电磁场与电磁波第四章
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电磁场与电磁波 第4章 静态场的边值问题
像电荷 q’ 应位于球内。由对 称性， q’ 在球心与 q 的连线上。
设 q’ 距球心为b，则 q 和 q’ 在球外 任一点(r,,)处产生的电位为
第四章 静态场的边值问题
1 ( q q) 4π 0 R R
1(
q
4π 0 r 2 d 2 2rd cos
q
)
r 2 b2 2rb cos
径为a 的圆的反演点。
第四章 静态场的边值问题
将式(4-2-3)代入(4-2-2)，可得球外任意点(r,,)的电位
q (
1
a
)
4π 0 r 2 d 2 2rd cos d r 2 b2 2rb cos
（4-2-5）
若导体球不接地且不带电，则当球外放置点电荷 q 后，它的
电位不为零，球面上净电荷为零。此情形下，为满足边界条件，
第四章 静态场的边值问题
第四章 静态场的边值问题
在给定的边界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程称为边 值问题。根据场域边界面上所给定的边界条件的不同，边值问 题通常分为 3 类：
第一类边值问题，给定位函数在场域边界面上的值； 第二类边值问题，给定位函数在场域边界面上的法向导数值； 第三类边值问题又称混合边值问题，一部分边界面上给定的 是位函数值，另一部分边界面上给定的是位函数的法向导数 值。
4.3.1 直角坐标系中的分离变量
直角坐标系中，标量拉普拉斯方程为
2 2 2
0 x2 y2 z2
（4-3-1）
第四章 静态场的边值问题
设 (x,y,z) = X (x)Y(y)Z(z)，代入方程(4-3-1)，整理可得
1 X
d2 X dx2
1 Y
d 2Y dy2
1 Z
d2Z dz2
设 q’ 距球心为b，则 q 和 q’ 在球外 任一点(r,,)处产生的电位为
第四章 静态场的边值问题
1 ( q q) 4π 0 R R
1(
q
4π 0 r 2 d 2 2rd cos
q
)
r 2 b2 2rb cos
径为a 的圆的反演点。
第四章 静态场的边值问题
将式(4-2-3)代入(4-2-2)，可得球外任意点(r,,)的电位
q (
1
a
)
4π 0 r 2 d 2 2rd cos d r 2 b2 2rb cos
（4-2-5）
若导体球不接地且不带电，则当球外放置点电荷 q 后，它的
电位不为零，球面上净电荷为零。此情形下，为满足边界条件，
第四章 静态场的边值问题
第四章 静态场的边值问题
在给定的边界条件下求解泊松方程或拉普拉斯方程称为边 值问题。根据场域边界面上所给定的边界条件的不同，边值问 题通常分为 3 类：
第一类边值问题，给定位函数在场域边界面上的值； 第二类边值问题，给定位函数在场域边界面上的法向导数值； 第三类边值问题又称混合边值问题，一部分边界面上给定的 是位函数值，另一部分边界面上给定的是位函数的法向导数 值。
4.3.1 直角坐标系中的分离变量
直角坐标系中，标量拉普拉斯方程为
2 2 2
0 x2 y2 z2
（4-3-1）
第四章 静态场的边值问题
设 (x,y,z) = X (x)Y(y)Z(z)，代入方程(4-3-1)，整理可得
1 X
d2 X dx2
1 Y
d 2Y dy2
1 Z
d2Z dz2
电磁场与电磁波第四章
1 [ q q' ]0 4 d a a d '
P(r, )
R q
q d
' '
a d
a2 d
q
结论：点电荷q对接地导体球面的镜像电荷为
电量：q ' a q 位置：d ' a2
d
d
球外电位：
q
[
1
4 r2 d 2 2rd cos
a
] (r a)
d r2 a4 / d 2 2r(a2 / d ) cos
唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊松方程） 的理论依据。
第二节 直角坐标系中的分离变量法
