初等数学研究答案

2.对自然数证明乘法单调性：设a，b，c∈N则（1）若a＝b，则ac＝bc（2）若a＜b，则ac＜bc（3）若a＞b，则ac＞bc证明：（1）设命题能成立的所有c组成的集合M.∵a·1=b·1∴1∈M假设c∈M即则(ac) ′= (bc) ′﹤＝﹥ac + 1 = bc + 1 重复以上过程a次，可得到ac + a = bc + a = bc + b即a(c+1) = b(c+1)∴c∈M由归纳公理知M = N.所以命题对任意自然数c成立(2)若a < b,则有k∈N,使得a + k = b,由(1) (a + k)c = bcac + kc = bc﹤＝﹥ac < bc(3)依据(2)由对逆性可得。

7.设α=(3+13) / 2 , β=( 3-13) / 2 , An= (αn-βn)/ 13(n=1,2,…..).(1) 以α,β为根作一元二次方程;(2) 证明A n+2=3A n+1+A n;(3) 用数学归纳法证明A3n 是10的倍数；解：(1) α+ β=3, α β=-1,∴由韦达定理得以α,β为根作一元二次方程为：X2-3X-1=0(2) 证：3A n+1+A n=3(αn+1-βn+1)/13+(αn-βn)/13=( α+ β) (αn+1-βn+1) /13+(αn-βn)/13= (αn+2 -βn+2 - α βn+1 + β αn+1 + αn- βn)/13= (αn+2 -βn+2)/13=A n+2(3) 证：①当n=1时，有A3 =10，则10| A3。

②假设当n=k时，有10| A3k则当n=k+1时，A3k+3 = 3A 3k+2+A3k+1=3(3A 3k+1+A3k) +A3k+1=10 A 3k+1 +3 A3k10|10 A 3k+1 , 10| 3A3。

∴ 10|10 A 3k+3由①②得，对∀n∈N*,有10| A3n。

9.证明整数集具有离散性。

证明：要证明整数集具有离散性，即要证明在任意两个相邻的整数a 与a′之间不存在整数b，使a<b< a′.假设存在b，b>a(a,b∈Z).则有k∈Z。

使b=a+k。

若k=1，则b=a+1=a′；若k>1,则b=a+k>a+1,即b>a ′, 因此b<a ′是不可能的。

10证明有理数乘法满足结合律。

证明：对于a 1, a 2，a 3∈Q,∃b i ,c i ∈Z(i=1,2,3)使得a 1 = 3c 3b ，且b i 与c i 互质(i=1,2,3)，则(a 1a 2)a 3=(1c 1b 2c 2b )3c 3b=3)21(3)21(c c c b b b=)32(1)32(1c c c b b b=1c 1b (2c 2b 3c 3b )=a 1(a 2a 3)∴有理数的乘法满足结合律。

11.指出下列集合中可以进行畅通无阻的算术运算，并且判断哪些集合构成数环： （1）{0}； （2）{1}； （3）N ； （4）N ∪{0}；（5）Q +（6）奇数集合； （7）偶数集合； （8）{0，±3, ±6，…，±3n ，…}； 解：（1）不可以进行畅通无阻的算术运算；∵ 0不能做分母。

{0}是数环，∵0+0,0-0,0×0∈{0}。

（2）可以进行畅通无阻的算术运算； 不是数环；∵1+1=2∈{1}（3）N 可以进行畅通无阻的算术运算； 不是数环；∵对1，2∈N ，1-2=-1∉N（4）N ∪{0}不可以进行畅通无阻的算术运算；∵0不能做分母。

不是数环；∵对1，2∈N ，1-2=-1∉N（5）Q + 可以进行畅通无阻的算术运算； 不是数环；∵对1，2∈N ，1-2=-1∉N（6）奇数集合不可以进行畅通无阻的算术运算；∵负数不能进行开方运算。

