2019-2020年高三上学期第一次月考理科数学含答案
2019-2020 年高三上学期第一次月考理科数学
含答案
注意事项： 1. 本试题共分 22 大题，全卷共 150 分。考试时间为 120 分钟。 2．第 I 卷必须使用 2B 铅笔填涂答题纸相应题目的答案标号，修改时，要用橡皮擦干净。 3. 第 II 卷必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔书写在答题纸的指定位置， 在草稿纸和本卷上答题 无效。作图时，可用 2B 铅笔，要求字体工整、笔迹清晰。
第 I 卷（共 60 分）
一、 选择题 ( 本大题共 12 个小题；每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的 4 个选 项中，只有一项符合题目要求 .)
1．已知集合 , 则等于（ ）
A．
B．
C．
D．
2＋x
x2
2．设 f(x)＝lg2－x，则 f 2 ＋f x 的定义域为 (
)
A ．(－4,0)∪ (0,4) B． (－4，－ 1)∪(1,4)
A ． [0,2)
B．(0,2]
C．(－∞， 0] ∪(2，＋∞ ) D．(－∞， 0)∪[2，＋∞ )
10．已知函数在区间上有最大值 3，最小值 2，则的取值范围是 ( )
A． B ．
C．
D．
11．对于任意两个正整数 , 定义某种运算“※”如下: 当都为正偶数或正奇数时 , ※ =; 当中
一个为正偶数 , 另一个为正奇数时 , ※=．则在此定义下 , 集合※中的元素个数是
C．(－2，－ 1)∪(1,2) D．(－ 4，－ 2)∪(2,4)
3．命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是 ( )
A ．所有不能被 2 整除的整数都是偶数
B．所有能被 2 整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被 2 整除的整数是偶数
D．存在一个能被 2 整除的整数不是偶数
4．设函数，则满足的 x 的取值范围是 ( )
得最小值 5.
14. ∵函数在定义域 (0，＋∞)上递减，∴a＋ 1＞ 0， 3－ 2a＞0，a＋1＞3－2a， 即＜ a＜.
15. 7 设至少需要计算 n 次，则 n 满足，即，由于，故要达到精确度要求至少需要计 算 7 次．
16. ②③ ① f(x) ＝ax2＋bx＋ c 在 [0，＋∞)上是增函数， 则必有 a＞ 0，，故①不正确． ② x ＝1 且 y＝2，则 x＋y＝3. 从而逆否命题是充分不必要条件，故②正确．
∴Δ＝16a2－4(2a＋6)＝0, ∴2a2－a－3＝0, ∴a＝－ 1 或 a ＝. (2)∵对一切 x∈R 函数值均为非负，∴Δ＝8 (2a2－a －3) ≤,０∴－1≤a≤，∴a＋3＞0，
∴f(a)＝2－a|a＋ 3|＝－ a2－ 3a＋2＝－ . ∵二次函数 f(a)在上单调递减， ∴≤ f(a) ≤－f1()，即－≤f(a) ≤4，∴f(a) 的值域为 [－， 4]. 19 解：（ 1）因为为偶函数，所以
③数列 { an}( n∈N*)是等差数列的充要条件是
Sn Pn n， n 是共线的．
三、 解答题 : 本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .
17. （本小题满分 12 分）
已知集合
A＝{
x∈
3 R|x＋
1≥1}
，集合
B＝{ x∈R|y＝
－x2＋x－m＋m2} ，若 A∪ B＝ A，
即，∴ ∴，∴ (2）依题意知： ∴由得
∴﹡ 令 ，则 * 变为 只需其有一正根 . (1 ） 不合题意 (2 ）* 式有一正一负根， 经验证满足 (3 ）两相等正根， 经验证 20 解： (1)由题意：当 0≤x≤20 时， v(x) ＝60；当 20≤x≤200 时，设 v(x) ＝ax＋ b， 再由已知得 200a＋b＝0，20a＋b＝60，解得 a＝－， b＝.
( Ⅰ) 求的值 ;
( Ⅱ) 若方程有且只有一个根 , 求实数的取值范围 . 20．（本小题满分 12 分） 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的
车流速度 v(单位：千米 /小时 )是车流密度 x(单位：辆 /千米 )的函数，当桥上的车流密度
达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆 /千米时， 车流速度为 60 千米 /小时．研究表明：当 20≤x≤200 时，车流速度 v 是车流密度 x 的 一次函数．
③若 {an}是等差数列，则 Sn＝ An2＋Bn，即＝ An ＋B，故③正确． 三、解答题 17 解：由题意得： A ＝{x ∈ R|}＝ (－1,2]，
B＝{x ∈ R|x2－x＋m－ m2≤ 0＝} {x ∈R|(x－ m)(x－1＋m)≤ 0} 由 A ∪B＝A 知 B? A，得－ 1＜m≤2 ，－ 1＜1－ m≤2， 解得：－ 1＜ m＜2. 18 解： (1)∵函数的值域为[0，＋∞)，
y≤1
，上的一个动点，试确定角 θ 的取值范
围，并求函数 f(θ)的最小值和最大值．
和最大值．
高三第一次月考数学参考答案
一、选择题
1. B , 所以 , 选 B．
2. B 由，得 f(x) 的定义域为 {x|－2＜x ＜2}.
故－ 2 ＜＜ 2，－ 2＜＜ 2.解得 x∈(－4，－ 1) ∪(1, 4)．
9
5 1, 当且
x1
x1
仅当 ,
即 , 所以时取等号 , 所以 , 所以 , 又 , 所以选 B.
9. C 由题可知，集合 A ＝ {y|y ＞0} ， B＝ {y|y ≤ 2，} 所以 A －B＝ {y|y ＞ 2} ， B－A ＝
{y|y ≤ 0，}
所以 A⊕B＝( －∞，0] ∪(2 ，＋∞) ，故选 C.
设函数 f ( θ )＝ 3sin θ＋ cos θ，其中，角 θ 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴非
负半轴重合，终边经过点 P(x ， y)，且 0≤ θ≤π .
13 (1)若点 P 的坐标为 ( ， )，求 f(θ )的值；
22
x＋y≥1 (2)若点 P(x ， y)为平面区域 Ω ： x≤1
求实数 m 的取值范围．
ห้องสมุดไป่ตู้18．（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)＝x2＋ 4ax＋2a＋ 6.
(1)若函数 f(x)的值域为 [0，＋∞ )，求 a 的值；
(2)若函数 f(x)的函数值均为非负数，求 f(a)＝ 2－ a|a＋ 3|的值域．
19．（本小题满分 12 分）
已知函数为偶函数 .
3 . D 否定原题结论的同时要把量词做相应改变，故选 D. 4. D
5. C 对于时有是一个偶函数 .
6. D
7. B 因为函数为偶函数 , 所以 , 即函数关于对称 ,
所以区间关于对称 , 所以 , 即 , 所以选 B．
9 8 B , 因为 , 所以 , 所以由均值不等式得 y x 1+
5 2 ( x 1)
10. D11. B
12 .A 画出两个函数图象可看出交点有 10 个 ．
二、填空题
13. 5 A ∩B≠?说明直线与平面区域有公共点， 因此问题转化为： 求当 x，y 满足约束条
件 x≥１，x≤ｙ，2x－y≤１时，目标函数 m＝ 3x＋2y 的最小值．在平面直角坐标系
中画出不等式组表示的可行域． 可以求得在点 (1,1) 处，目标函数 m＝3x＋2y 取
A． B ．
C．
D．
7．已知函数的定义域为 , 且为偶函数 , 则实数的值可以是（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数 , 当 x=a 时, 取得最小值 , 则在直角坐标系中 , 函数的大致图象为
9．对于集合 M、N，定义 M－N＝{ x|x∈ M 且 x?N} ， M⊕N＝(M－N)∪ (N－M)，设 A＝ { y|y＝3x， x∈R} ， B＝ { y|y＝－ (x－1)2＋ 2， x∈ R} ，则 A⊕B 等于 ( )
故函数 v(x) 的表达式为 (2)依题意并由 (1)可得
. 当 0≤x≤20 时， f(x) 为增函数，故当 x＝20 时，其最大值为 60×20＝ 1200； 当 20 ≤x≤200 时，≤， 当且仅当 x＝200 － x，即 x＝100 时，等号成立． 所以，当 x＝100 时， f(x) 在区间 [20,200] 上取得最大值 . 综上，当 x＝100 时， f(x) 在区间 [0,200] 上取得最大值≈3333 ， 即当车流密度为 100 辆/千米时 ，车流量可以达到最大， 最大值约为 3333 辆/小时． 21 解： 2x＞ m(x2＋1) 可化为 mx2－2x＋m＜ 0. 若 p：? x∈R, 2x＞m(x2＋1)为真， 则 mx2－2x＋m＜0 对任意的 x∈ R 恒成立． 当 m＝0 时，不等式可化为－ 2x＜ 0，显然不恒成立； 当 m≠０时，有 m＜0，Δ= 4－4m2＜ 0， ∴m＜－ 1. 若 q：? x0∈ R，＋ 2x0－m－1＝0 为真， 则方程 x2＋2x－ m－1＝0 有实根， ∴Δ=4＋ 4(m＋1)≥0，∴m≥－2. 又 p∧q 为真，故 p、q 均为真命题． ∴m＜－ 1 且 m≥－2，∴－2≤m＜－ 1. 22 解： (1) 由点 P 的坐标和三角函数的定义可得 sin θ＝， cos θ＝ . 于是 f( θ＝）sin θ＋cos θ＝＝ 2. (2) 作出平面区域Ω (即三角区域 ABC )如图所示，其中 A(1,0)， B(1,1)，C(0,1)． 于是 0≤θ≤. 又 f( θ＝）sin θ＋cos θ＝2sin( ＋θ)，且≤θ＋≤， 故当 θ＋＝，即 θ＝时， f( θ取）得最大值，且最大值等于 2 ； 当 θ＋＝，即 θ＝ 0 时， f( θ取）得最小值，且最小值等于 1.
A．， 2]
B．[0 ， 2]
2019-2020学年江苏省南通市启东中学高三(上)第一次月考数学试卷1 (含答案解析)
2019-2020学年江苏省南通市启东中学高三（上）第一次月考数学试卷1一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 设集合A ={x|x >2}，B ={x|x <4}，则A ∩B =______．2. 已知f(x)=ln(e 2x +1)+kx 是偶函数，则k =________.3. “x >1”是“x 2>x ”的__________条件．(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”) 4. 幂函数f(x)=(m 2−3m +3)x m2−2m+1在区间(0,+∞)上是增函数，则m =______．5. 直线3x +√3y −6=0的倾斜角为_________6. 若命题“∃x 0∈R ，x 02+x 0+m <0”是假命题，则实数m 的范围是______．7. 若tanα+1tanα=103,α∈(π4,π2)，则sin (2α+π4)+2cos π4cos 2α的值为 ．8. 已知函数f(x)={x −1,x <0log 2x −3,x >0，则f(16)+f(−12)=______．9. 如果直线l ：y =kx −1(k >0)与双曲线x 216−y 29=1的一条渐近线平行，那么k = ______ ．10. 将函数f(x)=sin (ωx −π6)(ω>0)的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线x =π对称，则ω的最小值为 ．11. 已知函数f(x)={|x +1|,x ≤0|log 2x|,x >0，若方程f(x)=a(a ∈R)有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则(x 1+x 2)x 4的取值范围是______ ． 12. 如图，已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点恰好是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F ，且两条曲线的交点连线也过焦点F ，则该椭圆的离心率为___________．13. 已知tanα+2tanα−1=2，则sinα+2cosαsinα−3cosα=______．14. 已知函数f (x )={e x ,x ≤01−x 2,x >0，若关于x 方程，f[f(x)]−1=m 有两个不同的根x 1,x 2，则x 1+x 2的取值范围是 ．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15. 已知p ：函数f(x)=lg(ax 2−x +116a)的定义域为R ；q ：a ≥1.如果命题“p ∨q 为真，p ∧q 为假”，求实数a 的取值范围．16.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b，A−C=π3，求sin B的值．17.椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，两个焦点分别为F1(−1,0)，F2(1,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)过点F2(1,0)的直线l交椭圆C于M，N两点，设点N关于x轴的对称点为Q(M、Q不重合)，求证：直线MQ过x轴上一个定点．18.在水域上建一个演艺广场，演艺广场由看台Ⅰ，看台Ⅱ，三角形水域ABC，及矩形表演台BCDE四个部分构成(如图)，看台Ⅰ，看台Ⅱ是分别以AB，AC为直径的两个半圆形区域，且看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，矩形表演台BCDE中，CD=10米，三角形水域ABC的面积为400√3平方米，设∠BAC=θ．(1)求BC的长(用含θ的式子表示)；(2)若表演台每平方米的造价为0.3万元，求表演台的最低造价．19.已知函数f(x)=x2+2x，g(x)=xe x．(1)求f(x)−g(x)的极值；(2)当x∈(−2,0)时，f(x)+1≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围．20.已知函数f(x)=(ax+b)e x−1的极值点为−1．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)若x≥0时，f(x)≥2x−1，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：(2,4)解析：解：集合A={x|x>2}=(2,+∞)；B={x|x<4}=(−∞,4)；∴A∩B=(2,4)．故答案为：(2,4)．根据交集的定义进行求解即可．本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题目．2.答案：−1解析：【分析】本题考查了函数的奇偶性问题，是一道基础题．根据函数的奇偶性的定义证明即可．【解答】解：f(−x)=ln(e−2x+1)−kx=ln (e2x+1)e2x−kx=ln(e2x+1)−lne2x−kx=ln(e2x+1)−2x−kx=ln(e2x+1)+(−k−2)x =ln(e2x+1)+kx，故−k−2=k，解得：k=−1，故答案为−1.3.答案：充分不必要解析：【分析】本题考查了充分条件与必要条件的判断，为基础题．此题还需解一元二次不等式．解：由x2>x得：x>1或x<0，∴“x>1”是“x2>x”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．4.答案：2解析：解：若幂函数f(x)=(m2−3m+3)x m2−2m+1在区间(0,+∞)上是增函数，则由m2−3m+3=1解得：m=2或m=1，m=2时，f(x)=x，是增函数，m=1时，f(x)=1，是常函数，故答案为：2．根据幂函数的定义求出m的值，判断即可．本题考查了幂函数的定义，考查函数的单调性问题，是一道基础题．5.答案：120∘解析：【分析】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，利用直线的倾斜角与斜率之间的关系即可得出．【解答】解：解：设倾斜角为θ，∵直线3x+√3y−6=0，，θ=120∘，故答案为120∘．6.答案：解析：本题考查了特称命题与全称命题之间的关系，解题时应注意特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，是基础题．写出该命题的否定命题，根据否定命题求出m的取值范围即可．【解答】解：命题“∃x0∈R，x02+x0+m<0”是假命题，它的否定命题是“∀x∈R，有x2+x+m≥0”，是真命题，即1−4m≤0；解得m≥14，∴m的取值范围是[14,+∞)．故答案为[14,+∞)．7.答案：0解析：【分析】本题考查同角三角函数关系，二倍角公式，考查和角的正弦公式，考查学生的计算能力，正确运用和角的正弦公式是关键，属基础题．【解答】解：∵tanα+1tanα=103，∴sinαcosα+cosαsinα=103，∴1sin2α=53，∴sin2α=35，∵α∈(π4,π2 )，∴cos2α=−45，=35×√22+(−45)×√22+√22(1−45)=0．故答案为0．8.答案：−1解析：本题考查函数值的求法以及分段函数，考查运算求解能力，属于基础题．推导出f(16)=log 216−3=1，f(−12)=(−12)−1=−2，由此能求出f(16)+f(−12)的值． 【解答】解：∵函数f(x)={x −1,x <0log 2x −3,x >0, ∴f(16)=log 216−3=1， f(−12)=(−12)−1=−2， ∴f(16)+f(−12)=1−2=−1． 故答案为−1．9.答案：34解析：解：双曲线x 216−y 29=1的渐近线方程为y =±34x ，由直线l ：y =kx −1(k >0)与双曲线x 216−y 29=1的一条渐近线平行，可得k =34． 故答案为：34．求出双曲线的渐近线方程，由两直线平行的条件：斜率相等，即可得到所求k 的值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查两直线平行的条件：斜率相等，考查运算能力，属于基础题．10.答案：12解析： 【分析】本题考查三角函数的图象与性质，考查图象的平移，属于基础题． 依题意，的图象关于直线x =π对称，得ω=3k+24，k ∈Z ，从而求得结果．【解答】 解：的图象向左平移π3个单位后得，所以的图象关于直线x =π对称，所以ωπ+ωπ3−π6=kπ+π2，k ∈Z ，ω=3k+24，k ∈Z ，又ω>0，所以ω的最小值为12， 故答案为12．11.答案：[−4,−2)解析：解：由题意作函数f(x)={|x +1|,x ≤0|log 2x|,x >0与y =a 的图象如下，，结合图象可知，x 1+x 2=−2，0<log 2x 4≤1， 故x 1+x 2=−2，1<x 4≤2， 故−4≤(x 1+x 2)x 4<−2， 故答案为：[−4,−2)．由题意作函数f(x)={|x +1|,x ≤0|log 2x|,x >0与y =a 的图象，从而可得x 1+x 2=−2，0<log 2x 4≤1，从而解得．本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用．12.答案：√2−1解析： 【分析】本题考查抛物线与椭圆的综合问题．在研究圆锥曲线问题时，用定义来解题是比较常用的方法.先把对应图形画出来，求出对应焦点和点A 的坐标(都用p 写)，利用椭圆定义求出2a 和2c 就可找到椭圆的离心率． 【解答】解：由题可得图，设椭圆另一焦点为E ，因为抛物线y2=4px(p>0)的焦点F(p,0)把x=p代入y2=4px解得y=±2p，所以A(p,2p)又E(−p,0)．故|AE|=2√2p，|AF|=2p，|EF|=2p．所以2a=|AE|+|AF|=(2√2+2)p，2c=2p．椭圆的离心率e=ca=√2−1．故答案为√2−1．13.答案：6解析：解：由tanα+2tanα−1=2，得tanα=4．∴sinα+2cosαsinα−3cosα=tanα+2tanα−3=4+24−3=6．故答案为：6．由已知求得tanα，再由同角三角函数的基本关系式化弦为切求得sinα+2cosαsinα−3cosα的值．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．14.答案：[3ln2+1,+∞)解析：【分析】本题考查分段函数，复合函数的运用，再利用分类讨论的思想解题，属于难题．令t=f(x)−1则有t≤0，再分类讨论求出x1+x2的取值范围．【解答】解：f(x)的图象如图所示：令t=f(x)−1，则有t≤0(1)当−12≤t≤0时，x只有1个解，设此时的解为x0,则t=f(x0)−1，易知−ln2≤x0≤0，由图可知f(x)=x0只有一个解，故不成立；(2)当−1<t<−12时，x有2个解，不妨设此时的解为x3,x4，且x3<x4，则t=f(x3)−1，t=f(x4)−1，即f(x3)=f(x4)，e x3=1−x42，推出x3=ln(1−x42)，所以有x3<−ln2,0<x4<1，由图象可得，f(x)=x3有且仅有一个解，而f(x)=x4只有当12≤x4<1才满足只有一个解，此时满足题意，设x1<0,x2>0，则e x1=x4,1−x22=x3，所以x1=lnx4,x2=1−2x3，所以x1+x2=lnx4+1−2x3=lnx4−2ln(1−x4)+2ln2+1，且12≤x4<1，令g(x)=lnx−2ln(1−x)+2ln2+1，12≤x<1，易知g(x)在定义域上单调增，g(x)min=g(12)=3ln2+1，无最大值，所以g(x)∈[3ln2+1,+∞)；(3)当t≤−1时，x只有1个解，设此时的解为x0,则t=f(x0)−1，易知x0≥1，由图可知f(x)=x0最多只有一个解，故不成立．综上所述，可知x1+x2的取值范围是[3ln2+1,+∞)．故答案为[3ln2+1,+∞)．15.答案：解：由p真，可知{a>0Δ=1−4a×116a<0，解得a>2，由p∨q为真，p∧q为假，可得：p和q中一个为真、一个为假．若p真q假时a不存在，若p假q真时1≤a≤2．综上，实数a的取值范围是1≤a≤2．解析：由p真，可知{a>0Δ=1−4a×116a<0，解得a，由p∨q为真，p∧q为假，可得：p和q中一个为真、一个为假．即可解出．本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：解：△ABC中，由题意利用正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，∴2sin A+C2cos A−C2=4sin B2cos B2，化简可得cos A−C2=2sin B2，即√32=2sin B2，解得sin B2=√34∴cos B2=√134．∴sinB=2sin B2cos B2=√398．解析：△ABC中，由题意利用正弦定理可得sinA+sinC=2sinB，故有2sin A+C2cos A−C2=4sin B2cos B2，化简可得sin B2=√34，故cos B2=√134.再根据sinB=2sin B2cos B2，计算求得结果．本题主要考查正弦定理的应用，两角和差的三角公式、诱导公式、二倍角公式的应用，属于中档题．17.答案：解：(1)∵依题意，{c=1ca=√22，∴c=1,a=√2，∴b=√a2−c2=1，∴椭圆的方程为x22+y2=1；(2)∵设M(x1,y1)，N(x2,y2)，Q(x2,−y2)，l：y=k(x−1)，代入x22+y2=1(y≠0)，∴整理得(1+2k2)x2−4k2x+2k2−2=0，∵由韦达定理可得：x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2−21+2k2，∴MQ的方程为y−y1=y1+y2x1−x2(x−x1)，∵令y=0，∴得x=x1+y1(x2−x1)y1+y2=x1+k(x1−1)(x2−x1)k(x1+x2−2)=2x1x2−(x1+x2)x1+x2−2，代入x1+x2=4k21+2k2，x1x2=2k2−21+2k2，∴x=2x1x2−(x1+x2)x1+x2−2=2×2k2−21+2k2−4k21+2k24k21+2k2−2=2，即：x=2，∴直线过x轴上的一个定点，定点坐标为(2,0)．解析：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．(1)通过椭圆的离心率与焦距，求出a，c，得到b，即可求出椭圆C的方程；(2)依题意，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，Q(x2,−y2)，l：y=k(x−1)，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合MQ的方程为y−y1=y1+y2x1−x2(x−x1)，令y=0，化简求解可得x=2，得到直线MQ过x轴上一个定点．18.答案：解：(1)∵看台Ⅰ的面积是看台Ⅱ的面积的3倍，∴12π(AB2)2=3×12π(AC2)2，∴AB=√3AC，∵S△ABC=12AB⋅AC⋅sinθ=√32AC2sinθ=400√3，∴AC2=800sinθ，∴AB2=2400sinθ，在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB2+AC2−2AB⋅ACcosθ=3200−1600√3cosθsinθ，∴BC=40√2−√3cosθsinθ．(2)设表演台的造价为y万元，则y=120√2−√3cosθsinθ，设f(θ)=2−√3cosθsinθ(0<θ<π)，则f′(θ)=√3−2cosθsin2θ，∴当0<θ<π6时，f′(θ)<0，当π6<θ<π时，f′(θ)>0，∴f(θ)在(0,π6)上单调递减，在(π6,π)上单调递增，∴当θ=π6时，f(θ)取得最小值f(π6)=1，∴y的最小值为120，即表演台的最小造价为120万元．解析：本题考查了解三角形，函数最值计算，余弦定理，属于中档题．(1)根据看台的面积比得出AB，AC的关系，代入三角形的面积公式求出AB，AC，再利用余弦定理计算BC；(2)根据(1)得出造价关于θ的函数，利用导数判断函数的单调性求出最小造价．19.答案：解：(1)令ℎ(x)=f(x)−g(x)，则ℎ′(x)=(x+1)(2−e x)，∴ℎ(x)极小值=ℎ(−1)=1e−1，∴ℎ(x)极大值=ℎ(ln2)=ln22；(2)由已知，当x∈(−2,0)时，x2+2x+1≥axe x恒成立即a≥x2+2x+1xe x =x+2+x−1e x恒成立，令t(x)=x+2+x−1e ，则t′(x)=−(x2+1)(x+1)x e，∴当x∈(−2,−1)时，t′(x)>0，t(x)单调递增，当x∈(−1,0)时，t′(x)<0，t(x)单调递减，故当x∈(−2,0)时，t(x)max=t(−1)=0，∴a≥0．解析：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查恒成立问题的等价转化能力及计算能力，属于中档题．(1)令ℎ(x)=f(x)−g(x)，求导数，确定函数的单调性，即可求f(x)−g(x)的极值；(2)当x∈(−2,0)时，x2+2x+1≥axe x恒成立，即a≥x2+2x+1xe x =x+2+x−1e x恒成立，求出右边的最大值，即可求实数a的取值范围．20.答案：解：(Ⅰ)函数f(x)的导数为f′(x)=(ax+b+a)⋅e x−1，由题意可得f′(−1)=0，即(−a+a+b)e−2=0，解得b=0；则f′(x)=ae x−1(x+1)，当a=0时，函数f(x)=e x−1无极值，不符合题意．当a>0时，f(x)在(−1,+∞)上递增，在(−∞,−1)上递减；当a<0时，f(x)在(−1,+∞)上递减，在(−∞,−1)上递增；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知f(x)=axe x−1，设g(x)=axe x−1−2x+1，若x≥0时，f(x)≥2x−1，必有g(1)=a−2+1≥0⇒a≥1，故a≥1是命题成立的一个必要条件．当a≥1，x≥0时，g′(x)=ae x−1(x+1)−2，令ℎ(x)=g′(x)ℎ′(x)=ae x−1(x+2)>0，故g′(x)在[0,+∞)单调递增，g′(x)min=g′(0)=ae−2．①当a≥2e时，g′(x)min≤0，g(x)在[0,+∞)单调递增，g(x)≥g(0)=1>0，②当1≤a<2e时，存在x0∈(0,1)，使得g′(x0)=ae x0−1(x0+1)−2=0，且当x∈(0,x0)时，g′(x)<0，g(x)递减，x∈(x0,+∞)时，g′(x)>0，g(x)递增，∴g(x)≥g(x0)=ax0e x0−1−2x0+1=2x0x0+1−2x0+1=5−2(1x0+1+x0+1)．∵x0∈(0,1)，∴令t=x0+1，t∈(1,2)．设函数m(t)=5−2t−2t，t∈(1,2)，又m′(t)=2t2−2≤0，∴m(t)单调递减，∴m(t)>m(2)=0．∴g(x)≥g(x0)=ax0e x0−1−2x0+1=5−2(1+x0+1)>0，x0+1综上，a的取值范围为[1,+∞)．解析：本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查不等关系的求解，属于较难题．(Ⅰ)函数f(x)的导数为f′(x)=(ax+b+a)⋅e x−1，求出b的值，然后对a分类讨论，利用导数求出函数的单调性与极值即可；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知f(x)=axe x−1，构造函数g(x)=axe x−1−2x+1，然后利用导数求出函数的单调性与最值，求出a的范围可得答案．。
