Banach延拓定理及其应用(精)
15 巴拿赫不动点定理
1.5 Banach 不动点定理及应用巴拿赫不动点定理(Banach Fixed Point Theorem )，又称为压缩映射定理或压缩映射原理，它是用泛函分析方法统一处理许多关于解的存在性和唯一性问题(如微分方程、代数方程组、积分方程等)的一个重要定理．许多方程求解问题往往可以转化为求某映射的不动点，而压缩映射原理描述了映射不动点的存在性和唯一性的充分条件，并提供了一个迭代程序，按此程序逐次逼近可求不动点的近似值和误差，这是代数方程，微分方程，积分方程，泛函方程以及计算数学中的一个很重要的方法．1.5.1 Banach 不动点定理及推论定义 1.5.1 不动点(Fixed points)设X 是一个非空集合，:A X X →为映射，如果存在x X ∗∈满足()A x x ∗∗=，则称x ∗为映射A 的不动点．例如(1)从R 到R 上的映射2:f x x →有两个不动点，即0x =和1x =．(2)从2R 到2R 上的映射:(,)(,)f x y y x →有无穷多个不动点，即直线y x =上的所有点均是不动点．设f 是空间X 到自身的映射，方程()0f x =的求解可转化为求映射:()T x f x x α→+的不动点，其中常数0α≠(显然当Tx x ∗∗=时，即()f x x x α∗∗∗+=，可得()0f x ∗=)．关于不动点的定理，最简单而又最广泛应用的是著名的压缩映射原理．定义 1.5.2 压缩映射(Contraction mapping)设X 是一个度量空间，:A X X →为映射，如果存在常数(0,1)α∈，对于任何,x y X ∈，有(,)(,)d Ax Ay d x y α≤则称A 为X 上的压缩映射．称常数α为压缩系数．显然压缩映射是连续映射．下面的压缩映射原理是由Banach 于1922年给出的，也称为Banach 不动点定理．定理 1.5.1 Banach 不动点定理(压缩映射原理Contraction mapping principle )设X 是完备的度量空间，:A X X →是压缩映射，则A 在X 中具有唯一的不动点，即存在唯一的x ∗，使得()x A x ∗∗=．证明 任取0x X ∈，构造点列{}n x ：10()x A x =，21()x A x =，32()x A x =，43()x A x =，…，1()n n x A x −=，…．下面证明 (1)证{}n x 为基本列；(2)证n x x ∗→，()x A x ∗∗=；(3)证x ∗的唯一性．(1)证{}n x 为基本列．因为A 是压缩映射，所以不妨设(,)(,)d Ax Ay d x y α≤，其中(0,1)α∈，记100(,)d x x c =，于是有2110100(,)(,)(,)d x x d Ax Ax d x x c αα=≤≤； 23221210(,)(,)(,)d x x d Ax Ax d x x c αα=≤≤；34332320(,)(,)(,)d x x d Ax Ax d x x c αα=≤≤；…… ……1112120(,)(,)(,)n n n n n n n d x x d Ax Ax d x x c αα−−−−−−=≤≤．因此对于正整数k 有1121(,)(,)(,)(,)n n k n n n n n k n k d x x d x x d x x d x x +++++−+≤+++L110()n n n k c ααα++−≤+++L0(1)1n k c ααα−=−01nc αα≤−0→ (n →∞) 故{}n x 为基本列．(2)证n x x ∗→，()x A x ∗∗=．因为X 是完备的度量空间，所以基本列{}n x 收敛，不妨设n x x ∗→(n →∞)；又知压缩映射是连续映射以及1()n n x A x −=，于是lim n n x x ∗→∞=1lim ()n n A x −→∞=1(lim )n n A x −→∞=Ax ∗=．(3)证x ∗的唯一性．若存在1x X ∗∈且11()x A x ∗∗=，那么111(,)(,)(,)d x x d Ax Ax d x x α∗∗∗∗∗∗=≤于是1(1)(,)0d x x α∗∗−≤，从而1(,)0d x x ∗∗≤，即1x x ∗∗=．□注1 Banach 不动点定理给出了在完备度量空间X 中求解不动点的迭代法，即1x X ∀∈，由1n n x Ax +=(1,2,n =L )获得不动点n x x ∗→．第n 次迭代后的近似解n x 与不动点x ∗的误差估计：根据上述定理证明的第二部分知0(,)1nn n k d x x c αα+≤−，于是令k →∞有01000(,)(,)(,)111n n nn d x x c d x x d Ax x αααααα∗≤==−−−．即00(,)(,)1nn d x x d Ax x αα∗≤−．注 2 Banach 不动点定理中的两个条件压缩性和空间的完备性都是十分重要的．例如当(,)(,)d Ax Ay d x y <时，未必存在不动点．设:A →R R ，()arctan 2A x x x π=+−，那么,x y ∀∈R ，有(,)d Ax Ay Ax Ay =−(arctan )(arctan )22x x y y ππ=+−−+−(arctan arctan )x y x y =−−−2()1x yx y ξ−=−−+(由Lagrange 中值定理知存在(,)x y ξ∈或(,)y x ξ∈) 22()1x y ξξ=−+(,)x y d x y <−=．但是，当Ax x =时，方程arctan 2x π=无解，因此映射A 在R 中没有不动点．Lagrange 中值定理：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 连续，在开区间(,)a b 内可导，那么在(,)a b 内至少存在一点ξ(a b ξ<<)，使得()()()()'f b f a f b a ξ−=−．推论 1.5.1 设X 是完备的度量空间，映射:A X X →是闭球0(,)B x r 上的压缩映射，并且00(,)(1)d Ax x r α≤−，其中(0,1)α∈是压缩系数，那么A 在0,)B x r 中具有唯一的不动点．证明 显然0,)B x r 是完备度量空间X 的闭子集，所以0,)B x r 是完备的子空间．0,)x B x r ∀∈，有0(,)d x x r ≤，于是0000(,)(,)(,)d Ax x d Ax Ax d Ax x ≤+0(,)(1)d x x r αα≤+−(1)r r αα≤+−r ≤即0(,)Ax B x r ∈．可见A 是完备度量空间0(,)B x r 到0,)B x r 上的压缩映射，因此A 在0,)B x r 中具有唯一的不动点．