2019届湖南省长沙市第一中学高三下学期第八次月考数学(文)试题(解析版)

炎德·英才大联考长沙市一中2019届三月考试卷（八）数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U =R ,集合{}2|30?A x x x =-->，{}|1?B x x =<-，则图中阴影部分表示的集合为A. {}|0?x x > B. {}|3 1 x x -<<- C. {}|30 x x -<< D. {}| 1 x x <-【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合A ，再求A∩B 得解.【详解】∵{}{}23030A x x x x x =-->=-<<，{}1B x x =<-，图中阴影部分表示的集合为A∩B， ∴{}31A B x x ⋂=-<<-. 故选B ．【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，考查韦恩图，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2.()sin 255-︒=（ ） A.624B. 624-C.624D.264【答案】C 【解析】 【分析】可利用诱导公式，考虑加上360︒，再结合正弦的和角公式运算即可【详解】()()1sin 255sin105sin 75sin 453022224︒︒︒︒︒-===+=⨯+⨯=， 故选：C .【点睛】本题考查三角函数的化简求值，属于基础题3.设复数z 满足()211i z i +=-（i 为虚数单位），则z i +=（ ）A. 2-C.12D. 1【答案】B 【解析】 【分析】由已知条件先计算出z 的值，然后再计算z i + 【详解】由已知()211i z i +=-， 则()22111112221ii z i i i i --===--+++11222z i i ∴+=-+==, 故选B【点睛】本题考查了求复数的模，还要运用复数的乘、除法运算，较为基础．4.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线与直线21x y ++=0垂直，则双曲线C 的离心率为（ ） A. 2【答案】B 【解析】 【分析】根据直线垂直关系，可以找到,a b 关系，将其转化为离心率即可. 【详解】由于渐近线和直线210x y ++=垂直， 故渐近线的斜率2ba=.所以双曲线的离心率为e === 故选：B .【点睛】本题考查由,a b 关系式推出双曲线离心率，属基础题.5.已知函数,(0),()(2),(0),x e x f x f x x ⎧=⎨+<⎩…则(3)f -=（ ） A. e - B. 1C. eD. 1-【答案】C 【解析】 【分析】观察可知，()(3)1f f -=，代入对应区间表达式求解即可 【详解】由题知()()(3)11f f f -=-=，()11f e e ==，故选：C【点睛】本题考查分段函数的求值，属于基础题6.已知向量,a b 不共线，且3=+u u u r PQ a b ，42=-+u u u rQR a b ，64=+u u u rRS a b ，则共线的三点是（ ） A. ,,P Q R B. ,,P R SC. ,,P Q SD. ,,Q R S【答案】C 【解析】 【分析】需结合观察法，对四个选项进行排除，经检验C 相符合题意【详解】已知向量,a b 不共线，且3=+u u u r PQ a b ，42=-+u u u r QR a b ，64=+u u u rRS a b ，由42=-+u u u r QR a b ，得42=-u u u r RQ a b ，则262(3)2-=+=+=u u u r u u u r u u u r RS RQ a b a b PQ ，即2=u u u r u u u rQS PQ ，所以,,P Q S 三点共线，,,A B D 中对应点经检验均不符合题意，舍去故选：C .【点睛】本题考查三点共线的向量求法，可简记为：若,,A B C 三点共线，则AB AC λ=u u u r u u u r（表达方式不唯一），属于基础题7.若函数()()sin f x x πϖ=-+3sin 2x πϖ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()0ϖ> 满足()12,f x =-()20f x =且12x x -的最小值为4π，则函数()f x 的单调递增区间为（ ） A. 52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ B. ()52,21212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C. (),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D. ()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】分析：首先根据诱导公式和辅助角公式化简函数解析式，之后应用题的条件求得函数的最小正周期，求得ω的值，从而求得函数解析式，之后利用整体思维，借助于正弦型函数的解题思路，求得函数的单调增区间. 