平行投影与正投影
（2）如果此时小刚的影子与姐 姐小丽的影子一样长，你能 在图中画出表示小刚身高的 线段吗？
F
解：（1）点D就是小刚此时所站的位置。
（2）DF就是表示小刚身高的线段。
C
DE
2、已知：如图，小明身高AB=1.60米，他在路灯下向前走了4米， 发现自己的影长为2米，求路灯CD的高度。
解：设CD=x米
由题意得PB=2米，PD=PB+BD=6米，
我们可以判定小明离灯光较____远_____。
（3）夜晚小亮在路灯下从远处走向路灯并离开路灯，这个过程中他在地上的影子( C )
A、逐渐变短
B、逐渐变长 C、先变短后变长 D、先变长后变短
（4）同一时刻，两根木棒的影子如图，请画出图中另一根木棒的影子。
（4）同一时刻，两根木棒的影子如图，请画出图中另一根木棒的影子。
探究知识
例 确定图中路灯灯泡所在的位置.
o
关键： 过物
体上的点 以及它们 影子上的 对应点的 直线都过 光源.
解：过一根木杆的顶端及其影子的顶端作一条直线；
再过另一根木杆的顶端及其影子的顶端作一条直 线，两线相交于点O.
点O就是路灯灯泡所在的位置.
知识应用
你能画出图中小姐妹在路灯下的影子吗？
解：线段AB、CD就是 小姐妹在路灯下的影子。
小结：
（1）太阳光线是平行光线，所形成的投影是平行 影.
灯光下物体上的点与其影子的对应点的连线都相交于一 点， 即灯泡位置。
一、温故知新
• 1、太阳光线可以看成平行 光线,像这样的光 线所形成的投影称为 平行投影 。
• 2、阳光下在同一时刻,两物体的高度与影子 长度成___比_例_____，且方向 相同 。
• 3、在不同时刻，太阳光下的影子是不一样 的，一般地，上午影子的方向是由西向北 变化的，影子越来越 短 ，下午影子方向是 由北向东变化的，影子越来越 长 。
侧。
实验：⑵固定手电筒，让一根小棒垂直于桌面，改变它与手电筒的
距 离，观察它的影子发生了什么变化？再让一根小棒平行于桌面，
改变 它与手电筒的距离，观察它的影子发生了什么变化？手电筒，
木棒的 两端， 以及影子的上的对应点这三个点的位置总是有什么
特点？
实验结论：1：垂直于桌面的物体离点光源越近，影子越
短。
2：平行于桌面的物体离点光源越近，影子越 长 。
3：点光源,物体上的点,以及它影子上的对应点，三点都 在 同一直线上 。
点光源 物体上的点
影子上的对应点
点光源、物体上的点、影子上的对应点三点同在一条直线上。
探照灯、手电筒、路灯和台灯的 光线可以看成是从一点出发的，
像这样的光线所形成的投影称为 中心投影。
A
B
C
D
关键：发光点、物体上的点及其影子上的对应点 在一 条直线上．
反馈练习
（1）判断题
①直立在地面上的两根长度相等的木杆，在路灯下的影长相等（ ）
②晚上，同学们在马路上列队行走，班长命令：“注意队伍整齐，每两人间应保持一个人影
长的距离！”班长的命令是正确的（ ）
（2）身高相同的小明和小丽站在灯光下的不同位置，已知小明的投影比小丽的投影长，
AB=1.6米，
P
∵AB∥CD ∴△PAB∽△PCD
∴ PB AB 即 2 1.6
PD CD
6x
C A
B
D
x 4.8
拓展训练
某公司的外墙壁贴的是反光玻璃，晚上两根木棒的影子如图（短木棒 的影子是玻璃反光形成的），请确定图中路灯灯泡所在的位置。
解：所以点O就是
O
灯泡所在的位置。
2、如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的 长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已 知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB是多少？
第四章 视图与投影 3. 灯光与影子
二、课堂学习与探究
1、取一些长短不等的小棒或矩形纸片，用手电筒去照射这些小棒和纸 片。
实验⑴ ：固定小棒或纸片，改变手电筒的摆放位置和方向，观察它们 的影子分别发生什么变化？
实验结论： 随着手电筒摆放位置和方向的改变,影子的方向
也发生改变,并且手电筒与影子总位于物体的两
解：线段AB就是另一根木棒 的影子。
A
B
对比学习
太阳光线和灯光光线各自的特点是什么？如何区分它们？请根据你这 两节课学习到的知识完成下表：
光线类别 光线形象 位置关系
所成投影
太阳光线 灯光光线
平行
平行投影
相交
中心投影
想一想
1、下面两幅图分别是两棵小树在同一时刻的影子.你能判断出 哪幅图是灯光下形成的，哪幅图是太阳光下形成的吗？
两条光线是平行，因此它们是太 阳光下形成的.
