二重积分的计算方法

第二节 二重积分的计算法教学目的：熟练掌握二重积分的计算方法教学重点：利用直角坐标和极坐标计算二重积分 教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题 教学容：利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的. 一、利用直角坐标计算二重积分我们用几何观点来讨论二重积分f x y d D(,)σ⎰⎰的计算问题.讨论中,我们假定f x y (,)≥0；假定积分区域D 可用不等式 a x b x y x ≤≤≤≤ϕϕ12()()表示,其中ϕ1()x , ϕ2()x 在[,]a b 上连续.据二重积分的几何意义可知,f x y d D(,)σ⎰⎰的值等于以D 为底,以曲面z f x y =(,)为顶的曲顶柱体的体积.在区间[,]a b 上任意取定一个点x 0,作平行于yoz 面的平面x x =0,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间[(),()]ϕϕ1020x x 为底,曲线z f x y =(,)0为曲边的曲边梯形,其面积为A x f x y dy x x ()(,)()()001020=⎰ϕϕ一般地,过区间[,]a b 上任一点x 且平行于yoz 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为A x f x y dy x x ()(,)()()=⎰ϕϕ12利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为V A x a dx f x y dy dx bx x a b ==⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎰⎰⎰()(,)()()ϕϕ12从而有dx dy y x f d y x f ba x x D⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=)(2)(1),(),(ϕϕσ (1)上述积分叫做先对Y,后对X 的二次积分,即先把x 看作常数,),(y x f 只看作y 的函数,对),(y x f 计算从)(1x ϕ到)(2x ϕ的定积分,然后把所得的结果( 它是x 的函数 )再对x 从a 到b 计算定积分.这个先对y , 后对x 的二次积分也常记作f x y d dx f x y dy Dabx x (,)(,)()()σϕϕ⎰⎰⎰⎰=12在上述讨论中,假定了0),(≥y x f ，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1).但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的),(y x f (在D 上连续),公式(1)总是成立的.例如:计算 I x d D x y x y D=-=-≤≤≤≤⎰⎰(){(,)|,}111022σ解: []dx y x dy x dx I 211220211)1()1(⎰⎰⎰---=-=38322)1(2113112=-=-=--⎰x x dx x类似地,如果积分区域D 可以用下述不等式c yd y x y ≤≤≤≤,()()φφ12表示,且函数φ1()y ,φ2()y 在[,]c d 上连续,f x y (,)在D 上连续,则f x y d f x y dx dy dy f x y dx D y y c dc d y y (,)(,)(,)()()()()σφφφφ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥=1212 (2)显然,(2)式是先对x ,后对y 的二次积分.二重积分化二次积分时应注意的问题1、积分区域的形状前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:对于I 型(或II 型)区域, 用平行于y 轴(x 轴 )的直线穿过区域部,直线与区域的边界相交不多于两点.如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I 型(或II 型)区域的并集. 2、积分限的确定二重积分化二次积分, 确定两个定积分的限是关键.这里,我们介绍配置二次积分限的方法-- 几何法.画出积分区域D 的图形(假设的图形如下 )在],[b a 上任取一点x ,过x 作平行于y 轴的直线,该直线穿过区域D ,与区域D 的边界有两个交点))(,(1x x ϕ与))(,(2x x ϕ,这里的)(1x ϕ、)(2x ϕ就是将x ,看作常数而对y 积分时的下限和上限；又因x 是在区间[,]a b 上任意取的,所以再将x 看作变量而对x 积分时,积分的下限为a 、上限为b .例1计算322x y d D⎰⎰σ,其中D 是由x 轴,y 轴和抛物线yx =-12在第一象限所围成的区域.类似地, D y x y :,0101≤≤≤≤-[]==-⎰⎰-x y dy y y dy y3211322011()3322012201x y d dy x y dx D y ⎰⎰⎰⎰=-σ令y t t t dt=⋅=⋅--=⎰sin cos sin()!!()!!!!2452224151916315π例2计算xydD⎰⎰σ, 其中D是由抛物线y x2=及直线y x=-2所围成的区域.D y y x y:,-≤≤≤≤+1222xyd dy xydx x y dyD yyyyσ⎰⎰⎰⎰⎰==⎡⎣⎢⎤⎦⎥-+-+12221222212[]=+-=-⎰1224582512y y y dy()例3求由曲面z x y=+222及z x y=--6222所围成的立体的体积. 解: 1、作出该立体的简图, 并确定它在xoy面上的投影区域消去变量z得一垂直于xoy面的柱面x y222+=,立体镶嵌在其中,立体在xoy面的投影区域就是该柱面在xoy面上所围成的区域D x y:222+≤2、列出体积计算的表达式V x y x y dD=---+⎰⎰[()()]6222222σ=--⎰⎰()63323x y dDσ3、配置积分限, 化二重积分为二次积分并作定积分计算V d x d y dD D D=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰63322σσσ而dDσπ⎰⎰=2由x,y的对称性有x d y dD D22σσ⎰⎰⎰⎰=x d x dx dy x x dxD xx22222222222222σ⎰⎰⎰⎰⎰==------=-=⎰⎰4244222222x x dx sin cosθθπ=⋅--+⋅162121222()!!()!!