矩阵计算
矩阵计算方法法则
矩阵计算方法法则
矩阵计算方法是一种数学解决问题的重要方法，它在许多工程领域都有很广泛的应用，包括科学计算、信号处理、线性规划等等。
矩阵计算法的核心在于对矩阵的特殊运算，比如矩阵的加法、减法、乘法和逆等。
矩阵计算就是利用矩阵的运算来解决数学问题。
矩阵计算的核心是线性代数，因此矩阵计算的基础是线性代数的基本概念。
矩阵的基本操作包括矩阵的加法、乘法等。
计算矩阵的运算需要具备一定的数学基础，比如基本的数学知识，掌握有关矩阵运算的公式。
除了简单的矩阵加减乘除运算外，还有其他复杂的矩阵运算。
矩阵的特征根、行列式的运算、逆矩阵的求解都需要了解关于矩阵的重要定理，并运用它们来解决问题。
矩阵计算法不仅仅可以用来解决某些问题，它还能够用来证明某些关于矩阵运算的定理。
通过推导或者证明某个定理，可以进一步帮助我们更好地理解矩阵运算，从而能够更好地使用矩阵计算法来解决科学、技术和工程领域的问题。
总的来说，矩阵计算方法是一种重要的数学解决问题的方法，运用矩阵的形式可以清楚地表示问题，而矩阵的运算可以帮助我们简化问题的求解，使其变得更加容易。
矩阵计算法的运用可以帮助我们更好地理解矩阵运算，从而使人们能够更好地使用它来解决实际问题。
矩阵运算
数
A( )
A A
=
T ( ) T ( )
同理有
=
T (k ) k T( )
1.2 矩阵的计算
设 T : F n F m定义为T (x) Ax,其中x F n, A为m n矩阵 S : F m F p定义为S( y) By,其中y F m, B为p m矩阵 线
则复合线性变换ST为
数
1 1 1 1
0 0 1 1 O
=
= 1
0
1 1 0 3
2 4
1 0
1 3 0 1
4 2
,
但是
1 3
2 4
3 1
4 2
1.2 矩阵的计算
例:
线
a1
a2
b1
b2
b1
b2
a1
a2
性
a3
b3
b3
a3
a1b1
代
a2b2
a3b3
数
小结:
(1)矩阵乘法无交换律,有“左乘”和“右乘”之 =
例1.9
性
A
1 2
0
0
1 2
,
B
I
AT
A,
C
I
2
AT
A
代
求BC
解： BC (I AT A)(I 2 AT A)
数
I 2 AT A AT A 2 AT AAT A
=
I AT A 2 AT ( AAT ) A
I AT A 2 AT ( 1 ) A I
=
2
1.2 矩阵的计算
(AB)m AmBm;(A B)2 A2 2AB B2;
(A B)(A B) A2 B2
矩阵的运算规则
矩阵的运算规则矩阵是数学中重要的概念之一，在各个学科领域都有广泛的应用。
矩阵的运算规则是研究和操作矩阵的基础，它们被广泛用于解决线性方程组、矩阵计算和数据处理等问题。
本文将详细介绍矩阵的基本运算规则，包括矩阵的加法、乘法以及转置等操作。
一、矩阵的加法矩阵的加法是指将两个具有相同行数和列数的矩阵相加的操作规则。
假设有两个矩阵A和B，它们的行数和列数相等，则可以将它们对应位置的元素相加，得到一个新的矩阵C。
例如，有两个2×2的矩阵A和B：A = [a11, a12][a21, a22]B = [b11, b12][b21, b22]则矩阵A与B的加法运算可表示为：C = A + B = [a11+b11, a12+b12][a21+b21, a22+b22]二、矩阵的乘法矩阵的乘法是指将两个矩阵相乘的操作规则。