分离变量法：根据边界面的形状，选择合适的坐标 系，假定待求的位函数可表示为三个函数的乘积， 且其中每个函数分别仅是一个坐标的函数，将这个 函数代入拉普拉斯方程，通过分离变量将原来的偏 微分方程化为常微分方程。
a
] (r a)
d r2 a4 / d 2 2r(a2 / d ) cos
球壳外电位： 0 (r a)
2、点电荷对不接地球面导体边界的镜像
不接地：导体球面电位不为0，
球面上存在正、负感应电荷（感应
r
电荷总量为0）。 处理方法：电位叠加原理
q ' O
q'
d
P(r, ) R q
处理过程：
1、先假设导体球面接地，则球面上存在电量为q '的感应电荷，
镜像电荷可采用前面的方法确定。
2、断开接地。将电量为q ' 的电荷加到导体球面上，这些电荷必
然均匀分布在球面上，以使导体球为等势体。
3、均匀分布在导体球面上的电荷q ' 可以用位于球心的等量点
电荷等效。
P(r, )
R q
q d
' '
a d
a2 d
q
结论：点电荷q对接地导体球面的镜像电荷为
电量：q ' a q 位置：d ' a2
d
d
球外电位：
q
[
1
4 r2 d 2 2rd cos
a
] (r a)
d r2 a4 / d 2 2r(a2 / d ) cos
唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊松方程） 的理论依据。
第二节 直角坐标系中的分离变量法
分离变量法：根据边界面的形状，选择合适的坐标 系，假定待求的位函数可表示为三个函数的乘积， 且其中每个函数分别仅是一个坐标的函数，将这个 函数代入拉普拉斯方程，通过分离变量将原来的偏 微分方程化为常微分方程。
a
] (r a)
d r2 a4 / d 2 2r(a2 / d ) cos
球壳外电位： 0 (r a)
2、点电荷对不接地球面导体边界的镜像
不接地：导体球面电位不为0，
球面上存在正、负感应电荷（感应
r
电荷总量为0）。 处理方法：电位叠加原理
q ' O
q'
d
P(r, ) R q
处理过程：
1、先假设导体球面接地，则球面上存在电量为q '的感应电荷，
镜像电荷可采用前面的方法确定。
2、断开接地。将电量为q ' 的电荷加到导体球面上，这些电荷必
然均匀分布在球面上，以使导体球为等势体。
3、均匀分布在导体球面上的电荷q ' 可以用位于球心的等量点
电荷等效。
电磁场与电磁波：第四章作业答案
位移电流密度 和传导电流密度 分别为
由于轴对称性，两板间的磁场只有 分量，且在以 轴为中心、 为半径的圆周 上处处相等。于是由
可得
所以
（2）损耗功率瞬时值 为
平均损耗功率 为
（3）进入电容器的平均功率为
由此可见有
根据边界条件，在导线表面上电场的切向分量连续，即 。因此，在导线表面外侧的电场的切向分量为
又利用高斯定理，容易求得导线表面外侧的电场的法向分量为
故导线表面外侧的电场为
利用安培环路定理，可求得导线表面外侧的磁场为
故导线表面外侧的坡印廷矢量为
由内导体表面每单位长度进入其内部的功率
式中 是内导体单位长度的电阻。由此可见，由导线表面进入其内部的功率等于导体内的焦耳热损耗功率。
解坡印廷矢量的瞬时值为
故平均坡印廷矢量为
4.15在半径为 、电导率为 的无限长直圆柱导线中，沿轴向通以均匀分布的恒定电流 ，且导线表面上有均匀分布的电荷面密度 。
（1）导线表面外侧的坡印廷矢量 ；
（2）证明：由导线表面进入其内部的功率等于导线内的焦耳热损耗功率。
解：（1）当导线的电导率 为有限值时，导线内部存在沿电流方向的电场
4.9自由空间中的电磁场为
式中 。求：
（1）瞬时坡印廷矢量；
（2）平均坡印廷矢量；
（3）任一时刻流入如题4.9图所示的平行六面体（长 、横截面积为 ）中的净功率。
解（1）瞬时坡印廷矢量
（2）平均坡印廷矢量
（3）任一时刻流入如题4.9图所示的平行六面体中的净功率为
4.10已知某电磁场的复矢量为
式中 ， 为真空中的光速， 是波长。求：（1） 、 、 各点处的瞬时坡印廷矢量；（2）以上各点处的平均坡印廷矢量。
