静定结构受力分析和特性静定结构的定义静定结构是没有

第二节静定结构受力分析和特性一、静定结构的定义静定结构是没有多余约束的几何不变体系。

在任意荷载作用下，其全部支座反力和内力都可由静力平衡条件确定，即满足静力平衡条件的静定结构的反力和内力的解答是唯一的。

但必须指出，静定结构任意截面上的应力和应变却不能仅由静力平衡条件确定，还需要附加其他条件和假设才能求解。

二、计算静定结构反力和内力的基本方法在静定结构的受力分析中不涉及结构材料的性质，将整个结构或结构中的任一杆件都作为刚体看待。

静定结构受力分析的基本方法有以下三种。

(一)数解法将受力结构的整体及结构中的某个或某些隔离体作为计算对象，根据静力平衡条件建立力系的平衡方程，再由平衡方程求解结构的支座反力和内力。

(二)图解法静力平衡条件也可用力系图解法中的闭合力多边形和闭合索多边形来代替。

其中闭合力多边形相当于静力投影平衡方程，闭合索多边形相当于力矩平衡方程。

据此即可用图解法确定静定结构的支座反力和内力。

(三)基于刚体系虚位移原理的方法受力处于平衡的刚体系，要求该力系在满足刚体系约束条件的微小的虚位移上所做的虚功总和等于零。

据此，如欲求静定结构上某约束力(反力或内力)时，可去除相应的约束，使所得的机构沿该约束力方向产生微小的虚位移，然后由虚位移原理即可求出该约束力。

三、直杆弯矩图的叠加法绘制线弹性结构中直杆段的弯矩图，采用直杆弯矩图的叠加法。

直杆弯矩图的叠加法可叙述为：任一直杆，如果已知两端的弯矩，则杆件的弯矩图等于在两端弯矩坐标的连线上再叠加将该杆作为简支梁在荷载作用下的弯矩图，如图2－1所示。

作弯矩图时，弯矩值坐标绘在杆件受拉一边，弯矩图中不要标明正、负号。

(a) (b)图2－1四、直杆内力图的特征在直杆中，根据荷载集度q，弯矩M、剪力V之间的微分关系dV／dx＝q，dM／dx ＝V、d2M／dx2＝q，可推出荷载与内力图的一些对应关系，这些对应关系构成了弯矩图与剪力图的形状特征(表2—1)。

表2—1注意到截面上轴力与剪力是互相垂直的，只要根据剪力图的特征，并结合杆件上的荷载情况，就可得到轴力图的特征。

熟悉掌握内力图的特征，便于绘制和校核内力图。

五、静定多跨梁(一)静定多跨梁的组成由中间铰将若干根单跨梁相连，并用若干支座与地基连接而成的静定梁，称为静定多跨梁。

图2—2(a)、图2—3(a)所示为静定多跨梁的两种基本形式，也可由这两种基本形式组成混合形式。

图2—2(a)中的AB杆与基础组成的几何不变体能单独承受荷载，称为基本部分。

而其余的CD、EF部分，则必须依靠基本部分才能保持为几何不变，称为附属部分。

图11—2-2(b)为表示这种基本部分与附属部分关系的层叠图。

图2－2图2—3(a)所示的梁，在竖向荷载作用下，AB、EF部分为基本部分，CD则为附属部分，其层叠图如图2—3(b)所示。

图2－3静定多跨梁的支座反力数等于三个整体静力平衡方程数与连接杆件的单铰数之和。

(二)静定多跨梁的计算因为作用在基本部分上的荷载对附属部分的内力不产生影响，而作用在附属部分上的荷载，对支撑它的基本部分要产生内力，因此，静定多跨梁的内力计算，一般可按以下步骤计算。

