函数及其图象：平面直角坐标系、一次函数
② 当 ｋ Ｏ时 ， 象 为过 原 点 、 二 象 限 、 四象 ＜ 图 第 第
限 的一条 直线 ． （ ） 次 函数 ｙ ｘ ４ ２一 ＝ｋ － ｂ的图 象 ： －
① 当 ＞ ０ ６ ０时 ， 象 为过 第 一 象 限 、 二 象 ，＞ 图 第
限、 第三象 限的一条 直 线 ；
的正 比例 函数 ．
注意 ： 比例 函数是一 次 函数 ， 正 但一 次 函数不 一定 是正 比例 函数 ， 比例 函数是一次 函数 的特殊情形 ． 正
２ ４ 正 比例 函数 和一 次 函数 的 图象 ． （ ） 比例 函数 ｙ ｘ的图象 ： １正 ＝ｋ
１ 单 元 知 识 网络
① 当 ＞ ０时 ， 象 为过 原 点 、 一 象 限 、 三 象 图 第 第
在 同一直 角 坐标 系 中 ， 两个 一 次 函数 图象 的交 点
就是 相应 的二 元 一 次 方 程 组 的解． 过 来 ， 反 以二 元 一 次方 程组 的解 为 坐 标 的 点 一定 是 相 应 的两 个 一 次 函 数 图象 的交点 ．
点为（ ， ） 一口 一６ ．
（） ２ ｘ轴 上 的点 为 （ ０ ； 上 的点为 （ ， ． ， ） ｙ轴 ０ ） （ ） 一象 限 、 三 象 限两 坐 标 轴 夹 角 的平 分 线 ３第 第 上 的点 （ ，） ｎ ６ 的特 点是 ｎ ； 一６ 第二 象 限 、 四象 限两坐 第 标轴 夹角 的平 分线上 的点 （ ，） ｎ ６ 的特点 是 ｎ —０ ＋６ ．
２ ６ 待 定 系数法 求一 次 函数的解 析式 ．
２ 要 点 剖 析
２ １ 平 面直 角坐标 系 ． 平 面直角 坐标 系 的建 立 把 坐 标 平 面 分成 四个 象
设所求 的一次 函数 解析式 为 一是 ＋６ 其 中 ｋ ｂ ， 、
是待 定 系数 ， 两对 已知 的 自变 量 与 函数 的对 应值 分 把
—
＝
ＯＰ一４ 求 埘 的值． ． 解析 ： 已知 ＡＰ＝Ｏ 点 尸 在线 段 Ｏ 的垂 直 由 Ｐ， Ａ
平分 线 Ｐ 上． Ｍ 如 图 １ 当点 Ｐ在 第 一 象 限 时 ， ，
０Ｍ ＝＝ ０ Ｐ 一 ４ ＝２， ．
｝
＼． Ｐ
０ 当 ．为何 值时 ， ； ７ ２ 函数 一３ 一２的值 大 于零 ， ｘ 即为 元一次 不等式 ３ 一２ ；２ 在同一 坐标 平 面 内有 两 ｚ ＞０ （ ）
２ ３ 一次 函数 与正 比例 函数 的定 义 ．
３ 疑 难 突 破
３ １ 由于点 到 坐标 轴 的距 离 都 是 正 数 ， ． 而点 的坐 标
有正 、 负之 分 （ 有 可 能 为零 ） 故 不 能 简单 的用 点 的 还 ，
（ ） 次 函 数 ： 果 Ｙ— ｋ ４ｂ ｋ ｂ是 常 数 ， １一 如 ｘ－ （ ， －
在 Ｒ△Ｏ Ｍ 中 ， ｔ Ｐ
一
Ｐ 一， ｐ－ｏ ｆ 二 ：２ ， Ｍ ｌ — —Ａ ＝、 ｏ ５ ７
’ ． ．
７ 一 ＼
＾ ／ ＼ ｊ ，
Ｐ一
个一次 函数 图象 ， Ｙ 若 的 图象在 Ｙ 。的图象 上方 （ 下 或 方） 则 Ｙ ＞ （ Ｙ ， 或 ＜ ） 若 它 们 交 于 一点 ， 交 点 ； 则
② 当 ＞ ０ ｂ Ｏ时 ， 象 为过 第 一 象 限 、 三 象 ，＜ 图 第 限 、 四象 限的一条 直线 ； 第 ③ 当 ｋ Ｏ ｂ Ｏ时 ， 象 为过 第 一 象 限 、 二 象 ＜ ，＞ 图 第 限 、 四象 限的一条 直线 ； 第 ④ 当 ｋ Ｏ ｂ Ｏ时 ， ＜ ，＜ 图象 为过 第 二 象 限 、 三 象 第
坐标就是 两个 解析式所 组成 的方 程组 的解．
２ ２ 特 殊点 的坐标 特征 ． （ ） 称点 ： Ｐ（ ， ） 于 轴 对 称 的点 为 （ ， １对 点 口６关 口
一
２ ７ 两个一 次 函数 图象 的交点 与 二元 一次 方 程组 解 ． 的 关 系
６， ） 关于 Ｙ轴 的对 称 点为 （ ，） 关 于 原点 对 称 的 一口 ６ ，
别代 入 Ｙ ｘ ４ ， 到关 于 ｋ ｂ的二 元一 次方 程 组 ， ＝ｋ － ｂ 得 － 、
限， 坐标轴 是各 象 限的 界 限 ， 标 轴 上 的 点不 属 于任 坐
何象 限．
解这 个方 程组 求 出 ｋ ｂ的值 ， ｋ ｂ的值代 入 Ｙ—ｋ 、 把 、 ｘ
－
４ ， 可得 到所求 的一次 函数 的解 析式 ． － 就 ｂ
限 、 四象 限的一条 直线 ． 第 ２ ５ 正 比例 函数 和一 次 函数 的性 质 ．
对于一次函数 一如＋６ 和正 比例函数 ｙ ．都有 ： ＝ｋ ｘ