要使两个矩阵能够相乘，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
例如，有两个m×n的矩阵A和n×p的矩阵B：A = [a11, a12, ..., a1n][a21, a22, ..., a2n][..., ..., ..., ...][am1, am2, ..., amn]B = [b11, b12, ..., b1p][b21, b22, ..., b2p][..., ..., ..., ...][bn1, bn2, ..., bnp]则矩阵A与B的乘法运算可表示为：C = A × B = [c11, c12, ..., c1p][c21, c22, ..., c2p][..., ..., ..., ...][cm1, cm2, ..., cmp]其中，矩阵C的元素cij的计算方式为：cij = a(i1)b(1j) + a(i2)b(2j) + ... + a(in)b(nj)三、矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列进行交换得到的新矩阵。
假设有一个m×n的矩阵A，则它的转置矩阵记为A^T，具有n×m的行列数。
矩阵常见运算
矩阵的基本运算公式加法，减法，数乘，转置，共轭和共轭转置。
1、矩阵的加法满足A+B=B+A；(A+B)+C=A+(B+C)。
在两个数的加法运算中，在从左往右计算的顺序，两个加数相加，交换加数的位置，和不变。
A+B+C=A+C+B。
加法定理一个是指概率的加法定理，讲的是互不相容事件或对立事件甚至任意事件的概率计算方面的公式；另一个是指三角函数的加法定理。
2、把矩阵A的行和列互相交换所产生的矩阵称为A的转置矩阵，这一过程称为矩阵的转置。
设A为m×n阶矩阵（即m行n列），第i 行j 列的元素是a(i,j)，即：A=a(i,j)定义A的转置为这样一个n×m阶矩阵B，满足B=b(j,i)，即a(i,j)=b (j,i)（B的第i行第j列元素是A的第j 行第i列元素），记A'=B。
3、矩阵乘法是一种根据两个矩阵得到第三个矩阵的二元运算。
二元运算属于数学运算的一种。
二元运算需要三个元素：二元运算符以及该运算符作用的两个变量。
如四则运算的加、减、乘、除均属于二元运算。
如在运算1 + 2之中，二元运算符为“+”，而该运算符作用的操作数分别为1与2。
二元运算只是二元函数的一种，由于它被广泛应用于各个领域，因此受到比其它函数更高的重视。
矩阵运算
即
A× B = C.
注意：
( ai1
ai 2
b1 j b2 j L ais ) M b sj
= ai1b1 j + ai 2b2 j + L + ais bsj
= ∑aikbkj = cij
k= 1 s
例1.求矩阵
1 0 3 −1 A = 2 1 0 2
所 以 0 17 T ( AB) ＝ 14 13 － 10 3
解法2：
( AB )
T
= B A
T
T
1 4 2 2 1 = 7 2 0 0 3 −1 3 1 −1 2
0 17 = 14 13. − 3 10
0 0 = 0 0
2. 运算律 1) 矩阵的乘法一般不满足交换律 2) （AB）C = A（BC） 3) λ (AB) = (λA) B = A(λ B), 4) A ( B + C ) = AB + AC ( B + C ) A = BA + CA ( 其中λ为数 );