2024-2025学年湖北省襄阳市高三上学期10月月考数学检测试题(含解析)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符2024-2025学年湖北省襄阳市高三上学期10月月考数学检测试题合题目要求的．1. 已知集合31A x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭Z Z ，则用列举法表示A =（ ）A. {}2,0,1,2,4- B. {}2,0,2,4- C. {}0,2,4 D. {}2,4【答案】B 【解析】【分析】由题意可得1x -可为1±、3±，计算即可得.【详解】由题意可得1x -可为1±、3±，即x 可为0,2,2,4-，即{}2,0,2,4A =-.故选：B.2. 设3i,ia a z +∈=R ，其中i 为虚数单位.则“1a <-”是“z >”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】首先根据复数代数形式的除法运算化简z ，再求出z，令z >a 的取值范围，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为23i 3i 3i i ia az a +-===-，所以z =令z >>1a >或1a <-，所以1a <-推得出z >，故充分性成立；由z >推不出1a <-，故必要性不成立；所以“1a <-”是“z >的充分不必要条件.故选：A3. 已知向量a ，b 不共线，且c a b λ=+ ，()21d a b λ=++ ，若c 与d 同向共线，则实数λ的值为（ ）A. 1B.12C. 1或12-D. 1-或12【答案】B 【解析】【分析】先根据向量平行求参数λ，再根据向量同向进行取舍.【详解】因为c与d 共线，所以()2110λλ+-=，解得1λ=-或12λ=.若1λ=-，则c a b =-+，d a b =- ，所以d c =- ，所以c 与d 方向相反，故舍去；若12λ=，则12c a b =+ ，2d a b =+ ，所以2d c = ，所以c与d 方向相同，故12λ=为所求.故选：B4. 已知3322x y x y ---<-，则下列结论中正确的是（ ）A. ()ln 10y x -+> B. ln0yx> C. ln 0y x +> D. ln 0y x ->【答案】A 【解析】【分析】构造函数()32xf x x -=-，利用()f x 的单调性可得x y <，进而可得.【详解】由3322x y x y ---<-得3322x y x y ---<-，设()32xf x x -=-，因函数3y x =与2x y -=-都是R 上的增函数，故()f x 为R 上的增函数，又因3322x y x y ---<-，故x y <，()ln 1ln10y x -+>=， 故A 正确，因y x，y x +，y x -与1的大小都不确定，故B ，C ，D 错误，故选：A5. 从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个组成一个没有重复数字的“五位凹数12345a a a a a ”（满足12345a a a a a >><<），则这样的“五位凹数”的个数为（ ）A. 126个 B. 112个 C. 98个 D. 84个【答案】A 【解析】【分析】利用分步乘法计数原理可得.【详解】第一步，从0，1，2，3，4，5，6这7个数中任选5个共有57C 种方法，第二步，选出的5个数中，最小的为3a ，从剩下的4个数中选出2个分给12,a a ，由题意可知，选出后1245,,,a a a a 就确定了，共有24C 种方法，故满足条件的“五位凹数”5274C C 126=个，故选：A6. 若数列{}n a 满足11a =，21a =，12n n n a a a --=+（3n ≥，n 为正整数），则称数列{}n a 为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则下列结论成立的是（ ）A. 78a = B. 135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=C. 754S = D. 24620202021a a a a a +++⋅⋅⋅+=【答案】B 【解析】【分析】按照斐波那契数列的概念，找出规律,得出数列的性质后逐个验证即可.【详解】解析：按照规律有11a =，21a =，32a =，43a =，55a =，68a =，713a =，733S =，故A 、C 错；21112123341n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a S ++--------=+=+++=+++++==+ ，则202020181220183520191352019111a S a a a a a a a a a a =+=++++=++++=++++ ，故B 对；24620202234520182019a a a a a a a a a a a ++++=+++++++ 1234520182019201920211a a a a a a a S a =+++++++==- ，故D 错．故选:B ．7. 已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，A ，B 是椭圆C 上的两点．若122F A F B = ，且12π4AF F ∠=，则椭圆C 的离心率为（ ）A13B.C.D.23【答案】B 【解析】【分析】设1AF =，结合题意可得2AF，根据椭圆定义整理可得22b c m -=，根据向量关系可得1F A ∥2F B，且2BF =2b c m+=，进而可求离心率.【详解】由题意可知：()()12,0,,0F c F c -，设1,0AF m =>，因为12π4AF F ∠=，则()2,2A c m m -+，可得2AF =由椭圆定义可知：122AF AF a+=，即2a +=，整理可得22b c m-=；又因为122F A F B = ，则1F A ∥2F B，且2112BF AF ==，则(),B c m m +，可得1BF =由椭圆定义可知：|BF 1|+|BF 2|=2a2a =，.2bcm+=；即2c c-=+3c=，所以椭圆C的离心率cea==.故选：B.【点睛】方法点睛：椭圆的离心率(离心率范围)的求法求椭圆的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e的值．8. 圆锥的表面积为1S，其内切球的表面积为2S，则12SS的取值范围是（）A. [)1,+∞ B. [)2,+∞C. )∞⎡+⎣ D.[)4,+∞【答案】B【解析】【分析】选择OBC∠（角θ）与内切球半径R为变量，可表示出圆锥底面半径r和母线l，由圆锥和球的表面积公式可得()122212tan1tanSSθθ=-，再由2tan(0,1)tθ=∈换元，转化为求解二次函数值域，进而得12SS的取值范围.【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，圆锥内切球半径为R，如图作出圆锥的轴截面，其中设O为外接圆圆心，,D E为切点，,AB AC为圆锥母线，连接,,,OB OD OA OE.设OBCθ∠=，tanRrθ=，0tan1θ<<tanRrθ∴=.OD AB⊥，OE BC⊥，πDBE DOE∴∠+∠=，又πAOD DOE∠+∠=，2AOD DBE θ∴∠=∠=，tan 2AD R θ∴=，22tan 2tan Rl r AD BD r AD r R θθ∴+=++=+=+，则圆锥表面积()21πππS r rl r l r =+=+，圆锥内切球表面积224πS R =，所求比值为()212222π2tan 21tan 1tan tan 4π2tan 1tan R R R S S R θθθθθθ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭==-，令2tan 0t θ=>，则()2211()2122222g t t t t t t ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，则10()2g t <≤，且当12t =时，()g t 取得最大值12，故122S S ≥，即12S S 的取值范围是[)2,+∞.故选：B.【点睛】关键点点睛：求解立体几何中的最值问题一般方法有两类，一是设变量（可以是坐标，也可以是关键线段或关键角）将动态问题转化为代数问题，利用代数方法求目标函数的最值；二是几何法，利用图形的几何性质，将空间问题平面化，将三维问题转化为二维问题来研究，以平面几何中的公理、定义、定理为依据，以几何直观为主要手段直接推理出最值状态何时取到，再加以求解.二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 设A ，B 为随机事件，且()P A ，()P B 是A ，B 发生的概率. ()P A ，()()0,1P B ∈，则下列说法正确的是（ ）A. 若A ，B 互斥，则()()()P A B P A P B ⋃=+B. 若()()()P AB P A P B =，则A ，B 相互独立C 若A ，B 互斥，则A ，B 相互独立D. 若A ，B 独立，则()(|)P B A P B =【答案】ABD 【解析】【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A 选项；由相互独立事件的概念可判断B 选项；由互斥事件和相互独立事件的概念可判断C 选项；由相互独立事件的概念，可判断D 选项.【详解】对于选项A ，若,A B 互斥，根据互斥事件的概率公式，则()()()P A B P A P B ⋃=+，所以选项A 正确，.对于选项B ，由相互独立事件概念知，若()()()P AB P A P B =，则事件,A B 是相互独立事件，所以选项B 正确，对于选项C ，若,A B 互斥，则,A B 不一定相互独立，例：抛掷一枚硬币的试验中，事件A ：“正面朝上”，事件B ：“反面朝上”，事件A 与事件B 互斥，但()0P AB =，1()()2P A P B ==，不满足相互独立事件的定义，所以选项C 错误，对于选项D ，由相互独立事件的定义知，若A ，B 独立，则()(|)P B A P B =，所以选项D 正确，故选：ABD.10. 已知函数()sin sin cos 2f x x x x =-，则（ ）A. ()f x 的图象关于点(π,0)对称B. ()f x 的值域为[1,2]-C. 若方程1()4f x =-在(0,)m 上有6个不同的实根，则实数m 的取值范围是17π10π,63⎛⎤⎥⎝⎦D. 若方程[]22()2()1(R)f x af x a a -+=∈在(0,2π)上有6个不同的实根(1,2,,6)i x i = ，则61i i ax =∑的取值范围是(0,5π)【答案】BCD 【解析】【分析】根据(2π)()f f x =-是否成立判断A ，利用分段函数判断BC ，根据正弦函数的单调性画出分段函数()f x 的图象，求出的取值范围，再利用对称性判断D.【详解】因为()sin sin cos 2f x x x x =-，所以(2π)sin(2π)sin(2π)cos 2(2π)sin sin cos 2()f x x x x x x x f x -=----=--≠-，所以()f x 的图象不关于点(π,0)对称，故A 错误；当sin 0x ≥时，()222()sin 12sin 3sin 1f x x x x =--=-，由[]sin 0,1x ∈可得[]()1,2f x ∈-，当sin 0x <时，()222()sin 12sin sin 1f x x x x =---=-，由[)sin 1,0x ∈-可得(]()1,0f x ∈-，的综上[]()1,2f x ∈-，故B 正确：当sin 0x ≥时，由21()3sin 14f x x =-=-解得1sin 2x =，当sin 0x <时，由21()sin 14f x x =-=-解得sin x =，所以方程1()4f x =-在(0,)+∞上的前7个实根分别为π6，5π6，4π3，5π3，13π6，17π6，10π3，所以17π10π63m <≤，故C 正确；由[]22()2()1f x af x a -+=解得()1f x a =-或()1f x a =+，又因为()223sin 1,sin 0sin 1,sin 0x x f x x x ⎧-≥=⎨-<⎩，所以根据正弦函数的单调性可得()f x 图象如图所示，所以()1f x a =-有4个不同的实根，()1f x a =+有2个不同的实根，所以110012a a -<-<⎧⎨<+<⎩，解得01a <<，设123456x x x x x x <<<<<，则1423πx x x x +=+=，563πx x +=，所以615πii x==∑，所以61i i a x =∑的取值范围是(0,5π)，故D 正确.故选：BCD.11. 在平面直角坐标系中，定义(){}1212,max ,d A B x x y y =--为两点()11,A x y 、()22,B x y 的“切比雪夫距离”，又设点P 及l 上任意一点Q ，称(),d P Q 的最小值为点P 到直线l 的“切比雪夫距离”，记作(),d P l ，给出下列四个命题，正确的是（ ）A 对任意三点,,ABC ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥；B. 已知点()2,1P 和直线:220l x y --=，则()83d P l =,；C. 到定点M 的距离和到M 的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.D. 定点()1,0F c -、()2,0F c ，动点(),P x y 满足()()()12,,2220d P F d P F a c a =>>-，则点P 的轨迹.与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点.【答案】AD 【解析】【分析】对于选项A ，根据新定义，利用绝对值不等性即可判断；对于选项B ，设点Q 是直线21y x =-上一点，且(,21)Q x x -，可得()1,max 2,22d P Q x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，讨论|2|x -，1|2|2x -的大小，可得距离d ，再由函数的性质，可得最小值；对于选项C ，运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；对于选项D ，根据定义得{}{}max ,max ,2x c y x c y a +--=，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断．【详解】A 选项，设()()(),,,,,A A B B C C A x y B x y C x y ，由题意可得：()(){}{},,max ,max ,,A C A CBC B C A C B C A B d C A d C B x x y y x x y y x x x x x x +=--+--≥-+-≥-同理可得：()(),,A B d C A d C B y y +≥-，则：()(){}(),,max ,,A B A B d C A d C B x x y y d A B +≥--=，则对任意的三点A ，B ，C ，都有()()(),,,d C A d C B d A B +≥；故A 正确；B 选项，设点Q 是直线220x y --=上一点，且1,12Q x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得()1,max 2,22d P Q x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，由1222x x -≥-，解得0x ≤或83x ≥，即有(),2d P Q x =-，当83x =时，取得最小值23；由1222x x -<-，解得803x <<，即有()1,22d P Q x =-，(),d P Q 的范围是2,23⎛⎫⎪⎝⎭，无最值，综上可得，P ，Q 两点的“切比雪夫距离”的最小值为23，故B 错误；C 选项，设(),M ab {}max ,x a y b =--，若y b x a -≥-，则y b =-，两边平方整理得x a =；此时所求轨迹为x a=(y b ≥或)y b ≤-若y b x a -<-，则x a =-，两边平方整理得y b =；此时所求轨迹为y b=(x a ≥或)x a ≤-，故没法说所求轨迹是正方形，故C 错误；D 选项，定点()1,0F c -、()2,0F c ，动点(),P x y 满足()()12,,2d P F d P F a -=（220c a >>），则：{}{}max ,max ,2x c y x c y a +--=，显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设x ≥0，y ≥0.(1)当x c yx c y ⎧+≥⎪⎨-≥⎪⎩时，有2x c x c a +--=，得：0x a y a c =⎧⎨≤≤-⎩；(2)当x c y x c y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩时，有02a =，此时无解；(3)当x c y x c y⎧+>⎪⎨-<⎪⎩时，有2,x c y a a x +-=<；则点P 的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.结合图像可知，点P 的轨迹与直线y k =（k 为常数）有且仅有2个公共点，故D 正确.故选：AD.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 若)nax的展开式的二项式系数和为32，且2x -的系数为80，则实数a 的值为________．【答案】―2【解析】【分析】由二项式系数和先求n ，再利用通项53215C ()r r rr T a x -+=-得到2x -的指数确定r 值，由2x -的系数为80，建立关于a 的方程求解可得.【详解】因为)na x-的展开式的二项式系数和为32，所以012C C C C 232nnn n n n ++++== ，解得5n =.所以二项式展开式的通项公式为5352155C ()C ()rr rr r rr a T a x x--+=-=-，由5322r-=-，解得3r =，所以2x -的系数为3335C ()1080a a -=-=，解得2a =-.故答案为：2-.13. 已知函数()()()2f x x a x x =--在x a =处取得极小值，则a =__________.【答案】1【解析】【分析】求得()()()221f x x x x a x =-+--'，根据()0f a ¢=，求得a 的值，结合实数a 的值，利用函数的单调性与极值点的概念，即可求解.【详解】由函数()()()2f x x a x x =--，可得()()()221f x x x x a x =-+--'，因为x a =处函数()f x 极小值，可得()20f a a a =-='，解得0a =或1a =，若0a =时，可得()(32)f x x x '=-，当0x <时，()0f x '>；当203x <<时，()0f x '<；当23x >时，()0f x '>，此时函数()f x 在2(,0),(,)3-∞+∞单调递增，在2(0,)3上单调递减，所以，当0x =时，函数()f x 取得极大值，不符合题意，（舍去）；若1a =时，可得()(1)(31)f x x x '=--，当13x <时，()0f x '>；当113x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，此时函数()f x 在1(,),(1,)3-∞+∞单调递增，在(0,1)上单调递减，所以，当1x =时，函数()f x 取得极小值，符合题意，综上可得，实数a 的值为1.故答案为：1.14. 数学老师在黑板上写上一个实数0x ，然后老师抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面向上，就将黑板上的数0x 乘以2-再加上3得到1x ，并将0x 擦掉后将1x 写在黑板上；如果反面向上，就将黑板上的数0x 除以2-再减去3得到1x ，也将0x 擦掉后将1x 写在黑板上．然后老师再抛掷一次硬币重复刚才的操作得到黑板上的数为2x ．现已知20x x >的概率为0.5，则实数0x 的取值范围是__________．【答案】()(),21,-∞-+∞ 【解析】【分析】构造函数()23f x x =-+，()32xg x =--，由两次复合列出不等式求解即可.【详解】由题意构造()23f x x =-+，()32xg x =--，则有()()43f f x x =-，()()9f g x x =+，()()92g f x x =-，()()342x g g x =-．因为()()f g x x >，()()g f x x <恒成立，又20x x >的概率为0.5，所以必有43,3,42x x x x ->⎧⎪⎨-≤⎪⎩或者43,3,42x x x x -≤⎧⎪⎨->⎪⎩解得()(),21,x ∈-∞-⋃+∞．故答案为：()(),21,-∞-+∞ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知()()()sin sin sin b c B C a c A +-=-.（1）求B ；（2）若ABC，且2AD DC = ，求BD 的最小值.【答案】（1）π3（2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得()()()b c b c a c a +-=-，再结合余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，从而可求解.（2）结合ABC V 的面积可求得3ac =，再由112333BD BC CA BA BC =+=+ ，平方后得，()222142993BD c a =++ ，再结合基本不等式即可求解.【小问1详解】由正弦定理得()()()b c b c a c a +-=-，即222a c b ac +-=，由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π3B =.