诺贝尔奖数学建模分析

二、问题分析
问题一分析：对于关于诺贝尔物理奖，化学奖，生物奖，文学奖和经济奖的名单， 国籍以及菲尔兹奖，图灵奖的名单，国籍等资料，可知这三个奖项 之间的关系与国籍的不同联系较大，于是可由随时间变化，以及在 不同国籍下的获得的数量，来比较这三个奖项之间的关系。 问题二分析：由问题一可推断获奖因素主要由该人所处的国家来决定，而我们衡 量一个国家的科技实力时，不仅要从该国家的科研投入、输出分析， 也应该对该国家现阶段所处的经济环境来着手，因此我们选择了 GDP、R&D，以及科研机构、综合大学在全球的比率来衡量该国家是 否能得奖的能力。 问题三分析：从问题二中所建立的模型，我们可以将中国历年的数据代入，粗略 地预测出大陆科学家获得诺贝尔奖的时间。
P = 494.13ln X 1664,6
x2 0.0352x1 276.08
最终建立的模型数据如下
y
10.11ln x
494.13ln x1x2 1664.6
1
1866.16 1910
100
满足限制条件x2 0.0352x1 276.08
四、符号说明
符号 符号所代表的意义 获奖人数 获奖情况的指标 L log m N 年份
N
L
t


x1 t
世界前30名科研机构数 /30
世界前100名高校数 /100
GDP t函数
R & D投入 t函数
拟合直线的相关系数 均为实验拟合的数据 常量，其中 m 10
8
x2 t
下面给出本次计算机模拟过程中的图表，原始数据将在附录中给出：
（3） 根据中国大陆的现有情况，我们修改了两个系数 , ，并将中国历年 GDP 与 R&D 投入情况作了函数拟合:
并根据（2）的结论得到下面的推断： 由于我们要借助（2）的模型计算出中国获奖的时间 t ，因此要将（2）中的因素转 化为时间的函数，我们给出计算结果：
题目：大陆科学家获得诺贝尔奖的时间
摘要
本文针对问题要求，通过利用最小二乘法多项式逼近，指数函数、对数函数 的逼近，在 excel 软件中得到各种需要的曲线的拟合，得出了较为合理的解答。 第一问中，我们通过对题目的理解以及合理假设，将问题转化为一个比较曲线与 曲线之间偏差程度的问题，并利用 excel 软件求得了在同一时间下诺贝尔奖的获 奖情况变量函数与图灵奖，菲尔兹奖的变量函数呈线性关系 ，并且拟合的相关系 数非常接近 1。 第二问中，通过在各种不同领域的比较中，我们认为诺贝尔奖与该国家的经 济发展、科技投入等因素有重要关系，我们通过对 GDP、R&D，以及科研机构、大 学等这些科技、经济因素的数据，最终建立了总的诺贝尔奖获奖情况与各种相关 因素的模型。 第三问中，我们将中国的相关数据整合出第二问中的函数关系，并且通过该 模型预测大陆科学家获得诺贝尔奖的时间为 2123 年。
M kt b
dL j dLi 8b k 2 dt dt t t0
这说明随着时间的增大，上式右端第二项时间的影响因素越来越小，因此我们仅 需考虑 k 对
dLi dL j 的影响.当二者比较趋同时， 说明两个奖项的获奖情况比较相 , dt dt
关，因此我们取 k 1 来判断其相关性， k 1 越小则说明相关性 越强，反之亦然. 下面给出 EXCEL 拟合计算得到的函数关系图像：
R2
k , b,U ,V , E, F
m, C , t0
Hale Waihona Puke , C 100, t0 1910
S , A, P
中间变量，其中
S logm N C ,
A
S
i 1
5
i
5
,
P A t t0
五、模型的建立与求解
根据已知数据筛选出各个国家在不同学科获奖情况，比较之后发现美国获 奖人数最多，而且由假设可知，美国作为世界上经济、科技、教育第一强国， 如果大陆想要在最短时间内获得诺贝尔奖， 那么大陆应该要与美国的这些因素 齐平，因此选择美国作为一个典型例子进行建模分析 （1） 1、不同学科的诺贝尔奖，菲尔兹奖和图灵奖的相关性： 首先要定义相关性，我们在这里考虑各学科获奖人数随时间变化趋势的相似度， 相似度越高则相关性越强。 对不同学科的获奖情况按照每年的获奖人数进行分类，一共有七项奖项，因 此可有七个独立的人数与时间的函数关系。在进行函数拟合的过程中，我们发现 人数随时间的波动非常大，其绝对振幅 N1 N 2 与相对振幅
N1 N 2 N1
都很大，
这令我们感到非常不满， 在拟合曲线的时候不能给出理想的拟合方程.因此首先要 降低绝对振幅.考虑如下的不等式：
logm N1 logm N 2≤N1 N 2 N1 N 2 其中m 1.
这样一个不等式就大大降低了绝对振幅，并且考虑到 函数 f m logm
实验我们得到当 C 100 时相对振幅变得很小， 因此我们得到一个与获奖人数 N 有关的变量 S logm N C ，这个变量的特点是绝对振幅和相对振幅都很小， 比较接近于一个常数.因此这样一个变量与时间的乘积将会与时间变量非常线性 相关，因此我们考虑与时间和获奖人数有关的一个变量
M logm N C t t0
关键词：最小二乘法拟合，函数的逼近，中国大陆，获得诺贝尔奖的时间
一、问题重述
诺贝尔奖的奖金总是以瑞典的货币瑞典克朗颁发，每年的奖金金额视诺贝尔 基金的投资收益而定， 1901 年第一次颁奖的时候， 每单项的奖金为 15 万瑞典克朗， 当时相当于瑞典一个教授工作 20 年的薪金。根据诺贝尔基金会章程，在评选的整 个过程中，获奖人不受任何国籍、民族、意识形态和宗教信仰的影响，评选的唯 一标准是成就的大小。 诺贝尔物理奖和化学奖由瑞典皇家科学院评定，生理或医学奖由瑞典皇家卡 罗林医学院评定，文学奖由瑞典文学院评定，经济奖委托瑞典皇家科学院评定。 最近，一年一度的诺贝尔科学奖不仅吸引国内科学家的注意，同样也引起大 众媒体的好奇和争议，中国科学家的学术水平距离诺贝尔奖励有多远。一个大家 都感兴趣的问题是，大陆科学家什么时间可以获得诺贝尔科学奖？ 本项研究旨在探究中国能否拿到诺贝尔奖与哪些重要因素有关，请建立数学 模型，回答下列问题： （1） 不同学科的诺贝尔奖，菲尔兹奖和图灵奖的相关性如何？ （2） 请你确定与诺贝尔奖相关的几个因素。 模型分析这些因素与诺贝尔奖的 关系。 （3） 杨振宁曾预测 20 年内大陆科学家的工作可以获得诺贝尔奖，用模型结 果回答他的观点是否正确。 写一篇 400 内的短文， 模型分析预测大陆科 学家获得诺贝尔奖的时间。

