2022高考数学一轮复习—直线与方程习题汇总含答案
2022届高考数学一轮复习核心素养测评第9章9.1基本公式直线的斜率与直线方程含解析新人教B版
核心素养测评四十六基本公式、直线的斜率与直线方程(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α,且sinα+cosα=0,则a,b满足( )A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0【解析】选D.因为sin α+cos α=0,所以tan α=-1.又因为α为倾斜角,所以斜率k=-1.而直线ax+by+c=0的斜率k=-,所以-=-1,即a-b=0.2.已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1,1)和Q(2,2),若直线l:mx+y+1=0与线段PQ有交点,则实数m的取值X围是( )A.B.(-∞,-2]∪C.D.∪[2,+∞)【解析】选D.l:mx+y+1=0可写成y=-mx-1,即l过定点R(0,-1),直线PR的斜率k1==-2,直线QR的斜率k2==.因为直线l与线段PQ有交点,所以斜率k≥或k≤-2.又因为k=-m,所以m≤-或m≥2.3.过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-的直线方程为( )A.3x+4y+15=0B.3x+4y+6=0C.3x+y+6=0D.3x-4y+10=0【解析】选A.设所求直线的斜率为k,依题意k=-,又直线经过点A(-1,-3),因此所求直线方程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.4.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值X围是(-3,3),则其斜率的取值X围是( )A.-1<k<B.k>1或k<C.k>1或k<D.k>或k<-1【解析】选D.设直线的斜率为k,则直线方程为y-2=k(x-1),令y=0,得直线l在x轴上的截距为1-,则-3<1-<3,解得k>或k<-1.5.如果AC<0,且BC<0,那么直线 Ax+By+C=0不通过( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.由题意知,A,B同号,所以直线Ax+By+C=0的斜率k=-<0,在y轴上的截距为->0,所以,直线不通过第三象限.6.(多选)(2020·某某模拟)若直线过点A(1,2),且在两坐标轴上截距的绝对值相等,则直线l的方程可能为( )A.x-y+1=0B.x+y-3=0C.2x-y=0D.x-y-1=0【解析】选ABC.当直线经过原点时,斜率为k==2,所求的直线方程为y=2x,即2x-y=0;当直线不过原点时,设所求的直线方程为x±y=k,把点A(1,2)代入可得1-2=k,或1+2=k,求得k=-1,或k=3,故所求的直线方程为x-y+1=0,或x+y-3=0;综上知,所求的直线方程为2x-y=0,x-y+1=0或x+y-3=0.7.直线l经过点A(-2,1),B(-1,m2)(m∈R)两点,那么直线l的倾斜角的取值X围为世纪金榜导学号( )A.∪B.∪C.D.【解析】α,则tan α==-1+m2≥-1,又因为0≤α<π,所以0≤α<或≤α<π.二、填空题(每小题5分,共15分)8.将直线y=x+-1绕它上面一点(1,)沿逆时针方向旋转15°,所得到的直线方程是________.【解析】由y=x+-1得直线的斜率为1,倾斜角为45°.因为沿逆时针方向旋转15°,角变为60°,所以所求直线的斜率为.又因为直线过点(1,),所以直线方程为y-=(x-1),即y=x.答案:y=x9.(2020·某某模拟)若直线l的方程为:x+y-3=0,则其倾斜角为________,直线l在y轴上的截距为________.【解析】直线l的方程为:x+y-3=0,设其倾斜角为θ,θ∈[0,π).则tan θ=-,解得θ=.令x=0,解得y=.所以直线l在y轴上的截距为.答案:10.数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC 的顶点A(2,0),B(0,4),AC=BC,则△ABC的欧拉线方程为__________________. 世纪金榜导学号【解析】由题意,线段AB的中点为M(1,2),k AB=-2,所以线段AB的垂直平分线为y-2=(x-1),即x-2y+3=0,因为AC=BC,所以△ABC的外心、重心、垂心都位于线段AB的垂直平分线上,因此△ABC的欧拉线方程为x-2y+3=0.答案:x-2y+3=0(15分钟35分)1.(5分)设直线l的方程为x+ycosθ+3=0(θ∈R),则直线l的倾斜角α的取值X围是( )A.[0,π)B.C. D.∪【解析】选C.当cos θ=0时,方程变为x+3=0,其倾斜角为;当cos θ≠0时,由直线l的方程,可得斜率k=-.因为cos θ∈[-1,1]且cos θ≠0,所以k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),即tan α∈(-∞,-1]∪[1,+∞),又α∈[0,π),所以α∈∪,综上知,直线l的倾斜角α的取值X围是.2.(5分)(2020·某某模拟)已知直线x+a2y-a=0(a是正常数),当此直线在x轴,y轴上的截距和最小时,正数a的值是 ( )A.0B.2 C.【解析】选D.直线x+a2y-a=0(a是正常数)在x轴,y轴上的截距分别为a和,此直线在x轴,y 轴上的截距和为a+≥2,当且仅当a=1时,等号成立.故当直线x+a2y-a=0在x轴,y轴上的截距和最小时,正数a的值是1.3.(5分)已知函数f(x)=a x(a>0,且a≠1),当x<0时,f(x)>1,方程y=ax+表示的直线是( )【解析】选C.因为f(x)=a x,且x<0时,f(x)>1,所以0<a<1,>1.又因为y=ax+在x轴、y轴上的截距分别为-和,且|-|>,故C项图符合要求.4.(10分)设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). 世纪金榜导学号(1)若l在两坐标轴上截距相等,求l的方程;(2)若l不经过第二象限,某某数a的取值X围.【解析】(1)当直线过原点时,该直线在x轴和y轴上的截距为零,所以a=2,方程即为3x+y=0. 当直线不经过原点时,截距存在且均不为0.所以=a-2,即a+1=1.所以a=0,方程即为x+y+2=0.综上,l的方程为3x+y=0或x+y+2=0. (2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2,所以或所以a≤-1.综上可知a的取值X围是(-∞,-1].5.(10分)(2020·某某模拟)已知直线l1:y=2x+4,直线l2经过点(2,1).(1)若l1⊥l2,求直线l2的方程.(2)若l2与两坐标轴的正半轴分别交于P,Q两点,求△OPQ面积的最小值(其中O为坐标原点). 【解析】(1)由题意,可设直线l2的方程为y=-x+b,由直线l2经过(2,1)点,可得b=2,即直线l2的方程为y=-x+2(或写成:x+2y-4=0).(2)方法一:由题意可知,直线l2的斜率存在且小于0,设为k(k<0),即l2:y-1=k(x-2).令x=0,可得l2与y轴的交点为Q(0,-2k+1),令y=0,可得l2与x轴的交点为P,其中k<0,故△OPQ的面积S=(-2k+1)·=2+(-2k)+≥2+2=4(当且仅当k=-时等号成立),即△OPQ面积的最小值为4.方法二:由题意可知,直线l2在两个坐标轴上的截距都存在且大于0, 设P(a,0),Q(0,b),其中a>0,b>0,则l2:+=1.因为直线l2经过点(2,1),故+=1,由基本不等式:1=+≥2(当且仅当a=4,b=2时等号成立),可得ab≥8,所以S△OPQ=ab≥4,即△OPQ面积的最小值为4.。
2022湖南高考数学一轮复习-直线与方程
2022湖南高考数学一轮复习-直线与方程I 卷一、选择题1．若直线y x b =+与曲线3y =有公共点，则b 的取值范畴是（ ）A ．1-,1+B ．1,3C ．1-,3D ．-1,1+【答案】C2． 原点在直线l 上的射影是P (－2，1)，则直线l 的方程是（ ）A ．x ＋2y ＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．2x －y ＋5＝0D ．2x ＋y ＋3＝0【答案】C3．直线xsin α+ycos α+1=0与xcos α-ysin α+2=0直线的位置关系是 ( ）A ． 平行B ． 相交但不垂直C ． 相交垂直D ． 视α的取值而定【答案】C4．点(a,b)关于直线x+y=0对称的点是 ( )A ． (－a,－b)B 、 (a,－b)C ． (b,a)D ． (－b,－a)【答案】D5． 椭圆13422=+y x 的离心率为e ，则过点（1，e ）且被圆044422=+--+y x y x 截得的最长弦所在的直线的方程是（ ）A ．0423=-+y xB ．0764=-+y xC ．0223=--y xD ．0164=--y x 【答案】C6．假如两条直线2x+3y －m=0和x －my+12=0的交点在x 轴上,那么m 的值是( )A ．－24B ．6C ．±6D ．24【答案】A 7． 已知直线01:,03:21=+=-y l y x l ， 1l 与2l 的夹角为（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°【答案】B8．已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直，垂足坐标为(1,p)，则m-n+p= ( ）A ． 24B ． 20C ． 0D ． -4【答案】B9．若直线2ax －b y +2=0 (a >0, b>0） 被圆x 2+y 2+2x －4y +1=0截得的弦长为4，则ba 11+的最小值（ ） A ．21 B ．41 C ．2 D ．4【答案】D10． 已知直线l 的倾斜角为300，则直线的斜率k 值为（ ）．A ．33B ．21C ．3D ．23 【答案】A11．已知直线06:1=++ay x l 和直线()0232:2=++-a y x a l ，则21//l l 的充要条件是a 等于A ．3B ．—1C ．—1或3D ．1或—3【答案】B12． 函数y=asinx-bcosx 的一条对称轴为4x π=,那么直线：ax-by+c=0的倾斜角为（ ）A ．450B ．60C ．1200D ．1350【答案】DII 卷二、填空题 13．边长等于42的正方形的两邻边在y=x 的图象上,那么另外两边所在的直线的方程是_______.【答案】y=x ＋8,y=－x ＋8 14． 已知1:210l x my ++=与2:31l y x =-，若两直线平行，则m 的值为 。
北京市高考数学一轮复习之直线和圆的方程题型训练
2022年北京高考数学一轮复习——直线的方程、圆的方程及相关知识类型1：直线的倾斜角1、直线20l y-+=的倾斜角为（）（A）30︒（B）60︒（C）120︒（D）150︒2、下列直线中, 倾斜角为45︒的是（）（A）10x y+-=（B）10x+=（C）20x y-+=（D）10x-=3、直线0x y+=的倾斜角为（）（A）45︒（B）60︒（C）90︒（D）135︒4、直线10x y+-=的倾斜角为（）（A）30︒（B）60︒（C）120︒（D）135︒5、已知直线l的一个方向向量为(1,1)=-a，则直线l的倾斜角为（）（A）45︒（B）90︒（C）120︒（D）135︒类型2:直线的解析式6、与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是（）（A）y＝12x＋4 （B）y＝2x＋4（C）y＝－2x＋4 （D）y＝－12x＋47、过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是（）（A）x－2y－1＝0 （B）x－2y＋1＝0（C）2x＋y－2＝0 （D）x＋2y－1＝08、已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0).（1）求边AC和AB所在直线的方程；（2）求AC边上的中线BD所在直线的方程；（3）求AC边上的中垂线的方程.类型3：直线恒过定点9、直线kx－y＋1－3k＝0当k变化时，所有的直线恒过定点（）（A）(1，3) （B）(－1，－3)（C）(3，1) （D）(－3，－1)10、直线y＝ax－3a＋2(a△R)必过定点________．11、直线243=+-恒过定点________．y kx k类型4：点到直线的距离、两条平行直线之间的距离12、点(5,3)x+=的距离等于（）-到直线20（A）7 （B）5（C）3 （D）213、点(2，5)到直线y＝2x的距离为（）（A（B（C（D14、已知点(3，m)到直线x－4＝0的距离等于1，则m等于（）（A（B（C（D15、到直线3x－4y＋1＝0的距离为3，且与此直线平行的直线方程是（）（A）3x－4y＋4＝0（B）3x－4y＋4＝0或3x－4y－2＝0（C）3x－4y＋16＝0（D）3x－4y＋16＝0或3x－4y－14＝016、直线5x ＋12y ＋3＝0与直线10x ＋24y ＋5＝0的距离是________．