不等式小结与复习
一元一次不等式小结与复习期末
不等式性质2：
不等式两边乘( 或除以 )同一个正数，不 等号的方向不变。
不等式性质3：
不等式两边乘( 或除以 )同一个负数，不 等号的方向改变。
一元一次不等式的定义
左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且 未知数的最高次数是1的不等式，叫做一元一次 不等式
x>100+50 x<100+100 定义
1、了解已知数据：两商店优惠的起点金额各是多少？ 优惠的比例大小相同不？ 甲店：100元 90% （九折） 乙店： 50元 95% （九五折）
2、分析相等或不等关系：是否到某一商店购物一定 比另一商店优惠呢？
3、如果累计购物金额x元超过100元，在两店花费的 金额怎样用x的代数式表示？
练习1
xm1 （较小） 1、若不等式组 x 2m1 无解， （较大）
下列数 20，15，8，25、9，10、1, 0，-5 哪些是上面不 等式的解
不等式的解的个数是多少 无数个
含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式
的解集。
Байду номын сангаас
怎样表示不等式的解集？
文字语言 小于10的数
数学式子 数轴表示
x＜10
0
5
10
15
20
求不等式解集的过程叫做解不等式.
不等式性质1：
不等式两边加( 减去 )同一个正数，不等 号的方向不变。
类型四：
问题:甲、乙两个商店以同样的价格出售同样的 商品，同时又各自推出不同的优惠方案：在甲 商店累计购买100元商品后，再买的商品按原价 的90％收费；在乙商累计购买50元商品后，再 买的商品按原价的95％收费．顾客选择哪个商 店购物能获得更大的优惠？
2.5不等式小结复习(2)
然后想像图象形状
1 x | x , 或x 2. 2
注:开口向上,大于0 解集是大于大根,小 于小根(两边飞)
若改为:不等式 2x2－3x－2 < 0 .
1 则不等式的解集为: x 2 注:开口向上,小于0 2
图象为: 解集是大于小根且 小于大根(两边夹)
第三关
2 x 7 3(1 x) (2) 4 2 x 3 1 x 3 3
3x 15 0 (1) 7 x 2 103
第四关
(1)求不等式 4( x 3) 2( x 1) 10 的非负整数解
11 2( x 3) 3( x 1) (2)求不等式组 1 2x x 2 3 的偶数解
例5 一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条 流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值 y(元)之间有如下的 关系: y = -2 x2 + 220x. 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上, 那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车?
解:设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车.根据题意, 得到 -2x2 + 220x > 6000 移项整理,得 x2 - 110x + 3000 < 0. 因为△=100>0,所以方程 x2-110x+3000=0有两个实数根 x1=50, x2=60. 由函数y=x2-110x+3000的图象, 得不等式的解为50<x<60. 因为x只能取整数,所以当这条摩托 车整车装配流水线在一周内生产的摩托 车数量在51辆到59辆之间时,这家工厂 能够获得6000元以上的收益.
a>b
一元二次函数、方程和不等式章节复习与小结课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版必修第一册
c 0
ac>bc
a b
，
⇒
c 0
a b
性质5同向可加性：
⇒ a+c>b+d .
c d
a b 0
性质6同向同正可乘性：
ac>bd
⇒
c d 0
an>bn
性质7可乘方性：a>b>0⇒
性质8可开方性：a>b>0⇒
n
anb
ac<bc .
.
(n∈N，n≥1).
2
＋1}上的最大值小于 0，又抛物线 y＝x2＋mx－1 开口向上，
m2＋m2－1＜0，
所以只需
m＋12＋mm＋1－1＜0，
2m2－1＜0，
2
即 2
解得－ ＜m＜0.]
2m ＋3m＜0，
2
(2)[ 解]
由 y＝x2＋(m－4)x＋4－2m
＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
g＝(x－2)m＋x2－4x＋4 可看作以 m 为自变量的一次函数．
3.若关于 x 的不等式 ax2＋2x＋2＞0 在 R 上恒成立，
求实数 a 的取
值范围．
解：当 a＝0 时，原不等式可化为 2x＋2＞0，其解集不为 R，故 a＝0 不满足
a＞0，
题意，舍去；当 a≠0 时，要使原不等式的解集为 R，只需
Δ＝22－4×a＜0，
1
，＋∞
1
解得 a＞ .综上，所求实数 a 的取值范围为 2
能.解答此类问题关键是创设应用不等式的条件，合理拆分项或配
凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于使等号能够成立.