□设映射:A X X →，记n nA AA A =64748L ，那么映射:n A X X →．推论 1.5.2 设X 是完备的度量空间，映射:A X X →，如果存在常数(0,1)α∈和正整数n ，使得,x y X ∀∈有(,)(,)n n d A x A y d x y α≤那么A 在X 中存在唯一的不动点．证明 显然n A 是压缩映射，所以n A 在X 中存在唯一的不动点x ∗，即n x A x ∗∗=．于是1()()n n n A Ax A x A A x Ax ∗+∗∗∗===可得Ax ∗也是n A 的不动点，由不动点的唯一性知：Ax x ∗∗=．同时易得2A x x ∗∗=，3A x x ∗∗=，…，n A x x ∗∗=下面证明x ∗的唯一性．设存在1x X ∗∈且11()x A x ∗∗=，得112A x x ∗∗=，113A x x ∗∗=，…，11n A x x ∗∗=，那么11(,)(,)d x x d Ax Ax ∗∗∗∗==K 1(,)n n d A x A x ∗∗=1(,)d x x α∗∗≤于是1(1)(,)0d x x α∗∗−≤，从而1(,)0d x x ∗∗≤，即1x x ∗∗=．□1.5.2 Banach 不动点定理的应用◇ 求方程的近似解定理 1.5.2 设:f →R R 是可微函数，且()1'f x α≤<，则方程()f x x =具有唯一解．证明 根据Lagrange 中值定理知存在(,)x y ξ∈，使得()()()()'f x f y f x y x y ξα−=−≤−，因此f 是完备度量空间R 上的压缩映射，于是由压缩映射原理知，()f x x =具有唯一解．例 1.5.1 求方程510x x +−=的根．解 显然函数5()1g x x x =+−的导函数为4()510'g x x =+>，即g 单调递增，且115()0232g =−<，(1)1g =，所以原方程只有一个根而且在(0.5,1)内．原方程可写为 51x x −=由于51x −不是一个压缩映射，即54(1)5'x x −=在(0.5,1)内并不小于1．将上式改造为5(1)x x λλ−=，即为5(1)(1)x x x λλ−+−=，于是当(0.5,1)x ∈及(0,1)λ∈时有54[(1)(1)]15'x x x λλλλ−+−=−−1λ<−．令14λ=，531()(1)44f x x x =+−，那么在(0.5,1)上()f x 满足 3()14'f x << 于是得()f x 是(0.5,1)上的压缩映射，取00.75x =，由迭代1()n n x f x +=可得10.7521x =，20.7533x =，30.7540x =，40.7544x =， 50.7546x =，60.7547x =，70.7548x =，80.7548x =，…．若取8x 作为不动点x ∗的近似解，其误差为80.750.75210.750.000810.75nx x ∗−≤−=−．□◇ 解线性代数方程组定理 1.5.3 设1111n n nn a a A a a ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠L M M L ，1nn x x x ⎛⎞⎜⎟=∈⎜⎟⎜⎟⎝⎠M R ，1n n b b b ⎛⎞⎜⎟=∈⎜⎟⎜⎟⎝⎠M R ，若对每个1i n ≤≤，矩阵A 满足11n ij j a =<∑，即11max 1nij i nj a α≤≤==<∑，则线性方程组Ax b x +=具有唯一解x ∗．证明 在n R 上定义距离1(,)max{i i i nd x y x y ≤≤=−，其中T 12(,,,)n n x x x x =∈L R ，T 12(,,,)n n y y y y =∈L R ，易验证(,)n d R 是完备的度量空间．令映射:(,)(,)n n T d d →R R 为Tx Ax b =+．记T 12(,,,)n Tx u u u u ==L ，T 12(,,,)n Ty v v v v ==L ，于是11111n i j j n n ni j n j a x b u u u a x b ==⎛⎞+⎜⎟⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠+⎜⎟⎝⎠∑∑M M ，11111n i j j nn ni j n j a y b v v v a y b ==⎛⎞+⎜⎟⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠+⎜⎟⎝⎠∑∑M M ． 因此1(,)max{}i i i nd Tx Ty u v ≤≤=−11max{()}nij j j i nj a x y ≤≤==−∑111max{}max{}nij j j i ni nj a x y ≤≤≤≤=≤⋅−∑(,)d x y α=由11max 1nij i nj a α≤≤==<∑可知T 是压缩映射，从而存在唯一的不动点x ∗，即线性方程组Ax b x +=具有唯一解x ∗，且可根据迭代1n n x Ax b +=+求得方程的近似解．□◇ 证明隐函数存在定理定理 1.5.4 设二元函数(,)F x y 在区域{(,),}x y a x b y ≤≤−∞<<+∞上连续，关于y 的偏导数存在，且满足条件0(,)'y m F x y M <≤≤，其中m ，M 是正常数，则存在连续函数()y f x =，[,]x a b ∈满足：[,]x a b ∀∈，(,())0F x f x =．证明 在完备度量空间[,]C a b 中定义映射T ：()[,]x C a b φ∀∈，1()()()(,())T x x F x x Mφφφ=−． 由于(,)F x y 是连续函数，所以[,]T C a b φ∈，即:[,][,]T C a b C a b →．下面证T 是压缩映射．设,[,]C a b φϕ∈，根据微分中值定理得，存在(0,1)θ∈，使得11()(,())()(,())T T x F x x x F x x M Mφϕφφϕϕ−=−−+ 1()()[(,())(,())]x x F x x F x x Mφϕϕφ=−+− 1()()[(,()(()())](()()'y x x F x x x x x x Mφϕφθϕφϕφ=−++−− (1)()()mx x Mφϕ≤−−． 记1mMα=−，显然01α<<，于是有T T φϕαφϕ−≤−，因此 [,](,)max ()()()()x a b d T T T x T x φϕφϕ∈=−[,]max ()()x a b x x αφϕ∈≤−(,)d αφϕ=因此T 是压缩映射，由压缩映射原理知存在唯一的()[,]f x C a b ∈，使得()()()Tf x f x =即(,())0F x f x =，[,]x a b ∈．