线性规划1
04-06线性规划-1
最优解（optimal solution）
使目标函数取得最大值（或最小值）的可行解 称为最优解。
LP一般形式
一组决策变量
满足这三个要素的 问题就是线性规划 问题
每个问题都用一组决策变量表示某个方案，通 常要求这些未知数取值是非负的。
一个线性目标函数
max s CX s.t. AX b X 0
一般称C为价值向量，b为资源向量，A为技术系数矩阵
关于标准型要把握几点
决策变量大于等于0 约束条件均为等式 约束条件右端项bi大于等于0 目标函数为求max
如何将一般问题化为标准型？
若目标函数是求最小 值 Min z = CX 令 z’= - z, 则 Max z’= - CX
该问题可行域为空集， 即无可行解，也不存在 最优解
第3部分 线性规划的标准型(SLP)
线性规划标准型(SLP)
写成缩小形式或矩阵形式
max s c j x j
j 1
n
n aij x j bi , i 1,2,, m s.t. j 1 x 0, j 1,2,, n j
产品A 9 4 3 产品B 4 5 10 资源限额
360工时 200台时 300公斤
70
120
问：如何安排生产使该厂获利最大？
解：设x1,x2分别表示A、B两种产品的产量 那么其总利润为： z=70x1+120x2 并且由于资源限制，应有： 9x1＋4x2≤360
4x1+5x2≤200
3x1+10x2≤300 我们的目标是使z最大
可加性假定：每个决策变量对目标函数和约束方程的
影响独立于其他变量的，目标函数值是每个决策变量对 目标函数贡献的总和
线性规划(一)
满足下列条件：
y x x y 1 y 1
y x 1
2 1
2x+y=-3
(-1,-1) -1
yx
2x+y=3
1
2
(2,-1)
y 1
2x+y=0
答案：当x=2,y=-1时，z=2x+y有最大值3. 当x=-1,y=-1时，z=2x+y有最小值－3.
问题：求z=2x+y的最大值和最小值，使式中x、y
满足下列条件：
线性约束条件: 关于x，y 的一次不
y x
等式(方程)组成的不等式组
x y 1 y 1
线性目标函数 : 求最大值或最小值所 涉及的变量x，y 的一次解析式
线性规划问题:在线性约束条件下求
线性目标函数的最大值或最小值问题.
可行解 :满足线性约束条件的解（x，y） 可行域 :所有可行解组成的集合
最优解 :使目标函数取得最大值或最小值的可行解
变式1：求z=x+y的最大值和最小值，使式中x、y 满足下列条件：
y x x y 1 y 1
y x 1
2
yx0 1
yx
1
2
-1
y 1
答案： z=x+y有最大值1. z=x+y有最小值－2.
小结: 一.用截距法解线性规划问题的步骤:
1.画:在直角坐标平面内画出可行域和直线
ax by 0 (目标函数为 z ax by ) 2.移:平行移动直线 ax by 0确定最优解.
3.求:求出取得最优解的点的坐标(解方程组),从而 求出最优解. 4.答.
1.线性规划
通常是求最大值或 最小值；
2．解决问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不
等式或等式。
【例1.2】某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续休息2天， 轮流休息。根据统计，商场每天至少需要的营业员如表1.2所示。
表1.2 营业员需要量统计表
min f (x), s.t. x∈.