4.16由半径为 的两圆形导体平板构成一平行板电容器，间距为 ，两板间充满介电常数为 、电导率为 的媒质，如题4.16题所示。设两板间外加缓变电压 ，略去边缘效应，试求：
由于轴对称性，两板间的磁场只有 分量，且在以 轴为中心、 为半径的圆周 上处处相等。于是由
可得
所以
（2）损耗功率瞬时值 为
平均损耗功率 为
（3）进入电容器的平均功率为
由此可见有
根据边界条件，在导线表面上电场的切向分量连续，即 。因此，在导线表面外侧的电场的切向分量为
又利用高斯定理，容易求得导线表面外侧的电场的法向分量为
故导线表面外侧的电场为
利用安培环路定理，可求得导线表面外侧的磁场为
故导线表面外侧的坡印廷矢量为
由内导体表面每单位长度进入其内部的功率
式中 是内导体单位长度的电阻。由此可见，由导线表面进入其内部的功率等于导体内的焦耳热损耗功率。
解坡印廷矢量的瞬时值为
故平均坡印廷矢量为
4.15在半径为 、电导率为 的无限长直圆柱导线中，沿轴向通以均匀分布的恒定电流 ，且导线表面上有均匀分布的电荷面密度 。
（1）导线表面外侧的坡印廷矢量 ；
（2）证明：由导线表面进入其内部的功率等于导线内的焦耳热损耗功率。
解：（1）当导线的电导率 为有限值时，导线内部存在沿电流方向的电场
4.9自由空间中的电磁场为
式中 。求：
（1）瞬时坡印廷矢量；
（2）平均坡印廷矢量；
（3）任一时刻流入如题4.9图所示的平行六面体（长 、横截面积为 ）中的净功率。
解（1）瞬时坡印廷矢量
（2）平均坡印廷矢量
（3）任一时刻流入如题4.9图所示的平行六面体中的净功率为
4.10已知某电磁场的复矢量为
式中 ， 为真空中的光速， 是波长。求：（1） 、 、 各点处的瞬时坡印廷矢量；（2）以上各点处的平均坡印廷矢量。
4.16由半径为 的两圆形导体平板构成一平行板电容器，间距为 ，两板间充满介电常数为 、电导率为 的媒质，如题4.16题所示。设两板间外加缓变电压 ，略去边缘效应，试求：
电磁场与电磁波第四章时变电磁场
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
电磁场与电磁波第四章时变电磁 场..
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
2
4.1 电磁场波动方程
麦克斯韦方程 —— 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场 间的相互作用关系。
波动方程 —— 二阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性。
麦克斯韦方程组
波动方程。
无源区域中电磁场波动方程
时变电磁场唯一性定理
在以闭曲面S为边界的有界区域V 中，
V
如果给定t＝0 时刻的电场强度和磁场强度 S
的初始值，并且当t 0 时，给定边界面S
上的电场强度或者磁场强度的切向分量已知，那么，在 t > 0 的
任何时刻，区域V 中的电磁场都由麦克斯韦方程组唯一确定。
唯一性定理指出了获得唯一解所必须给定的边界条件。
第 4 章 时变电磁场
17
4.5.1 简谐电磁场的复数表示
简谐场量的复数表示形式
设 A(r,t)是一个以角频率 随时间t 作余弦变化的场量，它
可以是电场或磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，
它与时间的变化关系可以表示为：
A ( r ,t) A 0 c o s [t ( r ) ]
实数表示法 或称瞬时表示法
只要把微分算子 用 j 代替，就可把麦克斯韦方程转换为
t
简谐电磁场复矢量之间的关系，而得到简谐场的麦克斯韦方程。
H
J D t
E
B t
B 0
D
Hm
Jm
j D m
Em
j B m
Bm 0
D m m
H J j D
E j B
D
式中A0代表振幅、 ( r )为与坐标有关的相位因子。
第 4 章 时变电磁场
电磁场与电磁波第四章时变电磁 场..
