微分几何07A
微分几何课件
3、向量函数 r (t )的微商 r (t )仍为 t 的一个向量函数，如果函数 r (t ) 也是连续和可微的，则 r (t )的微商r (t ) 称为 r (t )的二阶微商。
( n) 类似可定义三阶、四阶微商。如r (t ), r (t ).
4、在区间 [t1,t2]上有直到 k 阶连续微商的函数称为这区间上的 k次
微分几何
第一节
向量函数
向量函数的概念：给出一点集 G ，如果对于G 中的每一个 点 x ，有一 个确定的向量 r 和它对应，则说在 G上给定了一个向 量函数，记作 r r ( x), x G, 例如 设G是实数轴上一区间 [t0 , t ] ，则得一元向量函数 r r (t ). 设G是一平面域， (u, v) G，则得二元向量函数 r r (u, v). ( x, y, z ) G，得三元向量函数 r r ( x, y, z) 设G是空间一区域， 1、1 向量函数的极限
例书中的开圆和圆柱螺线。
z
3、曲线的参数方程
坐标式
M
x x(t ) y y (t ) z z (t )
at b
x
o
y
向量式 r (t ) x(t )e1 y(t )e2 z(t )e3
例1、 开圆弧
x a cos t y a sin t
t (0, 2 )
1、5 向量函数的积分
c b （1）当a<c<b时有 a r (t )dt a r (t )dt c r (t )dt b b （2）m 是常数时有 mr (t )dt m r (t )dt
a
b
a （3）如果 m 是常向量，则有
微分几何
第二章曲线的概念4学时
第三章空间曲线12学时
第四章曲面的概念4学时
第五章曲面的第一基本形式8学时
第六章曲面的第二基本形式12学时
第七章直纹面和可展曲面6学时
第八章曲面论的基本定理8学时
第九章曲面上的测地线10学时
第十章常高斯曲率的曲面4学时
如果总课时数少于70，可以只讲授第一至第八章。
第八节高斯曲率的几何意义
教学要求
领会：理解曲面第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率等的意义。
掌握：曲面的第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率，曲面的局部结构等基本概念及它们的相关运算。
第一章向量函数4学时第二章曲线的概念4学时第三章空间曲线12学时第四章曲面的概念4学时第五章曲面的第一基本形式8学时第六章曲面的第二基本形式12学时第七章直纹面和可展曲面6学时第八章曲面论的基本定理8学时第九章曲面上的测地线10学时第十章常高斯曲率的曲面4学时如果总课时数少于70可以只讲授第一至第八章
教学目的
引入正则参数曲面，曲面的切平面，切向量，法线，单位法向量等概念，为进一步学习曲面论作好铺垫。
主要内容
第一节简单曲面及其参数表示
第二节光滑曲面曲面的切平面和法线
第三节曲面上的曲线族和曲线网
教学要求
掌握：简单曲面的参数表示；简单曲面及其上面曲线族（网）的特征；曲面的法线、切面的求法。
第五章曲面的第一基本形式
第二节空间曲线的基本三棱形
第三节空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式
第四节空间曲线在一点邻近的结构
微分几何第四版习题答案梅向明知识分享
第一章曲统论§2向虽函敎缶向试曲数只/)具冇固定方向的充雯条件衆产⑺X ?'(/)= 0・分析：一个向量函数只刀•般可以写成尺/)二久⑺2(/)的尬式’其中乳0为单位向量函数‘ 粗刀为数量函数.那么尺”具有因宦方向的充要条件是只"具有固宦方向*即罠/)为常向量, (例为秋/)的长度固定人证对F向虽函数？(/),设机/)为梵单位向負则尺f)二几⑺&⑺，若疋具有園定方向1 如巩“对常向殳’那么?(/) = A r(/) e ,所以rX7 = ^ ｝：<^X ) =o・反 Z,若?x?=0 ★对 ^(/) = A(/) e(/)求 A 1i+A 0・rft?XF=A1〔3><了)”6・则有Z 7 或e\e'=Q时* ?(^) = 0可与任意方向平杜hZ * 0 时，有&x 0—6.血(Ex 0 ~(e e* )2-e,2t (因为$ 貝冇固运匕t所以?=O.即P为常向第。
