相对相称—对称分析法
物理解题技巧高中对称法
物理解题技巧高中对称法物理解题技巧高中自然界和自然科学中，普遍存在着优美和谐的对称现象.对称性就是事物在变化时存在的某种不变性.物理中对称现象比比皆是，对称的结构、对称的作用、对称的电路、对称的物和像等等.一般情况下对称表现为研究对象在结构上的对称性、物理过程在时间上和空间上的对称性、物理量在分布上的对称性及作用效果的对称性等.利用对称性解题时有时能一眼看出答案，大大简化解题步骤.从科学思维方法的角度来讲，对称性最突出的功能是启迪和培养学生的直觉思维能力.用对称性解题的关键是敏锐地看出并抓住事物在某一方面的对称性，这些对称性往往就是通往答案的捷径.静力学问题解题的思路和方法确定研究对象：并将“对象”隔离出来-。
必要时应转换研究对象。
这种转换，一种情况是换为另一物体，一种情况是包括原“对象”只是扩大范围，将另一物体包括进来。
分析“对象”受到的外力，而且分析“原始力”，不要边分析，边处理力。
以受力图表示。
根据情况处理力，或用平行四边形法则，或用三角形法则，或用正交分解法则，提高力合成、分解的目的性，减少盲目性。
对于平衡问题，应用平衡条件∑F＝0，∑M＝0，列方程求解，而后讨论。
认识物体的平衡及平衡条件对于质点而言，若该质点在力的作用下保持静止或匀速直线运动，即加速度为零，则称为平衡，欲使质点平衡须有∑F＝0。
若将各力正交分解则有：∑FX＝0，∑FY＝0。
这里应该指出的是物体在三个力(非平行力)作用下平衡时，据∑F＝0可以引伸得出以下结论：这三个力矢量组成封闭三角形。
任何两个力的合力必定与第三个力等值反向。
对物体受力的分析及步骤明确研究对象分析物体或结点受力的个数和方向，如果是连结体或重叠体，则用“隔离法”作图时力较大的力线亦相应长些每个力标出相应的符号(有力必有名)，用英文字母表示用正交分解法解题列动力学方程受力不平衡时一些物体的受力特征：轻杆或弹簧对物体可以有压力或者拉力。
绳子或橡皮筋可受拉力不能受压力，同一绳放在光滑滑轮或光滑挂钩上，两侧绳子受力大小相等，当三段以上绳子在交点打结时，各段绳受力大小一般不相等。
方法24 对称分析法-高考物理选择题技法
方法24 对称分析法，思维化简物理中对称现象比比皆是，对称表现为研究对象在结构上的对称性、作用上的对称性，物理过程在时间和空间上的对称性，物理量在分布上的对称性及作用效果的对称性等．物理解题中的对称法，就是从对称性的角度去分析物理过程，利用对称性解决物理问题的方法．例题1：(多选)如图所示，在两个等量正电荷连线的中垂线上取A 、B 、C 、D 四点，A 、D 两点与B 、C 两点均关于O 点对称．A 、B 、C 、D 四点电场强度大小分别为E A 、E B 、E C 、E D ，电势分别为φA 、φB 、φC 、φD ，则下列说法中正确的是( )A ．E A ＝E D ，φA ＞φBB ．一定有E A ＞E B 、φB ＞φAC ．一定有φA ＝φD 、φB ＝φCD ．可能有E D ＞E C ，一定有φB ＞φD例题2：(2018·全国Ⅱ卷·T 20)如图，纸面内有两条互相垂直的长直绝缘导线L 1、L 2，L 1中的电流方向向左，L 2中的电流方向向上；L 1的正上方有a 、b 两点，它们相对于L 2对称。
整个系统处于匀强外磁场中，外磁场的磁感应强度大小为B 0，方向垂直于纸面向外。
已知a 、b 两点的磁感应强度大小分别为13B 0和12B 0，方向也垂直于纸面向外。
则( )A ．流经L 1的电流在b 点产生的磁感应强度大小为712B 0 B ．流经L 1的电流在a 点产生的磁感应强度大小为112B 0C ．流经L 2的电流在b 点产生的磁感应强度大小为112B 0 D ．流经L 2的电流在a 点产生的磁感应强度大小为712B 0 例题3：如图所示，带电荷量为－q 的均匀带电半球壳的半径为R ，CD 为通过半球顶点C 与球心O 的轴线，P 、Q 为CD 轴上在O 点两侧离O 点距离相等的两点。
已知均匀带电球壳内部电场强度处处为零，电势都相等。
则下列判断正确的是( )A ．P 、Q 两点的电势、电场强度均相同B ．P 、Q 两点的电势不同，电场强度相同C ．P 、Q 两点的电势相同，电场强度等大反向D ．在Q 点由静止释放一带负电的微粒(重力不计)，微粒将做匀加速直线运动例题4：(2010·全国卷Ⅰ·21)一简谐振子沿x 轴振动，平衡位置在坐标原点．t ＝0时刻振子的位移x＝－0.1 m ；t ＝43s 时刻x ＝0.1 m ；t ＝4 s 时刻x ＝0.1 m ．该振子的振幅和周期可能为( ) A ．0.1 m ，83s B ．0.1 m ，8 s C ．0.2 m ，83 s D ．0.2 m ，8 s例题5： (2019·海南高考)如图，一段半圆形粗铜线固定在绝缘水平桌面(纸面)上，铜线所在空间有一匀强磁场，磁场方向竖直向下。