两光线相交于一点，因此它们是 灯光下形成的.
2:如下图：(1)中间是一盏路灯，周围有一圈栏杆，图(2)是其两幅俯视图 （图中只画出了部分情形），其中 ② 是白天阳光下的俯视图， ① 是晚 上这盏路灯下的俯视图。
图(1)
① 图(2)
②
巩固练习
A
B
1. （1）一天晚饭后，姐姐小丽 带着弟弟小刚出去散步，经过 一盏路灯时，小刚突然高兴地 对姐姐说：“我踩到你的‘脑 袋’了”。你能确定小刚此时 所站的位置吗？
投影的基本知识
第二章投影的基本知识一、投影概念在投影面上作出物体投影的方法，称为投影法。
二、投影的分类投影法分为两类：中心投影法和平行投影法。
.中心投影法所有投影线都相交于投影中心的投影方法。
平行投影法由互相平行的投影线在投影面上作出物体投影的方法。
按投影线与投影面是否垂直，可分为斜投影法和正投影法两种。
(1)斜投影法：投影线倾斜于投影面的平行投影法。
(2)正投影法：投影线垂直于投影面的平行投影法。
特点：其投影反映了物体的真实形状和大小，并且与物体到投影面的距离无关。
所以建筑图样一般均采用这种投影法绘制，所得的投影称为正投影，简称投影。
1、正投影法概念：投影线垂直于投影面的平行投影法。
2 、正投影的基本特性：1）真实性----平行于投影面的物体，投影反映实形；2）积聚性----垂直投影面的平面或直线，其投影积聚成直线或一点；3）类似性----物体上的平面与投影面倾斜时，其投影为缩小的类似形；4）从属性---- 直线或平面上的点，其投影仍在直线或平面的投影上。
真实性、积聚性、类似性和从属性是正投影的四个重要特性，在画图和读图中将经常用到，必须牢固掌握。
三、三面投影图1、三面投影图的形成我们将形体正放在三个互相垂直的投影面之间，并分别向三个投影面进行投影，就能得到该形体在三个投影面上的投影图，将这三个投影图结合起来观察，就能准确地反映出该形体的形状和大小。
这三个互相垂直的投影面分别为水平投影面（或称H面，用字母H表示）、正立投影面（或称V 面，用字母V表示）和侧立投影面（或称W面，用字母W表示）。
这三个投影面组合起来就构成了三面投影体系（三投影面体系）。
三个投影面两两相交构成的三条轴称为OX、OY、OZ轴，且OX⊥OY⊥OZ，三条轴的交点O称为原点。
形体在三个投影面上的投影分别称为水平投影、正面投影和侧面投影。
注：OX轴的正方向为水平向左，OY轴的正方向为正对观察者，OZ轴的正方向为铅直向上。
2、三面投影图的展开因为形体的三个投影分别在三个不共面的平面上，因此无法绘制在同一平面图纸上，为此，需将三个投影面进行展开，使其共面。
初中数学 平面图形的投影有哪些种类
初中数学平面图形的投影有哪些种类
在平面图形的投影中，有几种常见的投影类型。
下面将介绍其中的几种：
1. 正投影：正投影是指物体在投影面上的垂直投影。
当投影面与物体垂直时，投影线段与物体相交的点与投影面上相应的点重合。
正投影保持了物体的形状和大小。
2. 平行投影：平行投影是指物体在投影面上的平行投影。
当投影面与物体平行时，投影线段与物体相交的点与投影面上相应的点重合。
平行投影保持了物体的形状，但不保持物体的大小。
3. 斜投影：斜投影是指物体在投影面上的斜向投影。
当投影面与物体倾斜时，投影线段与物体相交的点与投影面上相应的点不重合。
斜投影会改变物体的形状和大小。
4. 正交投影：正交投影是指物体在投影面上的投影线段与物体的边缘垂直相交。
正交投影保持了物体的形状和大小，并且可以准确表示物体的各个面。
5. 斜交投影：斜交投影是指物体在投影面上的投影线段与物体的边缘不垂直相交。
斜交投影会改变物体的形状和大小，并且无法准确表示物体的各个面。
6. 阴影投影：阴影投影是指投影面上的阴影区域，用来表示物体的阴影效果。
阴影投影可以增加图形的立体感和逼真度。
以上是平面图形投影的几种常见类型。
具体使用哪种类型取决于投影面的位置和物体的形状。
通过合理选择投影类型，可以准确地表示平面图形在不同视角下的投影效果。
希望这个解释对你有所帮助。
三视图(第1课平行、中心、正投影)资料
2、同一时刻阳光下的影子长的物体比影子短的物体 高。对吗？
3、太阳光下转动一个正方体，它的投影最多是 边形，最少是 边形
9
你能指出这些图形分别从哪个角度观察得到的吗?