所以，r(/)A有固运方向.6.向绘歯数半行于固立屮面的充摆杀件是(F尹产)司卩分析:向呈诵数？W平If于固定平面的充要余件是存在•牛定向向蚩50*使？(心 = 0 ,所以我们蹩耳求这个向旅亓及万与尹.严的尢系"证若尺刀半苻于個址羊面—设乔足¥面斗的•个单位迖向嵐则习为常向議H?(/) 7t-0 -两次求微商色尸7 =0・?y 7i=0 ,即问最孑，戸‘唾直于同•非零向輦无因而典而*即(F戶尹')刃.反之，若(? r1 F M) =0i则有r x ?=6戒产x戸工6 .若产x? = 0i由匕题柯产(/) 具冇■的崔方向、白然半fr于一固宦半面，若rx? H 0(则存圧数母焰数入(“、H&n使戸'= 乔*尹①令聞*厂桁丰6,且;V)丄讯/)* 4^7 X?求微商井将①式代入得用=Fx P*—/I t r X r1)—p f是x ^' —6 .市上题划另4fhM眾方向，而F(f)丄苑即巩f) 平存于固進半而S3曲线的概念1-求圆柱螺^T=cosr- ,F=sinr, f *在(1Q 0)的切线和注平面。
微分几何(第一课)
在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域 的性质，常常用所谓“活动标形的方法”。对任意 曲线的“小范围”性质的研究，还可以用拓扑变换 把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。 在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可 以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂 的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可 以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方 法。
Manfredo P.do Carmo 1963年于加利福尼亚 大学伯克利分校获得博士学位，目前就职于 巴西国家数学与应用数学研究所(IMPA)。
后续书籍
本书系统地论述了微分几何的基本知识。全书共八章 并两个附录。作者以较大的篇幅，即前三章和第六章 介绍了流形、多重线性函数、向量场、外微分、李群 和活动标架法等基本知识和工具。在有了上述宽广而 坚实的基础之后，论述微分几何的核心问题，即联络、 黎曼几何以及曲面论等。第七章复流形，既是当前十 分活跃的研究领域，也是第一作者研究成果卓著的领 域之一，包含有作者独到的见解和简捷的方法。第八 章Finsler几何是本书第二版新增的一章，它是第一作 者近来提倡的研究课题，其中Chefn联络具有突出的 性质，使得黎曼几何成为Finsler几何的特殊情形。最 后两个附录，介绍了大范围曲线论和曲面论，以及对 微分几何与理论物理关系的论述，为这两个活跃的前 沿领域提出了不少进一步的研究课题。 此书可作为高等院校数学和理论物理等专业高年级、 研究生选修课和研究生课教材，或学习参考书，也可 供从事数学和物理等相关学科研究人员参考。
近代由于对高维空间的微分几何和对曲线、曲 面整体性质的研究，使微分几何学同黎曼几何、 拓扑学、变分学、李群代数等有了密切的关系， 这些数学分支和微分几何互相渗透，已成为现 代数学的中心问题之一。
课程名称： 微分几何 课程代码：02014(理论) .doc
课程名称：微分几何课程代码：02014（理论）第一部分课程性质与目标一、课程性质与特点微分几何是高等学校数学专业的一门专业方向课，它以微积分的理论为研究工具，主要研究三维欧氏空间中曲线和曲面的内在性质，是几何学范畴的一个分支。
二、课程目标与基本要求通过本课程的学习，培养学生的抽象思维能力和空间想象能力，使学生掌握空间曲线、曲面的一般理论，以及一般的研究空间曲线、曲面的结构和性质的基本方法，并运用这些方法研究某些特殊曲线、曲面的形状和性质。
需要达到的基本要求：1、正确理解和熟练掌握向量函数的概念，向量函数的各种运算，以及运用向量函数表示空间中的曲线和曲面。
2、以微积分为工具，能对空间中曲线的形状、性质和结构进行研究，掌握一般曲线的基本理论，并运用这些理论讨论某些特殊曲线的性质和结构。
3、在曲线理论的基础上，进一步研究空间曲面的局部性质和结构。
会利用曲面的第一和第二基本形式研究空间曲面的曲率，并根据曲率对曲面进行分类研究。
4、掌握曲面的基础定理，并对曲面上测地线进行研究，了解曲面的某些整体性质。
三、与本专业其他课程的关系微分几何是数学专业学生的研究方向课，是学习现代微分几何和拓扑学以及理论物理的基础课程。
微分几何也可以看作是曲线、曲面上的微积分，需要微积分、线性代数和解析几何的相关知识，因此学习此课程之前，需要先修数学分析、高等代数、解析几何和常微分方程等课程。
学习微分几何之后，可以进一步学习微分流形、微分拓扑、黎曼几何、数学物理等课程。