【小问2详解】因为ABC V π3B =，所以1sin 2ac B =，所以3ac =.因为()11123333BD BC CA BC BA BC BA BC =+=+-=+，所以()()()()22222221421441422cos 999999993BD BA BC BA BC c a ac B c a =++⋅⋅=++=++ ，所以2214212222993333c a c a ++≥⋅⋅+=，当且仅当a c ==时取等号，所以BD .16. 已知抛物线2:2(0)E y px p =>与双曲线22134x y -=的渐近线在第一象限的交点为Q ，且Q 点的横坐标为3．（1）求抛物线E 的方程；（2）过点(3,0)M -的直线l 与抛物线E 相交于,A B 两点，B 关于x 轴的对称点为B '，求证：直线AB '必过定点．【答案】（1）24y x = （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由双曲线求其渐近线方程，求出点Q 的坐标，由此可求抛物线方程；（2）联立直线AB 的方程与抛物线方程可得关于x 的一元二次方程，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，()22,B x y '-，根据韦达定理求出12124,12y y m y y +==，求出直线AB '的方程并令0y =，求出x 并逐步化简可得3x =，则直线AB '过定点(3,0).【小问1详解】设点Q 的坐标为()03,y ，因为点Q 在第一象限，所以00y >，双曲线22134x y -=的渐近线方程为y x =，因为点Q在双曲线的渐近线上，所以0y =，所以点Q的坐标为(3,，又点(3,Q 在抛物线22y px =上，所以1223p =⨯，所以2p =，故抛物线E 的标准方程为：24y x =；【小问2详解】设直线AB 的方程为3x my =-，联立243y xx my ⎧=⎨=-⎩，消x 得，24120y my -+=，方程24120y my -+=的判别式216480m ∆=->，即230m ->，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则12124,12y y m y y +==，因为点A 、B 在第一象限，所以121240,120y y m y y +=>=>，故0m >，设B 关于x 轴的对称点为()22,B x y '-， 则直线AB '的方程为212221()y y y y x x x x ---+=-，令0y =得：212221x x x y x y y -=+-⨯-122121x y x y y y +=+()()12211233y my y my y y -+-=+()21121223my y y y y y -+=+241212344m m mm m-===．直线AB '过定点(3,0)．【点睛】方法点睛：联立直线AB 的方程与抛物线方程可得关于x 的一元二次方程，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，()22,B x y '-，根据韦达定理求出12124,12y y m y y +==，求出直线AB '的方程并令0y =，求出x 并逐步化简可得3x =，则直线AB '过定点(3,0).17. 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，,E F 分别为,AD BC 的中点，沿EF 将四边形EFCD 折起，使二面角A EF C --的大小为60°，点M 在线段AB 上．（1）若M 为AB 的中点，且直线MF 与直线EA 的交点为O ，求OA 的长，并证明直线OD //平面EMC ；（2）在线段AB 上是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°；若存在，求此时二面角M EC F --的余弦值，若不存在，说明理由．【答案】（1）2OA =；证明见解析.（2）存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60°；此时二面角M EC F --的余弦值为14.【解析】【分析】（1）根据中位线性质可求得OA ，由//MN OD ，结合线面平行判定定理可证得结论；（2）由二面角平面角定义可知60DEA ∠=︒，取AE ，BF 中点O ，P ，由线面垂直的判定和勾股定理可知OD ，OA ，OP 两两互相垂直，则以O 为坐标原点建立空间直角坐标系；设()1,,0M m ()04m ≤≤，利用线面角的向量求法可求得m ；利用二面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】,E F 分别为,AD BC 中点，////EF AB CD ∴，且2AE FB ==，又M 为AB 中点，且,AB OE AB BF ⊥⊥，易得OAM FBM ≅ ，2OA FB AE ∴===，连接,CE DF ，交于点N ，连接MN ，由题设，易知四边形CDEF 为平行四边形，N Q 为DF 中点，//,AM EF A 是OE 的中点，M ∴为OF 中点，//MN OD ∴，又MN ⊂平面EMC ，OD ⊄平面EMC ，//OD ∴平面EMC ；【小问2详解】////EF AB CD ，EF DE ⊥ ，EF AE ⊥，又DE ⊂平面CEF ，AE ⊂平面AEF ，DEA ∴∠即为二面角A EF C --的平面角，60DEA ∴=︒∠；取,AE BF 中点,O P ，连接,OD OP ，如图，60DEA ∠=︒ ，112OE DE ==，2414cos 603OD ∴=+-︒=，222OD OE DE +=，OD AE ∴⊥，//OP EF ，OP DE ⊥，OP AE ⊥，又,AE DE ⊂平面AED ，AE DE E = ，OP ∴⊥平面AED ，,OD AE ⊂ 平面AED ，,OD OP AE OP ∴⊥⊥，则以O 为坐标原点，,,OA OP OD方向为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示，则(D ，()1,0,0E -，()1,4,0F -，(0,C ，设()()1,,004M m m ≤≤，则(1,0,DE =-，()2,,0EM m =，(1,EC = ，设平面EMC 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1)，则1111111·20·40EM n x my EC n x y ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩，令12y =，则1x m =-，1z =1,m m ⎛∴=- ⎝，∵直线DE 与平面EMC 所成的角为60o ，·sin 60cos ,·DE n DE n DE n ∴︒==111==1m =或3m =，存在点M ，当1AM =或3AM =时，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60o ；设平面CEF 的法向量()2222,,n x y z=，又(1,EC = ，(FC =，2222222·40·0EC n x y FC n x ⎧=++=⎪∴⎨==⎪⎩，令21z =，则2x =，20y =，()2m ∴=；当1m =时，11,2,n ⎛=- ⎝，121212·1cos ,4·n n n n n n ∴=== ；当3m =时，23,2,n ⎛=- ⎝，121212·1cos ,4·n n n n n n ∴=== ；综上所述：二面角M EC F --的余弦值为14.【点睛】关键点点睛：本题第二步的关键在于证明三线互相垂直，建立空间直角坐标系，设出动点M 的坐标，熟练利用空间向量的坐标运算，求法向量，求二面角、线面角是解题的关键.18. 已知函数()12ex xf x x λ-=-.（1）当1λ=时，求()f x 图象在点(1,f (1))处的切线方程；（2）若1x ≥时，()0f x ≤，求λ的取值范围；（3）求证：()1111111232124e 2e*n n n n nnn ++++-+++->∈N .【答案】（1）0y = （2）[)1,+∞ （3）证明见详解【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）根据题意，由条件式恒成立分离参数，转化为212ln x x xλ≥+，求出函数()212ln xg x x x =+的最大值得解；（3）先构造函数()12ln x x x x ϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，可得()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，迭代累加可证得结果.【小问1详解】当1λ=时，()12ex xf x x -=-，f (1)=0，的则()12121e x x f x x x -⎛⎫=-+ ⎪⎝'⎭，则()0122e 0f =-='，所以()f x 在点(1,f (1))处的切线方程为0y =.【小问2详解】由1x ≥时，()0f x ≤，即12e0x xx λ--≤，整理得212ln x x xλ≥+，对1x ≥恒成立，令()212ln x g x x x =+，则()()42321ln 222ln x x x x x g x x x x---=-+'=，令()1ln h x x x x =--，1x ≥，所以()ln 0h x x '=-≤，即函数ℎ(x )在1x ≥上单调递减，所以()()10h x h ≤=，即()0g x '≤，所以函数()g x 在1x ≥上单调递减，则()()11g x g ≤=，1λ∴≥.【小问3详解】设()12ln x x x xϕ=-+，1x >，则()()222221212110x x x x x x x xϕ---+-='=--=<，所以φ(x )在(1,+∞)上单调递减，则()()10x ϕϕ<=，即12ln 0x x x-+<，11ln 2x x x ⎛⎫∴<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，*N n ∈，可得1111111ln 1112211n n n n n ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫+<+-=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭，所以()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭，()()111ln 2ln 1212n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，()()111ln 3ln 2223n n n n ⎛⎫+-+<+ ⎪++⎝⎭，…()()111ln 2ln 212212n n n n ⎛⎫--<+ ⎪-⎝⎭，以上式子相加得()112221ln 2ln 212212n n n n n n n ⎛⎫-<+++++ ⎪++-⎝⎭，整理得，11111ln 2412212n n n n n-<++++++-L ，两边取指数得，11111ln 2412212e e n n n n n -++++++-<L ，即得111114122122e e n n n n n -++++-<L ，()*Nn ∈得证.【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键是先构造函数()12ln x x x xϕ=-+，利用导数证明11ln 2x x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，1x >，令11x n=+，得到()111ln 1ln 21n n n n ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭.19. 已知整数4n …，数列{}n a 是递增的整数数列，即12,,,n a a a ∈Z 且12n a a a <<<．数列{}n b 满足11b a =，n n b a =．若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i b a --等于同一个常数k ，则称数列{}n b 为{}n a 的“左k 型间隔数列”；若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i a b +-等于同一个常数k ，则称数列{}n b 为{}n a 的“右k 型间隔数列”；若对于{}2,3,,1i n ∈- ，恒有1i i a b k +-=或者1i i b a k --=，则称数列{}n b 为{}n a 的“左右k 型间隔数列”．（1）写出数列{}:1,3,5,7,9n a 的所有递增的“左右1型间隔数列”；（2）已知数列{}n a 满足()81n a n n =-，数列{}n b 是{}n a 的“左k 型间隔数列”，数列{}n c 是{}n a 的“右k 型间隔数列”，若10n =，且有1212n n b b b c c c +++=+++ ，求k 的值；（3）数列{}n a 是递增的整数数列，且10a =，27a =．若存在{}n a 的一个递增的“右4型间隔数列{}n b ”，使得对于任意的{},2,3,,1i j n ∈- ，都有i j i j a b b a +≠+，求n a 的关于n 的最小值（即关于n的最小值函数()f n ）．【答案】（1）1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9． （2）80k =（3）()()382n n f n -=+【解析】【分析】（1）由“左右k 型间隔数列”的定义，求数列{}:1,3,5,7,9n a 的所有递增的“左右1型间隔数列”；（2）根据“左k 型间隔数列”和“右k 型间隔数列”的定义，由1212n n b b b c c c +++=+++ ，则有1291016a a k a a ++=+，代入通项计算即可；（3）由“右4型间隔数列”的定义，有144i i i b a a +=->-，可知{}3i i b a nn -∈≥-∣，则有()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- ，化简即可．【小问1详解】数列{}:1,3,5,7,9n a 的“左右1型间隔数列”为1，2，4，6，9或1，2，4，8，9或1，2，6，8，9或1，4，6，8，9．【小问2详解】由12101210b b b c c c +++=+++ ，可得239239b b b c c c +++=+++ ，即128341088a a a k a a a k ++++=+++- ，即1291016a a k a a ++=+，即16168988109k +=⨯⨯+⨯⨯，所以80k =．【小问3详解】当{}2,3,,1i n ∈- 时，由144i i i b a a +=->-，可知{}3i i b a nn -∈≥-∣．又因为对任意{},2,3,,1i j n ∈- ，都有i j i j a b b a +≠+，即当{}2,3,,1i n ∈- 时，i i b a -两两不相等．因为()()()232431n n n a a a a a a a a -=+-+-++- ()()()2233117444n n b a b a b a --=++-++-+++- ()()()()223311742n n n b a b a b a --=+-+-+-++- ()()()()413216n n ≥-+-+-+-++- ()382n n -=+．所以n a 的最小值函数()()382n n f n -=+．另外，当数列{a n }的通项()0,1,38,2,2i i a i i i n =⎧⎪=⎨-+≤≤⎪⎩间隔数列{b n }的通项(),1,13,21,2i i a i i n b i i i n ==⎧⎪=⎨-+≤≤-⎪⎩或时也符合题意．【点睛】方法点睛：在实际解决“新定义”问题时，关键是正确提取新定义中的新概念、新公式、新性质、新模式等信息，确定新定义的名称或符号、概念、法则等，并进行信息再加工，寻求相近知识点，明确它们的共同点和不同点，探求解决方法，在此基础上进行知识转换，有效输出，合理归纳，结合相关的数学技巧与方法来分析与解决!。
2019-2020年高三9月月考数学(理)试题 含答案
巴市一中2016-2017学年第一学期月考2019-2020年高三9月月考数学（理）试题 含答案出题人: 吴 亭说明: 1.本试卷分第I 卷和第II 卷两部分,共150分，考试时间120分钟； 2.考试结束，只交答题卡。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（5分×12=60分）每小题给出的四个选项只有一项正确 1．已知函数f （x ）=x-11定义域为M ，g （x ）=ln （1+x ）定义域 为N ，则M ∩N 等于（ ）A ．{x |x >-1}B ．{x |x <1}C ．{x |-1<x <1}D ．φ 2．下列函数中，与函数x y =相同的是( ) A ．2x y =B ．x y 10lg =C ．2)(x y = D ．x y lg 10=3． 已知函数⎩⎨⎧≤>=0,20,log )(3x x x x f x，则))91((f f 等于（ ） A.4 B. 41-C. 4-D. 414．在,cos cos ABC A B A B ∆><中是的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 5．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β=() A. π4B.π3C. 5π12D.π66．函数的部分图象如图所示，则将y=f （x ）的图象向右平移个单位后，得到的函数图象的解析式为（ ）A ．y=sin2xB ．C ．D ．y=cos2x7.由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12B ．1C.32D. 38.函数()[]()cos 2,x f x x ππ=∈-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9.函数3()log 5f x x x =+-的一个零点所在的区间为（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3） D ．（3，4）10．若方程()20f x -=在(,0)-∞内有解，则()y f x =的图象是（ ）11.已知点P 是曲线2ln y x x =-上的一个动点，则点P 到直线 :2l y x =-的距离的最小值为（ ）A ．1BC ．2D 12.过点A (2，1)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线最多有 ( )A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（5分×4=20分）13．已知命题.,:,:22y x y x q y x y x p ><-<->则若；命题则若在命题①q p q p q p q p ∨⌝⌝∧∨∧）④（③②);(;;中，真命题是 ； 14．已知函数)(x f 是），（∞+∞-上的偶函数，若对于0≥x ， 都有 (2)(),f x f x +=且当[)2,0∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，则 =+-)2011()2010(f f ；15.在⊿ABC 中,三边a,b,c 所对的角分别为A,B,C,若a 2+b 2=2ab+c 2,则角C 为 ；16．若tan 20sin 203m +=，则m 的值为 . 三、解答题 （12+12+12+12+12+10=70分）17．已知函数2)(23-=+++=x c bx ax x x f 在处取得极值，并且它的 图象与直线33+-=x y 在点（1，0）处相切，求函数)(x f 的表达式. 18.已知函数()4cos sin()16f x x x π=⋅+-。
概率中的应用问题 -玩转压轴题,(原卷版)
【方法综述】概率与统计的问题在高考中的地位相对稳定，而由于概率与统计具有较强的现实应用背景，在近几年的高考中，概率与统计问题在高考中所占的地位有向压轴题变化的趋势。
概率与统计的热点问题主要表现在一是：以数学文化和时代发展为背景设置概率统计问题 ，二是概率统计与函数、方程、不等式及数列等相结合的问题。
此类问题的解决，需要考生由较强的阅读理解能力，体现考生的数学建模、数据分析、数学运算及逻辑推理等核心素养。
先就此类问题进行分析、归类，以帮助考生提升应试能力。
【解答策略】类型一 以数学文化和时代发展为背景的概率问题【例1】5．如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则,A C 区域涂色不相同的概率为( )A ．17B ．27C ．37D ．47【来源】湖南省衡阳市第一中学2019-2020学年高三上学期7月第一次月考理科数学试题【例2】（2020全国模拟）冠状病毒是一个大型病毒家族，己知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS ）和严重急性呼吸综合征（SARS ）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（nCoV ）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n （n *∈N ）份血液样本，有以下两种检验方式： 方式一：逐份检验，则需要检验n 次.方式二：混合检验，将其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为专题7 概率中的应用问题1k +.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p （01p <<）.现取其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ.（1）若()()12E E ξξ=，试求p 关于k 的函数关系式()p f k =；（2）若p 与干扰素计量n x 相关，其中12,,,n x x x （2n ≥）是不同的正实数， 满足11x =且n N *∀∈（2n ≥）都有1222113221121n n n i i i x x x e x x x x --=+-⋅=-∑成立. （i ）求证：数列{}n x 等比数列；（ii ）当3411p x =-时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k 的最大值【举一反三】1．（2020·宁夏高考模拟（理））根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ） A ．16 B ．14 C ．13 D ．122.（2020·河北高三期末（理））我国历法中将一年分为春、夏、秋、冬四个季节，每个季节有六个节气，如夏季包含立夏、小满、芒种、夏至、小暑以及大暑.某美术学院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的六幅彩绘，在制签及抽签公平的前提下，甲没有抽到绘制春季六幅彩绘任务且乙没有抽到绘制夏季六幅彩绘任务的概率为_________.3．（2020•湖北模拟）据《孙子算经》中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、候、公， 共五级．现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多 分m 个（m 为正整数），若按这种方法分橘子，“公”恰好分得30个橘子的概率是类型二 概率与函数、方程、不等式及数列等相结合的问题【例3】（2020•浙江模拟）甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没 有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是p ，随机变量X 表示最终的比赛局数，若0＜p ＜，则 （ ）A ．E （X ）＝B ．E （X ）＞C ．D （X ）＞ D ．D （X ）＜【例4】（2020 •开福区模拟）设一个正三棱柱ABC ﹣DEF ，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC 的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上底面的概率为P 10，则P 10为（ ）A ．B ．C ．D ．【举一反三】1．（2020 •越城区模拟）随机变量ξ有四个不同的取值，且其分布列如下：ξ2sin αsin β 3cos αsin β 3sin αcos β cos αcos β P t 则E （ξ）的最大值为（ ）A ．﹣1B ．﹣C ．D ．12．（2020 •天心区模拟）已知函数f （x ）＝，若，则方程[f （x ）]2﹣af （x ）+b ＝0有五个不同根的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【强化训练】1．（2020·安徽高考模拟（理））2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜湖举行；长三角城市群包括：上海市以及江苏省、浙江省、安徽省三省部分城市，简称“三省一市”. 现有4 名高三学生准备高考后到上海市、江苏省、浙江省、安徽省四个地方旅游， 假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游， 则恰有一个地方未被选中的概率为（ ）A ．2764B ．916C ．81256D ．7162.