当 ｋ Ｏ时 ， ＞ Ｙ随 的增 大 而 增 大 ； ｋ 当 ＜Ｏ时 ， Ｙ 随 的增 大而 减小 ．
注 意 ： 次 函数 的 单 调 性 取 决 于 比例 系 数 ｋ的 一 值 ， 与 ｂ的值无 关． 而
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； 直角避 标 、一次函数 素 、
浙 江省嵊 州市 教研 室 蔡 建锋
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≠０ ， 么 Ｙ叫做 的一 次 函数 ． ）那 （ ） 比例 函数 ： ６ ０时 ， 次 函数Ｙ ｘ ２正 当 — 一 —ｋ ＋ｂ （ ≠ ０ 就 成 了 ｙ ｘ ｋ是 常数 ，≠０ ， 时 Ｙ叫做 ｚ ） ￣ｋ （ ）这
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坐标来 表 示点 到坐 标轴 的距 离 ， 应该 用 坐 标 的绝 对值 来表示 点 到坐 标轴 的距 离． ３ ２ 一次 函数 与一 元 一 次方 程 、 元一 次 不等 式 、 ． 一 二 元一 次方 程组有着必然 的联 系． ：１ 当 ． 为何值 时 ， 如 （） ７ ２ 函数 一３ ｘ一２的值 为零 ， 为 一元 一 次 方程 ３ 一 ２ 即 ３ ：
华师版数学八下17.3.2《一次函数的图象》(共2课时)
活动：请大家用描点法在同一坐标系内画出一次函
数 y = x+2，y = x-2的图象.
x … -2 -1 0 1 2 …
y y = x+2
y = x+2 … 0 1 2 3 4 … y = x-2 … -4 -3 -2 -1 0 …
思考：观察它们的图象有什么特点？
.
.
..
O. .
.
.
.
.
2
y = x-2
当堂练习
1.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并说出它
们有什么关系： (1) y=－2x－4；
y=－2x－4
(2) y=－2x.
两函数图象平行
y=－2x
2.直线y = 3x-2可由直线y = 3x向 下 平移 2 个单位得
到. 3.直线y = x+2可由直线y = x-1向 上 平移 3 个单位得到.
一次函数 一次函数的平移
华师版八下数学教学课件
第17章 函数及其图象 17.3 一次函数
2.一次函数的图象
第2课时 一次函数与坐标轴的交点及实际问题中一 次函数的图象
导入新课
复习引入 1.一次函数 y = kx+b 的图象是什么图形？
y = kx+b 的图象是一条直线 2.几个点可以确定一条直线？
再分别平移它们，也能得到直线
y = -2x - 1 与 y = 0.5x + 1.
结论验证
问题1 在同一个平面直角坐标系中，画出下列函数
的图象:
(1)
y
1x 3x
(4) y 3x 2
y
y 3x 2
5 4 3
2 1
y 1x2 2
函数及其图象函数的图像平面直角坐标系
旋转变换是指将图形绕原点进行旋转，这种变换不改变图形的大小和形状。旋转变换可以 用矩阵表示，其中矩阵的元素表示旋转的角度和方向。
二维坐标系及其应用
二维坐标系定义
在平面上，通过两个相互垂直的坐标轴， 可以确定平面上任意一点的位置。这种由 两个相互垂直的坐标轴组成的坐标系称为 二维坐标系。
VS
THANKS
3
函数可以用数学表达式、图像或表格等方式来 表示。
函数的性质
函数具有单值性， 即对于每个输入值 ，只有一个输出值 与之对应。
函数的性质还包括 奇偶性、单调性、 周期性等。
函数还具有封闭性 ，即函数的输出值 与输入值的关系不 受外界干扰。
函数的分类
根据函数的定义域和值域的关系，函数可以分为单射函数、 满射函数和双射函数。
确定需要考察的函数表达式，例如y = x^2 + 2x + 1。
连接点
用平滑的曲线连接这些点。
选择x值
选择一系列x值，例如x = -5, -4, -3, ..., 5 。
描点
在平面直角坐标系上，以(x, y)的形式描出 每一个点。
计算y值
将每个x值代入函数表达式，计算对应的y 值。
插值法绘制函数图像
01
02
输入函数表达式
在绘图软件中输入需要绘制的函数表 达式。
03
设定x值范围
设定x值的范围，例如x = -5 to 5。
调整图像参数
可以调整图像的颜色、线型、坐标轴 范围等参数，以更好地展示函数的特 点。
05
04
绘制图像
使用绘图软件的相应功能，绘制函数 图像。
04
函数图像的分析与应用
函数的极值与最值
第10讲 一次函数
简记为“左加右减,上加下减”.