视图
三视图法：从正面、上面和侧面 （左面或右面）三个不同的方向 看一个物体，然后描绘三张所看
左视图：
第二列的方块有 2 个，
动手设计
请画出下面立体图形的三视图。 俯视方向 注意：根据“长对正，高平齐，宽相等” 画 三视图必须遵循的法则作图.
挑战中考
2008年中招试题
4.如图（1）是一些大小相同的小正方体组 成的几何体，其主视图如图（2）所示，则 其俯视图是（ B）
图（1）
图（2）
A
B
C A
B
D
3
3、中心投影规律及画法：
灯光下，不同物体的影子 方向可能同也可能不同； 等高物体垂直地面，离光 源近影子短，离光源远影 子长；等长物体平行地面， 离光源近影子长，离光源 远影子短。影长与物长不 一定成比例。
例：如图根据小明和小红的影子确定路灯的位置，并画 出塔的影子。
4
二、正投影（特殊的平行投影）
中的数字表示在该位置小正方
1
体的个数。
你能摆出这个几何体吗？
试画出这个几何体的主 视图与左视图。
主视图：
左视图：
21 2
21
不用摆出这个几何体，你能画出 这个几何体的主视图与左视图吗？
12
思考方法
先根据俯视图确定主视图有 列，
主视图：
再根据数字确定每列的方块有 个，
主视图有 3 列，第一列的方块有 1 个， 第二列的方块有 2 个，第三列的方块有 1 个， 左视图有 2 列， 第一列的方块有 2 个，
投影面平行面的投影特性
投影面平行面的投影特性
平行投影的基本性质：
积聚性
当直线或平面平行于投射线（在正投影中则垂直于投影面）时，其投影积聚于一点或一直线。
这样的投影称为积聚投影。
在正投影中，直线AB平行于投射线，其投影积聚为一点a（b），平面□ABCD平行于投射线，其投影积聚为一直线ad.投影的这种性质称为积聚性。
显实性（或实形性）
当直线或平面平行于投影面时，它们的投影反映实长或实形。
直线AB平行于H面，其投影ab反映AB的真实长度，即ab=AB.平面ABCD平行于H面，其投影反映实形，即□abcd≌□ABCD.