设函数()()11x f x ax x x =+>-，若a 是从0,1,2三个数中任取一个，b 是从1,2,3,4,5五个数中任取一个，那么()f x b >恒成立的概率是（ ）A. 35B. 715C. 25D. 123．（2020·湖北高考模拟（理））生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的“六艺”其实源于中国周朝的贵族教育体系，具体包括“礼、乐、射、御、书、数”.为弘扬中国传统文化，某校在周末学生业余兴趣活动中开展了“六艺”知识讲座，每艺安排一节，连排六节，则满足“数”必须排在前两节，“礼”和“乐”必须分开安排的概率为（ ）A ．760B ．16C ．1360D ．144．（2020•富阳区模拟）已知数列{a n }满足a 1＝0，且对任意n ∈N *，a n +1等概率地取a n +1或a n ﹣1，设a n 的值为随机变量ξn ，则（ ）A ．P （ξ3＝2）＝B ．E （ξ3）＝1C ．P （ξ5＝0）＜P （ξ5＝2）D ．P （ξ5＝0）＜P （ξ3＝0）5．（2019·四川成都七中高考模拟（理））如果{}n a 不是等差数列，但若k N *∃∈，使得212k k k a a a +++=，那么称{}n a 为“局部等差”数列.已知数列{}n x 的项数为4，记事件A ：集合{}{}1234,,,1,2,3,4,5x x x x ⊆，事件B ：{}n x 为“局部等差”数列，则条件概率()|P B A =（ ）A ．415B ．730C ．15D ．166．某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同，当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移2sin p f νϕλ=，其中v 为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，ϕ为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为1500nm （91nm 10m -=），某次检验中可测频移范围为99.50010⨯（1/h ）至910.00010⨯（1/h ），该高铁以运行速度（337.5km /h 至375km /h ）经过时，可测量的概率为（ ）A．12B．13C．23D．56【来源】江苏省南京市2020-2021学年高三上学期1月供题数学试题7．新冠疫情期间，网上购物成为主流．因保管不善，五个快递ABCDE上送货地址模糊不清，但快递小哥记得这五个快递应分别送去甲乙丙丁戊五个地方，全部送错的概率是（）A．310B．13C．1130D．25【来源】浙江省2020届高三下学期6月新高考进阶数学试题8．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（）A．15B．815C．35D．3209．某停车场只有并排的8个停车位，恰好全部空闲，现有3辆汽车依次驶入，并且随机停放在不同车位，则至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是A．514B．1528C．914D．6710．验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰象素（防止OCR），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0，1，2，…，9中的五个数字随机组成.将中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14532，12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为__________.11．我国历法中将一年分为春、夏、秋、冬四个季节，每个季节有六个节气，如夏季包含立夏、小满、芒种、夏至、小暑以及大暑.某美术学院甲、乙、丙、丁四位同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成哪个季节中的六幅彩绘，在制签及抽签公平的前提下，甲没有抽到绘制春季六幅彩绘任务且乙没有抽到绘制夏季六幅彩绘任务的概率为_________.【来源】2020届河北省张家口市高三上学期期末教学质量监测数学（理）试题12．欧阳修《卖油翁》中写道：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌滴沥之，自钱孔入，而钱不湿．已知铜钱是直径为4 cm 的圆面，中间有边长为1 cm 的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴整体落在铜钱内)，则油滴整体(油滴是直径为0.2 cm 的球)正好落入孔中的概率是_____．(不作近似计算)【来源】云南省峨山彝族自治县第一中学2021届高三三模数学（文）试题13．甲乙两位同学玩游戏，对于给定的实数1a ，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把1a 乘以2后再减去6；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把1a 除以2后再加上6，这样就可得到一个新的实数2a ，对实数2a 仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数3a ，当31a a 时，甲获胜，否则乙获胜，若甲胜的概率为34，则1a 的取值范围是____．14．某动漫公司推出漫画角色盲盒周边售卖，每个盲盒中等可能的放入该公司的3款经典动漫角色玩偶中的一个.小明购买了4个盲盒，则他能集齐3个不同动漫角色的概率是______________.【来源】安徽省马鞍山市2021届高三下学期第三次教学质量监测理科数学试题15．某公司根据上年度业绩筛选出业绩出色的A ，B ，C ，D 四人，欲从此4人中选择1人晋升该公司某部门经理一职，现进入最后一个环节：A ，B ，C ，D 四人每人有1票，必须投给除自己以外的一个人，并且每个人投给其他任何一人的概率相同，则最终仅A 一人获得最高得票的概率为___________.【来源】江苏省南通市如皋市2021届高三下学期4月第二次适应性考试数学试题16．2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”(“三药”是指金花清感颗粒､连花清瘟颗粒(胶囊)和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤､化湿败毒方和宜肺败毒方)发挥了重要的作用.甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲､乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是___________.【来源】黑龙江省大庆铁人中学2021届高三下学期第一次模拟考试 数学（理）试试题17．某校甲、乙、丙三名教师每天使用1号录播教室上课的概率分别是0.6，0.6，0.8，这三名教师是否使用1号录播教室相互独立，则某天这三名教师中至少有一人使用1号录播教室上课的概率是______．【来源】2021年全国高中名校名师原创预测卷 理科数学 （第二模拟）18．（2020雁塔区校级模拟）为了解某次测验成绩，在全年级随机地抽查了100名学生的成绩，得到频率分布直方图（如图），由于某种原因使部分数据丢失，但知道后5组的学生人数成等比数列，设90分以下人数为38，最大频率为b ，则b 的值为 ．19．（2020•宁波校级模拟）某保险公司新开设了一项保险业务，规定该份保单在一年内如果事件E 发生，则该公司要赔偿a 元，假若在一年内E 发生的概率为p ，为使公司受益的期望值不低于a 的，公司应要求该份保单的顾客缴纳的保险金最少为 元．20．（2020·江苏高三（理））乒乓球比赛,三局二胜制.任一局甲胜的概率是(01)p p <<,甲赢得比赛的概率是q ,则q p -的最大值为_____.。
宁夏银川一中2023届高三上学期第一次月考数学(理)试题含答案
得曲线C的直角坐标方程为x2+y2=6x+2y，即（x-3）2+（y-1）2=10，．．．．．．．．．．．2分
由 ，消去参数t，得直线l的普通方程为x+y-3=0．．．．．．．．．．．．4分
（2）由（1）知直线l的参数方程可化为 （t为参数），．．．．．．．．．．．6分
A．0.2481B．0.3471C．0.4582D．0.7345
5．记 为等差数列 的前n项和．若 ， ，则
A．18B．36
C．-18D．-54
6．相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的
竹管，吹出不同的音调．“三分损益”包含“三分损一”和“三分益
一”，用现代数学的方法解释如下，“三分损一”是在原来的长度
银川一中2023届高三年级第一次月考
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
A．127B．129C．131D．133
8．已知函数 ，则不等式 的解集为
A． B． C． D．
9．已知 ,且 ,则
A． B． C． D．
10．实数 中值最大的是
A． B． C． D．
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设 ，用 表示不超过x的最大整数，则 称为高斯函数．已知数列 满足 ，且 ，若 ,数列 的前n项和为 ，则
四川省绵阳市2024届高三(补习班)上学期11月月考数学(理)试题含解析
绵阳南山2024届补习年级十一月月考理科数学试题（答案在最后）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本卷共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}2xB y y ==，M A B = ，则集合M 的子集个数是（）A.2B.3C.4D.8【答案】C 【解析】【分析】求出集合M ，由此可计算出集合M 的子集个数.【详解】{}{}20xB y y y y ===> ，{}1,0,1,2A =-，{}1,2M A B ∴=⋂=，因此，集合M 的子集个数是224=.故选：C.【点睛】本题考查集合子集个数的计算，一般要求出集合的元素个数，考查计算能力，属于基础题.2.抛物线24y x =的焦点坐标是（）A.(0,1)B.(1,0)C.10,16⎛⎫⎪⎝⎭D.1,016⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】将抛物线化为标准方程可得焦点坐标.【详解】抛物线24y x =标准方程为214x y =，其焦点坐标为10,16⎛⎫⎪⎝⎭故选：C.3.已知函数()f x 的定义域为R ，则“(1)()f x f x +>恒成立”是“函数()f x 在R 上单调递增”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】函数()f x 为R 上增函数R x ⇒∀∈，(1)()f x f x +>，反之不成立，即可判断出结论．【详解】函数()f x 为R 上增函数R x ⇒∀∈，(1)()f x f x +>，反之不成立，例如定义()f x 在(0,1]上，()f x x =-，且在R 上满足(1)()1f x f x +=+，则有“(1)()f x f x +>”，∴“(1)()f x f x +>”是“函数()f x 为增函数”的必要不充分条件．故选：B ．4.若向量,a b满足||||||a b a b +=+，则向量,a b一定满足的关系为（）A.0a= B.存在实数λ，使得a bλ=C.存在实数,m n ，使得ma nb= D.||||||a b a b -=-【答案】C 【解析】【分析】对于A,B,D 通过举反例即可判断，对于C 需分a 与b 是否为0讨论即可.【详解】||||||a b a b +=+，两边同平方得222222||||a a b b a a b b +⋅+=+⋅+ ||||a b a b ∴⋅= ，||||cos ||||a b a b θ∴= ，对A ，0b = 时，a为任一向量，故A 错误，对B ，若0b = ，0a ≠时，此时不存在实数λ，使得a b λ=，故B 错误，对于C ，因为||||cos ||||a b a b θ=，当a 与b 至少一个为零向量时，此时一定存在实数m ,n ,使得ma nb = ，具体分析如下：当0a = ，0b ≠r r时，此时m 为任意实数，0n =，当0a ≠ ，0b =时，此时n 为任意实数，0m =，当0a = ，0b =时，,m n 为任意实数，当0a ≠ ，0b ≠r r 时，因为||||cos ||||a b a b θ=，则有cos 1θ=，根据[]0,θπ∈，则0θ=，此时,a b 共线，且同向，则存在实数λ使得a b λ=（0λ>），令n m λ=，其中,m n 同号，即n a b m= ，即ma nb = ，则存在实数m ,n ,使得ma nb = ，故C 正确，对于D ，当0a = ，0b ≠r r时，||||||a b a b -≠- ，故D 错误，故选：C.5.在平面直角坐标系xOy 中，若圆()()2221:14C x y r -+-=(r >0)上存在点P ，且点P 关于直线10x y +-=的对称点Q 在圆()222:49C x y ++=上，则r 的取值范围是（）A.(2，+∞) B.[2，+∞) C.(2，8)D.[2，8]【答案】D 【解析】【分析】求出圆1C 关于10x y +-=对称的圆的方程，转化为此圆与()2249x y ++=有交点，再由圆心距与半径的关系列不等式组求解.【详解】()()2221:14C x y r -+-=圆心坐标()11,4C ，设()1,4关于直线10x y +-=的对称点为(),a b ，由141022411a b b a ++⎧+-=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，可得30a b =-⎧⎨=⎩，所以圆()()2221:14C x y r -+-=关于直线10x y +-=对称圆的方程为()2220:3C x y r ++=，则条件等价为：()2220:3C x y r ++=与()222:49C x y ++=有交点即可，两圆圆心为()03,0C -，()20,4C -，半径分别为r ，3，则圆心距025C C ==，则有353r r -≤≤+，由35r -≤得28r -≤≤，由35r +≥得2r ≥，综上：28r ≤≤，所以r 的取值范围是[]28,，故选：D.6.已知函数()s π3πin f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，其在一个周期内的图象分别与x 轴、y 轴交于点A 、点B ，并与过点A 的直线相交于另外两点C 、D .设O 为坐标原点，则()BC BD OA +⋅=（）A.118B.89C.49D.29【答案】B 【解析】【分析】根据图象结合三角函数求点,A B ，进而求,BC BD OA +uu u r uu u r uu r，即可得结果.【详解】因为()s π3πin f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，可得π(0)sin 32f ==，即0,2B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，由图可知：点A 为减区间的对称中心，令ππ2ππ,3x k k +=+∈Z ，解得22,3x k k =+∈Z ，取0k =，则23x =，即2,03A ⎛⎫⎪⎝⎭，可得232,,,0323BA OA ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu r uu r ，因为点A 为线段CD的中点，则42,3BC BD BA ⎛+== ⎝uu u r uu u r uu r ，所以()428339BC BD OA +⋅=⨯=uu u r uu u r uu r .7.已知过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左焦点F且与长轴垂直的弦长为，过点()2,1P 且斜率为－1的直线与C 相交于A ，B 两点，若P 恰好是AB 的中点，则椭圆C 上一点M 到F 的距离的最大值为（）A.6B.6+C.6+D.6【答案】D 【解析】【分析】利用椭圆的方程和性质及直线与椭圆位置关系即可解决.【详解】由过椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>左焦点F且与长轴垂直的弦长为可得椭圆过点(c -，代入方程得222181+=c a b.设()()1122,,,,A x y B x y 则2222112222221,1,x y x y a b a b +=+=，两式作差得22221212220x x y y a b --+=，即()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=，因为P 恰好是AB 的中点，所以12124,2x x y y +=+=，又因为直线AB 斜率为-1，所以12121y y x x -=--，将它们代入上式得222a b =，则联立方程222222221812c a b a b a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得66a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.所以椭圆C 上一点M 到F的距离的最大值为6+=+a c 故选：D8.若直线y x b =-+与曲线x =b 的取值范围是（）A.⎡⎣B.⎡-⎣C.[1,1)-D.]{(1,1-⋃【解析】【分析】由题意作图，根据直线与圆的位置关系，可得答案.【详解】由曲线x =221x y +=，其中0x ≥，表示以原点为圆心，半径为1的右半圆，y x b =-+是倾斜角为135︒的直线，其与曲线有且只有一个公共点有两种情况：（1）直线与半圆相切，根据d r =，所以1d ==，结合图象，可得：b =；（2）直线与半圆的下半部分相交于一个交点，由图可知[1,1)b ∈-.综上可知：[1,1)b ∈-.故选：C.9.已知02αβπ<<<，函数()5sin 6f x x π⎛⎫- ⎝=⎪⎭，若()()1f f αβ==，则()cos βα-=（）A.2325B.2325-C.35D.35-【答案】B 【解析】【分析】由已知条件，结合三角函数的性质可得263ππα<<，2736ππβ<<，从而利用()cos cos 66ππβαβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦即可求解.【详解】解：令()5sin 06f x x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭=，02x π<<，则6x π=或76x π=，令()5sin 56f x x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭=，02x π<<，则23x π=，又02αβπ<<<，()()1ff αβ==，所以263ππα<<，2736ππβ<<，1sin 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1sin 65πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为062ππα<-<，26ππβπ<-<，所以cos 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，cos 65πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以()cos cos cos cos sin sin 666666ππππππβαβαβαβα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=--+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦26261123555525-⨯⨯=-=+，故选：B.10.已知数列{}n a 满足12a =，26a =，且2122n n n a a a ++-+=，若[]x 表示不超过x 的最大整数（例如[]1.61=，[]1.62-=-），则222122021232022a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⋅⋅⋅+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（）A.2019B.2020C.2021D.2022【答案】D 【解析】【分析】求出()1na n n =+，()2111nn a n+=+，即得解.【详解】解：由题设知，()()2112n n n n a a a a +++---=，214a a -=，故{}1n n a a +-是首项为4，公差为2的等差数列，则122n n a a n +-=+，则11221n n n n a a a a a a ----+-+⋅⋅⋅+-()()()()1213212121n a a n n n n ⎡⎤=-=-+⋅⋅⋅++++-=+-⎣⎦，所以()1na n n =+，故()2111nn a n+=+，又*n ∈N ，当1n =时，2122a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，当2n ≥时，()211n n a ⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以22212202123202221112022a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++⋅⋅⋅+=++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦.故选：D ．11.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 作一条直线与双曲线右支交于,A B 两点，坐标原点为O ，若OA c =，15BF a =，则该双曲线的离心率为（）A.2B.2C.3D.3【答案】B 【解析】【分析】由1212OA c F F ==得1290F AF ∠=︒，由双曲线定义得23BF a =，在1AF B △中应用勾股定理得2AF a =，在12AF F △中再应用勾股定理得,a c 的关系式，求得离心率．【详解】因为1212OA c F F ==，所以1290F AF ∠=︒，又122BF BF a -=，所以23BF a =，又122AF AF a =+，由22211AF AB BF +=得22222(2)(3)(5)AF a AF a a +++=，解得2AF a =，所以由2221212AF AF F F +=，得222(2)(2)a a a c ++=，解得2c e a ==．故选：B ．【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由1212OA c F F ==得1290F AF ∠=︒，然后结合双曲线的定义在1AF B △中应用勾股定理求得2AF ，在12AF F △中应用勾股定理建立,a c 的关系．12.设0.02e 1a =-，()0.012e 1b =-，sin 0.01tan 0.01c =+，则（）A.a b c >>B.a c b >>C.c a b >>D.b c a>>【答案】A 【解析】【详解】因为()20.020.010.01e 2e 1e 10a b -=-+=->，所以a b >．设()()2e 1sin tan xf x x x =---，则()f x '=212e cos cos xx x--，令()()g x f x '=，则32sin ()2e sin cos xxg x x x'=+-．当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2e 2x >，sin 0x >，33π2sin2sin 62πcos 9cos 6x x <=<，所以()0g x '>，所以当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()(0)0f x f ''>=，所以()f x 在π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递增，从而()(0)0f x f >=，因此(0.01)0f >，即b c >．综上可得a b c >>．故选：A【点睛】比较函数值的大小，要结合函数值的特点，选择不同的方法，本题中，,a b 可以作差进行比较大小，而,b c 的大小比较，则需要构造函数，由导函数得到其单调性，从而比较出大小，有难度，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知复数z 满足13i z z -=-，则z =__________.【答案】5【解析】【分析】设i z a b =+，,R a b ∈，根据复数的模及复数相等的充要条件得到方程组，解得a 、b ，即可求出z ，从而得解.【详解】设i z a b =+，,R a b ∈，则z =，因为13i z z -=-i 13i a b --=-，所以13a b -==⎪⎩，所以43a b =⎧⎨=⎩，即43i z =+，所以5z ==.故答案为：514.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点在直线2y x =-上，且焦点到渐近线的距离为双曲线的方程为_______．【答案】2213y x -=【解析】【分析】根据点到直线的距离公式可得b =，由焦点在直线上可得2c =，进而可求解1a ==.