17、已知点P 为x 轴上一点，且点P 到直线3x －4y ＋6＝0的距离为6，则点P 的坐标为________． 18、与直线7x ＋24y ＝5平行且距离等于3的直线方程为__________________． 类型5：直线和直线的位置关系19、若直线10x ay -+=与直线20x y +=垂直, 则a 的值为（ ）（A ）2（B ）1 （C ）12-（D ）1-20、若两条直线210ax y +-=与3610x y --=互相垂直，则a 的值为（ ）（A ）4 （B ）－4 （C ）1（D ）－121、经过点(10)，且与直线210x y -+=垂直的直线方程为（ ）（A ）210x y --= （B ）220x y --= （C ）220x y +-=（D ）210x y +-=22、已知直线1:70l x ay ++=和2:(2)310l a x y -++=互相平行，则（ ） （A ）3a = （B ）1a =-（C ）1a =-或3a = （D ）1a =或3a =-23、经过两点A (2,3)，B (－1，x )的直线l 1与斜率为－1的直线l 2平行，则实数x 的值为（ ）（A ）0 （B ）－6 （C ）6（D ）324、已知直线l 1：y ＝x ＋12a ，l 2：y ＝(a 2－3)x ＋1，若l 1△l 2，则a 的值为（ ） （A ）4 （B ）2 （C ）－2（D ）±225、如果直线20m x y +=与直线10x my +-=垂直，那么m = . 26、已知直线1:10l ax y ++=，2:10l x ay ++=．若12l l ⊥，则实数a =______27、已知直线l 1的倾斜角为45°，直线l 2△l 1，且l 2过点A (－2，－1)和B (3，a )，则a 的值为________．28、直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0互相平行，且l 1，l 2，求直线l 1的方程．类型6：圆的方程29、圆心为(1,2)-，半径为5的圆的方程为（）（A）22(1)(2)5x y-++=（B）22(1)(2)5x y++-=（C）22(1)(2)25x y-++=（D）22(+1)(2)25x y+-= 30、若点(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则实数a的取值范围是（）（A）|a| < 1 （B）a < 1 3（C）|a| < 15（D）|a| <11331、已知圆C：x2＋y2－2x－2y＝0，则点P(3，1)在（）（A）圆内（A）圆上（A）圆外（A）无法确定32、圆222690x y x y+-++=的圆心坐标为__________；半径为________.33、圆心为(1,0)且过原点的圆的方程是______．34、已知A(－1，4)，B(5，－4)，则以AB为直径的圆的标准方程是________．35、已知点A(1，2)在圆x2＋y2＋2x＋3y＋m＝0内，则实数m的取值范围是________．36、在平面直角坐标系中，求经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程.37、求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点A(5，2)和点B(3，－2)的圆的一般方程.。
2024高考一轮复习数学重难点11九种直线和圆的方程的解题方法(核心考点讲与练含答案
2024高考一轮复习专项重难点11 九种直线和圆的方程的解题方法（核心考点讲与练）能力拓展题型一：直接法求直线方程一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）直线l 经过两条直线10x y -+=和2320x y ++=的交点，且平行于直线240x y -+=，则直线l 的方程为（）A ．210x y --=B ．210x y -+=C ．220x y -+=D ．220x y +-=2．（2022·全国·高三专题练习（文））若经过点(1,2)P --的直线与圆225x y +=相切，则该直线在y 轴上的截距为()A ．52B ．5C ．52-D ．5-3．（2022·浙江·高三专题练习）如图，圆1C 、2C 在第一象限，且与x 轴，直线2:2l y =均相切，则圆心1C 、2C 所在直线的方程为（）A ．2y x =B ．22y x =C ．24y x =D ．y x=4．（2022·重庆·高三开学考试）若直线l 交圆22:420C x y x y +-+=于A 、B 两点，且弦AB 的中点为()1,0M ，则l 方程为（）A ．10x y --=B ．10x y -+=C ．10x y +-=D ．10x y ++=二、多选题5．（2022·全国·高三专题练习）过点()2,3A 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（）A ．320x y -=B ．230x y -=C ．5x y +=D ．1x y -=-6．（2022·全国·高三专题练习）已知(1,2)A ，(3,4)B -，(2,0)C -，则（）A ．直线0x y -=与线段AB 有公共点B ．直线AB 的倾斜角大于135︒C ．ABC 的边BC 上的中线所在直线的方程为2y =D ．ABC 的边BC 上的高所在直线的方程为470x y -+=7．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l 过点P （－1，1），且与直线1:230l x y -+=以及x 轴围成一个底边在x 轴上的等腰三角形，则下列结论正确的是（）A ．直线l 与直线l 1的斜率互为相反数B ．所围成的等腰三角形面积为1C ．直线l 关于原点的对称直线方程为210x y +-=D ．原点到直线l 8．（2021·全国·模拟预测）已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，称线段PQ 长度的最小值为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l .已知线段1:(122)l x y =--≤≤，21:()20l x y =-≤≤，点P 为平面上一点，且满足12(,)(,)d P l d P l =，若点P 的轨迹为曲线C ，A ，B 是第一象限内曲线C 上两点，点(10)F ，且54AF =，BF =）A ．曲线C 关于x 轴对称B ．点A 的坐标为1,14⎛⎫⎪⎝⎭C ．点B 的坐标为35,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．FAB 的面积为1916题型二：待定系数法求直线方程一、单选题1．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））已知抛物线C ：22y px =的焦点F 的坐标为()20，，准线与x 轴交于点A ，点M 在第一象限且在抛物线C 上，则当MA MF取得最大值时，直线MA 的方程为（）A ．24y x =+B ．24y x =--C ．y =x +2D ．2y x =--2．（2022·全国·高三专题练习）若直线1:2330l x y --=与2l 互相平行，且2l 过点(2,1)，则直线2l 的方程为（）A ．3270x y +-=B ．3240x y -+=C ．2330x y -+=D ．2310x y --=3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线:20l ax y a +-+=在x 轴与y 轴上的截距相等，则实数a 的值是（）A ．1B ．﹣1C ．﹣2或1D ．2或14．（2022·全国·高三专题练习）过点()1,2作直线l ，满足在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 有（）条.A ．1B ．2C ．3D ．4二、多选题5．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知直线l 10y -+=，则下列结论正确的是（）A ．直线l 的倾斜角是3πB ．若直线m：10x +=，则l m ⊥C ．点到直线l 的距离是2D ．过与直线l 40y --=6．（2022·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（）A ．已知点3(2,)A -，(3,2)B --，若直线(1)1y k x =-+与线段AB 有交点，则34k ≥或4k ≤-B ．1m =是直线1l ：10mx y +-=与直线2l ：()220m x my -+-=垂直的充分不必要条件C ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上的截距都相等的直线的方程为20x y +-=D ．已知直线1l ：10ax y -+=，2l ：10x ay ++=，R a ∈，和两点(0,1)A ，(1,0)B -，如果1l 与2l 交于点M ，则MA MB⋅的最大值是1.7．（2022·全国·高三专题练习）下列说法错误．．的是（）A ．若直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直，则1a =-B ．直线sin 20x y α++=的倾斜角的取值范围是30,,)44[πππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦C ．()()()()0,1,2,1,3,4,1,2A B CD -四点不在同一个圆上D ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=8．（2021·全国·高三专题练习）直线l 与圆22(2)2x y -+=相切，且l 在x 轴、y 轴上的截距相等，则直线l 的方程可能是A ．0x y +=B ．20x y +-+=C ．0x y -=D ．40x y +-=三、填空题9．（2022·全国·高三专题练习（理））已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过焦点F 的直线C 交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，若21154x x -=，则直线AB 的方程为______．10．（2020·黑龙江·哈师大附中高三期末（理））若过点()1,1A 的直线l 将圆()()22:324C x y -+-=的周长分为2:1两部分，则直线l 的斜率为___________.四、解答题11．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C ：()()22214x y -+-=，直线l ：()()423360m x m y m ----=.(1)过点()4,2P -，作圆C 的切线1l ，求切线1l 的方程；(2)判断直线l 与圆C 是否相交，若相交，求出直线l 被圆截得的弦长最短时m 的值及最短弦长；若不相交，请说明理由.12．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F ，2F ，且12||2F F =，点3(1,2在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，且2AF B ∆的面积为7，求以2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程.题型三：已知两直线位置关系求参数值或范围一、单选题1．（2022·四川凉山·三模（理））已知直线1:210l x y -+=，2:10l x ay +-=，且12l l ⊥，点()1,2P 到直线2l 的距离d =（）A BC ．5D ．52．（2022·辽宁·二模）己知直线:0l ax y a ++=，直线:0m x ay a ++=，则l m ∥的充要条件是（）A ．1a =-B ．1a =C ．1a =±D ．0a =二、多选题3．（2021·重庆一中高三阶段练习）下列说法正确的有（）A ．若m ∈R ，则“1m =”是“1l ：330x my m -+=与2l ：()20m x y m +--=平行”的充要条件B ．当圆222110x y x +--=截直线l ：()1y kx k =+∈R 所得的弦长最短时，1k =-C ．若圆1C ：222x y t +=+与圆2C ：()()22349x y -++=有且仅有两条公切线，则()2,6t ∈D ．直线l ：tan 412022y x =-︒⋅+的倾斜角为139°4．