1 9
16
2.已知 x>0，y>0，且 ＋ ＝1，则 x＋y 的最小值为________．
不等式小结与复习
不等式小结与复习一、复习引入：1．基本不等式、极值定理；2．简述不等式证明的几种常用方法:比较、综合、分析、换元、反证、放缩、构造二、讲解范例：例1若14<<-x ，求22222-+-x x x 的最值 解：])1(1)1([21]11)1[(2111)1(21222222--+---=-+-=-+-⋅=-+-x x x x x x x x x ∵14<<-x ∴0)1(>--x 0)1(1>--x 从而2])1(1)1([≥--+--x x 1])1(1)1([21-≤--+---x x 即1)2222(min 2-=-+-x x x 例2设+∈R x 且1222=+y x ，求21y x +的最大值解：∵0>x ∴212y x ⋅=+又2321)2()221(2222=++=++y x y x ，∴423)2321(212=⋅≤+y x 即 423)1(m a x 2=+y x 例3 已知+∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ，求y x +的最小值 解：y x +yxb x ay b a y b x a y x y x +++=++=⋅+=))((1)( )(2b a yxb x ay b a +=⋅++≥当且仅当y xb x ay =即ba y x =时m in )()(b a y x +=+例4 已知x 2 = a 2 + b 2，y 2 =c 2 +d 2，且所有字母均为正，求证：xy ≥ac + bd证一：（分析法）∵a , b , c , d , x , y 都是正数∴要证：xy ≥ac + bd只需证：(xy )2≥(ac + bd )即 (a 2 + b 2)(c 2 + d 2)≥a 2c 2 + b 2d 2 + 2abcd展开得：a 2c 2 + b 2d 2 + a 2d 2 + b 2c 2≥a 2c 2 + b 2d 2 + 2abcd 即 a 2d 2 + b 2c 2≥2abcd由基本不等式，显然成立,∴xy ≥ac + bd 证二：（综合法）xy =222222222222d b d a c b c a d c b a +++=++≥ac bd ac d b abcd c a +=+=++22222)(2 例5 解关于x 的不等式 a x x a log log <解：原不等式等价于 x x aa l o g 1l o g < 即 0log )1)(log 1(log <-+x x x a a a ∴1log 01log <<-<x x a a 或 若a >1 ， a x a x <<<<110或 若0<a <1 ， 11<<>x a ax 或 例6 解关于x 的不等式 )22(223x x x x m --<-解：原不等式可化为02)1(224<+⋅+-m m x x ，即 0)2)(12(22<--m x x 当m >1时， m x <<221 ∴m x 2log 210<< 当m =1时， 0)12(22<-x ∴x ∈φ当0<m <1时， 122<<x m ∴0log 212<<x m 当m ≤0时， x <0 例7 解关于x 的不等式 )20(,1)(c o t 232πθθ≤<<-+-x x 解：当1cot >θ即θ∈(0,4π)时， 0232<-+-x x ∴x >2或x <1 当1cot =θ即θ=4π时， x ∈φ当)1,0(cot ∈θ即θ∈(4π,2π)时， 0232>-+-x x ∴1<x <2 例8 满足13-≥-x x 的x 的集合为A ；满足0)1(2≤++-a x a x 的x 的集合为B1︒ 若A ⊂B 求a 的取值范围；2︒ 若A ⊇B 求a 的取值范围；3︒ 若A ∩B 为仅含一个元素的集合，求a 的值解：A =[1,2] ， B ={x |(x -a )(x -1)≤0}当a ≤1时， B =[a ,1] 当a >1时 B =[1,a ]当a >2时， A ⊂B当1≤a ≤2时， A ⊇B当a ≤1时， A ∩B 仅含一个元素例9 方程)0,10(,021cos 21sin 2π≤≤<<=-++x a a x x a 有相异两实根，求a 的取值范围解：原不等式可化为01cos cos 22=--x x a令 x t cos = 则]1,1[-∈t ，设12)(2--=t at t f 又∵a >0 ∴ ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥⇒-<>≥≥->⇒<<-≥-=≥=->+=∆1414110811411022)1(02)1(081a a a a a a a a f a f a 或 课后作业： 1选择题(1)不等式6x 2+5x <4的解集为（ B ） A (-∞,-34)∪(21,+∞) B (- 34,21) C (- 21,43) D (-∞,-21)∪(34,+∞) (2)a >0,b >0,不等式a >x1>-b 的解集为（ C ） A -b 1 <x <0或0<x <a 1 B - a 1<x <b1 