【详解】由题意可得双曲线的焦点在x 轴上，又直线2y x =-与x 的交点为()2,0，所以右焦点为()2,0，故2c =，渐近线方程为b y x a=±，所以(),0cb c a b ==又1a ==，故双曲线方程为2213yx -=，故答案为：2213y x -=15.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x +-=，[)12,0,x x ∀∈+∞均有()()()121212122f x f x x x x x x x -+>≠-，则不等式()()112f x f x x -->-的解集为___________.【答案】1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】构造函数()()212g x f x x =-，通过题干条件得到()g x 为奇函数，且在R 上单调递增，从而根据单调性解不等式，求出解集.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x +-=，所以设()()212g x f x x =-，则()()g x g x =--，所以()()212g x f x x =-为奇函数，因为[)12,0,x x ∀∈+∞，都有()()()121212122f x f x x x x x x x -+>≠-，当12x x >时，则有()()()()1212122x x x x f x f x +-->，即()()22121222x x f x f x ->-，所以()()12g x g x >，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，当12x x <时，则有()()22121222x x f x f x -<-，所以()()12g x g x <，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，综上：()g x 在()0,∞+上单调递增，因为()g x 为奇函数，则()g x 在R 上单调递增，()()112f x f x x -->-变形为：()()()22111122f x x f x x ->---，即()()1g x g x >-，所以1x x >-，解得：12x >.故答案为：1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭16.已知抛物线2:8C y x =，其焦点为点F ，点P 是拋物线C 上的动点，过点F 作直线()1460m x y m ++--=的垂线，垂足为Q ，则PQ PF+的最小值为___________.【答案】5##5+【解析】【分析】通过确定直线过定点M (4,2)，得到Q 在以FM 为直径的圆上，将P 到Q 的距离转化为到圆心的距离的问题，再利用抛物线的定义就可得到最小值.【详解】将已知直线(1)460+-+-=m x m y 化为()460-++-=m x x y ，当4x =时2y =，可确定直线过定点(4,2)，记为M 点.∵过点F 做直线(1)460+-+-=m x m y 的垂线，垂足为Q ，∴FQ ⊥直线(1)460+-+-=m x m y ，即,90︒⊥∠=FQ MQ FQM ，故Q 点的轨迹是以FM 为直径的圆，半径r =，其圆心为FM 的中点，记为点H ，∴(3,1)H ，∵P 在抛物线2:8C y x =上，其准线为2x =-，∴PF 等于P 到准线的距离.过P 作准线的垂线，垂足为R .要使||||PF PQ +取到最小，即||||PR PQ +最小，此时R 、P 、Q 三点共线，且三点连线后直线RQ 过圆心H .如图所示，此时()min ||||5+=-=-PR PQ HR r故答案为：5三、解答题（共70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知34,cos 5a C ==．（1）求sin A 的值；（2）若11b =，求ABC 的面积．【答案】（1；（2）22．【解析】【分析】（1）先由平方关系求出sin C ，再根据正弦定理即可解出；（2）根据余弦定理的推论222cos 2a b c C ab+-=以及4a =可解出a ，即可由三角形面积公式in 12s S ab C =求出面积．【小问1详解】由于3cos 5C =，0πC <<，则4sin 5C =．因为4a =，由正弦定理知4sin A C =，则sin sin 45A C ==．【小问2详解】因为4a =，由余弦定理，得2222221612111355cos 22225a a a a b c C ab a a +--+-====，即26550a a +-=，解得5a =，而4sin 5C =，11b =，所以ABC 的面积114sin 51122225S ab C ==⨯⨯⨯=．18.已知数列{}n a 中的相邻两项21k a -，2k a 是关于x 的方程()232320k k x k x k -++⋅=的两个根，且212(1,2,3,)k k a a k -≤= ．（1）求1357,,,a a a a 及2(4)n a n ≥（不必证明）；（2）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ．【答案】（1）13572,,,(4)24812,2n na a a a a n ===≥==；（2）2133222n n n +++-【解析】【分析】（1）方程由因式分解可解得21,23k x x k ==，结合212(1,2,3,)k k a a k -≤= 则可求得1357,,,a a a a ，令()2132n n f n x x =-=-，设()23xg x x =-，由导数法可求得()()()40f n g n g =≥>，则有2n n a =；（2）分组求和，结合公式法求和即可【小问1详解】由题意得，()()213203,2k k x k x x x k -===-⇒，由212(1,2,3,)k k a a k -≤= ，则当1k =时，21123,2x x a ⇒===；当2k =时，21346,4x x a ⇒===；当3k =时，21589,8x x a ⇒===；当4k =时，712612,112x x a ⇒===；当k n =()4n ≥时，21,23n x x n ==，令()2132n n f n x x =-=-，设()23x g x x =-，由()()2ln 2416ln 2330x g x g '=≥=-->'，故()g x 单调递增，故()()()430f n g n g =≥=>，则21x x >，∴22n n a =；【小问2详解】由（1）得122122n n nS a a a a -=++++ ()()2363222n n =+++++++ ()()21233212nn n-+=+-2133222n n n ++=+-19.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，上、下顶点分别是1B ，2B ，离心率12e =，短轴长为.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，若12MN B F ⊥，试求1F MN △内切圆的面积.【答案】（1）22143x y +=；（2）36169π.【解析】【分析】（1）由题意得122c a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解出即可；（2）首先算出直线l 的方程，然后和椭圆的方程联立消元，算出1F MN △的面积和周长，然后得到1F MN △内切圆的半径即可.【详解】（1）由题意得122c a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，又222a b c =+，解得24a =，23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由(1B ，()21,0F ，知12B F的斜率为12MN B F ⊥，故MN的斜率为3，则直线l的方程为()13y x =-，即1x =+，联立221,431,x y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩可得：21390y +-=，设()11,M x y ，()22,N x y，则1213y y +=-，12913y y =-，则1F MN △的面积122413S c y y =⋅-==，由1F MN △的周长48L a ==，及12S LR =，得内切圆2613S R L ==，所以1F MN △的内切圆面积为236ππ169R =.20.已知函数()ln(1)2f x x ax =+-+．（1）若2a =，求()f x 在0x =处的切线方程；（2）当0x ≥时，()2ln(1)0f x x x x +++≥恒成立，求整数a 的最大值．【答案】（1）20x y +-=（2）4【解析】【分析】（1）利用函数解析式求切点坐标，利用导数求切线斜率，点斜式求切线方程；（2）0x =时，不等式恒成立；当0x >时，不等式等价于()()1ln 12x x a x ⎡⎤+++⎣⎦≤，设()()()1ln 12x x g x x⎡⎤+++⎣⎦=，利用导数求()g x 的最小值，可求整数a 的最大值．【小问1详解】若2a =，则()ln(1)22f x x x =+-+，()02f =，则切点坐标为()0,2，()121f x x =-+'，则切线斜率()01k f '==-，所以切线方程为()20y x -=--，即20x y +-=．【小问2详解】由()2ln(1)0f x x x x +++≥，得(1)[ln(1)2]ax x x ≤+++，当0x =时，02a ⋅≤，a ∈R ；当0x >时，()()1ln 12x x a x⎡⎤+++⎣⎦≤，设()()()1ln 12x x g x x ⎡⎤+++⎣⎦=，()()22ln 1x x g x x --+'=，设()()2ln 1h x x x =--+，()01x h x x +'=>，则()h x 在()0,∞+单调递增，(3)1ln 40h =-<，(4)2ln 50h =->，所以存在0(3,4)x ∈使得()00h x =，即()002ln 1x x -=+．()00,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<；()0,x x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，则有()g x 在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增，()min 0()g x g x =，所以()()()()()000000001ln 121221x x x x a g x x x x ⎡⎤⎡⎤++++-+⎣⎦⎣⎦≤===+，因为0(3,4)x ∈，所以01(4,5)x +∈，所以整数a 的最大值为4．【点睛】方法点睛：不等式问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.21.在平面直角坐标系xOy 中，动点G 到点()4,0F 的距离比到直线60x +=的距离小2．（1）求G 的轨迹的方程；（2）设动点G 的轨迹为曲线C ，过点F 作斜率为1k ，2k 的两条直线分别交C 于M ，N 两点和P ，Q 两点，其中122k k +=．设线段MN 和PQ 的中点分别为A ，B ，过点F 作FD AB ⊥，垂足为D ．试问：是否存在定点T ，使得线段TD 的长度为定值．若存在，求出点T 的坐标及定值；若不存在，说明理由．【答案】（1）216y x=（2）存在定点(4,2)T ，使得线段TD 的长度为定值2；理由见解析【解析】【分析】（1）根据动点G 到点(4,0)F 的距离比它到直线60x +=的距离小2和抛物线的定义可知点G 的轨迹是以(4,0)F 为焦点，以直线40x +=为准线的抛物线，进而得出结果；（2）设直线方程，联立抛物线方程，求得A ，B 的坐标，从而表示出AB 的方程，说明其过定点，由FD AB ⊥可说明点D 点在一个圆上，由此可得结论.【小问1详解】由题意可得动点G 到点()4,0F 的距离比到直线60x +=的距离小2，则动点G 到点()4,0F 的距离与到直线40x +=的距离相等，故G 的轨迹是以(4,0)F 为焦点，以直线40x +=为准线的抛物线，设抛物线方程为22,(0)y px p =>，则焦准距8p =，故G 的轨迹的方程为：216y x =；【小问2详解】由题意，直线MN 的方程为1(4)y k x =-，由题意可知12120,0,k k k k ≠≠≠，由2116(4)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，消去y 得：2222111(816)160k x k x k -++=，211256(1)0k ∆=+>，设1122(,),(,)M x y N x y ，则1212111221116168,(4)(4)x x y y k x k x k k +=++=-+-=，故21188(4,A k k +，同理可求得22288(4,B k k +，所以直线AB 的斜率21121222218888(4)(4)ABk k k k k k k k k -==++-+，故直线AB 的方程为：()()12121221211121288844442k k k k k k y x x x k k k k k k k k ⎛⎫=--+=-+=-+ ⎪+++⎝⎭，故直线AB 过定点(4,4)，设该点为(4,4)E ,又因为FD AB ⊥，所以点D 在以EF 为直径的圆上，由于(4,4),(4,0)E F ,4EF ==,故以EF 为直径的圆的方程为22(4)(2)4x y -+-=，故存在定点(4,2)T ，使得线段TD 的长度为定值2.【点睛】本题考查了抛物线方程的求解以及直线和抛物线的位置关系中的定点问题，综合性较强，解答时要注意设直线方程并和抛物线方程联立,利用很与系数的关系进行化简，关键是解题思路要通畅，计算要准确，很容易出错.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为2cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ<<），曲线2C 的参数方程为()1sin 2,2sin cos ,x y βββ=+⎧⎨=+⎩（β为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）若点(2,0)P ，直线1C 与曲线2C 所在抛物线交于A ，B 两点，且||2||PA PB =，求直线1C 的普通方程．【答案】（1）2sin 4cos ρθθ=，[]cos 0,2ρθ∈（2）240x y +-=或240x y --=.【解析】【分析】（1）由()2sin cos 1sin 2βββ+=+将曲线2C 的参数方程化为普通方程，再根据极坐标和直角坐标的转化公式即可得出答案；（2）将直线的参数方程代入曲线2C 的普通方程，可得根与系数的关系式，结合根与系数的关系式化简可求得tan α的值，即可求出直线1C 的斜率，再由点斜式即可得出答案.【小问1详解】因为[]1sin 20,2x β=+∈，由()2sin cos 1sin 2βββ+=+，所以曲线2C 的普通方程为24y x =，[]0,2x ∈，cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以22sin 4cos ρθρθ=，即2sin 4cos ρθθ=．所以曲线2C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=，[]cos 0,2ρθ∈.【小问2详解】设A ，B 两点对应的参数分别为12,t t ，将2cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入24y x =得22sin 4cos 80t t αα--=，由题知2sin 0α≠，22222216cos 32sin 16(cos sin )16sin 1616sin 0αααααα∆=+=++=+>，所以1224cos sin t t αα+=，1228sin t t α-=．因为||2||PA PB =，所以122t t =，又12280sin t t α-=<，所以122t t =-，故22sin t α=±．当22sin t α=时，代入1224cos sin t t αα+=得tan 2α=-，此时1C 的普通方程为2(2)y x =--，即240x y +-=．当22sin t α=-时，代入1224cos sin t t αα+=得tan 2α=，此时1C 的普通方程为2(2)y x =-，即240x y --=，联立22404x y y x--=⎧⎨=⎩可得()2244x x -=，即2540x x -+=，解得：1x =或4x =，所以直线1C 的普通方程为240x y +-=或240x y --=．23.已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞【解析】【分析】（1）根据1a =，将原不等式化为|1||2|(1)0x x x x -+--<，分别讨论1x <，12x ≤<，2x ≥三种情况，即可求出结果；（2）分别讨论1a ≥和1a <两种情况，即可得出结果.【详解】（1）当1a =时，原不等式可化为|1||2|(1)0x x x x -+--<；当1x <时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2(1)0x ->，显然成立，此时解集为(,1)-∞；当12x ≤<时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，解得1x <，此时解集为空集；当2x ≥时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2(10)x -<，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为(,1)-∞；（2）当1a ≥时，因为(,1)x ∈-∞，所以由()0f x <可得()(2)()0a x x x x a -+--<，即()(1)0x a x -->，显然恒成立；所以1a ≥满足题意；当1a <时，2(),1()2()(1),x a a x f x x a x x a-≤<⎧=⎨--<⎩，因为1a x ≤<时，()0f x <显然不能成立，所以1a <不满足题意；综上，a 的取值范围是[1,)+∞.【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.。
2019-2020学年重庆市巴蜀中学高三(上)9月月考数学试卷(理科)(含解析)
2019-2020学年重庆市巴蜀中学高三（上）9月月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A＝{x|≤0}，B＝{x|y＝，则A∩B＝（）A．[﹣1，1]B．[0，1]C．[0，1）D．（0，1）2．（5分）已知命题p，q，“￢p为假”是“p∨q为真”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M（x0，2）在抛物线C上，则|MF|＝（）A．2B．3C．4D．54．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α．则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（）A．B．﹣1C．D．06．（5分）已知是函数f（x）＝2sin（2x+φ）（|φ|＜）图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（）A．φ＝B．f（x）在[0，]上单调递增C．由f（x）的图象向左平移个单位可得到y＝2sin2x的图象D．由f（x）的图象向左平移个单位可得到y＝2sin2x的图象7．（5分）若tan＝3，则＝（）A．B．C．﹣D．8．（5分）函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，且当0＜x≤1时，f（x）＝﹣log2018x，则f（2018﹣）＝（）A．1B．﹣1C．0D．29．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．5C．D．610．（5分）已知双曲线C：的左、右焦点分別为F1，F2，点M，N为异于F1，F2的两点，且M，N的中点在双曲线C的左支上，点M关于F1和F2的对称点分别为A，B，则|NA|﹣|NB|的值为（）A．26B．﹣26C．52D．﹣5211．（5分）将某商场某区域的行走路线图抽象为一个2×2×3的长方体框架（如图），小红欲从A处行走至B处，则小红行走路程最近且任何两次向上行走都不连续的路线共有（）A．360种B．210种C．60种D．30种12．（5分）已知f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x+3）f（x）+xf′（x）＞0，则（）A．f（x）＞0B．f（x）＜0C．f（x）为减函数D．f（x）为增函数二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）如果复数（a∈R）为实数，则a＝．14．（5分）若a＝，则）展开式的常数项为．15．（5分）已知m，n为正实数，则当＝时取得最小值．16．（5分）函数＝x3+2017x﹣2017﹣x+1．若f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2对∀θ∈R 恒成立，则t的取值范围是．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示、（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设g（x）＝f（x）+2sin（x﹣）sin（x+），求函数g（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最小值．18．（12分）我市准备实施天然气价格阶梯制，现提前调査市民对天然气价格阶梯制的态度，随机抽查了50名市民，现将调査情况整理成了被调査者的频率分布直方图（图5）和赞成者的频数表如下：（Ⅰ）若从年龄在[15，25），[45，55）的被调查者中各随机选取2人进行调查，求所选取的4人中至少有2人对天然气价格阶梯制持赞成态度的概率；（Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调査者中各随机选取2人进行调査，记选取的4人中对天然气价格实施阶梯制持不赞成态度的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．19．（12分）如图6，梯形ABCD中，AB∥CD，矩形BFED所在的平面与平面ABCD垂直，且AD＝DC＝CB＝BF＝AB＝2．（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BFED；（Ⅱ）若P为线段EF上一点，直线AD与平面P AB所成的角为θ，求θ的最大值．20．（12分）已知椭圆C1：（a＞b＞0）的离心率为，过点E（，0）的椭圆C1的两条切线相互垂直．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）在椭圆C1上是否存在这样的点P，过点P引抛物线C2：x2＝4y的两条切线l1，l2，切点分别为B，C，且直线BC过点A（1，1）？若存在，指出这样的点P有几个（不必求出点的坐标）；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣aln（x+4）（a∈R）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）若﹣1＜x2＜0，求证：f（x1）+9x2＞0．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C1的极坐标方程为＝0，曲线C2的参数方程为，（θ为参数）（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（Ⅱ）若动点P，Q分别在曲线C1与曲线C2上运动，求|PQ|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝2|x+1|+|x+3|的最小值为m，且f（a）＝m．（Ⅰ）求m及a的值；（Ⅱ）若实数p，q，r满足p2+2q2+r2＝m，证明：q（p+r）≤2．2019-2020学年重庆市巴蜀中学高三（上）9月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A＝{x|≤0}，B＝{x|y＝，则A∩B＝（）A．[﹣1，1]B．[0，1]C．[0，1）D．（0，1）【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|0≤x＜1}，B＝{x|1﹣x2≥0}＝{x|﹣1≤x≤1}，∴A∩B＝[0，1）．故选：C．【点评】考查描述法、区间的定义，分式不等式的解法，以及交集的运算．2．（5分）已知命题p，q，“￢p为假”是“p∨q为真”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据复合命题真假关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若￢p为假，则p为真，则p∨q为真，即充分性成立，当p假q真时，满足p∨q为真，但￢p为真，则必要性不成立，则“￢p为假”是“p∨q为真”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合复合命题真假关系是解决本题的关键．3．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M（x0，2）在抛物线C上，则|MF|＝（）A．