详解：()sin()3sin()2f x x x ππωω=-++sin 3cos 2sin()3x x x πωωω=+=+，根据题中条件满足()12,f x =- ()20f x =且12x x -的最小值为4π，所以有44T π=，所以,2T πω==，从而有()2sin(2)3f x x π=+，令222232k x k πππππ-≤+≤+，整理得51212k x k ππππ-≤≤+， 从而求得函数的单调递增区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈，故选D. 点睛：该题考查的是有关三角函数的综合问题，涉及到的知识点有诱导公式、辅助角公式、函数的周期以及正弦型函数的单调区间的求法，在结题的过程中，需要对各个知识点要熟记，解题方法要明确. 8.如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的体积为（ ）A.323π B.643π C. 32π D.6423π 【答案】D 【解析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，故该四棱锥的外接球，与以俯视图为底面，以4为高的直三棱柱的外接球相同． 由底面底边长为4，高为2，故底面为等腰直角三角形， 可得底面三角形外接圆的半径为2r =， 由棱柱高为4，可得22OO =， 故外接球半径为222222R =+=故外接球的体积为342(22)33V π=⨯=．选D ． 点睛：已知球与柱体（或锥体）外接求球的半径时，关键是确定球心的位置，解题时要根据组合体的特点，并根据球心在过小圆的圆心且与小圆垂直的直线上这一结论来判断出球心的位置，并构造出以球半径为斜边，小圆半径为一条直角边的直角三角形，然后根据勾股定理求出球的半径，进而可解决球的体积或表面积的问题．9.已知椭圆2221(0)25x y m m +=>与双曲线2221(0)7x ny n -=>有相同的焦点，则m n +的最大值是（ ）A. 3B. 32C. 6D. 9【答案】C 【解析】 【分析】由题可得22257-=+m n ，则2218+=m n ，结合基本不等式公式2222m n m n ++≤即可求解 【详解】由题意可知：225<m ，则05m <<，由标准方程可知焦点坐标分别为：2(25,0)±-m ，2(7,0)±+n ， 由题意可知：22257-=+m n ，据此有：2218+=m n ，而22262++=m n m n …，当且仅当3m n ==时等号取到，综上可得：m n +的最大值是6. 故选：C【点睛】本题考查圆锥曲线共焦点的判断，基本不等式的应用，属于基础题10.执行如图所示的程序框图，如果输入的 1.8a =，则输出的S =（ ）（其中[]a 表示不超过a 的最大整数，如[0,3]0=，[2,3]3-=-）A. 8-B. 6C. 15D. 32-【答案】C 【解析】 【分析】根据循环结构框图，直到6i =时，输出对应的S 即可 【详解】如果输入的 1.8a =，0S =，1i =.执行第一次循环时：011S =+=，1 3.6 2.6=-=-a ，2i =； 执行第二次循环时：1(3)2=+-=-S ，1 5.2 6.2=+=a ，3i =； 执行第三次循环时：264=-+=S ，112.411.4=-=-a ，4i =； 执行第四次循环时：4(12)8=+-=-S ，122.823.8=+=a ，5i =； 执行第五次循环时：82315=-+=S ，147.646.6=-=-a ，6i =； 此时6i <不成立，输出15S =. 故选：C .【点睛】本题考查由程序框图计算输出结果，属于基础题11.已知实数,x y 满足约束条件0,24,22,x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，如果目标函数为z x ay =+的最大值为16，则实数a 的值为（ ） A. 11 B. 26C. 11或26D. 11或9-【答案】D 【解析】 【分析】先画出线性约束条件所表示的可行域，目标函数化为11=-+y x z a a，目标函数z x ay =+的最大值只需直线的截距最大，再分类讨论a 的具体情况即可【详解】如图，当0a >，10a-<时，（1）1102-<-<a ，即2a >时，最优解44,33⎛⎫⎪⎝⎭A ，441633=+=z a ，11a =符合题意；（2）112-<-a ，即2a <时，最优解为13,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，13162=+=z a ，26a =，不符舍去；当0a <，10a->时， （3）101a<-<，即1a <-时，最优解为C(2,2)--，2216=--=z a ，9a =-，符合；（4）11a ->，即10a -<<时，最优解为13,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，13162=+=z a ，26a =，不符舍去； 综上：实数a 的值为11或9-， 故选：D .