八年级数学上册 第14章 整式的乘法与因式分解 14.2 乘法公式 14.2.2 完全平方公式 第2
第14章整式的乘法与因式分解【教材知识点总结】精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版一、整式的乘法1.同底数幂的乘法 n m n m a a a +=⋅（m,n 都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加.2.幂的乘方()mn n m a a =（m,n 都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘.3.积的乘方()n n n b a ab =（n 为正整数）积的乘方：4.整式的乘法（1）单项式与单项式相乘的法则单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有字母，则连同它的指数作为积的一个因式.（2）单项式与多项式相乘的法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.（3）多项式与多项式相乘的法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.5.同底数幂的除法n m n m a a a -=÷（m,n 都是正整数）6.零指数幂的意义()010≠=a a7.单项式除法法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.8.多项式除以单项式法则多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.二、乘法公式1.平方差公式()()22b a b a b a -=-+ 2.完全平方公式()2222b ab a b a ++=+第十四章 整式的乘法与因式分解()2222b ab a b a +-=-3.添括号法则()c b a c b a ++=++()c b a c b a +-=--4.乘法公式的综合运用（1）逆用乘法公式计算：()()222222b a b a --+ （2）提取系数后运用乘法公式计算：()()y x y x -+326（3）分组后运用乘法公式计算：()()d c b a d c b a 423423++----（4）添项后运用乘法公式计算：()()()()121212121642++++ （5）变形后运用乘法公式已知4=+y x ，3=xy ，求22y x +的值.三、因式分解1因式分解的概念.把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.2.因式分解的方法（1）提公因式法（2）公式法（3）形如()pq x q p x +++2型式子的因式分解。
八年级-第14章-整式的乘法与因式分解精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版八年级 第14章 整式的乘法与因式分解知识点集结1、 幂的运算同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方2、 整式的乘法单项式乘以单项式单项式乘以多项式多项式乘以多项式3、 整式的除法：同底数幂的除法、单项式除以单项式 、多项式除以单项式4、 乘法公式: 平方差公式、完全平方公式5、 因式分解：提公因式法公因式法（十字相乘法）二、考点的引发、思维的拓展考点一：幂的运算在幂的运算中含有同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方三种运算，要注意选准运算性质是关键。
（一） 同底数幂的乘法法则：a m ·a n =a m+n (m ，n 都是正整数)同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
例1：计算（1）84)21()21( （2）（-3）2×（-3）7变式1：计算（1）106·105·10 （2）x 3·x m（3）(a+b)4·(a+b) （4）x 2·(-x)5例2：2×24-22×23 变式1：m 7·m+m 3·m 2·m 3例3：（1）若26=24·2x 则 x=_______（2）2m =3 , 2n =4, 求2m+n 的值。
变式1、若6422=-a ，则a= ；变式2、若8)3(327-=⨯n ，则n= .变式3、计算()[]()[]m n x y y x 2322--变式4、若32=n a ，则n a 6= .（二）幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
如：10253)3(=-幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(==如：23326)4()4(4==例4：变式1、例5、若 ,2a m = 则=m 3a _____. ;)y ()4(;)a )(3(;)b )(2(;)10)(1(234m 23327-2342)a (a a )5(+•3242(6)()()x x ⋅42])y x )[(7(+变式1、若 3m ,2m y x == 则 =+y x m ____, =+y 2x 3m =______.变式2、若(－2)² ·24＝ (a ³)²，则a ＝______（三）积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。
人教版八年级数学上册14.2.2 第1课时 完全平方公式
例题1：下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2
×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2
×
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2 × (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 ×
第三天的多，多2ab 块
课堂小结
知识点 完全平方公式 公式：(1)(a＋b)2＝___a2_＋__2a_b_＋__b2__； (2)(a－b)2＝___a2_－__2a_b_＋__b_2 _． 文字表述：两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上 (或减去)它们的积的____2____倍．
观察下列计算过程，判断其是否正确，若不正确，请改正． (1)(2a－3b)2＝4a2－9b2； (2)(－2m－3n)2＝4m2－12mn＋9n2.
（2）(4x + 5y)2 = (4x)2 2 4x 5y (5y)2 = 16x2 40xy 25y2；
（3）(mn - a)2
= (mn)2 - 2 mn a a2
= m2n2 - 2amn a2 .
