必修一专题知识点

专题一：补充知识1.含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<< ||(0)x a a >>|x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b +看成一个整体，化成||x a <，||(0)x a a >>型不等式来求解2.十字相乘法：（1）q px x ++2可以化为：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 例： (1)01522=--x x ； (2)0652=+-x x ． （2）c bx ax ++2例：（1）01232=-+x x ； （2）09542=--x x提升提： (1)091022=+-y xy x （2）08)2(7)2(222=-+-+x x x x ． 3.一元二次不等式的解法： （1）2()f x ax bx c =++数轴标根法：① 达标（将二次项系数变为正数）② 求出两个根 ③ 画出数轴标根 ④ 得出结论 例：（1） 2670x x -++< （2）24590x x -++>（2）()()()00f x g x ∙>≥ ()()0f x g x ∙< 0)()(>x g x f0)()(<x g x f专题二：集合1.基本概念：（1） 确定性、互异性、无序性.{}{}{}|lg |lg (,)|lg A x y x B y y x C x y y x A B C ======例1：集合，，，、、中元素各表示什么？{}y x=：表示什么？例2、方程组⎩⎨⎧=-=+9122y x y x 的解集是 . 例3、（2010年江苏高考1）设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a 2+4},A∩B={3}，则实数a =______________（2） 常用数集：N ，N +，Z ，Q ，R（3） 元素与集合之间的关系：a M ∈，a M ∉注意：符号的开口方向；与集合和集合之间关系的区别：B A ⊆a 与{}a 的区别 ∅与{}0的区别 不能犯用｛实数集｝或{}R 来表示实数集R2.集合的表示法：（1）列举法 （2）描述法 （3）图示法=韦恩图 3.集合之间的关系：（1）子集、真子集集合A 有(1)n n ≥个元素，有 个子集，它有 个真子集， 个非空子集， 非空真子集. （2）交集、并集、补集 名称记号意义性质示意图交集 A B{|,x x A ∈且}x B ∈（1）A A A = （2）A ∅=∅ （3）A B A ⊆ A B B ⊆ BA并集 A B{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A = （2）A A ∅= （3）A B A ⊇ A B B ⊇ BA补集U A ð{|,}x x U x A ∈∉且（1）()U A A =∅ ð （2）()U A A U = ð （3）()()()U UU A B A B = 痧 （4）()()()UUU A B A B = 痧4.常见题型：（1）利用列举法解题： 例：},24k M x x k Zπππ⎧+==-∈⎨⎩，},42k N x x k Zππ⎧==+∈⎨⎩，M ，N 之间的关系。

奇数，偶数用描述法表示_________________________还有：KP71上6 DP7 自我检测3（2）懂得看韦恩图，并可以利用维恩图解决一些文字应用题。

例1、下列表示图形中的阴影部分的是 （ ）A ．()ABC B ．()()A B A CC ．()()A B B CD ．()A B C还有：KP72 下 6 DP10 韦恩图的利用例2、50名同学参加跳远和铅球测验，测验成绩及格的分别为40人和31人，2项测验成绩均不及格的有 4人，2项测验成绩都及格的人数是 （ ）A ．35 B ．25 C ．28 D ．15 还有：KP72 上7A B C（3）★集合的基本运算一个大的注意事项，已知A 是确定的集合，B 是含参数的不确定集合，有关系B A B ⋂=或者B A A ⋃= 记得一定要讨论B =∅的情况！ ①不含参数的例1、已知{}{}221,21A y y x x B y y x ==-+-==+，则A B = _________例2、设集合错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

，则满足错误！未找到引用源。

的集合 错误！未找到引用源。

为 .②含参数的：★与不等式相结合的题目：大前提：含参数集合是否有空集的情况。

首先，在数轴上划出确定集合的范围；其次，确定含参数集合的区间；最后，一定要检验端点是否会取到。

例1、已知{|3}A x a x a =≤≤+,{|1B x x =<-或5}x >.(1)若A B =∅ ,求a 的取值范围; (2) 若A B B = ,求a 的取值范围.例2、{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B φ≠且B A ⊆,求m 的取值范围.例3、设{}{}34|,|,<>=≤≤==x x x A C b x a x A R U U 或，则a = ，b = . 还有：KP71 下9 KP72上4、10 KP72下10、7★与二次函数的根相结合的题目： 大前提：含参数集合是否有空集的情况。