C x <-b 1或x >a 1 D - a 1<x <0或0<x <b1 (3)不等式11+x (x -1)(x -2)2(x -3)<0的解集是（ B ） A (-1,1)∪(2,3) B ∞,-1)∪(1,3) C (-∞,-1)∪(2,3) D(4)若a >0,且不等式ax 2+bx +c <0无解,则左边的二次三项式的判别式（C ） A Δ<0 B Δ=0 C Δ≤0 D >0(5)A={x |x 2+(p +2)x +1=0,x ∈R },且R *∩A=∅,则有（ B ） A p >-2 B p ≥0 C -4<p <0 D p >-4 (6)θ在第二象限,cos θ=524+-m m ,sin θ=53-+m m ,则m 满足（ D ） A m <-5或m >3 B 3<m <9 C m =0或m =8 D =8(7)已知不等式l o g a (x 2-x -2)>l o g a (-x 2+2x +3)在x =49时成立,则不等式的解集为（ B ） A {x |1<x <2} B {x |2<x <25} C {x |1<x <25} D {x |2<x <5} (8)设0<b <21,下列不等式恒成立的是（ C ） A b 3>b 21 B l o g b (1-b )>1 C cos(1+b )>cos(1-b ) D (1-b )n <b n,n ∈N (9)若不等式x 2-l o g a x <0在(0,21)内恒成立,则a 满足（ A ） A 16≤a <1 B 16<a <1 C 0<a ≤161 D 0<a <161 (10)不等式112+<-x x 的解集是（ A ）A ［0,1］B ［0,+∞］C (1,+∞)D ［-1,1］ (11)不等式112)21(--<x x 的解集是（ D ）A B (1,2) C (2,+∞) D (1,+∞)2填空题(1)不等式1≤|x -2|≤7的解集是 :［-5,1］∪［3,9］ (2)不等式x 1>a 的解集是 a =0时x >0;a >0时,0<x <a 1;a <0时,x <a1或x >0 (3)不等式lg|x -4|<-1的解集是 答案:{x |4<x <1041或1039<x <4} (4)若不等式43)1(22+++--x x a ax x <0的解为-1<x <5,则a = :4 3、求下列函数的最值：1︒ )(,42+∈+=R x xx y (min=24) 2︒)20(),2(a x x a x y <<-= (8max 2a =) 3︒若220<<x , 求)21(22x x y -=的最大值4︒若+∈R y x ,且12=+y x ，求y x 11+的最小值)223(+ 4、解下列不等式（1）解不等式｜x 2－4x ＋2｜≥2x （2）(x +4)(x +5)2>(3x -2)(x +5)2； (3)1)3()4)(1(2+---x x x x ≤0； (4)45820422+-+-x x x x ≥3 解:（1） 0＜x ≤21或4177-≤x ≤4177+或x ≥4 (2)当x ≠-5时,(x +5)2>0,两边同除以(x +5)2得x +4>3x -2,即x <3且x ≠-5∴x ∈(-∞,-5)∪(-5,3)(3)当x ≠4时,原不等式⇔(x -1)(x -3)(x +1)≤0(x ≠-1) ⇔1≤x ≤3或x <-1,当x =4时,显然左边=0,不等式成立故原不等式的解集为{x |1≤x ≤3或x <-1或x =4}(4)原不等式可化为451820422+-+-x x x x -3≥00456522≥+-+-⇔x x x x 0)4)(1()3)(2(≥----⇔x x x x ∴x ∈(-∞,1)∪［2,3］∪(4,+∞)。
9不等式与不等式组小结与复习课件(新人教版七年级数学下)
3x 1 x 2 4x 3 1 （2） 2 3 6
;
例题
例2．解不等式组
5 x 2 3 x 1 , （3） 1 3 x 1 7 x. 2 2
;
⑷
4 x 3 3(2 x 1), 1 3x 1 5 x. 2 2
2 x 1 5 x 1 1
的整数解的个数为（ D ） C．3个 D．4个
B．2个
知识回顾
4. 不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示, 则这个不等式组为（ C ）
x 2 x 2 x 2 A． B. x 1 C． x 1 x 1
第9章 不等式与不等式组
知识回顾
A ）． 1．“—x不小于—2”用不等式表示为（ A．—x≥—2 B．—x ≤—2 C．—x ＞—2 D．—x ＜—2 2．若m＜n，则下列各式中正确的是（ A）． A．m－3＞n－3 B．3m＞3n n m C．－3m＞－3n D． 1 ＞ 1
3
3
3．不等式组 A．1个; Nhomakorabea
例3．为执行中央“节能减排，美化环境，建设美 丽新农村”的国策，某村计划建造A、B两种型号 的的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料 问题．两种型号的的沼气池的占地面积、使用农 户数及造价见下表： 占地面 使用农户数 造价 已知可供建造沼气池的占 型 号 （户/个） （万元/个） 积 （㎡/个） 地面积不超过365㎡，该 A 15 18 2 村农户共有492户． B 20 30 3 (1)满足条件的方案共 有几种？写出解答过程． (2)通过计算判断，哪种建造方案最省钱？