随堂练习
计算：
（1）
1 2
x
-
2y
2
；（2）
பைடு நூலகம்
2xy
探究
设置情境，探究新知
一块边长为a m的正方形实验田，如图所示，因
需要将其边长增加b m，构成四块田地，种植不同的
新品种.用不同的形式表示实验田的总面积，并进行
14 2 2 1 完全平方公式教案(表格式)人教版数学八年级上册
14.2.2完全平方公式第1课时完全平方公式教学步骤师生活动教学目标课题14.2.2第1课时完全平方公式授课人素养目标 1.理解完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2.2.经历探索完全平方公式的过程，了解完全平方公式的几何背景.3.能利用完全平方公式进行简单的计算和推理．进一步培养学生观察、类比、发现问题的能力和数学应用意识，感悟数形结合思想.教学重点完全平方公式的推导和应用．教学难点理解完全平方公式的结构特征，灵活应用完全平方公式.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，引入新课设计意图用实际问题激发学生的求知欲，并借此引出新课.【情境导入】一块边长为a m的正方形试验田，因其边长增加b m，形成四块试验田，以种植不同的新品种．那么增加后的试验田的总面积是多少呢？大家都知道了总面积为(a＋b)2，那如何将这个式子展开呢？这就是我们今天这节课要探讨的问题！【教学建议】教师展示课件后让学生思考一下，然后小组讨论，待讨论完成后教师鼓励学生发言回答问题.活动二：实践探究，获取新知设计意图根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到完全平方公式，再用语言把这两个公式表述出来，培养学生的类比、归纳能力和语言表达能力，然后通过探究完全平方公式的几何解释，渗透数形结合思想，培养学生的几何直观和推理能力.探究点完全平方公式探究根据乘方的意义，我们知道：a2＝a·a，据此计算下列各式，你能发现什么规律？(1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝p2＋2p＋1；(2)(m＋2)2＝(m＋2)(m＋2)＝m2＋4m＋4；(3)(p－1)2＝(p－1)(p－1)＝p2－2p＋1；(4)(m－2)2＝(m－2)(m－2)＝m2－4m＋4.上面的几个运算都是形如(a±b)2的多项式相乘，那么(a±b)2应该写成什么样的形式呢？(a±b)2的运算结果有什么规律？根据乘方的意义和多项式乘多项式的法则可得(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝(a－b)(a－b)＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2，所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，我们可以直接写出运算结果，即(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.我们怎么用文字叙述呢？两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.【教学建议】教师在教学中还要引导学生理解这两个公式的结构特征(公式的语言表述也是对公式结构特征的说明)：(1)两个公式的等号左边都是一个二项式的完全平方，两者仅有一个“符号”不同.(2)两个公式的等号右边都是二次三项式，其中首尾两项是等号左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项的积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同，这一点可以给学生思考你能根据图①和图②中图形的面积说明完全平方公式吗？分析：(1)对于图①你能用两种方法表示出大正方形的面积吗？方法一：图①大正方形的边长为a＋b，面积就是(a＋b)2.方法二：大正方形可以分成图中①②③④四个部分，它们的面积分别为a2，ab，ab，b2.因此，整个面积为a2＋ab＋ab＋b2＝a2＋2ab＋b2.由方法一、方法二可得：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.(2)对于图②你能用两种方法表示出正方形①的面积吗？方法一：图②中正方形①的边长为a－b，面积为(a－b)2.方法二：把正方形①的面积看成大正方形的面积a2减去右边和上边两个长为a，宽为b的长方形面积之和，即2ab，此时重复减了④的面积，即b2，应将其补上，也就是a2－2ab＋b2.由方法一、方法二可得：(a－b)2＝a2－2ab＋b2.这样，我们便借助几何图形对完全平方公式作了直观的解释！问题接下来请同学们思考一下：(a＋b)2与(－a－b)2相等吗？(a－b)2与(b－a)2相等吗？(a－b)2与a2－b2相等吗？为什么？(－a－b)2＝(－a)2－2·(－a)·b＋b2＝a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，(b－a)2＝b2－2ba＋a2＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2，(a－b)2与a2－b2不一定相等．只有当b＝0或a＝b时，(a－b)2＝a2－b2.例(教材P110例3)运用完全平方公式计算：(1)(4m＋n)2；(2)(y－1 2)2.解：(1)(4m＋n)2＝(4m)2＋2·(4m)·n＋n2＝16m2＋8mn＋n2；(2)(y－12)2＝y2－2·y·12＋(12)2＝y2－y＋14.【对应训练】教材P110练习第1，2题．活动四：随堂训练，课堂总结【随堂训练】相应课时随堂训练.【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 什么是完全平方公式(用式子和文字分别表述)？ 【知识结构】【作业布置】1.教材P112习题14.2第2，4，7题.2.相应课时训练．板书设计14.2.2 完全平方公式第1课时 完全平方公式⎩⎨⎧（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2.（a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2.―→首平方，尾平方，2倍乘积在中央 教学反思本节课的探究方式和上节课类似，把乘法公式作为研究一般多项式乘法基础上的“特例”来处理．在教学过程中，让学生习得乘法公式的同时，充分体会从一般到特殊的数学思想方法．遵循这一研究线索，把特例作为沟通新知识与旧知识的桥梁，训练了学生的逻辑思维能力，很容易把新知识纳入已有的知识体系，形成完整的知识结构.解题大招一 运用完全平方公式进行简便运算例1 利用乘法公式计算：(1)982－101×99； (2)2 0262－2 026×4 050＋2 0252.解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)＝1002－400＋4－1002＋1＝－395； (2)原式＝2 0262－2×2 026×2 025＋2 0252＝(2 026－2 025)2＝1. 解题大招二 含完全平方公式的化简求值按照混合运算的法则进行计算，将结果化成最简，再将已知值代入计算．有时不能直接代入可考虑将已知式变形，利用整体思想整体代入．例2 (1)先化简，再求值：(2a 2b －2ab 2－b 3)÷b －(a －b)2，其中a ＝1，b ＝2.解：(2a 2b －2ab 2－b 3)÷b －(a －b)2＝2a 2－2ab －b 2－(a 2－2ab ＋b 2)＝2a 2－2ab －b 2－a 2＋2ab －b 2＝a 2－2b 2. 当a ＝1，b ＝2时，原式＝12－2×22＝－7.(2)已知a 2＋2b 2－1＝0，求(a －b)2＋b(2a ＋b)的值． 解：(a －b)2＋b(2a ＋b)＝a 2－2ab ＋b 2＋2ab ＋b 2＝a 2＋2b 2. 因为a 2＋2b 2－1＝0，所以a 2＋2b 2＝1，所以原式＝1.培优点 利用完全平方公式的几何背景与变形求值 例题可扫描下面二维码下载获取．。
