清华考研 电路原理课件 第10章 正弦电流电路的稳态分析
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正弦稳态电路正式PPT课件
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U
1
•
1•
I j I
jwC
wC
容抗 ：X C
1
wC
3. 受控源： 对受控源，电压与电流关系直接改写为相量形式，关系式与时域中电路完全相同。
ik=0 +
uk
-
•
+
+ Ik 0
+
ij
uj
•
Uk
-
-
•
•
Uj
Ij
-
在相量图中，KCL、KVL、电路的三大分析方法都适用。
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) dt
T 1 cos 2(w
0
2
t
Ψi
) dt
1tT 1T 20 2
I
1 T
I
2 m
T 2
Im 2
0.707Im
Im 2I
i(t) Im cos(w t Ψi ) 2I cos(w t Ψi )
u(t) Um cos(w t Ψu ) 2U cos(w t Ψu )
可得正弦电流（压）有效值与最大值的关系：
L
时域形式：u(t) L di (t) dt
时域模型
I
相量形式：U jwLI
+
U
-
jwL
U
u
wLI
i
2
相量模型
U
I I0o
U= wLI 有效值关系
u=i+90° 相位关系
感抗 :
I 相量图
u 超前 i 90° i 滞后u 90°
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XL=w L= 2 f L
单位: 欧姆
3.电容 i (t)
U
1
•
1•
I j I
jwC
wC
容抗 ：X C
1
wC
3. 受控源： 对受控源，电压与电流关系直接改写为相量形式，关系式与时域中电路完全相同。
ik=0 +
uk
-
•
+
+ Ik 0
+
ij
uj
•
Uk
-
-
•
•
Uj
Ij
-
在相量图中，KCL、KVL、电路的三大分析方法都适用。
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) dt
T 1 cos 2(w
0
2
t
Ψi
) dt
1tT 1T 20 2
I
1 T
I
2 m
T 2
Im 2
0.707Im
Im 2I
i(t) Im cos(w t Ψi ) 2I cos(w t Ψi )
u(t) Um cos(w t Ψu ) 2U cos(w t Ψu )
可得正弦电流（压）有效值与最大值的关系：
L
时域形式：u(t) L di (t) dt
时域模型
I
相量形式：U jwLI
+
U
-
jwL
U
u
wLI
i
2
相量模型
U
I I0o
U= wLI 有效值关系
u=i+90° 相位关系
感抗 :
I 相量图
u 超前 i 90° i 滞后u 90°
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XL=w L= 2 f L
单位: 欧姆
3.电容 i (t)
第10章-频率响应--多频正弦稳态电路
§10-5 平均功率的叠加
设us1和us2 为两个任意波形的电压源 当us1单独作用时，流过R的电流为i1(t)
us2单独作用时，流过R的电流为i2(t)
iR
++ uS1 uS2 ––
依据叠加原理 i(t) = i1(t) + i2(t) 电阻消耗的瞬时功率
p(t) =Ri2(t)=R(i1+i2)2= Ri12 + Ri22 +2R i1i2 = p1+ p2+ 2R i1i2
∫ =
1
2
0 Im sinwtdwt
0
=
Im
2 3 w t
非正弦周期信号的谐波分析法
设非正弦周期电压 u 可分解成傅里叶级数
u = U0 + U1mcos(wt +1) +U2mcos( 2wt +2) + ······
其作用就和一个直流电压源及一系列不同频率的
正弦电压源串联起来共同作用在电路中的情况一样。
5. 滤波电路 电感或电容元件对不同频率的信号具有不同的
阻抗，利用感抗或容抗随频率而改变的特性构成四 端网络，有选择地使某一段频率范围的信号顺利通 过或者得到有效抑制，这种网络称为滤波电路。
下面以RC电路组成的滤波电路为例说明求网络 函数和分析电路频率特性的方法。
低通滤波电路
低通滤波电路可使低频信号较少损失地传输到输 出端，高频信号得到有效抑制。
