运筹学课件1-1线性规划问题及其数学模型
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《运筹学线性规划》PPT课件
划问题化成如下的标准型：
max Z x1 2x2 3x4 3x5 0x6 0x7
x1 x2 x4 x5 x6 7 x1 x2 x4 x5 x7 2 3x1 x2 2x4 2x5 5 x1, x2, x4, , x7 0
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
一、线性规划问题的解的概念
(1.4)
标准型具有如下特点： （1）目标函数求最大值； （2）所求的变量都要求是非负的； （3）所有的约束条件都是等式； （4）常数项非负。 综合以上的讨论可以说明任何形式的线 性规划问题都可以通过上述手段把非标准 型的线性规划问题化成标准型。现举例如 下：
例1－4 试将如下线性规划问题化成标准型
多样性给讨论问题带来了不便。为了便于今后讨论，我 们规定线性规划问题的标准型为：
max Z c1x1 c2x2 cnxn
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
a1nxn b1 a2nxn b2
am1x1 am2x2 amnxn bm
x1, x2 , , xn 0
例1－1：（计划安排问题）某工厂在计划期内安排
生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所占用的
设备A、B的台时、原材料的消耗及两种产品每件可
获利润见表所示：
I
II 资源总量
设备A(h)
0
3
15
设备B(h)
4
0
12
原材料(公斤)
2
2
14
利润(元)
2
3
问如何安排计划使该工厂获利最多？
解: 假设 x1、x2分别表示在计划期内生产
二、线性规划问题的图解法
对于简单的线性规划问题(只有两个决策变量的
线性规划问题)，我们可以通过图解法对它进行求解
max Z x1 2x2 3x4 3x5 0x6 0x7
x1 x2 x4 x5 x6 7 x1 x2 x4 x5 x7 2 3x1 x2 2x4 2x5 5 x1, x2, x4, , x7 0
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
一、线性规划问题的解的概念
(1.4)
标准型具有如下特点： （1）目标函数求最大值； （2）所求的变量都要求是非负的； （3）所有的约束条件都是等式； （4）常数项非负。 综合以上的讨论可以说明任何形式的线 性规划问题都可以通过上述手段把非标准 型的线性规划问题化成标准型。现举例如 下：
例1－4 试将如下线性规划问题化成标准型
多样性给讨论问题带来了不便。为了便于今后讨论，我 们规定线性规划问题的标准型为：
max Z c1x1 c2x2 cnxn
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
a1nxn b1 a2nxn b2
am1x1 am2x2 amnxn bm
x1, x2 , , xn 0
例1－1：（计划安排问题）某工厂在计划期内安排
生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所占用的
设备A、B的台时、原材料的消耗及两种产品每件可
获利润见表所示：
I
II 资源总量
设备A(h)
0
3
15
设备B(h)
4
0
12
原材料(公斤)
2
2
14
利润(元)
2
3
问如何安排计划使该工厂获利最多？
解: 假设 x1、x2分别表示在计划期内生产
二、线性规划问题的图解法
对于简单的线性规划问题(只有两个决策变量的
线性规划问题)，我们可以通过图解法对它进行求解
运筹学 第二章 线性规划课件
ij m n
1
m
则模型可表示为
Maxz CX
s .t
.
AX X
0
b
2020/11/9
运筹学 第二章 线性规划
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 428.0000
VARIABLE VALUE X1 20.000000 X2 24.000000
A
B
CD
0.1
0
0.1 0.2
0
0.1
0.2 0.1
0.4
0.6
2.0 1.7
试决定买M与N二种饲料各多少公斤而使支出的总费用为 最少？
运筹学 第二章 线性规划
2020/11/9
解：设购买M、N饲料各为 x , x ，则
1
2
M 1 i x 1 n 0 4 x 2 z
0.1x1 0 x 2 0.4
第二章 线性规划（Linear Programming）
第一节 线性规划的模型与图解法 第二节 单纯形法 第三节 对偶问题与灵敏度分析 第四节 运输问题 第五节 线性整数规划
2020/11/9
运筹学 第二章 线性规划
第一节 线性规划的模型与图解法
一、线性规划问题及其数学模型
在生产管理和经营活动中经常需要解决：如何 合理地利用有限的资源，以得到最大的效益。
2020/11/9
运筹学 第二章 线性规划
2020/11/9
例1 某工厂可生产甲、乙两种产品，需消耗 煤、电、油三种资源。现将有关数据列表如下：
资源单耗 产 品
资源 煤 电 油
单位产品价格
甲乙
《运筹学》课件 第一章 线性规划
10
解：令
xi=
1， Si被选中
min z= ci xi i 1 10
0， Si没被选中
xi 5
i 1
x1 x8 1 x7 x8 1
称为技术系数
b= (b1,b2, …, bm) 称为资源系数
2、非标准型
标准型
（1）Min Z = CX
Max Z' = -CX
（2）约束条件
• “≤”型约束，加松弛变量；
松弛变量
例如： 9 x1 +4x2≤360
9 x1 +4x2+ x3=360
• “≥”型约束，减松弛变量；
例、将如下问题化为标准型
数据模型与决策 (运筹学）
课程教材：
吴育华,杜纲. 《管理科学基础》，天津大学出版社。
绪论
一、运筹学的产生与发展
运筹学（Operational Research) 直译为“运作研究”。
• 产生于二战时期 • 60年代，在工业、农业、社会等各领域得到广泛应用 • 在我国，50年代中期由钱学森等引入
Min z x1 2x2 3x3
x1 x2 x3 7
s.t
.
