线性规划案例分析作业(1)
线性规划第一次作业
五类典型经济问题黄渭清 380401181、 安排问题：企业如何依据现有生产能力与市场状况，安排各种产品的产量，使得各种产品销售后获得的总利润最大；某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。
农场劳动力情况为秋冬季3500人日；春夏季4000人日。
如劳动力本身用不了时可外出打工，春秋季收入为25元 / 人日，秋冬季收入为20元 / 人日。
该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲养奶牛和鸡。
种作物时不需要专门投资，而饲养每头奶牛需投资800元，每只鸡投资3元。
养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲料，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季为50人日，年净收入900元 / 每头奶牛。
养鸡时不占用土地，需人工为每只鸡秋冬季0.6人日，春夏季为0.3人日，年净收入2元 / 每只鸡。
农场现有鸡舍允许最多养1500只鸡，牛栏允许最多养200头。
三种作物每年需要的人工及收入情况如表2 — 4所示试决定该农场的经营方案，使年净收入为最大。
安排问题用分别表示大豆、玉米、麦子的种植公顷数；分别表示奶牛和鸡的饲养数；分别表示秋冬季和春夏季的劳动力（人日）数，则有321,,x x x 54,x x 76,x x 7654321252020900460041003000max x x x x x x x Z ++++++=2、 投资问题：投资者将一定数量的资金投向各企业，如何依据不同的获利情况，分配对各企业的投资额，使得若干年后收入最高；某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目Ⅰ从第一年到第三年年初都可以投资。
预计每年年初投资，年末可收回本利120% ，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目Ⅱ需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150% ，又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资额不得超过20万元；项目Ⅲ需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160% ，但用于该项目的最大投资额不得超过15万元；项目Ⅳ需要在第三年年初投资，年末可收回本利140% ，但用于该项目的最大投资额不得超过10万元。
线性规划
案例分析1 降低自助食堂的成本——线性规划All-State 大学的自助食堂每个星期四的中午准时提供一道特殊的菜。
这种想来十分美味的菜是一种炖菜，包含有炒过的洋葱、煮熟的土豆片、绿豆和蘑菇汤。
不幸的是学生们没有能够看到这道菜的特殊质量。
他们为这道菜起了一个令人讨厌的名字，杀手炖菜。
学生们很不情愿吃这道菜，但是自助食堂对星期四的午餐只提供了有限的选择（也就是炖菜）。
自助食堂的经理Maria Gonzalez 希望明年可以降低成本。
她相信降低成本的一种当然的方法是购买较为便宜而质量可能比较低的配料。
由于这种炖菜是每星期自助食堂菜单中的重要组成部分，因此她认为如果她能够降低为制作这种炖菜所购买的配料的成本，整个自助食堂的营运成本将大大降低。
因此她决定花一些时间看看在保持营养和口味要求的情况下如何将成本降到最低。
Maria 集中研究降低这种炖菜的两种主要配料的成本，土豆和绿豆。
这两种配料占据了大多数的成本和营养成分，是影响口味的主要因素。
Maria 每星期从一个批发商那里购买土豆和绿豆。
土豆的成本是每磅0.4 美元，绿豆的成本是每磅1 美元。
All-Sate 大学规定了每一个自助食堂的主菜都必须达到的营养要求。
这道菜必须包含180克的蛋白质、80 毫克的铁、1050 毫克的维生素C ( 1 磅相当于454 克，1 克等于1000毫克）。
为了简化计划，Maria 假设这道炖菜中只有土豆和绿豆提供了营养。
它们的营养成分信息如下表所示：( 1 盎司相当于31.1 克）Edson Branner 是自助食堂的厨师，非常注重于口味。
她告诉Maria 为了使得炖菜可口，土豆和绿豆的总量比至少应当是6 : 5 。