u
u
Um
Um
0 2 3 wt
0
2 4 wt
u
u
Um
Um
0
2 wt
0 2
wt
几种非正弦周期电压的波形
ch10讲稿-电路原理教程(第2版)-汪建-清华大学出版社
10-1 傅里叶级数提要
f (t)=A0+k=1Akmsin(kt+k)
A0 — 常数项 （直流分量）
— 基波角频率
=
2 T
k — 整数(k次谐波）
f (t)=A0+ Bkmsinkt + Ckmcoskt
k=1
k=1
Akm= B2km+C2km
A0=
1 T
0Tf(t)dt
k=tg
–1
Ckm Bkm
i1
+ LTI
+
-uS1
N0
i2
+ LTI
- +
uS2
N0
+•• •
2
直流稳态 电路
L 短路 C 开路
I•1
-+U• S1
i(t)=I0+ i1(t)+ i2(t)+
P=P0+P1+P2+
Z(j)
I•2
-+U• S2
Z(j2)
I= I20+I21+I22+ 谐波阻抗的概念
例1
R=6， L=2，1/C=18，u=[18sin(t30º)+ 18sin3t+9sin(5t+90º)]V ，求电压表和功率表的读数。
Re
输出 C3
(3) 电路中含有非线性元件
+
+
R
-
-
(3) 电路中含有非线性元件
+
+
R
-
-
• 本章的讨论对象及处理问题的思路
非正弦周期 变化的电源
线性时不变 电路
清华考研_电路原理课件_第10章__正弦电流电路的稳态分析
清华大学 电路原理 电子课件
江辑光版
参考教材： 《电路原理》（第2版） 清华大学出版社，2007年3月 江辑光 刘秀成 《电路原理》 清华大学出版社，2007年3月 于歆杰 朱桂萍 陆文娟 《电路》（第5版）高等教育出版社，2006年5月 邱关源 罗先觉
第10章 正弦电流电路的稳态分析
本本章章重重点点 1100.. 11 正弦量的基本概念 1100.. 22 周期性电流、电压的有效值 10. 3 复数复习 1100.. 44 正弦量的相量表示 10. 5 电阻、电感和电容元件电
或 Im = 2I
即 i(t ) = Im sin(ωt +ψ i ) = 2I sin(ωt +ψ i )
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系
1
U = 2 Um
或
U m = 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um≈311V；
U=380V，
Um≈537V。
* 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
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10.3 复数复习
一、 复数（complex）A表示形式
直角坐标 A=a+jb （j = − 1 为虚数单位）
Im
b
A
0
a Re
极坐标 A=|A|ejθ =|A| ∠θ Im b
A
θ
O
a Re
两种表示法的关系：
⎧ ⎪
|
A |=
a2 + b2
⎨
b或
⎪ ⎩
θ = arctan a
⎧ a =| A | cosθ
解 U̇1 = 3∠0o V , U̇ 2 = 4∠90� V U̇ = U̇1 + U̇ 2 = 5∠53.1° V u(t ) = u1(t) + u2(t) = 5 2sin(314t + 53.1°) V
江辑光版
参考教材： 《电路原理》（第2版） 清华大学出版社，2007年3月 江辑光 刘秀成 《电路原理》 清华大学出版社，2007年3月 于歆杰 朱桂萍 陆文娟 《电路》（第5版）高等教育出版社，2006年5月 邱关源 罗先觉
第10章 正弦电流电路的稳态分析
本本章章重重点点 1100.. 11 正弦量的基本概念 1100.. 22 周期性电流、电压的有效值 10. 3 复数复习 1100.. 44 正弦量的相量表示 10. 5 电阻、电感和电容元件电
或 Im = 2I
即 i(t ) = Im sin(ωt +ψ i ) = 2I sin(ωt +ψ i )
同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系
1
U = 2 Um
或
U m = 2U
若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为Um≈311V；