1．区分基本部分和附属部分，绘出层叠图。

2．根据层叠图，从最上层的附属部分开始，依次计算各单跨梁的支座反力井绘制内力图。

在计算中要将附属部分的反力传至支撑它的基本部分。

3．对反力和内力图进行校核。

支座反力一般可根据静定多跨梁的整体平衡条件校核。

弯矩图、剪力图一般可根据表2－1中M图与y图的形状特征进行校核，也可以从梁中截取任一隔离体由平衡条件校核。

[例2－1] 求作图2－4（a）所示静定多跨梁的弯矩图和剪力图。

图2－4[解] 层叠图如图2－4（b）所示。

各附属部分、基本部分的计算过程如图2－4（c）所示。

弯矩图和剪力图分别如图2－4（d）所示。

其中剪力图的正、负号规定与材料力学中的规定相同。

容易看出，当跨度和荷载均相同时，静定多跨梁的弯矩比简支梁的弯矩小，并且只要调整静定多跨梁中间铰的位置，就可使梁的各截面弯矩值的相对比值发生变化，这是静定多跨梁的优点。

但由于中间铰的存在，构造就复杂一些。

六、静定平面刚架部分结点或全部结点是刚性连接的结构称为刚架。

各杆轴线、支座及荷载均在同一平面内的静定刚架称为静定平面刚架。

静定平面刚架的内力计算，通常是先求出支座反力及铰接处的约束力，再由截面法求出各杆端截面的内力，然后根据荷载情况及内力图的特征，逐杆绘制内力图。

[例2－2] 绘制图2－5（a）所示刚架的弯矩、剪力、轴力图。

图2－5[解] (1)计算支座反力根据刚架的整体平衡条件，由ΣX＝0，得H A＝4qa；ΣM A＝0，得V B＝2qa；ΣY＝0，得V A＝2qa。

(2)计算各杆端截面的弯矩、剪力、轴力。

由截面法可得各杆端截面的内力值为： AC杆：M AC＝0，M CA＝16qa2(左侧受拉)；V AC＝4qa，V CA＝—12qa；N AC＝2qa，N CA＝2qa(轴力以拉力为正)。

BE杆：M BD＝0，M DB＝18qa2(右侧受拉)；V BD＝—1.2qa，V DB＝8.4qa；N BD＝—1.6qa，N DB＝—8.8qa。

CD杆：M CD=16qa2(上侧受拉)，M DC=24qa2(上侧受拉)；V CD＝—2qa，V DC＝—2qa；N CD＝—12qa，N DC＝—12qa。

(3)作弯矩、剪力、轴力图根据上述计算结果及各杆的荷载情况，应用直杆弯矩图的叠加法，并按照内力图的特征，就可作出刚架的M、V、N图，分别如图2—5（b）、（c）、（d）所示。

(4)校核为校核平衡条件，可任取刚架的某些局部为隔离体，如图2－5（e）所示的隔离体，满足平面一般力系的三个平衡条件：ΣX＝0；ΣM＝0；ΣY＝0。

图2—5（f）所示结点D隔离体，满足平面一般力系的三个平衡条件：ΣX＝0；ΣM D＝0；ΣY＝0。

七、三铰拱和三铰刚架的内力计算图2—6（a）所示由曲杆组成的结构在竖向荷载作用下将产生水平反力，这种结构称为拱形结构。

而图2—6（b）所示的结构，在竖向荷载作用下其水平支座反力等于零，这种结构称为曲梁。

图2—6（c）所示为两个曲杆由三个不共线的铰与地基两两相连的三铰拱，它是工程中常用的静定拱形结构，由于它的支座产生水平推力，基础应具有相应的抗力，故有时做成图2—6（d）所示的拉杆拱，水平推力由拉杆来承担。

图2－6三铰拱由于存在水平推力，故拱轴截面中的弯矩比相同跨度相同荷载的简支梁的弯矩要小，使拱成为主要是承受压力的结构，可采用受压性能强而受拉性能差的材料建造。

与简支梁相比，拱形结构可以跨越更大的跨度。

三铰拱的有关术语表示在图2—6（c）中，工程中常用的矢跨比f／l=0.5～1，常用的拱轴方程有二次抛物线，圆弧线，悬链曲线等。

(一)三铰平拱在竖向荷载作用下的支座反力及内力计算拱脚铰在同一水平线上的三铰拱称为三铰平拱。

支座反力由图2—7(a)所示三铰拱的整体平衡条件及顶铰C处弯矩为零的条件，可得支座反力的计算公式为V A＝V A0(2—1)V B＝V B0(2—2)H A＝H B＝H＝M C0／f (2—3)式中V A0、V B0、M C0分别为与三铰拱相同跨度、相同荷载简支梁(简称为三铰拱的代梁，图2—7b)支座A、B处的支座反力及截面C的弯矩。