（2021·广东·高三阶段练习）已知直线l 过点()1,2M 且与圆C ：()2225x y -+=相切，直线l 与x 轴交于点N ，点P 是圆C 上的动点，则下列结论中正确的有（）A ．点N 的坐标为()3,0-B ．MNP △面积的最大值为10C ．当直线l 与直线10ax y -+=垂直时，2a =D ．tan MNP ∠的最大值为43三、填空题5．（2022·陕西·安康市高新中学三模（理））若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线l 与直线:20g ax by a ++=平行，则直线l ，g 间的距离为______．6．（2022·天津·二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:(62)4560C x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点(1,2)-，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得的弦长都是定值，则直线l 的方程为___________.四、解答题7．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线32y x x =+-在点0P 处的切线1l 平行于直线410x y --=，且点0P 在第三象限．(1)求0P 的坐标；(2)若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程．8．（2020·江苏·南京师大附中模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(4)1C x y ++=，圆222:(4)4C x y -+=，A 是第一象限内的一点，其坐标为(,)t t ．（1）若1212AC AC →→⋅=-，求t 的值；（2）过A 点作斜率为k 的直线l ，①若直线l 和圆1C ，圆2C 均相切，求k 的值；②若直线l 和圆2C ，圆2C 分别相交于,A B 和,C D ，且AB CD =，求t 的最小值．题型四：求解直线的定点一、单选题1．（2022·山东滨州·二模）已知直线()22:1(32)250l m m x m y m +++---=，圆22:20C x y x +-=，则直线l 与圆C 的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定2．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，若曲线12y k x =-+上存在四个点()1,2,3,4i P i =，过动点Pi 作圆O 的两条切线，A ，B 为切点，满足32i iP A PB ⋅= ，则k 的取值范围为（）A ．4,3∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(,7)(4,13)--∞-- D ．4(7,)1)30(,--- 二、多选题3．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知O 为坐标原点，点()P a b ，在直线()40l kx y k --=∈R ：上，PA PB ，是圆222x y +=的两条切线，A B ，为切点，则（）A ．直线l 恒过定点()04，B ．当PAB △为正三角形时，OP =C ．当PA PB ⊥时，k 的取值范围为()-∞+∞ ，D ．当14PO PA ⋅=时，a b +的最大值为4．（2022·江苏盐城·三模）设直线l ：()220mx y m m R --+=∈，交圆C ：()()22349x y -+-=于A ，B 两点，则下列说法正确的有（）A ．直线l 恒过定点()1,2B ．弦AB 长的最小值为4C ．当1m =时，圆C 关于直线l 对称的圆的方程为：()()22439x y -+-=D ．过坐标原点O 作直线l 的垂线，垂足为点M ，则线段MC5．（2022·重庆·高三阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，圆22:1O x y +=，若曲线12y k x =-+上存在四个点()1,2,3,4=i P i ，过动点i P 作圆O 的两条切线，A ，B 为切点，满足32i iP A PB ⋅= ，则k 的值可能为（）A ．-7B ．-5C ．-2D ．–1三、双空题6．（2022·北京房山·二模）已知圆()()22:121C x y -+-=和直线():1l y k x =+，则圆心坐标为___________；若点P 在圆C 上运动，P 到直线l 的距离记为()d k ，则()d k 的最大值为___________.四、填空题7．（2022·河南焦作·三模（文））已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于点(2,0)对称，当[0,2]x ∈时，2()1(1)f x x =---，若方程()(2)0f x k x --=的所有根的和为6，则实数k 的取值范围是______．五、解答题8．（2022·全国·高三专题练习）O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ =，直线l 过点P 且垂直于OQ ，求证：直线过定点.9．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆22195x y+=的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F ，设过点(,)T t m 的直线TA 、TB 与此椭圆分别交于点1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y ，其中0m >，10y >，20y <(1)设动点P 满足()()13PF PB PF PB +-=，求点P 的轨迹方程；(2)设12x =，213x =，求点T 的坐标；(3)若点T 在点P 的轨迹上运动，问直线MN 是否经过x 轴上的一定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.题型五：直线相关的对称问题一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习（理））集合M 在平面直角坐标系中表示线段的长度之和记为M .若集合(){}22,925A x y xy =≤+≤，(){},B x y y x m ==+，(){},2C x y y kx k ==+-则下列说法中不正确的有（）A ．若AB ⋂≠∅，则实数m 的取值范围为{m m -≤≤B ．存在k ∈R ，使AC ⋂≠∅C ．无论k 取何值，都有A C ⋂≠∅D ．A C的最大值为42．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量12312312,,,1,,60e e e e e e e e ︒==== .若对区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的三个任意的实数123,,λλλ,都有11223312312e e e e e e λλλ++++,则向量1e 与3 e 夹角的最大值的余弦值为（）A ．36-B ．C ．D ．二、多选题3．（2022·全国·模拟预测）已知直线:50l x y -+=，过直线上任意一点M 作圆()22:34C x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则有（）A ．四边形MACB 面积的最小值为B ．AMB ∠最大度数为60°C ．直线AB 过定点15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．AB 4．（2022·福建三明·模拟预测）已知直线l ：10kx y k --+=与圆C ：()()222216x y -++=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，下列说法正确的是（）A ．AB的最小值为B ．若圆C 关于直线l 对称，则3k =C ．若2ACB CAB ∠=∠，则1k =或17k =-D ．若A ，B ，C ，O 四点共圆，则13k =-三、填空题5．（2022·全国·模拟预测）已知平面内点,05n n A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,05n n B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()*n ∈N ，点n C 满足n n n n AC B C ⊥．设n C 到直线()3410x y n n +++=的距离的最大值为n a ，若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S m <恒成立，则实数m 能取的最小值是______．6．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知圆221:(1)(2)4C x y -+-=和圆222:(2)(1)2C x y -+-=交于,A B 两点，直线l 与直线AB 平行，且与圆2C 相切，与圆1C 交于点,M N ，则MN =__________．7．（2022·广东佛山·模拟预测）已知点()1,0A ，()3,0B ，若2PA PB ⋅=，则点P 到直线l ：340x y -+=的距离的最小值为____________．四、解答题8．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22224x t ty t ⎧=-⎨=+⎩(t 为参数)．(1)求C 与坐标轴交点的直角坐标；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 与坐标轴的交点是否共圆，若共圆，求出该圆的极坐标方程；若不共圆，请说明理由.9．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））已知直线:sin cos 0l x y a θθ++=，圆()()221:324C x y a +--=，圆2222:340Cx y a a +-+=(1)若4θ=，求直线l 的倾斜角；(2)设直线l 截两圆的弦长分别为12,d d ，当23πθ=时，求12d d ⋅的最大值并求此时a 的值.10．（2022·江西南昌·一模（理））已知面积为ABO （O 是坐标原点）的三个顶点都在抛物线()2:20E y px p =>上，过点(),2P p -作抛物线E 的两条切线分别交y 轴于M ，N 两点.(1)求p 的值；(2)求PMN 的外接圆的方程.题型六：几何法求圆的方程一、多选题1．（2022·广东·模拟预测）三角形的外心、重心、垂心所在的直线称为欧拉线．已知圆O '的圆心在OAB 的欧拉线l 上，O 为坐标原点，点()4,1B 与点()1,4A 在圆O '上，且满足O A O B '⊥'，则下列说法正确的是（）A ．圆O '的方程为224430x y x y +--+=B ．l 的方程为0x y -=C ．圆O '上的点到l 的最大距离为3D ．若点(),x y 在圆O '上，则x y -的取值范围是⎡-⎣二、填空题2．（2022·河北·模拟预测）圆心为(1,2)C -，且截直线350x y ++=所得弦长为的圆的方程为___________.3．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知㮋圆1C ：()2221024x y b b+=<<的离心率为12，1F 和2F 是1C 的左右焦点，M 是1C 上的动点，点N 在线段1F M 的延长线上，2MN MF =，线段2F N 的中点为P ，则1F P 的最大值为______．4．（2022·天津·高三专题练习）已知圆C 过点(0,1)(2,1)P Q 、两点，且圆心C 在x 轴上，经过点(1,0)M -且倾斜角为钝角的直线l 交圆C 于A ，B 两点，若0CA CB ⋅= (C 为圆心)，则该直线l 的斜率为________．5．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝2，直线l ：y ＝k (x ＋2)与x 轴交于点A ，过l 上一点P 作圆C 的切线，切点为T ，若|PA |PT |，则实数k 的取值范围是______________．三、解答题6．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））拋物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点在x 轴上，直线l ：2x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点M 的坐标为()4,0，M 与直线l 相切．