U=380V，
Um≈537V。
* 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。
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10.3 复数复习
一、 复数（complex）A表示形式
直角坐标 A=a+jb （j = − 1 为虚数单位）
Im
b
A
0
a Re
极坐标 A=|A|ejθ =|A| ∠θ Im b
A
θ
O
a Re
两种表示法的关系：
⎧ ⎪
|
A |=
a2 + b2
⎨
b或
⎪ ⎩
θ = arctan a
⎧ a =| A | cosθ
解 U̇1 = 3∠0o V , U̇ 2 = 4∠90� V U̇ = U̇1 + U̇ 2 = 5∠53.1° V u(t ) = u1(t) + u2(t) = 5 2sin(314t + 53.1°) V
正弦稳态电路的分析 ppt课件
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6. 阻抗（导纳）的串联和并联 ①阻抗的串联
Z1 Z2 Zn
+
I
－
I
+
U
U -
Z
U 1 U 2 U n I (Z1 Z 2 Z n ) I Z U
Z Z k ( Rk jX k )
o
uC 3.95 2cos (ω t 93.4 ) V
o
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相量图
C U L U
U -3.4°
R U
注意
I
UL=8.42>U=5，分电压大于总电压。
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3.导纳
+
正弦稳态情况下
U
-
I
无源 线性 网络
I
+
电压超前电流。 相量图：一般选电流为参考向量， i 0
> 1/C ，X>0， z>0，电路为感性，
电压 三角 形 U
z
L U
C U UX
2 2 2 U UR UX UR (U L U C )2 +U
R
等效电路 +
R
R U
I
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-
+ X j Leq U 上 页
7下
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（3）L<1/C，
电压落后电流。 U U 2 U 2 U 2 (U U )2 R X R C L I z R R +U U I UX U + 等效电路 R + UL . X 1 U U C U jCeq （4）L=1/C ，X=0， z=0，电路为电阻性， 电压与电流同相。 I L U + + R R 等效电路 U U I UR C U
正弦稳态电路分析PPT课件
其中r = | z |是z的模， = arg z 是z的
辐角．
欧拉公式的其它形式：
O
z = x + iy
r y
x
x
由e ix=cos x+ i sin x及e－ix=cos x－i sin x，得
cos x =1 (ei + e－i )及 sin x =1 ( ei －e－i )．
2
2i
这两个式子也叫做欧拉公式．
i I 1 T 2 dt T0
25
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交流电流 i通过电阻R在
热效应相当
i R dt I RT 一个周期T内产生的热量
与一直流电流I通过同一
T
2
2
电阻在同一时间T内产生
的热量相等，则称I的数 0
值为i的有效值
交流
直流
则有 I 1 T i2dt T0
（均方根值）
有效值电量必须大写，如：U、I
3. 旋转因子
复数 ejy = cos y + jsin y = 1∠y
Aejy
A逆时针旋转一个角度y ，模不变
Im
j
e2
cos
j sin
j
j I
2
2
e j(
2
)
cos(
2
)
j
sin(
2
)
j
0
I Re
e j( ) cos( ) j sin( ) 1
+j , –j , -1 都可以看成旋转因子。
2
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引言
按物理量是否随时间改变，可分为恒定量，变动量。
①大小和方向都不随时间而改变，用大写字母表示U, I .