国际金融00076第一章国际收支大纲笔记
自考金融（专升本）国际金融（课程代码00076）笔记第一章国际收支一、国际收支与国际收支平衡表1.【识记部分】（1）国际收支：是特定时期内一个经济体（或国家、地区）居民与非居民之间全部经济交易的系统记录，它反映了一个经济体与其他经济体之间发生的进出口贸易、投融资往来等各类经济交易的经济过程，以及对外金融资产负债的存量变化。
（2）国际收支平衡表：是一国对一定时期（一年、半年、一个季度、一个月）内的国际经济交易，根据交易的特征和经济分析的需要，分类设置账户，并以复式记账原则进行系统记录的报表。
（3）经常账户显示的是国际收支平衡表中最基本、最重要的账户类别，记录的是居民与非居民之间货物、服务、初次收入和二次收入的流量。
包括货物、服务、初次收入和二次收入四个子账户。
（4）资本和金融账户反映了金融资产在不同经济体之间的转移，也就是国际资本的流动，包括资本账户和金融账户。
输入本国记贷方，输出本国记借方。
2.【领会部分】（1）国际收支的特征：国际收支具有以下几个方面的特征：①国际收支记载的是一个经济体居民与非居民之间发生的经济交易。
强调的是居民与非居民之间的交易，同一个经济体的居民之间的交易不属于国际收支，参与者不同经济体的居民，不是公民。
②国际收支是在特定时期内经济交易的系统的货币记录。
③国际收支是一个流量概念，不是存量概念。
（2）国际收支平衡表的编制原则：①复式记账原理；②权责发生制原则；③市场价格原则；④单一货币原则。
3.【简单应用】国际收支平衡表的结构：基于国际货币基金组织出版的《国际收支和国际投资头寸手册（第六版）》的规定，国际收支平衡表一般包括经常账户、资本与金融账户以及误差与遗漏净额三个部分。
①经常账户，包括货物、服务、初次收入和二次收入四个子账户。
②资本与金融账户，包括资本账户和金融账户两个子账户。
资本账户有本科非生产、非金融资产的取得/处置、资本转移；金融账户又包括直接投资、证券投资、金融衍生品（储备除外）和雇员认股权、其他投资以及储备资产。
八年级：相对对称——对称分析法
专题26 相对相称—对称分析法阅读与思考当代美国数学家赫尔曼·韦尔指出：对称尽管你可以规定其含义或宽或窄，然而从古到今都是人们用来理解和创造秩序、美妙以及尽善尽美的一种思想. 许多数学问题所涉及的对象具有对称性（不仅包括几何图形中的对称，而且泛指某些对象在某些方面如图形、关系、地位等彼此相对又相称）. 对称分析法就是在解题时，充分利用自身条件的某些对称性辅助解题的一种分析方法，初中阶段主要研究下面两种类型的对称：1.代数中的对称式如果把一个多项式的任意两个字母互换后，所得的多项式不变就称这个多项式为对称式，对称式的本质反应的是多元多项式中字母地位相同，任何一个复杂的二元对称式，都可以用最简单对称多项式b a +，ab 表示，一些对称式的代数问题，常用最简对称式表示将问题解决.2.几何图形的对称几何图形的对称指的是轴对称和中心对称，一些几何问题，如果我们作出图形的对称轴，或者作出已知点关于某线（某点）的对称点，构造出轴对称图形、中心对称图形，那么就能将分散的条件集中起来，容易找到解题途径.例题与求解【例l 】如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N分别是边AB ，BC 的中点，则PM +PN 的最小值是 . (荆门市中考试题)解题思路：作M 关于AC 的对称点M '，连MN 交AC 于点P ，则PM +PN 的值最小.BCA【例2】已知a ，b 均为正数，且2=+b a ，求W =1422+++b a 的最小值.（北京市竞赛试题）解题思路：用代数的方法求W 的最小值较繁，22b a +的几何意义是以a ，b 为边的直角三角形的斜边长，构造图形，运用对称分析法求出W 的最小值.【例3】已知11122=-+-a b b a ，求证：122=+b a （四川省竞赛试题） 解题思路：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是：乘方、配方、换元和引入有理化因式，引入与已知等式地位相对相称的有理化因式，本例可获得简证．【例4】 如图，凸四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，且AC ⊥BD ，已知OA ＞OC ，OB ＞OD ， 求证：BC ＋AD ＞AB ＋CD .（“祖冲之杯”邀请赛试题） 解题思路：解题的关键是将有关线段集中到同一三角形中去，以便运用三角形三边关系定理，以AC 为对称轴，将部分图形翻折．DBC【例5】如图，矩形ABCD 中，AB ＝20厘米，BC ＝10厘米，若在AC 、AB 上各取一点M ，N ，使BM ＋MN 的值最小，求这个最小值. （北京市竞赛试题）解题思路：要使BM ＋MN 的值最小，应该设法将折线BM ＋MN 拉直，不妨从作出B 点关于AC 的对称点入手.A N能力训练1.