C
3、求y=x 3—27x 的 极值。
二、新课
在某些问题中，往往关心的是函数在一个定义区间上，哪个值最大，哪个值最小 观察下面一个定义在区间[]b a ,上的函数)(x f y =的图象
发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间[]b a ,上的函数
)(x f y =的最大值是______，最小值是
_______
x
在区间 []b a ,上求函数 )(x f y =的最大值与最小值 的步骤： 1、函数 )(x f y =在),(b a 内有导数．．． ；． 2、求函数 )(x f y =在),(b a 内的极值
3、将．函数)(x f y =在),(b a 内的极值与)(),(b f a f 比较，其中最大的一个为最大值 ，最小的一个为最小值
三、例题
例1、求函数5224+-=x x y 在区间[]2,2-上的最大值与最小值。
解：先求导数，得x x y 443/-=
令/y ＝0即0443=-x x 解得1,0,1321==-=x x x 导数/y 的正负以及)2(-f ，)2(f 如下表
从上表知，当2±=x 时，函数有最大值13，当1±=x 时，函数有最小值4 在日常生活中，常常会遇到什么条件下可以使材料最省，时间最少，效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题。
例2 用边长为60CM 的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成，问水箱底边的长取多少时，水箱容积最大，最大容积是多少？
例3、已知某商品生产成本C 与产量P 的函数关系为C ＝100＋4P ，价格R 与产量P 的函数关系为R ＝25－0.125P ，求产量P 为何值时，利润L 最大。
四、小结：
1、闭区间[]b a ,上的连续函数一定有最值；开区间),(b a 内的可导函数 不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。
2、函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个。
3、在解决实际应用问题中，关键在于建立数学模型和目标函数；如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值进行比较。
五、练习及作业：：
1、函数452+-=x x y 在区间[]1,1-上的最大值与最小值
2、求函数33x x y -=在区间[]
3,3-上的最大值与最小值。
3、求函数5224+-=x x y 在区间[]2,2-上的最大值与最小值。
4、求函数155345+++=x x x y 在区间[]4,1-上的最大值与最小值。
5、给出下面四个命题
（1）函数452+-=x x y 在区间[]1,1-上的最大值为10，最小值为－
4
9 （2）函数1422+-=x x y （2＜X ＜4）上的最大值为17，最小值为1 （3）函数x x y 123-=（－3＜X ＜3）上的最大值为16 ， 最小值为－16 （4）函数x x y 123-=（－2＜X ＜2）上 无 最大值 也无 最小值。
其中正确的命题有＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
6、把长度为L CM 的线段分成四段，围成一个矩形，问怎样分法，所围成矩形的面积最大。
7、把长度为L CM 的线段分成二段，围成一个正方形，问怎样分法，所围成正方形的面积最小。
8、某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件X 元出售，可以卖出(200-X)件，应该如何定价才能使利润L 最大？
9、在曲线Y=1—X 2(X ≥0，Y ≥0)上找一点了(00,y x )，过此点作一切线，与X 、Y 轴构成一个三角形，问X 0为何值时，此三角形面积最小？
10、要设计一个容积为V 的圆柱形水池，已知底的单位面积造价是侧面的单位面积造价
的一半，问：如何设计水池的底半径和高，才能使总造价最少？(提示：2/
11x x -=⎪⎭
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