电磁场与电磁波
第 4 章 时变电磁场
2
4.1 电磁场波动方程
麦克斯韦方程 —— 一阶矢量微分方程组，描述电场与磁场 间的相互作用关系。
波动方程 —— 二阶矢量微分方程，揭示电磁场的波动性。
麦克斯韦方程组
波动方程。
无源区域中电磁场波动方程
时变电磁场唯一性定理
在以闭曲面S为边界的有界区域V 中，
V
如果给定t＝0 时刻的电场强度和磁场强度 S
的初始值，并且当t 0 时，给定边界面S
上的电场强度或者磁场强度的切向分量已知，那么，在 t > 0 的
任何时刻，区域V 中的电磁场都由麦克斯韦方程组唯一确定。
唯一性定理指出了获得唯一解所必须给定的边界条件。
第 4 章 时变电磁场
17
4.5.1 简谐电磁场的复数表示
简谐场量的复数表示形式
设 A(r,t)是一个以角频率 随时间t 作余弦变化的场量，它
可以是电场或磁场的任意一个分量，也可以是电荷或电流等变量，
它与时间的变化关系可以表示为：
A ( r ,t) A 0 c o s [t ( r ) ]
实数表示法 或称瞬时表示法
只要把微分算子 用 j 代替，就可把麦克斯韦方程转换为
t
简谐电磁场复矢量之间的关系，而得到简谐场的麦克斯韦方程。
H
J D t
E
B t
B 0
D
Hm
Jm
j D m
Em
j B m
Bm 0
D m m
H J j D
E j B
D
式中A0代表振幅、 ( r )为与坐标有关的相位因子。
电磁场与电磁波及其应用 第四章
将以上两式相减， 得到
在线性、 各向同性媒质中， 当参数不随时间变化时，
于是得到 再利用矢量恒等式
可得到 (4.3.4)
在体积V上， 对式（4.3.4）两端积分， 并应用散度定理即 可得到
(4.3.５)
由于E和H也是相互垂直的， 因此S、 E、 H三者是相互 垂直的， 且构成右旋关系， 如图4.3-1 所示。
第四章 时变电磁场
4.1 波动方程 4.2 时变场的位函数 4.3 时变电磁场的能量与能流 4.4 时谐电磁场 4.5 左手媒质 4.6 时变电磁场的应用
4.1 波 动 方 程
在无源空间中， 电流密度和电荷密度处处为零， 即 ρ=0、 J=0。 在线性、 各向同性的均匀媒质中， E和H满足 麦克斯韦方程
图4.3-1 能流密度矢量与电场及磁场的方向关系
例4.3.1 同轴线的内导体半径为a、 外导体半径为b， 其 间均匀充填理想介质。 设内外导体间电压为U， 导体中流过 的电流为 I。 （1） 在导体为理想导体的情况下， 计算同轴线 中传输的功率； （2） 当导体的电导率σ为有限值时， 计算通 过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。
磁场仍为 内导体表面外侧的坡印廷矢量为
由此可见内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量， 也 有径向分量， 如图4.3-3所示。
图4.3-3 同轴线中电场、 磁场和坡印廷矢量 （非理想导体情况）
进入每单位长度内导体的功率为
式中
是单位长度内导体的电阻。 由此可见，
进入内导体中的功率等于这段导体的焦耳损耗功率。
利用复数取实部表示方法， 可将式（4.5.1）写成
式中
(4.4.2)
称为复振幅， 或称为u(r, t)的复数形式。 为了区别复数形 式与实数形式， 这里用打“•”的符号表示复数形式。
在线性、 各向同性媒质中， 当参数不随时间变化时，
于是得到 再利用矢量恒等式
可得到 (4.3.4)
在体积V上， 对式（4.3.4）两端积分， 并应用散度定理即 可得到
(4.3.５)
由于E和H也是相互垂直的， 因此S、 E、 H三者是相互 垂直的， 且构成右旋关系， 如图4.3-1 所示。
第四章 时变电磁场
4.1 波动方程 4.2 时变场的位函数 4.3 时变电磁场的能量与能流 4.4 时谐电磁场 4.5 左手媒质 4.6 时变电磁场的应用
4.1 波 动 方 程
在无源空间中， 电流密度和电荷密度处处为零， 即 ρ=0、 J=0。 在线性、 各向同性的均匀媒质中， E和H满足 麦克斯韦方程
图4.3-1 能流密度矢量与电场及磁场的方向关系