必刷提高练【14.2乘法公式】(原卷版)-2021-2022学年八年级数学上册必刷题闯关练(人教版)
2021-2022学年八年级数学上册考点必刷练精编讲义（人教版）提高第14章《整式的乘法与因式分解》14.2 乘法公式知识点1：完全平方公式【典型例题1】（2020春•槐荫区期中）若a+b＝10，ab＝11，则代数式a2﹣ab+b2的值是（）A．89B．﹣89C．67D．﹣67解：把a+b＝10两边平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100，把ab＝11代入得：a2+b2＝78，∴原式＝78﹣11＝67，故选：C【变式训练1-1】（2020•浙江自主招生）若x2﹣3x+1＝0，则的值是（）A．8B．7C．D．【变式训练1-2】（2021春•肥东县期末）若x﹣y＝3，xy＝1，则x2+y2＝．【变式训练1-3】（2021春•西安期末）已知（a+b）2＝9，ab＝﹣，则a2+b2的值等于．【变式训练1-4】（2021春•荷塘区期末）已知（a+b）2＝7，（a﹣b）2＝3，则ab＝．【变式训练1-5】（2021秋•朝阳区校级期中）阅读理解：①32+42＞2×3×4②32+32＝2×3×3；③（﹣2）2+42＞2×（﹣2）×4；④（﹣5）2+（﹣5）2＝2×（﹣5）×5（1）观察以上各式，你发现它们有什么规律吗？请用含有a、b的式子表示上述规律；（2）运用你所学的知识证明你发现的规律；（3）已知a+b＝4，求ab的最大值．【变式训练1-6】（2020秋•盐池县期末）回答下列问题（1）填空：x2+＝（x+）2﹣＝（x﹣）2+（2）若a+＝5，则a2+＝；（3）若a2﹣3a+1＝0，求a2+的值．知识点2：完全平方公式的几何背景【典型例题2】（2020•丰台区三模）如图，一个正方形被分成两个正方形和两个一模一样的矩形，请根据图形，写出一个含有a，b的正确的等式．解：由面积相等，得（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2．【变式训练2-1】（2021春•浦江县期末）如图是将正方形ABCD和正方形CEFG拼在一起的图形，点B，C，E在同一条直线上，连结BD，BF．若阴影部分△BDF的面积为8，则正方形ABCD的边长为（）A．2B．3C．4D．6【变式训练2-2】（2021春•济南期末）如图有两张正方形纸片A和B，图1将B放置在A内部，测得阴影部分面积为2，图2将正方形AB并列放置后构造新正方形，测得阴影部分面积为20，若将3个正方形A和2个正方形B并列放置后构造新正方形如图3，（图2，图3中正方形AB纸片均无重叠部分）则图3阴影部分面积（）A．22B．24C．42D．44【变式训练2-3】（2021•饶平县校级模拟）如图，矩形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2，那么矩形ABCD的面积是（）A．3cm2B．4cm2C．5cm2D．6cm2【变式训练2-4】（2019秋•海伦市期末）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的边长之和为．【变式训练2-5】（2018秋•路北区期末）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），把剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则拼得的长方形的周长为cm．（用含a的代数式表示）【变式训练2-6】（2021春•姑苏区期中）学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1：A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形．（1）选取1张A型卡片，2张C型卡片，1张B型卡片，在纸上按照图2的方式拼成一个为（a+b）的大正方形，通过不同方式表示大正方形的面积，可得到乘法公式；（2）请用这3种卡片拼出一个面积为a2+5ab+6b2的长方形（数量不限），在图3的虚线框中画出示意图，并在示意图上按照图2的方式标注好长方形的长与宽；（3）选取1张A型卡片，4张C型卡片按图4的方式不重叠地放在长方形DEFG框架内，图中两阴影部分（长方形）为没有放置卡片的部分．已知GF的长度固定不变，DG的长度可以变化，图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2．若S＝S2﹣S1，则当a与b满足时，S为定值，且定值为．（用含a或b的代数式表示）【变式训练2-7】（2021春•新邵县期末）如图，它是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图（2）形状拼成一个正方形．（1）你认为图（2）中的阴影部分的正方形边长为（2）请用两种不同的方法表示图（2）阴影部分的面积；方法一：方法二：（3）观察图（2），写出三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系．（4）根据（3）题中的等量关系，解决下列问题：若a+b＝7，ab＝5，求（a﹣b）2的值．【变式训练2-8】（2021春•赫山区期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．（1）用含a、b的代数式分别表示S1、S2；（2）若a+b＝10，ab＝23，求S1+S2的值；（3）当S1+S2＝29时，求出图3中阴影部分的面积S3．知识点3：完全平方式【典型例题3】（2016秋•宛城区期中）所谓完全平方式，就是对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式，例如：a4＝（a2）2、4a2﹣4a+1＝（2a﹣1）2．（1）下列各式中完全平方式的编号有；①a6；②a2﹣ab+b2；③4a2+2ab+b2；④x2+4xy+4y2；⑤a2+a+；⑥x2﹣6x﹣9．（2）若x2+4xy+my2和x2﹣nxy+y2都是完全平方式，求（m﹣）2的值；（3）多项式9x2+1加上一个单项式后，能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些？（请直接写出所有可能的单项式）解：（1）①a6＝（a3）2；③4a2+2ab+b2＝（2a+b）2；④x2+4xy+4y2＝（x+2y）2；⑤a2+a+＝（a+）2，是完全平方式；②a2﹣ab+b2，⑥x2﹣6x﹣9，不是完全平方式各式中完全平方式的编号有①③④⑤；故答案为：①③④⑤；（2）∵x2+4xy+my2和x2﹣nxy+y2都是完全平方式，∴x2+4xy+my2＝（x+y）2，x2﹣nxy+y2＝（x±y）2，∴m＝4，n＝±1，当n＝1时，原式＝9；当n＝﹣1时，原式＝25；（3）单项式可以为﹣1，﹣9x2，6x，﹣6x或x4．【变式训练3-1】（2019春•石台县期末）如图所示，有三种卡片，其中边长为a的正方形1张，边长为a、b的矩形卡片4张，边长为b的正方形4张用这9张卡片刚好能拼成一个正方形，则这个正方形的面积为（）A．a2+4ab+4b2B．4a2+8ab+4b2C．4a2+4ab+b2D．a2+2ab+b2【变式训练3-2】（2013春•武侯区月考）若要使4x2+mx+成为一个两数差的完全平方式，则m的值应为（）A．B．C．D．【变式训练3-3】若二项式x2+4加上一个单项式后成为一个完全平方式，则这样的单项式共有（）A．1个B．2个C．3个D．5个【变式训练3-4】（2020春•武侯区校级期中）若多项式x2+x+k是关于x的完全平方式，则k＝．【变式训练3-5】+a+＝（）2．【变式训练3-6】（2021春•宽城县期末）若我们规定三角“”表示为：abc；方框“”表示为：（x m+y n）．例如：＝1×19×3÷（24+31）＝3．请根据这个规定解答下列问题：（1）计算：＝；（2）代数式为完全平方式，则k＝；（3）解方程：＝6x2+7．知识点4：平方差公式【典型例题4】（2021春•成都期末）下列运算正确的是（）A．（x+y）（y﹣x）＝x2﹣y2B．（﹣x+y）2＝﹣x2+2xy+y2C．（﹣x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2D．