如图，六边形ABCDEF 是轴对称图形，CF 所在的直线是它的对称轴. 若∠AFC ＋∠BCF ＝0150，则∠AFE ＋∠BCD 的大小是 . (武汉市中考试题)A BO(第1题图) （第2题图） （第3题图）2.如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝2，点E 在BC 上，且AE ＝EC ，若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在AC 上，则AC 的长是 .(济南市中考试题) 3. 如图，∠AOB ＝045，P 是∠AOB 内一点，PO ＝10，Q ，P 分别是OA 、OB 上的动点，则△PQR 周长最小值是 .4. 比6)56(+大的最小整数是 . （西安交通大学少年班入学试题） 5.如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 在BC 上，且BE ＝2，P 在BD 上，则PE ＋PC 的最小值为（ ）. A ．32 B ．13 C ．14 D ．15 6. 观察下列平面图形，其中是轴对称图形的有( ) .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个(南京市中考试题)7.如图，一个牧童在小河南4英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋西8英里北7英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事情所走的最短距离是（ ）. A ．)1854(+英里 B ．16英里 C ．17英里 D ．18英里（美国中学生竞赛试题）AE P(第5题图) （第7题图）（第8题图）8.如图，等边△ABC的边长为2，M为AB中点，P为BC上的点，设P A＋PM的最大值和最小值分别为S和L，则22LS-等于（）A．24B．34C．23D．339.一束光线经三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中字母表示相应的度数，已知c=060，求ed+与x的值. （江苏省竞赛试题）10. 求代数式9)12(422+-++xx的最小值.（“希望杯”邀请赛试题）11. 在一平直河岸l 同侧有A B ，两个村庄，A B ，到l 的距离分别是3km 和2km ，km AB a =(1)a >．现计划在河岸l 上建一抽水站P ，用输水管向两个村庄供水． 方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为1d ，且1(km)d PB BA =+（其中BP l ⊥于点P ）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为2d ，且2(km)d PA PB =+（其中点A '与点A 关于l 对称，A B '与l 交于点P ）． 观察计算（1）在方案一中，1d = km （用含a 的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算2d 的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，2d = km （用含a 的式子表示）． 探索归纳（1）① 当4a =时，比较大小：12_______d d （填“＞”、“＝”或“＜”）； ② 当6a =时，比较大小：12_______d d （填“＞”、“＝”或“＜”）；（2）对a （当1a >时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？(河北省中考试题)图1 图2图312．如图，已知平面直角坐标系中，A ，B 两点的坐标分别为A （2，－3），B （4，－1） （1）若P （x ，0）是x 轴上的一个动点，当△P AB 的周长最短时，求x 的值；（2）若C （a ，0），D （3+a ，0）是x 轴上的两个动点，当四边形ABDC 的周长最短时，求a 的值； （3）设M ，N 分别为x 轴和y 轴上的动点，问：是否存在这样的点M （m ，0）、N （0，n ），使四边形ABMN 的周长最短？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．x13.在△ABC 中，∠BAC ＝45°，AD ⊥BC 于D ，将△ABD 沿AB 所在的直线折叠，使点D 落在点E 处；将△ACD 沿AC 所在的直线折叠，使点D 落在点F 处，分别延长EB 、FC 使其交于点M ． （1）判断四边形AEMF 的形状，并给予证明； （2）若BD ＝1，CD ＝2，试求四边形AEMF 的面积．