2019电路与电子技术-正弦稳态分析.ppt
（5.4）
第5章 正弦稳态分析
U C C : U C jX C I或I jX C U jX I 或I L L :U L L jX L 上三式各分母项都具有阻碍电流通过的作用，它
们的单位都是欧姆。为了统一表示上述关系，引入复 数Z，称为复数阻抗，简称复阻抗。对于不同的电路， 复阻抗具有不同的意义。例如对电阻元件有 Z=R ，对 电容元件有Z=-jXC，对电感元件有Z=jXL，于是式(5.4) 、 (5.5)和(5.6)
第5章 正弦稳态分析 各支路电流为
1500 U I 2.140 A Z 70 jX C j100 I1 I 2.140 1.92 26.6 A R1 jX C 50 j100 I 2 R1 50 I 2.140 0.96 63.4 A R1 jX C 50 j100
第5章 正弦稳态分析
第5章
5.1 基尔霍夫定律的相量式 5.2 欧姆定律的相量式 , 阻抗及导纳 5.3 简单交流电路的计算 5.4 交流电路的功率 5.5 正弦稳态的功率传输
5.6 正弦电路中的谐振
习题5
第5章 正弦稳态分析
5.1 基尔霍夫定律的相量式
在交流电路中，对任何一瞬时而言，基尔霍夫定
KCL : i 0 KVL : u 0
U U 或 Z I Z I
（5.7）
第5章 正弦稳态分析 2. 多参数交流电路的欧姆定律及阻抗 实际电路往往由若干不同性质的元件组成。下面
以图5.2所示的RLC串联电路为例，推导出它们的欧姆
定律的相量式及阻抗表达式。
第5章 正弦稳态分析
i uR R
I
U R
电路课件-正弦稳态分析
1 T
T 0
Im2
1 [1 cos(2t
2
2 )]d
t
Im 2
0.707 I m
振幅為Im的正弦電流的有效值為
I=0.707Im。即正弦電流的有效值為振
幅值的0.707倍
正弦電壓u(t)=Umcos(t+)的有效值為
U
1 T
T u2 (t)d t
0
1 T
T 0
U
2 m
cos2 ( t
6
6
10cos(100 t 5 ) 10cos(100 t )
62
3
所以 Fm =10， = /3rad, =100rad/s, f =/2=50Hz
7-1-2 正弦量間的相位差
正弦穩態電路中，各電壓電流都是 頻率相同的正弦量，常常需要將這些正 弦量的相位進行比較。兩個正弦電壓電
流相位之差，稱為相位差。如兩個同 頻 率 的 正 弦 電 流 : i1(t)=I1mcos(ωt+1), i2(t)=I2mcos(ωt+2),
電流i1(t)與i2(t)間的相位差為
=(ωt+ 1)-(ωt+ 2)= 1- 2
兩個同頻率正弦量在任意時刻的相位差 均等於它們初相之差，與時間t無關。
u2 (t ) 8 2 cos(ωt 90 ) V
u3 (t ) 12 2 cos ωt V
+
uS -
+ u1 - u3 +
++ u2 U S --
+ -
UU31-+
+
U 2
-
解：根據電路的時域模型，畫出右圖相 量模型,並計算出電壓相量。
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10.4
正弦量的相量表示
一、正弦量的相量（phasor）表示 设有一正弦电流
i = I m sin(ωt + ψ ) = 2 Isin(ωt + ψ )
作一个复函数A(t)，并应用欧拉公式，有
A( t ) = 2 Ie j(ω t +ψ )
= 2 Icos(ωt + ψ ) + j 2 Isin(ωt + ψ ) 可见
∫
T
0
sin ( ωt + ψ i )dt = ∫
2
T
0
1 − cos 2(ωt + ψ i ) 1 dt = T 2 2
Im 1 2 T ∴ I= Im ⋅ = = 0.707 I m T 2 2
或
即
Im = 2I
i ( t ) = I m sin(ωt + ψ i ) = 2 I sin(ωt + ψ i )
i
ωT=2π
0
ψ
ωt
Im , ω , ψ ——正弦量的三要素
正弦量的三要素： （1） 幅值（amplitude）（振幅、 最大值）Im：反映 正弦量变化幅度的大小。 （2） 角频率（angular frequency ）ω ： 反映正弦量 dt为相角随时间变化的速度。 变化的快慢。 ω =d(ω t+ψ )/ )/d 相关量：频率f （frequency）和周期T （period）。 2π πf = 关系: ω = 2 2π T 物理量 符号 单位名称 角频率 ω rad/s ，弧度/秒 1/s Hz，1/秒 赫[兹] 频率 f 周期 T s，秒