x1 x2 x3 3x1 x2 2
x3
2
5
x1, x2 , x3 0
解：令 Min z Max z' (z' z) ，第一个约束加松弛变量x5，
第二个约束减松弛变量x6，得标准型：
Max z' x1 2x2 +3x3
x1 x2 x3 x4 7
s.t .
x1 x2 3x1
x3 x2
x5 2 2x3 5
x1 , , x5 0
运筹学课件——第2讲__线性规划模型(1)
❖ 线性规划模型？
LP模型： 设:配制生产甲饮料x1升,乙饮料x2升.
min Z 2x1 3x2源自x1 x2 350s.t.
2x1 x2
x1
125
600
x1 0, x2 0
例5 投资问题
某集团有1000000元资金供投资，该集团有5个可供选择 的投资项目，其中各种资料如下表：
投资项目 1 2 3 4 5
xb=(x1,x2,…,xm) 加上所有取值为0 的非基变量，得：
x=(x1,x2,…,xm,0,…,0)
称x 为线性规划问题的基解。
令x1=x2=0，解得x3=4,x4=12,x5=18,则x=(0,0,4,12,18)T是一个基解。
A
103
0 2 2
1 0 0
0 1 0
100
P3 ,
P4 , P5
[LP模型]：
min Z 0.1x1 0.06x2 0.18x3 0.12x4 0.04x5
x1 x2 x3 x4 x5 1000000
s.t.00..10x51x1 0.01.708x2x20.01.407x3x3 0.02.206x4x40.00.71xx55
80000 140000
基：设Am×n (n>m)为约束方程组(b)的系数矩阵，其秩为m。 Bm×m 是矩阵A 中的一个m×m 阶的满秩子矩阵(|B|不等于0), ， 称B 是线性规划问题的一个基。不失一般性，设
B
a 11 a 21 a m1
a 12 a 22
a m2
a 1m a 2m
a mm
第1章 线性规划
❖ 本章要求： 1.掌握并熟练应用线性规划的模型处理实际问
题 2.掌握线性规划的图解法 3.掌握软件求解线性规划 4.了解线性规划对偶问题的基本性质 5.理解有关灵敏度分析内容
LP模型： 设:配制生产甲饮料x1升,乙饮料x2升.
min Z 2x1 3x2源自x1 x2 350s.t.
2x1 x2
x1
125
600
x1 0, x2 0
例5 投资问题
某集团有1000000元资金供投资，该集团有5个可供选择 的投资项目，其中各种资料如下表：
投资项目 1 2 3 4 5
xb=(x1,x2,…,xm) 加上所有取值为0 的非基变量，得：
x=(x1,x2,…,xm,0,…,0)
称x 为线性规划问题的基解。
令x1=x2=0，解得x3=4,x4=12,x5=18,则x=(0,0,4,12,18)T是一个基解。
A
103
0 2 2
1 0 0
0 1 0
100
P3 ,
P4 , P5
[LP模型]：
min Z 0.1x1 0.06x2 0.18x3 0.12x4 0.04x5
x1 x2 x3 x4 x5 1000000
s.t.00..10x51x1 0.01.708x2x20.01.407x3x3 0.02.206x4x40.00.71xx55
80000 140000
基：设Am×n (n>m)为约束方程组(b)的系数矩阵，其秩为m。 Bm×m 是矩阵A 中的一个m×m 阶的满秩子矩阵(|B|不等于0), ， 称B 是线性规划问题的一个基。不失一般性，设
B
a 11 a 21 a m1
a 12 a 22
a m2
a 1m a 2m
a mm
第1章 线性规划
❖ 本章要求： 1.掌握并熟练应用线性规划的模型处理实际问
题 2.掌握线性规划的图解法 3.掌握软件求解线性规划 4.了解线性规划对偶问题的基本性质 5.理解有关灵敏度分析内容
1-1线性规划问题及模型
史新峰
西安邮电大学 现代邮政学院
Xi'an post and telecommunications university modern post College
第一章 线性规划与单纯形法
1.1线性规划问题及模型 运 筹 学
主要内容
01 线性规划问题
运
02 线性规划模型及特征
筹
学
一 线性规划问题
二 线性规划模型
2.线性规划模型的一般形式
运 筹 学
二 线性规划模型
简写式
运 筹 学
n
max（或 min）Z c j x j j 1
s.t.