【点睛】本题考查由目标函数最值求解参数值，数形结合思想，分类讨论是解题的关键，属于中档题12.已知函数3()f x x ax =+，2()=+g x x bx ，0a b <<，当()()0''⋅f x g x …在区间I 时成立，则称()f x 和()g x 在区间I 上单调性一致，若()f x 和()g x 在区间(,)a b 上的单调性一致，则实数a 的最小值为（ ）A. 3-B. 12-C. 13-D. 2-【答案】C 【解析】 【分析】需分别对()(),f x g x 求导，由()()0''⋅f x g x …得()23(2)0++x a x b …， 由()0,,a b x a b <<∈，可判断只需求230x a +„，分离参数结合恒成立问题即可求解；【详解】由()f x 和()g x 在区间(,)a b 上的单调性一致，即()23(2)0++x a x b …在区间(,)a b 上成立，()0,,a b x a b <<∈Q ，20x b ∴+<，230∴+x a „，即23-a x „恒成立，得23-a a „，解得103a -<„.故a 的最小值为13- 故选：C【点睛】本题考查导数新定义，恒成立问题的转化，属于中档题第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.某景区观光车上午从景区入口发车的时间为：7：30，8：00，8：30，某人上午7：40至8：30随机到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率是_____． 【答案】25【解析】【分析】求出等待时间不多于10分钟的时间长度，利用几何概型的概率计算公式求解即可． 【详解】设某人到达时间为x ，当x 在7：50至8：00，或8：20至8：30时，等待时间不超过10分钟， 所以所求的概率P 1010220305+==+．故答案为25． 【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．14.某中学开展了丰富多彩的社团文化活动，甲，乙，丙三位同学在被问到是否参加过①街舞社，②动漫社，③器乐社这三个社团时，甲说：我参加过的社团比乙多，但没有参加过动漫社；乙说：我没有参加过器乐社；丙说：我们三个人都参加过同一个社团，由此判断乙参加过的社团序号为_____. 【答案】① 【解析】 【分析】通过三人说的话判断可知，甲参加的应为街舞社和乐器社；乙参加的应为街舞社；丙至少参加了街舞社，也可通过假设乙参加的为某社团，通过推出矛盾的方式排除假设，最终得到合理答案【详解】设乙参加过的社团为街舞社，则经检验，甲，乙，丙三位同学都可能同时成立，即乙参加过街舞社；设乙参加过的社团为动漫社，则经检验，丙同学说的是谎话，即乙没有参加过动漫社； 设乙参加过的社团为器乐社，则经检验，乙同学说的是假话，即乙没有参加过器乐社； 综合可得：乙参加过的社团为街舞社. 故答案为：①【点睛】本题考查合情推理，假设→论证→矛盾→排除假设，为基本解题思路，属于基础题 15.在ABC V 中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，面积为()22213+-a c b ，且C ∠为钝角，则ca 的取值范围是______. 【答案】5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】通过正弦的面积公式和余弦定理可推出4tan 3B =，3cos 5B =，由正弦定理可得()sin A B c sinC sinAcosB cosAsinBa sinA sinA sinA++====cos B +sin B 141355tanA tanA ⨯=⨯+，结合诱导公式分析tan A 的范围，计算可得答案．【详解】根据题意，由余弦定理可知：a 2+c 2﹣b 2＝2ac cos B ，则S 12=ac sin B 13=（a 2+c 2﹣b 2）13=⨯2ac cos B ，变形可得sin B 43=cos B ，则tan B 43=， 又由B 锐角，则sin B 45=，cos B 35=，()sin A B c sinC sinAcosB cosAsinBa sinA sinA sinA++====cos B +sin B 141355tanA tanA ⨯=⨯+， 又由A ＝π﹣（B +C ）＝（π﹣C ）﹣B ，且C 为钝角， 则A 2π≤-B ，则tan A ≤tan （2π-B ）34=， 则44355353c a ≥⨯+=， 即c a 的取值范围是（53，+∞）； 故答案为：5,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查正弦定理边角互化及三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题16.已知函数()f x 对任意的x ∈R ，都有1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()1f x +是奇函数，当1122x -≤≤时，()2f x x =，则方程()12f x =-在区间[]3,5-内的所有零点之和为_____________． 