（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2解：A、结果是y2﹣x2，故本选项不符合题意；B、结果是x2﹣2xy+y2，故本选项不符合题意；C、结果是x2+2xy+y2，故本选项不符合题意；D、结果是x2﹣y2，故本选项符合题意；故选：D．【变式训练4-1】（2020秋•饶平县校级期末）在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（）A．（m﹣n）（﹣m+n）B．（x3﹣y3）（x3+y3）C．（﹣a﹣b）（a﹣b）D．（c2﹣d2）（d2+c2）【变式训练4-2】（2020秋•九龙坡区校级期中）若a2﹣b2＝16，（a+b）2＝8，则ab的值为（）A．﹣B．C．﹣6D．6【变式训练4-3】（2021春•锦江区校级期中）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．例如，16＝52﹣32，16就是一个智慧数．在正整数中，从1开始，第2021个智慧数是．【变式训练4-4】已知a﹣b＝3，a2﹣b2＝9，则a＝，b＝．【变式训练4-5】（2021春•鼓楼区期中）有些同学会想当然地认为（x﹣y）3＝x3﹣y3．（1）举出反例说明该式不一定成立；（2）计算（x﹣y）3；（3）直接写出当x、y满足什么条件时，该式成立．【变式训练4-6】（2019秋•平山县期末）用简便方法计算：（1）1002﹣200×99+992（2）2018×2020﹣20192【变式训练4-7】（2018秋•沙坪坝区期末）一个个位不为零的四位自然数n，如果千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，则称n为“隐等数”，将这个“隐等数“反序排列（即千位与个位对调，百位与十位对调）得到一个新数m，记D（n）＝．（1）请任意写出一个“隐等数”n，并计算D（n）的值；（2）若某个“隐等数“n的千位与十位上的数字之和为6，D（n）为正数，且D（n）能表示为两个连续偶数的平方差，求满足条件的所有“隐等数”n．知识点5：平方差公式的几何背景【典型例题5】（2017春•张掖月考）乘法公式的探究及应用．小题1：如图1，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；小题2：如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是，长是，面积是（写成多项式乘法的形式）小题3：比较图1，图2的阴影部分面积，可以得到乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（用式子表达）小题4：应用所得的公式计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）解：小题1：利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积＝a2﹣b2；故答案为：a2﹣b2；小题2：由图可知矩形的宽是a﹣b，长是a+b，所以面积是（a+b）（a﹣b）；故答案为：a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；小题3：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（等式两边交换位置也可）；故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；小题4：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）＝（1﹣）×（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）＝××××××…××××＝＝．【变式训练5-1】（2021秋•台江区期中）能够用如图中已有图形的面积说明的等式是（）A．a（a+4）＝a2+4a B．（a+4）（a﹣4）＝a2﹣16C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4D．（a+2）2＝a2+4a+4【变式训练5-2】（2018秋•大同期末）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分沿图1中的虚线剪开后重新拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的乘法公式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2【变式训练5-3】（2018春•青羊区期末）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．a（a+b）＝a2+abC．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2【变式训练5-4】如图，小刚家有一块“L”形的菜地，要把这块菜地按图示那样分成面积相等的梯形，种上不同的蔬菜，这两个梯形的上底都是xm，下底都是ym，高都是（y﹣x）m，请你帮小刚家算一算菜地的面积是平方米．当x＝20m，y＝30m时，面积是平方米．【变式训练5-5】（2021春•婺城区校级期末）乘法公式的探究与应用：（1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是（写成两数平方差的形式）（2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是，宽是，面积是（写成多项式乘法的形式）．（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式（两个）公式1：公式2：（4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7．【变式训练5-6】（2021春•淮北期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是；（请选择正确的一个）A、a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C、a2+ab＝a（a+b）（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知x2﹣4y2＝12，x+2y＝4，求x﹣2y的值．②计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．。
人教版数学八年级上册14.2.2完全平方公式(二)-课件
a+(b+c) = a+b+c; a- (b+c) = a - b – c.
a + b + c = a + ( b + c) ;
a–b–c = a–(b+c).
添括号时,如果括号前面 是正号,括到括号里的各项都 不变号;如果括号前面是负号, 括到括号里的各项都改变符号.
练习
1.在等号右边的括号内填上适当的项:
细实
；；
博会
物谈
使使
人人
深敏
沉捷
；；
You made my day!
伦 理 使 人 庄 重 ； 逻 辑 与 修 辞 使 人 善 辩 。
写 作 与 笔 记 使 人 精 确 ； 史 鉴 使 人 明 智 ； 诗
歌
使
人
巧
慧
；
我们，还在路上……
(1) a + b - c = a + ( b-c );
(2) a – b – c = a – ( b+c ) ;
(3) a - b + c = a – ( b-c ); 能否用去括
号法则检查
(4) a + b + c = a - (-b-c ). 添括号是否
正确?
例5 运用乘法公式计算:
(1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) ; (2) (a + b +c ) 2.
14.2.2 完全平方公式
复习： 一般地,我们有
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a-b) 2 = a2-2ab +b2.
即两数和(或差)的平方,等于它们的平 方和,加(或减)它们的积的2倍. 这两个公式叫做(乘法的)完全平方公 式.