在得到了在自助食堂就餐的学生数之后，Maria 得知她必须购买足够数量的土豆和绿豆，为每星期至少10 公斤的炖菜做好准备。
（1 公斤等于1000克。
）为了简化计划，她假设只有土豆和绿豆决定了能够准备的炖菜的数量。
线性规划应用案例分析
线性规划应用案例分析线性规划是一种在数学和运营管理中常见的优化技术。
它涉及到在一组线性不等式约束下，最大化或最小化一个线性目标函数。
这种技术可以应用于许多不同的领域，包括供应链管理、资源分配、投资组合优化等。
本文将探讨几个线性规划应用案例，以展示其在实际问题中的应用和价值。
某制造公司需要计划生产三种产品，每种产品都需要不同的原材料和生产时间。
公司的目标是最大化利润，但同时也受到原材料限制、生产能力限制以及每种产品市场需求限制的约束。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的生产计划，即在满足所有约束条件下，最大化利润。
某物流公司需要计划将货物从多个产地运输到多个目的地。
公司的目标是最小化运输成本，但同时也受到运输能力、货物量和目的地需求的约束。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的运输方案，即在满足所有约束条件下，最小化运输成本。
某投资公司需要将其资金分配给多个不同的投资项目。
每个项目都有不同的预期回报率和风险水平。
公司的目标是最大化回报率，同时也要保证投资风险在可接受的范围内。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的投资组合，即在满足所有约束条件下，最大化回报率。
这些案例展示了线性规划在实践中的应用。
然而，线性规划的应用远不止这些，它还可以用于诸如资源分配、时间表制定、路线规划等问题。
线性规划是一种强大的工具，可以帮助决策者解决复杂的问题并找到最优解决方案。
线性规划是一种广泛应用的数学优化技术，适用于在多种资源限制下寻求最优解。
这种技术涉及到各种领域，包括工业、商业、运输、农业、金融等，目的是在给定条件下最大化或最小化线性目标函数。
下面我们将详细讨论线性规划的应用。
线性规划是一种求解最优化问题的数学方法。
它的基本思想是在一定的约束条件下，通过线性方程组的求解，求得目标函数的最优解。
这里的约束条件通常表现为一组线性不等式或等式，而目标函数则通常表示为变量的线性函数。
工业生产：在工业生产中，线性规划可以用于生产计划、物料调配、人力资源分配等方面。
数学建模线性规划上机题
例1 (任务安排)某厂计划在下月内生产4种产品B1，B2，B3，B4。
每种产品都可用三条流水作业线A1，A2，A3中旳任何一条加工出来．每条流水线（Ai）加工每件产品（Bj）所需旳工时数(i＝1,2,3,j=1,2,3,4)、每条流水线在下月内可供运用旳工时数及多种产品旳需求均列表于4.1中．又A1，A2，A3三条流水线旳生产成本分别为每小时7，8，9元。
现应怎样安排各条流水线下月旳生产任务，才能使总旳生产成本至少？例2 (外购协议)某企业下月需要B1，B2，B3，B4四种型号旳钢板分别为1000，1200，1500，2023吨。
它准备向生产这些钢板旳A1，A2，A3三家工厂订货。
该企业掌握了这三家工厂生产多种钢板旳效率（吨/小时）及下月旳生产能力（小时），如表4.2所示。
而它们销售多种型号钢板旳价格如表4.3所示。
该企业当然但愿能以至少旳代价得到自己所需要旳多种钢板，那么，它应当向各钢厂订购每种钢板各多少吨？假设该企业订购时采用如下原则，要么不订购，要么至少订购100吨以上。
该怎样处理这个问题。
若至少订购50吨，怎样处理？例3 (广告方式旳选择) 中华家电企业近来生产了一种新型洗衣机．为了推销这种新产品，该企业销售部决定运用多种广告宣传形式来使顾客理解新洗衣机旳长处。
通过调查研究，销售部经理提出了五种可供选择旳宣传方式．销售部门并搜集了许多数据。
如每项广告旳费用，每种宣传方式在一种月内可运用旳最高次数以及每种广告宣传方式每进行一次所期望得到旳效果等．这种期望效果以一种特定旳相对价值来度量、是根据长期旳经验判断出来旳．上述有关数据见表4．8中华家电企业拨了20230元给销售部作为第一种月旳广告预算费、同步提出，月内至少得有8个电视商业节目，15条报纸广告，且整个电视广告费不得超过12023元，电台广播至少隔日有一次，现问该企业销售部应当采用怎样旳广告宣传计划，才能获得最佳旳效果?例4 长城家电企业近来研制了一种新型电视机．准备在三种类型旳商场即一家航空商场、一家铁路商场和一家水上商场进行销售．由于三家商场旳类型不同样，它们旳批发价和推销费都不同样。