【答案】4 【解析】 ∵函数()1f x +是奇函数∴函数()1f x +的图象关于点()0,0对称∴把函数()1f x +的图象向右平移1个单位可得函数()f x 的图象，即函数()f x 的图象关于点()1,0对称，则()()2f x f x -=-.又∵1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()()1f x f x -=，从而()()21f x f x -=-- ∴()()1f x f x +=-，即()()()21f x f x f x +=-+=∴函数()f x 的周期为2，且图象关于直线12x =对称. 画出函数()f x 的图象如图所示：∴结合图象可得()12f x =-区间[]3,5-内有8个零点，且所有零点之和为12442⨯⨯=. 故答案为4.点睛：函数零点的求解与判断：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．三、解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤. 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23为选考题，考生根据要求作答.17.已知数列{}n a 为等差数列，33a =，77a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22=-n n S b （1）求{}n a 、{}n b 的通项公式 （2）若nn na cb =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T ． 【答案】（1）n a n =，()2,*nn b n N =∈； （2）222n n +-. 【解析】 【分析】(1)利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项、公差，即可求出{}n a 的通项公式，由数列{}n b 的前n 项和22n n S b =-，可求出数列{}n b 的首项和公比，从而可得数列{}n b 的通项公式；(2)由错位相减法即可求出数列的前n 项和.【详解】（1）∵数列{}n a 为等差数列，33a =，77a =，设公差为d ． ∴112367a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，∴()111n a n n =+-⨯=．*n N ∈∵数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n S b =-， ∴11122b S b ==-，解得1b ，当2n ≥时，由22n n S b =-及1122n n S b --=-， 两式相减，得()1222,*n n n b n N -=⋅=∈，∴12n n b b -=，∴{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列， ∴()1222,*n n n b n N -=⋅=∈．（2）∵2n n n n a nc b ==， ∴数列{}n c 的前n 项和：212...222n n nT =+++，① 231112 (2222)n n nT +=+++，② ①﹣②，得：23111111...222222n n n nT +=++++-1111221212n n n +⎛⎫-⎪⎝⎭=-- 1212n n ++=-，∴222n n n T +=-． 【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式，以及数列的求和，属于基础题型.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，1CC ⊥底面ABC ，,,D E F 分别是棱AB ，BC ，11B C 的中点.（1）证明：//BF 平面1A DE ；（2）若12AC BC CC ===，求点F 到平面1A DE 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）25【解析】 【分析】（1）连接1C E ，通过求证四边形1BFC E 为平行四边形，得出1//BF EC ，再通过中位线关系求证11//DE AC ，说明11,A C ，,E D 四点共面，即可求证；（2）通过作FH 1C E ⊥交于点H ，求证FH 为点F 到平面1A DE 的距离即可，再结合几何关系求解；也可通过转化法，利用（1）的结论，点F 到平面1A DE 的距离等于点B 到平面1A DE 的距离h ，再结合等体积法即可求解；【详解】（1）法一：连1C E ，,D E Q 分别是棱,AB BC 的中点，//DE AC ∴.又在三棱柱111ABC A B C -中，11//AC A C ，11//∴DE AC ，11,∴A C ，,E D 四点共面.,E F Q 分别是棱11⋅BC B C 的中点，∴四边形1BFC E 为平行四边形，1//∴BF EC .