畅所欲言
谈谈你的收获。
不等式总结
不等式小结与复习主讲：黄冈中学高级教师陈红明一周强化一、一周知识概述不等式是中学数学的基础和重要部分，它可以渗透到数学的其它内容中，在实际生活中有广泛的应用，是高考的重要内容。
在复习不等式时应注意等价转化思想、分类讨论的思想、函数与方程的思想以及化归思想在不等式中的应用，掌握通性通法。
提高应用意识，总结不等式的应用规律，才能提高解决问题的能力，在实际应用中，主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法，求最值时要注意等号成立的条件，避免不必要的错误。
(一)知识网络结构(二)不等式的性质1、实数的运算性质和大小顺序之间的关系；a－b>0a>b；a－b=0a=b；a－b<0a<b.2、不等式的基本性质（1）对称性：a>b b<a；（2）传递性：a>b，b>c a>c；（3）可加性：a>b，c∈R a＋c>b＋c；（4）可乘性：a>b，c>0ac>bc；a>b，c<0ac<bc.3、不等式的运算性质（1）加法：a>b，c>d a＋c>b＋d；（2）减法：a>b，c<d a－c>b－d；（3）乘法：a>b>0，c>d>0ac>bd；（4）除法：a>b>0，0<c<d；（5）乘方：a>b>0（n∈N*且n>1）（6）开方：a>b>0（n∈N*且n>1）（7）倒数：a>b，ab>0.（三）不等式的证明方法与主要依据1、证明不等式的方法：证明不等式的常用方法有：比较法、综合法、分析法．此外，在证明不等式中，有时还要运用综合分析法、放缩法、换元法、反证法．2、证明不等式的主要依据（1）a－b>0a>b；a－b<0a<b.（2）不等式的性质.（3）重要不等式及定理：①a2≥0（a∈R）；②a2＋b2≥2ab（a∈R，b∈R）；③（a∈R＋，b∈R＋）；④a3＋b3＋c3≥3abc（a，b，c∈R＋）；⑤（a，b，c∈R＋）；⑥|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|；⑦|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|a n|；（注：搞清楚以上定理取“=”号的条件）⑧|x|<a（a>0）x2<a2－a<x<a；⑨|x|>a（a>0）x2>a2x<－a或x>a. （四）不等式的解法1、绝对值不等式、高次不等式的解法2、无理不等式通过以上表解，进一步熟悉不等式的性质、证明、解法.二、重难点知识选讲1、不等式的性质、重要不等式、绝对值不等式是整章的基本内容，是证明不等式和解不等式的知识基础，应熟练掌握和运用．例1、设，则在①a2>b2；②a＋b>2；③ab<b2；④a2＋b2>|a|＋|b|这四个不等式中，恒成立的个数是（）A．0B．1C．2D．3例2、已知正数x，y满足x+2y=1，求的最小值．2、不等式的证明不等式证明方法较多，具体问题具体分析是证明不等式的精髓，灵活地选用证明方法是证明不等式的技巧．巧妙地变形是证明不等式的关键，联系和联想是证明不等式的重要观点，提高思维能力是证明不等式的落脚点．例3、已知0<a<1，求证：≥9.3、不等式解法不等式的解法是化归与转化思想的充分运用，将超越不等式转化为代数不等式、无理不等式转化为有理不等式、高次或分式不等式转化为一元一次、二次不等式等，应注意转化过程的等价性．例4、解不等式：例5、解关于x的不等式（a∈R）.4、不等式的应用问题例6、（全国高考试题）建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为______元.例7、（全国高考试题）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？。
不等式复习小结
不等式复习小结【教学目标】1．会用不等式（组）表示不等关系；2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小； 3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系； 4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题； 5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值。
【教学重点】不等式性质的应用，一元二次不等式的解法，用二元一次不等式（组）表示平面区域，求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，基本不等式的应用。
【教学难点】利用不等式加法法则及乘法法则解题，求目标函数的最优解，基本不等式的应用。