案例分析1 降低自助食堂的成本
案例分析1 降低自助食堂的成本——线性规划All-State 大学的自助食堂每个星期四的中午准时提供一道特殊的菜。
这种想来十分美味的菜是一种炖菜，包含有炒过的洋葱、煮熟的土豆片、绿豆和蘑菇汤。
不幸的是学生们没有能够看到这道菜的特殊质量。
他们为这道菜起了一个令人讨厌的名字，杀手炖菜。
学生们很不情愿吃这道菜，但是自助食堂对星期四的午餐只提供了有限的选择（也就是炖菜）。
自助食堂的经理Maria Gonzalez 希望明年可以降低成本。
她相信降低成本的一种当然的方法是购买较为便宜而质量可能比较低的配料。
由于这种炖菜是每星期自助食堂菜单中的重要组成部分，因此她认为如果她能够降低为制作这种炖菜所购买的配料的成本，整个自助食堂的营运成本将大大降低。
因此她决定花一些时间看看在保持营养和口味要求的情况下如何将成本降到最低。
Maria 集中研究降低这种炖菜的两种主要配料的成本，土豆和绿豆。
这两种配料占据了大多数的成本和营养成分，是影响口味的主要因素。
Maria 每星期从一个批发商那里购买土豆和绿豆。
土豆的成本是每磅0.4 美元，绿豆的成本是每磅1 美元。
All-Sate 大学规定了每一个自助食堂的主菜都必须达到的营养要求。
这道菜必须包含180克的蛋白质、80 毫克的铁、1,050 毫克的维生素C ( 1 磅相当于454 克，1 克等于1,000毫克）。
为了简化计划，Maria 假设这道炖菜中只有土豆和绿豆提供了营养。
它们的营养成分信息如下表所示：( 1 盎司相当于31.1 克）Edson Branner 是自助食堂的厨师，非常注重于口味。
她告诉Maria 为了使得炖菜可口，土豆和绿豆的总量比至少应当是6 : 5 。
在得到了在自助食堂就餐的学生数之后，Maria 得知她必须购买足够数量的土豆和绿豆，为每星期至少10 公斤的炖菜做好准备。
（1 公斤等于1,000克。
）为了简化计划，她假设只有土豆和绿豆决定了能够准备的炖菜的数量。
线性规划应用案例分析
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例6．某工厂要用三种原料1、 2、3混合调配出三种不同规格的 产品甲、乙、丙，数据如右表。 原材料名称 问：该厂应如何安排生产，使利 1 2 润收入为最大？
3
产品名称 规格要求 单价（元/kg） 50 甲 原材料 1 不少于 50%，原材料 2 不超过 25% 35 乙 原材料 1 不少于 25%，原材料 2 不超过 50% 25 丙 不限 每天最多供应量 100 100 60 单价（元/kg） 65 25 35
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• 利润=总收入-总成本=甲乙丙三种产品的销售单价*产品数量-甲乙丙使 用的原料单价*原料数量，故有 目标函数
Max 50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23）+25（x31+x32+x33）65（x11+x21+x31）-25（x12+x22+x32）-35（x13+x23+x33） = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33
设备 A1 A2 B1 B2 B3 原料（元/件） 售价（元/件） Ⅰ 5 7 6 4 7 0.25 1.25 产品单件工时 Ⅱ Ⅲ 10 9 12 8 11 0.35 2.00 0.50 2.80
8
设备的 有效台时 6000 10000 4000 7000 4000
满负荷时的 设备费用 300 321 250 783 200
9
目标函数为计算利润最大化，利润的计算公式为： 利润 = [（销售单价 - 原料单价）* 产品件数]之和 -
（每台时的设备费用*设备实际使用的总台时数）之和。
这样得到目标函数：
线性规划上机作业
线性规划上机作业题控制大气污染问题N&L公司是一家全球著名的钢铁制造商，位于钢铁之城。
该公司目前雇用了50，000名员工，是当地的主要劳动力雇用者，因此整个城市都因这家公司而繁荣与发展起来，这里人们也一直都认为凡是对公司有利的必然对整个城市有利。
但是现在人们的观点发生了一定的变化：公司锅炉中排放出的气体因未加治理，正破坏着城市的风貌并日益危及着城市居民的身体健康。