又1EC ⊂平面11A DEC ，BF ⊄平面11A DEC ，//BF ∴平面1A DE . 法二：取11A B 中点G ，连接BG 、FG .,,D E F Q 分别是棱11,,AB BC B C 的中点，11//∴FG AC ，//DE AC .在三棱柱111ABC A B C -中，11//AC A C ，//FG DE ∴，又DE ⊂平面1A DE ，FG ⊄平面1A DE ，//FG ∴平面1A DE .1=Q AG DB ，1//AG DB ，∴四边形1AGBD 为平行四边形，1//∴A D BG . 又1A D ⊂平面1A DE ，BG ⊄平面1A DE ，//BG ∴平面1A DE .=Q I FG BG G ，且FG ⊂平面BGF ，BG ⊂平面BGF ，∴平面//BGF 平面1A DE ，又BF ⊂平面BGF ，//BF ∴平面1A DE . （2）法一：1CC ⊥Q 底面ABC ，90ACB ︒∠=，AC ∴⊥平面11BCC B ，又//DE AC ，DE ∴⊥平面11BCC B ，又DE ⊂平面11A DEC ，∴平面11⊥A DEC 平面11BCC B ，平面11I A C ED 平面111=BCC B C E . 过点F 作1⊥FH C E 于H ，则FH ⊥平面11AC ED ，即FH 为所求点F 到平面1A DE 的距离. 在1V Rt FC H 中，1125sin 55FH C F FC H =⋅∠==. 法二：由（1）知//BF 平面1A DE ，∴点F 到平面1A DE 的距离等于点B 到平面1A DE 的距离h . 由11--=B A A DE DE B V V 得111151123232⨯=⨯⨯⨯⨯h ，得25h =故点F到平面1A DE的距离为25.【点睛】本题考查线面平行的证明，点面距离的求解，属于中档题19.BIM指数是用体重公斤数除以身高米数的平方得出的数字，是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准.对于高中男体育特长生而言，当BIM数值大于或等于20.5时，我们说体重较重，当BIM 数值小于20.5时，我们说体重较轻，身高大于或等于170cm我们说身高较高，身高小于170cm我们说身高较矮.（1）已知某高中共有32名男体育特长生，其身高与BMI指数的数据如散点图，请根据所得信息，完成下述列联表，并判断是否有95%的把握认为男生的身高对BMI指数有影响.身高较矮身高较高合计体重较轻体重较重合计（2）①从上述32名男体育特长生中随机选取8名，其身高和体重的数据如表所示：编号 1 2 3 4 5 6 7 8 cm x166 167 160 173 178 169 158 173身高()kg y57 58 53 61 66 57 50 66体重()根据最小二乘法思想与公式求得线性回归方程为$0.8 75.9y x.利用已经求得的线性回归方程，请完善=-下列残差表，并求解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值（保留两位有效数字）2R；编号 1 2 3 4 5 6 7 8②通过残差分析，对于残差的最大（绝对值）的那组数据，需要确认在样本点的采集中是否有人为的错误，已知通过重新采集发现，该组数据的体重应该为58()kg .请重新根据最最小二乘法的思想与公式，求出男体育特长生的身高与体重的线性回归方程. 【参考公式】$()()221211ni i i ni i y y R y y==-=--∑∑，()()()1122211n niii ii i nni i i i x x y y x y nx yb x xx nx====---⋅==--∑∑∑∑，$a y bx =-$，µ$i i ie y bx a =--$，22(),()()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.【参考数据】8178880n i nx y==∑，821226112i n x ==∑，168x =，58.5=y ，()821226i i y y=-=∑.【答案】（1）列联表见解析，没有；（2）①残差表见解析，0.91；②$0.67555.9y x =- 【解析】 【分析】（1）根据散点图对出对应数据即可；（2）将编号为6,7,8的数据代入残差公式计算即可；先计算出$()21nii i yy =-∑，再代入$()()221211ni i i ni i y y R y y==-=--∑∑计算；重新计算线性回归方程就是纠正数据中的错误，受影响的有81n ni xy =∑，y ，纠正完后，再继续结合最小二乘法公式计算即可 【详解】（1）由于2232(65615)1603 3.8411220211177⨯-⨯==<<⨯⨯⨯K ，因此没有95%的把握认为男生的身高对BMI 指数有影响.（2）①，对编号为6的数据：6570.816975.9 2.3e =-⨯+=-$，对编号为7的数据：7500.815875.90.5e =-⨯+=-$，对编号为8的数据8660.817375.9 3.5e =-⨯+=$，完成残差表如下所示：$()2222222221(0.1)(0.3)(0.9)( 1.5)(0.5)( 2.3)(0.5)(3.5)21.2ni i i y y =-=+++-+-+-+-+=∑()()2212121.2110.91226==-=-=-≈-∑∑Ni i i ni i y y R y y. 