3. 设E为单位矩阵
T T T
= E − 4XX + 4X( X X) X
T T
T
= E − 4XX + 4XX
T
T
=E
五、方阵的 行列式 1、定义 定义6 由n阶方阵A的元素所构成的行列式 （各元素的位置不变），称为方阵A的行列式， 记作 |A| 或 detA 。
2、运算律
T
1 A ).
= A;
n
2). λA = λ A;
例8 设
1 1 2,β 1 α = = 2 3 1 3
矩阵运算求解总结
矩阵运算求解总结概述矩阵运算是线性代数中的重要内容，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。
通过矩阵运算，我们可以求解线性方程组、计算矩阵的特征值和特征向量、进行矩阵分解等。
本文将对常见的矩阵运算及其求解方法进行总结和介绍。
矩阵的基本运算矩阵的基本运算包括加法、减法和乘法。
在矩阵加法和减法中，只需要对应位置的元素进行相加或相减。
矩阵乘法是一种较为复杂的运算，需要满足两个矩阵的列数等于另一个矩阵的行数。
矩阵乘法的结果是一个新的矩阵，其行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
线性方程组的求解线性方程组是矩阵运算的一个重要应用领域。
对于一个具有n个未知数和m 个方程的线性方程组，可以使用矩阵运算求解。
我们可以将线性方程组的系数矩阵和常数矩阵进行相乘，得到一个增广矩阵。
通过对增广矩阵进行行变换，可以将其转化为一个行简化阶梯形矩阵，从而求解出线性方程组的解。
矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵运算中的重要内容。
给定一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量v，使得Av=λv，其中λ 是一个标量，那么λ 称为矩阵 A 的特征值，v 称为 A 的对应于特征值λ 的特征向量。
求解矩阵的特征值和特征向量可以通过求解矩阵的特征方程，即 det(A-λI)=0，其中 I 是单位矩阵。
特征值可以通过求解特征方程得到，特征向量可以通过将特征值代入矩阵进行求解。
矩阵分解矩阵分解是将一个矩阵表示为多个矩阵相乘的形式。
常见的矩阵分解包括LU 分解、QR分解和SVD分解等。
LU分解是将一个矩阵表示为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵相乘的形式。
QR分解是将一个矩阵表示为一个正交矩阵和一个上三角矩阵相乘的形式。
SVD分解是将一个矩阵表示为一个正交矩阵、一个对角矩阵和另一个正交矩阵相乘的形式。
矩阵分解可以用于简化矩阵运算、求解线性方程组和计算矩阵的特征值等问题。
矩阵运算的应用矩阵运算在现实世界中有广泛的应用。
在计算机科学中，矩阵运算被用于机器学习、图像处理和数据分析等领域。
矩阵计算知识点总结图表
矩阵计算知识点总结图表一、矩阵的基本概念1. 矩阵的定义矩阵是一个按照矩形排列的数字或数学表达式的集合。
矩阵一般用大写字母表示，例如A、B、C等。
矩阵通常表示为一个m×n的矩阵，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
2. 矩阵元素矩阵中的每一个数字都被称为矩阵的元素，一般用小写字母表示，例如a_ij，表示矩阵A中第i行第j列的元素。
3. 矩阵的相等两个矩阵A和B相等，当且仅当它们的对应元素相等，即A和B的每一个元素都相等。
4. 矩阵的零矩阵所有元素皆为零的矩阵称为零矩阵，通常用0表示。
5. 矩阵的单位矩阵单位矩阵是一个主对角线上的元素都是1，其它元素都是0的方阵。
6. 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵A的行转成列，列转成行，表示为A^T。
7. 矩阵的逆矩阵对于一个n阶方阵A，如果存在另一个n阶方阵B使得AB=BA=I（其中I是单位矩阵），则矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，记作A^-1。
8. 矩阵的行列式行列式是方阵所固有的一个数。
通过一定方法得出一阶、二阶、三阶和高阶矩阵的行列式。
对于n阶矩阵A，其行列式记作|A|或det(A)。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法矩阵的加法定义为：若A、B是同型矩阵，则它们的和记作A+B，其中(A+B)_ij=A_ij+B_ij。
2. 矩阵的减法矩阵的减法定义为：若A、B是同型矩阵，则它们的差记作A-B，其中(A-B)_ij=A_ij-B_ij。
