初中数学教学课件 二次根式
合集下载
北师大版初中数学八年级(上)2-7二次根式(第1课时)教学课件
1 5 √
33 21 ×
2 3 ×
4 bb 0 √
5 a 2a 2√ 6 a bab ×
73 5m2 ×
8 x2 1 √
2、二次根式的性质
（1）计算下列各式，你能得到什么猜想?
49 36 6
4 9 23 6
4 2 93
4 2 93
（2）用计算器计算：
6 7 ＝ 6.480 ，6 7 ＝ 6.480 ；
6 7
＝ 0.9255 ，
6 7
＝ 0.9255
．
有何发现：
6
7＝
67 ，
6＝
7
6
7．
1、积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根 的积；
ab a b (a 0,b 0)
2、商的算术平方根等于被除式的算术平方根除 以除式的算术平方根.
例题讲解
例1：化简
（1）81 64 （2） 25 6 （3）
。
5 5
2
课堂小结
二次 根式
二次根式的定义
二次根式 的性质
最简二次根式
ab a • b (a 0, b 0)
a a (a 0, b 0)
b
b
第二章 实数
第二章 实数
2.7.1 二次根式
第一课时 二次根式及其化简
北师大版数学八年级上册
学习目标
1．理解二次根式的性质.（重点） 2．了解最简二次根式的定义.（重点） 3．会利用积的与商的算术平方根的性质化简 二次根式.（难点）
还记得有理数的一些运算法则吗？请运用相 关法则计算下列各式：
①－5m2+2 m2= 3m2
1 1 3 3 3 3 3 3
5 5 5 6 30 6 6 6 6 6
数学八年级下《二次根式》复习课件
a
2
先平方,后开方
想一想：
2.从取值范围来看 2 a≥0 a
a
2
≥0 时， 当a ____
a
2
a
2
a取任何实数
例1、x 取何值时，下列各式在实数范围内 有意义？
x1 1 ; x2
解:（1）由
x 1 0
x 2 0,
得x≥－1且x≠2.
∴当x≥－1且x≠2时，式子 意义.
2 3 11 （2）
解：原式
2
11 2 3 .
2
2
11 12 1.
11 2 3 11 2 3
2
小结一下
求二次根式的值：
先根据题意，列出二次根式, 然后归结为求代数式的值的问题。
?
练习：
1.计算： 1 3 2 （1） 9 45 3 2 ;
1 3
知识巩固
最简二次根式
①被开方数的因数是整数，因式是整式。 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 ③分母中不含有二次根式。
30
2.5x
50
2 x( x y ) 2
x2 y2
首页
上页
下页
知识巩固
同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同，这几个二次根式就叫 做同类二次根式 ①化成最简二次根式后
1 -2 3 （2）（ ） - 2 2 - 3 2 8
0
计算：
20 15 2011 （3） 3( 3 ) (1) 5
(4)
( 2 3)(2 2 1)
二次根式的化简求值
先化简，再求值。
(1)2(a 3 )(a 3 ) a(a 6) 6 其中：a 2 1
2
先平方,后开方
想一想：
2.从取值范围来看 2 a≥0 a
a
2
≥0 时， 当a ____
a
2
a
2
a取任何实数
例1、x 取何值时，下列各式在实数范围内 有意义？
x1 1 ; x2
解:（1）由
x 1 0
x 2 0,
得x≥－1且x≠2.
∴当x≥－1且x≠2时，式子 意义.
2 3 11 （2）
解：原式
2
11 2 3 .
2
2
11 12 1.
11 2 3 11 2 3
2
小结一下
求二次根式的值：
先根据题意，列出二次根式, 然后归结为求代数式的值的问题。
?