例4.3.1 同轴线的内导体半径为a、 外导体半径为b， 其 间均匀充填理想介质。 设内外导体间电压为U， 导体中流过 的电流为 I。 （1） 在导体为理想导体的情况下， 计算同轴线 中传输的功率； （2） 当导体的电导率σ为有限值时， 计算通 过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。
磁场仍为 内导体表面外侧的坡印廷矢量为
由此可见内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向分量， 也 有径向分量， 如图4.3-3所示。
图4.3-3 同轴线中电场、 磁场和坡印廷矢量 （非理想导体情况）
进入每单位长度内导体的功率为
式中
是单位长度内导体的电阻。 由此可见，
进入内导体中的功率等于这段导体的焦耳损耗功率。
利用复数取实部表示方法， 可将式（4.5.1）写成
式中
(4.4.2)
称为复振幅， 或称为u(r, t)的复数形式。 为了区别复数形 式与实数形式， 这里用打“•”的符号表示复数形式。
电磁场与电磁波第四章静态场分析
|yb U0
U0n 1Dnsin(na x)sh(na b)
Dn
4U0
(2n 1) sh
nb
a
(x,y) n 1(2n1 4 )U s 0hnbsin(n a x)sh(n a y)
➢镜像法只使用于一些比较特殊的边界； ➢镜像法的理论依据是唯一性定理；
➢镜像电荷的选取原则： A、镜像电荷必须位于待求区域之外； B、镜像电荷不能改变原边界条件。
1.点电荷对无限大接地导体平面的镜像
例：设无限大接地导体平面上方d处 r1 p 有一点电荷q，求上半空间电位。
r2
镜像电荷有多大？放在什么地方？
|x0
0
|xa 0
(x ,y)|x 0f(0 )g (y) 0
(x ,y)|x af(a )g (y) 0
g(y) 0
g(y) 0
f (0) 0
f (a) 0
A2 0
A2 0
A1sin(kxa)0
kx
n,(n1,2...)
a
注意：不能得到A1＝0
双曲函数
n
f (x)A1sin( a x)
应用对偶原理，可由一类问题的解，经过对偶 量的替换，得到另一类问题的解；或者将单一 问题按对偶原理分为两部分，这样工作量可以 减半。
应用对偶原理，不仅要求方程具有对偶性，而 且要求边界条件也具有对偶性。
在有源的情况下，对偶性依然存在，
2.叠加原理
若 和 1 分 别2 满足拉普拉斯方程，则 和 1 的线 2 性组合：
v
E
D v E vV
()V 2 V ——泊松方程
无源区域
0
2 0
——拉普拉斯方程
2. 恒定电场的拉普拉斯方程
电磁场与电磁波第四章
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
分类分析求解电磁问题
按时间变化情况
0 t 0 t
静态电磁场
第 3章
13:57
电磁波
第4、5、6、7、 8章
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
分类分析时变电磁场问题
共性问题
电磁波的 典型代表 均匀平面波
个性问题
电磁波的 传输 波导 电磁波的 辐射 天线
13:57
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
面对的问题！ 分析方法！ 关联的一般性物理问题！ 典型问题的应用： 时谐电磁场问题
13:57
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
4. 5
时谐电磁场
时谐电磁场的复数表示
复矢量的麦克斯韦方程
复电容率和复磁导率 亥姆霍兹方程
时谐场的位函数
平均能流密度矢量
13:57
D t
同理，可以推得无源区磁场波动方程为：
H 2 H 2 0 t
2
13:57
电磁场与电磁波
第4章 时变电磁场
面对的问题 单一媒质环境！ 波动方程的求解！ 分析方法： 利用时变电磁场特性 关联的一般性物理问题？ 典型问题的应用？
13:57
电磁场与电磁波
式中：A0为振幅、
为角频率， 2 f ( r )为初始相位，与坐标有关。
时谐场量的复数表示
由复变函数，知： cos(t ) Re(e jt ) ，则：
A(r , t ) A0 cos[t (r )]
jt j (r jt ) Re[ Am (r )e e ] Re[ A(r )e ] j ( r ) 式中： A(r ) Am (r )e
电磁场与电磁波(第四章)
复数表示法 空间相位因子