(1)求抛物线C 和M 的标准方程；(2)已知点()8,4N ，点1A ，2A 是C 上的两个点，且直线1NA ，2NA 均与M 相切．判断直线12A A 与M 的位置关系，并说明理由．7．（2022·江苏·南京市第五高级中学一模）已知O 为坐标原点，抛物线E ：22x py =（p ＞0），过点C （0，2）作直线l 交抛物线E 于点A 、B （其中点A 在第一象限），4OA OB ⋅=- 且AC CB λ= （λ＞0）.(1)求抛物线E 的方程；(2)当λ=2时，过点A 、B 的圆与抛物线E 在点A 处有共同的切线，求该圆的方程8．（2022·全国·高三专题练习）已知平面直角坐标系上一动点(),P x y 到点()2,0A -的距离是点P 到点()10B ,的距离的2倍．（1）求点P 的轨迹方程：（2）若点P 与点Q 关于点()1,4-对称，求P 、Q 两点间距离的最大值；（3）若过点A 的直线l 与点P 的轨迹C 相交于E 、F 两点，()2,0M ，则是否存在直线l ，使BFM S △取得最大值，若存在，求出此时的方程，若不存在，请说明理由．题型七：待定系数法求圆的方程一、单选题1．（2016·天津市红桥区教师发展中心高三学业考试）已知圆M 的半径为1，若此圆同时与x 轴和直线y =相切，则圆M 的标准方程可能是（）A ．22((1)1x y -+-=B ．22(1)(1x y -+=C ．22(1)(1x y -++=D ．22((1)1x y ++=二、填空题2．（2022·四川眉山·三模（文））已知函数()()()2112819f x x x x =+--.过点()() 1,1A f --作曲线()y f x =两条切线，两切线与曲线()y f x =另外的公共点分别为B 、C ，则ABC 外接圆的方程为___________.3．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知抛物线2:8C x y =，过点(2,2)N -作抛物线C 的两条切线NA ，NB ，切点分别为点A ，B ，以AB 为直径的圆交x 轴于P ，Q 两点，则PQ =_______．4．（2022·天津·高三专题练习）已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，抛物线C 上一点A 位于第一象限，且满足3AF =，则以点A 为圆心，AF 为半径的圆的方程为______.三、解答题5．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C 经过点A (0，2)，B (2，0)，圆C 的圆心在圆x 2＋y 2＝2的内部，且直线3x ＋4y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为点P 为圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N .(1)求圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋1与圆C 交于A 1，A 2两点，求12BA BA →→；(3)求证：|AN |·|BM |为定值.6．（2021·江西·高三阶段练习（理））已知圆C 过点(2,1)-，(6,3)，(2,3)-．(1)求C 的标准方程；(2)若点(,)P x y 在C 上运动，求34x y -的取值范围．7．（2021·全国·模拟预测）已知点()1,1P 在抛物线C ：()220y px p =>上，过点P 作圆E ：()()22220y x r r +=->的两条切线，切点为A ，B ，延长PA ，PB 交抛物线于C ，D .（1）当直线AB 抛物线焦点时，求抛物线C 的方程与圆E 的方程；（2）证明：对于任意()0,1r ∈，直线CD 恒过定点.8．（2019·云南·二模（理））已知O 是坐标原点，抛物线C ：2x y =的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，Q 为抛物线C 的准线上一点，且2AQB π∠=.（1）求Q 点的坐标；（2）设与直线l 垂直的直线与抛物线C 交于M 、N 两点，过点M 、N 分别作抛物线C 的切线1l 、2l ，设直线1l 与2l 交于点P ，若OP OQ ⊥，求MON ∆外接圆的标准方程.题型八：几何法求弦长一、单选题1．（2022·全国·模拟预测）已知直线l 过点(A ，则直线l 被圆O ：2212x y +=截得的弦长的最小值为（）A ．3B ．6C ．D ．2．（2022·全国·模拟预测）过点()2,2A ，作倾斜角为π3的直线l ，则直线l被圆22:16O x y +=-弦长为（）A．12-B．2C．3D．6-二、多选题3．（2022·广东·模拟预测）已知圆221:(1)1C x y ++=和圆222:(4)4C x y -+=，过圆2C 上任意一点P 作圆1C 的两条切线，设两切点分别为,A B ，则（）A ．线段ABB ．线段ABC ．当直线AP 与圆2C 相切时，原点O 到直线AP 的距离为65D ．当直线AP 平分圆2C 的周长时，原点O 到直线AP 的距离为45三、填空题4．（2022·河北唐山·三模）直线:0+-=l x m 与圆22:480+--=C x y x 交于A 、B 两点，且6⋅=- CA CB ，则实数m =_______．四、解答题5．（2022·全国·高三专题练习）已知点()()1,0M m m ->，不垂直于x 轴的直线l 与椭圆22:143x y C +=相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点.(1)若M 为线段AB 的中点，证明：212112y y x x ->-；(2)设C 的左焦点为F ，若M 在∠AFB 的角平分线所在直线上，且l 被圆224x y +=截得的弦长为l 的方程.6．（2021·湖北·武汉市第六中学高三阶段练习）已知圆O ：x 2＋y 2=2，过点A （1，1）的直线交圆O 所得的，且与x 轴的交点为双曲线E ：2222x y a b -=1的右焦点F （c ，0）（c ＞2），双曲线E 的离心率为32．(1)求双曲线E 的方程；(2)若直线y =kx ＋m （k ＜0，k ≠m ＞0）交y 轴于点P ，交x 轴于点Q ，交双曲线右支于点M ，N 两点，当满足关系111||||||PM PN PQ +=时，求实数m 的值．7．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>0y -=过E 的上顶点A 和左焦点1F .(1)求E 的方程；(2)设直线l 与椭圆E 相切，又与圆22:4O x y +=交于M ，N 两点（O 为坐标原点），求OMN 面积的最大值，并求出此时直线l 的方程.题型九：利用点到直线的距离解决圆上点与直线上点的距离问题一、单选题1．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知直线():130l a x y -+-=，圆22:(1)5C x y -+=.则“32a =”是“l 与C 相切”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知圆2220x y x a +-+=上仅存在一个点到直线30x -+=的距离为1，则实数a 的值为（）A ．-2B ．C ．-1D ．03．（2022·全国·高三专题练习（文））圆O ：222x y +=上点P 到直线l ：3410x y +=距离的最小值为（）A 1B ．2C ．2D ．04．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））过直线34110x y -+=上一动点P 作圆22:2210C x y x y +--+=的两条切线，切点分别为,A B ，则四边形PACB 的面积的最小值为（）AB C ．3D二、多选题5．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知点P 在圆22:4O x y +=上，点()3,0A ，()0,4B ，则（）A ．点P 到直线AB 的距离最大值为225B ．满足AP BP ⊥的点P 有2个C ．过点B 作圆O 的两切线，切点分别为M ､N ，则直线MN 的方程为1y =D ．2PA PB +的最小值是6．（2022·重庆·二模）已知点(),P x y 是圆()22:14C x y -+=上的任意一点，直线()):1130l m x y m ++-+=，则下列结论正确的是（）A ．直线l 与圆C 的位置关系只有相交和相切两种B ．圆C 的圆心到直线lC ．点P 到直线43160++=x y 距离的最小值为2D ．点P 可能在圆221x y +=上三、填空题7．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））过直线0x y m --=上动点P 作圆2:(2)(3)1M x y -+-=的一条切线，切点为A ，若使得1PA =的点P 有两个，则实数m 的取值范围为___________．8．（2022·贵州遵义·三模（理））圆22:2O x y +=上点P 到直线3410:x y l +=距离的最小值为__________．四、解答题9．（2022·广东茂名·模拟预测）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线2y x =-与抛物线C 交于A ，B 两点.（1）求FAB 的面积；（2）过抛物线C 上一点Р作圆()22:34M x y -+=的两条斜率都存在的切线，分别与抛物线C 交于异于点P 的两点D ，E .证明：直线DE 与圆M 相切.高考一轮复习专项。
2023年高考数学一轮复习点点练30直线与方程含解析理
第九单元 直线与圆的方程考情分析一般以选择题和填空题为主，考查直线与圆的几何性质，在解答题中，与椭圆、双曲线或抛物线交汇命题，解题时要充分利用直线和圆的几何性质简化运算过程．点点练30直线与方程一基础小题练透篇1.过点P (3，－23)且倾斜角为135°的直线方程为( ) A ．3x －y －43＝0B ．x －y －3＝0 C ．x ＋y －3＝0D ．x ＋y ＋3＝02．直线l ：x ＋3y ＋1＝0的倾斜角的大小为( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°3．已知直线l 1：x ＋2y ＋1＝0与l 2：ax －y ＋2＝0平行，则实数a 的值是( ) A ．12B ．2C ．－12D ．－2 4．[2022·浙江省返校考试]已知直线l 1：mx －y ＝1与直线l 2：x －my －1＝0相互垂直，则实数m 的值是( )A ．0B ．1C ．－1D ．±15．[2022·湖北省质量检测]在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x ＋2y ＋1＝0和x ＋2y ＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x －4y ＋c 1＝0和3x －4y ＋c 2＝0，则|c 1－c 2|＝( )A ．23B ．25C ．2D ．46．点(0，－1)到直线3x －4y ＋1＝0的距离为( ) A ．25B ．35C ．45D ．1 7．经过两条直线2x ＋3y ＋1＝0和x －3y ＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x ＋4y －7＝0的直线方程为________．8．[2022·宁夏银川月考]已知直线3x ＋4y ＋3＝0与直线6x ＋my －14＝0平行，则它们之间的距离是________．二能力小题提升篇1.[2022·安徽省第一次联考]“a ＝－1”是“直线2x ＋ay ＋4＝0与直线(a －1)x ＋y ＋2＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．[2022·辽宁铁岭六校联考]已知点A (3，0)，B (0，3)，M (1，0)，O 为坐标原点，P ，Q 分别在线段AB ，BO 上运动，则△MPQ 周长的最小值为( )A ．4B ．5C ．2 5D ．343．[2022·福建宁德质量检测]已知点A (－2，1)和点B 关于直线l ：x ＋y －1＝0对称，斜率为k 的直线m 过点A 交l 于点C .若△ABC 的面积为2，则实数k 的值为( )A ．3或13B ．0C ．13D ．3 4．[2022·云南大理检测]设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )(点P 与点A ，B 不重合)，则△PAB 面积的最大值是( )A ．25B ．5C ．52D ． 55．[2022·重庆黔江检测]在平面直角坐标系中，△ABC 的一个顶点是A (－3，1)，∠B ，∠C 的平分线所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝x ，则直线BC 的方程为________.6．