所以解释变量（身高）对于预报变量（体重）变化的贡献值2R 约为0.91. ②由①可知，第八组数据的体重应为58. 此时8178880817377496==-⨯=∑i ii x y，又821226112i i x ==∑，168=x ，57.5=y ，8182221877496816857.5ˆ0.67522611281688i ii ii x y x ybxx==-⋅⋅-⨯⨯===-⨯-⋅∑∑，ˆ57.50.67516855.9a=-⨯=-， 所以重新采集数据后，男体育特长生的身高与体重的线性回归方程为ˆ0.67555.9yx =-. 【点睛】本题考查最小二乘法公式的相关应用，残差分析，独立性检验，综合性强，数据量大，对处理信息和数据要求高，属于中档题20.已知C e 过点(0,1)A ，圆心C 在抛物线22x y =上运动，若MN 为C e 在x 轴上截得的弦，设1||=AM t ，2||=AN t .（1）当C 运动时，||MN 是否变化？证明你的结论.（2）求1212+t t t t 的最大值，并求出此时C e 方程. 【答案】（1）不变，证明见解析；（2）222(2)(1)2±+-=x y 【解析】 【分析】（1）弦长M N MN x x =-=()11,C x y ，表示出圆的方程：()()22211-+-=x x y y AC ，联立直线0y =，可得关于,M N x x 的一元二次方程，由韦达定理可表示出弦长，再结合抛物线方程代换纵坐标，即可求证； （2）由||2MN =可设(1,0)-M x ，(1,0)+N x ，则1=t 2=t ，化简2211212122t t t t t t t t +∴+== 【详解】（1）设()11,C x y ，C e 方程为()()22211-+-=x x y y AC ，()()()222211111∴-+-=+-x x y y x y 与0y =联立.得2112210-+-=x x x y .||∴==MN ()12,Q C x y 在抛物线上，2112∴=x y ，代入||MN ，得||2==MN 为定值.||MN ∴不变.（2）由（1）可设(1,0)-M x 、(1,0)+N x ，1=t 2=t ，222211212122t t t t t t t t +∴+=====当x =x =1y =，即圆心为：()，r=C 方程为22((1)2±+-=x y .【点睛】本题综合考查了圆，抛物线，弦长，两点间距离公式，不等式等知识，计算能力与转化能力，属于中档题21.已知函数12()4-=+x f x eax ，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为1y bx =+.（1）求实数a b 、的值；（2）0x >且1x ≠时，证明：曲线()y f x =的图象恒在切线1y bx =+的上方； （3）证明：不等式：12432ln 0----x xe x x x ….【答案】（1）1a =-，2b =；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先表示出导数公式1()42'-=+x f x e ax ，结合导数的几何意义建立斜率的等量关系，再结合曲线过切点，即可求解；（2）由（1）的结论可将所求问题转化为当0x >且1x ≠时，12421-->+x e x x ，构造函数12()421-=---x g x e x x ，则1()422'-=--x g x e x ，无法判断正负，考虑再次求导：1()42''-=-x g x e ，结合零点存在定理可判断()gx ''单增，必定存在0(0,1)x ∈，使得()00''=g x ，倒推出()g x '在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增，又结合端点值4(0)20'=-<g e，(1)0g '=，可得()g x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，min ()(1)0g x g ∴==，进而得证； （3）将所证不等式同除x 得122ln 430----x x ex x …，由（2）的结论进行放缩，可得2ln 213++xx x…，即证2ln 0--≥x x x ，再次构造函数2()ln ϕ=--x x x x ，结合导数求出函数最值，即可求证； 【详解】（1）1()42'-=+x f x eax ，由曲线()y f x =在1x =处的切线方程为1y bx =+知：(1)42,(1)41,f a b f a b =+=⎧⎨=+=+'⎩解得1a =-，2b =. （2）由题意只需证：当0x >且1x ≠时，12421-->+x e x x ； 设12()421-=---x g x ex x ，则1()422'-=--x g x e x ，1()42''-=-x g x e ，易知()n g x 在(0,)+∞单调递增；且(1)20''=>g ，4(0)20''=-<g e，∴必定存在0(0,1)x ∈，使得()00''=g x ，则()g x '在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增，其中4(0)20'=-<g e， (1)0g '=，即()g x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，min ()(1)0g x g ∴==，即当0x >且1x ≠时，()0>g x 成立；所以当0x >且1x ≠时，曲线()y f x =的图象在切线1y bx =+的上方.