约束条件
可行解域
线性规划（Linear Programming,缩写为LP） 是运筹学的重要分支之一，在实际中应用得较广 泛，其方法也较成熟，借助计算机，使得计算更方便， 应用领域更广泛和深入。 线性规划通常研究资源的最优利用、设备最佳运 行等问题。例如，当任务或目标确定后，如何统筹兼 顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原标 材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企 业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得 最好的经济效益（如产品量最多 、利润最大）。
运筹学的主要内容
数 学 规 划 组 合 优 化 随 机 优 化
线性规划 非线性规划 整数规划 动态规划 多目标规划 双层规划 最优计数问题 网络优化 排序问题 统筹图 对策论 排队论 库存论 决策分析 可靠性分析
学 科
内
容
许多生产计划与管理问题都可以归纳为最优 化问题, 最优化模型是数学建模中应用最广泛的 模型之一,其内容包括线性规划、整数线性规划、 非线性规划、动态规划、变分法、最优控制等. 近几年来的全国大学生数学建模竞赛中，几 乎每次都有一道题要用到此方法. 此类问题的一般形式为： 目标函数
星 期 需要 人数 星 期 需要 人数
一
二 三 四
300
300 350 400
线性规划_1
解
假设我们想要让 变成基变量, 即选择 为进基 变量, 根据基本可行解的表示式, 必须让 只出 现在一个等式约束中
在
的各行除以 的系数
可得
在
中选定一行, 用其它行
减去该行, 即可达到只有一行有 的目的, 例如, 用一、二行减去第三行可以得到
整理后可得 问题：第一个方程的右边出现负数！
为了避免前面的问题, 在方程
第一、证明可行集总是凸集, 总有顶点是最优解, 所有顶点组成的集合总是有限集第二、如何计算顶 点
第三、如何在顶点集中找到最优解
凸集
如果某个集合中任意两点连起来的直线都属于该集合, 则称其为凸集, 否则为非凸集, 如下图所示
凸集
非凸集
数学定义:
是凸集
当且仅当对任意实数和任意的
均成立
线性规划的可行集是凸集 规范形式可行集
其中
如果要选
）进基, 则应该仅保留第 行
（的 , 出基, 其中 满足
即
为获得 进基、 出基后的基本可行解的表 示式, 需要对原来的表示式
进行行等价变换, 使 前面的系数向量
变成
具体做法: 先在第 行除 以乘以 加到第
, 再将第 行分 别行
可以利用数据表完成换基运算 的表示式
由下面的数据表完全确定 （基变量）
基变量的函数关系代入
以
获得仅含非基变量的
,相
下面前三行等式将第四行的基变量的系数变成当于0
利
用
对于扩充约束 将第一行乘以-1加到第四行就可以得到 我们将其称为基本可行解 的扩充表示式
从扩充表示式
可以获得下述信息:
是基本可行解 的目标函数值满足 目标函数可以写成
,即 , 因此
第五章 线性规划(1)
线性规划问题的标准形式：
n
min cj xj j 1
(3.1)
(LP)
n
s.t. aij x j bi j 1
i 1,2, ,m (3.2)
xj 0
j 1, 2, , n (3.3)
令 c (c1,c2, , cn )T --- 价 格 系 数 或 成 本 系 数 ，
min cT x s.t. Ax b
x0
记标准线性规划的约束集合 S {x | Ax b, x 0}， A Rmn ， b Rm, m n . 可行解， 可行域 最优解：使目标函数（3.1）达到最小值的可行解. 基 ： 设 A 为 mn 阶 的 系 数 矩 阵 ， m n ， Rank(A) m ， B 是矩阵 A 中的 m m 阶的满秩子 矩阵，称 B 是线性规划问题的一个基.
解：对于上述具有两个变量的线性规划问题，
下图的阴影部分描述了满足约束条件的区域，为
OABCD;红虚线为目标函数 Z= z 2x1 3x2 的等值 线。沿箭头方向移动目标函数的等值线，
平移等值线直至与可行域 OABCD 相切或融合为
一条直线，此时就得到最优解为 C 点，其坐标可
通过解方程组得到： x2
变量 xni 0 ，把上述约束化为等式约束
n
aij x j xni bi ；
j 1
4.若第 i 个等式约束中 bi 0 ，则用（-1）乘该等 式两端；
5.若 x j 为自由变量，可令 xj uj v j ,uj 0,v j 0 ， 把它代入目标函数和约束函数。
量称为非基变量.