□◇ 在微分方程方面的应用设(,)f t x 在矩形区域00{(,),}D t x t t a x x b =−≤−≤连续，那么存在0M >使得(,)t x D ∀∈有(,)f t x M ≤，进一步假定(,)f t x 关于变量x 满足李普希兹(Lipshitz)条件：存在常数K ，12(,),(,)t x t x D ∀∈有1212(,)(,)f t x f t x K x x −≤−，那么有微分方程为00d (,)d ()xf x t tx t x ⎧=⎪⎨⎪=⎩ (2.4) 定理 1.5.5 (皮卡德Picard 定理)满足上述条件的微分方程(2.4)在区间00[,]t t ββ−+上有唯一解，其中1min{,,}2b a M Kβ=． 证明 设00[,]J t t ββ=−+，则J 上的连续函数组成的空间()C J 是完备的度量空间，显然()C J 的子集0{(),()}E x x C J x t x M β=∈−≤是闭集，于是E 也是完备的度量空间．通过积分可将微分方程(2.4)写成积分方程00()(,())d tt x t x f x τττ=+∫．()x t E ∀∈定义：00()()(,())d tt Tx t x f x τττ=+∫，下面验证Tx E ∈．由于(,)f t x 在在矩形区域00{(,),}D t x t t a x x b =−≤−≤连续，所以()()Tx t 在00[,]J t t ββ=−+上连续， 00()()Tx t x =，以及00()()(,())d tt Tx t x f x τττ−=∫(,())d tt f x τττ≤∫0M t t ≤−M β≤，于是Tx E ∈，即T 映射为:T E E →．再证T 是压缩映射．根据李普希兹条件得1212()()()()(,())d (,())d ttt t Tx t Tx t f x f x ττττττ−=−∫∫012max Jt t K x x τ∈≤−−12(,)Kd x x β≤又由β的定义知12K αβ=≤，于是1212(,)(,)d Tx Tx Kd x x β≤，即T 是压缩映射．因此T 在E 中存在唯一的不动点x ∗，即存在00[,]J t t ββ=−+上的连续函数x ∗，满足积分方程0()(,())d tt x t x f x λτττ=+∫，两边微分可得x ∗是微分方程(2.4)的唯一解，并且x ∗是迭代序列012,,,,,n x x x x L L 的极限，其中010()(,())d tn n t x t x f x τττ+=+∫．□◇ 在积分方程方面的应用设(,)K t τ在矩形区域{(,),}D t a t b ττ=≤≤连续，()[,]f x C a b ∈，且[,]t a b ∀∈有(,)d baK t M ττ≤<+∞∫，那么费雷德霍姆(Fredholm)积分方程为()()(,)()d ba x t f t K t x λτττ=+∫． (2.5)定理 1.5.6 对于任意的()[,]f x C a b ∈，当1Mλ<时，Fredholm 积分方程(2.5)有唯一连续解()x t ∗，并且函数()x t ∗是迭代序列012,,,,,n x x x x L L 的极限，其迭代过程为1()()(,)()d bn n a x t f t K t x λτττ+=+∫．证明 设()()()(,)()d bn aTx t f t K t x λτττ=+∫，由(,)K t τ的连续性知，T 是从[,]C a b 到[,]C a b 上的映射:[,][,]T C a b C a b →．(),()[,]x t y t C a b ∀∈有(,)max{()()()()a t bd Tx Ty Tx t Ty t ≤≤=−max{(,)()d (,)()d }b baaa t bK t x K t y λτττλτττ≤≤=−∫∫max{(,)[()()]d }baa t bK t x y λττττ≤≤=−∫max{(,)()()d }baa t bK t x y λττττ≤≤≤−∫max{()()}a bM x y τλττ≤≤≤−(,)Md x y λ=由于1M λ<，即T 是压缩映射，根据压缩映射原理知T 在[,]C a b 上存在唯一的不动点()x t ∗，即为Fredholm 积分方程的唯一连续解，且函数()x t ∗是迭代序列012,,,,,n x x x x L L 的极限，其迭代过程为1()()(,)()d bn n ax t f t K t x λτττ+=+∫．□◇ 牛顿迭代法的证明牛顿迭代法（Newton's method ）又称为牛顿-拉夫逊方法（Newton-Raphson method ），它是牛顿在 17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法．多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要．牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，而且其最大优点是在方程的单根*()0f x =附近具有平方收敛，该法还可以用来求方程的重根、复根，另外该方法广泛用于计算机编程中．定理 1.5.6 设f 是定义在[,]a b 上的二次连续可微的实值函数，*x 是f 在(,)a b 内的单重零点，那么当初值0x 充分靠近存*x 时，由关系式1()n n x g x +=，()()()n n n 'n f x g x x f x =−所定义的迭代序列收敛于*x ．证明 因为*()0f x =，依据中值定理可得***1()()()()'f x f x f x f x x k x x ξ=−=−≤−．由于*x 是f 的单重零点，所以存在*x 的某闭邻域*1()(,)U x a b ⊂，使得*1()x U x ∀∈，()0f x ≠，而且()"f x 连续．于是2()[()]"'f x f x 在*1()U x 上有界2k ，所以*1()x U x ∀∈，有 2*21222[()]()()()()()1()[()][()]'""'''f x f x f x f x f x g x k f x k k x x f x f x −=−=≤≤−． 显然当*1212x x k k −<时，1()2'g x <．令**2121(){}2U x x x x k k =−<以及***12()()()U x U x U x =I ，于是()g x 在邻域*()U x 内为压缩映射，根据压缩映射原理可知命题成立．□。