n
aij x j
(或 ，)bi
j1
xj 0
i 1,，m j 1,, n
二 线性规划模型
运向量式 筹 学
max（或 min ） Z CX
星期 需要人数 星期 需要人数
运
一
300
五
480
筹
二
300
六
600
学
三
350
日
550
四
400
应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员最少。
一 线性规划问题
在上班 周 周 周 周 周 周 周 一二三四五六日
开始上班
周一
周二
运
周三
筹
周四
学
周五 周六
周日
一 线性规划问题
解：设xj(j=1，2，…，7)为休息2天后星期一到星
期日开始上班的营业员，则这个问题的线性规划模型为
min Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
x1 x4 x5 x6 x7 300
x1
西安邮电大学 现代邮政学院
Xi'an post and telecommunications university modern post College
第一章 线性规划与单纯形法
1.1线性规划问题及模型 运 筹 学
主要内容
01 线性规划问题
运
02 线性规划模型及特征
筹
学
一 线性规划问题
二 线性规划模型
2.线性规划模型的一般形式
运 筹 学
二 线性规划模型
简写式
运 筹 学
n
max（或 min）Z c j x j j 1
s.t.
n
aij x j
(或 ，)bi
j1
xj 0
i 1,，m j 1,, n
二 线性规划模型
运向量式 筹 学
max（或 min ） Z CX
星期 需要人数 星期 需要人数
运
一
300
五
480
筹
二
300
六
600
学
三
350
日
550
四
400
应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员最少。
一 线性规划问题
在上班 周 周 周 周 周 周 周 一二三四五六日
开始上班
周一
周二
运
周三
筹
周四
学
周五 周六
周日
一 线性规划问题
解：设xj(j=1，2，…，7)为休息2天后星期一到星
期日开始上班的营业员，则这个问题的线性规划模型为
min Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
x1 x4 x5 x6 x7 300
x1
管理运筹学线性规划PPT课件
2、运筹学发展简介
运筹学/ Operations Research，英文原意是作 战研究、运用研究。 起源于二次大战的军事领域， 发扬于战后的社会、经济、工程与管理 领域。
》（英）希 尔：高射炮系统利用研究 ； 》（英）莫尔斯：美海军大西洋护航方案研究； 》（英）空军OR小组：雷达警报和控制系统研究；
长度（m)
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
2.9
21110000
2.1
02103210
1.5
10130234
剩料(m) 0.1 0.3 0.9 0 1.1 0.2 0.8 1.4
设按第i套方案下料的原材料根数为Xi，i=1,…,5; 则线性规划模型如下：
Min Z=0X1+0.3X2+0.9X3+1.1X5+0.2X6 + 0.8X7+1.4X8
顶点 ，则其连线上的点都为最优解。
重要推论： （1）若两元（LP）问题存在最优解，则 一 定可以在K凸多边形的顶点上搜索求出！ （2）若三元（LP）问题存在最优解，则 一 定可以在K凸多面体的顶点上搜索求出！ （3）若一般（LP）问题存在最优解，则 一 定可以在K凸集的极点上搜索求出！
第3节 线性规划代数解的概念
，主要包括D、E、F三种营养成分，有关资料如下
表。问：如何配置混合饲料，以使总成本最低？
配料/营养 D
E
F
单位成本
A
1
1/2
2
6
B
1
1/2
1
3
C
1
1/4
1
2
每份饲料 20 营养标准
6
10
引例[3]：运输优化问题 运输问题有关资料如下表，在满足各电厂发电用
(完整版)运筹学胡运权第五版课件(第1章)
四运筹学研究的基本特点?系统的整体优化?多学科的配合?模型方法的应用五五运筹学研究的基本步骤运筹学研究的基本步骤?分析与表述问题?建立数学模型?对问题求解?对模型和模型导出的解进行检验?建立对解的有效控制?方案的实施第一章线性规划及单纯形法linearprogrammingandsimplexmethodggp11一般线性规划问题的数学模型11问题的提出例1用一块边长为a的正方形铁皮做一个无盖长方体容器应如何裁剪可使做成的容器的容积最大
（3）L.P. 的顶点与基可行解一一对应。
§1.3 单纯形法（Simplex Method）原理
3-1 预备知识：凸集与顶点
（1）凸集：对于集合C中任意两点连线段上的点，若全在C内， 则称集合C为凸集。
直观特征：图形从内部向外部凸出。
凸集
非凸集
（2）顶点：凸集中不在任意两点的连线段内部的点。
X1
转化为
（2）若约束条件为不等式，
则依次引入松弛变量或剩余变量（统称为松弛变量），
转化为等式约束条件。
约束为≥不等式，减去松弛变量，化为等式约束条件；
多 退
约束为≤不等式，加上松弛变量，化为等式约束条件。
少 补
注意：松弛变量在目标函数中系数全为0。
例：max z=2 x1+3 x2
2 x1+2 x2 12
s.t.
4x1
16