知识点四
常用方法
步骤
确定一次函数的表达式
待定系数法
(1)设函数表达式;(2)列方程(组);(3)解方程(组),确定待定系数;(4)写出函数表达式
常见类型 (1)已知两点坐标;(2)已知两对对应值;(3)利用平移规律;(4)利用实际问题中的数量关系
知识点五
一次函数与方程(组)、不等式的关系
待定系数法求函数表达式.
(2)表格型应用题:分析表格中数据,从表格中提取两组量,应用待定系数法求函数表达式.
(3)图象型应用题:从函数图象上找出两点,将其坐标代入求函数表达式;若函数为分段函数,则要注意
取同段函数图象上的两点,依此方法分别求各段函数的表达式,最后记得加上对应自变量的取值范围.
(4)方案选取问题:根据表达式分类讨论,比较几个方案在不同取值下的最优结果.
解:(1)当 x=100 时,y=- ×100+13=9,
∴B(100,9).
设线段 BC 的表达式为 y=kx+b(k≠0),
则
= ,
= + ,
解得
= + ,
=- ,
∴线段 BC 的表达式为
y= x- (100≤x≤140).
(2)如果从甲地到乙地全程为260 km,包括60 km限速为50 km/h的省道和200 km限速为120
A
B
C
D
)
[变式2] (2022眉山)一次函数y=(2m-1)x+2的值随x的增大而增大,则点P(-m,m)所在象限为(B
)
A.第一象限
八年级第十七章《函数及其图象》知识点
.精品文档.八年级第十七章《函数及其图象》知识点八年级第十七《函数及其图象》知识点（2）一、一次函数（一）一次函数的概念：形如y=kx+b （其中k工0）,两个特征：①k工0，②x的次数为1正比例函数的概念：当b=0时的一次函数成为正比例函数，此时称y与x成正比例【注意】两个变量成正比例，即y=kx.例题1、若函数y=（-1）x|| 是一次函数，则=.2、若y-1与x+3成正比例，且当x=1时，y=2，求y与x 的函数关系式.（二）一次函数的图象及其性质：y=kx+b （" 0）1、一次函数的图象是一条直线，故使用待定系数法求直线解析式时一般需要两个点.特殊直线：直线y=x或直线y= -x上的点到两坐标轴距离相等.2、一次函数的性质（与系数k、b相关）① k决定着函数的增减性当k > 0时，y随x的增大而增大（增函数），必过第一三象限当k v 0时，y随x的增大而减小（减函数），必过第二四象限② b决定着直线与y轴交点的位置：在原点的基础上“上加下减”当b=0时，必过原点；当b>0时，沿y轴向上平移；当b v 0时，沿y轴向下平移.补充口诀：上加下减改变b, y=kx+b —y=kx+b+左加右减改变x, y=kx+b —y=k（x+）+b③斜率k的性质：平移k不变；|k|越大，直线的倾斜程度越大；k=【可用于待定系数法求解析式中的k 1④截距b的性质：与y轴交点（0, b）,与x轴交点（, 0）⑤四种特殊位置关系的直线：两直线平行k相等；两直线相互垂直--> k1 • k2= -1 ；两直线关于x轴对称--> k与b均互为相反数；两直线关于y轴对称k互为相反数，b相等.⑥点（x0, y0）到直线ax+by+=0的距离d公式：d=（三）一次函数的应用1、解题关键：点的坐标，尤其是交点的坐标三种交点：①与x轴交点，y坐标为0,即（x, 0）②与y轴交点，x坐标为0,即（0, y）③两个图象的交点：联立解析式，方程组的解即为交点的x坐标和y坐标2、解题思路：①与三角形全等、直角三角形、面积、周长、线段有关的问题均转化为点的坐标【数形结合很重要，注意运用“全等（含对称）、勾股定理、等面积法（含同底等高）”等知识】②求函数解析式（含求函数值或自变量的值）均用待定系数法，其中k、b注意利用性质求得.【待定系数法思路：几个未知系数，就用几个条件构造方程】③比较大小的三种方法：【含两种方案的比较问题】代入计算法（对函数解析式已知的题目适用）增减性分析法（对k的符号已知的适用）图象分析法（对能画出大致图形的适用，借助交点和坐标轴分析）④最值问题（如最大利润）：先求出自变量的取值范围（常以“有几种方案”的问题出现，需根据题意列不等式组求出）；再列出关于利润的函数表达式（要化简整理成y=kx+b 的形式），最后根据增减性结合具体方案（自变量取值范围），找出最值.⑤行程问题（常以两车同向或相向为背景）图象交点的意义：两车相遇(或追上)两车的距离即为：s=y1-y2例题1、已知直线y=(k+2)x+k2-4 的图象经过原点，贝U k=.2、若一次函数y=(k+2)x-2k+3的图象不经过第四象限，则k的取值范围是.3、已知直线平行于直线y=2x，且与y轴交点到原点的距离为2,则该直线的解析式是.4、把直线y=-x+3向上平移个单位后，与直线y=2x+4的交点在第一象限，则的取值范围是.5、函数y=ax-2与y=bx+3的图象交于x轴上的一点，则=.6、一次函数y=(3a-7)x+a-2 的图象与y轴交点在x轴上方，且y随x的增大而减小，求a的取值范围.7、正比例函数y=-kx的图象经过第一三象限，在函数y=(k-2)x 的图象上有三个点(x1 , y1 )、(x2, y2)、(x3, y3), 且x1 >x2 > x3时，贝» y1、y2、y3的大小关系为.&若直线y=kx+b交坐标轴于(-2,0) 、(0,3)两点，则不等式kx+b > 0的解集是.9、函数y= -x+3，当图象在第一象限时，x的取值范围是；当-1 < x < 3时，函数的最小值是.10、直线AB过点A (0,6 )、B (-3,0 ),直线D与直线AB相互垂直，且过点（0,1 ）.（1）求两直线的解析式；（2）求直线D与x轴的交点D 的坐标；（3）求直线AB上到y轴距离等于4的点的坐标；（4）求两直线的交点P的坐标；（5）求厶PAD的面积；（6）在y 轴上的是否存在点，使得S A PA=S^ PAD.11、点A为直线y=-2x+2上的点，点A到两坐标轴的距离相等，则点A的坐标为.12、把Rt △ AB放在平面直角坐标系中，点A （1,0 ）、点B（ 4,0 ）, / AB=90°, B=5.