哈恩巴拿赫延拓定理
哈恩巴拿赫延拓定理
哈恩-巴拿赫延拓定理（Hahn-Banach Extension Theorem）是泛函分析中的一个重要结果。
它是由波兰数学家斯特凡·巴拿赫（Stefan Banach）和奥地利数学家汉斯·哈恩（Hans Hahn）于20世纪初提出并证明的。
该定理提供了一种将线性泛函从子空间扩展到整个空间的方法。
具体而言，设X为实或复数域上的线性空间，Y为X的子空间，而φ为定义在Y上的连续线性泛函。
那么哈恩-巴拿赫延拓定理指出，存在一个定义在整个X上的连续线性泛函F，使得F的限制在Y上与φ相等，并且F的范数不大于φ的范数。
这个定理的重要性在于它保证了线性泛函在子空间上的连续性可以被扩展到整个空间，从而使得更多的分析工具和技术可以在整个空间上应用。
它在泛函分析以及函数分析、偏微分方程等领域中有广泛的应用。
哈恩-巴拿赫延拓定理的证明较为复杂，通常需要使用泛函分析中的其他工具和定理，如赋范空间的共轭空间、Hahn-Banach分离定理等。
这个定理的证明过程涉及到集合的可分性、线性代数、测度论等数学领域的知识。
总之，哈恩-巴拿赫延拓定理在泛函分析中具有重要的地位，它为研究线性泛函和函数空间提供了基础性的结果。
1.3线性有界算子，巴拿赫空间中的几个定理
§3线性有界算子，巴拿赫空间中的几个定理一、线性赋泛空间在前一节,对集合引入距离的概念,从而定义了极限下面再引入元素的加法及数乘的代数运算。
定义1：设为一集合，如果：(一)在中定义了加法，即对中的任意元素，存在相应的元素，记，称为的和，并适合：E E ,x y u E ∈u x y =+,x y E（1）（2）（）（3）在中存在唯一的元素（称为零元素），对任何中的元素，有（4）在中存在唯一的元素，使称为的负元素，记为。
（二）在中定义了元素与数（实数或复数）的乘法，即在中存在元素，x y y x+=+()()x y z x y z ++=++z E ∈E θE x x xθ+=E 'x 'x x θ+='x x x −E E v记（为任何实数或复数，），称之为与元素的数积，适合：（5）（6）（是数）（7）（8）便称为线性空间（或向量空间），称中元素为向量。
若数积运算只对实数（复数）有意义，则称是实（复）线性空间。
v ax =a a x E ∈x ()()a bx ab x =,a b ()a b x ax bx+=+()a x y ax ay+=+E E E 1x x⋅=定义2：设是线性空间，是的非空子集。
如果对任何，对于中的元素都有及，那么，按中的加法及数积也成为线性空间，称为的线性子空间（或简称子空间）。
和是的两个子空间，称为平凡子空间。
若则称是的真子空间，每个子空间都含有零元素。
E M E αM ,x y x y M +∈x M α∈M E E E E {}0E M ≠M E定义3：设是线性空间的向量是个数，称为的线性组合。
若中之集的任意的有限个向量都线性无关，则称是的线性无关子集。
若是中的线性无关子集且对于中的每个非零向量都是中向量的线性组合，则称是的一组基若中存在由（有限）个线性无关向量组成的基，就说是维（有限维）线性空间，否则说是无限维空间。
E n E M M E A E E x A A E E n E n 12,,,n x x x …12,,,n ααα…11n n x x αα++…1,,n x x …引入距离，则不难验证，满足距离公理的三个条件，于是线性赋范空间就成为距离空间，今后对线性赋范空间总是按（*）式引入距离使之成为距离空间。
第七讲 Hahn-Banach定理
分析形式—线性泛函的延拓定里
定里 1（实线性空间的 Hahn‐Banach 定里）设 是实线性空间， 是
上的一个次线性泛函，
是一个线性子空间， 是 上的一个
线性泛函，满足
（1）
则 可以延拓成 上的线性泛函 ，且满足
（2）
证明（a）将 保持受控条件延拓到高一维的空间上去。取
中国共产党 建立； Banach 不 动点定理； 赋范空间； 共鸣定理； 开映射定 理 ； Hahan ‐Banach 定 理；共轭空 间；加拿大
Banach《线 性算子理 论 》； Schauder 不 动点定理；
Riesz‐Schau der 理论； Burbaki 学 派；安德罗 诺夫和庞特 里亚金提出
独立；量子 常微分系统
力学；青霉 结 构 稳 定
素；
性；抗日战
争；
，用定理 1 将 延拓到实线性空间 上
得 ，且满足受控条件
。
（b）令
，直接验证 就是满足要求的一
个延拓。
定理 3（Hahn‐Banach 保范延拓定理）设 是 空间，
线性子
空间， 是 上的线性连续泛函，则 可以保持范数不变的延拓成 上
空间，
证明 令
定理 13 设 是 空间， 。
证明
是凸泛函， 在
连续，则
确定了 托平面。由 在 连续知道 分离定理即可。
中的凸集 在点
，对
及
Problem 1 研究 中各种凸集的分离定理及承托平面。 Exe P125 ，3，4，6，16，17
Fun note
处的承 用凸集
Hahn(1879‐1934)
哈恩的主要贡献在变分法、函数论、泛函分析和傅立叶积分等方面。他是最早提出测度和积 分的抽象理论的学者之一，其中有一些理论以他的名字命名。在实变函数中，他指出连续弧
巴拿赫不动点定理及其应用
巴拿赫不动点定理及其应用
巴拿赫不动点定理是函数分析中的一项基本定理，又称为Banach不动点定理。
该定理是由波兰数学家斯蒂芬·巴拿赫于1922年提出的。
巴拿赫不动点定理可以简单地表述为：在完备度量空间中，连续映射必有不动点。
这个定理的意义在于，对于一些映射或者变换，必然存在一个点不会移动，这个点就被称作“不动点”。
而根据巴拿赫不动点定理，只要一个映射是连续的并且作用于完备度量空间，那么它必然存在不动点。
这个定理有很多应用，下面列举一些常见的：
1.在求解微积分方程、微分方程、积分方程时，巴拿赫不动点定理是很重要的工具。
2.在数值分析中，巴拿赫不动点定理可以用于求解线性方程组、优化问题以及非线性方程组的数值解。
3.在动力学系统中，巴拿赫不动点定理可以用于证明某些系统存在定点。
4.在实际应用中，巴拿赫不动点定理可以用于证明某些算法的收敛性以及求解某些不动点问题。
总之，巴拿赫不动点定理是数学中的一项重要定理，它的实际应用十分广泛。
第十章 Banach空间中的基本定理.
f
px ,x
X
,
记这些延拓的全体为Γ .那么我们有
Γ
g|g是Dg
上的线性泛函,
g|Z f
gx
px ,x
Dg
Z
.
3 在Γ上赋序:
g1 g2 Dg1 Dg2 ,
则是一个半序集. 由佐恩引理知, Γ有最大元~f . ~f即为所求.
泛函f ,均有f x0 0,则必有x0 0.
Class Over!