【教学过程】1.本章知识结构2.知识梳理（一）不等式与不等关系1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>,(3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>；d b c a d c b a +>+⇒>>, (4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,；bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(5)倒数法则：baab b a 110,<⇒>>(6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a nn且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a nn且2、应用不等式的性质比较两个实数的大小； 作差法3、应用不等式性质证明（二）一元二次不等式及其解法 一元二次不等式的解法一元二次不等式()00022≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集：设相应的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：(让学生独立完成课本第86页的表格) 有两相异实根 有两相等实根（三）线性规划1、用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点）3、线性规划的有关概念：①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x 、y 的一次式z =2x +y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解2a b +≤1、如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab b a22a b +≤几何意义是“半径不小于半弦”3.典型例题1、用不等式表示不等关系例1、某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装软件，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，写出满足上述不等关系的不等式。
第二章《一元一次不等式与一元一次不等式组》小结与复习-八年级数学下册课件(北师大版)
巩固练习 拓展提高
6. 某公司为了扩大经营,决定购进6台机器用于生产某种活塞,
甲
乙
现有甲、乙两种机器供选择,其中每种机器的价格和每台机器日生 价格(万元/台) 7
5
产活塞的数量如下表所示,经过预算,本次购买机器所耗资金不能
每台日产量(个) 100 60
超过34万元,则按该公司的要求可以有几种购买方案?
＞ 大于,高出 大于
小于或等于 号
≤
不大于, 小于或 不超过 等于
大于或等于 号
≥
不小于, 大于或
至少
等于
不等号
≠
不相等 不等于
Hale Waihona Puke 创设情境 引入新课比较不等式与等式的基本性质：
变形 两边都加上（或减去）同一个整式 两边都乘以（或除以）同一个正数 两边都乘以（或除以）同一个负数
等式 仍成立 仍成立 仍成立
解不等式的应用问题的步骤包括审、设、列、解、 找、答这几个环节，而在这些步骤中，最重要的是 利用题中的已知条件，列出不等式（组），然后通 过解出不等式（组）确定未知数的范围，利用未知 数的特征（如整数问题），依据条件，找出对应的 未知数的确定数值，以实现确定方案的解答.
巩固练习 拓展提高
7. 暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两家 旅行社，经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折收费；乙旅行社的 优惠条件是家长、学生都按八折收费.假设这两位家长带领x名学生去旅游，他们应该选择哪家旅 行社？
创设情境 引入新课
一元一次不等式与一次函数在决策型应用题中的应用
实际问题
写出两个函数表达式
画出图象
分析图象
第三章__不等式小结复习
二、 一元二次不等式及其解法
我们把只含有一个未知数，并且未知数的 最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 如关于x的一元二次不等式
ax2+bx+c>0
其中a，b，c是常数. 一元二次不等式的解集如何求呢？
一元二次不等式的解法
一般地， 如果对于一元二次方程
ax2+bx+c=0（a>0)
有两个不等的根 x1 =
利用基本不等式求函数的 最值之要领
求最值的三个条件：
(1)正； (2)定; (3)相等
在有些问题中,有时也会遇到相等不成 立的情况 例如：已知0<x<
2 ，求函数 y sin x sin x
在有些问题中,有时也会遇到相等不成 立的情况 2 例如：已知0<x< ，求函数 y sin x sin x 2
四、基本不等式
基本不等式1
若a, b R, 则a b 2ab
2 2
(当且仅当a b时 “ , ”成立).