乘法：模相乘，角相加； 除法：模相除，角相减。 例1 5 ∠47° + 10∠−25 °= (3.41+j3.657) + (9.063-j4.226) =12.47-j0.567 = 12.48 ∠-2.61°
例2
(17 + j9) (4 + j6) 220 ∠35° + 20 + j5 19.24∠ 27.9° × 7.211∠56.3° = 180.2 + j126.2 + 20.62∠14.04° = 180.2 + j126.2 + 6.728∠70.16°
A1+A2 A2 A1
A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
0
Re
图解法：用平行四边形法则进行加减运算。
2. 乘除运算—极坐标 若 则
A1=|A1| θ 1 ，若A2=|A2| θ 2 A1 A2 = A1 ∠θ 1 A2 ∠θ 2 = A1 e jθ1 A2 e jθ 2
= A1 A2 e j(θ1 +θ 2 ) = A1 A2 ∠θ 1 + θ 2
A1 | A1 | ∠θ 1 | A1 | e jθ 1 | A1 | j(θ 1−θ 2 ) | A1 | = = = = e ∠θ 1 − θ 2 jθ 2 | A2 | A2 | A2 | ∠θ 2 | A2 | e | A2 |
本章重点 本章重点 10. 10. 1 1 正弦量的基本概念 10. 10. 2 2 周期性电流、电压的有效值 10. 3 复数复习 10. 10. 4 4 正弦量的相量表示 10. 5 电阻、电感和电容元件电 压电流的相量关系
10. 6 基尔霍夫定律的相量形式 及电路的相量模型 10. 7 复阻抗、复导纳及其等效变换 10. 8 用相量法分析电路的正弦稳态响应 10. 9 正弦电流电路中的功率 10. 10 复功率 10. 11 最大功率传输定理
（ 3 ） 初相位（ initial phase angle ） ψ ：反映了正弦量的 计时起点。 （ωt+ψ）— 相位角。 （ωt+ψ）|t=0=ψ — 初相位角，简称初相位。 同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。 i
ψ
0
ωt
一般规定：|ψ |≤π 。
ψ =0 ψ =π/2 ψ =-π/2
二、相位差（phase difference）：两个同频率正弦量相位角之差。 设电压u(t)=Umsin(ω t+ψu), 电流 i(t)=Imsin(ωt+ψi) 则 电压、电流间的相位差为 ϕ = (ω t+ψ u)-(ω t+ψ i)=ψ u-ψ i • ϕ >0 电压 领先（超前）电流ϕ 角，或电流 落后（滞后) 电压 ϕ 角（u 比 i 先到达最大值）； u, i u i 0 ψ uψ i ϕ
1 T 2 I= i ( t )dt ∫ 0 T
def
有效值也称方均根值（root-mean-square，简记为 rms）。 同样，可定义电压有效值 1 T 2 U= u ( t )dt ∫ 0 T
def
例 正弦周期电压如图所示。求其有效值U。
u(t)/V 2 1
0 1 2 3 4 5 6
t/s
= 180.2 + j126.2 + 2.238 + j6.329 = 182.5 + j132.5 = 225.5∠36°
3. 旋转因子 jsinθ =1∠θ 复数 ejθ =cosθ + +jsin
A• ejθ 相当于A逆时针旋转一个角度θ ，而模不变。故 把 ejθ 称为旋转因子。
ejπ/2 =j , e-jπ/2 = -j, ejπ= –1 故 + j, –j, -1 都可以看成旋转因子。 +j,
0
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。 规定： |ϕ | ≤π 。
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10.2 周期性电流、电压的有效值
一、 有效值（effective value）的定义 周期性电流 i 流过电阻 R 在一周期 T 内消耗的电能，等于 一直流电流I 流过R在时间T 内消耗的电能，则称电流 I 为周期 性电流 i 的有效值。
在确定的频率下，一个正弦时间函数可与一相量建立 一一对应关系： ̇ = I∠ ψ i ( t ) = 2 I sin(ωt + ψ ) ⇔ I