第二部分考核内容与考核目标第一章曲线论一、学习目的与要求正确理解向量函数的概念，熟练运用向量函数的基本性质和运算研究空间曲线的结构和性质，并通过探索曲线在一点邻近的结构，从而研究曲线的一般理论。
二、考核知识点与考核目标（一）曲线的切线、法平面、密切平面、曲率、挠率等（重点）识记：光滑曲线、曲线的切向量、曲线的弧长、曲率与挠率的概念。
理解：曲线的自然参数、密切平面、主法向量、副法向量、曲率与挠率的计算、曲线在一点处的结构等。
微分几何第四版答案
微分几何第四版答案第一部分曲线与曲面的局部微分几何第一章欧氏空间1.1 向量空间1.2 欧氏空间第二章曲线的局部理论2.1 曲线的概念2.2 平面曲线2.3 E的曲线2.4 曲线论基本定理第三章曲面的局部理论3.1 曲面的概念3.2 曲面的第一基本形式3.3 曲面的第二基本形式3.4 法曲率与weingarten变换3.5 主曲率与Gauss曲率3.6 曲面的一些例子第四章标架与曲面论基本定理4.1 活动标架4.2 自然标架的运动方程4.3 曲面的结构方程4.4 曲面的存在惟一性定理4.5 正交活动标架4.6 曲面的结构方程（外微分法）第五章曲面的内蕴几何学5.1 曲面的等距变换5.2 曲面的协变微分5.3 测地曲率与测地线5.4 测地坐标系5.5 Gauss-Bonnet公式5.6 曲面的Laplace算子5.7 Riemann度量第二部分整体微分几何选讲第六章平面曲线的整体性质6.1 平面的闭曲线6.2 平面的凸曲线第七章曲面的若干整体性质7.1 曲面的整体描述7.2 整体的Gauss-Bonnet公式7.3 紧致曲面的Gauss映射7.4 凸曲面7.5 曲面的完备性第八章常Gauss曲率曲面8.1 常正Gauss曲率曲面8.2 常负Gauss曲率曲面与sine-Gordon方程8.3 Hilbert定理8.4 Backlund变换第九章常平均曲率曲面9.1 Hopf微分与Hopf定理9.2 Alexsandrov惟一性定理9.3 附录：常平均曲率环面第十章极小曲面10.1 极小图10.2 极小曲面的weierstrass表示10.3 极小曲面的Gauss映射10.4 面积的变分与稳定极小曲面索引。
《微分几何》教学大纲
《微分几何》课程教学大纲课程名称：《微分几何》课程编码：074112303适用专业及层次：数学与应用数学（本科）课程总学时：72学时课程总学分：4一、课程的性质、目的与任务等。
1、微分几何简介及性质微分几何是高等院校数学和数学教育各专业主要专业课程之一，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。
古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间----流形。
微分几何与拓扑学等其他数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。
本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。
2、教学目的：通过本课程的教学，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，分析和解决初等微分几何问题，并为进一步学习微分几何的近代内容打下良好的基础。
3、教学内容与任务：本课程主要应用向量分析的方法，研究一般曲线和曲面的局部理论，同时还采用了张量的符号讨论曲面论的基本定理和曲面的内蕴几何内容，并且讨论了属于整体微分几何的高斯崩尼（Gauss-Bonnet）公式。
重点让学生把握理解本教材的前二章。
二、教学内容、讲授大纲与各章的基本要求第一章曲线论教学要点：本章主要研究内容为向量分析，曲线的切线，法平面，曲线的弧长参数表示，空间曲线的基本三棱形，曲率和挠率的概念和计算，曲线论的基本公式和基本定理，从而对空间曲线在一点邻近的形状进行研究，同时对特殊曲线特别是一般螺线和贝特朗曲线进行研究。
通过本章的教学，使学生理解和熟记有关概念，掌握理论体系和思想方法，能够证明和计算有关问题教学时数：22学时。