基本不等式2
ab 若a 0, b 0, 则 ab , 2 当且仅当a b时“”成立.
ab 基本不等式 ab 2 如果把 a b看作是正数a、b的等差中项，把 ab
上述例子中对应的一元二次方程都有两个不等 的实根,如果一元二次方程有两个相等的实根或没 有实根，如何确定相应的一元二次不等式的解集呢? ax2+bx+c=0(a>0) 1）当根的判别式=b2-4ac>0时，二次方程有两个 不相等的实根； 2）当根的判别式=b2-4ac=0时，二次方程有两个 相等的实根； 3）当根的判别式=b2-4ac<0时，二次方程没有实根.
1 1 1 4x 4( x 1) 2 4( x 1) 4 x 1 x 1 x 1 1 1 当且仅当 4( x 1) x 1 ，即 x 1 2 1 3 4 4 x 1 的最小值是4。 x 时 4x x 1 2 x 1
高中数学《一元二次函数、方程和不等式》小结与复习第2课时教学设计
一元二次函数、方程和不等式小结与复习第2课时教学设计一、内容和内容解析1.内容基本不等式及变形公式的运用, 用函数观点理解方程和不等式的基本思想方法，三个二次的综合应用.2.内容解析利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.从方程角度认识不等式，体会一元二次方程、一元二次不等式的联系性.已知一元二次不等式的解集，能分析出原方程的根，画出二次函数图象，重点培养学生逆向思维能力.从函数角度认识不等式，体会二次函数、一元二次不等式关系的整体性.体会一元二次不等式恒成立问题与二次函数图象的结合问题，重点培养数形结合能力.二、目标和目标解析1.目标（1）会用基本不等式解决常见的最值问题.（2）利用二次函数、方程和不等式的关系解决一元二次不等式的有关问题，从而进一步体会用函数观点统一方程和不等式的数学思想.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）学生在求解代数式最值的过程中能够注意一正、二定、三相等的条件,能够通过适当的变形，借助基本不等式解决相关最值问题.（2）学生能够利用三个二次的关系，灵活地解决和二次函数以及一元二次不等式有关的问题.三、教学问题诊断分析在利用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件，因此，在教学过程中，应借助辨析的方式让学生充分领会基本不等式成立的三个限制条件（一正、二定、三相等）在解决最值问题中的作用.设计意图：从问题出发，营造教学环境，引导学生进行一题多解，拓展思维.多数学生会用方法一来求解，因此师生共同总结应用基本不等式.例1的表面为二元，实则化归为一元，利用基本不等式或者二次函数来解决，提醒学生注意变量的取值范围问题.设计意图：这个问题的设计主要为了启发学生构造的思维，没有定值时，要创造定值，要将表达式变形，让学生发现如何创造性的用“1”在解答过程中进行过渡，并总结“1”的代换方法.设计意图：通过乘以、除以“1”或将“1”代入分子等变化，可以构造变式之积为定值，但不是万能的，设计此题，鼓励学生灵活运用，合理化归.同时将分母看成一个整体变量，将已知代数式构造成分母的形式.通过一系列的问题，让学生明白数学的学习不只是学习解题的套路，更要通过不断地思考变换的问题，让自己思维更广阔，增强自己的思维能力，培养将未知转化为已知的能力.（二）从方程角度认识不等式，体会一元二次方程、一元二次不等式的联系性设计意图：由一元二次不等式的解集推出原不等式，这种开放式问题，可以考查不等式的解与方程的根之间的关系，也培养学生逆向思维能力.（三）从函数角度认识不等式，体会二次函数、一元二次不等式关系的整体性设计意图：突出等价转化思想.追问6：本题若无“二次不等式”的条件，还应考虑a=0的情况，但对本题来讲，a=0时，式子不恒成立.（想想为什么？）设计意图：围绕一元二次不等式展开，突出体现数形结合的思想，同时学会分类讨论.（四）归纳总结、布置作业布置作业：教科书复习参考题2第5，6，7，8题.五、目标检测设计。