若f是X的子空间Z上的实线性泛函,且被px控制,即满足 f x px,x Z,则存在X上的实|Z f
~f x
px , x
X
.
定理证明的基本思路
1 扩大f的定义域; 在扩大的定义域上作 f的线性延拓; 恰当选择被控制的那一 个延拓.
~ f|Z
f ,并且
~f
X
f
?
Z
Hanhn-Banach泛函延拓定理
次线性泛函
设p : X R满足如下条件
1 px px, x X ,是数; 2 px y px py.
则称p是X上的一个次线性泛函.
定理1 设X是实线性空间,px是X上的次线性泛函.
且
f y f y f y y py y
py x1 y-x1 py x1 py-x1 .
由此可得 py-x1 f y py x1 f y.
这表明sup
yZ
第十章 Banach空间中的 基本定理
第一节 泛函延拓定理
1 问题
设X是赋范线性空间,Z是X的子空间,f是Z上的连续线性
浅谈Hahn-Banach泛函延拓定理及其应用
浅谈Hahn-Banach 泛函延拓定理及其应用1 引言在函数论中，我们曾经考虑把一些函数从原来的定义域括充出去的问题，例如解析函数的解析开拓，在代数上有域的扩张等等.在泛函分析中，为了使得对于任意的线性空间E ，其上存在非零的有界线性泛函，其简化的方法自然使我们想到了前面所说的“延拓”的方法，既在E 内某一子空间上定义一个有界线性泛函，而且还能够使其延拓为整个E 上的有界线性泛函.引理 设f 是复赋范线性空间E 上的有界线性泛函，令))((Re )(E x x f x ∈=ϑ，则ϑ是E 上的有界实线性泛函.（注意：所谓实线性，是指可加性以及对任何实数α，有)()(x x αϑαϑ=且)()()(ix i x x f ϑϑ-=）2 Hahn-Banach 泛函延拓定理2.1 Hahn-Banach 泛函延拓定理的几种形式 定理1[1](168)P （赋范线性空间上的Hahn-Banach 泛函延拓定理）设G 是赋范线性空间E 的子空间，f 是定义在G 上的有界线性泛函，则f 可以延拓到整个E 上且保持范数不变，即存在定义在E 上的有界线性泛函0F ，使下列性质成立：（1）对任一x G ∈，有0()()F x f x =； （2）0GF f =.（这里Gf表示f 作为G 上的有界线性泛函的范数）定理2)136](2[P （实线性空间上的Hahn-Banach 泛函延拓定理）假设（1）E 是“实”线性空间，0E E ⊂是“实”线性子空间；（2）()p x 是E 上的“次加法、正齐性”泛函，0()f x 是定义在子空间0E 上的（实）线性泛函， 并且满足)()(0x p x f ≤)(0E ∈∀，那么，必定存在定义在整个空间E 上的（实）线性泛函()f x ，其满足：（ⅰ）0()()f x f x =，0x E ∀∈； （ⅱ）()(),f x p x x E ≤∀∈.(并且，称()f x 为0()f x 在全空间E 上的“延拓”)定理3[2](141142)P -（复线性空间上的Hahn-Banach 泛函延拓定理）假设 （1）E 是“复”线性空间，0E 是E 内一“复”线性子空间；（2）()p x 是E 上的“次加法、对称”泛函，0()f x 是定义在0E 上的线性泛函，并且满足条件0()()f x p x ≤0x E ∀∈.那么，存在一个定义在整个空间E 上的线性泛函()f x ，其满足：（ⅰ）0()()f x f x =，0x E ∀∈； （ⅱ）0()()f x p x ≤，E x ∈∀. 定理4[3](117)P （Hahn-Banach 定理的几何形式）设E 是实B *空间X 上以θ为内点的真凸子集，又设0x E ∉，则必存在一个超平面r fH 分离0x 与E .定理5)34](4[P （Hahn-Banach 定理的推广）设X 是实线性空间，p 是X 上的实值线性泛函，使得),()()(y p x p y x p +≤+且当0,()()p x p x ααα≥=.又设f 是子空间S 上的线性泛函，使得任意),()(,s p s f S s ≤∈再设F 是X 上的线性算子所成的Abel 半群（既12122,,T F T F TT T T F ∀∈∈=∈）使得当F T ∈时，任意),()(,x p Tx p X x ≤∈且对所有的),()(,s f Ts f S s =∈那么存在f 在X 上的延拓0F ，使得).())((),()(,000x F x T F x p x F X x =≤∈∀2.2 Hahn-Banach 定理的一些推论 推论1[1](168)P 设G 是赋范线性空间E 的子空间，0x E ∈，若00(,)inf 0,x Gx G x x ρδ∈=-=>则存在E 上的有界线性泛函f ，使01,()1f f x δ==.而对x G ∈，则有()0f x =.推论2[1](170)P 设G 是赋范线性空间E 的子空间，0x E ∈，若00(,)inf 0x Gx G x x ρδ∈=-=>则存在E 上的有界线性泛函1f ，使得1101,()f f x δ==，而对x G ∈，则有1()0f x =.推论3[1](171)P 设E 是赋范线性空间，且{}E θ≠，则对任一0x E ∈，0x θ≠，存在E 上的有界线性泛函f ，使得001,()f f x x ==.3 Hahn-Banach 泛函延拓定理的若干应用例1 设X =2R ，即X 是点),(21x x x =的全体，但规定21x x x +=，X 按此范数.成为赋范线性空间.又设)}0,{(10x X =，0f 是定义在0X 上的连续线性泛函:110))0,((x x f =. 证明 对任何数1<β，X 上的连续线性泛函2121)),((x x x x f β+=都是0f 的保范延拓.证明 显然0f 是0X 上的连续线性泛函，而且0111((,0))(,0)f x x x ==即01X f =.然而，对任何数β，X 上的连续线性泛函2121)),((x x x x f β+=都是0f 的延拓.由于),(),1max()),((21212121x x x x x x x x f βββ≤+≤+=并且1X f f ≥=所以只要1<β，f 都是0f 的保范延拓.例2 考察一切二维实向量),(21ξξ=x 按照范数21ξξ+=x 构成的巴拿赫空间.仍用2R 记这个空间并令G 为2R 中形如)0,(1ξ的向量构成的子空间.在G 上定义有界线性泛函f ：)()(1G x x f ∈=ξ再定义2R 上的有界线性泛函αF ：21212()((,))F x x R αξαξξξ=+=∈且1≥αF .