将厶AB沿x轴向右平移，当点落在直线y=2x-6上时，求线段B扫过的面积.13、某工厂投入生产一种机器，当该机器生产数量至少为10台，但不超过70台时，每台成本y与生产数量x之间是一次函数关系，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x （单位：台）102030y （单位：万元/台）605550（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的50取值范围；(2)市场调查发现，这种机器每月销售量z (台)与售价a (万元/台)之间满足如图所示的函数关系.该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器25台，请你求出该厂第一个月销售这种机器的利润. (注：利润=售价-成本)14、现从A, B两个蔬菜市场向甲、乙两地运送蔬菜，A, B 两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A地到甲地的运费为50元/吨，到乙地的运费为30元/吨；从B地到甲地的运费为60元/吨，到乙地的运费为45元/吨.(1) 设从A地往甲地运送蔬菜x吨，请完成下表：运往甲地(单位：吨)运往乙地(单位：吨)AxB(2) 设总运费为元，请写出与x的函数关系式；(3) 共有多少种运送方案？哪种方案运费最少？15、一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1 (k),出租车离甲地的距离为y2 ( k),客车行驶时间为x ( h), y1 , y2 与x 的函数关系图象如图所示：(1)根据图象，求出y1 , y2关于x的函数关系式。
平面直角坐标系与一次函数
平面直角坐标系与函数知识点一、平面直角坐标系1.平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。
2.点的坐标的概念点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。
知识点二、不同位置的点的坐标的特征1.各象限内点的坐标的特征(1)点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x (2)点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x (3)点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x (4)点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x2.坐标轴上的点的特征(1)点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数. (2)点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数. (3)点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0）.3.两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征(1)点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y 相等. (2)点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数.4.和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征(1)位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。
(2)位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。
5.关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征(1)点P 与点p ’关于x 轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数. (2)点P 与点p ’关于y 轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数.(3）点P 与点p ’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数.6.点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y （2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x （3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x +知识点三、函数及其相关概念1.变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一次函数
读图题与图象法
画出y＝ － 的图象 由图象观察： 的图象， 画出 ＝2x－3的图象，由图象观察： 为何值时， ＞ ； （1）当x为何值时，y＞0； ） 为何值时 为何值时， ＝ ； （2）当x为何值时，y＝0； ） 为何值时 为何值时， ＜ （3）当x为何值时，y＜0. ） 为何值时