类似性
一般情况下，直线或平面不平行于投影面，因而点的投影仍是点，直线的投影仍是直线，平面的投影仍是平面。
当直线倾斜于投影面时，在该投影面上的投影短于实长，当平面倾斜于投影面时，在该投影面上的投影比实形小，这种情况下，直线和平面的投影不反映实长或实形，其投影形状是空间形状的类似形，因而把投影的这种性质称为类似性。
第2章 正投影法基础
第2章正投影法 基础
正投影法基础
§2-1 投影法的基本概念
一、中心投影法 二、平行投影法 三、正投影法中平面和直线的投影特点
正投影法基础
一、投影方法
物体在投影面上的影像称投影， 获得投影的方法称投影法。
投射线
S
投射中心
A
空间点
投影
b
a 投影
空间点
B
投影面
正投影法基础
二、投影法的种类
V
水平投影面（简称水平面或H面） 侧立投影面（简称侧面或W面）
X
O
投影轴
OX轴 V面与H面的交线
OY轴 H面与W面的交线
Y
OZ轴 V面与W面的交线
正投影法基础
将物体置于三个相互垂直的投影面内
V
正投影法基础
二、三视图的形成
视图的概念
视图就是将物体向投影面投射所得的图形。
在V面中的投影称为正面投影—主视图；
正投影法基础
§2-3 立体表面几何元素的投影分析
一、立体上点的投影 二、立体上直线的投影
三、立体上平面的投影
正投影法基础
一、立体上点的投影
1.点在一个投影面上的投影 P
a A
点在一个投影面上 的投影不能确定点的空 间位置。
P
b B1 B3 B2
正投影法基础
一、立体上点的投影
2. 点的三面投影 V Z a●
b
●
YH
B点在A点之前、 之右、之下。
重影点
A、C为H面的重影点
a
● ●
空间两点在某一投 影面上的投影重合为一 点时，则称此两点为该 投影面的重影点。
a c
c ●
专训1 平行投影、中心投影、正投影间的关系(3)
专训1 平行投影、中心投影、正投影间的关系名师点金：1．平行投影的投影线是平行的，在同一时刻物体的影长与物高成正比；中心投影的投影线相交于一点，在同一时刻物体的影长与物高不一定成正比．2．平行投影在同一时刻的影子总在同一方向；中心投影在同一时刻的影子不一定在同一方向．3．正投影是投影线垂直于投影面的平行投影．利用平行投影与中心投影的定义判断投影1．如图，下列判断正确的是( )(第1题)A．图①是在阳光下的影子，图②是在灯光下的影子B．图②是在阳光下的影子，图①是在灯光下的影子C．图①和图②都是在阳光下的影子D．图①和图②都是在灯光下的影子2．如图，下面是北半球一天中四个不同时刻两个建筑物的影子，将它们按时间先后顺序进行排列，正确的是( )(第2题) A．③④②①B．②④③①C．③④①②D．③①②④利用平行投影与中心投影的特征作图3．如图，两棵树的影子是在太阳光下形成的还是在灯光下形成的？画出同一时刻旗杆的影子．(用线段表示)(第3题)4．如图①②分别是两棵树及其影子的情形．(第4题)(1)哪个图反映了阳光下的情形？哪个图反映了路灯下的情形？(2)你是用什么方法判断的？(3)请分别画出图中表示小丽影子的线段．正投影的识别与画法5．如图，若投影线的方向如箭头所示，则图中物体的正投影是( )(第5题)6．一个正方体框架上面嵌有一根黑色的金属丝，如图所示．若正方体的面平行于投影面P，且垂直于投影面Q，画出这个物体在两个投影面上的正投影．(第6题)答案1．B点拨：图①中影子的方向不同，是在灯光下的影子；图②中影子的方向相同，且影长与树高成正比，是在阳光下的影子．2．C3．解：如图，过树和影子的顶端分别画两条光线1，1.观察可知，1∥1，故两棵树的影子是在太阳光下形成的．(第3题)过旗杆的顶端C画1(或1)的平行线1，交地面于点C1，连接旗杆底端O和点C1，则线段1即为同一时刻旗杆的影子．点拨：根据物体和影子之间的关系可以判断是平行投影，然后根据平行投影的特征即可完成题中的要求．4．解：(1)题图②反映了阳光下的情形，题图①反映了路灯下的情形．(2)题图①中过影子顶端与树顶端的直线相交于一点，符合中心投影的特点，因此题图①反映了路灯下的情形；题图②中过影子顶端与树顶端的直线平行，符合平行投影的特点，因此题图②反映了阳光下的情形．(第4题)(3)路灯下小丽的影子如图①所示，表示影子的线段为；阳光下小丽的影子如图②所示，表示影子的线段为., 误区诊断)：平行投影和中心投影对应的光线是不同的，形成平行投影的光源发出的光线是平行光线，而形成中心投影的光源发出的光线交于一点；同一时刻，平行投影下的影子的方向总是在同一方向，而中心投影下的影子可能在同一方向，也可能在不同方向．5．C点拨：观察图中的两个立体图形，圆柱的正投影为长方形，正方体的正投影为正方形，故选C.6．解：画出的正投影如图所示．这个物体在投影面P上的正投影是正方形A1B1C1D1及线段E1F1；在投影面Q上的正投影是正方形C2D2G2H2.(第6题)点拨：当物体的某个面(或某条边)与投影面平行时，这个面(或这条边)的正投影和这个面(或这条边)相同；当物体的某个面(或某条边)与投影面垂直时，这个面(或这条边)的正投影是一条线段(或一个点)．。