练习：
1.计算： 1 3 2 （1） 9 45 3 2 ;
1 3
知识巩固
最简二次根式
①被开方数的因数是整数，因式是整式。 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 ③分母中不含有二次根式。
30
2.5x
50
2 x( x y ) 2
x2 y2
首页
上页
下页
知识巩固
同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同，这几个二次根式就叫 做同类二次根式 ①化成最简二次根式后
1 -2 3 （2）（ ） - 2 2 - 3 2 8
0
计算：
20 15 2011 （3） 3( 3 ) (1) 5
(4)
( 2 3)(2 2 1)
二次根式的化简求值
先化简，再求值。
(1)2(a 3 )(a 3 ) a(a 6) 6 其中：a 2 1
人教初中数学八下 16.2.2 最简二次根式课件 【经典初中数学课件汇编】
25
5．被开方数有隐含条件的二次根式化简
例 5 化简 a －1a的结果是：
．
分析：含字母的化简，通常要知道字母的符 号,而字母的符号又常借被开方数的非负性而隐 藏．因此，化简时要从被开方数入手．
26
5．被开方数是隐含条件的二次根式化简
例 5 化简 a －1a的结果是：
．
解：∵a －a1有意义，∴－1a≥0，∴－a＞0．
值范围是(C ) A. a2
C. 2a4
B. a2
D. a2或 a4
21
二次根式化简
1．被开方数是非完全平方数的二次根式化简 例 1 化简 48． 分析：因为，48=16×3=42×3，所以，根据公 式 a b= ab (a≥0，b≥0)，就可以把积的是完 全平方数或平方式的部分从二次根号下开出来， 从而实现化简的目的． 解： 48＝ 16×3＝ 16× 3＝ 42× 3＝4 3．
p
-1 0 1 2
18
6、已知三角形的三边长分别是 a、b、c，
且 ac ，那么 ca (acb)2
等于（ D ）
A、2a-b
B、2c-b
C、b-2a
D、b-2c
19
7.当 . a1时，a2求 211的值
2
aa
错解 （ ： a1)2 原 1a 式 11a1 a a aa 2
分析：上述做法 有中 注， 意没 到 a当 1时， 2
【解析】 25 600÷128 = 200（千米）.
(2) 这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：
天)之间有什么关系？
【解析】 y=200x（0≤x≤128）.
(3)这只燕鸥飞行一个半月（一个月按30天计算）的行程 大约是多少千米？ 【解析】当x=45时，y=200×45=9 000（千 米）.
5．被开方数有隐含条件的二次根式化简
例 5 化简 a －1a的结果是：
．
分析：含字母的化简，通常要知道字母的符 号,而字母的符号又常借被开方数的非负性而隐 藏．因此，化简时要从被开方数入手．
26
5．被开方数是隐含条件的二次根式化简
例 5 化简 a －1a的结果是：
．
解：∵a －a1有意义，∴－1a≥0，∴－a＞0．
值范围是(C ) A. a2
C. 2a4
B. a2
D. a2或 a4
21
二次根式化简
1．被开方数是非完全平方数的二次根式化简 例 1 化简 48． 分析：因为，48=16×3=42×3，所以，根据公 式 a b= ab (a≥0，b≥0)，就可以把积的是完 全平方数或平方式的部分从二次根号下开出来， 从而实现化简的目的． 解： 48＝ 16×3＝ 16× 3＝ 42× 3＝4 3．
p
-1 0 1 2
18
6、已知三角形的三边长分别是 a、b、c，
且 ac ，那么 ca (acb)2
等于（ D ）
A、2a-b
B、2c-b
C、b-2a
D、b-2c
19
7.当 . a1时，a2求 211的值
2
aa
错解 （ ： a1)2 原 1a 式 11a1 a a aa 2
分析：上述做法 有中 注， 意没 到 a当 1时， 2
【解析】 25 600÷128 = 200（千米）.
(2) 这只燕鸥的行程y(单位：千米)与飞行时间x(单位：
天)之间有什么关系？
【解析】 y=200x（0≤x≤128）.
(3)这只燕鸥飞行一个半月（一个月按30天计算）的行程 大约是多少千米？ 【解析】当x=45时，y=200×45=9 000（千 米）.
人教版数学八年级下册二次根式(第2课时)教学课件
第二十一页，共三十九页。
探究新知
【议一议】如何区别 ( a )2与 a2 ？
( a)2
a2
从运算
(yùn
suàn)顺 从序取看值
范围
(fànwéi)
看从运算结 果看
意义
先开方,后平方
a≥0
a
表示一个非负 数a的算术平方
根的平方
第二十二页，共三十九页。
先平方，后开方
a取任何实数
|a|
表示一个实数a 的平方的算术平 方根
探究新知
【猜一猜】当a＜0时， a=2
-a ？
a(a＜0) 平方
(píngf
-2
āng)
-0.1 运算
...23
a2 4
0.01
4 .9..