2 x − y = 1 用图象法解方程组： x − 2 y = −4
先判断是什么函数关系，再 利用待定系数法求出具体关 系式，最后代入自变量的值 求函数值。
一次函数的两种变种
如果b 如果b＝0，函数变形为y＝kx 函数变形为y 正比例函数是一次函数的特例 正比例函数是一次函数的特例 一次函数： 一次函数： y＝kx＋b kx＋ k≠0） （k≠0） 图象是过原点和（1， k）点的直线 图象是过（0，b）点 且与x轴平行的直线 如果k 如果k＝0，函数变形为y＝b 函数变形为y 常函数， 常函数，不属于一次函数
一次函数的一般形式
嘻嘻，不准 考难题！
已知一次函数y＝ 已知一次函数 ＝(a-2)x+3a2-12，求： ， 为何值时， （1）a为何值时，其图象经过原点； ） 为何值时 其图象经过原点； 为何值时， 轴上截距为－ ； （2）a为何值时，图象在 轴上截距为－9； ） 为何值时 图象在y轴上截距为 为何值时， （3）a为何值时，图象经过点（1，0）。 ） 为何值时 图象经过点（ ， ）。
对于一次函数y＝ ＋ 对于一次函数 ＝kx＋b
什么时候，其图象经过第一、 三象限？ 什么时候，其图象经过第一、二、三象限？ 什么时候，其图象经过第一、 四象限？ 什么时候，其图象经过第一、三、四象限？ 什么时候，其图象经过第一、三象限？ 什么时候，其图象经过第一、三象限？ 什么时候，其图象经过第一、 四象限？ 什么时候，其图象经过第一、二、四象限？ 什么时候，其图象经过第二、 四象限？ 什么时候，其图象经过第二、三、四象限？ 什么时候，其图象经过第二、四象限？ 什么时候，其图象经过第二、四象限？
中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数及其图象 知识点汇总及典例分析
中考复习——平面直角坐标系、一次函数、反比例函数【知识梳理】一、平面直角坐标系1. 坐标平面上的点与 有序实数对 构成一一对应；2. 各象限点的坐标的符号；3. 坐标轴上的点的坐标特征．4. 点P （a ，b ）关于x 轴对称的点的坐标为 ；关于y 轴对称的点的坐标为 ；关于原点对称的点的坐标为5.两点之间的距离二、函数的概念1.概念：在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有 的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.2.自变量的取值范围： （1）使解析式 （2）实际问题具有 意义3.函数的表示方法； （1） （2） （3） 三、一次函数的概念、图象、性质1．正比例函数的一般形式是 （ ），一次函数的一般形式是 (k≠0). 2. 一次函数y kx b =+的图象是经过（ ， ）和（ ， ）两点的一条直线.4.若两个一次函数解析式中，k 相等，表示两直线 ；若两直线垂直，则 。
5.的大小决定直线的倾斜程度，越大，直线越 ；四、反比例函数的概念、图象、性质1．反比例函数：一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝ 或 或 （k 为常数，k≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数． 2. 反比例函数的图象和性质k ＞0，b ＞0k ＞0，b ＜0k ＜0，b ＞0k ＜0，21212211P P )0()0()2(y y y P y P -＝， ，，，21212211P P )0()0()1(x x x P x P -＝， ， ，， 3．k 的几何含义：反比例函数y ＝k x(k≠0)中比例系数k 的几何意义，即过双曲线y ＝k x(k≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为A 、B ，则所得矩形OAPB 的面积为 。
【例题精讲】 例1.函数22y x =-中自变量x 的取值范围是 ;函数y =x 的取值范围是 ．例2.已知点(13)A m -，与点(21)B n +，关于x 轴对称，则m = ，n = ． 例3.如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（10，0），点B 的 坐标为（8，0）,点C 、D 在以OA 为直径的半圆M 上,且四边形OCDB 是平行四边形，点C 的坐标为例4．一次函数y=(3a+2)x －(4－b),求满足下列条件的a 、b 的取值范围。
一次函数图象及性质
关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为
.
解析:把点P(a,2)的坐标代入y=x+1,得2=a+1,所以a=1.观察图象 知,当x>1时,直线y=x+1在直线y=mx+n的上方,此时x+1>mx+n.
故不等式x+1≥mx+n的解集为x≥1. 答案:x≥1
【对应训练 3】如图，直线 y＝kx 和 y＝ax＋4 交于点 A(1，k)，则不等式 kx－6＜ax＋4＜kx 的解集为__1_＜__x_＜__52____.
答案:3
命题点1 一次函数的图象与性质 【例1】 点P1(x1,y1)和点P且x1<x2,则y1与y2的大小关系是( )
A.y1>y2 B.y1>y2>0
C.y1<y2 D.y1=y2 解析:因为一次函数y=-4x+3中k<0,根据其性质,y随x的增大
答案:A
自主测试
4.两直线l1:y=2x-1,l2:y=x+1的交点坐标为( ) A.(-2,3) B.(2,-3)
C.(-2,-3) D.(2,3)
答案:D
5.若一次函数y=2x+b(b为常数)的图象经过点(1,5),则
b的值为
.
解析:因为一次函数y=2x+b(b为常数)的图象经过点
(1,5),所以5=2+b,b=3.