2B．3C．4D．5【分析】求得抛物线的焦点F和准线方程，代入M的坐标，解得x0，再由抛物线的定义可得所求值．【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，M（x0，2）在抛物线C上，可得8＝4x0，即x0＝2，由抛物线的定义可得|MF|＝2+1＝3．故选：B．【点评】本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α．则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β【分析】A根据线面平行的性质判断．B利用线面垂直的性质判断．C利用线面平行和面面平行的判定定理判断．D利用面面垂直的性质定理判断．【解答】解：A．平行于同一平面的两条直线不一定平行，可能相交，可能异面，∴A错误．B．垂直于同一平面的两条直线平行，∴B正确．C．平行于同一条直线的两个平面的不一定平行，可能相交，∴C错误．D．垂直于同一平面的两个平面不一定平行，可能相交，∴D错误．故选：B．【点评】本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（）A．B．﹣1C．D．0【分析】题目给出了当型循环结构框图，首先引入累加变量s和循环变量n，由判断框得知，算法执行的是求的余弦值的和，n从1取到1009．【解答】解：通过分析知该算法是求和cos+cos+cos+cos+…+cos，在该和式中，从第一项起，每6项和为0，由于1009＝168×6+1，故cos+cos+cos+cos+…+cos＝168（cos+cos+cos+cos+…+cos）+cos＝．故选：C．【点评】本题考查了程序框图中的当型循环结构，当型循环结构是先判断再执行，若满足条件进入循环，否则结束循环，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累积等，在循环结构中框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等．6．（5分）已知是函数f（x）＝2sin（2x+φ）（|φ|＜）图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（）A．φ＝B．f（x）在[0，]上单调递增C．由f（x）的图象向左平移个单位可得到y＝2sin2x的图象D．由f（x）的图象向左平移个单位可得到y＝2sin2x的图象【分析】求出f（x）的对称轴，将代入，根据φ的取值范围求得φ，进而得到函数解析式，根据正弦函数的性质作答；【解答】解：由题意得，2×+φ＝+kπ，φ＝﹣+kπ，∵∴φ＝﹣，A选项不正确；∴f（x）＝2sin（2x﹣），由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ得函数的单调增区间为﹣+kπ≤x≤+kπ，B选项不正确；f（x）＝2sin2（x﹣），D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了三角函数图象性质及图象变换，属于基础题．7．（5分）若tan＝3，则＝（）A．B．C．﹣D．【分析】由已知利用两角和的正切函数公式可求tanα的值，利用三角函数恒等变换的应用化简所求即可计算得解．【解答】解：∵tan＝＝3，∴解得tanα＝，∴＝＝＝＝＝﹣．故选：A．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用在三角函数化简求值中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．8．（5分）函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，且当0＜x≤1时，f（x）＝﹣log2018x，则f（2018﹣）＝（）A．1B．﹣1C．0D．2【分析】由已知可知，f（x）的图象关于原点对称，且关于x＝1对称，从而可知函数的周期T＝4，然后代入可求．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，∴f（x）的图象关于原点对称，且关于x＝1对称，∴函数的周期T＝4，∵当0＜x≤1时，f（x）＝﹣log2018x，则f（2018﹣）＝f（2﹣）＝f（）＝1，故选：A．【点评】本题主要考查了利用函数的性质求解函数值，解题的关键是灵活利用性质．9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．5C．D．6【分析】由三视图可知几何体是由直三棱柱和四棱锥组合而成，由三视图求出几何元素的长度，由分割法、换底法，以及柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积，【解答】解：由三视图可知几何体是由直三棱柱ABD﹣AFG和四棱锥C﹣BDGF组合而成，直观图如图所示：直三棱柱的底面是一个直角三角形，两条直角边分别是1、2，高是2，∴几何体的体积V＝V三棱柱ABD﹣EFG+V四棱锥C﹣BDGF＝V三棱柱ABD﹣EFG+V三棱锥C﹣DFG+V三棱锥C﹣BDF＝V三棱柱ABD﹣EFG+V三棱锥F﹣CDG+V三棱锥F﹣BDC＝＝2+＝，故选：A．【点评】本题考查三视图求几何体的体积以及表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．10．（5分）已知双曲线C：的左、右焦点分別为F1，F2，点M，N为异于F1，F2的两点，且M，N的中点在双曲线C的左支上，点M关于F1和F2的对称点分别为A，B，则|NA|﹣|NB|的值为（）A．26B．﹣26C．52D．﹣52【分析】根据中点的性质以及对称性，转化为三角形的中位线关系，结合双曲线的定义进行求解即可．【解答】解：设M，N的中点是P，∵点M关于F1和F2的对称点分别为A，B，∴F1是AM的中点，F2是BM的中点，则PF1是△MAN的中位线，PF2是△MBN的中位线，则|NA|＝2|PF1|，|NB|＝2|PF2|，则|NA|﹣|NB|＝2（|PF1|﹣|PF2|）＝﹣2×2a＝﹣4a，由双曲线的方程得a2＝169，得a＝13，即|NA|﹣|NB|＝﹣4a＝﹣4×13＝﹣52，故选：D．【点评】本题主要考查双曲线的定义的应用，结合三角形中位线的性质是解决本题的关键．注意数形结合．11．（5分）将某商场某区域的行走路线图抽象为一个2×2×3的长方体框架（如图），小红欲从A处行走至B处，则小红行走路程最近且任何两次向上行走都不连续的路线共有（）A．360种B．210种C．60种D．30种【分析】首先分析题意，将原题转化为“走3次向上，2次向右，2次向前且3次向上不连续的”排列组合问题，再由组合数得其数目．【解答】解：根据题意最近路线，那就是不走回头路，不走重复路线；所以一共要走3次向上，2次向右，2次向前，一共七次；因为不能连续向上，所以先把不向上的次数排列起来，也就是2次向右和2次向前全排列共；因为2次向右没有顺序，所以再除以；同理还需在除以接下来就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中5个位置排3个元素共；则共有；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的实际应用，解题的难点在于将原题转化为排列、组合问题，特别注意题干中“不连续向上攀登”的限制．12．（5分）已知f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x+3）f（x）+xf′（x）＞0，则（）A．f（x）＞0B．f（x）＜0C．f（x）为减函数D．f（x）为增函数【分析】根据题意，设g（x）＝x3e x f（x），对其求导分析可得函数g（x）在R上单调递增，而g（0）＝0，进而分情况讨论可得f（x）＞0，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，设g（x）＝x3e x f（x），g′（x）＝x2e x[（x+3）f（x）+xf′（x）]，∵（x+1）f（x）+xf'（x）＞0，∴g′（x）＝x2e x[（x+1）f（x）+x′（x）]＞0，故函数g（x）在R上单调递增，而g（0）＝0，∴x＞0时，g（x）＝x3e x f（x）＞0⇒f（x）＞0；x＜0时，g（x）＝x3e x f（x）＜0⇒f（x）＞0；在（x+3）f（x）+xf'（x）＞0中取x＝0，得f（0）＞0．综上，f（x）＞0．故选：A．【点评】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，关键是构造函数，并分析函数的单调性．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）如果复数（a∈R）为实数，则a＝﹣2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求得a值．【解答】解：∵＝为实数，∴2+a＝0，即a＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．14．（5分）若a＝，则）展开式的常数项为240．【分析】求定积分得到a的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【解答】解：若a＝＝e x＝e ln3﹣e0＝2，则＝，它的展开式通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x12﹣3r，令12﹣3r＝0，求得r＝4，可得它的展开式的常数项为•16＝240，故答案为：240．【点评】本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．15．（5分）已知m，n为正实数，则当＝1时取得最小值．【分析】根据条件可得＝，然后利用基本不等式求出的最小值，即可得到的值．【解答】解：∵m，n为正实数，∴＝≥＝5，当且仅当，即时取等号，∴当＝1时，取得最小值．故答案为：1．【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，考查了转化思想，属中档题．16．（5分）函数＝x3+2017x﹣2017﹣x+1．若f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2对∀θ∈R 恒成立，则t的取值范围是（，+∞）．【分析】由题意可得f（+x）+f（﹣x）＝2，f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2对∀θ∈R 恒成立可转化为，可令x＝cos2θ，则f（sin2θ）+f（sinθ+t）＞f（1+cos2θ）+f（1﹣cos2θ），可得f（sinθ+t）＞f（1+cos2θ）恒成立，可令x＝sinθ+cosθ﹣，则可得f（sin2θ﹣t）＜f（1﹣sinθ﹣cosθ）恒成立，再由f（x）的单调性和参数分离，转化为求最值，即可得到所求范围．【解答】解：f（x+）＝x3+2017x﹣2017﹣x+1，可得f（﹣x）＝﹣x+2017﹣x﹣2017x+1，则f（+x）+f（﹣x）＝2，f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2，即为f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2＝f（+x）+f（﹣x），f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2对∀θ∈R恒成立，可令x＝sinθ+cosθ﹣，则f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜f（sinθ+cosθ）+f（1﹣sinθ﹣cosθ），可得f（sin2θ﹣t）＜f（1﹣sinθ﹣cosθ）恒成立，由于f（x+）在R上递增，f（x+）的图象向右平移个单位可得f（x）的图象，则f（x）在R上递增，可得sin2θ﹣t＜1﹣sinθ﹣cosθ恒成立，即有t＞sin2θ+sinθ+cosθ﹣1，设g（θ）＝sin2θ+sinθ+cosθ﹣1＝（sinθ+cosθ）2﹣（sinθ+cosθ）﹣2再令sinθ+cosθ＝m，则m＝sin（θ+），则﹣≤m≤，则g（m）＝m2﹣m﹣2，其对称轴m＝，故当m＝﹣时，g（m）取的最大值，最大值为2+﹣2＝．则t＞，故答案为：（，+∞）【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，以及函数的单调性和对称性，考查化简整理的运算能力，属于难题．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示、（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设g（x）＝f（x）+2sin（x﹣）sin（x+），求函数g（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最小值．【分析】（Ⅰ）先确定周期，再确定ω，代入最值点求得φ值．（Ⅱ）观察角度之间的关系，根据二倍角公式、辅助角公式化简g（x），求得周期，并用整体法求函数在区间的最值．【解答】解：（Ⅰ）由图象知：A＝1，T＝，∴ω＝＝2．又∵2×+φ＝+2kπ，∴φ＝+2kπ，又，∴φ＝，即函数解析式为f（x）＝sin（2x+）．（Ⅱ）g（x）＝sin（2x+）+2sin（x﹣）sin[（x﹣）+]＝sin（2x+）+2sin （x﹣）cos（x﹣）＝sin（2x+）+sin（2x﹣）＝sin2x+cos2x﹣sin2x﹣cos2x＝（sin2x﹣cos2x）＝sin（2x﹣）．∴g（x）的最小正周期为π，∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴当2x﹣＝﹣，即x＝0时，g（x）的最小值为．【点评】本题考查根据函数图象求解析式，掌握二倍角公式，辅助角公式，属于基础题．18．（12分）我市准备实施天然气价格阶梯制，现提前调査市民对天然气价格阶梯制的态度，随机抽查了50名市民，现将调査情况整理成了被调査者的频率分布直方图（图5）和赞成者的频数表如下：（Ⅰ）若从年龄在[15，25），[45，55）的被调查者中各随机选取2人进行调查，求所选取的4人中至少有2人对天然气价格阶梯制持赞成态度的概率；（Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调査者中各随机选取2人进行调査，记选取的4人中对天然气价格实施阶梯制持不赞成态度的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）结合频率分布直方图与频数表可得各组的情况列表，利用对立事件概率计算公式有求出所选取的4人中到少有2人对天然气价格阶梯制持赞成态度的概率．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E （X）．【解答】解：（Ⅰ）结合频率分布直方图与频数表可得各组的情况如下表：∴所选取的4人中到少有2人对天然气价格阶梯制持赞成态度的概率为：P1＝1﹣＝．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝．P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：E（X）＝＝．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．（12分）如图6，梯形ABCD中，AB∥CD，矩形BFED所在的平面与平面ABCD垂直，且AD＝DC＝CB＝BF＝AB＝2．（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BFED；（Ⅱ）若P为线段EF上一点，直线AD与平面P AB所成的角为θ，求θ的最大值．【分析】（Ⅰ）取AB的中点G，连结DG，推导出四边形BCDG是平行四边形，AD⊥BD，AD⊥平面BFED，由此能证明平面ADE⊥平面BFED．（Ⅱ）由于BFED是矩形，BD⊥DE，由AD⊥平面BFED，以D为坐标原点，DA，DB，DE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出θ的最大值．【解答】解：（Ⅰ）如图，取AB的中点G，连结DG，则CD AB，∴CD DG，∴四边形BCDG是平行四边形，∴DG＝BC＝AB＝AG＝BG，∴AD⊥BD，又平面ABCD⊥平面BFED，且平面ABCD∩平面BFED＝BD，∴AD⊥平面BFED，又AD⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面BFED．（Ⅱ）解：由于BFED是矩形，∴BD⊥DE，由（Ⅰ）知AD⊥平面BFED，以D为坐标原点，DA，DB，DE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，D（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），＝（2，0，0），设点P（0，t，2），＝（﹣2，2，0），＝（﹣2，t，2），平面P AB的法向量＝（x，y，z），∴，取y＝2，得平面P AB的一个法向量为＝（2，2，2﹣t），∴sinθ＝＝，当t＝2时，（sinθ）max＝，∴θmax＝．∴θ的最大值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．（12分）已知椭圆C1：（a＞b＞0）的离心率为，过点E（，0）的椭圆C1的两条切线相互垂直．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）在椭圆C1上是否存在这样的点P，过点P引抛物线C2：x2＝4y的两条切线l1，l2，切点分别为B，C，且直线BC过点A（1，1）？若存在，指出这样的点P有几个（不必求出点的坐标）；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由椭圆的对称性，不妨设在x轴上方的切点为M，x轴下方的切点为N，求得NE的方程为y＝x﹣，由椭圆离心率把椭圆方程化为，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式等于0求得c，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设B（x1，y1），C（x2，y2），P（x0，y0），由抛物线方程利用导数求得抛物线C2：x2＝4y在点B处的切线l1，由点P（x0，y0）在切线l1上，得，同理，则点B，C的坐标都满足方程，可得直线BC的方程为，再由点A（1，1）在直线BC上，得，可得点P的轨迹方程为y＝，进一步得到直线y＝经过椭圆C1内一点（0，﹣1），可得直线y＝与椭圆C1有两个交点，则满足条件的P有两个．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的对称性，不妨设在x轴上方的切点为M，x轴下方的切点为N，则k NE＝1，NE的方程为y＝x﹣．∵椭圆C1的（a＞b＞0）的离心率为，即，则a＝2c，b＝，∴椭圆C1的方程：，联立，得．由△＝，得c＝1．∴椭圆C1的方程为；（Ⅱ）设B（x1，y1），C（x2，y2），P（x0，y0），由x2＝4y，得，y，∴抛物线C2：x2＝4y在点B处的切线l1为，即，∵，∴y＝．∵点P（x0，y0）在切线l1上，∴，①同理，②综合①②得，点B，C的坐标都满足方程．∵经过B，C两点的直线是唯一的，∴直线BC的方程为．∵点A（1，1）在直线BC上，∴，∴点P的轨迹方程为y＝．又∵点P在椭圆C1上，又在直线y＝上，∴直线y＝经过椭圆C1内一点（0，﹣1），∴直线y＝与椭圆C1有两个交点，∴满足条件的P有两个．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆锥曲线的综合，考查计算能力，属难题．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣aln（x+4）（a∈R）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）若﹣1＜x2＜0，求证：f（x1）+9x2＞0．【分析】（Ⅰ）f（x）存在两个极值点x1，x2，关于x的方程2x﹣＝0，即x2+8x﹣a ＝0在（﹣4，+∞）内有两个不等实根，进而解出答案．（Ⅱ）由（Ⅰ）知⇒，＝＝，只需确定它的最大值就可证明．【解答】解：由题意：f′（x）＝2x﹣（x＞﹣4），∵f（x）存在两个极值点x1，x2，∴关于x的方程2x﹣＝0，即x2+8x﹣a＝0在（﹣4，+∞）内有两个不等实根，令s（x）＝2x2+8x（x＞﹣4），t（x）＝a，则s（x）与t（x）的图象有两个不同的交点，结合图象可得a∈（﹣8，0），（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知⇒，＝，＝，令g（x）＝x++8﹣2（x+2）ln（﹣x）（﹣1＜x＜0），g′（x）＝1﹣﹣2ln（﹣x）﹣2（x+4）＝﹣﹣﹣1﹣2ln（﹣x），令F（x）＝g′（x）＝﹣﹣﹣1﹣2ln（﹣x），（﹣1＜x＜0），则F′（x）＝+﹣＝＜0，∴F（x）在（﹣1，0）单调递减，从而F（x）＜F（﹣1）＝﹣9＜0，即g′（x）＜0，∴g（x）在（﹣1，0）单调递减，从而g（x）＜g（﹣1）＝﹣9，即，又x2∈（﹣1，0），∴f（x1）＞﹣9x2，故f（x1）+9x2＞0．【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C1的极坐标方程为＝0，曲线C2的参数方程为，（θ为参数）（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（Ⅱ）若动点P，Q分别在曲线C1与曲线C2上运动，求|PQ|的最大值．【分析】（Ⅰ）首先利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用参数方程点的坐标公式，利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及函数的性质的应用求出函数的最大值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为＝0，转换为直角坐标方程为．圆心坐标为（0，2），r＝．曲线C2的参数方程为，（θ为参数）转换为直角坐标方程为．（Ⅱ）根据曲线C2的参数方程为，（θ为参数）设点Q（2cosθ，sinθ），则点Q与圆心的距离d＝＝＝，当时，，所以|PQ|的最大值为．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，两点间的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝2|x+1|+|x+3|的最小值为m，且f（a）＝m．（Ⅰ）求m及a的值；（Ⅱ）若实数p，q，r满足p2+2q2+r2＝m，证明：q（p+r）≤2．【分析】（1）利用绝对值不等式的性质可得m＝4，然后解方程可得a＝﹣1．（2）结合（1）的结论，原不等式即p2+2q2+r2＝4，利用不等式的性质和均值不等式的结论即可证得题中的结论．【解答】解：（1）∵f（x）＝2|x+1|+|x+3|≥|x+1|+|x﹣3|≥|（x+1）﹣（x﹣3）|＝4，当且仅当，即x＝﹣1时，f（x）min＝4，∴m＝4，a＝﹣1．（2）证明：由（1）知：p2+2q2+r2＝4，∵p2+q2≥2pq，q2+r2≥2qr，∴p2+2q2+r2≥2pq+2qr＝2q（p+r），即2q（p+r）≤4，∴q（p+r）≤2．【点评】本题考查了绝对值不等式的应用以及均值不等式的应用，属于中档题．。
2019-2020学年辽宁省丹东市高三(上)10月月考数学试卷(理科)(解析版)