不是数环，因为对1,3∈奇数集合，但1+3=4∉奇数集合。

（7）偶数集合不可以进行畅通无阻的算术运算；∵负数不能进行开方运算。

是数环；∵对任意的两个偶数a 、b ，都有a+b ，a-b ，ab 都属于偶数集合。

（8）不可以进行畅通无阻的算术运算；∵ 0不能做分母，负数不能开方。

是数环，∵对任意的两个偶数a 、b ，都有a+b ，a-b ，ab 都属于{0，±3, ±6，…，±3n ，…}。

12.设有n 个正分数b abab a b a nn <<<< (3)32211（分母为正数）。

求证：b a b bb a aa b a nn nn<++++++< (2)12111。

证明：设b a i i（i=2,3,4.....n), b ajj(j=1,2,3....n-1)为符合题意的正分数，则按题意有ba b a ii<11ba b a nn j j <则有011111>-=-b b ba b a ba b a iiiii>-=-bb ba b a b a b a jnnjjnjjnn又 分母为正数∴有011>-b a b a i i （1）>-ba b a njjn（2）而)...()...()...( (2)11211211112121b b b b b b b a a a a b b a b bb a aa nn nnn ++++++-+++=-++++++)...()...()()(2111121121111b bb b b a b a b a b a b a b a n n n +++-+-+-=（3）根据（1）可知（3）式的分子大于零，而分母也大于零，所以上述式子 (1)12121>-++++++ba b bb a a a nn同理根据（2）可证0 (2)121>++++++-b b b a a a ba nnnn∴ba b bb a a a b a n nnn<++++++< (2)12111得证。

14.已知近似数2315.4的相对误差界是0.02%，试确定它的绝对误差界，并指出它的有效数字的个数。

解：由已知，相对误差界：%02.04.2315=∆=∆=a δ 所以绝对误差界46308.04.2315*%02.0==∆由于绝对误差界是近似数2315.4的十分位的一个单位，所以近似数2315.4的有效数字为5个。

15、计算2π0.001.解：22 3.1415 1.7321 6.2830 1.7321 4.551π-≈⨯-≈-≈16、设a 、b 、c 、d ∈Q ，x 是无理数。

求证：S=dcx bax ++是有理数的充要条件是bc ad =。

证：⇐把S=dcx bax ++分母有理化，分子分母同时乘于（d cx -）， 得S=))(())((d cx d cx d cx b ax -+-+=2222)(d x c bdx bc ad acx ----，又由x 为无理数，S为有理数，可得：bc ad =。

⇒由x 为无理数，现把S 的分子分母同时乘于（d cx -），得 S=2222)(d x c bdx bc ad acx ----又因为bc ad =，则S=2222d x c bdacx --，又a 、b 、c 、d ∈Q ，因此S 为有理数。

21.求复数1+（（√3+i ）/2）7的模及幅角的主值。

解：（（√3+i ）/2）7= -（√3+i ）/2 Z=1+（（√3+i ）/2）7=1-√3/2-1/2 |z|=r=√((1-√3/2)2+(-1/2)2)=√(2-√3) cosA=(1-√3/2)/√(2-√3) A=arcos(1-√3/2)/√(2-√3)22.设x,y 是实数，z=x+yi ，且|z|=1，求u=|z*z-z+1|的最大值和最小值。

解：∵|z|=1，设z=cost+isint ，z'为z 的共轭复数，z*z'=(cost+isint)*(cost-isint)=1，∴z*z'=1，即z^2-z+1=z^2-z+z*z'=z(z+z'-1)，u=|z^2-z+1|=|z(z+z'-1)|=|z|*|z+z'-1|=|z+z'-1|=|2cost-1，∴u=|2cost-1|，当cost=-1时，umax=3；当cost=1/2时，umin=0故umax=3，umin=0122112212221111212222112121212(2/)2/(1)(1)1(cos sin )1(cos sin )22()2/()()(1)2n nix ix ix ix inx inx n n ix ix ix i x k n ix i k n z z z r e r x i x z r e r x i x r e r e r e r e r r rnx nx k k z x x k nr e e r e e re e z r ππππ+-=+-==++==+-=∴=∴===+∈∴=+-=-=-==23.解解：令则1222/2/2//2()=/2(1)(1)/(1)(cos 2/sin 2/1)/(1cos 2/sin 2/)ix ix ix i k n i k n i k n e e re e e e k n i k n k n i k n πππππππ++=+-=++--24.设w 是方程Z n =1（n ∈N ）的一个虚根，w=cos （2m π/n ）+isin （2m π/n ），其中m ，n ∈N ，1<=m<n ，且m,n 互质，求证： （1）w,w 2,…,w n 是1的n 个不同的n 次方根（n 次单位根） （2）1+w+w 2+…w n-1=0; (3)(1-w)(1-w 2)…(1-w n-1)=n 。

证明：（1）由题有w n =1，则有（w r ）n =（w n ）r =1，r=1，2，…，n ；故w ，w 2，…w n 是1的n 个n 次方根。

下面证明w ，w 2，…，w n 两两不同。

假设w k =w i ，k ≠i ，且n>k>i ，由cos （2m π）+isin （2m π）=1，由m 与n 互质。

可知cos （2m π/n ）+isin （2m π/n ）≠1，即w ≠1.所以w k =w i 只能k=i ，这与假设矛盾。

（2）由w n =1，w n-1=0，（w-1）（1+w+w 2+…+w n-1）=0.因为w ≠1.所以（1+w+w 2+…+w n-1）=0.25.设，求13≤++i z ，求z 和arg z 的最大值和最小值。