考虑问题不全面而导致出错． 【 例 4】(1) 已 知 直 线 y ＝ 2x ＋ m 不 经 过 第 二 象 限 ， 则 m 的 取 值 范 围 为 ___m__≤_0_____. (2)(2017·西宁)若点A(m，n)在直线y＝kx(k≠0)上，当－1≤m≤1时，－1≤n≤1 ，则这条直线的函数解析式为_____________y_＝__x_或__y_＝__－_. x
人教版八年级下册数学《函数的图象》一次函数PPT教学课件(第1课时)
新知探究
例1：一个水库的水位在最近 5h 内持续上涨 . 表中记录了这 5h 内6个时间点的水位高度 , 其中t表示时间 , y表示水位高度 . (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点 , 这些点 是否在一条直线上 ? 由此你能发现水位变化有什么规律吗 ?
t/h 0 1 2 3 4
5
y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5
x … 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 5
y … 12 6 4 3 2.4 2
1.5
6… 1…
新知探究
例3：下图反映的过程是小明从家去食堂吃早餐 , 接着去图书馆读报 , 然后回家 . 其中x 表示时间 , y 表示小明离家的距离 , 小明家、 食堂、图书馆在同一直线上 .
y/km
500 x/分
O 10 20 30 40 50
500 x/分
O 10 20 30 40 50
A
B
C
D
课堂小测
4.1~6个月的婴儿生长发育得非常快 , 他们的体重y(克)和月龄x(月) 之间的关系可以用y=a+700x表示 , 其中a是婴儿出生时的体重 . 若 一个婴儿出生时的体重是4000克 , 请用表格表示在1~6个月内 , 这 个婴儿的体重y与x之间的关系 :
离家500米的地方吃早餐 , 吃早餐用了20分 ; 再用10分赶到
离家1000米的学校参加考试 . 下列图象中 , 能反映这一过
程的是
（D）
y/米
y/米
y/米
y/米
1500
1500
1500
1500
1000
1000
1000
1000
500
500
平面直角坐标系与一次函数(一轮复习)
一、平面直角坐标系 １. 有序数对有顺序的两个数a 与b 组成的数对叫做有序数对，记作(),a b ．利用有序数对，可以准确地表示出一个位置．２. 平面直角坐标系定义：平面直角坐标系是由两条互相垂直的数轴组成，且两轴的交点是原点，同一数轴上的单位长度是一样的，但两轴上的单位长度不一定相同.注意数轴有三个要素——原点、正方向和单位长度.我们规定水平的数轴叫做横轴，取向右为正方向；另一数轴叫纵轴，取向上为正方向.知识点睛中考要求平面直角坐标系与一次函数３. 象限和轴：横轴（x 轴）上的点（x ，y ）的坐标满足：0y =；纵轴（y 轴）上的点（x ，y ）的坐标满足：0x =；第一象限内的点（x ，y ）的坐标满足：00x y >⎧⎨>⎩；第二象限内的点（x ，y ）的坐标满足：00x y <⎧⎨>⎩；第三象限内的点（x ，y ）的坐标满足：00x y <⎧⎨<⎩；第四象限内的点（x ，y ）的坐标满足：00x y >⎧⎨<⎩；４. 点的坐标：已知点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，设垂足分别是A 、B ，这两点在x 轴、y 轴的坐标分别是a 、b ，则点P 的坐标为（a ，b ）.点的坐标是一对有序数，横坐标写在纵坐标前面，中间用“，”号隔开，再用小括号括起来.５. 特殊直线：与横轴平行的直线：点表示法（x ，m ），x 为任意实数，0m ≠的常数（即直线y m =）；与纵轴平行的直线：点表示法（n ，y ），y 为任意实数，0n ≠的常数（即直线x n =）； 一、三象限角平分线：点表示法（x ，y ），x ，y 为任意实数，且x y =； 二、四象限角平分线：点表示法（x ，y ），x ，y 为任意实数，且x y =-；６. 点到线的距离点（a ，b ）到直线y m =（m 为常数）的距离为b m -，当0m =时，就是点到横轴（x 轴）的 距离为b ；点（a ，b ）到直线x n =（n 为常数）的距离为a n -，当0n =时，就是点到纵轴（y 轴）的距离为a ；这个知识点在已知三点的坐标求三角形面积时会用到.７. 对称：①点（x ，y ）关于横轴（x 轴）的对称点为（x ，y -）； ②点（x ，y ）关于纵轴（y 轴）的对称点为（x -，y ）；③点（x ，y ）关于原点（0，0）的对称点为（x -，y -）； ④点（x ，y ）关于点（a ，b ）的对称点为（2a x -，2b y -）；８. 平移：⑴点平移：①将点（x ，y ）向右（或向左）平移a 个单位可得对应点（x a +，y ）或（x a -，y ）. ②将点（x ，y ）向上（或下）平移b 个单位，可得对应点（x ，y b +）或（x ，y b -）. ⑵图形平移：①把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向右（或 向左）平移a 个单位.②如果把图形各个点的纵坐标都加上（减去）一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向上（或 向下）平移a 个单位.二、函数与变量 常量与变量的概念：我们在现实生活中所遇到的一些实际问题，存在一些数量关系，其中有的量永远不变，同时也出现了一些数值会发生变化的两个量，且这两个量之间相互依赖、密切相关．在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量．在某一变化过程中，有两个量，例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与之对应，其中x 是自变量，y 是因变量，此时也称y 是x 的函数．在一些变化过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量．例如：圆的面积S 与圆的半径r 存在相应的关系：2πS r =，这里π表示圆周率；它的数值不会变化，是常量，S 随着r 的变化而变化，r 是自变量，S 是因变量；◆ “y 有唯一值与x 对应”是指在自变量的取值范围内，x 每取一个确定值，y 都唯一的值与之相对应，否则y 不是x 的函数．◆ 判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．x 取不同的值，y 的取值可以相同． 例如:函数2(3)y x =-中，2x =时，1y =；4x =时，1y =．◆ 函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系．