2019-2020学年辽宁省丹东市高三（上）10月月考数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，1}，则（∁U A）∩B＝（）A．{﹣1}B．{0，1}C．{﹣1，2，3}D．{﹣1，0，1，3} 2．设复数z满足（1+i）z＝2i，则z的共轭复数＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取50次，X表示抽到的二等品件数，则EX＝（）A．1B．0.98C．0.8D．0.14．四个人站成一排，其中甲乙相邻的站法有（）A．18种B．12种C．8种D．6种5．设D为△ABC所在平面内一点，若＝2，则＝（）A．+B．﹣C．﹣+D．+6．函数f（x）＝3x﹣3﹣x是（）A．奇函数，且在（﹣∞，+∞）上是增函数B．奇函数，且在（﹣∞，+∞）上是减函数C．偶函数，且在（﹣∞，+∞）上是增函数D．偶函数，且在（﹣∞，+∞）上是减函数7．已知α是第三象限的角，若cosα＝﹣，则tan（+）＝（）A．﹣2B．﹣C．D．28．函数f（x）＝（cos x﹣1）sin x在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．9．已设a，b都是正数，则“log a3＜log b3”是“3a＞3b＞3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件10．已知单位向量，，满足+＝，那么与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°11．若sin（x+）+cos（x﹣）＝，则sin（2x+）＝（）A．B．C．﹣D．﹣12．若函数f（x）＝恰有两个零点，则实数a的取值范围为（）A．[，1）B．（1，2]C．（0，）∪[2，+∞）D．[，1）∪[2，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在（1﹣x）4的展开式中，含x3项的系数是，各项系数和是．14．已知f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝lnx﹣3x，则f′（﹣1）＝．15．△ABC中，AB＝2，BC＝，cos A＝，则AC＝．16．已知函数f（x）＝（4﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x＝1对称，则a+b＝，f（x）的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．设函数f（x）＝sin x﹣2cos x+3．（1）若点（α，3）是f（x）图象的一个对称中心，求tanα；（2）当x＝β时，f（x）取得最小值，求cosβ．18．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表B配方的频数分布表（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y＝估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b sin＝a sin B．（1）求A；（2）若b＝2，c＝3，∠BAC平分线AD交BC于点D，求AD的长．20．已知f（x）是定义域为R的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x）．（1）证明：f（4+x）＝f（x）；（2）若f（1）＝2，求式子f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）的值．21．已知函数，曲线y＝f（x）在x＝1处的切线经过点（2，﹣1）．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设b＞1，求f（x）在区间上的最大值和最小值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为θ＝．（1）求C1的极坐标方程；（2）将曲线x2+y2＝13上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，得到曲线C3，若C2与C1的交点为A（异于坐标原点O），C2与C3的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+a2+3|+|x﹣2a|．（1）当a＝﹣1时，求不等式f（x）＞3的解集；（2）证明：f（x）≥2，并指出等号的成立条件．2019-2020学年辽宁省丹东市高三（上）10月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣1，0，1}，则（∁U A）∩B＝（）A．{﹣1}B．{0，1}C．{﹣1，2，3}D．{﹣1，0，1，3}【解答】解：∵∁U A＝{﹣1，3}，∴（∁U A）∩B＝{﹣1，3}∩{﹣1，0，l}＝{﹣1}故选：A．2．设复数z满足（1+i）z＝2i，则z的共轭复数＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【解答】解：∵复数z满足（1+i）z＝2i，∴z＝＝＝i（1﹣i）＝1+i，∴z的共轭复数为＝1﹣i．故选：D．3．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取50次，X表示抽到的二等品件数，则EX＝（）A．1B．0.98C．0.8D．0.1【解答】解：由题意知，随机变量X服从二项分布，即X～B（50，0.02），故E（X）＝50×0.02＝1．故选：A．4．四个人站成一排，其中甲乙相邻的站法有（）A．18种B．12种C．8种D．6种【解答】解：相邻问题运用捆绑法，甲乙捆绑，再与其它2人，全排，故甲、乙二人相邻的不同排法共A22•A33＝12种．故选：B．5．设D为△ABC所在平面内一点，若＝2，则＝（）A．+B．﹣C．﹣+D．+【解答】解：由于，所以，所以．故选：C．6．函数f（x）＝3x﹣3﹣x是（）A．奇函数，且在（﹣∞，+∞）上是增函数B．奇函数，且在（﹣∞，+∞）上是减函数C．偶函数，且在（﹣∞，+∞）上是增函数D．偶函数，且在（﹣∞，+∞）上是减函数【解答】解：∵f（x）＝3x﹣3﹣x，∴f（﹣x）＝3﹣x﹣3x＝﹣（3x﹣3﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）＝3x﹣3﹣x为奇函数，故可排除C，D；又f′（x）＝3x ln3﹣[（3﹣x ln3）×（﹣1）]＝ln3（3x+3﹣x）＞0，∴f（x）＝3x﹣3﹣x在（﹣∞，+∞）上是增函数，A符合题意，可排除B；故选：A．7．已知α是第三象限的角，若cosα＝﹣，则tan（+）＝（）A．﹣2B．﹣C．D．2【解答】解：α是第三象限的角，cosα＝﹣，∴sinα＝，∴tan＝＝＝﹣3，则tan（+）＝＝．故选：B．8．函数f（x）＝（cos x﹣1）sin x在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：，易知，函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除AB选项，观察CD选项，显然D选项正确．故选：D．9．已设a，b都是正数，则“log a3＜log b3”是“3a＞3b＞3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由log a3＜log b3，得，＜，得0＜b＜a＜1或0＜a＜1＜b或a＞b＞1，由3a＞3b＞3，得a＞b＞1，∴“log a3＜log b3”是“3a＞3b＞3”的必要不充分条件．故选：B．10．已知单位向量，，满足+＝，那么与的夹角为（）A．30°B．60°C．120°D．150°【解答】解：单位向量，，满足+＝，那么＝﹣，则＝3﹣2•+，化简得2•＝3，解得•＝，所以cosθ＝＝；又θ∈[0°，180°]，所以与的夹角为30°．故选：A．11．若sin（x+）+cos（x﹣）＝，则sin（2x+）＝（）A．B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵sin（x+）+cos（x﹣），＝sin[（x）+cos（x﹣），＝2cos（x﹣）＝，∴sin（x+）＝cos（x﹣）＝，则cos（2x+）＝1﹣2＝1﹣2×＝，∵cos（2x+）＝cos[（2x+）+]，＝﹣sin（2x+）＝，故sin（2x+）＝﹣．故选：C．12．若函数f（x）＝恰有两个零点，则实数a的取值范围为（）A．[，1）B．（1，2]C．（0，）∪[2，+∞）D．[，1）∪[2，+∞）【解答】解：设h（x）＝2x﹣a，g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a），若在x＜1时，h（x）＝2x﹣a与x轴有一个交点，所以a＞0，并且当x＝1时，h（1）＝2﹣a＞0，所以0＜a＜2，而函数g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，所以≤a＜1，若函数h（x）＝2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，则函数g（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当h（1）＝2﹣a≤0时，即a≥2时，g（x）的两个交点满足x1＝a，x2＝2a，都是满足题意的，综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在（1﹣x）4的展开式中，含x3项的系数是﹣4，各项系数和是0．【解答】解：在（1﹣x）4的展开式中，T r+1＝＝（﹣1）r x r，当r＝3时，含x3项的系数是：（﹣1）3＝﹣4，在（1﹣x）4的展开式中，各项系数和是（1﹣1）4＝0．故答案为：﹣4，0．14．已知f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）＝lnx﹣3x，则f′（﹣1）＝2．【解答】解：根据题意，设x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝ln（﹣x）﹣3×（﹣x）＝ln（﹣x）+3x，又由f（x）为偶函数，则f（x）＝f（﹣x）＝ln（﹣x）+3x，则f′（x）＝+3，则有f′（﹣1）＝+3＝2；故答案为：2．15．△ABC中，AB＝2，BC＝，cos A＝，则AC＝3．【解答】解：在△ABC中，AB＝2，BC＝，cos A＝，设AC＝x，利用余弦定理，整理得3x2﹣8x﹣3＝0，解得x＝3或﹣（负值舍去）．故答案为：316．已知函数f（x）＝（4﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x＝1对称，则a+b＝﹣4，f（x）的最大值为16．【解答】解：由4﹣x2＝0可得x＝2或x＝﹣2，即（2，0），（﹣2，0）是函数的零点，∵f（x）＝（4﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x＝1对称，故（2，0），（﹣2，0）关于x＝1对称的点（0，0），（4，0）也是函数的零点，故0，4是x2+ax+b＝0的根，故b＝0，a＝﹣4，a+b＝﹣4，又f（x）＝（4﹣x2）（x2﹣4x），∴f′（x）＝﹣4（x﹣1）（x2﹣2x﹣4），令f′（x）＝﹣4（x﹣1）（x2﹣2x﹣4）＞0可得，当x或1﹣，f′（x）＜0，此时函数单调递减，当1或x时，f′（x）＞0，此时函数单调递增，又当x→∞时，f（x）＜0，f（1+）＝f（1﹣）＝16．故答案为：﹣4，16．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．设函数f（x）＝sin x﹣2cos x+3．（1）若点（α，3）是f（x）图象的一个对称中心，求tanα；（2）当x＝β时，f（x）取得最小值，求cosβ．【解答】解：（1）∵f（x）＝sin x﹣2cos x+3＝（x+φ）+3，∵（α，3）是f（x）图象的一个对称中心，∴sin（α+φ）＝0，∴f（α）＝3，可得sinα＝2cosα，∴tanα＝2，（2）由题意可得，f（β）＝3﹣，∴sinβ﹣2cosβ＝，①∵x＝β时，f（x）取得最小值，∴x＝β时，f（x）取得极小值，故f′（β）＝0，∵f′（x）＝cos x+2sin x，∴cosβ+2sinβ＝0，②①②联立可得，cosβ＝，18．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表B配方的频数分布表（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y＝估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．【解答】解：（1）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为＝0.3，所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为＝0.42，所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42．（2）由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t≥94．由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96．所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96．用B配方生产的产品平均一件的利润为×[4×（﹣2）+54×2+42×4]＝2.68（元）．19．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b sin＝a sin B．（1）求A；（2）若b＝2，c＝3，∠BAC平分线AD交BC于点D，求AD的长．【解答】解：（1）∵b sin＝a sin B，∴由正弦定理可得sin B sin＝sin A sin B，∵sin B≠0，∴sin＝sin A，∵A+B+C＝180°，∴sin＝cos，∴cos＝2sin cos，∵cos≠0，∴sin＝，∴A＝60°．（2）∵b＝2，c＝3，A＝60°，∴S△ABC＝b•c•sin A＝，S△ABD＝b•AD•sin30°＝AD，S△ACD＝b•AD•sin30°＝AD，∴由AD+AD＝，可得AD＝．20．已知f（x）是定义域为R的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x）．（1）证明：f（4+x）＝f（x）；（2）若f（1）＝2，求式子f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）的值．【解答】解：（1）证明：根据题意，f（x）是定义域为R的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f （x），又由f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），则f（﹣x）＝f（2+x），则有f（x+2）＝﹣f（x），变形可得：f（x+4）＝f（x），即可得证明；（2）由（1）的结论，f（x+4）＝f（x），又由f（x）是定义域为R的奇函数，则f（0）＝0，则f（2）＝﹣f（0）＝0，f（3）＝﹣f（1）＝﹣2，f（4）＝f（0）＝0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0+（﹣2）+0＝0，则有f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]×12+f（49）+f（50）＝f（1）+f（2）＝2．21．已知函数，曲线y＝f（x）在x＝1处的切线经过点（2，﹣1）．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）设b＞1，求f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）f（x）的导函数为，………………所以f'（1）＝1﹣a．依题意，有，即，………………解得a＝1．………………（Ⅱ）由（Ⅰ）得．当0＜x＜1时，1﹣x2＞0，﹣lnx＞0，所以f'（x）＞0，故f（x）单调递增；当x＞1时，1﹣x2＜0，﹣lnx＜0，所以f'（x）＜0，故f（x）单调递减．所以f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减．………………因为，所以f（x）最大值为f（1）＝﹣1．………………设，其中b＞1．………………则，故h（b）在区间（1，+∞）上单调递增．………………所以h（b）＞h（1）＝0，即，………………故f（x）最小值为．………………[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为θ＝．（1）求C1的极坐标方程；（2）将曲线x2+y2＝13上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，得到曲线C3，若C2与C1的交点为A（异于坐标原点O），C2与C3的交点为B，求|AB|．【解答】解：（1）由曲线C1的参数方程为（α为参数），消去参数α，可得C1的普通方程为（x﹣1）2+y2＝1，代入x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ；（2）由题意可得曲线C3，x2+（2y）2＝13，将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，化简得C3的极坐标方程为ρ2+3ρ2sin2θ＝13．将θ＝分别代入ρ＝2cosθ与ρ2+3ρ2sin2θ＝13．得A，B两点的极径ρ1＝1，ρ2＝2，∴|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝|2﹣1|＝1．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+a2+3|+|x﹣2a|．（1）当a＝﹣1时，求不等式f（x）＞3的解集；（2）证明：f（x）≥2，并指出等号的成立条件．【解答】解：（1）当a＝﹣1时，f（x）＝|x+4|+|x+2|＝，∵f（x）＞3，∴或，∴或，∴不等式的解集为{x|或}；（2）f（x）＝|x+a2+3|+|x﹣2a|≥|（x+a2+3）﹣（x﹣2a）|＝|a2+2a+3|，∵a2+2a+3＝（a+1）2+2≥2，∴f（x）≥2，此时等号成立的条件是a＝﹣1，﹣4≤x≤﹣2．。
2023-2024学年福建省龙岩市第一中学高三上学期第一次月考数学试题及答案
龙岩一中2024届高三上学期第一次月考数学试题（考试时间：120分钟 满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一一次可使杂质含量减少1/4，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为（已知：lg2=0.3010，lg3=0.4771）（ ）目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知A B 、为实数集R 的非空集合，则A B ≠⊂的必要不充分条件可以是（ ）A ．AB A ⋂=B ．A ∩C R B =C ．C R B ≠⊂C R AD ．B ∪C R A=R三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知实数集R ，集合A ＝{x|log 2x<1}，B ＝{x ∈Z |x 2＋4≤5x}，则(C R A)∩B ＝ 15. 已知()24,1,log ,2,ax x f x x x +≤⎧=⎨≥⎩则()()0f f =______；若函数()f x 的值域为[)1,+∞，则a 的最小值为______．17.（本题满分10分）已知集合{}2680A x x x =-+<，{}22430B x x ax a =-+<.（1）若a =1，求（C R B ）∩A ；（2）若a >0，设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，已知命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值围.18. （本题满分12分）已知函数1(=21xf x a +-）是奇函数.（1）求a ；（2）若[](1ln 0f x x -⋅<），求x 的范围.19．（本题满分12分）已知函数232)1(31)(x k x x f +-=，kx x g -=31)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数．（1）求实数k 的取值范围；（2）若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．20. （本题满分12分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出()*x x N∈名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元()0a >，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%x .（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？21. （本题满分12分）已知函数())2log f x x =-是R 上的奇函数，()2g x t x a =--.(1)若函数()f x 与()g x 有相同的零点，求t 的值；(2)若123,,24x x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，()()12f x g x ≤，求t 的取值范围.22. （本题满分12分）已知函数()()2122e x f x x a x a -⎡⎤=+-+-⎣⎦，a ∈R ．(1)讨论函数()f x 单调性；(2)当0a =时，若函数()()()11g x f x m x =---在[)0,∞+有两个不同零点，求实数m 的取值范围．龙岩一中2024届高三上学期第一次月考数学参考答案题号123456789101112答案BBCDDDABABDCDBCDABD13.{2，3，4}143-15.2, -316.-1两个函数图象如下图所示：121,ln ln e 1x x <<=，又当1x <时，()f x 单调递增，所以又由{}2680(2,4)A x x x =-+<=，所以()[)3,4B A ⋂=R ð.. ........5分（2）当0a >时，可得(),3B a a =.因为命题p 是命题q 的充分不必要条件，则A ≠⊂B ，可得243a a≤⎧⎨≤⎩，等号不能同时成立，解得423a ≤≤，所以实数a 的取值范围为4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ ......10分18. .......1分.....................6分 （用特殊值没检验的，扣2分）................8分.....................12分19．解：（1）由题意xk x xf )1()(2+-=' ∵)(x f 在区间),2(+∞上为增函数，≥0在区间（2，+∞）上恒成立..........2分即k+1≤x 恒成立，又2>x ，∴21≤+k ，故1≤k ∴k 的取值范围为1≤k ..........4分 ( 没有等号扣2分)（2）设312)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h ，)1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h ...........6分令0)(='x h 得k x =或1=x 由（1）知1≤k ，①当1=k 时，0)1()(2≥-='x x h ，)(x h 在R 上递增，显然不合题意...........7分②当1<k 时，)(x h ，)(x h '随x 的变化情况如下表：x ),(k -∞k )1,(k 1),1(+∞)(x h '+0—0+)(x h ↗极大值312623-+-k k ↘极小值21-k ↗由于021<-k ，欲使)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，即方程0)(=x h 有三个不同的实根，故需0312623>-+-k k ，即0)22)(1(2<---k k k ...........10分∴⎩⎨⎧>--<02212k k k ，解得31-<k ,综上，所求k 的取值范围为31-<k ...........12分20. 解：（1）由题意，得()()10100010.2%101000x x -+≥⨯，..................3分即25000x x -≤，又0x >，所以0500x <≤.即最多调整500名员工从事第三产业. ..........5分（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为310500⎛⎫- ⎪⎝⎭x a x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)1500⎛⎫-+⎪⎝⎭x x 万元，..............7分21. 解:(1)因为())2log f x x =-是R 上的奇函数，所以()00f =，即log 0=解得1a =..................2分因为0x =是函数()f x 的零点，所以()010g t =-=，则1t =....................4分(2)由(1)可得())2log f x x =-，()121,221121,2x t x g x t x x t x ⎧-++≥⎪⎪=--=⎨⎪+-<⎪⎩， (6)分因为奇函数())2log log f x x ==()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，则()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为()2max 33log 144f x f ⎫⎛⎫⎛⎫⎪=-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭.......8分因为()121,2121,2x t x g x x t x ⎧-++≥⎪⎪=⎨⎪+-<⎪⎩，所以()gx 在31,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数.则()g x 的最小值为34g ⎛⎫-⎪⎝⎭和()2g 中的较小的一个.因为33521442g t t ⎛⎫⎛⎫-=⨯-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22213g t t =-⨯++=-.所以()()min 23g x g t ==-.............10分因为123,,24x x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，()()12f x f x ≤，所以13t ≤-.解得4t ≥.故t 的取值范围为[)4,+∞.....................12分22. 