基本解：在约束方程组（3.2）中，令所有非基
变量取零，由 m 个约束方程可解出 m 个基变量
人教版高中数学课件：简单的线性规划1
y ≥0
分 析 问 题:
原 每吨产品消耗的原材料 原 材料限 额 材 甲产品(t) xt 乙产品(t) yt 料 1.本问题给定了哪些原材料(资源)? 300 A种矿石 10 4
B种矿石 煤 利润 5 4 600 4
2.该工厂生产哪些产品? 200
3.各种产品对原材料(资源)有怎样的要求? 9 360 4.该工厂对原材料(资源)有何限定条件? 1000 5.每种产品的利润是多少?利润总额如何计算?
解:设生产甲、乙两种产品.分别为x 10x+4y≤300 5x+4y≤200 4x+9y≤360 x≥0 y ≥0 z=600x+1000y.
t、yt,利润总额为z元,那么 y
75
50 40
画出以上不等式组所表示的可行域 作出直线L 600x+1000y=0. 把直线L向右上方平移
经过可行域上的点M时,目标函数 在y轴上截距最大. 此时z=600x+1000y取得最大值. 由 0
例3.gsp图形
2。调查你的亲朋所在公司的某项目，并运 用你所学的线性规划知识帮助公司获得更多 的利润。
想一想(问题):
已知实数x,y满足下列条件: 5x+4y ≤ 20 2x+3y ≤12 x ≥0
线性约束 条件
y
Z的最大值为44
6． 最优解 ． 5 12 20 4． M ( , ) 7 可行域 7 3． 2． 9x+10y=0 1 ． ．． ．． ． ．． 1 2 3 4 5 6 2x+3y=12 5x+4y=20 x
消耗A种矿石4t、B种矿石4t、煤9t.每1t甲种产品的利润
是600元,每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两
第一 线性规划(共188张PPT)
x1 ≥0， x2 ≥0
• 综上所述，该问题的数学模型表示为
maxZ= 3x1 +5 x2
x1
≤8
2x2 ≤12
3x1 +4 x2 ≤36
x1 ≥0, x2 ≥0
5
第一节 线性规划一般模型
• 例2. 运输问题 某名牌饮料在国内有三个生产厂，分布在城市A1、 A2、A3,其一级承销商有4个，分布在城市B1、B2、B3、 B4，已知各厂的产量、各承销商的销售量及从Ai到Bj 的每吨饮料运费为Cij，为发挥集团优势，公司要统 一筹划运销问题，求运费最小的调运方案。
(3)约束条件。产量之和等于销量之和,故要满足：
▪ 供应平衡条件
x11+x12+x13+x14=5 x21+x22+x23+x24=2 x31+x32+x33+x34 =3
§ 销售平衡条件
x11+x21+x31=2 x12+x22+x32=3 x13+x23+x33=1 x14+x24+x34=4
§ 非负性约束
29
第三节 线性规划的标准型
§ 标准化2
minZ= x1 +2 (x2′-x 2〃) +3 x3′
函数。可能是最大化，也可能是最小化。 • 线性规划一般模型的代数式 为：
max(min)Z=c1x1+c2x2+…+cnxn a11x1+a12x2+…+a1nxn ≤(≥,＝)b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn ≤(≥,＝)b2 …………… am1x1+am2x2+…+amnxn≤(≥,＝)bm x1,x2,…,xn ≥(≤)0
第二章线性规划1
例4,写出下列线性规划问题的对偶问题 m Z = 3x1 + 2x2 4x3 + x4 in x1 + x2 3x3 + x4 ≥10 + 2x3 x4 ≤ 8 2x1 s.t. x2 + x3 + x4 = 6 x1 ≤ 0, x2 , x3 ≥ 0, x4 无约束
13
原问题与对偶问题之间的关系: 原问题与对偶问题之间的关系:
minw = 5y1 +14y2 + 3y3 y1 + 3y2 4 y3 ≥ 3 2 y1 y2 + 3y3 ≥ 6 s.t.3y1 + y2 + 3y3 = 5 y1 7y2 + 2 y3 = 3 y2 ≤ 0, y3 ≥ 0, y1自由变量
15
三,对偶理论
m Z = CX ax
(DP)
A Y ≥ C s.t. 约 Y无 束
10
例3,试写出下列LP问题的对偶问题 m Z = 3x1 x2 2x3 in
3x1 + 2x2 3x3 = 6 s.t. x1 2x2 + x3 = 4 , , ≥0 x1 x2 x3
解: m Z = 3x1 x2 2x3 in 3x1 + 2x2 3x3 ≤ 6 3x1 2x2 + 3x3 ≤ 6 s.t. x1 2x2 + x3 ≤ 4 x1 + 2x2 x3 ≤ 4 x1, x2 , x3 ≥ 0
§2.1 线性规划问题
1,线性规划问题举例 , 某工厂用3种原料 种原料P1, , 例2.1.1 某工厂用 种原料 ,P2,P3 生产3种产品 生产 种产品 Q1,Q2,Q3.是制订出总 , , . 利润最大的生产计划. 利润最大的生产计划.