数学上表示函数关系的方法通常有三种：⑴解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．譬如：30S t =，2S R π=． ⑵列表法：通过列表表示函数的方法．⑶图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．关于函数的关系式(即解析式)的理解：● 函数关系式是等式． 例如4y x =就是一个函数关系式． ● 函数关系式中指明了那个是自变量，哪个是函数．通常等式右边代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．例如：y =x 是自变量，y 是x 的函数． ● 函数关系式在书写时有顺序性．例如：31y x =-+是表示y 是x 的函数，若写成13yx -=就表示x 是y 的函数． ● 求y 与x 的函数关系时，必须是只用变量x 的代数式表示y ，得到的等式右边只含x 的代数式．自变量的取值范围：很多函数中，自变量由于受到很多条件的限制，有自己的取值范围，例如y =中，自变量x 受到开平方运算的限制，有10x -≥即1x ≥；当汽车行进的速度为每小时80公里时，它行进的路程s 与时间t 的关系式为80s t =；这里t 的实际意义影响t 的取值范围t 应该为非负数，即0t ≥． 在初中阶段，自变量的取值范围考虑下面几个方面： ⑴根式：当根指数为偶数时，被开方数为非负数． ⑵分母中含有自变量：分母不为0．⑶实际问题：符合实际意义．函数图象：函数的图象是由平面直角中的一系列点组成的．描点法画函数图象的步骤：⑴列表； ⑵描点； ⑶连线．函数解析式与函数图象的关系：⑴满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上； ⑵函数图象上点的坐标满足函数解析式．三、一次函数及其性质● 知识点一 一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，0k ≠）的函数，叫做一次函数，当0b =时，即y kx =，这时即是前一节所学过的正比例函数．⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．● 知识点二 一次函数的图象及其画法⑴一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数）的图象是一条直线． ⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可．①如果这个函数是正比例函数，通常取()00，，()1k ，两点； ②如果这个函数是一般的一次函数（0b ≠），通常取()0b ，，0b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，即直线与两坐标轴的交点．⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式y kx b =+的点()x y ，在其对应的图象上，这个图象就是一条直线l ，反之，直线l 上的点的坐标()x y ，满足y kx b =+，也就是说，直线l 与y kx b =+是一一对应的，所以通常把一次函数y kx b =+的图象叫做直线l ：y kx b =+，有时直接称为直线y kx b =+．● 知识点三 一次函数的性质⑴当0k >时，一次函数y kx b =+的图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大； ⑵当0k <时，一次函数y kx b =+的图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小．● 知识点四 一次函数y kx b =+的图象、性质与k 、b 的符号⑵一次函数y kx b =+中，当0k >时，其图象一定经过一、三象限；当0k <时，其图象一定经过二、四象限．当0b >时，图象与y 轴交点在x 轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当0b <时，图象与y 轴交点在x 轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．反之，由一次函数y kx b =+的图象的位置也可以确定其系数k 、b 的符号．知识点五 用待定系数法求一次函数的解析式⑴定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待字系数法． ⑵用待定系数法求函数解析式的一般步骤： ①根据已知条件写出含有待定系数的解析式； ②将x y ，的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组； ③解方程（组），得到待定系数的值； ④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．板块一、平面直角坐标系【例1】 ⑴在平面直角坐标系中，点()12A x x --，在第一象限，则x 的取值范围是 ；⑵ 点12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限的角平分线上，则a = ；⑶如果点()12P m m -，在第四象限，那么m 的取值范围是（ ） A ．210<<m B ．021<<-m C ．0<m D ．21>m ⑷对任意实数x ，点2(2)P x x x -，一定不在．．（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例2】 ⑴点()35P -，关于x 轴对称的点的坐标为（ ） A ．()35--，B ．()53，C ．()35-，D ．()35， ⑵点()21P -，关于y 轴对称的点的坐标为（ ） A ．()21--，B ．()21，C ．()21-，D ．()21-，⑶在平面直角坐标系中，点()23P -，关于原点对称点P '的坐标是 ． ⑷已知点P (1a +，21a -)关于x 轴的对称点在第一象限，求a 的取值范围．【例3】 ⑴ 如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线．