教学内容：第一节向量函数1.1 向量函数的极限1.2 向量函数的连续性1.3 向量函数的微商1.4 向量函数的泰勒（TayLor）公式1.5 向量函数的积分第二节曲线的概念2.1 曲线的概念2.2 光滑曲线、曲线的正常点2.3 曲线的切线和法面2.4 曲线的弧长、自然参数第三节空间曲线3.1 空间曲线的密切平面3.2 空间曲线的基本三棱形3.3 空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式3.4 空间曲线在一点邻近的结构3.5 空间曲线论的基本定理3.6 一般螺线考核要求：1、理解向量函数的极限、连续性、微商、泰勒（TayLor）公式和积分等概念，能推导和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算。
微分几何讲义
微分几何讲义微分几何是一门涉及到曲面、数学上关于曲面的研究。
由微分几何提出的一系列概念和公式，不仅是数学的一部分，也被应用到物理、工程等各个领域中。
它的研究既有宽阔的视野又有深入的思维，对于理解我们周围的宇宙和物质世界十分有帮助。
《微分几何讲义》是微分几何研究的经典著作，是一部深入浅出的经典教材，既具有理论性又具有实用性。
本书阐述了大多数关于微分几何的重要定理，全面地讲述了几何曲面的几何学和微分学的基础知识，并对相关的重要概念、定理和工具进行了介绍。
书中阐述了有关可变形的结构分析，提出了一系列关于曲面的类型和性质的有用定理，重点讨论了几何曲面的微分拓扑，以及基于曲面的几何性质的定理，包括曲线在曲面上的变形、曲线在曲面上的运动等。
本书历经三版修订，新版本大幅改进，不仅深入探讨了众多晦涩难懂的概念，而且增加了一系列重要定理的定义。
通过丰富的概念、定理、工具、图表等是本书与其他同类书籍的主要区别，比如数学精细，更有助于读者们的理解。
书中的概念非常丰富，能够给读者们提供更深入的探索，加深他们对微分几何的理解。
此外，本书也涵盖了实际应用的微分几何，从中知晓了微分几何的宽阔的应用前景，让读者更加深入地了解微分几何。
本书不仅是学生们学习微分几何的重要教材，也是研究者们了解微分几何的使用及其应用前景的重要参考资料。
总之，《微分几何讲义》是一部完整而系统的对微分几何的介绍，有助于读者更深入地学习和理解微分几何的原理，以及它的实际应用。
有意思的是，尽管本书的内容是以数学的语言来表达的，但是它的描述也非常精彩，常常能够带给读者更加细致连贯的体验。
科普微分几何知识点总结
科普微分几何知识点总结一、微分流形和切空间微分几何的起点是对流形的研究。
流形是局部与欧几里得空间同胚的拓扑空间，它是微分几何的研究对象。
在微分几何中，我们通常关心的是光滑流形，也就是说，我们关心的函数在流形上是光滑的。
流形上的光滑函数构成一个代数结构，我们称之为流形上的代数，用C^∞(M)来表示。
切空间是流形上切向量的集合，它也是流形上的一个代数结构。
给定流形M上的一个点p，我们可以定义切空间TpM. 切空间是一个向量空间，它可以看成是p点处的切向量的全体。
切向量是切线上的矢量，它不依赖于特定坐标系的选取，是切空间的一个重要概念。
二、微分流形上的微分结构微分流形上的微分结构是微分几何的一个重要概念。
微分结构是指在流形上定义的导数操作。
在欧几里得空间中，我们有一个明确的导数定义，而在一般的流形上，我们需要通过微分结构来定义导数。
微分结构是流形上的一个代数结构，它可以看成是切空间上的一个内积结构和一个线性映射的组合。
微分流形上的微分结构还可以由一个微分形式定义。
微分形式是流形上的一个代数结构，它可以看成是切空间上的一个线性映射。
微分形式是微分几何中的重要工具，它可以表示切空间上的微分操作，定义流形上的曲率和流形上的连接等。
三、微分流形上的测地线测地线是微分几何中的一个重要概念，它是流形上的一条最短曲线。
在欧几里得空间中，我们可以通过求解微分方程来定义最短曲线，而在一般的流形上，我们需要通过微分几何的方法来定义最短曲线。
微分流形上的测地线是流形上的一个重要概念，它可以用来确定流形上的几何结构和曲率。
四、微分流形上的光滑流形光滑流形是微分几何中的一个重要概念，它是流形上的一个代数结构，表示流形上的光滑函数。
光滑流形可以定义流形上的曲率、连接和流形上的微分结构，是微分几何中的一个基本概念。
光滑流形是微分几何的一个重要工具，它应用广泛，可以用来研究物理学中的广义相对论和物质相互作用，工程学中的材料弹性性质和热传导性质，计算机科学中的曲面建模和图像处理等。
《微分几何》PPT课件
3点到平面的距离：
点M 0 x0 , y0 , z0 到平面Ax By Cz D 0的距离
d Ax0 By0 Cz0 D A2 B2 C 2
结论：
平面
1：A1x B1 y C1z D1 0 2：A2 x B2 y C2 z D2 0
1 // 2
n1 // n2
n A, B, C为平面的法向量 , D 0平面过坐标原点,A=0
平面过x轴,A B 0平面平行于xoy面.