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习题一1.1 用图解法求解下列线性规划问题，并指出各问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解。
(1) min z ＝6x1＋4x2(2) max z ＝4x1＋8x2st. 2x1＋x2≥1 st. 2x1＋2x2≤103x1＋4x2≥1.5 －x1＋x2≥8x1, x2≥0 x1, x2≥0(3) max z ＝x1＋x2(4) max z ＝3x1－2x2st. 8x1＋6x2≥24 st. x1＋x2≤14x1＋6x2≥－12 2x1＋2x2≥42x2≥4 x1, x2≥0x1, x2≥0(5) max z ＝3x1＋9x2(6) max z ＝3x1＋4x2st. x1＋3x2≤22 st. －x1＋2x2≤8－x1＋x2≤4 x1＋2x2≤12x2≤6 2x1＋x2≤162x1－5x2≤0 x1, x2≥0x1, x2≥01.2. 在下列线性规划问题中，找出所有基本解，指出哪些是基本可行解并分别代入目标函数，比较找出最优解。
(1) max z ＝3x1＋5x2(2) min z ＝4x1＋12x2＋18x3st. x1＋x3＝4 st. x1＋3x3－x4＝32x2＋x4＝12 2x2＋2x3－x5＝5 3x1＋2x2＋x5＝18 x j≥0 （j＝1, (5)x j≥0 （j＝1, (5)1.3. 分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题，并对照指出单纯形法迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一个顶点。
(1) max z ＝10x1＋5x2st. 3x1＋4x2≤95x1＋2x2≤8x1, x2≥0(2) max z ＝100x1＋200x2st. x1＋x2≤500x1≤2002x1＋6x2≤1200x1, x2≥0９１０1.4. 分别用大M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出问题的解属于哪一类：(1) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3 (2) max z ＝2x 1＋ x 2＋ x 3st. 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18 st. 4x 1＋2x 2＋2x 3≥42x 1＋ x 2 ≤4 2x 1＋4x 2 ≤20x 1＋ x 2－ x 3＝5 4x 1＋8x 2＋2x 3≤16x j ≥0 （j ＝1,2,3） x j ≥0 （j ＝1,2,3）(3) max z ＝ x 1＋ x 2 (4) max z ＝x 1＋2x 2＋3x 3－x 4st. 8x 1＋6x 2≥24 st. x 1＋2x 2＋3x 3＝154x 1＋6x 2≥－12 2x 1＋ x 2＋5x 3＝202x 2≥4 x 1＋2x 2＋ x 3＋ x 4＝10x 1, x 2≥0 x j ≥0 （j ＝1, (4)(5) max z ＝4x 1＋6x 2 (6) max z ＝5x 1＋3x 2＋6x 3st. 2x 1＋4x 2 ≤180 st. x 1＋2x 2＋ x 3≤183x 1＋2x 2 ≤150 2x 1＋ x 2＋3x 3≤16x 1＋ x 2＝57 x 1＋ x 2＋ x 3＝10x 2≥22 x 1, x 2≥0，x 3无约束x 1, x 2≥01.5 线性规划问题max z ＝CX ，AX ＝b ，X ≥0，如X*是该问题的最优解，又λ＞0为某一常数，分别讨论下列情况时最优解的变化：（1） 目标函数变为max z ＝λCX ；（2） 目标函数变为max z ＝（C ＋λ）X ；（3） 目标函数变为max z ＝ CX ，约束条件变为AX ＝λb 。