(宁夏中考试题)14. 阅读下列材料：小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD 中，AD ＝8cm ，AB ＝6cm ，现有一动点P 按下列方式在矩形内运动：它从A 点出发，沿着AB 边夹角为45︒的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变运动方向，沿着与这条边夹角为45︒的方向作直线运动，并且它一直按照这种方式不停地运动，即当P 点碰到BC 边，沿着BC 边夹角为45︒的方向作直线运动，当P 点碰到CD 边，再沿着与CD 边夹角为45︒的方向作直线运动…如图1所示，问P 点第一次与D 点重合前与边相碰几次，P 点第一次与D 点重合时所经过的路线的总长是多少？小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形ABCD沿直线CD折叠，得到矩形A1B1CD，由轴对称的知识，发现P2P3＝P2E，P1A＝P1E．请你参考小贝的思路解决下列问题：(1) P点第一次与D点重合前与边相碰次，P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是cm．(2) 进一步探究：改变矩形ABCD中AD、AB的长，且满足AD＞AB，动点P从A点出发，按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD相邻的两边上．若P点第一次与B点重合前与边相碰7次，则AB：AD的值为．。
对称分量法的运算口诀
对称分量法的运算口诀对称分量法是通过测量物体的总质量，求得其相对运动方向的一种求解方程的方法。
对称分量法在中学物理中经常用到，而常用的方法有两种：一种是求质量、二种是求速度。
前者适用于用方程，后者适用于用对称分量法解方程。
其中对称分量法主要适用于物理量（或物理量之间的关系）或物理量与质量之间的关系）之间关系的求解。
如果求解过程中有一定的误差，就需要进行必要的调整；如果求解结果不理想，也可以通过改变其相对应的测量值来进行调整。
因此，对称分量法有很多的应用范围，是高中物理学习中的一种常用方法。
一、适用范围例如：求出物体运动方向；或求出物体受力方向；或求出物体受到速度方向。
对称分量法求解的对象是运动物体，包括在静止状态下没有运动现象的物体；在运动状态下有静止现象的物体；在运动过程中出现过静动力且有过运动现象的物体；固体物体，如固体、液体物体等；惯性物质；在匀速时有恒定质量运动的物体，如匀变速直线运动物体；质量与运动方向有关的物体；在物体不运动时出现过运动现象的物体等。
对称分量法在中学物理教学中可用于以下内容：研究流体从静水状态到动水状态所经历的运动过程；研究固体中物体在无水状态或在有水状态下所受力不同所产生的力；研究流体向静稳状态运动所引起的物理现象；研究物体在运动过程中达到静稳状态所需满足的条件；研究物体从静止到运动过程中运动物体之间相等或不同两种状态之间的变化规律。
在学习高中物理教学中，对称分量法主要适用于求解一些偏解方程。
例如：求出某物理量与质量之间的关系、通过平衡状态和位移状态来求解偏方程、求出物体运动方向与速度方向可以用对称分量法等。
二、计算原理对称分量法中，被测物体总质量等于所测物体在重力作用下质量与所测物体相对运动方向对应点对应的面积乘以重力。
它的计算过程如下:(1)测量所测物体位置坐标;(2)利用相对运动定律求出物体相对运动方向;(3)若被测物体在重力作用下运动正确，则解出该绝对运动定律;(4)根据平衡方程的条件（公式: s= s),得到物体总质量等于所测物体在重力作用下的相对运动方向（即 r= s);(5)根据平衡方程求出物体相对运动方向（即 r=1/3 s);(6)将已知质量与所测速率相乘之后获得密度乘以被测表面积可以得到质点密度为 u: g;(7)若质点密度等于 u/g 并与被测物体所处位置坐标相乘则得到质点密度为 m/g;若质点密度小于 m/g且其位于重力作用下不被动位置上可得到质量为 u: g;(8)将已知质量与所测速率相乘之后得密度乘以所测速率即质量除以所测量点表面积即质量 e: g;(9)用此方法得到速度为 m/s。
对称法
x v0 t 1 2 y 2 gt
因为抛出点到落地点的距离为3s，抛出 点的高度为h代入后可解得：
g g v0 x 3s 2y 2h
例2.如图7—2所示，长为l的两块相同的均匀长方形砖块A 和B叠放在一起，A砖相对于B砖伸出l/5,B砖放在水平桌面 上，砖的端面与桌面平行. 为保持两砖不翻倒，B砖伸出 桌面的最大长度是多少？
例1：沿水平方向向一堵竖直光滑的墙壁抛出一个弹性小球A， 抛 出点离水生弹性碰撞后，落在水平地面上，落地点距墙壁的水平距离为2s， 如图7—1所示. 求小球抛出时的初速度.