最近的一次股民选举产生了一个较为英明的新董事会，其中的董事成员正与城市官员和居民讨论如何处理空气污染的问题，他们一起制定出了很严格的大气排放质量标准。
所排放的污染气体中，三种主要的成分是：大气微尘、氧化硫和碳氢化合物。
新制定的董事会已经指示公司的管理人员召集工程人员，用最经济的方法降低污染气体的排放量。
公司的污染气体主要来自于两个方面，一是铸生铁的鼓风炉，一是炼钢的敞口式反射炉。
在这两方面，工程师都认为最有效的降低污染的方法是(1)增加烟囱的高度①，(2)在烟囱中加入过滤装置，(3)在燃料中加入清洁的高级燃料。
三种方法都有其技术限制(例如，烟囱可增加的高度是有限的)，但可以考虑在各自的技术限制内，采取一定程度的措施。
下表显示了在技术允许的范围内，最大限度的使用各种方法可以降低两个炉子污染气体的排放量。
运用各种降污方法最大限度可减少的每种污染气体的年排放量为了方便分析，假设各种方法也可以在技术允许的范围内，采取一部分程度的实施，从而达到一定程度的减少污染气体的效果。
此外，各种方法在两个炉子上的实施比例可以不同，且在效果上也是互不影响的。
在分析了上面的数据之后，可以发现，没有一种方法可以实现全部的降污要求，而另一方面，在两个炉子上都同时最大限度的使用各种方法的组合，会超额完成降污任务，但这样做的费用是昂贵的，不利于公司的产品保持竞争力。
因此，工程师认为，应该在考虑各种方法的成本与效益的基础上，合理的组合各种方法。
此外，因为两个炉子的情况并不相同，所以针对两个炉子的治理方法也将不同。
线性规划应用 作业
第五节 线性规划应用举例例1 生产计划问题某工厂可以生产n A A A 、、、 21共n 种产品，生产中需要消耗m B B B 、、、 21共m 种资源。
生产每单位产量的A j 产品需要消耗B i 种资源的数量为a ij ，各种产品每单位的利润分别为n c c c 、、、 21。
工厂的资源是有限的，每种资源的数量分别为m b b b 、、、 21。
上述情况可表示在如下生产情况表中。
解：设：n A A A 、、、 21的产量分别为n x x x 、、、 21。
问题的线性规划模型为：,,,z max 21221122222121112121112211≥≤+++≤+++≤++++++=n m n mn m m n n n n nn x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c例2．货运问题某企业租用了一节火车车皮运送甲、乙两种货物到外地销售。
这两种货物每箱的重量分别为：甲—0.2吨，乙—0.3吨；每箱的体积分别为：甲—1米3，乙—0.6米3；每箱可获得的利润分别为：甲—500元，乙—400元。
一节车皮的有效载重为56吨，有效容积为180米3。
问：为获得最大利润，甲、乙各应运载多少箱？可将该问题视为一个生产计划问题，产品为甲、乙，资源为载重量和容积，可列出相应的生产情况表如下：解：设甲、乙货物的运送两分别为x 1、x 2。
模型为：,1805.0563.02.0400500z max 21212121≥≤+≤++=x x x x x x x x解得：x 1＝130，x 2＝100，z ＝105000例3：混合配料问题某饲养厂每天需要1000公斤饲料，其中至少要含7000克蛋白质、300克矿物质、1000毫克维生素。
现有五种饲料可供使用，各种饲料每公斤营养含量及价格如下表所示：解：设每天各种饲料的选用量依次为：54321,,,,x x x x x 。
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工作C
4 7 5
7. 某工厂生产三种产品I、II、III，每种产品要经过A、B 两道加工工序。设该厂有两种规格的设备能完成A工序， 它们以A1、A2来表示；有三种规格的设备能完成B工序， 它们以B1、B2、B3表示。产品I可在工序A和工序B的任 何一种规格的设备上加工；产品II可在工序A的任何一种 规格的设备上加工，但在完成工序B时，只能在B1设备 上加工；产品III只能在A2和B2设备上加工。假定产品I 的销售量不超过800件，已知三种产品在各设备上加工时， 单位产品耗用的工时数（单位工时）、原材料费、产品 销售价格、各种设备有效台时以及满负荷操作时设备使 用费用如下表所示。问如何安排生产计划，使该厂的总 利润最大。建立该问题的数学模型。