[2022·安徽黄山质量检测]已知a ，b ，c 成等差数列，过点A (1，2)作直线l ：ax ＋by ＋c ＝0的垂线与直线l 交于点P ，点Q 在直线3x －4y ＋12＝0上，则|PQ |的最小值是________．三高考小题重现篇1.[2020·全国卷Ⅱ]若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( )A ．55B ．255C ．355D ．4552．[2020·全国卷Ⅲ]点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为( ) A ．1B ．2C ．3D ．23．[北京卷]在平面直角坐标系中，记d 为点P (cos θ，sin θ)到直线x －my －2＝0的距离．当θ，m 变化时，d 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．[2019·江苏卷]在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4x(x >0)上的一个动点，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．四经典大题强化篇1.[2022·武汉调研]已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)若点A (5，0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5，0)到l 的距离的最大值．2．在△ABC 中，BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1，2)，求：(1)点A 和点C 的坐标； (2)△ABC 的面积．点点练30 直线与方程一 基础小题练透篇1．答案：D解析：因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率为k ＝tan135°＝－1，所以直线方程为y ＋23＝－（x －3），即x ＋y ＋3＝0. 2．答案：D解析：由l ：x ＋3y ＋1＝0可得y ＝－33x －33，所以直线l 的斜率为k ＝－33，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝－33，因为0°≤α<180°，所以α＝150°. 3．答案：C解析：因为直线l 1：x ＋2y ＋1＝0与l 2：ax －y ＋2＝0平行，所以a 1＝－12≠21，解得a ＝－12. 4．答案：A解析：因为直线l 1：mx －y ＝1与直线l 2：x －my －1＝0相互垂直，所以m ＋m ＝0，解得m ＝0.5．答案：B解析：设直线x ＋2y ＋1＝0与直线3x －4y ＋c 2＝0的交点为A ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＝03x －4y ＋c 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－c 2＋25y ＝c 2－310，故A （－c 2＋25，c 2－310），同理设直线x ＋2y ＋1＝0与直线3x －4y ＋c 1＝0的交点为B ，则B （－c 1＋25，c 1－310），设直线x ＋2y ＋3＝0与直线3x －4y ＋c 1＝0的交点为C ，则C （－c 1＋65，c 1－910）， 设直线x ＋2y ＋3＝0与直线3x －4y ＋c 2＝0的交点为D ，则D （－c 2＋65，c 2－910），由菱形的性质可知BD ⊥AC ，且BD ，AC 的斜率均存在，所以k BD ·k AC ＝－1，则c 1－310－c 2－910－c 1＋25－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2＋65·c 2－310－c 1－910－c 2＋25－⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 1＋65＝－1，即36－（c 2－c 1）24[]16－（c 2－c 1）2＝－1，解得|c 1－c 2|＝2 5.6．答案：D解析：点（0，－1）到直线3x －4y ＋1＝0的距离为d ＝|3×0－4×（－1）＋1|32＋（－4）2＝55＝1.7．答案：4x －3y ＋9＝0解析：方法一 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－53，y ＝79 即交点为（－53，79），∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，∴所求直线的斜率为k ＝43.由点斜式得所求直线方程为y －79＝43（x ＋53），即4x －3y ＋9＝0.方法二 由垂直关系可设所求直线方程为4x －3y ＋m ＝0，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x －3y ＋4＝0，可解得交点为（－53，79），代入4x －3y ＋m ＝0，得m ＝9，故所求直线方程为4x －3y ＋9＝0. 方法三 由题意可设所求直线方程为（2x ＋3y ＋1）＋λ（x －3y ＋4）＝0，即（2＋λ）x ＋（3－3λ）y ＋1＋4λ＝0 ① 又∵所求直线与直线3x ＋4y －7＝0垂直，∴3（2＋λ）＋4（3－3λ）＝0，∴λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x －3y ＋9＝0.8．答案：2解析：∵直线3x ＋4y ＋3＝0与直线6x ＋my －14＝0平行，∴m ＝8，6x ＋8y －14＝0可化为3x ＋4y －7＝0.∴它们之间的距离为|3－（－7）|32＋42＝2. 二 能力小题提升篇1．答案：C解析：当两直线平行时，1×2－（a －1）a ＝0，解得a ＝2或a ＝－1，当a ＝2，两直线重合，舍去；当a ＝－1时，两直线平行．所以“a ＝－1”是“直线2x ＋ay ＋4＝0与直线（a －1）x ＋y ＋2＝0平行”的充要条件．2．答案：C解析：过A （3，0），B （0，3）两点的直线方程为x ＋y －3＝0.设M （1，0）关于直线x＋y －3＝0对称的点为N （x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧yx －1＝1，x ＋12＋12y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即N （3，2）.易知点M （1，0）关于点O 对称的点为（－1，0），设E （－1，0），当N ，P ，Q ，E 四点共线时，△MPQ的周长取得最小值，最小值为|MP |＋|PQ |＋|QM |＝|NP |＋|PQ |＋|EQ |＝|NE |＝（3＋1）2＋22＝2 5. 3．答案：B解析：设点B （x ，y ），则⎩⎪⎨⎪⎧y －1x ＋2＝1，x －22＋y ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3，则B （0，3）.由已知可得直线m 的方程为y －1＝k （x ＋2），与方程x ＋y －1＝0联立， 解得x ＝－2k k ＋1，y ＝3k ＋1k ＋1，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k ＋1，3k ＋1k ＋1.由已知可得直线AB 的方程为y －1＝x ＋2，即y ＝x ＋3，且|AB |＝22，则点C 到直线AB 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2k k ＋1－3k ＋1k ＋1＋32＝|2－2k |2|k ＋1|，所以S △ABC ＝12×22·|2－2k |2|k ＋1|＝2，即|1－k |＝|k ＋1|（k ≠－1），解得k ＝0.4．答案：C解析：动直线x ＋my ＝0，令y ＝0，解得x ＝0，因此此直线过定点A （0，0）. 动直线mx －y －m ＋3＝0，即m （x －1）＋3－y ＝0，令x －1＝0，3－y ＝0，解得x ＝1，y ＝3，因此此直线过定点B （1，3）.当m ＝0时，两条直线分别为x ＝0，y ＝3，交点P （0，3），S △PAB ＝12×1×3＝32.当m ≠0时，两条直线的斜率分别为－1m ，m ，则－1m·m ＝－1，因此两条直线相互垂直．设|PA |＝a ，|PB |＝b ，∵|AB |＝12＋32＝10，∴a 2＋b 2＝10. 又a 2＋b 2≥2ab ，∴ab ≤5， 当且仅当a ＝b ＝5时等号成立． ∴S △PAB ＝12|PA |·|PB |＝12ab ≤52.综上，△PAB 的面积最大值是52.5．答案：2x －y －5＝0解析：因为∠B ，∠C 的平分线所在直线的方程分别为x ＝0，y ＝x ，所以直线AB 与直线BC 关于直线x ＝0对称，直线AC 与直线BC 关于直线y ＝x 对称．则点A （－3，1）关于直线x ＝0对称的点A ′（3，1）在直线BC 上，点A （－3，1）关于直线y ＝x 对称的点A ″（1，－3）也在直线BC 上，所以由两点式得直线BC 的方程为y ＋31＋3＝x －13－1，即y ＝2x －5.解析：∵不全为零的实数a ，b ，c 成等差数列，∴b ＝a ＋c2，代入动直线l ：ax ＋by ＋c＝0，得ax ＋a ＋c2y ＋c ＝0，即a （2x ＋y ）＋c （y ＋2）＝0，∵a ，c 不全为零，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，y ＋2＝0，解得x ＝1，y ＝－2，∴动直线l 过定点N （1，－2）.设点P （x ，y ），∵当点P 与N 不重合时，AP ⊥NP ，∴AP →·NP →＝（x －1，y －2）·（x －1，y ＋2）＝0，整理得，x 2＋y 2－2x －3＝0，即（x －1）2＋y 2＝4.又（1，－2）在圆（x －1）2＋y 2＝4上，∴点P 在以（1，0）为圆心，2为半径的圆上．点Q 在直线3x －4y ＋12＝0上，圆心（1，0）到直线3x －4y ＋12＝0的距离d ＝|3＋12|32＋42＝3>2，∴|PQ |的最小值等于圆心（1，0）到直线3x －4y ＋12＝0的距离d 减去圆的半径2，∴|PQ |的最小值为3－2＝1.三 高考小题重现篇1．答案：B解析：设圆心为P （x 0，y 0），半径为r ，∵圆与x 轴，y 轴都相切，∴|x 0|＝|y 0|＝r ，又圆经过点（2，1），∴x 0＝y 0＝r 且（2－x 0）2＋（1－y 0）2＝r 2，∴（r －2）2＋（r －1）2＝r 2，解得r ＝1或r ＝5.①r ＝1时，圆心P （1，1），则圆心到直线2x －y －3＝0的距离d ＝|2－1－3|22＋（－1）2＝255； ②r ＝5时，圆心P （5，5），则圆心到直线2x －y －3＝0的距离d ＝|10－5－3|22＋（－1）2＝255. 2．答案：B解析：方法一 点（0，－1）到直线y ＝k （x ＋1）的距离为d ＝|k ·0－（－1）＋k |k 2＋1＝|k ＋1|k 2＋1，注意到k 2＋1≥2k ，于是2（k 2＋1）≥k 2＋2k ＋1＝|k ＋1|2，当且仅当k ＝1时取等号．即|k ＋1|≤k 2＋1·2，所以d ＝|k ＋1|k 2＋1≤2，故点（0，－1）到直线y ＝k （x ＋1）距离的最大值为 2.方法二 由题意知，直线l ：y ＝k （x ＋1）是过点P （－1，0）且斜率存在的直线，点Q （0，－1）到直线l 的最大距离在直线l 与直线PQ 垂直时取得，此时k ＝1，最大距离为|PQ |＝ 2.解析：由题意可得d ＝|cos θ－m sin θ－2|m 2＋1＝|m sin θ－cos θ＋2|m 2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫m m 2＋1sin θ－1m 2＋1cos θ＋2m 2＋1＝|m 2＋1sin （θ－φ）＋2|m 2＋1（其中cos φ＝m m 2＋1，sin φ＝1m 2＋1），∵－1≤sin （θ－φ）≤1，∴|2－m 2＋1|m 2＋1≤d ≤m 2＋1＋2m 2＋1，m 2＋1＋2m 2＋1＝1＋2m 2＋1，∴当m ＝0时，d 取最大值3.4．答案：4解析：通解 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，x ＋4x ，x >0，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|x ＋x ＋4x |2＝2x ＋4x 2≥22x ·4x2＝4，当且仅当2x ＝4x，即x ＝2时取等号，故点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是4.优解 由y ＝x ＋4x （x >0）得y ′＝1－4x 2，令1－4x2＝－1，得x ＝2，则当点P 的坐标为（2，32）时，点P 到直线x ＋y ＝0的距离最小，最小值为|2＋32|2＝4.四 经典大题强化篇1．解析：（1）易知点A 到直线x －2y ＝0的距离不等于3，可设经过两已知直线交点的直线系方程为（2x ＋y －5）＋λ（x －2y ）＝0，即（2＋λ）x ＋（1－2λ）y －5＝0.由题意得|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或12.∴l 的方程为4x －3y －5＝0或x ＝2.（2）由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点为P （2，1），如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A到l 的距离，则d ≤|PA |（当l ⊥PA 时等号成立）.∴d max ＝|PA |＝10. 2．解析：（1）由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0，解得点A （－1，0）.又直线AB 的斜率为k AB ＝1，且x 轴是∠A 的平分线，故直线AC 的斜率为－1，所以AC 所在的直线方程为y ＝－（x ＋1）. 已知BC 边上的高所在的直线方程为x －2y ＋1＝0，故直线BC 的斜率为－2，故BC 所在的直线方程为y －2＝－2（x －1）.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－（x ＋1），y －2＝－2（x －1），得点C 的坐标为（5，－6）.（2）因为B （1，2），C （5，－6），所以|BC |＝（1－5）2＋（2＋6）2＝45，点A （－1，0）到直线BC ：y －2＝－2（x －1）的距离为d ＝|2×（－1）－4|5＝65，所以△ABC 的面积为12×45×65＝12.。