证明 αF 是f 的延拓.证明 显然1=Gf.任取满足1≤α的数α，再由2R 上的有界线性泛函αF ：21212()((,))F x x R αξαξξξ=+=∈易见αF 是f 的延拓，且1≥αF ，又因1212()F x x αξαξξξ≤+≤+=故1≤αF ，于是1=αF .因此αF 是f 的延拓，且满足GfF =α.例3 赋范线性空间E 为一致凸的，是指对任给0>ε，存在0δ>，只要)1(==≥-y x y x ε就有δ-≤+2y x .证明(ⅰ) C[a ，b]不是一致凸的; (ⅱ) L[a ，b]，l 都不是一致凸的;(ⅲ) 在一致凸空间中，若 }{n x 弱收敛于X ，且x x n →，则}{n x 强收敛于X . 证 （ⅰ）在C[a ，b]中，取a b at t y t x --==)(,1)(，则 12=-=+==y x y x y x设10<<ε，则x y ε->，但)0(12>∀->+δδy x故C[a ，b]不是一致凸的.（ⅱ）在L[a ，b]中，取2)()(2)(,1)(a b a t t y a b t x --=-=则21,12=-=+==y x y x y x 设210<<ε，则ε>-y x ，但δ->+12y x ，)0(>∀δ，故L[a ，b]不是一致凸的. 在l 中，取20,,21<<==εe y e x ，则,2x y x y ε=-=>而11,(0)2x yδδ+=>-∀> 故也不是一致凸的.（ⅲ）证法1 设E 为一致凸空间，,,n n x E x E x x ω∈∈−−→，且x x n → 我们要证明x x n →(强收敛)，设不然，则存在00>ε及}{k n ，使0ε≥-x x k n不妨设1,0==≠x x x k n ，据一致凸性，存在0)(0>=εδδ，使δ-≤+12x x k n又根据Hahn-Banach 泛函延拓定理，存在f E *∈，使δ-≤+==1)2(,)(,1x x f x x f f k n但lim ()()12k n k x x f f x x →∞+===矛盾，故n x x −−→强. 证法2 不妨设...)2,1(1===n x x n 首先容易证明，若20()n x x n -+→→∞则)(0∞→→-n x x n现在x x x n 2−→−+ω，则 _____22lim lim lim 2n n n n n n x x x x x x x →∞→∞→∞=≤+≤+≤+=即)(2∞→→+n x x n故n x x −−→强． 例4 设}{n x 是巴拿赫空间E 中的一个点列，则对于每个*E f ∈，∑∞=1)(i i x f 收敛的充要条件是存在正数μ，使对一切自然数m 以及任意的1±=n ε，有με≤∑=mn nn x 1．证 必要性：令)1)(()(1±==∑=i mi i i x f f g εεα，则**g E ∈α，且∑=≤mi ii xg 1εα另一方面，据Hahn-Banach 泛函延拓定理，存在*F E ∈，使11(),1mmi i i ii i F x xF εε====∑∑所以11()()mmi i i ii i g F F x xαεε====∑∑∑==mi ii xg 1εα因为任意*E f ∈，∑∞=1)(i i x f 收敛，所以对任意的自然数m 以及任意的1±=n ε，有με≤∑=mn nn x 1.充分性：设对任意的自然数m 以及任意的1±=n ε（n=1，2…，m ），有με≤∑=mn nn x 1，*E f ∈ 我们取)(sgn n n x f =ε，并规定0)(=n x f 时，1=n ε，这里也设f 是实泛函，则f x f x f i mi i mi i με≤=∑∑==)()(11)(m ∀从而+∞<∑∞=1)(i n x f .例5 设))((∆∈δδx 是实数定向列.定义这些定向列的加法与数乘如下：如果)(),(δδy y x x ==，那么)(),(δδδααx x y x y x =+=+于是这些实数定向列（定向半序集∆固定）形成一个线性实空间E ，对于每个)(δx x =，令δδδδδδx x x p 00sup inf lim )(____>==易见)()()(y p x p y x p +≤+且当0≥α时，)()(x p x p αα= .由定理2，（从线性子空间}0{出发）知存在E 上的线性泛函0()lim f x x δδ=满足下列条件:δδδδδδx x x ____lim lim lim ≤≤由)()(x p x f ≤得出：因为)()(x p x f ≤，用x -代x ，)()(x p x f -≤-，或)()(x p x f --≥（δδx lim 称为Banach 极限）.例6 设M 为赋范线性空间E 的子空间，设0x 是M 中某个弱收敛点列的极限，则M x ∈0. 证 设M x ∉0，则0),(0>=M x d ρ，由Hahn-Banach 泛函延拓定理，必存在*E f ∈，使)(0)(,)(0M x x f d x f ∈∀==但由条件存在0,n n x M x x ω∈−−→，则 0lim ()()0n n f x f x →∞==矛盾，故M x ∈0.。
第12讲HahnBanach延拓定理
1第12讲 Hahn －Banach 延拓定理教学目的掌握线性泛函延拓定理的证明思想及其推论。
授课要点1、 实空间线性泛函的控制延拓定理。
2、 复空间线性泛函的控制延拓定理。
3、保范延拓定理。
4、 延拓定理的推论及其意义。
对于一个线性赋范空间来说，对它上面的线性泛函知道得越多，对这个空间本身就了解得越多（参见第9讲思考题1）. 有时候为了某种目的，要求有满足一定条件的线性泛函存在，Hahn －Banach 定理为这样的线性泛函的存在提供了保证.定义1 设()D T 与()1D T 分别是算子T 与1T 的定义域，若()()1D T D T ⊂，并且1,T x Tx =()x D T ∀∈，则称算子1T 是T 的延拓.定义2 线性空间X 上的实泛函()p x 称为是次可加的，若()()()p x y p x p y +≤+，,x y X ∀∈称为是正齐性的，若()()p x p x αα=，x X ∀∈，0α≥.显然线性空间上的每个半范数都是次可加正齐性泛函.定理1（Hahn －Banach ） 设X 是实线性空间，:p X R →是X 上的正齐性次可加泛函，M X ⊂是线性子空间，则（1）对于M 上定义的每个线性泛函0f ，存在0f 从M 到X 的延2拓f ：X R →，()()0f x f x =，x M ∀∈ （2）若()()0f x p x ≤，x M ∀∈，可选取f 满足()()f x p x ≤，x X ∀∈ ()1 证 明 1设M X ≠，取0\x X M ∈，记'M =span {}0,x M ，则x M ′′∀∈，0x x tx ′=+，其中x M ∈，t R ∈. 