解（1）：因为()()2122e x f x x a x a -⎡⎤=+-+-⎣⎦定义域为R ，所以()()()211e e x xf x x ax x x a --'=+=+，..........1分当0a >时，令()0f x ¢>，解得0x >或x a <-，令()0f x '<，解得0a x -<<，所以()f x 在(),0a -上单调递减，在(),a -∞-和()0,∞+上单调递增，..........2分当0a =时()21e 0xf x x -'=≥恒成立，所以()f x 在R 上单调递增， ..........3分当a<0时，令()0f x ¢>，解得x a >-或0x <，令()0f x '<，解得0x a <<-，所以()f x 在()0,a -上单调递减，在(),0∞-和(),a -+∞上单调递增，..........4分综上可得，当0a >时，()f x 在(),0a -上单调递减，在(),a -∞-和()0,∞+上单调递增；当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当a<0时，()f x 在()0,a -上单调递减，在(),0∞-和(),a -+∞上单调递增；..........5分解（2）：当0a =时，()()()()()211122e 11x g x f x m x x x m x -=---=-+---，所以()21e x g x x m -'=-，令()()21e x P x g x x m -'==-，则()()212e 0x P x x x -'=+>，所以()21e x g x x m -'=-在[)0,∞+上单调递增，所以()()0g x g m ''≥=-，①当0m -≥，即0m ≤时()()00g x g m ''≥=-≥，所以()g x 在[)0,∞+上单调递增，又()10g =，所以函数()g x 只有一个零点，不符合题意，舍去；..........6分②当0m -<，即0m >时()()00g x g m ''≥=-<，又()()211e 0m g m m m '+=+->，所以存在唯一的()00,1x m ∈+，使得()00g x '=，当()00,x x ∈时，'()0g x <，当()0,x x ∈+∞时，'()0g x >所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又()11g m '=-，当1m =时()10g '=，此时01x =，所以()()10g x g ≥=，函数()g x 只有一个零点，不符合题意，舍去；当1m ≠时()110g m '=-≠，01x ≠，此时有两个零点时，应满足()()0000g g x ⎧≥⎪⎨<⎪⎩，..........8分即()()()011200002e 1022e 110x m g x x x m x --⎧+-≥⎪⎨=-+---<⎪⎩，其中()()()()()0001112220000000022e 1122e e 11x x x g x x x m x x x x x ---=-+---=-+---()0132000222e 1x x x x -=-+-+-，..........9分设()()321222e 1x h x x x x -=-+-+-，()0,1x m ∈+，则()()()121e x h x x x x -'=+-，令()()()121e 0x h x x x x -'=+-=，解得1x =，所以当01x <<时()0h x '>，当11x m <<+时()0h x '<，所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,1m +上单调递减，所以()()10h x h ≤=，..........11分即()()()012000022e 110x g x x x m x -=-+---<恒成立，所以112e m -≥-且1m ≠...........12分【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．龙岩一中2024届高三上学期第一次月考数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一故选：D5．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少1/4，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为（已知：lg2=0.3010，lg3=0.4771）（ ）A．8B．9C．10D．11【答案】D【详解】设至少需要过滤n次，则10.0210.0014n⎛⎫⨯-≤⎪⎝⎭，即31420n⎛⎫≤⎪⎝⎭,所以3lg204nlg≤-，即lg2010.301010.42lg4lg320.30100.4471n+≥=≈-⨯-，又n N∈，所以11n≥，所以至少过滤11次才能使产品达到市场要求,故选D．【点睛】本题主要考查指数与对数的运算，考查学生的阅读能力，考查学生的建模能力，属于中档题．与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区ln二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知A B 、为实数集R 的非空集合，则A B ≠⊂的必要不充分条件可以是（ ）⊂-x 121,ln ln e 1x x <<=，又当1x <时，()f x 单调递增，所以()()3233223ln 3ln ln ln e ex x x x x f x f x x ==⇒=，又2x 所以23ln x x =，332222ln 1ln ln x x x x x x m ===，21ln x x =确，故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知实数集R ，集合A ＝{x|log 2x<1}，B ＝{x ∈Z |x 2＋4≤5x}，则(C R A)∩B ＝ 【答案】{2，3，4}解析 由log 2x<1，解得0<x<2，故A ＝(0，2)，故C R A ＝(－∞，0]∪[2，＋∞)，由x 2＋4≤5x ，即x 2－5x ＋4≤0，解得1≤x ≤4，又x ∈Z ，所以B ＝{1，2，3，4}．15. 已知()24,1,log ,2,ax x f x x x +≤⎧=⎨≥⎩则()()0f f =______；若函数()f x 的值域为[)1,+∞，则a 的最小值为______．【答案】23- 【详解】()()()204log 42f f f ===，要使得函数()f x 的值域为[)1,+∞，则满足041a a ≤⎧⎨+≥，解得30a -≤≤，所以实数a 的最小值为3-．出文字说明、证明过程和演算步骤．17.（本题满分10分）已知集合{}2680A x x x =-+<，{}22430B x x ax a =-+<.（1）若a =1，求（C R B ）∩A ；（2）若a >0，设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，已知命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值围.17解：（1）当1a =时，{}2430(1,3)B x x x =-+<=，可得][(),13,=-∞⋃+∞R B ð，又由{}2680(2,4)A x x x =-+<=，所以()[)3,4B A ⋂=R ð.. ........5分（2）当0a >时，可得(),3B a a =.因为命题p 是命题q 的充分不必要条件，则A ≠⊂B ，可得243a a≤⎧⎨≤⎩，等号不能同时成立，解得423a ≤≤，所以实数a 的取值范围为4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦ (10)分18. （本题满分12分）已知函数1(=21x f x a +-）是奇函数.（1）求a ；（2）若[](1ln 0f x x -⋅<），求x 的范围........1分.....................6分 （用特殊值没检验的，扣2分）.....................8分.....................12分19．（本题满分12分）已知函数232)1(31)(x k x x f +-=，kx x g -=31)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数．（1）求实数k 的取值范围；（2）若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．解：（1）由题意x k x x f )1()(2+-=' ∵)(x f 在区间),2(+∞上为增函数，≥0在区间（2，+∞）上恒成立..........2分即k+1≤x 恒成立，又2>x ，∴21≤+k ，故1≤k ∴k 的取值范围为1≤k ..........4分 ( 没有等号扣2分)（2）设312)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h ，)1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h ...........6分令0)(='x h 得k x =或1=x 由（1）知1≤k ，②当1=k 时，0)1()(2≥-='x x h ，)(x h 在R 上递增，显然不合题意...........7分②当1<k 时，)(x h ，)(x h '随x 的变化情况如下表：x ),(k -∞k )1,(k 1),1(+∞)(x h '+0—0+)(x h ↗极大值312623-+-k k ↘极小值21-k ↗由于021<-k ，欲使)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，即方程0)(=x h 有三个不同的实根，故需0312623>-+-k k ，即0)22)(1(2<---k k k ...........10分∴⎩⎨⎧>--<02212k k k ，解得31-<k ,综上，所求k 的取值范围为31-<k ...........12分20. （本题满分12分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元.为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出()*x x N∈名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为310500x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元()0a >，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2%x .（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（2）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？解：（1）由题意，得()()10100010.2%101000x x -+≥⨯，..................3分即25000x x -≤，又0x >，所以0500x <≤.即最多调整500名员工从事第三产业. ..........5分（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为310500⎛⎫-⎪⎝⎭x a x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为110(1000)1500⎛⎫-+ ⎪⎝⎭x x 万元，..............7分21. （本题满分12分）已知函数())2log f x x =是R 上的奇函数，()2g x t x a =--.(1)若函数()f x 与()g x 有相同的零点，求t 的值；(2)若123,,24x x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，()()12f x g x ≤，求t 的取值范围.解:(1)因为())2log f x x =是R 上的奇函数，所以()00f =，即log 0=解得1a =..................2分因为0x =是函数()f x 的零点，所以()010g t =-=，则1t =....................4分(2)由(1)可得())2log f x x =-，()121,221121,2x t x g x t x x t x ⎧-++≥⎪⎪=--=⎨⎪+-<⎪⎩，............6分因为奇函数())22log log f x x =-=()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，则()f x 在3,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为()2max 33log 144f x f ⎫⎛⎫⎛⎫⎪=-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭.......8分因为()121,2121,2x t x g x x t x ⎧-++≥⎪⎪=⎨⎪+-<⎪⎩，所以()g x 在31,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数.则()g x 的最小值为34g ⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2g 中的较小的一个.因为33521442g t t ⎛⎫⎛⎫-=⨯-+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22213g t t =-⨯++=-.所以()()min 23g x g t ==-.............10分因为123,,24x x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，()()12f x x ，所以13t ≤-.解得4t ≥.故t 的取值范围为[)4,+∞.....................12分22. （本题满分12分）已知函数()()2122e x f x x a x a -⎡⎤=+-+-⎣⎦，a ∈R ．(1)讨论函数()f x 单调性；(2)当0a =时，若函数()()()11g x f x m x =---在[)0,∞+有两个不同零点，求实数m 的取值范围．解（1）：因为()()2122e x f x x a x a -⎡⎤=+-+-⎣⎦定义域为R ，所以()()()211e e x xf x x ax x x a --'=+=+，..........1分当0a >时，令()0f x ¢>，解得0x >或x a <-，令()0f x '<，解得0a x -<<，所以()f x 在(),0a -上单调递减，在(),a -∞-和()0,∞+上单调递增，..........2分当0a =时()21e 0xf x x -'=≥恒成立，所以()f x 在R 上单调递增， ..........3分当a<0时，令()0f x ¢>，解得x a >-或0x <，令()0f x '<，解得0x a <<-，所以()f x 在()0,a -上单调递减，在(),0∞-和(),a -+∞上单调递增，..........4分综上可得，当0a >时，()f x 在(),0a -上单调递减，在(),a -∞-和()0,∞+上单调递增；当0a =时，()f x 在R 上单调递增；当a<0时，()f x 在()0,a -上单调递减，在(),0∞-和(),a -+∞上单调递增；..........5分解（2）：当0a =时，()()()()()211122e 11x g x f x m x x x m x -=---=-+---，所以()21e x g x x m -'=-，令()()21e x P x g x x m -'==-，则()()212e 0x P x x x -'=+>，所以()21e x g x x m -'=-在[)0,∞+上单调递增，所以()()0g x g m ''≥=-，①当0m -≥，即0m ≤时()()00g x g m ''≥=-≥，所以()g x 在[)0,∞+上单调递增，又()10g =，所以函数()g x 只有一个零点，不符合题意，舍去；..........6分②当0m -<，即0m >时()()00g x g m ''≥=-<，又()()211e 0m g m m m '+=+->，所以存在唯一的()00,1x m ∈+，使得()00g x '=，当()00,x x ∈时，'()0g x <，当()0,x x ∈+∞时，'()0g x >所以()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，又()11g m '=-，当1m =时()10g '=，此时01x =，所以()()10g x g ≥=，函数()g x 只有一个零点，不符合题意，舍去；当1m ≠时()110g m '=-≠，01x ≠，此时有两个零点时，应满足()()0000g g x ⎧≥⎪⎨<⎪⎩，..........8分即()()()011200002e 1022e 110x m g x x x m x --⎧+-≥⎪⎨=-+---<⎪⎩，其中()()()()()0001112220000000022e 1122e e 11x x x g x x x m x x x x x ---=-+---=-+---()0132000222e 1x x x x -=-+-+-，..........9分设()()321222e 1x h x x x x -=-+-+-，()0,1x m ∈+，则()()()121ex h x x x x -'=+-，令()()()121e0x h x x x x -'=+-=，解得1x =，所以当01x <<时()0h x '>，当11x m <<+时()0h x '<，所以()h x 在()0,1上单调递增，在()1,1m +上单调递减，所以()()10h x h ≤=，..........11分即()()()012000022e 110x g x x x m x -=-+---<恒成立，所以112e m -≥-且1m ≠...........12分【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。
2019届山东省德州市夏津县一中高三上学期第一次月考数学(理)试卷
2019届山东省德州市夏津县一中高三上学期第一次月考数学（理）试卷★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
时间：120分钟 满分：150分一． 选择题（本大题共12个小题，每题5分共60分）1已知集合{}2,0xM y y x ==>，{})2lg(2x x y x N -==，则MN 为（ ）A.()2,1B.()+∞,1C.[)+∞,2D.[)+∞,1 2. 函数()()()1ln 23x x f x x --=-的零点有A.0个B.1个C.2个D.3个 3. 下列判断正确的是（ ）A. 若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p q ∧”为真命题B. 命题“,20x x ∀∈>R ”的否定是“ 00,20x x ∃∈≤R ”C. “1sin 2α=”是“ 6πα=”的充分不必要条件 D. 命题“若0xy =，则0x =”的否命题为“若0xy =，则0x ≠”4. ）A C ．15.设0.1392,1,log 210a b gc ===，则a,b,c 的大小关系是 A. b c a >>B. a c b >>C. b a c >>D. a b c >>6.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()21ln f x xf x '=+，则()1f '=A. e -B. 1-C.1D.e7. 若ππ,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，sin 2=8θ，则sin θ=（ ）A.35 B.4534 8．已知函数()2x f x e =-，2()45g x x x =-+-.若有()()f b g a =，则a 的取值范围为 A ．(1,3) B．(2 C．[2 D ．[2,3] 9. 化简︒-︒+︒+︒+40cos 40sin 140cos 40sin 1得（ ）A ．－tan20°B ．－cot20°C ．tan20°D ．cot20°10.已知()sin ,510ααβαβ=-=-均为锐角， 则cos 2β=（ ） A．2-．1- C ．0 D ．111． 已知函数22cos ()xf x x x =+则y ＝f (x )的图象大致为 ()12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，在(0,2]上是增函数，且(4)()f x f x -=-，给出下列结论： ①若1204x x <<<且124x x +=，则12()()0f x f x +>；②若1204x x <<<且125x x +=，则12()()f x f x >；③若方程()f x m =在[8,8]-内恰有四个不同的实根1234,,,x x x x ，则12348x x x x +++=-或8；④函数()f x 在[8,8]-内至少有5个零点，至多有13个零点其中结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 已知()732log log log 0x =⎡⎤⎣⎦，那么12x =__________.14.已知函数2lg ,0,(),0.x x f x x x ->⎧=⎨<⎩ 若0()1f x =，则0x 的值是 ．15．已知4sin cos (0)34πθθθ+=<<，则sin cos θθ-= ．16.函数)cos()(x x f π=与函数||1|log |)(2-=x x g 的图像所有交点的横坐标之和为___________．二． 解答题(17题10分，18-22题每题12分，共80分)17.已知集合{}{}22log 8,0,14x A x x B xC x a x a x +⎧⎫=<=<=<<+⎨⎬-⎩⎭.（I ）求集合A B ⋂；（II ）若B C B ⋃=，求实数a 的取值范围.18.设命题p ：函数1y kx =+在R 上是增函数，命题()2:,2310q x R x k x ∃∈+-+=，如果p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，求k 的取值范围.19. 已知tan()24πα+=.（1）求tan α的值；（2）求22sin sin 21tan ααα++的值.20.设()ln 1f x a x =，（1）求()f x 的单调区间（2）证明：当1a =，1x >时，3()(1)2f x x <-.21. 某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形ABCD 的非农业用地中规划出一个高科技工业园区（如图中阴影部分），形状为直角梯形QPRE （线段EQ 和RP 为两个底边），已知2,6,4,AB km BC km AE BF km ====其中AF 是以A 为顶点、AD 为对称轴的抛物线段．试求该高科技工业园区的最大面积．22.已知函数31(),()ln 4f x x axg x x =++=-. (1)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线； （2）用min {},m n 表示m,n 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x => ，讨论()h x 零点的个数.高三理科数学参考答案：1-5 AABCD 6-10 BDADC 11-12BC13.或10 15.3-16.419.解：（1）因为=，所以；（2）===.20(1)解：定义域为()∞+，02121)('f-+=xxax=xxa22+当a≥0时，0)('>xf当a<0时，令0)('>xf解得24x a>；令0)('<xf，240ax<<综上所述：当a ≥0时，f(x)的递增区间为），（∞+0当a<0时，f(x)的递增区间为），（∞+2a 4，f(x)的递减区间为）（2a 4,0 （2）证明：（1）(证法一)记g (x )＝ln x ＋x －1－32(x －1).则当x >1时，g ′(x )＝1x ＋12x －32<0，g (x )在(1，＋∞)上单调递减.又g （1）＝0，有g (x )<0，即f (x )<32(x －1).(证法二)由均值不等式，当x >1时，2x <x ＋1，故x <x 2＋12.①令k (x )＝ln x －x ＋1，则k （1）＝0，k ′(x )＝1x－1<0，故k (x )<0，即ln x <x －1.②由①②得，当x >1时，f (x )<32(x －1).21解：解：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系如图，则(0,0),(2,4)A F ，…………（2分）由题意可设抛物线段所在抛物线的方程为2(0)y ax a =>，由242a =⨯得，1a =， ∴AF 所在抛物线的方程为2y x =，…………（3分）又(0,4),(2,6)E C ，∴EC 所在直线的方程为4y x =+，……（4分） 设()(02)P x x x <<2，，则22,4,4PQ x QE x PR x x ==-=+-， …………（5分）∴工业园区的面积223211(44)422S x x x x x x x =-++-⋅=-++(02)x <<，…………（6分）∴234,S x x '=-++令0S '=得43x =或1x =-（舍去负值），…………（8分）由表格可知，当3x =时，S 取得最大值27．…………（10分） 答：该高科技工业园区的最大面积10427． …………（12分）22.③若f ＜0，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当5344a -<<-时，()f x 在（0,1）有两个零点；当534a -<≤-时，()f x 在（0,1）有一个零点.…10分 综上，当34a >-或54a <-时，()h x 由一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点. ……12分。