式(2—3)表明，在给定的竖向荷载作用下，三铰拱的水平推力只与三个铰的位置有关，而与拱轴线的形状无关。

当荷载与拱跨不变时，推力H与矢高f成反比，f愈大即拱愈高时H愈小，f愈小即拱愈平时H愈大。

若f＝0，则H为无穷大，这时三铰已共线，体系为瞬变体系。

取图2—7c所示的隔离体，并由隔离体的平衡条件，可得任意截面D的弯矩、剪力、轴力计算公式为M D＝M D0—Hy D(2—4)V D＝V D0cosφD－HsinφD(2—5)N D＝V D0sinφD＋HcosφD(2—6) 式中M D、V D、N D的正方向如图2—7c所示，M D0、V D0为代梁D截面的弯矩、剪力，y D、φD的含意如图2—7a所示。

在图示坐标系中，φD在左半拱内为正，在右半拱内为负。

三铰拱的内力计算，除上述数解法外，还可用图解法进行，可通过绘制三铰拱的力多边形及压力线(索多边形)来确定其内力。

图2－7(二)三铰拱的合理拱轴在某种固定荷载作用下，拱的所有截面的弯矩均为零的轴线称为合理拱轴。

图2－8三铰拱在竖向荷载作用下合理拱轴的一般表达式，可根据合理拱轴的定义，令式 (2—4)等于零，得合理拱轴方程为y＝M0／H (2—7) 图2—8a所示三铰拱承受满跨均布荷载q作用，其具体的合理拱轴方程可按式(2－7)推导如下：按图2—8a所示坐标系，将代梁(图2—8b)的弯矩方程M0＝qx（l－x）／2及拱的水平推力H＝M C0／f＝ql2／8f代人式(2—7)得拱的合理拱轴方程为y＝4fx（l－x）／l2(2—8) 顺便指出，三铰拱在满跨填料重量作用下的合理拱轴为悬链曲线；在径向均布荷载作用下的合理拱轴为圆弧线。

(三)三铰刚架的内力计算分析图2—9a所示的三铰刚架，绘制其弯矩、剪力、轴力图。

1．计算支座反力计算三铰刚架的支座反力与三铰拱是类似的，除了应用三个整体平衡条件外，还需要利用铰C处弯矩等于零的条件。

经计算得H A＝1.33qa；V A＝24qaH B＝13.33qa；V B＝46qa2．计算各杆端截面内力并绘制内力图支座反力求出后，各杆端截面内力计算及各内力图的绘制方法，与前述简支刚架的方法都是相同的，得出的M、V、N图，分别如图2－9b、c、d所示。

( d )图2－9八、静定平面桁架(一)理想平面桁架的假定及其按几何组成的分类。

理想桁架应满足下面三个假定：1．各结点均为无摩擦的理想铰；2．各杆件轴线均为直杆，且各通过铰的几何中心；3．荷载都作用在结点上。

如图2—l0a、b、c所示平面桁架均为理想桁架。

符合上述假定的理想桁架的各杆只承受轴向力，横截面上只产生均匀的法向应力，与梁相比，受力合理，用料经济，自重较轻，可跨越较大的跨度。

不符合上述假定的桁架，在杆件中会产生弯曲次应力，理论分析和实验表明，当桁架的杆件比较细长时，这种次应力与由轴力引起的应力相比所占比例不大。

桁架按其几何组成可分为：简单桁架——从仅由三根杆件组成的三角形铰接单元出发，根据两元片规则，逐次扩展形成的桁架，如图2－10a所示。

联合桁架——由两个或两个以上的简单桁架联合组成的桁架，如图2－10b所示。

复杂桁架——不属于上述两类的桁架，如图2－10c所示。

桁架的有关术语表示在图2－10a中。

( a )( b )(c )图2－10(二)平面桁架的内力计算1．节点法取桁架的节点为隔离体，由平面汇交力系的平衡条件求解各杆内力的方法。

从理论上讲，任何静定平面桁架都可利用节点法求出全部杆件的内力，但为了避免求解联立方程，在每次截取的节点上不应超过两个未知内力。