3. 矩阵的数乘矩阵的数乘定义为：若k是一个数，A是一个矩阵，则kA是按元素同时乘以k得到的新矩阵。
4. 矩阵的乘法矩阵的乘法定义为：若A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，那么它们的积记作C=AB，其中C的第i行第j列的元素为：C_ij=∑(A_ik*B_kj)。
5. 矩阵的除法矩阵的除法并无严格定义，但可以用矩阵乘法和逆矩阵来表示矩阵的除法。
6. 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行转成列，列转成行。
矩阵运算总结
矩阵运算总结矩阵运算是线性代数中的一个重要内容，也是在解决许多实际问题时经常使用的数学工具。
矩阵可以用来表示线性变换、方程组、向量空间等，通过各种矩阵运算操作，可以实现对向量和矩阵的加减乘除、转置、求逆等操作，进而解决实际问题。
矩阵的加法是指将两个矩阵按相同的位置对应元素相加，得到一个新的矩阵。
矩阵的加法满足交换律和结合律，可以通过加法将多个矩阵合并成一个矩阵。
矩阵的减法是指将两个矩阵按相同的位置对应元素相减，同样也满足交换律和结合律。
矩阵的乘法是指将一个矩阵的每个元素与另一个矩阵的对应行的每个元素分别相乘，并将结果相加得到一个新的矩阵。
矩阵的乘法满足分配律和结合律，但不满足交换律。
矩阵的乘法可以用来实现线性变换，通过矩阵的乘法可以将一个向量变换到另一个向量。
矩阵的乘法在计算机图形学中有广泛的应用，用来实现图形的平移、缩放和旋转等变换操作。
矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到一个新的矩阵。
转置后的矩阵与原矩阵有相同的元素，但行和列的顺序发生了变化。
转置操作可以用来实现矩阵的行列变换，也可以用来求解线性方程组和计算矩阵的特征值和特征向量等。
矩阵的求逆是指找到一个与原矩阵相乘等于单位矩阵的逆矩阵。
只有方阵才存在逆矩阵，非方阵只能求广义逆矩阵。
求逆矩阵可以用来解线性方程组，通过乘以原矩阵的逆矩阵，可以将方程组转化为一个等价的形式。
求逆矩阵在计算机图形学中也有广泛的应用，用来实现变换的逆操作。
除了上述常见的矩阵运算，还有一些其他的矩阵运算操作。
矩阵的幂运算是指一个矩阵自乘多次，幂运算可以用来计算矩阵的高阶项。
矩阵的行列式是指一个方阵的一个标量值，可以用来判断方阵是否可逆。
矩阵的迹是指一个方阵主对角线上元素的和，迹运算可以用来计算矩阵的特征值。
矩阵的秩是指一个矩阵的最大线性无关行（列）向量的个数，可以用来描述矩阵的维度。
总之，矩阵运算是线性代数中的一个重要内容，通过各种矩阵运算可以实现对向量和矩阵的加减乘除、转置、求逆等操作。
矩阵的计算
矩阵的计算
矩阵的基本运算公式有加法，减法，数乘，转置，共轭和共轭转置。
1．加法运算A＋B＝C、数乘运算k*A＝B、乘法运算A*B＝C，加法运算和数乘运算合称线性运算，由加法运算和数乘运算可以得到减法运算A＋（－1）*B＝A－B，矩阵没有除法运算，两个矩阵之间是不能相除的，但是当矩阵可逆的时候，可以对矩阵求逆。
2．矩阵的秩计算公式是A＝aij m×n。
矩阵的秩是线性代数中的一个概念。
在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数，通常表示为r（A），rk（A）或rank A。
3．行列式和他的转置行列式相等，变换一个行列式的两行，行列式改变符号即变为之前的相反数，如果一个行列式有两行完全相同，那么这个行列式等于零，一个行列式中的某一行，所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面，如果一个行列式中有一行，的元素全部是零，那么这个行列式等于零。
矩阵的运算
例
设
2 −5 −3 2 A= 1 0 , B = 4 −5 , −3 7 3 9
9 5 C = 4 −3.
(1) 问三个矩阵中哪些能进行加法运算 并求 问三个矩阵中哪些能进行加法运算, 其和, 哪些不能进行加法运算, 说明原因; 其和 哪些不能进行加法运算 说明原因 (2) 求 C 的负矩阵 的负矩阵.
3. 运算规律
(1) Ok×mAm×p=Ok×p , Am×pOp×n=Om×n ; × × × × × × (2) 设 A 是 m × n 矩阵 Em 是 m 阶的单位矩 矩阵, 阶的单位矩阵, 阵, En 是 n 阶的单位矩阵 则 EmA = A, AEn = A ;
(3) (AB)C = A(BC); (4) A(B + C) = AB + AC, (B + C)A = BA + CA; (5) k(AB) = (kA)B = A(kB).