5 x2 15
x10， x2 0
标准化
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
2x1 2x2 x3
12
s.t.
4
x1
5 x2
x4 16 x5 15
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
（3）若决策变量xj≤0，则令
（3）L.P. 的顶点与基可行解一一对应。
§1.3 单纯形法（Simplex Method）原理
3-1 预备知识：凸集与顶点
（1）凸集：对于集合C中任意两点连线段上的点，若全在C内， 则称集合C为凸集。
直观特征：图形从内部向外部凸出。
凸集
非凸集
（2）顶点：凸集中不在任意两点的连线段内部的点。
X1
转化为
（2）若约束条件为不等式，
则依次引入松弛变量或剩余变量（统称为松弛变量），
转化为等式约束条件。
约束为≥不等式，减去松弛变量，化为等式约束条件；
多 退
约束为≤不等式，加上松弛变量，化为等式约束条件。
少 补
注意：松弛变量在目标函数中系数全为0。
例：max z=2 x1+3 x2
2 x1+2 x2 12
s.t.
4x1
16
5 x2 15
x10， x2 0
标准化
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
2x1 2x2 x3
12
s.t.
4
x1
5 x2
x4 16 x5 15
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
（3）若决策变量xj≤0，则令
清华大学运筹学课件(完整课件)
2x1 + 3x2 ≤ 4 x1,x2 ≥ 0
化标准型
max z = x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4
x1 + 2x2 + x3 = 3
2x1 + 3x2
+ x4 = 4
x1,x2,x3,x4 ≥ 0
系数矩阵
1 A 2
2 3
1 0
0 1
p1
p2
p3 p4 , 则 B p3 p4
取x3、x4为基变量,令非基变量x1= x2=0 ∴ 初始基可行解：X(0) = (0 0 3 4)T
③
3
z = 2x1 + 4x2，此时表示 目标函数的直线与表示
Q2(4,2)
① *
条件①的直线平行，
o
最优点在线段Q3Q2上。
即存在无穷多最优解。
4 Q1
x1
7
(3)无界解
[eg.5]
max z = 2x1 + 3x2 4x1 ≤ 16 x1，x2 ≥ 0
则x2 → ∞，z → ∞。 即存在无界解。
对于
n
m
max z c j x j cni xni
j 1
i 1
n
aij x j xni bi
i 1, , m
j1
x
j
0
j 1, , n m
设 xni 为基变量可行,i 1,, m
x j为非基变量, j 1,, n
n
xni bi aij x j j 1
代入目标函数
产品Ⅱ生产x2件。
4x1
≤ 16
这里z为利润函数，
4x2 ≤ 12
max z:表示求z的最大值。
化标准型
max z = x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4
x1 + 2x2 + x3 = 3
2x1 + 3x2
+ x4 = 4
x1,x2,x3,x4 ≥ 0
系数矩阵
1 A 2
2 3
1 0
0 1
p1
p2
p3 p4 , 则 B p3 p4
取x3、x4为基变量,令非基变量x1= x2=0 ∴ 初始基可行解：X(0) = (0 0 3 4)T
③
3
z = 2x1 + 4x2，此时表示 目标函数的直线与表示
Q2(4,2)
① *
条件①的直线平行，
o
最优点在线段Q3Q2上。
即存在无穷多最优解。
4 Q1
x1
7
(3)无界解
[eg.5]
max z = 2x1 + 3x2 4x1 ≤ 16 x1，x2 ≥ 0
则x2 → ∞，z → ∞。 即存在无界解。
对于
n
m
max z c j x j cni xni
j 1
i 1
n
aij x j xni bi
i 1, , m
j1
x
j
0
j 1, , n m
设 xni 为基变量可行,i 1,, m
x j为非基变量, j 1,, n
n
xni bi aij x j j 1
代入目标函数
产品Ⅱ生产x2件。
4x1
≤ 16
这里z为利润函数，
4x2 ≤ 12
max z:表示求z的最大值。
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线性规划模型的一般形式
Max ( min ) z c1 x1 c 2 x 2 ... c n x n a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n ( , )b1 a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n ( , )b2 .......... .......... .......... .......... . .......... a x a x ... a x ( , )b m2 2 mn n m m1 1 x1 , x 2 ,..., x n 0
n
)
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j