解析：因小球与墙壁发生弹性碰撞， 故与墙壁碰 撞前后入射速度与反射速度具有对称性， 碰撞后 小球的运动轨迹与无墙壁阻挡时小球继续前进的 轨迹相对称，如图7—1—甲所示，所以小球的运 动可以转换为平抛运动处理， 效果上相当于小球 从A′点水平抛出所做的运动
由于物质世界存在某些对称性，使得物 理学理论也具有相应的对称性，从而使对称 现象普遍存在于各种物理现象和物理规律中. 应用这种对称性它不仅能帮助我们认识和探 索物质世界的某些基本规律，而且也能帮助 我们去求解某些具体的物理问题，这种思维 方法在物理学中称为对称法. 利用对称法分 析解决物理问题，可以避免复杂的数学演算 和推导，直接抓住问题的实质，出奇制胜， 快速简便地求解问题.
对称法
陈书策
对称法是利用物质世界的对称性分析、解决物 理问题的一种方法。对称，反映了物质世界的和 谐、优美和均衡。对称给人以和谐的美感，源于 对称对象的内在平衡与稳定，可以使人衍生出许 多创新的思维模式。
从科学思维的角度看，对称最突出的功 能，是启迪和培养直觉思维，使问题的求 解变得流畅而简明，同时还能提高思维的 敏捷性和深刻性。在解决问题的过程中享 受到思维美的愉悦。
对称形的认知知识点
对称形的认知知识点对称形是指物体或形状的左右部分对称相等，即两侧镜像对应。
在几何学中，对称形是一个重要的概念，它不仅存在于自然界中的许多物体中，也是人类设计和艺术中常用的元素。
本文将介绍一些关于对称形的知识点，包括对称形的定义、种类和应用。
1. 对称形的定义对称形可以简单地定义为物体或形状的两侧镜像对应，即左右部分在某个轴线上完全一致。
这个轴线称为对称轴。
对称轴可以是水平线、垂直线或者对角线。
对称形的特点是两侧完全对称，左右部分的形状、大小和位置都完全相同。
2. 对称形的种类对称形分为以下几种常见的类型：2.1 平面对称形平面对称形是指物体或形状在一个平面上完全对称。
常见的例子包括正方形、圆形和矩形。
在这些形状中，可以将其分成两个完全相同的部分，左右对称。
2.2 点对称形点对称形是指物体或形状以一个点为中心对称。
常见的例子包括心形和星型。
在这些形状中，以中心点为对称轴，左右和上下部分镜像对应。
2.3 螺旋对称形螺旋对称形是指物体或形状以螺旋线为对称轴的对称形。
螺旋对称形在自然界中常见，比如螺旋壳和许多植物的形状。
2.4 发散对称形发散对称形是指物体或形状以某个点为中心，向外辐射状发展的对称形。
常见的例子包括花朵和象限。
3. 对称形的应用对称形在许多领域都有广泛的应用，包括艺术、设计、建筑和科学。
3.1 艺术和设计对称形在艺术和设计中经常被用来创造美感和平衡感。
许多古代建筑和绘画作品都采用了对称形的设计，例如埃及金字塔和中国的传统建筑。
3.2 建筑对称形在建筑中起到了平衡和稳定的作用。
很多建筑物的立面都采用对称形的设计，例如巴洛克式建筑和古希腊神庙。
3.3 科学对称形在科学研究中也有重要的应用，特别是在对称性和对称破缺的研究中。
对称性在物理学和化学中有广泛的应用，例如对称分析和对称群的研究。
4. 总结对称形作为一种几何学概念，在我们的生活和各个领域中都扮演着重要的角色。
了解对称形的种类和应用，可以帮助我们更好地理解自然界和人类创造的事物。
物理中的思想方法——对称法