注意: 注意:
二个矩阵(右矩阵)的行数时,两个矩阵才能相乘. 二个矩阵(右矩阵)的行数时,两个矩阵才能相乘.
例 利用下列模型计算两个矩阵的乘积 利用下列模型计算两个矩阵的乘积.
：A2 × 2 × B2 × 2
: A2 × 3 × B3 × 3 : A3 × 3 × B3 × 3
例 利用下列模型验证单位矩阵的性质 利用下列模型验证单位矩阵的性质.
第二节
主要内容
矩阵的加法 数与矩阵相乘 矩阵的乘法 方阵的幂
矩阵的运算
矩阵矩阵乘积的意义 矩阵的转置 方阵的行列式 共轭矩阵
一、矩阵的加法
1. 定义 定义 2 设 A＝ (aij)m×n 与 B＝ (bij)m×n 是
两个同型矩阵，称 m×n 矩阵 C ＝ (aij + bij)m×n 为 两个同型矩阵，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
fibonacci数列(二)时间限制：1000 ms | 内存限制：65535 KB难度：3描述In the Fibonacci integer sequence, F0 = 0, F1 = 1, and F n = F n− 1 + F n− 2 for n≥ 2. For example, the first ten terms of the Fibonacci sequence are:0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …An alternative formula for the Fibonacci sequence is.Given an integer n, your goal is to compute the last 4 digits of F n.HintAs a reminder, matrix multiplication is associative, and the product of two 2 ×2 matrices is given by.Also, note that raising any 2 × 2 matrix to the 0th power gives the identitymatrix:.输入The input test file will contain multiple test cases. Each test case consists of a single line containing n (where 0 ≤ n ≤ 1,000,000,000). The end-of-file is denoted by a single line containing the number −1.输出For each test case, print the last four digits of Fn. If the last four digits of Fn are all zeros, print ‘0’; otherwise, omit any leading zeros (i.e., print Fn mod 10000).点的变换时间限制：2000 ms | 内存限制：65535 KB难度：5描述平面上有不超过10000个点，坐标都是已知的，现在可能对所有的点做以下几种操作：平移一定距离(M)，相对X轴上下翻转(X)，相对Y轴左右翻转(Y),坐标缩小或放大一定的倍数(S),所有点对坐标原点逆时针旋转一定角度(R)。
操作的次数不超过1000000次，求最终所有点的坐标。
提示：如果程序中用到PI的值，可以用acos(-1.0)获得。
输入只有一组测试数据测试数据的第一行是两个整数N,M，分别表示点的个数与操作的个数(N<=10000,M<=1000000)随后的一行有N对数对，每个数对的第一个数表示一个点的x坐标，第二个数表示y坐标，这些点初始坐标大小绝对值不超过100。
随后的M行，每行代表一种操作，行首是一个字符：首字符如果是M,则表示平移操作，该行后面将跟两个数x,y，表示把所有点按向量(x,y)平移;首字符如果是X，则表示把所有点相对于X轴进行上下翻转;首字符如果是Y，则表示把所有点相对于Y轴进行左右翻转;首字符如果是S，则随后将跟一个数P,表示坐标放大P倍;首字符如果是R，则随后将跟一个数A,表示所有点相对坐标原点逆时针旋转一定的角度A(单位是度)输出每行输出两个数，表示一个点的坐标(对结果四舍五入到小数点后1位，输出一位小数位）点的输出顺序应与输入顺序保持一致Matrix Power Series时间限制：1000 ms | 内存限制：65535 KB难度：4描述Given a n ×n matrix A and a positive integer k, find the sum S = A + A2 + A3+ … + A k.输入The input contains exactly one test case. The first line of input contains three positive integers n (n ≤ 30), k (k ≤ 10^9) and m (m < 10^4). Then follow n lines each containing n nonnegative integers below 32,768, giving A’s elements in row-major order.输出Output the elements of S modulo m in the same way as A is given.