算术
a2
(suànshù)
平方根
2
0.1 2 ..3.
观察两者有什么关系？
第十五页，共三十九页。
探究新知 归纳：
a2 的性质：
a (a≥0) a2 a
②理清语句层次明确运算顺序；
③牢记一些概念和公式．
第三十页，共三十九页。
巩固练习
如图，是一个(yī ɡè)圆形挂钟，正面面积为S，用代
S
数式表示出钟的半径为_________π_.
第三十一页，共三十九页。
连接中考
1.计算（ 3）2 1的结果是___4_．
2.下列等式正确的是（ A ）
A．（ 3）2 3
km/h，逆水行驶的速度是(v 2.5)km/h．
（2）设贺卡的长为5x,则宽为3x.依题意得15x2=S，所以 x 1S所5 ,
以它的长为 5 S . 15
第二十九页，共三十九页。
人教版数学八年级下册二次根式(第1课时)教学课件
（3） 3 8
（4） 4 a2
不是(bù shi)
不是
不是
（5） - m (m 0)
是
（8） - x2 1
不是
（6） 2a 1
不是
（9）4 2
是
（7） a2 2a 3
是 1 （10） 3
是
第九页，共三十页。
探究新知
素养考点 2 利用二次根式有意义的条件(tiáojiàn)求字母的取值范 例2 当x是怎围样的实数时, x 2 在实数范围内有意义?
课堂小结
二次根式
(gēnshì)有意 义的条件和 非负性
二次根式
(gēnshì)的
定
义
在有意义
条件下求
字母的取
值范围
形如 a (a 0)的式子叫做 二次根式
抓住被开方数必须为非负数， 从而建立不等式或不等式组
求出其解集
二次根式
的双重非 负性
二次根式 a中,a≥0且
a ≥0
第二十九页，共三十页。
课后作业(zuòyè)
3.当x=__-_1_时，二次根式 x 1取最小值，其最小值
为_____0_．
第二十三页，共三十页。
课堂检测
4.(1)若式子
x 1 2
在实数范围内有意义，则x的取值
范围是__x_≥_1___;
(2)若式子
1 x2
x
在实数范围内有意义，则x的取
值范围是___x_≥_0_且_x_≠_2__.
第二十四页，共三十页。
第十五页，共三十页。
探究新知
归纳总结
二次根式的实质是表示一个(yī ɡè)非负数（或式）的算术平方
根.对于任意一个二次根式 ，必须a满足以下两条：
二次根式初中数学原创课件
当a ≥ -1 时， + 在实
（3）
−
数范围内有意义.
例题学习1
例1
求下列二次根式中字母 a 的取值范围：
解：（2）由
（1） +
（2）
（3）
−
−
>0，得
−
a＜
当a ＜
时，
.
在实
−
数范围内有意义.
例题学习1
例1
求下列二次根式中字母 a 的取值范围：
用 （a ≥0）表示.
平方根的性质：
① 正数有两个平方根且互为相反数；
② 0 有一个平方根就是0本身；
③ 负数没有平方根.
1. 16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？
2. 0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？
3. -7有没有平方根？有没有算术平方根？
新知探索
表示什么？
表示非负数a的算术平方根.
解：（3）当a 为任意实数
（1） +
时，都有 (a -3)2 ≥0.
（2）
（3）
−
−
当a为任意实数时，
− 都有意义.
跟踪练习1
1. 求下列二次根式中字母 x 的取值范围：
（1）
（2）
（3） −
解：（1） x为任意实数.
（2） x >0.
（3） x≤0.
故a的值为1.
3. 若(2x+4y)2+
− =0, 求4x - y 的值.
解：因为 (2x+4y)2 ≥ 0，
− ≥ 0，它们和为0，
16.2二次根式的乘除 (教学课件)- 初中数学人教版八年级下册
解： ( 思考】乘法法则是如何得出的?二次根式的除法该怎样算呢2 除法有没有类似的法则?
学习 目标 3. 理解最简二次根式的概念，能熟练地将二 次根式化为最简二次根式。
2. 会运用除法法则及商的算术平方根进行简 单运算.
1. 掌 握二次根式的除法法则，会用法则进行计算.