1.6 下表中给出某求极大化问题的单纯形表，问表中a 1, a 2, c 1, c 2, d 为何值时以及表中变量属于哪一种类型时有：（1） 表中解为唯一最优解；（2） 表中解为无穷多最优解之一；（3） 表中解为退化的可行解；（4） 下一步迭代将以x 1替换基变量x 5 ；（5） 该线性规划问题具有无界解；（6） 该线性规划问题无可行解。
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5x 3 d 4 a 1 1 0 0x 4 2 －1 －5 0 1 0x 5 3 a 2 －3 0 0 1c j －z j c 1 c 2 0 0 01.7 战斗机是一种重要的作战工具，但要使战斗机发挥作用必须有足够的驾驶员。
因此生产出来的战斗机除一部分直接用于战斗外，需抽一部分用于培训驾驶员。
已知每年生产的战斗机数量为a j（j＝1,…,n），又每架战斗机每年能培训出k名驾驶员，问应如何分配每年生产出来的战斗机，使在n年内生产出来的战斗机为空防作出最大贡献？1.8.某石油管道公司希望知道，在下图所示的管道网络中可以流过的最大流量是多少及怎样输送，弧上数字是容量限制。
请建立此问题的线性规划模型，不必求解。
1.9. 某昼夜服务的公交线路每天各时间区段内所需司机和乘务人员数如下：班次时间所需人数1 6:00-10:00 602 10:00-14:00 703 14:00-18:00 604 18:00-22:00 505 22:00-2:00 206 2:00-6:00 30设司机和乘务人员分别在各时间区段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路至少配备多少名司机和乘务人员。
列出此问题的线性规划模型。
1.10 某班有男生30人，女生20人，周日去植树。
根据经验，一天男生平均每人挖坑20个，或栽树30棵，或给25棵树浇水；女生平均每人挖坑10个，或栽树20棵，或给15棵树浇水。
问应怎样安排，才能使植树（包括挖坑、栽树、浇水）最多？请建立此问题的线性规划模型，不必求解。
1.11.某糖果厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。
已知各种牌号糖果中A、B、C含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售价如下表所示。
问该厂每月应生产这三种牌号糖果各多少千克，使该厂获利最大？试建立此问题的线性规划的数学模型。
甲乙丙原料成本(元/千克) 每月限量（千克）A≥60％≥15％ 2.00 2000B 1.50 2500C ≤20％≤60％≤50％ 1.00 1200加工费（元/千克）0.50 0.40 0.30售价 3.40 2.85 2.251.12. 某商店制定7－12月进货售货计划，已知商店仓库容量不得超过500件，１１6月底已存货200件，以后每月初进货一次，假设各月份此商品买进售出单价如下表所示，问各月进货售货各多少，才能使总收入最多？请建立此问题的线性规划模型，不必求解。
月份7 8 9 10 11 12买进单价28 24 25 27 23 23售出单价29 24 26 28 22 251.13 .某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。
农场劳动力情况为秋冬季3500人日，春夏季4000人日，如劳动力本身用不了时可外出干活，春夏季收入为2.1元／人日，秋冬季收入为1.8元／人日。
该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲养奶牛和鸡。
种作物时不需要专门投资，而饲养动物时每头奶牛投资400元，每只鸡投资3元。
养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲草，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季为50人日，年净收入400元／每头奶牛。
养鸡时不占土地，需人工为每只鸡秋冬季需0.6人日，春夏季为0.3人日，年净收人为2元／每只鸡。
农场现有鸡舍允许最多养3000只鸡，牛栏允许最多养32头奶牛。