N1 ln N1 ln N 2 N2 ln m
将随着 m 的增大而减小.因此在这里我们将 m 从 10 增大到了 100，再进一步增大 到 10000，最终达到了 108 ，我们发现此时的绝对振幅已经很小了，若要再减少相 对振幅
logm N1 logm N 2 logm N1
就只能对函数增加一个很大的常数 C , 在这里经过




P u ln x v 的关系.也即有
P u1 ln x1 v1 P u2 ln x2 v2
又考虑到获奖人数 N 与 , 均呈线性关系，因此我们令
X x1 t x2 t
我们就可以断言 P 与 X 仍然保持很强的线性关系.通过计算机拟合我们得到 P 与
X 的函数关系，再将上面的结论带入这个函数，我们得到下面的方程：
5 log m Ni i 1 C t t0 U ln x1 t x2 t V 5


仿照（1） ，我们定义刻划总的诺贝尔奖获奖情况的变量 y
GDP t函数为x1 t ,R & D投入 t函数为x2 t
这两个函数可通过实验数据拟合得到，高校排名和科研机构排名由于是常数，我 们假设作为系数

世界前30名科研机构数 ， 30
世界前100名高校数 100
这里的 , 作为常系数.考虑到其的影响力，因此视获奖人数 N 与 , 均呈线性 关系， 同时我们需要定义新的变量， 用 A 来刻划获得诺贝尔奖的总情况.这样的定 义有其合理性，因为在（ 1）中刻划相关性时用到的变量 S logm N C 即是 刻划获奖情况的一个重要变量，因此我们沿用这一记号，而对总获奖情况采用了 算术平均.类似第一问， 我们对 A 也配上一个时间因子 t t0 变为我们在处理数据 时直接用到的变量 P A t t0 ，这样对函数拟合无疑是有很大帮助的，至少 在上一问就已经能够明显拟合出线性关系了. 拿同时间的 GDP 和 R&D 投入数据与 诺 贝 尔 获 奖 情 况 来 作 对 比 ， 经 计 算 机 拟 合 发 现 P与x1 t , x2 t 均 呈
y
log
i 1
5
m
Ni
5

lg N
i 1
5
i
40
作为诺贝尔奖获奖情况的评判函数，因此若中国拿到诺贝尔奖则此时的临界条件 应各奖项获奖人数的几何平均值为 1，也即 y 0 ，解上述方程，可得：
t 2123
其中由于文学奖的波动太小，我们在此不考虑其相关性.由上面的数据可以知道，物理，经济， 医学奖跟图灵奖极其相关，化学次之；经济，物理，医学和菲尔兹奖极其相关，化学次之.
（2） 模型分析 考虑科技经济因素，经济因素以 GDP 衡量之，科技因素包括 R&D 投入，高校 占世界前 100 名比例及科研机构占世界前 30 名比例.我们分别记
x1 t 5 1085 exp 0.1027t x2 t 10160 exp 0.1874t
0.016863, 0.06