探究新知 知识点1
二次根式的除法
探究新知
归纳总结 二次根式的乘法法则的推广： ①多个二次根式相乘时此法则也适用，即
√a·√b .....√n=√ab...n(a≥0,b≥0....n≥0)
②当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单 项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号 外的因数(式),被开方数的积作为被开方数，即
化简：
(1)√ 16×81;(2)√4a²b³(a≥0,b≥0).
解：(1)√ 16×81
(2)√4a²b³
(2 ) 中4 ²ab³ 含有 像 4 a²,b²,, 这
= √16×√81
=√4O√a²O√b³
样开的尽方的因 数或因式，把它
=4×9
=36;
=2OaO√b²Ob
们开方后移到根 号外.
巩固练习
计算：
(1)
(2)
●
解： (1) (2)
提示：像(2)中除式是分数或分(1)
(2)
(3)
●
解：(1)
探究新知
考点② 利用二次根式的除法法则计算根号外因数不是1的 二次根式
计算： (1) 解：(1)
假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.
巩固练习 计算，看谁算的既对又快.
重
探究新知
方法点拨
化简二次根式的步骤：
1.把被开方数分解因式(或因数);
人教版下册课件：16.1二次根式性质
解：由二次根式的意义可知：
25x3 y4 0, y4 0, x 0.
25x3 y4 25 y4 x3
5y2 x x
5xy2 x
广丰实验中学饶绍仁
19
议一议
1. x 1 x 1 x 1 此式成立的条件_________.
ab2
ab2
a
a
b
b2
2∣b∣ ba
a
(a
(a 0,b
0,b 0)
0)
b a (a 0,b 0)
一般来说，如果二次根式里被开方数是几个因
式的乘积，其中有的因式是完全平方式，则这
样的因式可用它的非负平方根代替后移到根号
外面.
广丰实验中学饶绍仁
6
观察思考
若(x 3)0 1 有意义,则x __2_且_ x 3
x 2 广丰实验中学饶绍仁
27
课堂检测
(1) 27 15
(2) a2 b
3) a3 (b 0) b
(4) 1 ab
(5） 18x3 (6) 12 y2 ( y 0)
广丰实验中学饶绍仁
28
课堂检测
（7）.化简二次根式
1 x
结果是. 1 x
广丰实验中学饶绍仁
30
2
2 3
___23___6_,
2
2 3
___23__6__
3 3 ___34 __6_, 3 3 __34__6__
8
8
4
4
8 15
__15____
4
4
8 15
_1_5____
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
义
■ 被开方数可以是数 ，也可以是代数式。
二次根式的基本性质
二
次
■ 对于非负实数a，由于 a 是a的一个平方根，因此：
根
（ a ）2 = a (a≥0)
式
■ a2 = |a|= a (a≥0)
的
-a (a＜0)
定
义
■ ab = a · b (a≥0,b≥0)
最简二次根式
二
我们把满足下面两个条件：1、被开方数中不含开得尽方的因数（或因
5、约分。
经典例题
二
例题1、已知：
，求：（x+y）4 的值。
次
解：∵
与
有意义
根
∴
式
的
解得x=2，
定
∴ y=﹣3，
义
∴ （x+y）4
=（2﹣3）4
=1
经典例题
二
例题2、已知
为整数，试求自然数x的值。
次 根
解：根据题意得：
21﹣x≥0，
式
解得：x≤21．
的
由此可知：21-x，可能为0、1、4、9、16
■ 运算法则 ■ 经典例题
二次根式加减法运算
二
次
■ 同类二次根式：
根
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，
式
笼统的说，就是根号内的数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
的
■ 合并同类二次根式：
加
把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式。 ■ 二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同
★ 初中数学八上全部实用教学课件已经推出，敬请选购！后附已出实用课件目录，喜欢的朋友也可
以直接点击作者名——笑骑士，进行查阅。
初中数学教学课件
《二次根式》 《一元一次不等式（组）》
《实数》 《分式》 《三角形》
《一元二次方程》 《因式分解》 《四边形》
素质教育教学课件
《中小学生 爱国主义教育》 《中小学生 礼仪培训》 《中小学生 安全培训》
的
﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，且b＞a，