时间因子
16
在直角坐标系下，电场可表示为： E ex Ex e y E y ez Ez
E x ( x , y , z , t ) E xm ( x , y , z )cos t x ( x , y , z ) E y ( x , y , z , t ) E ym ( x , y , z )cos t y ( x , y , z ) t z ( x , y , z ) E z ( x , y , z , t ) E zm ( x , y , z )cos
根据欧拉公式
e j cos j sin
j ( t i ) ji j t e j t i Re I e Re I e e Re I m m
复振幅或相量（与时间无关）
表明：可以通过数学的方法，把一个实数范围的正弦时间函数与
t无关
照此法，矢量场的各分量Ei（i 表示x、y 或 z）可表示成
j [ t ( r )] j t i (r )e ] Re E e Ei (r , t ) Re[ E i im
各分量合成以后，电场强度为 复矢量
jt E (r , t ) Re[ Em ( r )e ]
例4.5.1 将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式 （1） E( z, t ) e x Exm cos(t kz x ) ey Eym sin(t kz y )
5
4.2
电磁场的位函数
讨论内容
位函数的定义 位函数的性质 位函数的规范条件 位函数的微分方程
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? 关键要素 ? 差分格式 ? 解的稳定性 ? 吸收边界条件
? 特点 ? 广泛的应用性 ? 节约运算和存储空间 ? 适合并行计算 ? 计算程序的通用性 ? 简单直观，容易掌握
? 计算步骤 ? 采用一定的网格划分方式离散化场域； ? 对场内的偏微分方程及各种边界条件进行差分离散化处理，建立差分格式， 得到差分方程组； ? 结合选定的代数方程组的解法，编制程序，求边值问题的数值解。
? 概况 ? 起源于土木工程和航空工程中的弹性和结构分析问题的研究，它的发展可 以追溯到Alexander Hrennikoff(1941) 和Richard Courant(1942) 的工作。 ? 核心思想：由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。 ? 基于MOM 的电磁场计算软件：HFSS 、ANSYS。
? 特点 ? 频域矩量法比较成熟，时域矩量法有待发展； ? 矩阵规模的大小涉及到占用内存的多少，在很大程度上影响 了计算的速度。
? 理论
? 在静电学中，在由点的电荷分布在点产生的电位分布可以表示为
V ?x, y, z??
1
4??
? ? v ?x', y', z'?dv'
v'
R
? 设 ? v ?x', y' z'?的一个解是
第四章 电磁算法及仿真
主要内容
? 电磁场数值算法 ? MOM 、FEM 、FDTD 、MRTD ? 电磁仿真软件 ? Maxwell 、CST 、HFSS
电磁场数值算法
小波基
加权余量法
边界积分法 内域积分法（伽略金法）
边界元法
矩量法
有限元法
快速算法
麦克斯韦方程组
时域多分辨分析法
时域有限差分法
有限差分法
? ?H y
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?Hx ?y
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?H y ?t
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? ?Ey ?? ?x
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?Ex ?y
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?H z ?t
??
mHz
? Yee元胞
? 计算方法
(i ? 1, j, k ? 1)
V1 ? ? 1V11 ? ? 2V12 ? ???? ? nV1n V2 ? ? 1V21 ? ? 2V22 ? ???? ? nV2n
?