只要讨论根存在的三种可能。

例1、设集合{}0232=+-=x x x A ，{}0)5()1(222=-+++=a x a x x B（1）若{}2=B A ，求实数a 的值；（2）若A B A = ，求实数a 的取值范围若{}2=B A（4）★新定义集合例1、设P 和Q 是两个集合，定义集合=-Q P {}Q x P x x ∉∈且,|，如果{}1log 3<=x x P ，{}1<=x x Q ,那么Q P -等于专题三：函数1.分段函数的画图、并能求出函数值。

例1、 例2、， 2.映射：房间与人的关系： 例1、集合A ={3，4}，B ={5，6，7}，那么可建立从A 到B 的映射个数是__________，从B 到A 的映射个数是__________. 例2、若f :y =3x +1是从集合A ={1，2，3，k }到集合B ={4，7，a 4，a 2+3a }的一个映射，求自然数a 、k 的值及集合A 、B. 例3、（09年山东梁山）设f 、g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下表（从上到下）： 映射f 的对应法则是表1原象123422(2)()2(2)x x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩≤＋21()0x f x π⎧+⎪=⎨⎪⎩)0()0()0(<=>x x x (((2008)))f f f -=象3 4 2 1映射g 的对应法则是表2则与)]1([g f 相同的是（ ）A ．)]1([f g ；B ．)]2([f g ；C ．)]3([f g ；D ．)]4([f g 例4、（07年北京）已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是3.求函数的定义域 ① 分母不为0② n a ，当n 为偶数，必须保证0a > ③ 0a ，其中0a ≠．④ 指数函数()xf x a =，其中x 可以为R 。

⑤ 对数函数log a x ，其中0x >。

⑥若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．例1、函数)13lg(13)(2++-=x xxx f 的定义域是⑦对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑧由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．原象 1 2 3 4 象4312x1 2 3 ()f x131x1 2 3 ()g x3214.二次函数的恒成立问题：2()f x ax bx c =++（1）()0f x >恒成立：00a >⎧⎨∆<⎩，（2）()0f x <恒成立，0a <⎧⎨∆<⎩若()0f x ≥恒成立，_________________。

若()0f x ≤，_________________ 在题目当中通常表现为：值域或者定义域为R ；关键字“恒”。

例：函数＝268y kx x k =-++的定义域为R ，则k 的取值范围是 _5.求值域的常见方法：（1）换元法：针对于（可化为）“二次函数型”的函数，一定要注意换元后的二次函数的定义域，接着根据二次函数在给定区间求最值的方法。

例1、已知[]()9234,1,2x xf x x =-⨯+∈-，求值域。

（2）分离常数法：针对于分式函数。

例1、xxy -+=43，[]1,2x ∈-（3）单调性法：针对于函数的单调性已知的前提下。

（4）图像法：针对于分段函数和二次函数。

作图小技巧：如果遇到奇（偶）函数时，可以直接利用对称性画出函数图像.（5）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域，针对于分式，其中分母（子）是二次的。

例1、求函数22122+-+=x x x y 的值域分析：由22122+-+=x x x y 得012)1(22=-++-y x y yx ，若0=y ，则得21-=x ，所以0=y 是函数 值域中的一个值；若0≠y ，则由0)12(4)]1(2[2≥--+-=∆y y y 得021332133≠+≤≤-y y 且，故所求值域是]2133,2133[+-（6）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求。

例1、函数)32(log221++-=x x y 就是利用函数u y 21log=和322++-=x x u 的值域来求。

（7）逆求法：主要针对于分式。

例1、函数1212+-=x xy 的值域是6、复合函数（1）复合函数的定义域：对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出． 例1、设()xx x f -+=22lg，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛x f x f 22的定义域为（ ）（2）复合函数的值域：不常见 （3）复合函数的单调性： “同增异减”增+增=增 增—减=增 减+减=减 减—增=减例1、求下列函数的单调区间： y=log 4(x 2－4x+3)（4）复合函数的奇偶性：在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。