第十四章整式的乘法与因式分解 作业设计 数学人教版八年级上册
赣州市义务教育“作业设计我来评”优秀作业征集评比参赛作品一、作业设计内容人教版八年级上册第十四章整式的乘法与因式分解。
二、作业设计类型单元每课时的作业（包括单元复习课作业）。
三、作业目标在中考中，本章是必考内容，主要考查幂的运算、乘法公式、因式分解，所以，本章的作业目标是：1.让学生充分掌握运用整式的乘（除）法法则、乘法公式、添括号法则进行相关计算。
2.能灵活运用提公因式法和公式法进行因式分解。
3.体会转化、数形结合等数学思想，体会和掌握类比的学习方法。
4.提高学生运用所学知识解决问题的能力。
四、作业设计方案见附件。
五、设计理念阐述1.作业设计理念：深入贯彻落实《中共中央办公厅国务院办公厅关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》《教育部办公厅关于加强义务教育学校作业管理的通知》等精神，进一步提升作业设计的科学性、针对性和规范性，增强作业实施的有效性，减轻学生过重的作业负担，依据《义务教育数学课程标准》设计作业。
2.作业设计思路：（1）尊重差异，体现自主性。
新课程强调学生学习的主体，承认并尊重学习上的差异，是主体性学习的一个重要特点。
（2）积累知识，厚积薄发。
使数学学习成为沟通课本与生活的桥梁，提高数学思维与解题能力。
（3）培养学生实际应用能力。
即使把所学知识与实际问题相联系，使学生从学数学向用数学方向推进。
（4）突出重点，强化练习。
作业设计体现新的课改理念，还应符合本年段学生的认识，心理特征，关注到学习兴趣的培养和个性发展的需要，体现多元化，多层次，因材施教。
3．作业形式：设计分“知识梳理，夯实基础，能力提升，思维拓展”四个层面，通过选择、填空、解答等形式达到作业目标。
附：作业设计方案第14章整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法14.1.1同底数幂的乘法知识梳理知识点一：同底数幂的乘法运算法则a m⋅a n=a m+n（m，n都是正整数）.即同底数幂相乘，底数________，指数________.同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是___________，也可以是________或________.三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质.即a m⋅a n⋅a P=a m+n+P（m,n,p都是正整数）.知识点二：逆用同底数幂的乘法运算法则把一个幂分解成____个或____个同底数幂的积，其中他们的底数与原来的底数______，它们的指数之和等于原来幂的_______.即a m+n=a m⋅a n（m，n都是正整数）.夯实基础1.下列计算正确的是().A.a3⋅a3=a6B.a3⋅a3=2a3C.a3⋅a3=a9D.a3+a3=a62.计算a3⋅(−a)的结果是( ).A.a2 B.−a2C.a4D.−a43.若2n+2n+2n+2n=8，则n=( ).A. 1B. 2C. 0D. 144.若x2⋅x m=x5，则m=______．5.若3×32m×33m=311，则m的值为_________.能力提升1.计算：(a−b)3⋅(b−a)⋅(a−b)5=．2.已知x m−n⋅x2n+1=x11，y m−1⋅y5−n=y6，求mn2的值．3. (1)−a2⋅a5+a⋅a3⋅a3;(2)a2⋅a3−(−a3)⋅a4+a6⋅(−a)．思维拓展1.(1)若2x=3，2y=5，则2x+y=．(2)已知a x=5，a x+y=25，求a x+a y的值．(3)已知x2a+b⋅x3a−b⋅x a=x12，求−a100+2101的值．14.1.2幂的乘方知识梳理知识点一：幂的乘方运算法则(a m)n=a mn（m,n都是正整数），即幂的乘方，底数________，指数__________.公式的推广：((a m)n)P=a mnp（m,n,p都是正整数）注意：负号在括号内时，偶次方结果为______，奇次方结果为______；负号在括号外时，结果都为______.知识点二：逆用幂的乘方运算法则a mn=(a m)n=(a n)m（m，m都是正整数）.根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算将某些幂变形，从而解决问题.夯实基础1.计算(a2)3，结果是（）.A. a5B. a6C. a8D. a92.计算(−a5)2+(−a2)5的结果是()A. 0B. −2a7C. 2a10D. −2a103.若k为正整数，则A. k2kB. k2k+1C. 2k kD. k2+k4.计算：(1)(−a2)3⋅a3+(−a)2⋅a7−5(a3)3;(2)x5⋅x7+x6⋅(−x3)2+2(x3)4．能力提升1.已知3a=5，3b=10，则3a+2b的值为()A. −50B. 50C. 500D. −5002.已知a m=2，a n=−1，求a3m+2n的值．3.已知3x+5y−1=0，求8x⋅32y的值．思维拓展阅读下列解题过程：试比较2100与375的大小．解：因为2100=(24)25=1625，375=(33)25=2725，16<27，所以2100<375．请根据上述方法解答问题：比较255，344，433的大小．14.1.3积的乘方知识梳理知识点一：积的乘方运算法则(ab)n=a n⋅b n（n是正整数）.即积的乘方，等于把积的每一个因式分别_______,再把所得的幂__________.公式的推广:(abc)n=a n⋅b n⋅c n（n是正整数）.知识点二：逆用积的乘方运算法则a nb n=(ab)n(n是正整数）.逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.夯实基础1.计算：(−23x2y)3=_______________.2.如果(a n b m)3=a9b15，那么m，n的值为_____________.3.计算(−4×103)2×(−2×103)3的结果为_____________________.能力提升1.已知(ka m−n b m+n)2=4a4b8，则k+m+n=．2.若n为正整数，且x2n=3，则(3x3n)2=．3.用简便方法计算：(1)(−125)8×0.255×(57)8×(−4)5;(2)0.1252021×(−82022).思维拓展(1)已知a n=2，b2n=3，求(a3b4)2n的值．(2)若59=a，95=b，用a，b表示4545的值．(3)若n为正整数，且x2n=7，求(3x3n)2−13(x2)2n的值．14.1.4整式的乘法第一课时单项式的乘法知识梳理知识点：单项式的乘法运算法则单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别_________,对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的_______作为积的一个______.三个或三个以上的单项式相乘同样适用.夯实基础x⋅(−2x2)3=______．1.计算：122.计算(6×103)×(8×105)的结果是__________.a2)4⋅(−b2)5．3.计算：(−3a2b)3⋅(−12能力提升1.