解直角三角形的方法与技巧

解直角三角形常用解题方法与技巧
解直角三角形所涉及的知识面较广，题目灵活性、综合性较强，因而学习起来可能会有一定的困难，为帮助大家理解并掌握其中的解题方法与解题技巧，现结合实例归纳总结如下：
一、巧妙应变，走出解题陷阱
例1 如图①，在Rt △ABC 中，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∠A =90°，
⑴、若a =15，b =12，求c ；⑵、若b =8，c=15，求a ．
简析 由∠A =90°知，本题a 才是斜边，故应运用勾股定理
222b c a +=求解．
解 ⑴、∵∠A =90°，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∴222b c a +=，
又∵c ＞0，∴222215129c a b =-=-=．
⑵、由⑴知222b c a +=，∴222281517a b c =+=+=．
评注 解直角三角形问题，审题很重要，有时候稍一疏忽就有可能导致错解或者漏解的产生．本例在求解时正是注意到了斜边这一特殊边长的变化从而避免了解题错误的发生．
二、巧设参数，化繁难为简易
例2 如图②，在△ABC 中，∠C =90°，sin A =45
，求tan B 的值． 简析 要算tan B ，必须先求出直角边AC 、BC 的长，注意到题中只
有“sin A =35
”而没有给出相应线段的长，故考虑采用设参数的办法进行解决．
解 设BC =4k ，则AB =5k （k ＞0）．
∵在△ABC 中，∠C =90°，∴AC =2222(5)(4)3AB BC k k k -=-=，
∴tan AC B BC ==3344
k k =． 评注 对于已知特殊角而求三角函数值（或线段比值）的解直角三角形问题，有时候适当引入参数可以帮助我们在解题过程中少走不少弯路．
三、巧建模型，以不变应万变
例3 如图③所示，某小岛周围40海里内布满暗礁，一艘船由西向
东航行，起初在A 处测得小岛在北偏东60°方向，航行30海里后在B 处
又测得小岛在东北方向，如果该船不改变航行方向而继续向前航行，那
么它会有触礁危险吗？
简析 过O 作OH ⊥AB 于H ，将实际问题转化为解直角三角形问
题．不妨设OH =x ，则由AH －BH =AB 可得方程cot30°x －cot45°x =30，从中解出x 的值，接下去只需将OH 的值与40进行比较即可得解．
解 过点O 作OH ⊥AB 于H ，设OH =x ，由题意可知∠OAH =30°，∠OBH =45°，AB =30．
在Rt △OAH 与Rt △OBH 中，∵cot ∠OAH =AH OH ，cot ∠OBH =BH OH
∴AB =AH －BH = OH (cot30°－cot45°)，即(cot30°－cot45°)x =30，解之得x =15＋153≈40.98＞40．
所以如果不改变航向，该船不会有触礁的危险．
例4 如图④所示，为了求河的宽度，在河对岸岸边任意取一点A ，
再在河这边沿河边取两点B 、C ，使得∠ABC =60°，∠ACB =45°，现量得
BC =30m ，求河的宽度．
简析 河的宽度即为△ABC 中BC 边上的高，为此，过点A 作AD ⊥BC
于D ，则本实际问题也转化成了解直角三角形问题．和前例一样，通过
设AD =x 然后建立方程即可求得AD 的长．
解 过A 作AD ⊥BC 于D ，并设AD =x ．
在Rt △ABD 与Rt △ACD 中，∵cot cot 60BD ABC AD =∠=︒，cot cot 45CD ACB AD
=∠=︒， ∴BC =BD ＋CD =AD (cot60°＋cot45°)，即(cot60°＋cot45°)x =30，解之得x =45－153， ∴所求河的宽度为(45－153)m ．
评注 在解有双方位角或双视角类实际问题时，如果图形中没有直角三角形，则应通过添加辅助线的方法将原图形转化为两个具有公共边特征的直角三角形，然后再建立方程进行求解．为方便同类题型求解，以上两例还可归结
为如下的数学模型——
⑴如图⑤a ，已知AB ⊥CD 于B ，点C 、D 在AB 的同
侧，若测得∠ACB =α，∠ADB =β，且α＜β，则有AB (cot α
－cot β)=CD ，BC · tan α=BD · tan β；
⑵如图⑤b ，已知AB ⊥CD 于B ，点C 、D 在AB 的两
侧，若测得∠ACB =α，∠ADB =β，则有AB (cot α＋cot β)=CD ，BC · tan α=BD · tan β．。