2 两平面的夹角
1：A1x B1 y C1z D1 0
2：A2 x B2 y C2 z D2 0
cos n1 n2
n1 n2
A1 A2 B1B2 C1C2 A12 B12 C12 A22 B22 C22
椭
球
面：
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
y
o x
z
椭圆抛物面：
x2 a2
y2 b2
2z
y
o
x
双曲抛物面：- x2 a2
y2 b2
2z
单叶双曲面：x 2 a2
y2 b2
z2 c2
1
双叶双曲面：x2 y2 z 2 1 a2 b2 c2
二
次
锥面：x 2 a2
y2 b2
z2 c2
0
z
o x
z
o x
a b a b sin a b
a b的方向垂直于 a与 b决定的平面，a b的指向 按右手规则，从 a转向 b，大拇指的指向即 a b 的方向.
i jk a b ax ay az
bx by bz
aybz azby i azbx axbz j axby aybx k
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9．计算抛物面 z x y 的高斯曲率和平均曲率．
2 2
10．求位于正螺面 r (u cos v, u sin v, av) 上的圆柱螺线 x u0 cos v, y u0 sin v, z av 的测地曲
得分
评阅人
四、证明题： （共 2 题，每题 10 分，共 20 分）
3．第二基本形式 II dr dn 吗？为什么？
专业：
得分
评阅人
二、填空题： （共 4 空，每空 5 分，共 20 分）
t t
4．设有曲线 x e cost , y e sin t , z e ，则当 t 0 时的切线方程为
t
2 2 2
。
： 院（系）
5．设曲面 S : r r (u, v) 的第一基本形式为 I du sinh udv ，则其上的曲线 u v 从 v v1 到
华中师范大学 2006 –2007 学年第二学期
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
v v2 的弧长为
et e t 。 （这里 sinh t ） 2
6 ． 设 曲 面 S : r r (u, v) 在 某 点 处 的 第 一 基 本 量 为 E G 1, F 0 ， 第 二 基 本 量 为
L a, M 0, N b ，则曲面在该点沿方向 (d ) (1: 2) 的法曲率为
。
7．设曲面 S : r r (u, v) 在某点处的第二基本量为 L 1, M 0, N 1 ，则曲面在该点的渐近方向 为 。
得分
评阅人
三、计算题： （共 3 题，每题 15 分，共 45 分）
et e t et e t ， sinh t 。 2 2
8．求曲线 r (t ) (a cosh t , a sinh t , at ) 的曲率和挠率，其中 cosh t
第 1 页(共 2 页)
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 --------------------------------------------------------率。
11．求证直纹面的高斯曲率 K 0 ，等号成立的充要条件是直纹面可展。
12．设有曲面 r r (u, v) ，其单位法向量是 n ，高斯曲率是 K 。证明 nu nv Kru rv 。
第 2 页(共 2 页)
期末考试试卷（A 卷）
课程名称 微分几何 课程编号 42121100 任课教师 郭驼英、周振荣 题型 分值 得分
得分 评阅人
学号：
简述 15
填空 20
计算 45ຫໍສະໝຸດ 证明 20总分 100
学生姓名：
一、简述题： （共 3 题，每题 5 分，共 15 分）
1．什么叫内蕴量？请举两个内蕴量的例子。
年级：
2．请叙述曲面的基本定理．