若x3⋅x m y2n=x9y8，则4m−3n=__________________.2.若−2x3m+1y2n与4x n−6y−3−m的积与−4x4y是同类项，求m、n．3.已知3a n+1b n+1与−a2m−1b n−1的积等于−3a3b6，求(2m+n)n的值．思维拓展若“三角”表示3abc，“方框”表示−4x y w z，则×=．14.1.4整式的乘法第二课时单项式与多项式相乘知识梳理知识点：单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用_______去乘________的每一项，再把所得的积_________.即P(a+b+c)=Pa+Pb+Pc.夯实基础1.下列运算正确的是().A.2a(a−1)=2a2−aB.a(a+3b)=a2+3abC.−3(a+b)=−3a+3bD.a(−a+2b)=−a2−2ab2.计算2x(3x2+1)=_______________________.xy2)2⋅[xy(2x−y)+xy2].3.计算：(−134.计算：(2x2)3−6x3(x3+2x2+x).能力提升1.若x−y+3=0，则x(x−4y)+y(2x+y)的值为().A. 9B. −9C. 3D. −32.若一个长方体的长、宽、高分别为2x，x，3x−4，则长方体的体积为().A.3x3−4x2B.6x2−8xC.6x3−8x2D.6x3−8x3.解不等式：45+(−x)2+6x(x+3)>(−x)(2x−13)+(−3x)2．思维拓展【知识回顾】七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax−y+6+3x−5y−1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式=(a+3)x−6y+5，所以a+3=0，则a=−3．【理解应用】(1)若关于x的多项式(2x−3)m+2m2−3x 的值与x的取值无关，求m值；【能力提升】(2)7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1−S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．14.1.4整式的乘法第三课时多项式与多项式相乘知识梳理知识点：多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先用一个_______的每一项乘另一个_______,再把所得的积__________.即(a+b)(m+n)=____________________.夯实基础1.若(x+4)(x−2)=x2+mx+n，则m、n的值分别是().A. 2，8B.−2，−8C.2，−8D.−2，82.计算(x+2)(x−3)=_______________________.3.计算：2(x+3)(x−4)−(2x−3)(x+2)．能力提升1.已知ab=a+b+2020，则(a−1)(b−1)的值为_________________．2.要使(6x−m)(3x+1)的结果中不含x的一次项，则m的值等于_____________.3.解方程或不等式：(1)(x−3)(x+8)=(x+4)(x−7)+2(x+5);(2)2x(x−4)>(x+4)(x+2)+(x−3)(x+6)．思维拓展(1)填空：(a−b)(a+b)=______．(a−b)(a2+ab+b2)=______．(a−b)(a3+a2b+ab2+b3)=______．(2)猜想：(a−b)(a n−1+a n−2b+⋯+ab n−2+b n−1)=______(其中n为正整数，且n≥2)．(3)利用(2)猜想的结论计算：27+26+25+24+23+2+1．14.1.4整式的乘法第四课时整式的除法知识梳理知识点一：同底数幂的除法运算法则a m÷a n=____________(a≠0,m,n都是正整数，并且m> n).即同底数幂相除，底数________,指数________.知识点二：零次指数幂a0=1(a≠0).任何不等于0的数的0次幂都等于________.知识点三：单项式的除法运算法则单项式相除，把______与_______分别相除作为商的_______,对于只在被除式里含有的_______,则连同它的_____ ___作为商的一个________.知识点四：多项式除以单项式的运算法则多项式除以单项式，先把这个多项式的__________除以这个_________，再把所得的商_________.夯实基础1.计算：28x4y2÷7x3y=______________________.2.(-2021)0=_______________.2.计算：(1)(4x 3y +6x 2y 2−xy 3)÷(2xy);(2)(−2x 3y 2−3x 2y 2+2xy)÷(2xy)．能力提升1.已知5x =3，5y =2，则52x−3y =( )A. 34B. 1C. 23D. 98 2.若a >0，且a x =3，a y =2，则a 2x−y 的值为( ) A. 92B. 4C. 3D. 7 3.已知：2a =3，2b =5，2c =75．求2c−b+a 的值；思维拓展老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如图：×(−12xy)=3x 2y −xy 2+12xy ． （1）求所捂的多项式;（2）若x =23，y =12，求所捂多项式的值．14.2乘法公式14.2.1平方差公式知识梳理知识点：平方差公式平方差公式：(a+b)(a−b)=a2−b2.即：两个数的_____与这两个数的_____的积，等于这两个数的平方差.注意：公式中的字母a,b可以是一个______、一个_______、一个_________.所以，当这个字母表示一个负数、单项式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误.夯实基础1.下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是()A. (x+y)(y−x)B. (−a+b)(a−b)C. (x+2)(2+x)D. (x−2)(x+1)2.已知a+b=10，a−b=8，则a2−b2=____________．3.计算：(2a−1)(−2a−1)=____________.4.如果一个长方形的长为(a+2b)米，宽为(a−2b)米，则该长方形的面积是平方米．能力提升1.若x2−y2=3，则(x+y)2(x−y)2的值是().A. 3B. 6C. 9D. 182.化简x2−(x+3)(x−3)的结果是．3.用乘法公式计算(2+1)(22+1)(24+1)…(22018+1)的结果.思维拓展【探究】如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形(如图2所示)(1)通过观察比较图2与图1中的阴影部分面积，可以得到乘法公式____________________．(用含a，b的等式表示)【应用】请应用这个公式完成下列各题：(2)已知4m2−n2=12，2m+n=4，则2m−n的值为_______________．(3)计算：20192−2020×2018．