手 拿 球 ， 左 裤 腿 上 有 一 块 污 渍 ， 人 并 没 有 伸 出左 腿 ， 且 但 而 图Ｂ中 的像却 伸 出 了右腿长 Ｂ Ｄ Ａ 和ｃ 相交于｜， ｓ 则由
平面镜成像特点①知 ， Ｊ就是这个发光点． ｓ ｓ 的虚像。过５点
认 识 和 探 索物 质 世 界 的 某 些 基本 规律 ， 而且 也 能帮 助 我
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们 去 求 解 某 些 具 体 的物 理 问题 。这 种 思 维方 法 在 物 理 学 中称 为 对 称 法 。 物 理 中对 称 现 象 比 比 皆是 ，如 对 称 的 物 像 、 称 的结 构 、 称 的作 用 等 等 。用 对 称 性 解 题 的关 键 对 对
物 理 咋的 是 趄 贯 法
对称法
。 江西 省 抚 州市 临 川 二 中 周 勇
由于 物 质世 界 存 在 某 些对 称 性 ，使 得 物 理 学 理 论 也
具 有 相 应 的对 称 性 ．从 而使 对 称 现 象普 遍 存 在 于 各 种 物
理 现 象 和 物 理 规律 中。应 用这 种 对 称 性 不 仅 能 帮 助 我 们
是 敏 锐地 抓 住 事 物在 某 一 方 面 的对 称 性。
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Ｓ，
平面镜成像的特点是 ： 所成的像 是虚像 ； ① ②像 和物 体形状 、 大小相 同； ③像和物体各对应点 的连线与平面镜
图２
口 ２ 爱 球的 ● 好足 小亮在平面镜前观 己的全身 赏自
线管 正 面 的 电 流方 向朝 下 ， 电 源 的正 极 在 右侧 。如 图７ 故
乙
Ｉ 舯对 屯的 称
答 案 ： Ａ
自然 界 中 只存 在 两 种 电荷 ．一 种 与用 丝 绸 摩 擦 过 的
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专题26 相对相称—对称分析法
阅读与思考
当代美国数学家赫尔曼·韦尔指出：对称尽管你可以规定其含义或宽或窄，然而从古到今都是人们用来理解和创造秩序、美妙以及尽善尽美的一种思想. 许多数学问题所涉及的对象具有对称性（不仅包括几何图形中的对称，而且泛指某些对象在某些方面如图形、关系、地位等彼此相对又相称）.
对称分析法就是在解题时，充分利用自身条件的某些对称性辅助解题的一种分析方法，初中阶段主要研究下面两种类型的对称：
1.代数中的对称式
如果把一个多项式的任意两个字母互换后，所得的多项式不变就称这个多项式为对称式，对称式的本质反应的是多元多项式中字母地位相同，任何一个复杂的二元对称式，都可以用最简单对称多项式b
a ，ab表示，一些对称式的代数问题，常用最简对称式表示将问题解决.
2.几何图形的对称
几何图形的对称指的是轴对称和中心对称，一些几何问题，如果我们作出图形的对称轴，或者作出已知点关于某线（某点）的对称点，构造出轴对称图形、中心对称图形，那么就能将分散的条件集中起来，容易找到解题途径.
例题与求解
【例l】如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC 上的一个动点，点M、N分别是边AB，BC的中点，则PM+PN的最小值是. (荆门市中考试题)
解题思路：作M 关于AC 的对称点M '，连MN 交AC 于点P ，则PM +PN 的值最小.