b
b1 b 2 ... bm
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– 用矩阵表示
max Z CX AX b X 0 a 11 ..... a 1 n A .......... .... a ...... a mn m1 b 资源向量 ( P1 , P2 ,..., P3 ) C -价 值ax 向量 m 0 0 0 ... 0
线性规划问题的提出 线性规划的基本概念 线性规划的数学模型 线性规划问题的标准形式
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•问题的提出
• 引例: 生产计划问题
I 1 4 0 2 II 2 0 4 3 资源限量 8 台时 16kg 12kg
设备 原材料 A 原材料 B 利润
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如何安排生产 使利润最大
？
产品 2
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线性规划问题的标准形式目标函数最大
• 标准形式为: 约束条件等式 决策变量非负
Max Z c1 x1 c 2 x 2 ... c n x n a 11 x1 a 12 x 2 ... a 1 n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n b 2 .......... .......... .......... .......... .. a x a x ... a x b m2 2 mn n m m1 1 b1 , b 2 ,... b m 0 x1 , x 2 ,..., x n 0
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–
简写为
max Z
n
c
j 1
n
j
xj i 1, 2 ,... m j 1, 2 ,..., n
a ij x j b i j 1 x 0 j
其中：cj ---------表示目标函数系数 aij---------表示约束条件系数 bi ---------表示约束右端项
量的等式或不等式。
可行域中使目标 函数达到最优的 决策变量的值 满足约束条件的决 策变量的取值范围
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问题中要确定的未知量，表 明规划中的用数量表示的方 案、措施，可由决策者决定 和控制。
线性规划问题的共同特征
• 一组决策变量X表示一个方案,一般X大 于等于零。 • 约束条件是线性等式或不等式。 • 目标函数是线性的。 求目标函数最大 化或最小化
x1 x1
3 x1 x 2 2 x 3 7 x 1 , x 2 0 , x 3 无约束 x x x 3 4 5
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解 ：标准形为
max x1 x1
z x1 2x2 3(x4 x5) 0x6 0x7 x2 (x4 x5) x6 x2 (x4 x5) 7 x7 2 7
C—价值向量 b—资源向量 X—决策变量向量
X 策变CX 量向量 Z- 决
AX X a 1 1 ..... a 1 n A .......... .... a m 1 ...... a m n
b 0 0 0 0 ... 0
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例4：营养问题
某动物饲养场利用n种天然饲料来配制混 合饲料使用，已知单位第j种天然饲料的价格 为cj，它含有第i种营养成份的量为aij；根据 动物生长的需要，要求具有m种营养成份，且 第i种营养成份的含量不得低于bi。试确定在 保证动物营养需要的条件下用最低的饲料配 合法。
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建模步骤：
• 第一步：确定决策变量
x1：生产产品甲的数量（吨） x2：生产产品乙的数量（吨）
上述变量为由决策者决定的未知量，称 为决策变量。
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• 第二步：确定约束条件
本例的约束条件为三种资源的限制用量。对各 个限制条件逐一加以分析，写出反映其限制关 系的表达式（等式或不等式），从而得到约束 条件。
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第一步：确定变量 x1、 x2 、 x3 、 x4 分别表示用于项目A、 B、C、D的投资百分数。 第二步：确定约束条件 x1－ x2 － x3 － x4≤0 x2 ＋ x3 － x4≥0 x1 ＋ x2 ＋ x3 ＋ x4 ＝1 xj ≥0，j＝1，2,…,4
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第三步：确定目标函数 max z=0.15x1+0.1x2+0.08x3+0.12x4 数学模型 max z = 0.15x1 + 0.1x2 + 0.08x3 + 0.12x4 x1 － x2 － x3 － x4 ≤ 0 x2 ＋ x3 － x4 ≥ 0 x1 ＋ x2 ＋ x3 ＋ x4 ＝ 1 xj ≥0，j＝1，2,…,4