【拓展】(4)计算：1002−992+982−972+⋯+42−32+22−12．14.2.2完全平方公式(第一课时)知识梳理知识点：完全平方公式完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2, (a−b)2= a2−2ab+b2.即两个数的_____(或_____)的平方，等于它们的________,加上（或_______）它们的积的_____倍.注意：公式左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两个数的平方和加（或减）这两个数积的2倍.以下是常见的变形：a2+b2=(a+b)2−2ab=(a−b)2+2ab(a+b)2=(a−b)2+4ab夯实基础1.若(y+a)2=y2−8y+b，则a，b的值分别为().A.4，16B.−4，−16C.4，−16D.−4，162.计算(−a+2b)2=_______________.3.运用完全平方公式计算)2; (2)2992;(1)(60160(3)1012+992−98×102．能力提升1.若a−b=1，a2+b2=13，则ab的值为().A. 6B. 7C. 8D. 92.已知xy=10，(x−2y)2=1，则(x+2y)2的值为().A. 21B. 9C. 81D. 413.先化简，再求值：(x+1)2−x(x+1)，其中x=2．4.先化简，再求值：(x−1)(3x+1)−(x+2)2+5，其中x2−3x−1=0．思维拓展已知(a+b)2=25，(a−b)2=9，求ab与a2+b2的值．14.2.2完全平方公式(第二课时)知识梳理知识点：添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都______符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都要______符号.如a+b+c=a+(b______c),a−b−c=a−(b______c)夯实基础1.(a+b−c)(a−b+c)=[a+(_______)][a−(______)]2.已知x−2y=−2，则3−x+2y=__________________.3.计算(1)(a−b+c)2;(2)(2x−y+4)(2x+y−4).能力提升1.计算：(2x−2)(x+1)−( x−1 )2−( x+1 )2．2.利用乘法公式计算：(x+2y+1)(x−2y+1)−(x−2y−1)2．3.长方形中相邻两边的长分别是8−x，x−2，若(8−x)2+(x−2)2=13，求这个长方形的面积．思维拓展若m2+2mn+2n2−6n+9=0，求mn2的值解：因为m2+2mn+2n2−6n+9=0，所以(m+n)2+(n−3)2=0．所以n=3，m=−3．所以mn2=−332=−13．根据你的观察，探究下面的问题：(1)若x2+4x+4+y2−8y+16=0，求yx的值;(2)若x2+2y2−2xy+2y+1=0，求x+2y的值;(3)试说明：不论x，y取什么实数，多项式x2+y2−2x+ 2y+3的值总是正数;14.3因式分解14.3.1提公因式法知识梳理知识点一：因式分解的概念把一个_________化成几个________的______的形式，叫做把这个多项式_________，也叫做把这个多项式____________.知识点二：用提公因式法分解因式1.公因式：在多项式中，如果各项都有一个______的因式，就把这个因式称为_______.2.提公因式法分解因式(1)定义：一般地，如果多项式的各项有_________,可以把这个________提取出来，将多项式写成_______与另一个______的_______的形式,这种分解因式的方法叫做___________.(2)实质：提公因式法的实质是____________的逆用.(3)步骤：①确定______；②提______并确定另一个_____；③把多项式写成这两个因式的_______的形式.夯实基础1.下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是()A.a(a+2)=a2+2aB.a2−b2=(a+b)(a−b)C.m2+m+3=m(m+1)+3D.a2+6a+3=(a+3)2−62.多项式8x m y n−1−12x3m y n各项的公因式是_________.3.已知x+y=8，xy=15，则x2y+xy2的值为．4.用提公因式法分解因式：−3a n+2+2a n+1−5a n．能力提升1.计算（1）49×19.99+52×19.99−19.99（2）22022−5×22021+6×22020+2023．2.如图，把R1、R2、R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U=IR1+IR2+IR3.当R1=19.7，R2= 32.4，R3=35.9，I=2.5时，则U的值为______．思维拓展先阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]= (1+x)2(1+x)=(1+x)3．(1)上述分解因式的方法是，共应用了次;(2)若分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+⋯+x(x+1)2022，则需应用上述方法次，结果是;(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+⋯+x(x+ 1)n(n为正整数)．14.3.2公式法(第一课时)知识梳理知识点：平方差公式a2−b2=(a+b)(a−b),即两个数的平方差，等于这两个数的_____与这两个数的_____的____.夯实基础1.下列各式中，能运用平方差公式分解因式的是().A. x2+y2B. 1−x2C. −x2−y2D. x2−xy2.因式分解：m3n−mn3=______．能力提升1.对于任何整数m，多项式(4m+5)2−9都能().A.被8整除B.被m整除C.被m−1整除D.被2m−1整除2.分解因式：(2x−y)2−(4x+3y)2=．3.若a+b=4，a−b=1，则(a+1)2−(b−1)2的值为．4.利用因式分解进行计算：3.14×512−3.14×492.思维拓展利用因式分解进行计算：(1−122)(1−132)(1−142)·⋯·(1−120222).14.3.2公式法（第二课时）知识梳理知识点一：用完全平方公式分解因式两个数的________加上（或减去）这两个数的_____的____倍，等于这两个数的_____(或______)的_______.即a2+2ab+ b2=(a+b)2，a2−2ab+b2=(a−b)2.知识点二：公式法用来把某些具有特殊形式的多项式____________，这种分解因式的方法叫做公式法.夯实基础1.下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是()A. x2−4B. x2−2x−1C. x2−4x+4D. x2+4x+12.分解因式：2xy−x2−y2=______________________.3.分解因式：ab2−2ab+a=______________________．能力提升1.若a+b=2，ab=−3，则a3b+2a2b2+ab3的值为．