()!!π=⋅⋅⋅⋅1611422π=π所求立体的体积为V=-=1266πππ二、利用极坐标计算二重积分1、变换公式按照二重积分的定义有f x y d f Di i i i n(,)lim (,)σξησλ⎰⎰∑=→=01∆现研究这一和式极限在极坐标中的形式.用以极点0为中心的一族同心圆 r =常数以及从极点出发的一族射线θ=常数,将D 剖分成个小闭区域.除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域∆σi的面积可如下计算i i i i i i i i i i r r r r r r θθθσ∆∆∆+=∆-∆∆+=∆)2(2121)(2122i i i i i i i i r r r r r r θθ∆∆=∆∆∆++=2)(其中,r i表示相邻两圆弧半径的平均值.(数学上可以证明: 包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零, 因此, 这样的一些小区域可以略去不计)在小区域∆σi 上取点(,)r i i θ,设该点直角坐标为(,)ξηi i,据直角坐标与极坐标的关系有 ξθηθi i i i i i r r ==cos ,sin于是lim (,)lim (cos ,sin )λλξησθθθ→=→=∑∑=⋅0101f f r r r r i i i i ni ni i i i i i i ∆∆∆即f x y d f r r rdrd DD(,)(cos ,sin )σθθθ⎰⎰⎰⎰=由于f x y d D (,)σ⎰⎰也常记作f x y dxdy D (,)⎰⎰, 因此,上述变换公式也可以写成更富有启发性的形式f x y dxdy f r r rdrd DD(,)(cos ,sin )⎰⎰⎰⎰=θθθ (1)(1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中,rdrdθ就是极坐标中的面积元素.(1)式的记忆方法:x r→cosθy r→sinθdxdy rdrd→θf x y dxdyD(,)⎰⎰f r r rdrdD(cos,sin)θθθ⎰⎰2、极坐标下的二重积分计算法极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算.【情形一】积分区域D可表示成下述形式αθβϕθϕθ≤≤≤≤12()()r其中函数ϕθ1(), ϕθ2()在[,]αβ上连续.则f r r rdrd d f r r rdrD(cos,sin)(cos,sin)()()θθθθθθαβϕθϕθ⎰⎰⎰⎰=12【情形二】积分区域D为下述形式显然,这只是情形一的特殊形式ϕθ1()≡( 即极点在积分区域的边界上 ). 故f r r rdrd d f r r rdr D(cos,sin)(cos,sin)()θθθθθθαβϕθ⎰⎰⎰⎰=【情形三】积分区域D为下述形式显然,这类区域又是情形二的一种变形( 极点包围在积分区域D的部 ),D可剖分成D 1与D 2,而D r D r 120020:,():,()≤≤≤≤≤≤≤≤θπϕθπθπϕθ故 D r :,()020≤≤≤≤θπϕθ则 f r r rdrd d f r r rdr D(cos ,sin )(cos ,sin )()θθθθθθπϕθ⎰⎰⎰⎰=20由上面的讨论不难发现, 将二重积分化为极坐标形式进行计算, 其关键之处在于: 将积分区域D 用极坐标变量r ,θ表示成如下形式αθβϕθϕθ≤≤≤≤,()()12r下面通过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来表示. 例4将下列区域用极坐标变量表示 1、D x y y 1222:+≤2、D R x R R y R R x 222:,-≤≤≤≤+-D x y 31:+≤先画出区域的简图, 据图确定极角的最大变化围[,]αβ；再过[,]αβ任一点θ作射线穿过区域,与区域的边界有两交点,将它们用极坐标表示,这样就得到了极径的变化围[(),()]ϕθϕθ12.注: 本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值.利用此题结果可求出著名概率积分I e dxx=-+∞⎰2.而被积函数满足022>--yxe,从而以下不等式⎰⎰⎰⎰⎰⎰------<<22222122DyxSyxDyx dxdyedxdyedxdye成立，再利用例二的结果有)1(42122RDyx edxdye----=⎰⎰π,)1(422222RDyx edxdye----=⎰⎰π ,⎰⎰⎰⎰⎰⎰------==RyRxRyxRSyx dyedxedyedxdxdye222222222222⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛=⎰⎰⎰⎰⎰-----RxRxRxRyRx dxedxedxedyedxe于是不等式可改写成下述形式ππππ44141422222R R xRR Re e dx e→+∞---→+∞←−−−−-<⎛⎝⎫⎭⎪<-−→−−−⎰()()故当R→+∞时有e dxx-+∞⎰⎛⎝⎫⎭⎪=224π,即I e dxx==-+∞⎰22π.3、使用极坐标变换计算二重积分的原则(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )；(2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单( 含()x y22+α, α为实数 ).例6计算I dx dyx y a x yaaxa a x=+⋅-+>⎰⎰--+-22222422()()解此积分区域为D x a x y a a x:,022≤≤-≤≤-+-区域的简图为该区域在极坐标下的表示形式为D r a:,sin-≤≤≤≤-πθθ4002Irdrdr a rddra rrad Da a=-=-=⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎰⎰⎰⎰⎰----θθθπθθπ44222422224sin sinarcsin=-=-=--⎰()θθθπππd424021232小结二重积分计算公式直角坐标系下 ⎰⎰⎰⎰=Dbax x dy y x f dx dxdy y x f )()(21),(),(φφ X —型⎰⎰⎰⎰=dcy y Ddx y x f dy dxdy y x f )()(21),(),(ϕϕ Y —型极坐标系下 ⎰⎰⎰⎰=Ddr r r f d rdrd r r f βαϑφϑφϑϑϑϑϑϑ)()(21)sin ,cos ()sin ,cos (作业 教材P 161 习题2（I ）（2）（3）3（1）（3）4（2）（4）。