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线性规划研究的内容
• 在现有的资源条件下，如何充分利用资 源，使任务或目标完成得最好（求极大 化问题）。
• 在给定目标下，如何以最少的资源消耗 ，实现这个目标（求极小化问题）。
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• 第1步 -确定决策变量
•设
x 2 ——II的产量
x 1 ——I的产量
是问题中要确定的未知量， 表明规划中的用数量表示的 方案、措施，可由决策者决 定和控制。
• 设xj为第j种天然饲料的使用量，则aij xj为第j 种天然饲料含有第i种营养成分的数量。则：
• 考虑到非负约束和目标要求，其数学模型为：
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线性规划三要素
线性规划(Linear Programming，LP)有：
• 一组有待决策的变量 （指模型中要求解的未知量） • 一个线性的目标函数 （指模型中要达到的目标的数学表达式） • 一组线性的约束条件 （指模型中的变量取值所需要满足的一切限制 条件）
•基本概念
决策变量（Decision variables） 目标函数（Objective function ） 它是决策变量的函数 约束条件（Constraint conditions） 指决策变量取值时受到 可行域（Feasible region) 的各种资源条件的限制 最优解（Optimal solution) ，通常表达为含决策变
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• “” 约束： 减去非负剩余变量 ； • x 可正可负（即无约束）；
k
' " ' " Max x 令 x x x xx , k k k k k 60
例 ： min
z x1 2 x 2 3 x 3 x2 x2 x 3 7 x7 x3 2
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例2(书)
某厂生产甲乙两种产品，已知制成一吨产品 甲需用资源A 3吨，资源B 4m3；制成一吨产品乙 需用资源A 2吨，资源B 6m3，资源c 7个单位。 若一吨产品甲和乙的经济价值分别为7万元和5万 元，三种资源的限制量分别为90吨、200m3和210 个单位，试决定应生产这两种产品各多少吨才能 使创造的总经济价值最高?
max z＝7 x1十5 x2
这就是该问题的目标函数。
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经上述分析，可将该问题表示为：
max z＝7 x1十5 x2
3 x 1十2 4 x 1十6 7 x1 ≥ 0， x2 x2 x2 x2 ≤ 90 ≤ 200 ≤ 210 ≥ 0
这种数学表达方式，称为该问题的一种数学模型。
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设备 原材料 A 原材料 B 利润 I 1 4 0 2 II 2 0 4 3 资源限量 8 台时 16kg 12kg
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该计划的数学模型
目标函数
约束条件
Max Z = 2x1 + 3x2
x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x 1、 x 2 0
x1
x2
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– 用向量表示
max Z CX n Pjx j b i1 x 0 j 1 , 2 ,... n j 其中： x1 x 2 X P ... xn C (c 1 , c 2 ,...c a1 j a2j ... a mj
( P 1 , P 2 ,...,
Pn )
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一般线性规划问题的标准形化
• min Z=CX 等价于 max Z’ = -CX • “” 约束：加入非负松驰变量 例： 目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x 1 + 2x2 8 4x 1 16 4x2 12 x 1、 x 2 0
产品 I
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什么是线性规划？
在工业、农业、国防、建筑、交通运输、科研、商业 等各种活动中，常常要求对资源进行统一分配、全面规划 和合理调度，以便从各种可能安排方案中找出最优的计划 或设计，用以指导生产。在这类问题中，一方面有期望达 到最优要求的目标（例如希望产值最高或消耗最少），另 一方面又要受到一定条件的限制（例如人力、物力、财力 的限制），如何安排才能使成效最高，消耗既定资源取得 的收益最大，或达到既定收益所消耗的资源最少。这可以 借助线性规划（Linear Programming，LP）来解决。