2.利用因式分解计算：(1)1012+492+101×98;(2)8002−1600×798+7982．思维拓展1.利用因式分解回答问题：已知x+y=3，x−y=−2，求(x2+y2)2−4x2y2的值．2.已知△ABC的三边长a，b，c满足a2−b2=ac−bc，试判断△ABC的形状．第十四章复习课作业夯实基础1.下列计算正确的是()A.(−a3)÷(−a)=−a2B.(a3)2=a5C.3x2⋅(−2x3)=−6x5D.(ab3)2=ab62.计算(−3x)·(2x2−5x−1)=_________________________.3.计算(28a3−28a2+7a)÷7a=_______________________.4.若x2+2(m−3)x+16是完全平方式，则m的值等于().A. 3B. −5C. 7D. 7或−15.计算：|−3|+(π+1)0−√4=．6.分解因式：x3y−4xy3=___________．7.分解因式：4ax2−4ax+a=______．能力提升1.把一个两位数交换十位数字和个位数字后得到一个新的两位数，若将这个新的两位数与原两位数相加，则所得的和一定是().A. 偶数B. 奇数C. 11的倍数D. 9的倍数2.已知多项式ax+b与2x2+2x+3的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为9，则a b的值为().A. 18B. −18C. −8D. −63.先化简，再求值：(x+y)(x−y)−(4x3y−8xy3)÷2xy，其中x=1，y=3．思维拓展南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a+b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下图称为“杨辉三角”．(a+b)0=1(a+b)1=a+b(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 (a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5则(a+b)9展开式中所有项的系数和是________________.。
2014年秋人教版八年级数学上册：14.2.2《完全平方公式》ppt课件
学习目标：
会推导完全平方公式，并能运用公式进行计算
自学指导：（阅读教材109-110页的内容，
并注意以下问题）
1.完成109页的探究，归纳总结发现的规律 2.理解并熟记完全平方公式，并会用文字语言表述 3.注意110页例3、例4的解题过程
7分钟后比一比谁最棒
2
1 x = , y = -1 3
a + b = 5, ab = 3, 求:a 2 + b2
自学提问：
1.109页探究中有什么规律？如何用公式表示？ 2.有文字语言如何表述？ 3.完全平方公式的结构特征是什么？
自学Байду номын сангаас测：
1.判断下列各式的计算是否正确，若不正确，应当怎样改正？ （1） （2） （3） x2 + 2xy + （4）
y2
不对， ( x + y)2 = x 2 + y 2 2 2 2 2 2 2 不对 ， a - 2ab + b 2 ab -b ( am -b a4m -2 (2 -)n)= = -2mn + n2
x + 2ax + 1
1 x+ = 2 x
2
是一个完全平方式，则a 的值是（ ） 2 2 B. -1 C. D.0 ，求 的值
3 2 则 ( x - y ) 2 N为（ B.3xy C . -xy D. xy 4 3
2
48
2
1 x + 2 x
2
± 1
思考：
(a + b) 与(-a -b) 相等吗？ （a -b) 与（b - a) 相等吗？ （a -b) 与a -b 相等吗？为什么？
人教版初中数学八年级上册14.2乘法公式(教案)示例
此外，我发现学生们在解决具体问题时，对于何时使用平方差公式和立方和差公式还不够自信。这可能是因为他们在公式选择和应用上缺乏足够的练习。因此，我计划在下一节课中增加更多针对性的练习，特别是那些涉及公式选择和综合应用的题目。
2.培养学生的数学运算能力，使学生能够熟练运用乘法公式进行简便计算，解决实际问题，增强数学运算的准确性。
3.培养学生的空间想象力和抽象思维能力，通过乘法公式的学习，引导学生从具体实例中提炼出数学规律，提升对数学概念的理解。
4.培养学生的团队协作和交流表达能力，课堂上鼓励学生进行小组讨论，分享乘法公式的发现与应用，提高学生的沟通能力。
-灵活运用乘法公式：学生在解决问题时，可能难以判断何时使用哪个乘法公式，需要通过大量练习和讲解，让学生掌握乘法公式的应用场景。
-识别并分解问题中的乘法结构：学生在面对复杂问题时，可能难以识别其中的乘法结构，需要教师指导如何分解问题，找到适用的乘法公式。
举例：
-难点突破：通过展开(a+b)²和(a-b)²，让学生观察并发现完全平方公式的规律，理解平方差公式的来源。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了乘法公式的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对乘法公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
在小组讨论环节，我观察到学生们在讨论乘法公式在日常生活中的应用时，能够提出一些很有创意的想法。这表明他们能够将学到的知识应用到实际问题中。然而，我也发现有些小组在讨论时，成员之间的交流并不充分，导致部分学生的参与度不高。在未来的教学中，我需要更加注重引导学生之间的互动，确保每个学生都能积极参与讨论。
14.2.2完全平方公式-ppt课件
完全平方公式的文字叙述：
两数和（或差）的平方，等于它们
的平方和，加（或减）它们的积的2倍 。
第6页，共33页。
(a+首b平)2方= ，a2尾+平2a方b，+b2
公式特点：
(a乘-b积)2的=2a倍2 放- 中2a央b+。b2
∴ (a+b)2= (-a-b)2 ∵ (a-b)2=a2-2ab+b2
(b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2 ∴ (a-b)2=(b-a)2
第17页，共33页。
做一做:根据两数和的完全平方公式填空.
(1)(x+6)2=( x )2+2( x )( 6 )+( 6 )2
=( x2+12x+36
第33页，共33页。
(2) 992= (100-1)2=1002-2×100×1+12
=10000-200+1=9801
利用完全平方公式计算:
1、先选择公式; 2、准确代入公式; 3、化简.
第16页，共33页。
想一想:
（a+b）2与（-a-b）2相等吗？ （a-b）2与（b-a）2相等吗？ 为什么？
∵ (a+b)2=a2+2ab+b2 (-a-b)2=(-a)2+2(-a)(-b)+(-b) 2=a2+2ab+b2
（7）已知 x+y=4，xy =-13， 求: x2 3xy y 2 的值.
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拓展思维
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2