B
C
A
【例2】已知a ，b 均为正数，且2=+b a ，求W =1422+++b a 的最小值. （北京市竞赛试题）
解题思路：用代数的方法求W 的最小值较繁，22b a +的几何意义是以a ，b 为边的直角三角形的斜边长，构造图形，运用对称分析法求出W 的最小值. 【例3】已知11122=-+-a b b a ，求证：122=+b a （四川省竞赛试题）
解题思路：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是：乘方、配方、换元和引入有理化因式，引入与已知等式地位相对相称的有理化因式，本例可获得简证．
【例4】 如图，凸四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，且AC ⊥BD ，
已知OA＞OC，OB＞OD，
求证：BC＋AD＞AB＋CD .
（“祖冲之杯”邀请赛试题）
解题思路：解题的关键是将有关线段集中到同一三角形中去，以便运用三角形三边关系定理，以AC为对称轴，将部分图形翻折．
D B
C
【例5】如图，矩形ABCD中，AB＝20厘米，BC＝10厘米，若在AC、AB上各取一点M，N，使BM＋MN的值最小，求这个最小值. （北京市竞赛试题）
解题思路：要使BM＋MN的值最小，应该设法将折线BM＋MN拉直，不妨从作出B点关于AC的对称点入手.
能力训练
1.如图，六边形ABCDEF 是轴对称图形，CF 所在的直线是它的对称轴. 若∠
AFC ＋∠BCF ＝0150，则∠AFE ＋∠BCD 的大小是 . (武汉市中考试题)
A
O
(第1题图) （第2题图） （第3题图）
2.如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝2，点E 在BC 上，且AE ＝EC ，若将纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在AC 上，则AC 的长是 .
(济南市中考试题)
3. 如图，∠AOB ＝045，P 是∠AOB 内一点，PO ＝10，Q ，P 分别是OA 、OB 上的动点，则△PQR 周长最小值是 .
4. 比6
)56( 大的最小整数是 . （西安交通大学
少年班入学试题）
5.如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 在BC 上，且BE ＝2，P 在BD 上，
则PE＋PC的最小值为（）.
A．3
2B．13C．14D．15
6. 观察下列平面图形，其中是轴对称图形的有( ) .
A．1个B．2个C．3个D．4个(南京市中考试题)
7.如图，一个牧童在小河南4英里处牧马，河水向正东方流去，而他正位于他的小屋西8英里北7英里处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家，他能够完成这件事情所走的最短距离是（）.
A．)
185
4( 英里B．16英里C．17英里D．18英里
（美国中学生竞赛试题）
A
E P
(第5题图) （第7题图）
（第8题图）
8.如图，等边△ABC 的边长为2，M 为AB 中点，P 为BC 上的点，设P A ＋PM 的最大值和最小值分别为S 和L ，则22L S -等于（ ）
A ．24
B ．34
C ．23
D ．33 9.一束光线经三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中字母表示相应的度数
，
已
知
c
=060，求
e
d +与
x
的值.
（江苏省竞赛试题）
10. 求代数式9)12(422+-++x x 的最小值.
（“希望杯”邀请赛试题）
11. 在一平直河岸l 同侧有A B ，两个村庄，
A B ，到l 的距离分别是3km 和2km ，km AB a =(1)a >．现计划在河岸l 上建一抽水站P ，用输水管向两个村庄供水．
方案设计
某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为1d ，且1(km)d PB BA =+（其中BP l ⊥于点P ）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为2d ，且2(k m )d P A P B =+（其中点A '与点A 关
于l 对称，A B '与l 交于点P ）．
观察计算
（1）在方案一中，1d = km （用含a 的式子表示）；
（2）在方案二中，组长小宇为了计算2d 的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，2d = km （用含a 的式子表示）． 探索归纳
（1）① 当4a =时，比较大小：12_______d d （填“＞”、“＝”或“＜”）； ② 当6a =时，比较大小：12_______d d （填“＞”、“＝”或“＜”）； （2）对a （当1a >时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？
图1 图2
图3
(河北省中考试题)
12．如图，已知平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为A（2，－3），B （4，－1）
（1）若P（x，0）是x轴上的一个动点，当△P AB的周长最短时，求x的值；（2）若C（a，0），D（3
a，0）是x轴上的两个动点，当四边形ABDC的周
长最短时，求a的值；
（3）设M，N分别为x轴和y轴上的动点，问：是否存在这样的点M（m，0）、N（0，n），使四边形ABMN的周长最短？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．。