【精品一轮 详解特训】2022届高考数学一轮复习 8 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
直线的倾斜角与斜率、直线的方程一、选择题1．已知过点A (－2，m )和B (m,4)的直线与直线2x ＋y －1＝0平行，则m 的值为 ( )A ．0B ．－8C ．2D ．10解析：由k ＝4－m m ＋2＝－2，得m ＝－8.答案：B2．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是 ( )A ．[0，π) B．[0，π4]∪[3π4，π)C ．[0，π4] D ．[0，π4]∪(π2，π)解析：设题中直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π答案：B3．直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2所得的直线方程是 ( )A ．x －2y ＋4＝0B ．x ＋2y －4＝0C ．x －2y －4＝0D ．x ＋2y ＋4＝0解析：直线2x －y －2＝0与y 轴的交点为A (0，－2)，所求直线过A 且斜率为－12，∴所求直线方程：y ＋2＝－12(x －0)，即x ＋2y ＋4＝0.答案：D4．设点A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－52]∪[43，＋∞)B ．(－43，52) C ．[－52，43] D ．(－∞，－43]∪ [52，＋∞)解析：直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a ，∵k MA ＝3－－2－2－0＝－52， k MB ＝2－－23－0＝43，由图可知：－a >－52且－a <43， ∴a ∈(－43，52)． 答案：B5．已知直线a 2x ＋y ＋2＝0与直线bx －(a 2＋1)y －1＝0互相垂直，则|ab |的最小值为( )A ．5B ．4C ．2D ．1解析：由题意知，a 2b －(a 2＋1)＝0且a ≠0， ∴a 2b ＝a 2＋1，∴ab ＝a 2＋1a ＝a ＋1a ， ∴|ab |＝|a ＋1a |＝|a |＋1|a |≥2.(当且仅当a ＝±1时取“＝”)． 答案：C6．直线Ax ＋By －1＝0在y 轴上的截距是－1，而且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则 ( )A ．A ＝3，B ＝1 B ．A ＝－3，B ＝－ 1C ．A ＝3，B ＝－1D ．A ＝－3，B ＝1解析：将直线Ax ＋By －1＝0化成斜截式y ＝－A B x ＋1B. ∵1B＝－1，∴B ＝－1，故排除A 、D. 又直线3x －y ＝33的倾斜角α＝π3， ∴直线Ax ＋By －1＝0的倾斜角为2α＝2π3， ∴斜率－A B ＝tan 2π3＝－3， ∴A ＝－ 3.答案：B二、填空题7．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________. 解析：由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋n 2＝2×7＋m 2－3n －3m －7＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝35n ＝315.故m ＋n ＝345. 答案：345 8．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________．解析：直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，P (x ，y )，则x ＝3－34y ，∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3.答案：39．与直线3x ＋4y ＋12＝0平行，且与坐标轴构成的三角形的面积是24的直线l 的方程是____________________．解析：先由“平行”这个条件设出直线方程为3x ＋4y ＋m ＝0，再用“面积”条件求m .因为直线l 交x轴于A (－m 3，0)，交y 轴于B (0，－m 4)，由12·|－m 3|·|－m 4|＝24，可得m ＝±24.所以，所求直线的方程为：3x ＋4y ±24＝0.答案：3x ＋4y ＋24＝0或3x ＋4y －24＝0三、解答题10．在△ABC 中，已知A (5，－2)、B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标；(2)直线MN 的方程．解：(1)设点C 的坐标为(x ，y )，则有x ＋52＝0，3＋y 2＝0，∴x ＝－5，y ＝－3.即点C 的坐标为(－5，－3)．(2)由题意知，M (0，－52)，N (1,0)，∴直线MN 的方程为x －y 52＝1， 即5x －2y －5＝0.11．已知两点A (－1,2)，B (m,3)．(1)求直线AB 的方程；(2)已知实数m ∈[－33－1，3－1]，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1，当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)． (2)①当m ＝－1时，α＝π2； ②当m ≠－1时，m ＋1∈[－33，0)∪(0，3]， ∴k ＝1m ＋1∈(－∞，－3]∪[33，＋∞)，∴α∈[π6，π2)∪(π2，2π3]． 综合①②知，直线AB 的倾斜角α的取值范围为[π6，23π]． 12.为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD 内建一个矩形草坪(如图所示)，另外，△AEF 内部有一文物保护区不能占用，经测量AB ＝100 m ，BC ＝80 m ，AE ＝30 m ，AF ＝20 m ，应如何设计才能使草坪面积最大？解：建立如图所示直角坐标系，则E (30,0)，F (0,20)，于是，线段EF 的方程是x 30＋y 20＝1(0≤x ≤30)， 在线段EF 上取点P (m ，n )，作PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥CD 于点R ，设矩形PQCR 的面积为S ，则： S ＝|PQ |·|PR |＝(100－m )(80－n )，因为m 30＋n 20＝1，所以n ＝20(1－m 30)， 所以S ＝(100－m )(80－20＋23m ) ＝－23(m －5)2＋18 0503(0≤m ≤30)， 于是，当m ＝5时，S 有最大值，这时|EP ||PF |＝51. 答：当草坪矩形的两边在BC ，CD 上，一个顶点在线段EF 上，且这个顶点分EF 成5∶1时，草坪面积最大。
2022年高考数学一轮复习专题 专题37 直线与方程基础知识与典型例题(解析版)
故选：B. 【点睛】 本题主要考查求直线的方程，属于基础题型.
9．过两点 A2, 0 ， B 0,3 的直线方程为（ ）
A． 3x 2 y 6 0 B． 3x 2 y 6 0 C． 3x 2 y 6 0 D． 3x 2 y 6 0
9．C 【分析】 由题意利用直线的截距式方程，化简求得结果. 【详解】
B． k3 k2 k1
C． k1 k3 k2
5．C
【分析】
根据直线的倾斜角和斜率的关系，即可求解.
【详解】
D． k3 k1 k2
设直线 l1 ， l2 ， l3 的倾斜角分别为1,2,3 ， 根据直线的倾斜角概念，可得 0 3 2 90 3 180 ，
再由直线的斜率与倾斜角关系 k = tan θ ，可得 tan1 tan3 tan2 ，
故 k1 k3 k2
故选：C.
6．直线 y 1的倾斜角是（ ）
A． 0
6．A 【分析】
B． 45
C． 90
D． 180
直线 y 1的斜率为 0，求出倾斜角即可.
【详解】
由题意， y 1的斜率为 0，倾斜角为 0 .
故选：A. 2、直线方程
(1)点斜式： y y0 k (x x0 ) ；适用于斜率存在的直线
在两轴上截距相反的直线：（Ⅰ） y x b ；（Ⅱ） y kx
在两轴上截距的绝对值相等的直线：（Ⅰ） y x b ；（Ⅱ） y x b ；（Ⅲ） y kx
7．经过点 1, 0 ，且斜率为 2 的直线的方程是（ ）
A． 2x y 2 0
B． 2x y 2 0
C． x 2 y 1 0
A． 2 3
3．A
B．
6
C．
3
2022年高考数学一轮复习专题 专题37 直线与方程基础基础巩固检测题(解析版)
8．过点 A(2,5) 和点 B(4,5) 的直线与直线 y 3 的位置关系是（ ）
A．相交 【答案】B 【分析】
B．平行
C．重合
D．以上都不对
根据斜率公式求得 AB 的斜率，得出直线 AB 的方程，进而得出两直线的位置关系.
【详解】
由题意，点
A(2, 5)
和点
B( 4, 5)
，可得 kAB
55 4 2
O 为原点，当|MA|·|MB|取得最小值时，直线 l 的方程为________________．
【答案】x＋y－3＝0．
【分析】
由条件可知，直线斜率存在且为负，设出直线方程，求出与 x 轴和 y 轴的交点 A, B ，
试卷第 7页，总 12页
可计算 | MA |
1 k2
1，
MB
4 4k 2 ，计算 MA MB ，利用基本不等式可求出最值，
故选：C.
11．在直角坐标系中，已知 O 为坐标原点， A(1, 0), B(1, 0) .点 P 满足 kPA kPB 3 且 | PA | | PB | 4 ，则| OP | （ ）
A． 7 13 13
B． 85 5
C． 5 13 13
D． 13 2
【答案】B 【分析】
设 P(x, y) ，根据椭圆的定义得出点 P 在椭圆 x2 y2 1①上，再由斜率公式得出 43
当 m 1时，两条直线重合，故 m 1，
所以 m 1.
故选：B
4．已知点(x，y)到原点的距离等于 1，则实数 x，y 满足的条件是（ ）
A．x2－y2＝1
B．x2＋y2＝0
C． x2 y2 ＝1
D． x2 y2 ＝0
【答案】C 【分析】 由两点间的距离公式即可求结果. 【详解】
2022年高考数学一轮复习专题 专题37 直线与方程综合提升检测题( 解析版)
1 5
,
3 5
【点睛】
对于直线 l1 : A1x B1 y C1 0 （ A1, B1 不同时为零），直线 l2 : A2 x B2 y C2 0
（ A2 , B2 不同时为零）；
当直线
l1//l2
时，等价于
A1C2 A1B2
A2C1 A2 B1
0 0
；
当直线 l1 l2 时，等价于 A1A2 B1B2 0 ；
A． x 2 y 1 0
B． 2x y 1 0
C． x 2 y 7 0
2x y 7 0
【答案】C 【分析】
设点 Q x, y ，根据已知条件可知点 M 为线段 PQ 的中点，求出点 P 的坐标，代入直
线 x 2 y 1 0 的方程即可得出 Q 点的轨迹方程.
【详解】
16．已知直线 l1
:
y
1 2
kx
k
4 ，直线 l2
:
y
2 k2
x
4 k2
4k
0
，若直线 l1 ，l2
与两坐标轴围成一个四边形，则当 k 4 时，这个四边形面积的取值范围是___________.