此分解式是唯一的，否则另有110x x t x ′=+，1x M ∈，则()110x x t t x −=−−，若1t t ≠，则101x x x t t −=−M ∈，与0x 的取法矛盾，于是1t t =，并且1x x =. 对于任何常数c ，令()()0f x f x tc ′=+，0x x tx ′∀=+.则容易验证f 是M ′上的线性泛函. 实际上f 是0f 从M 到M ′的延拓，因为当x M ′∈时，0t =，从而()()0f x f x ′=.2 我们将证明当x M ∀∈，()()0f x p x ≤时，适当选择c ，可使()()f x p x ′′≤，x M ′′∀∈.实际上,x y M ∀∈，由于()()()()000f x f y f x y p x y +=+≤+()()00p x x p x y ≤−++，即()()()()0000f x p x x p x y f y −−≤+−，故存在c 满足()()00sup x Mf x p x x c ∈−−≤()()00inf y M p x y f y ∈≤+−， ()23我们将取这样的c 作成所要的线性泛函.此时若0x x tx ′=+，0t ＞，由()()00p x y f y c +−≥对于每个y M ∈成立，用1t x −代替y ，则()()1100p x t x f t x c −−+−≥，从而()()()()00f x f x tc p x tx p x ′′=+≤+=.若0x x tx ′=+，0t <，由()()00f x p x x c −−≤对于每个x M ∈成立，用1t x −−代替x ，则()()1100f t x p t x x c −−−−−−≤，即()()00f x p x tx tc −++≥. 从而()()()()00f x f x tc p x tx p x ′′=+≤+=.当0t =时，显然()()()()0f x f x p x p x ′′==＜. 故f 是0f 从M 到M ′上满足()1的延拓。
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Hahn - Banach延拓定理及其应用[论文摘要]本文首先概述Hahn - Banach延拓定理发展的历史、其对泛函分析及微分方程乃至物理学的重要意思，然后介绍了Hahn - Banach延拓定理包括它的推论和推广，最后以例题的形式给出了Hahn - Banach延拓定理的一些应用。
[关键字]Hahn - Banach定理Zorn引理延拓[Abstract]In this passage,we introduce the history of Hahn-Banach theorem.Then we introduce the Hahn-Banach theorem and the deduction.At the end,we introduce some application of the Hahn-Banach theorem.[Key Word]Hahn-Banach theorem Zorn lemma application目录摘要 1目录 2 1 引言 31.1 选题背景 31.2 本文的主要内容 32 Hahn—Banach定理 52.1 Hahn—Banach定理的定义 52.2 Hahn—Banach定理的推论 63 Hahn—Banach定理的推广 134 Hahn—Banach定理的应用 43参考文献451引言1.1 选题背景Banach空间理论是由波兰数学家S.Banach在192O年创立的，数学分析及泛函分析中许多常用的空间都是巴拿赫空间及其推广，它们有许多重要的应用。
以Banach空间为基础的Hahn - Banach定理跟共鸣定理及闭图象定理是泛函分析的三大基本定理。
其应用十分广泛, 而且越来越深入地渗透于现代数学的各个领域乃至物理等其它学科。
其中Hahn - Banach延拓定理，在泛函分析中扮演着重要的角色。
该定理保证了赋范线性空间上具有“足够多”的连续线性泛函，并且还刻划了连续线性泛函的值可以事先被指定的程度，这就使得建立共轭空间具有实质性的意义。
而这些理论也是赋范空间一般理论的根本部分。
从这个意义上来说，Hahn－Banach定理是关于有界线性算子最重要的定理之一。
Hahn - Banach定理是1923年S.Banach在研究不变测度时，首先提出来的。
在1929年S.Banach又得出了定理的一般形式。
而Hahn在1927年及Ascoli在1932年也相互独立的得出了一般定理。
随后H．F．Bahnenblust与Sobczyk(1938)将其推广到复向量空间上。
从几何上看该定理表现成凸集的分离性质，而这个分离性质是研究与凸集有关的Banach空间几何学的基本出发点。
由Hahn—Banach定理可以导出一些很有用的结果，如短量定理、最佳逼近的对偶关系和凸集分离定理等等，这些结果在泛函分析理论、远近论、控制论和数学规划中均有重要作用。
而且Hahn - Banach延拓定理在偏微分方程及概率论等方面有着广泛的应用，而在确信一般的局部凸线性拓扑空间中非平凡连续线性泛函的存在时也要用到它。
1.2 本文的主要内容本文拟对Hahn - Banach定理进行一点探讨, 分为三大部分。
第一部分首先给出Hahn - Banach延拓定理，然后以推论的形式给出本定理的若干特殊形式。
第二部分给出本定理的推广。
第三部分则以例题的形式给出Hahn - Banach定理的一些应用。
值得注意的是, Hahn-Banach 定理的推广实际上也是Hahn - Banach定理的重要应用。
2 Hahn - Banach 延拓定理2.1 Hahn —Banach 定理的定义一般的说，延拓问题就是研究定义在给定集X 的一个子集Z 上的数学对象(例如：映射)能否延拓到整个集X 上，并且要求原对象的某些性质在延拓后能否继续保留的问题。
Hahn —Banach 定理中，被延拓的对象是定义在线性空间X 的子空间Z 上的线性泛函f ，要求这个泛函具有—定的有界性质，而这个有界性质是用次线性泛函来描述的。
所谓次线性泛函，是定义在线性空间X 上的一个实值泛函P ，P 是是次可加，所谓次可加即指存在常数K>0，有 p(x+y)K[p(x)+p(y)] yx X 、而且P 还是正齐次的，所谓正其次即指0，均有p(ax)=a p(x)(注：赋范空间上的范数就是这样的一个泛函。