乘
故a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
除
原式=|a+1|+2|b﹣1|﹣|a﹣b| =﹣（a+1）+2（b﹣1）+（a﹣b）
法
=b﹣3．
经典例题
二
次
例题6、把下列二次根式化成最简二次根式：
①②③
④
根
式
解：①
=
=2
的
乘
②
=
=3
除
③
=
=
法
④
=
=
03 二次根式的加减法
定
则自然数x的对应值是：
义
21、20、17、12、 5。
经典例题
二
例题3、已知：x，y为实数，且，
， 化简：
次
解：依题意，得：
根
式
∴x﹣1=0，1-x=0;
的
解得：x=1 ∴y＜3 ∴ y﹣3＜0，y﹣4＜0
定
∴
义 =3﹣y﹣
=3﹣y﹣（4﹣y） =﹣1．
02 二次根式的乘除法
■ 运算法则 ■ 经典例题
初中数学课件 之
二次根式
目 录
01、二次根式的定义 02、二次根式的乘法和除法 03、二次根式的加法和减法
01 二次根式的定义
■ 定义 ■ 性质 ■ 最简二次根式
二
二次根式的定义
次
根
一般地，形如 a 的代数式叫做二次根式，其中，a叫做被开方数。
式
二次根式
a
被开方数
的
定
■ 只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义。
减
的进行合并。
法
■ 有括号时，要先去括号。
二
二次根式混合运算
次
根
第一步：确定运算顺序
第二步：灵活运用运算定律
式
第三步：正确使用乘法公式
的
第四步：大多数分母有理化要及时
加
第五步：在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化
减
第六步：字母运算时注意隐含条件和末尾括号的注明。
法
经典例题
二
次
根
例题7、计算：﹣42﹣|1﹣ |+
高中语文教学课件
《李清照词两首 醉花阴 声声慢》 《苏轼词两首 念奴娇 定风波》 《柳永词两首 望海潮 雨霖铃》
《逍遥游》 《陈情表》 《孔雀东南飞》
初中语文教学课件
《唐诗两首 茅屋诗 卖炭翁》 《古代诗歌五首 登幽州台歌等》 《诗经二首 关雎 蒹葭》 《马说》 《礼记二则 虽有佳肴 大道之行也》 《短文两篇 陋室铭 爱莲说》 《木兰诗》 《从百草园到三味书屋》 《小石潭记》 《河中石兽》 《醉翁亭记》
根
并用计算器进行计算，最后结果保留2个有效数字）
式
解：∵这个大正方体的体积为3.513+2.263 ，
的
∴这个大正方体的棱长=
加
=3.80cm，
减
答：这个大正方体铁块的棱长是3.80cm。
法
经典例题
二
例题10、一个三角形的三边长分别为 、 、
次
①求它的周长（要求结果化简）；
根
②请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值。
式
解：① +
+
的
=
+ +×
加
= ++
减
=
法
② 根式内取偶数的完全平方数，
如3x=36时，x=12,此时三角形的周长C=15。
备用页
请 输 入 您 的 标 题
谢谢观赏
虽然走得很慢，但我从未停下脚步！
小店网址：/works?userid=192027951
★ 小店主营PPT模板，包含两大类：一是各类风格的通用PPT模板，版式丰富多彩，架构规范清晰，便于 实用操作；二是初、高中各学科教学PPT课件，内容全面详实，无需修改，可直接用于教学实践。
次
式）；2、被开方数不含分母的二次根式叫做最简二次根式。
根
■ 在二次根式运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式；
式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
■ 二次根式化简一般步骤：
的
1、把带分数或小数化成假分数；
定
2、把开方数分解成质因数或分解因式；
3、把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外；
义
4、化去根号内的分母，或化去分母中的根号；
经典例题 二
次
根
例题4、化简：4x2
■ 在解二次根式运算题时，可以将
式
解：4x2
常数项放在最前面，然后将相同未
的 乘
=4x2÷12×3 =x2
知数的项按照指数从高到低排列， 有利于解题。
除
法
= xy
经典例题
二
次
例题5、已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，
根
化简：
﹣|a﹣b|。
式
解：从数轴上a、b的位置关系可知：
例题8、解方程： （x﹣1）= （x+1）
式
解：原式=﹣16+1﹣ +2
解：移项得：（ ﹣ ）x= ﹣
的
加
=﹣15+
解得：x=5+2
减
法
经典例题
二
例题9、如果把棱长分别为3.51cm, 2.26cm的两个正方体铁块熔化，制成一个
次
大的正方体铁块，那么这个大正方体铁块的棱长是多少？（用一个式子表示，