【答案】
17 4
,8
【分析】
由直线 l1 ， l2 过定点 B 2, 4 ，再分别求出直线 l1 、 l2 与 x 轴、 y 轴的交点，将四边形
【详解】
∵ l1//l2 ，有 a(a) (2a 5)(3a 2) 0 ，
∴ (a 2)(7a 5) 0 ，解得 a 2 或 a 5 ， 7
当 a 2 时， l1 : 2x y 2 0 ， l2 : 4x 2 y 4 0 ，即 l1 、 l2 为同一条直线；
当
专题训练44 直线的方程 - 2022届高考数学一轮复习 (新高考)
专题44 直线的方程一、单选题（本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意）1．若点1117(,0,),(,2,)2222-A B 在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为（ ）A ．12,,133⎛⎫⎪⎝⎭B ．12,1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．21,,133⎛⎫⎪⎝⎭D ．211,,33⎛⎫ ⎪⎝⎭2．经过点(2)，倾斜角是30°的直线的方程是（ ）A．y x －2) B ．y ＋2xC ．y －2xD ．y －2x )3．已知圆22(1)4x y -+=内一点P (2，1)，则过P 点的最短弦所在的直线方程是（ ） A ．10x y --= B ．30x y +-= C ．30x y ++=D ．2x =4．已知直线10kx y k -++=过定点A ，则点A 关于30x y +-=对称点的坐标为（ ） A ．(2,4)B ．(4,2)C ．(2,2)D ．(4,4)5．过点()1,2-且与直线2340x y -+=垂直的直线方程为（ ） A ．3270x y ++= B ．3210x y +-= C ．2350x y -+=D ．2380x y -+=6．直线10mx y -+=与圆22(2)(1)5x y -+-=的位置关系是（ ） A ．相交B ．相切C ．相离D ．与m 的值有关7．设m R ∈，直线1:10l x my ++=过定点P ，直线2:220l mx y m --+=过定点Q ，则||PQ =（ ）A B C D ．18．在直角坐标系内，已知(3,3)A 是C 上一点，对任意实数a ，点A 关于直线(2)320a x y a +---=的对称点仍在C 上，点M ，N 的坐标分别为(,0)m ，(,0)m -，若C 上存在点p ，使90MPN ∠=︒，则正数m 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．[4，6]D ．[8，12]二、多选题（本大题共4小题，每小题有多个各选项符合题意） 9．下列说法错误的是（ ）A ．过定点()000,P x y 的直线都可用方程()00y y k x x -=-表示B ．过定点()0,A b 的直线都可用方程y kx b =+表示C ．过任意两个点()111,P x y ，()222,P x y 的直线都可用方程()()()()121121y y x x x x y y --=--表示D ．不过原点的直线都可用方程1x ya b+=表示10．已知直线:1l y =-，则（ ）A ．直线l 过点)2-B ．直线lC ．直线l 的倾斜角为60°D ．直线l 在y 轴上的截距为111．已知直线l ：(2)10mx m y m --+-=，圆C ：22(1)1x y -+=，则下列结论中正确的是（ ） A ．存在m 的一个值，使直线l 经过圆心CB ．无论m 为何值时，直线l 与圆C 一定有两个公共点C ．圆心C 到直线lD ．当1m =时，圆C 关于直线l 对称的圆的方程为22(1)1y x +-=.12．已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，a ∈R ，以下结论正确的是（ ） A ．不论a 为何值时，l 1与l 2都互相垂直B ．当a 变化时，l 1与l 2分别经过定点A (0，1)和B (－1，0)C ．不论a 为何值时，l 1与l 2都关于直线x ＋y ＝0对称D ．如果l 1与l 2交于点M ，则|MO | 三、填空题（本大题共4小题）13．已知A (3，4)，B (－1，0)，则过AB 的中点且倾斜角为120°的直线方程是________． 14．直线210x y ++=不通过第___象限．15．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心､重心､垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中ABC 各顶点的坐标分别为()0,0A ，()8,0B ，()0,6C ，则其“欧拉线”的方程为___________.16．已知直线1:3210l x y --=和2320:13l x y --=，直线l 与12,l l 的距离分别是12,d d ，若12:2:1d d =，则直线l 的方程为_________．四、解答题（本大题共6小题，答题过程应包括必要的公式、过程和文字说明） 17．已知直线1:(2)80l m x my ++-=与直线2:40,l mx y m R +-=∈． （1）若12l l //，求m 的值；（2）若点()1,P m 在直线2l 上，直线l 过点P ，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l 的方程．18．直线l 过点()1,2A 且与直线210x y ++=垂直. （1）求直线l 的方程；（2）求圆心在直线l 上且过点()0,0O 、()2,0B 的圆的方程.19．已知正方形的中心为()1,0G -，一边所在直线的方程为350x y +-=，求其他三边所在的直线方程.20．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点()2,0M ，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点()1,1T -在AD 边所在的直线上.（1）求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程.参考答案1．A【解析】因为1117(,0,),(,2,)2222-A B ，所以()1,2,3AB =；因为()121,,11,2,3333⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以12,,133⎛⎫ ⎪⎝⎭是直线l 的一个方向向量.故选：A. 2．C【解析】直线的斜率k由直线的点斜式方程可得y －2(x)， 故选：C ． 3．B【解析】由题意可知，当过圆心且过点(2,1)P 时所得弦为直径， 当与这条直径垂直时所得弦长最短， 圆心为(1,0)C ，(2,1)P ， 则由两点间斜率公式可得10121CP k -==-， 所以与PC 垂直的直线斜率为1k =-，则由点斜式可得过点(2,1)P 的直线方程为11(2)y x -=-⨯-， 化简可得30x y +-=， 故选：B 4．A【解析】直线10kx y k -++=即(1)1y k x =++，故(1,1)A -， 设点(1,1)A -关于30x y +-=的对称点坐标为(,)P x y ． 则113022111x yy x -++⎧+-=⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎩解得24x y =⎧⎨=⎩．∴点(1,1)A -关于30x y +-=的对称点坐标为(2,4)．故选：A ． 5．B【解析】设与直线2340x y -+=垂直的直线为320x y c ++=， 直线过点()1,2-，则340c -++=，解得：1c =-， 所以直线方程是3210x y +-=. 故选：B6．A【解析】10mx y -+=过定点()0,1，且()22(214501)+-=<-，故()0,1在圆内， 故直线和圆相交. 故选：A 7．A【解析】对于1l ，当0y =时，1x =-，即1l 过定点()1,0-，即()1,0P -.对于2l ，其方程可以写成()220m x y --+=，由2020x y -=⎧⎨-+=⎩，得直线2l 过定点()2,2，即()2,2Q .所以PQ ==故选:A 8．C【解析】由题意，直线(2)320a x y a +---=可化为(3)220a x x y -+--=，令30220x x y -=⎧⎨--=⎩，解得3,4x y ==，所以直线(2)320a x y a +---=经过定点(3,4)，由(3,3)A 是C 上一点，对任意实数a ，点A 关于直线(2)320a x y a +---=的对称点仍在C 上，所以C 的圆心为(3,4)，点,M N 的坐标分别为((,0),),0m m -，C 上存在点P ，使90MPN ∠=︒， 则点P 在以原点O 为圆心，||m 为半径的圆上，若两圆外切，则1m +4m =；若两圆内切，则1m -6m =， 所以46m ≤≤，即正数m 的取值范围是[]4,6 故选：C ． 9．ABD【解析】因为直线与x 轴垂直时不能用点斜式与斜截式表示，所以选项AB 不正确； 因为直线与坐标轴垂直时不能与截距式表示，所以选项D 不正确；C 选项，过任意两个点()111,P x y ，()222,P x y 的直线，斜率存在时，方程为()211121y y y y x x x x --=--⎛⎫⎪⎝⎭，可化为()()()()121121y y x x x x y y --=--；斜率不存在时，12x x =，直线方程为1x x =也满足()()()()121121y y x x x x y y --=--，故C 正确；故选：ABD. 10．BC【解析】对于A，将)2-代入1y =-，可知不满足方程，故A 不正确；对于B，由1y =-，知直线lB 正确；对于C ，设直线l 的倾斜角为α，则tan α=60α=︒，故C 正确； 对于D，由1y =-，令0x =，可得直线l 在y 轴上的截距为-1，故D 不正确. 故选：BC 11．BCD【解析】圆心坐标为(1,0)C ，代入直线l 得：10m m +-=，无解，∈不论m 为何值，圆心都不在直线l 上，A 错；直线l 方程整理为(1)210m x y y +-++=，由10210x y y +-=⎧⎨-+=⎩得1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线l 过定点11,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又1MC =<，M 在圆C 内部，∈直线与圆相交，B 正确；设直线l 与圆相交于,A B 两点，弦AB 中点为N ，则CN AB ⊥，CN 为C 到直线AB 的距离，显然CN CM ≤，,N M重合时取等号．2MC =，C 正确；1m =时直线l 方程为0x y -=，(1,0)C 关于l 的对称点为(0,1)，因此对称圆方程为22(1)1y x +-=，D 正确． 故选：BCD ． 12．ABD【解析】对于A ，1(1)0a a ⨯+-⨯=恒成立，l 1与l 2互相垂直恒成立，故A 正确；对于B ，直线l 1：ax －y ＋1＝0，当a 变化时，x ＝0，y ＝1恒成立，所以l 1恒过定点A (0，1)；l 2：x ＋ay ＋1＝0，当a 变化时，x ＝－1，y ＝0恒成立，所以l 2恒过定点B (－1，0)，故B 正确．对于C ，在l 1上任取点(,1)x ax +，关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标为(1,)ax x ---，代入l 2：x ＋ay ＋1＝0，则左边不等于0，故C 不正确；对于D ，联立1010ax y x ay -+=⎧⎨++=⎩，解得221111a x a a y a --⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩，即2211,11a a M a a ---+⎛⎫ ⎪++⎝⎭，所以MO ==MOD 正确. 故选：ABD.13＋y －2【解析】设AB 的中点为M ，则M (1，2)，又斜率ky －2(x －1)＋y －20.＋y －20 14．一【解析】当0x =时，1y =-，当0y =时，12x =-， 故直线210x y ++=过第二、三，四象限， 即直线210x y ++=不通过第一象限. 故答案为：一． 15．340x y -=【解析】由题设知：ABC 是直角三角形，则垂心为直角顶点(0,0)A ，外心为斜边BC 的中点(4,3)M ， ∈“欧拉线”的方程为340x y -=. 故答案为：340x y -=.16．32250x y --=或3290x y --=【解析】解：由直线12,l l 的方程知12l l //，又由题意知，直线1l 与12,l l 均平行． 设直线:320l x y m -+= （1m ≠-且13m ≠-），由两平行直线间的距离公式，得12d d ==又12:2:1d d =，所以1213m m +=+，解得25m =-或9m =-． 故所求直线l 的方程为32250x y --=或3290x y --=． 故答案为：32250x y --=或3290x y --= 17．