线性规划案例

A 不空，系数矩阵
满秩的， r ( A) m ，否则的话可以去掉多余约束。
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凸 集
定义 2.2.1：设 S R n n 维欧氏空间的点集，若对任意 是
x S , y S 的和任意 [0,1] 都有 x (1 ) y S
就称 S 是一个凸集。
定理 2.2.1 线性规划的可行域
D { x Ax b , x 0}
是凸集
定理 2.2.2 任意多个凸集的交还是凸集
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可行域的凸性
超平面 半空间
H { x R n a x b} H { x R n a x b} ； H { x R n a x b}
多面凸集 S { x R n a i x bi ; i 1,2,..., p;a i x bi ; i p 1, p 2,..., p q }
x i 1 x i 2 x i 3 x i 4 a i ; i 1,2
x 1 j x 2 j b j ; j 1,2,3,4
蕴含约束：数量非负
x ij 0; i 1,2, j 1,2,3,4
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模
型
min s.t.
c
i 1 j 1
2
4
ij
x ij
2675.000
VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 375.000000 0.000000 X2 250.000000 0.000000 X3 75.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 1) 0.000000 1.050000 2) 0.000000 0.625000 3) 0.000000 0.300000
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问 题 分 析
可控因素：从仓库 Ai 运往 B j 的产品数量 设为 x ij ; i 1,2, j 1,2,3,4 目标：总运费最小 费用函数 c ij x ij
i 1 j 1 2 4
受控条件： 从仓库运出总量不超过可用总量，运入零售点的数量不低于需求量。 由于总供给量等于总需求量，所以都是等号。即

不等式变等式
不等式变不等式
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不 等 式 变 等 式
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
或
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
S 定义 2.2.2：设 为凸集 x S ，如果对任意 y , z S 和0 1 ， 都有 x y (1 ) z ,则称 x 为 S 的顶点。
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问
题
1.可行域顶点的个数是否有限？ 2.最优解是否一定在可行域顶点上达到？ 3.如何找到顶点？ 4.如何从一个顶点转移到另一个顶点?
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运 输 问 题
一个制造厂要把若干单位的产品从两个仓库Ai ; i 1,2 发送到零售点 B j ; j 1,2,3,4 ，仓库Ai 能供应的产品数量为 a i ; i 1,2 ，零售点 B j 所需的产品的数量为b j ; j 1,2,3,4 。 假设供给总量和需求总量相等，且已知从仓库Ai 运一个单 位产品往 B j 的运价为c ij 。问应如何组织运输才能使总运费 最 Ai 小？
或
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
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例2.1.3 把问题转化为标准形式
m axz x1 x 2 2 x 1 x 2 2 x1 2 x 2 2 s.t . x1 x 2 5 x1 0
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当目标函数该边后，等值线的方向会发生改变， 如果等值线与某个约束对应的函数直线平行， 则该函数值线上的所有可行解都是最优解
最优解（1，4）
2 x 1 x 2 2
x1 2 x 2 2
x1 x 2 5
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注
释
可能出现的情况：



可行域是空集 可行域无界无最优解 最优解存在且唯一，则一定在顶点上达到 最优解存在且不唯一，一定存在顶点是最优解
约束条件
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注
x j ; j 1,2,...,n
释
为待定的决策变量，
c ( c 1 , c 2 , , c n ) 为价值向量，
c j ; j 1,2,...,n 为价值系数，
b ( b1 , b 2 ,...,b m ) 为右端向量，
矩阵
a 11 a 21 A a m1 a 12 a 22 am2 a1n a 2n a mn
=0
B 1 b x 0
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A 定义 2.2.2： B 是秩为m 的约束矩阵 的一个 m 阶满秩 设
B 子方阵，则称B 为一个基； 中 m 个线性无关的列向量称 为基向量，变量 x 中与之对应的 m 个分量称为基变量，其 余的变量为非基变量， 令所有的非基变量取值为 0， 得到的解 B 1 b 称为相应于B 的基本解。当B 1 b 0 则称基本解为 x 0 B 基本可行解，这时对应的基阵 为可行基。 1 如果 B b 0 则称该基可行解为非退化的，如果一个线 性规划的所有基可行解都是非退化的则称该规划为非退化 的。
D { x Ax b , x 0}
最优解：在可行域中目标函数值最大（或最小）的可行解，最优解的全体 称为最优解集合
O { x D c x c y , y D }
最优值：最优解的目标函数值
v c x, x O
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模 型 转 换
变量转换
令自由变量 x j
为系数矩阵。
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规 范 形 式
m i nc x Ax b s .t . x 0
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标 准 形 式
m i nc x Ax b s .t . x 0
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概
念
可行解（或可行点） ：满足所有约束条件的向量 x ( x 1 , x 2 , x n ) 可行集（或可行域） ：所有的可行解的全体
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例2.2.1 解线性规划
max z x 1 x 2 2 x 1 x 2 2 x1 2 x 2 2 s .t . x1 x 2 5 x1 0
最优解（1，4）
2 x 1 x 2 2
x 1 2 x 2 2 x1 x 2 5
m inz x1 ( x 3 x 4 ) 2 x 1 ( x 3 x 4 ) x 5 2 x1 2( x 3 x 4 ) x 6 2 s.t . x1 ( x 3 x 4 ) x 7 5 x i 0; i 1,3,4,5,6,7
运 筹 学 课 件
运 筹 帷 幄 之 中 Linear Programming
决 胜
线性规划
千 里 之 外
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线 性 规 划

线性规划问题 可行区域与基本可行解 单纯形算法 初始可行解 对偶理论 灵敏度分析 计算软件 案例分析
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线性规划问题
线性规划实例
生产计划问题 运输问题
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可行域的几何结构

基本假设 凸集


可行域的凸性
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基 本 假 设
考虑线性规划的标准形式
m i nc x Ax b s.t . x 0
其中
x , c R n , b R m , A R mn
，并且假定可行域 是行
D { x R n Ax b , x 0}
原料可用量 （公斤/日）
2 0 3 3
3 2 2 5
0 4 5 4
1500 800 2000
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问 题 分 析
可控因素：每天生产三种产品的数量，分别设为 x 1 , x 2 , x 3 目标：每天的生产利润最大 利润函数 3 x 1 5 x 2 4 x 3 受制条件： 每天原料的需求量不超过可用量： 原料 P1 ： 2 x1 3 x 2 1500 原料 P2 ： 2 x 2 4 x 3 800 P 3 x 2 x 2 5 x 3 2000 原料 3 ： 1 蕴含约束：产量为非负数 x ,x ,x 0
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基本可行解与基本定理

定义 基本定理


问题
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基本可行解定义
令 A ( B, N ) ， x =( x B x N )。 ,
Ax b
分块 左乘B 1
xN
Bx B Nx N b
x B B 1 Nx N B 1 b
即
x B B 1 b B 1 Nx N
松弛变量
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n s i b i , s i 0
剩余变量
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不等式变不等式
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
a i 1 x 1 a i 2 x 2 a in x n b i
x x j j xj j ，其中 , x 为非负变量
目标转换
求最大可以等价成求负的最小
m axc x m in c x
约束转换 实例