（3）要证：13432ln 0----x xe x x x …，只需证122ln 430----x x ex x…. 由（2）知0x >时，12421--+x e x x …. 故只需证2ln 213++x x x…，即证2ln 0--≥x x x ， 设2()ln ϕ=--x x x x ，则2121(21)(1)()21ϕ'--+-=--==x x x x x x x x x ，易知()x ϕ在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，()(1)0ϕϕ∴=x …； 即不等式：13432ln 0----x xe x x x …成立.【点睛】本题考查由导数的几何意义求参数值，构造函数法，利用导数证明不等式恒成立问题，二次求导法，放缩法在导数中的应用，属于难题22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1:cos 3ρθ=C ，曲线2:4cos 02πρθθ⎛⎫=< ⎪⎝⎭C „. （1）求1C 与2C 交点的极坐标；（2）设点Q 在2C 上，13=u u u r u u u r OQ QP ，求动点P 的极坐标方程.【答案】（1）6π⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）16cos ρθ=，0,2πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）由1C 与2C 都为极坐标方程特点可知，直接联立即可求解； （2）由13=u u u r u u u r OQ QP 可知，,,O Q P 三点共线，且4OQ OP =，设(,)P ρθ，()00,θQ p 且004cos ρθ=，00,2πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则0014ρρθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，，，通过代换即可求出点P 的极坐标方程 【详解】（1）联立cos 3,4cos ,ρθρθ=⎧⎨=⎩得cos θ=，02πθ<…，6πθ∴=，ρ=∴所求交点的极坐标为6π⎛⎫ ⎪⎝⎭. （2）设(,)P ρθ，()00,Q ρθ且004cos ρθ=，00,2πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 由已知13=u u u r u u u r OQ QP ，即可求出0014ρρθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩，， 14cos 4ρθ∴=，点P 的极坐标方程为16cos ρθ=，0,2πθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查两曲线极坐标的求解，由三点共线和代换法求解具体曲线极坐标方程，属于中档题 23.已知2(2)f x ax x =--+．（1）在2a =时，解不等式()1f x ≤；（2）若关于x 的不等式4()4f x -≤≤对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1{|5}3x x -≤≤；（2）1或1- 【解析】【分析】(1)根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，(2)先根据绝对值三角不等式化为()14a x +≤恒成立，或()144a x -+≤恒成立，再根据恒成立含义得实数a 的取值.【详解】（1）在2a =时，2221x x --+≤.在1x ≥时，()()2221x x --+≤，∴15x ≤≤；在2x ≤-时，()()2221x x --++≤，3x ≥，∴x 无解；在21x -≤≤时，()()2221x x ---+≤，13x ≥-，∴113x -≤≤. 综上可知：不等式()1f x ≤的解集为1{|5}3x x -≤≤.（2）∵224x ax +--≤恒成立， 而()221x ax a x +--≤+， 或()2214x ax a x +--≤-+，故只需()14a x +≤恒成立，或()144a x -+≤恒成立， ∴1a =-或1a =.∴a 的取值为1或1-.【点睛】含绝对值不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.。