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系： ̇ = U∠ θ u( t ) = 2U sin(ωt + θ ) ⇔ U
旋转相量(rotating phasor)与正弦时间函数对应关系的几何意义：
解 根据有效值的定义，有
1 T 2 U= u ( t )dt ∫ 0 T =
2 3 1⎛ 1 2 2 2 ⎜ ∫ 0 1 dt + ∫1 2 dt + ∫2 0 dt ⎞ ⎟ = 1.29 V ⎠ 3⎝
二、正弦电流、电压的有效值 (ω t+ψi) 设电流 i(t)=Imsin sin( 1 T 2 2 I= I sin ( ωt + ψ i )dt m ∫ T 0 ∵
清华大学 电路原理 电子课件
江辑光版
参考教材： 《电路原理》（第 2版） 清华大学出版社， 2007年3月 江辑光 刘秀成 《电路原理》 清华大学出版社， 2007年3月 于歆杰 朱桂萍 陆文娟 《电路》（第 5版）高等教育出版社， 2006年5月 邱关源 罗先觉
第10 章 正弦电流电路的稳态分析 10章
2 m2 2 2
u(t ) = u1 ( t ) + u2 ( t ) ̇ e jω t ) + Im( 2U ̇ e jω t ) = Im( 2U 1 2 ̇ e jω t + 2U ̇ e jω t ) = Im( 2(U ̇ +U ̇ )e jω t ) = Im( 2U 1 2 1 2 ̇ =U ̇ +U ̇ ∴ U 1 2
̇ = 3∠ 0 o V , U ̇ = 4∠90� V 解 U 1 2 ̇ =U ̇ +U ̇ = 5∠53.1° V U
1 2
u( t ) = u1 ( t ) + u2 ( t ) = 5 2sin( 314t + 53.1°) V
相量图（phasor diagram） 在复平面上用有向线段表示相量的图形称为相量图。 有向线段的长度为相量的模；有向线段与实轴的夹角为 相量的辐角，且逆时针方向为正，顺时针方向为负。 同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。
故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算。 i1 ± i2 = i3 ̇ ± I ̇ =I ̇ I 1 2 3
例
已知u1 ( t ) = 3 2sin 314t V，u2 ( t ) = 4 2sin( 314t + 90°) V 求 u( t ) = u1 ( t ) + u2 ( t )。
电流有效值的数学描述： 周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期T 内消耗的电能为 i(t)
R
W 1 = ∫ i 2 ( t ) Rd t
0
T
直流电流I 流过R , 在时间T 内消耗的电能为 I
R
令W 2 = W 1 , 即
2
W2=I 2RT I RT = ∫ i 2 ( t ) Rdt , 得
0
T
例
̇ = I ∠ψ i1 = 2 I 1sin(ωt + ψ 1 ) ⇔ I 1 1 1 ̇ = I ∠ψ i 2 = 2 I 2 sin(ωt + ψ 2 ) ⇔ I 2 2 2
2 2 2 2 2
2
Im
̇ I 2
ψ2
̇ +I ̇ I 1 2
0
ψ1
̇ I 1
Re
̇ −I 2
̇ −I ̇ I 1 2
例2 已知
试写出电流的瞬时值表达式。 解
i = 5 2sin( 314t + 15°) A
二、相量运算 1. 同频率正弦量相加减 ̇ e jω t ) u1 ( t ) = U m1 sin(ω t + ψ 1 ) = Im( 2U 1 ̇ e jω t ) u ( t ) = U sin(ω t + ψ ) = Im( 2U
10.4
正弦量的相量表示
一、正弦量的相量（phasor）表示 设有一正弦电流
i = I m sin(ωt + ψ ) = 2 Isin(ωt + ψ )
作一个复函数A(t)，并应用欧拉公式，有
A( t ) = 2 Ie j(ω t +ψ )
= 2 Icos(ωt + ψ ) + j 2 Isin(ωt + ψ ) 可见
∫
T
0
sin ( ωt + ψ i )dt = ∫
2
T
0
1 − cos 2(ωt + ψ i ) 1 dt = T 2 2