)我们假定，要延拓的泛函f 在Z 上用定义在X 上的这样一个泛函P 来强制，并且在将f 从Z 延拓到X 上后，仍保留其线性的性质及被强制的条件，所以延拓到X 上的泛函f 仍然是线性的和仍为P 所强制。
这也是定理的难点。
下面给出Hahn —Banach 定理：设 X 是实线性空间, P 是定义在X 上的次线性泛函, S 是X 的实线性子空间, 0X 是X 的实线性子空间，0f 是0X 上的实线性泛函并满足0f xP x 0xX 。
那么X 上必有一个实线性泛函f ，满足： （1）f x P xx X （受P 控制条件） （2）f x ＝0f x0xX （延拓条件）具体证明可参考泛函分析讲义，在这里就不给出了。
在这里所要分析的是加拿大的欧文·克雷斯齐格所提出的一个问题，即不用Zorn 引理能够证明这个定理吗？这个问题很有意思，特别是引理没有结出一个构造性的方法。
因此只有在某些特殊情况下才可以做到，当然，对一些特殊的空间整个情形可能要变得简单些。
希尔伯特空间就是这种类型，因为为该空间上的线性泛函有黎斯表示。
有兴趣的可以查看欧文·克雷斯齐格的《泛函分析导论及应用》。
2.2 Hahn —Banach 定理的推论下面我们给出Hahn - Banach 定理的若干特殊形式，而在实践中应用比较广泛的就是这些特殊形式。
推论 1 设 Y 是实数域 F 上的线性空间 X 的子空间, 如果 x ∈X ,infy Y‖x - y ‖=d > 0,那么, 存在**x X , 使得‖x*‖= 1,*x (x ) =d , 而且*,(y)y Y x ＝0。
推论 2 设 X 是线性赋范空间, X ≠{0},那么x X , 存在**x X , 使得‖x*‖ = 1, *x (x )=‖x ‖。
特别地, 如果 x ≠y , 则存在 *x ∈x*, 使得*x (x ) -*x (y ) =‖x -y ‖≠0。
上述推论 2 是Hahn - Banach 定理的一个重要结果, 这一断言有着许多有趣的应用。
其中之一就是定义在 R 上的有界子集类上的有限可加的测度问题, 它是一个平移不变量, 而且是Leesgue 测度的推广。
推论 3 设X 是赋范空间，0,0x X x ，则在X 上存在有界线性泛函f 满足下列条件： （1） 00()f x x ．（2）1f由此推论可知，每一个赋范空间X (0)X的对偶空间*X 中都含有充分多的非零元素。
这一结论保证了建立在X 的对偶空间*X 上的研究是有意义的。
这是Hahn —Banach 定理在对偶空间理论的一个基本问题上的应用。
推论 4 设E 是赋范线性空间。
那么，00,0x E x ，必有*fE ，满足00()f x x 及1f。
这个推论说明，在每个赋范线性空间0E上必有“足够多”的非零连续线性泛函。
这里所谓“足够多”，是指多到足以用来分辨E 中不同的点的程度。
这样，就保证了共轭空间*E 有实质性的内容。
3 Hahn – Banach 定理的推广对于Hahn - Banach 延拓定理，杨福林与李东进在《Hahn - Banach 延拓定理》中，作了如下推广并给出了相关证明，见下面叙述。
为了行文方便起见，现将有关概念简述如下： 定义1 线性空间X 上的泛函试p(x)称为对称的，是指R ，均有p(ax)==·p(x)对称的拟度规泛函称为拟半范数。
定义2 集合E 称为有序集合，是指对E 中某些元素之间定义了一个序关系人，且关系人满足下面三个条件：(1) 传递性，若x<y ，且yz ，那么x <z ；(2) 自反性，若xE ，那么x x ；(3) 反对称性，若x<y ，且yz ，那么有x=y 。
定义3 集合E 称为是全序集合，是指它是一个有序集合，并且yx E 、，有x y y x引理1 (Zorn}) 如果E 是非空的有序集合，且E 内每一个全序子集都有上界，则E 至少有一个极大元。
引理2 设p(x)是定义在实线性空间X 上的拟度规泛函（拟次加正齐性泛函称为拟度规泛函.），i f 是定义在线性集i E X 上的实线性泛函，且i xE ，均有()()i f x p x 。
设是所有的对(,i i E f )组成的集合.且若ij E E 时，j i f f 是在i E 上的延拓，即i xE ，x x j i f f （）＝（）则集至少存在一个极大元。
证明：显然非空.若ij E E ，定义序关系为i i j j （E f ）（E f ），由定义4，显然是一有序集合，设0是的任一全序子集.令{(,)}i i i E E E f则0E 是线性集。
事实上，012,,x x E 由0E 定义可知对应有集合12,E E ，使得1122,x E X E ,且11220()().E f E f 由是全序集，不妨设1122()()E f E f ，于是12E E ，从而122,,,x x E R ，有0122x x E E故0E 是线性集。
0xE ，必存在某个E 集，使得xE ，且0()E f ，令0()()f x f x ，可见0xE ，0()f x 皆有定义且是0E 上的实线性泛函。
有000(,)E f ，并且00(,)E f 是的上界。
故中任一全序子集都存在上界。
由引理1知必至少存在一个极大元max max (,)E f ，证毕。
Hahn – Banach 定理的推广：设()p x 是定义在实线性空间X 上的拟度规泛函，1f 是定义在线性集1E X 上的实线性泛函，且满足：1()()f x p x1xE那么必存在定义在X 上的实线性泛函1()f x ，满足 （1） 11,()()x E f x f x（2） ,()()xX f x K p x应用以上的两个引理，可以证明该定理是正确的，详细证明从略，有兴趣的查看杨福林与李东进写的《Hahn - Banach 延拓定理》，其中有详细的证明过程。
由上可见，只要在Hahn – Banach 定理的推广中令K 为1即为Hahn - Banach 延拓定理。
4 Hahn – Banach 定理的应用试分析说明R 上的连续凸函数能否延拓成2R 上的连续凸函数？ 证明：首先考虑线性的连续凸函数的情况。
不妨设()f x kx 为R 上的线性连续凸泛函，则1212(,)F x x kx kx可以考虑1sup ()xF f x则有121212()(,)()()F x F x x kxkx kx x kxf x且1sup x f kxk，11sup ()sup x x F f x kxk故有F f从而可以延拓。