正投影法
答案=“A”在______中所得到的投影总要比实物大。 在机械制图中使用最广泛的是______。 A、中心投影法/正投影法 B、中心投影法/中心投影法 C、正投影法/中心投影法 D、正投影法/正投影法 答案=“C”在三视图中，左视图能反映投影体______的尺寸。 A、长度和宽度 B、长度和高度 C、高度和宽度 D、长度、高度和宽度 答案=“A”在三视图中，符合“宽相等”规律的是______。 A、俯视图与左视图 B、主视图与仰视图 C、主视图与俯视图 D、主视图与左视图 答案=“C”不反映物体左、右位置关系的是______。 A、主视图 B、俯视图 C、左视图 D、主视图和俯视图
物体的视图
主视图——由前向 为了将空间投 后投影，在正面上 影体系画在同一平 得到的视图 面上，规定正面保 俯视图——由上向 持不动，水平面和 下投影，在水平面 侧面按箭头方向实 上得到的视图 施旋转90° ，使三 个视图处于同一平 左视图——由左向 面上。 右投影，在侧面上 得到的视图
物体的视图
二、投影基础
一、 正投影法 投影法：投影线通过物体，向选定的投影面投射，并在该面上得到图形 的方法。 （一） 投影法的种类 1 中心投影法：投射线互不平行且江交于一点的投影法称为中心 投影法，其投影中心位于有限远处。 投影中心 特点 投影线 A
C a B ①投影线发自一 物体 投影中心点，投 影线相互倾斜。 中心投影 ②投影大小随距 离变化，不能反 映物体的真实大 c 投影面 小---投影比实 物大。 ☆☆
即“一固定。两旋转”。 ☆☆
③此时，H、W与V面同 处于一个平面上。 V面上的视图称为主视图， H面上的视图称为俯视图， W面上的视图称为左视图。
④省画投影面的边框和投 影轴称为无轴投影图； 三视图的相对位置，可根 据实际需要变动（即相邻 两视图之间距可大可小）。
正投影总结
正投影总结什么是正投影正投影是一种常见的几何学概念，它将一个对象投影到垂直于特定平面的平面上。
正投影常用于制图和工程设计中，可以用来显示三维对象在二维平面上的形状和尺寸。
正投影在工程、建筑、制造和计算机图形等领域中都有广泛的应用。
正投影的原理正投影的原理基于平行投影，即从无限远处以平行光线投射物体。
在正投影中，物体与投影平面垂直，所以投影是以直角的方式映射到平面上的。
正投影可以用数学的方法描述。
设物体上的一个点为P，该点的坐标为（x，y，z），投影面为xy平面。
则该点的投影为（x，y，0），其中0表示在z轴上的坐标为0。
正投影的应用正投影在各个领域中都有广泛的应用，下面列举了几个常见的应用：1. 工程制图工程制图中常常需要将三维物体转换为二维平面上的图纸。
通过正投影，可以将多个视图绘制在图纸上，呈现出物体的形状和尺寸。
这对于建筑设计、机械制造和电气工程等领域来说非常重要。
2. 计算机图形学在计算机图形学中，正投影常用于将三维模型转换为屏幕上的二维图像。
通过正投影，可以确定物体在屏幕上的位置和大小，并进行后续的渲染和处理。
3. 地图制作在地图制作中，正投影被广泛应用于制作平面地图。
通过将地球或其他地理物体进行正投影，可以在平面上准确地描绘出地理信息，包括位置、距离和方位等。
4. 光学研究在光学研究中，正投影可以用于模拟光线在物体上的传播和反射。
通过正投影，可以确定光线在物体上碰撞的位置和角度，从而帮助研究光学现象。
正投影的优势和限制正投影具有以下优势：•简单：正投影的计算和转换相对简单，可以快速获得物体在二维平面上的表示。
•保留形状和尺寸：正投影可以准确地保留物体的形状和尺寸，便于进行测量和分析。
•易于理解：正投影产生的图像易于理解和解释，适合用于交流和展示。
然而，正投影也有一些限制：•无法表达深度：正投影只能将物体在一个平面上表示，无法表达物体的深度信息。
•失真问题：由于正投影是通过平行光线进行投影，所以在远离投影平面的部分，物体的形状可能会出现失真。
平行投影与正投影课件
（1）
（2）
11、贝贝和他爸爸在阳光下的沙滩上漫步，他不想 让爸爸看到他的影子，那么你能画出贝贝的大致 活动的范围吗？
A
B
12. 如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时 刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长1.5米，在同时刻 测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落 在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影 长为21米，留在墙上的应高为2米，求旗杆的高度.