Im 1 2 T ∴ I= Im ⋅ = = 0.707 I m T 2 2
或
即
Im = 2I
i ( t ) = I m sin(ωt + ψ i ) = 2 I sin(ωt + ψ i )
i
ωT=2π
0
ψ
ωt
Im , ω , ψ ——正弦量的三要素
正弦量的三要素： （1） 幅值（amplitude）（振幅、 最大值）Im：反映 正弦量变化幅度的大小。 （2） 角频率（angular frequency ）ω ： 反映正弦量 dt为相角随时间变化的速度。 变化的快慢。 ω =d(ω t+ψ )/ )/d 相关量：频率f （frequency）和周期T （period）。 2π πf = 关系: ω = 2 2π T 物理量 符号 单位名称 角频率 ω rad/s ，弧度/秒 1/s Hz，1/秒 赫[兹] 频率 f 周期 T s，秒
乘法：模相乘，角相加； 除法：模相除，角相减。 例1 5 ∠47° + 10∠−25 °= (3.41+j3.657) + (9.063-j4.226) =12.47-j0.567 = 12.48 ∠-2.61°
例2
(17 + j9) (4 + j6) 220 ∠35° + 20 + j5 19.24∠ 27.9° × 7.211∠56.3° = 180.2 + j126.2 + 20.62∠14.04° = 180.2 + j126.2 + 6.728∠70.16°
A1+A2 A2 A1
A1=a1+jb1， A2=a2+jb2 A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)
0
Re
图解法：用平行四边形法则进行加减运算。
2. 乘除运算—极坐标 若 则
A1=|A1| θ 1 ，若A2=|A2| θ 2 A1 A2 = A1 ∠θ 1 A2 ∠θ 2 = A1 e jθ1 A2 e jθ 2
= A1 A2 e j(θ1 +θ 2 ) = A1 A2 ∠θ 1 + θ 2
A1 | A1 | ∠θ 1 | A1 | e jθ 1 | A1 | j(θ 1−θ 2 ) | A1 | = = = = e ∠θ 1 − θ 2 jθ 2 | A2 | A2 | A2 | ∠θ 2 | A2 | e | A2 |
本章重点 本章重点 10. 10. 1 1 正弦量的基本概念 10. 10. 2 2 周期性电流、电压的有效值 10. 3 复数复习 10. 10. 4 4 正弦量的相量表示 10. 5 电阻、电感和电容元件电 压电流的相量关系
10. 6 基尔霍夫定律的相量形式 及电路的相量模型 10. 7 复阻抗、复导纳及其等效变换 10. 8 用相量法分析电路的正弦稳态响应 10. 9 正弦电流电路中的功率 10. 10 复功率 10. 11 最大功率传输定理
（ 3 ） 初相位（ initial phase angle ） ψ ：反映了正弦量的 计时起点。 （ωt+ψ）— 相位角。 （ωt+ψ）|t=0=ψ — 初相位角，简称初相位。 同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。 i
ψ
0
ωt
一般规定：|ψ |≤π 。
ψ =0 ψ =π/2 ψ =-π/2
二、相位差（phase difference）：两个同频率正弦量相位角之差。 设电压u(t)=Umsin(ω t+ψu), 电流 i(t)=Imsin(ωt+ψi) 则 电压、电流间的相位差为 ϕ = (ω t+ψ u)-(ω t+ψ i)=ψ u-ψ i • ϕ >0 电压 领先（超前）电流ϕ 角，或电流 落后（滞后) 电压 ϕ 角（u 比 i 先到达最大值）； u, i u i 0 ψ uψ i ϕ
1 T 2 I= i ( t )dt ∫ 0 T
def
有效值也称方均根值（root-mean-square，简记为 rms）。 同样，可定义电压有效值 1 T 2 U= u ( t )dt ∫ 0 T
def
例 正弦周期电压如图所示。求其有效值U。
u(t)/V 2 1
0 1 2 3 4 5 6
t/s
= 180.2 + j126.2 + 2.238 + j6.329 = 182.5 + j132.5 = 225.5∠36°
3. 旋转因子 jsinθ =1∠θ 复数 ejθ =cosθ + +jsin
A• ejθ 相当于A逆时针旋转一个角度θ ，而模不变。故 把 ejθ 称为旋转因子。