? 亦即 V j ? ? 1V j1 ? ? 2V j2 ? ???? ? nV jn
?
Vn ? ? 1Vn1 ? ? 2Vn2 ? ???? ? nVnn
?V1 ? ?V11
Ex
Hz
(i, j, k ? 1)
Ey
Ey (i ? 1, j ? 1,k ? 1)
(i, j ? 1,k ? 1) Ez
Ez
Hx
z(k )
(i, j, k ) x(i)
Ey y( j)
Ez
Hy
(i ? 1, j ? 1,k)
Ex (i, j ? 1,k)
若已知t1=t0=nt时刻空间各处E的值
计算t2=t1+t/2时刻空间各处 H的值 计算t1=t2+nt/2时刻空间各处 E的值
时域积分方程法
矩量法 MOM (Method of Moment)
? 概况 ? R.F.Harrington 在20世纪60年代对矩量法求解电磁问题做了全面深入分析。 ? 核心思想：根据线性空间理论，N个线性方程的联立方程组、微分方程、 差分方程及积分方程均属于希尔伯特空间中的算子方程，它们可化作矩阵 方程予以求解，在求解过程中需计算广义矩量。 ? 基于MOM 的电磁场计算软件：ADS的momentum ，Sonnet 等
时域有限差分法 FDTD (Finite-Difference Time Domain)
? 概况 ? 1966年K.S.Yee提出的； ? 核心思想：把带时间变量的Maxwell 旋度方程转化为差分形式，模拟出电 子脉冲和理想导体作用的时域响应； ? 是目前计算电磁学界最受关注，最时髦的算法，但还在发展完善之中 ? 基于FDTD的电磁场计算软件：XFDTD 等
V1 j
V1n ??? 1 ?
? ?? ? ? ? ? ? ??? ??
?? ?
?? ?
或
???V?j ??? ?
?V j1
? ?
?
?
V jj ?
?
V?jn ????????j ???
பைடு நூலகம்
??Vn ?? ??Vn1
Vnj
Vnn ????? n ??
有限元法
FEM (Finite Element Method )
? 原理
麦克斯韦方程组
????? ? ????
H ? ?D ? J ?t
E
?
?
?B ?t
?
Jm
?D ? ?E
本构关系式
? ?
B
? ?
J
? ?H ?? E
?? J m ? ? m H
? ?Hz
? ?
?y
?
?H y ?z
?
?
?Ex ?t
?
?
Ex
? ? ?
?H ?z
x
?
?Hz ?x
?
?
?Ey ?t
??
Ey
1 ?
4??
? i ? i ?x', y' z'?dv'
i?1
v'
R
? ? ? ? Vj
?
n
?i
i ?1
1
4??
? i x', y' z' dv'i
vi
R ji
?即
n
? V j ? ? iV ji i ?1
? 其中 Vji
?
1 4??
? i ?x', y' z'?dv'i
vi
R ji
i ? 1,2,???, n
? Yee采用矩形网格进行空间离散，将每个节点进行编号，节 点的编号和其空间坐标位置按照下面的方式对应起来。
(i, j, k ) ? (i? x, j? y, k? z)
? 任意函数F(x, y, z, t)在时刻nΔt的值可以表示为
F n (i, j, k ) ? F (i? x, j? y, k? z, n? t)
? 原理 ? 将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函 数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数 及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达。从而使一个连续的无限自 由度问题变成离散的有限自由度问题。
? 特点 ? 近似性仅限于相对小的子域； ? 将函数定义在简单几何形状的单元域上，不考虑整个定 义域的复杂边界条件。
n
? v ?x', y' z'?? ? 1?1 ?x', y' z'?? ? 2 ? 2 ?x', y' z'?? ???? ? n ? n ?x', y' z'?? ? ? i ? i ?x', y' z'? i ?1
? 将解带入电位函数中可得
n
? ? ? ? V j ? V x j, y j , z j