（1）1m =-，（2）10x y -+=或2y x = 【解析】解：（1）因为12l l //，所以0m ≠，且2814m m m +-=≠-， 由21m mm +=，得220m m --=，解得1m =-或2m =（舍去） 所以1m =-，（2）因为点()1,P m 在直线2l 上，所以40m m +-=，得2m =，所以点P 的坐标为(1,2)， 所以设直线l 的方程为2(1)y k x -=-（0k ≠），令0x =，则2y k =-，令0y =，则21x k =-，因为直线l 在两坐标轴上的截距之和为0， 所以2120k k-+-=，解得1k =或2k =， 所以直线l 的方程为10x y -+=或2y x = 18．（1）2y x =；（2）()()22125x y -+-=.【解析】（1）因为直线l 与直线210x y ++=垂直，则直线l 的方程可设为20x y c -+=， 又因为直线l 过点()1,2A ，所以2120c ，即0c ，所以直线l 的方程为2y x =；（2）因为圆心在直线:2l y x =上，所以圆心坐标可设为(),2a a ， 又因为该圆过点()0,0O 、()2,0B ， 所以有222220220a a a a ，解得1a =，所以圆心坐标为()1,2，半径r ==故圆的方程为()()22125x y -+-=.19．370x y ++=，390x y -+=，330x y --=【解析】正方形的中心()1,0G -设正方形中与已知直线平行的边所在的直线方程为()11305x y C C ++=≠-，=，即116C -=， 解得15C =-（舍去）或17C =.故与已知直线平行的边所在的直线方程为370x y ++=；设正方形中与已知直线垂直的边所在的直线方程为230x y C -+=，=，即236C -=，解得29C =或23C =-，所以正方形另一组对边所在的直线方程分别为390x y -+=和330x y --=；综上所述，正方形其他三边所在的直线方程分别为370x y ++=，390x y -+=，330x y --=. 20．（1）320x y ++=；（2）()2228x y -+=.【解析】（1）因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直， 所以直线AD 的斜率为-3.又因为点()1,1T -在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为()131y x -=-+， 即320x y ++=.（2）由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩，解得点A 的坐标为()0,2-，因为矩形ABCD 两条对角线的交点为()2,0M . 所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心.又AM从而矩形ABCD 外接圆的方程为()2228x y -+=.。
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两条直线的位置关系及距离公式命题范围：两条直线平行与垂直的条件，两点间的距离及点到直线的距离．[基础强化]一、选择题1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝02．若直线l 1：(a －1)x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋ay ＋2＝0垂直，则实数a 的值为( ) A.12B.32C.14D.343．“a ＝3”是“直线ax ＋2y ＋2a ＝0和直线3x ＋(a －1)y －a ＋7＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．“C ＝2”是“点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．过点P (2,1)且与原点O 距离最远的直线方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x －y －3＝0C ．x ＋2y －4＝0D ．x －2y ＝07．若两平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是5，则m ＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－2D ．－18．[2021·四川成都一中高三测试]三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0构成一个三角形，则k 的取值范围是( )A ．k ∈RB ．k ∈R 且k ≠±1，k ≠0C ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠－10D ．k ∈R 且k ≠±5，k ≠19．直线l 经过点M (2,1)，若点P (4,2)和Q (0，－4)到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为( )A ．3x －2y －4＝0B ．x ＝2或3x －2y －4＝0C ．x ＝2或x －2y ＝0D ．x ＝2或3x －2y －8＝0二、填空题10．若曲线y ＝a x (a >0且a ≠1)恒过定点A (m ，n )，则A 到直线x ＋y －3＝0的距离为________．11．若直线ax ＋2y －6＝0与x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则a ＝________.12．过点A (4，a )和B (5，b )的直线与直线y ＝x ＋m 平行，则两点间的距离|AB |＝________.两条直线的位置关系及距离公式参考答案1．A 设所求的直线方程为x －2y ＋c ＝0，又(1,0)在直线l 上，∴1＋c ＝0，∴c ＝－1，故所求的直线方程为x －2y －1＝0.2．D ∵l 1与l 2垂直，∴3(a －1)＋a ＝0，得a ＝34. 3．A 由两条直线平行，∴a 3＝2a －1≠2a 7－a， 得a ＝－2或a ＝3.∴a ＝3是两条直线平行的充分不必要条件．4．B 由⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝k k －1，y ＝2k －1k －1.又∵0<k <12， ∴x ＝k k －1<0，y ＝2k －1k －1>0， 故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．5．B 由点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3，得|1＋3×3＋C |12＋(3)2＝|4＋C |2＝3，得C ＝2或C ＝－10. ∴C ＝2是点(1，3)到直线x ＋3y ＋C ＝0的距离为3的充分不必要条件．6．A 过点P (2,1)且与原点O 距离最远的直线就是过点P 且与OP 垂直的直线即y －1＝－2(x －2)，得2x ＋y －5＝0.7．C ∵l 1∥l 2，∴12＝－2n，∴n ＝－4， ∴l 2：2x －4y －6＝0可化为x －2y －3＝0 ∴|m ＋3|12＋(－2)2＝|m ＋3|5＝5，又m >0，∴m ＝2， ∴m ＋n ＝2－4＝－2.8．C 由l 1∥l 3，得k ＝5；由l 2∥l 3，得k ＝－5；由x －y ＝0与x ＋y －2＝0，得x ＝1，y ＝1，若(1,1)在l 3上，则k ＝－10.若l 1，l 2，l 3能构成一个三角形，则k ≠±5且k ≠－10，故选C.9．B 解法一：当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，符合题意．当直线l 的斜率存在时，依题意可设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋1－2k ＝0，因为P (4,2)和Q (0，－4)到直线l 的距离相等，所以|4k －2＋1－2k |＝|4＋1－2k |，解得k ＝32，则直线l 的方程为3x －2y －4＝0，故选B.解法二：由题意知，所求直线经过P (4,2)和Q (0，－4)的中点或与过P (4,2)和Q (0，－4)的直线平行．当所求直线经过P (4,2)和Q (0，－4)的中点(2，－1)时，所求直线方程为x ＝2；当所求直线与过P (4,2)和Q (0，－4)的直线平行时，由k PQ ＝－4－20－4＝32，得直线l 的方程为y －1＝32(x －2)，即3x －2y －4＝0，故选B. 10.2解析：由题意得A (0,1)，由点A (0,1)到直线x ＋y －3＝0的距离为|1－3|12＋12＝ 2. 11．2或－1解析：因为两直线平行，所以有a (a －1)－2＝0，且1a ＝a －12≠a 2－1－6，即a 2－a －2＝0，且a 2＋3a －4≠0，解得a ＝2或a ＝－1.12.2解析：由题意可知，k AB ＝b －a 5－4＝b －a ＝1， 故|AB |＝(5－4)2＋(b －a )2＝ 2.直线的倾斜角与斜率、直线的方程命题范围：直线的倾斜角和斜率、直线方程的点斜式和一般式．[基础强化]一、选择题1．直线经过点(0,2)和点(3,0)，则它的斜率k 为( )A.23B.32C ．－23D ．－322．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( )A.π6B.π3C.23π D .56π 3．已知直线l 过点P (－2,5)，且斜率为－34，则直线l 的方程为( ) A ．3x ＋4y －14＝0B ．3x －4y ＋14＝0C ．4x ＋3y －14＝0D ．4x －3y ＋14＝04．已知直线l 的倾斜角为α、斜率为k ，那么“α>π3”是“k >3”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y ＋1＝0 B.3x －y －3＝0 C.3x ＋y －3＝0 D.3x ＋y ＋3＝06．经过点P (1,2)且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线方程为( )A ．2x －y ＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y －3＝0或2x －y ＝0D ．x ＋y －3＝0或2x －y ＝07．[2021·衡阳一中高三测试]直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab >0，bc <0B ．ab >0，bc >0C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <08．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )A ．[0，π)B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π 9．已知点A (2,3)，B (－3，－2)，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，则k 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤34，2B.⎝⎛⎦⎤－∞，34∪[2，＋∞) C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．[1,2]二、填空题10．若A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．11．曲线y ＝x 3－2x ＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为________．12．过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率为1，则m ＝________.直线的倾斜角与斜率、直线的方程参考答案1．C k ＝0－23－0＝－23. 2．D 由x ＋3y ＋1＝0，得y ＝－33x －33， ∴直线的斜率k ＝－33，其倾斜角为56π. 3．A 由点斜式得y －5＝－34(x ＋2)，即：3x ＋4y －14＝0. 4．B ∵当π2<α<π时，k <0，∴α>π3D ⇒/k >3； 当k >3时，π3<α<π2，∴k >3⇒π3<α<π2， ∴α>π3是k >3的必要不充分条件． 5．D 由点斜式可知y ＝－3(x ＋1)，即：3x ＋y ＋3＝0.6．D 若直线过原点，则直线方程为y ＝2x ，若直线不过原点，设所求的直线方程为x ＋y ＝m ，又P (1,2)在直线上， ∴1＋2＝m ，∴m ＝3，即：x ＋y ＝3.7．A ax ＋by ＋c ＝0可化为y ＝－a b x －c b，又直线过一、二、四象限， ∴－a b <0且－c b>0，即ab >0，bc <0. 8．B 设直线的倾斜角为θ，0≤θ<π，由题意得tan θ＝－sin α∈[－1,1]，∴θ∈⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫34π，π. 9．B 直线kx －y ＋1－k ＝0恒过P (1,1)，k P A ＝2，k PB ＝34，∴k 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，34∪[2，＋∞)．10．4解析：由题意得k AC ＝k BC ，∴5－36－4＝5－a 6－5，得a ＝4. 11．45°解析：y ′＝3x 2－2，当x ＝1时，y ′＝3－2＝1，∴k ＝1，其倾斜角为45°. 12．1解析：由题意得，4－m m ＋2＝1，得m ＝1.。