DC
A
B
D*
C*
A* B* Q
(1)
D
A
C
B
AD C
B
D*
C*
D*(C*)
A*
B*
A*(B*)
(2)
(3)
归纳总结
形状、大小不 大小变化 变（全等）
形状、大小不 形状、大小
变（全等）
均变化
点 线段
新识探究
当物体的某个面平行于投影面 时，这个面的正投影与这个面的形状 、大小完全相同．
归纳总结 中心投影与平行投影的区别与联系
根据上述知识，你能请按照时间的先后顺序(早, 中,晚)排列太阳光在一天内的照射方向,照射状态, 和影子变化情况吗?
从早晨到傍晚，太阳光照射方向：
东→东南→南→西南→西
北
对应影子的方向：
西→西北→北→东北→东
东
物体影子的长度变化是： 长→短→最短→短→长
思考：下图中三幅图是在我国北方某地某天上 午不同时刻的同一位置拍摄.
A.24 m C.28 m
B.25 m D.30 m
4.(2020陕西西安雁塔月考)如图5-1-3所示,甲物体高4米,影长3米,乙 物体高2米,影长4米,两物体相距5米. (1)在图中画出灯的位置,并画出丙物体的影子; (2)若灯杆、甲、乙都与地面垂直并且在同一直线上,试求出灯的高 度.
5.1 第2课时 平行投影与正投影
请将它们按拍摄的先后顺序进行排列，并说明你的
理由.
(乙) → (甲) → (丙) .
（2）在同一时刻，大树和小树的影子与它们的高 度之间有什么关系？与同伴交流.
在同一时刻,大树和小树的影子与它们的高度成比例.
例2 某校墙边有甲、乙两根木杆.已知乙杆的高度为1.5m. (1) 某一时刻甲木杆在阳光下的影子如下图所示，你能 画出此时乙木杆的影子吗？
小和形状上已发生 变为线段C'D'
改变
(或A'B')
归纳总结
平面图形的正投影有如下规律： 平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段.
练一练
1.皮皮拿着一块正方形纸板在阳光下做投影实验，C
D
2.小明同学拿着一个如图所示的三角形木架在太阳 光下玩，他不断变换三角形木架的位置，他说他发 现了三角形木架在地上出现过的影子有四种：①点； ②线段；③三角形；④四边形．你认为小明说法中 正确的有__②__③___（填序号）.
侧面与投影面平行，则该正方体有4个面的正投影是
线段；④圆锥的轴截面与投影面平行，则圆锥在投影
面上的正投影是等腰三角形．
A．1个 B．2个 C．3个
D．4个
随堂练习
1、一天下午，秦老师先参加了校运会200m比赛， 然后又参加400m比赛，摄影师在同一位置拍摄了 她参加这两场比赛的照片（如下图）。你认为秦 老师参加400m比赛的照片是哪一张？为什么？
2.一根笔直的小木棒（记为线段AB），它的正 投影为线段CD，则AB___≥__CD (填“＝”“＜”“＞”“≥”或“≤”).
3.下列说法正确的是（ C ）
①线段a垂直于投影面P，则线段a在投影面P上的正投
影是一个点；②长方形的对角线垂直于投影面，则长