样例输入Kiki & Little Kiki 2时间限制：5000 ms | 内存限制：65535 KB难度：4描述There are n lights in a circle numbered from 1 to n. The left of light 1 is light n, and the left of light k (1< k<= n) is the light k-1.At time of 0, some of them turn on, and others turn off.Change the state of light i (if it's on, turn off it; if it is not on, turn on it) at t+1second (t >= 0), if the left of light i is on !!! Given the initiation state, please find all lights’ state after M second. (2<= n <= 100, 1<= M<= 10^8)输入The input contains no more than 1000 data sets. The first line of each data set is an integer m indicate the time, the second line will be a string T, only contains '0' and '1' , and its length n will not exceed 100. It means all lights in the circle from 1 to n.If the ith character of T is '1', it means the light i is on, otherwise the light is off.输出For each data set, output all lights' state at m seconds in one line. It only contains character '0' and '1.样例输出递推求值时间限制：1000 ms | 内存限制：65535 KB难度：4描述给你一个递推公式：f(x)=a*f(x-2)+b*f(x-1)+c并给你f(1),f(2)的值，请求出f(n)的值，由于f(n)的值可能过大，求出f(n)对1000007取模后的值。
注意:-1对3取模后等于2输入第一行是一个整数T,表示测试数据的组数(T<=10000)随后每行有六个整数，分别表示f(1),f(2),a,b,c,n的值。
其中0<=f(1),f(2)<100,-100<=a,b,c<=100,1<=n<=100000000 (10^9)输出输出f(n)对1000007取模后的值星际旅行时间限制：20000 ms | 内存限制：65535 KB难度：5描述在半人马星系，有M*N个星球，它们排成了M行N列，每个星球与其上下左右的星球都有一条星际航道相连，每个星球从属于一个国家，同一个国家中的所有星球都可以通过使用星际之门相连在一起。
现在小渡想从坐标为(1,1)的星球（左上角）航行到坐标为(M,N)的星球，为了体验星际旅行的美妙感觉，他想使自己通过星际之门和通过航道的次数之和为P，现在问他有多少种旅行方法可以满足要求。
输出结果对1000007取余。
（注意旅行次序相同的方案当成同一种方案）输入第一行输入一个整数T（T<=20)表示测试数据的组数每组测试数据的第一行是三个整数M,N,P，分别表示星球有M行，N列，小渡想通过星际之门和通过航道的次数之和为P(1<=M,N<=10,P<=100000000)随后是一个M行N列的矩阵，代表着该处星球所属国家的编号（编号不超过20）输出输出满足要求的旅行方案数输出结果对1000007取余。
K steps时间限制：2000 ms | 内存限制：65535 KB难度：4描述Here are n beautiful towns and m roads(directional edge). yjx wants to visit these towns for relaxation when he suddenlygot a question. He wants to know the number of schemes to walk from town A to town B in exactly k steps.A road can bevisited more then once. It takes exactly one step to walk from one town to another if they are directly connected by a road.yjx is very entangled with this matter, please help him.输入First line is a number T, the number of the cases.Each case is as follows:First line includes four number: n, m, k, l which means n(1 <= n <= 100)towns, m(1 <= m<=1000)roads, k(1<=k<=1000)steps,and l (1<=l<=1000) lines test data.Then there are m lines, and each line is made up of two number u, v (u != v, 1<= u,v <= n) which means one road from u to v.Then l lines test data, and each line is made up of two number p, q (so you must help yjx to know the number of the scheme that just walk k steps from town p to town q).hint: maybe there are more than one road from u to v .输出For each test data, output the number of the scheme(the number is big, so you must make the number mod 1991).A*B Problem II时间限制：1000 ms | 内存限制：65535 KB难度：1描述ACM的C++同学有好多作业要做，最头痛莫过于线性代数了，因为每次做到矩阵相乘的时候，大量的乘法都会把他搞乱，所以他想请你写个程序帮他检验一下计算结果是否正确。