8. 某食品厂准备生产A、B、C三种食品，生产每公斤食品需要消耗的人力、 机时以及利润分别如下表所示，已知工厂目前可以利用的人力只有80工时， 可以利用的机时只有50小时. 产品 资源 人力(工时) 机时(小时) 利润 (元/公斤) A 6 3 30 B 3 4 20 C 5 5 40 资源拥有量 80 50
4.某种产品在未来4个季度的需求量分别是300，400，450， 250件，每件的价格在第1季度以20元开始，其随后的每个 季度增加2元。供应商在任一季度最多可以提供产品400件。 尽管我们可以利用前面季度的低价优势，但它会导致每季度 每件3.5元的储存成本，另外，从一个季度到下一季度的最 大件数不能超过100件，试为该产品建立一个最优的采购计 划以满足需求且使总成本最低。建立该问题的线性规划模型。
6．假设有三件任务A、B、C分配三个工人甲、乙、丙去做， 各人的工作能力和技术水平不同，因而完成某项工作所取得 的效果也不同，三人干各任务的工作如下表所示。现在要求 每件工作都由一个适当的工人担任，使总效Hale Waihona Puke 达到最大。建 立该问题的数学模型。
效果
工人甲 工人乙 工人丙
工作A
10 7 3
工作B
2 8 9
设备
I
产品 II
III
有效台时
使用费用 （元/小时）
A1 A2 B1 B2 B3
原材料 （元/件） 单价 （元/件）
5 7 6 4 7
2.5 12.5
10 9 8 3.5 20.0
12 11 5.0 28.0
6000 10000 4000 7000 4000
-
300 321 250 783 200
12 12 8 4 0:00 4 8
10
7 4
4:00
8:00
12:00
16:00
20:00
24:00
3. 某银行正在制订一项总额可达6000万元的贷款策略，下表 提供了各类贷款的相关数据，其中，坏账不可收回且不产生 利息收入。为了与其它金融机构竞争，要求银行把至少40% 的资金分配给农业和商业贷款。为扶持当地的住房产业，住 房贷款至少要等于个人、汽车和住房贷款总额的50%。银行 还有一项明确的政策，不允许坏账的总比例超过全部贷款的 4%。试寻求一种最佳贷款策略，使得银行的净收益达到最 大。建立此问题的线性规划模型。 贷款类型 个人 汽车 住房 农业 商业 利率 0.140 0.130 0.120 0.125 0.100 坏账比率 0.10 0.07 0.03 0.05 0.02
2. 某县级市正在研究引进公交系统以减轻市内自驾车引起的 烟尘污染。这项研究的目标是寻求满足运输所需要的最少公 交车数。在收集了必要的信息之后，市政工程师注意到，每 天所需的最少公交车数随一天中的时间不同而变化，而且所 需的最少公交车数在若干连续的4小时间隔内可以近似看成 一个常数。下图描述了工程师的发现，为了完成公交车所需 的日常维护，每辆公交车一天只能连续运行8小时，问该市 至少需要多少量公交车？列出该问题的线性规划模型。
5. 某公司有30万元可用于投资，投资方案有下列几种： 方案一：年初投资1元，第二年年底收回1.2元，5年内都 可投资，但投资额不能超过15万。 方案二：年初投资1元，第三年年底可收回1.3元，5年内都可 以投资。 方案三：年初投资1元，第四年年底可收回1.4元，5年内都可 以投资。 方案四：只在第二年年初有一次投资机会，每投资1元，4年 后可收回1.7元，但最多投资额不能超过10万元。 方案五：只在第四年年初有一次投资机会，每投资1元，年 底可收回1.4元，但最多投资额不能超过20万元。 方案六：存入银行，每年年初存入1元，年底可收回1.02元。 投资所得收益及银行所得利息可以继续用于投资，求使公司 在第五年年底收回资金最多的投资方案。建立该问题的数学 模型。
•如何充分利用资源，使生产利润达到最大？列出线性规划模型； •写出该问题的对偶规划； •用单纯形法求出最优生产方案； •若食品B的利润由20元/公斤增加到40元/公斤，问最优生产方案如何变化？ •若机时由50小时增加到110小时，问最优方案如何变化？ •若机时不够可以从其他厂租用，租金为5元/小时，问租用其他厂的机时是否 合算？
线性规划案例分析作业
2011年4月2日
1. 在一个金属板加工车间内，要从尺寸为48分米96分米 的大块矩形金属板上切割下小块的金属板。此车间接到订 单要求生产8块大小为36分米50分米的矩形金属板，13块 大小为24分米36分米的矩形金属板，以及15块大小为18 分米30分米的矩形金属板。这些金属板都需要从现有的 大金属板上切割下来。为了生产出满足订单要求的金属板， 最少可以使用多少块大金属板？ 列出该问题的线性规划模 型。