ejπ/2 =j , e-jπ/2 = -j, ejπ= –1 故 + j, –j, -1 都可以看成旋转因子。 +j,
0
同样可比较两个电压或两个电流的相位差。 规定： |ϕ | ≤π 。
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10.2 周期性电流、电压的有效值
一、 有效值（effective value）的定义 周期性电流 i 流过电阻 R 在一周期 T 内消耗的电能，等于 一直流电流I 流过R在时间T 内消耗的电能，则称电流 I 为周期 性电流 i 的有效值。
在确定的频率下，一个正弦时间函数可与一相量建立 一一对应关系： ̇ = I∠ ψ i ( t ) = 2 I sin(ωt + ψ ) ⇔ I
同样可以建立正弦电压与相量的对应关系： ̇ = U∠ θ u( t ) = 2U sin(ωt + θ ) ⇔ U
旋转相量(rotating phasor)与正弦时间函数对应关系的几何意义：
解 根据有效值的定义，有
1 T 2 U= u ( t )dt ∫ 0 T =
2 3 1⎛ 1 2 2 2 ⎜ ∫ 0 1 dt + ∫1 2 dt + ∫2 0 dt ⎞ ⎟ = 1.29 V ⎠ 3⎝
二、正弦电流、电压的有效值 (ω t+ψi) 设电流 i(t)=Imsin sin( 1 T 2 2 I= I sin ( ωt + ψ i )dt m ∫ T 0 ∵
清华大学 电路原理 电子课件
江辑光版
参考教材： 《电路原理》（第 2版） 清华大学出版社， 2007年3月 江辑光 刘秀成 《电路原理》 清华大学出版社， 2007年3月 于歆杰 朱桂萍 陆文娟 《电路》（第 5版）高等教育出版社， 2006年5月 邱关源 罗先觉
第10 章 正弦电流电路的稳态分析 10章
2 m2 2 2
u(t ) = u1 ( t ) + u2 ( t ) ̇ e jω t ) + Im( 2U ̇ e jω t ) = Im( 2U 1 2 ̇ e jω t + 2U ̇ e jω t ) = Im( 2(U ̇ +U ̇ )e jω t ) = Im( 2U 1 2 1 2 ̇ =U ̇ +U ̇ ∴ U 1 2
̇ = 3∠ 0 o V , U ̇ = 4∠90� V 解 U 1 2 ̇ =U ̇ +U ̇ = 5∠53.1° V U
1 2
u( t ) = u1 ( t ) + u2 ( t ) = 5 2sin( 314t + 53.1°) V
相量图（phasor diagram） 在复平面上用有向线段表示相量的图形称为相量图。 有向线段的长度为相量的模；有向线段与实轴的夹角为 相量的辐角，且逆时针方向为正，顺时针方向为负。 同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。
故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算。 i1 ± i2 = i3 ̇ ± I ̇ =I ̇ I 1 2 3
例
已知u1 ( t ) = 3 2sin 314t V，u2 ( t ) = 4 2sin( 314t + 90°) V 求 u( t ) = u1 ( t ) + u2 ( t )。
电流有效值的数学描述： 周期性电流 i 流过电阻 R，在一周期T 内消耗的电能为 i(t)
R
W 1 = ∫ i 2 ( t ) Rd t
0
T
直流电流I 流过R , 在时间T 内消耗的电能为 I
R
令W 2 = W 1 , 即
2
W2=I 2RT I RT = ∫ i 2 ( t ) Rdt , 得
0
T
例
̇ = I ∠ψ i1 = 2 I 1sin(ωt + ψ 1 ) ⇔ I 1 1 1 ̇ = I ∠ψ i 2 = 2 I 2 sin(ωt + ψ 2 ) ⇔ I 2 2 2
2 2 2 2 2
2
Im
̇ I 2
ψ2
̇ +I ̇ I 1 2
0
ψ1
̇ I 1
Re
̇ −I 2
̇ −I ̇ I 1 2
例2 已知
试写出电流的瞬时值表达式。 解
i = 5 2sin( 314t + 15°) A
二、相量运算 1. 同频率正弦量相加减 ̇ e jω t ) u1 ( t ) = U m1 sin(ω t + ψ 1 ) = Im( 2U 1 ̇ e jω t ) u ( t ) = U sin(ω t + ψ ) = Im( 2U