实验与探究：①由图观察易知A （2，0）关于直线l 的对称点'A 的坐标为（0，2），请在图中分别标明B （5，3），C （2-，5）关于直线l 的对称点'B 、'C 的位置，并写出他们的坐标: 'B ,'C ； 归纳与发现：②结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P （a ，b ）关于第一、三象限的角平分线l 的对称点'P 的坐标为 （不必证明）； ③点A （a ，b ）在直线l 的下方，则a ，b 的大小关系为 ；若在直线l 的上方，则 ． ⑵ 已知：如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为(100)A ，，(04)C ，，点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动．当ODP △是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为________．例题精讲y xl665454332121-1-2-3-1-2-3CPBDOAxy【巩固】 如图，把图①中的A 经过平移得到O (如图②)，如果图①中A 上一点P 的坐标为()m n ，，那么平移后在图②中的对应点P '的坐标为 ．【例4】 在平面直角坐标系中，点()25A ，与点B 关于y 轴对称，则点B 的坐标是（ ） A ．(52)--，B ．()25--，C ．()25-，D ．()25-，【例5】 在平面直角坐标系中，已知线段AB 的两个端点分别是()41A --，，()11B ，，将线段AB 平移后得到线段A B ''，若点A '的坐标为()22-，，则点B '的坐标为（ ） A ．()43，B ．()34，C ．()12--，D ．()21--，板块二、函数及其图像【例6】 ⑴下列图形中的曲线不表示y 是x 的函数的是（ ）.DCBAyxOyxO yx OyxO⑵小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元，从现在起每个月节存12元．请写出小张的存款y 与从现在开始的月份数x 之间的函数关系式及自变量x 的取值范围．【例7】 如图，在矩形ABCD 中，AB=2，1BC =，动点P 从点B 出发，沿路线B C D →→作匀速运动，那么ABP ∆的面积S 与点P 运动的路程x 之间的函数图象大致是（ ）【例8】 某污水处理厂的一个净化水池设有2个进水口和1个出水口，三个水口至少打开一个．每个进水口进水的速度由图甲给出，出水口出水的速度由图乙给出.某一天0点到6点，该水池的蓄水量与时间的函数关系如图丙所示.通过对图象的观察，小亮得出了以下三个论断：⑴0点到3点只进水不出水；⑵3点到4点不进水只出水，⑶4点到6点不进水也不出水.其中正确的是( )A ．⑴B ．⑶C ．⑴⑶D ．⑴⑵⑶甲 乙 丙(小时)))【例9】 小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A ，再走上坡路到达点B ，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（ ） A ．12分钟 B ．15分钟 C ．25分钟 D ．27分钟DC P B AB ．C ．D ．【例10】 如图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程y （km ）随时间x （min ）的变化的图像（全程），根据图像回答以下问题：（1）求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇？ （2）求这次比赛的全程是多少？（3）求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇？板块三、一次函数图像【例11】 一次函数的图象过点()1,0，且函数值随着自变量的增大而减小，写出一个符合这个条件的一次函数解析式 ．【巩固】 已知一次函数的图象过点()0,3与()2,1，则这个一次函数y 随x 的增大而 ．【例12】 下列图形中，表示一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m 、n 为常数且0mn ≠)的图像是下图中的()AB C D【例13】 如图所示，在同一直角坐标系中，一次函数1y k x =，2y k x =，3y k x =，4y k x =的图像分别是1l ，2l ，3l ，4l ；那么1k ，2k ，3k ，4k 的大小关系是.ll【例14】 已知函数y kx b =+的图象如图，则2y kx b =+的图象可能是（ ）ABCD板块四、一次函数解析式的确定【例15】 已知一次函数y ax b=+的图象经过点(02A，，(14B ，，()4C c c +，．⑴ 求c ；⑵ 求222a b c ab ac bc ++---的值．【例16】如图，将直线OA向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是．板块五、一次函数与几何综合【例17】已知：如图，直线y=+与x轴交于点A，与直线y=相交于点P．（1）求点P的坐标．（2）请判断OPA∆的形状并说明理由．（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O→P→A的路线向点A匀速运动（E 与点O、A重合），过点E分别作EF x⊥轴于F，EB y⊥轴于B．设运动t秒时，矩形EBOF与OPA∆重叠部分的面积为S．求：①S与t之间的函数关系式．②当t为何值时，S最大，并求S的最大值．【例18】 在平面直角坐标系中，直线162y x =-+与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，⑴ 直接写出B 、C 两点的坐标；⑵ 直线y x =与直线162y x =-+交于点A ，动点P 从点O 沿OA 方向以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t 秒（即OP t =）过点P 作PQ x ∥轴交直线BC 于点Q ，①若点P 在线段OA 上运动时（如图），过P 、Q 分别作x 轴的垂线，垂足分别为N 、M ，设矩形PQMN 的面积为S ，写出S 和t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值；②若点P 经过点A 后继续按原方向、原速度运动，当运动时间t 为何值时,过P 、Q 、O 三点的圆与x 轴相切.【例19】 如图，平面直角坐标系xOy 中，一条直线l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点(0,2)B ,与正比例函数(0)y mx m =≠的图像交于点(1,1)P （1）求直线l 的解析式；（2）求AOP ∆的面积MSDC 模块化分级讲义体系 初中数学．中考复习．第04讲．学生版 Page 13 of 15【例20】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点。