三种作物每年需要的人工及收人情况如下表所示。
1.14 某厂接到生产A、B两种产品的合同，产品A需200件，产品B需300件。
这两种产品的生产都经过毛坯制造与机械加工两个工艺阶段。
在毛坯制造阶段，产品A每件需要2小时，产品B每件需要4小时。
机械加工阶段又分粗加工和精加工两道工序，每件产品A需粗加工4小时，精加工10小时；每件产品B需粗加工7小时，精加工12小时。
若毛坯生产阶段能力为1700小时，粗加工设备拥有能力为1000小时，精加工设备拥有能力为3000小时。
又加工费用在毛坯、粗加工、精加工时分别为每小时3元、3元、2元。
此外在粗加工阶段允许设备可进行500小时的加班生产，但加班生产时间内每小时增加额外成本4.,5元。
试根据以上资料，为该厂制订一个成本最低的生产计划。
该三种产品l季度初无库存，要求在4季度末各库存150件。
已知该厂每季度生产工时为15000小时，生产I、Ⅱ、Ⅲ产品每件分别需时2、4、3小时。
因更换工艺装备，产品I在2季度无法生产。
规定当产品不能按期交货时，产品I，Ⅱ每１２件每迟交一个季度赔偿20元，产品Ⅲ赔偿10元；又生产出来产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费用为5元。
问：该厂应如何安排生产，使总的赔偿加库存的费用为最小(要求建立数学模型，不需求解)。
1.16 某公司有三项工作需分别招收技工和力工来完成。
第一项工作可由一个技工单独完成，或由一个技工和两个力工组成的小组来完成。
第二项工作可由一个技工或一个力工单独去完成。
第三项工作可由五个力工组成的小组完成，或由一个技工领着三个力工来完成。
已知技工和力工每周工资分别为100元和80元，他们每周都工作48小时，但他们每人实际的有效工作小时数分别为42和36。
为完成这三项工作任务，该公司需要每周总有效工作小时数为：第一项工作10000小时。
第二项工作20000小时，第三项工作30000小时。
又能招收到的工人数为技工不超过400人，力工不超过800人。
试建立数学模型，确定招收技工和力工各多少人。
使总的工资支出为最少(建立数学模型，不需求解)。
复习思考题1.17 试述线性规划数学模型的结构及各要素的特征。
1.18 求解线性规划问题时可能出现哪几种结果，哪些结果反映建模时有错误。
1.19 什么是线性规划问题的标准型式，如何将一个非标准型的线性规划问题转化为标准型式。
1.20 试述线性规划问题的可行解、基解、基可行解、最优解的概念以及上述解之间的相互关系。
1.21 试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上去判别问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解。
1.22 如果线性规划的标准型式变换为求目标函数的极小化min Z，则用单纯形法计算时如何判别问题已得到最优解。
1.23 在确定初始可行基时，什么情况下要在约束条件中增添人工变量，在目标函数中人工变量前的系数为(一M)的经济意义是什么。
1.24 什么是单纯形法计算的两阶段法，为什么要将计算分两个阶段进行，以及如何根据第一阶段的计算结果来判定第二阶段的计算是否需继续进行。
1.25 简述退化的含义及处理退化的勃兰特规则。
1.26 举例说明生产和生活中应用线性规划方面，并对如何应用进行必要描述。
1.27 判断下列说法是否正确:(a)图解法同单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的；(b)线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大；(c)线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点；(d)如线性规划问题存在最优解，则最优解一定对应可行域边界上的一个点；１３(e)对取值无约束的变量x j,通常令x j＝x jˊ-x j"，其中x jˊ≥0，x j"≥0，在用单纯形法求得的最优解中有可能同时出现x jˊ>0，x j">0。