高中数学一轮复习 第1讲 直线的方程
高三数学一轮复习精品教案1：线面、面面平行的判定与性质教学设计
9.4直线、平面平行的判定与性质1．直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言 符号语言判定定理平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)⎭⎪⎬⎪⎫l ∥a a ⊂αl ⊄α l ∥α性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)⎭⎪⎬⎪⎫l ∥αl ⊂βα∩β＝b l ∥b 2．平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言 图形语言 符号语言判定定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)⎭⎪⎬⎪⎫a ∥βb ∥βa ∩b ＝P a ⊂αb ⊂αα∥β 性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b a ∥b1．直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件． 2．面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件．3．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．『试一试』1．下列说法中正确的是________(填序号)．①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；④如果直线l 和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l 平行的直线在α内．『解析』由线面平行的性质定理知①④正确；由直线与平面平行的定义知②正确；③错误，因为经过一点可作一直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面．『答案』①②④2．设l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ∥l ，且m ⊥α，则l ⊥α； ②若m ∥l ，且m ∥α，则l ∥α；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，则l ∥m ∥n ； ④若α∩β＝m ，β∩γ＝l ，γ∩α＝n ，且n ∥β，则l ∥m . 其中正确命题的个数是________．『解析』易知①正确；②错误，l 与α的具体关系不能确定；③错误，以墙角为例即可说明；④正确，可以以三棱柱为例说明．『答案』21．转化与化归思想——平行问题中的转化关系2．判断线面平行的两种常用方法面面平行判定的落脚点是线面平行，因此掌握线面平行的判定方法是必要的，判定线面平行的两种方法：(1)利用线面平行的判定定理；(2)利用面面平行的性质，即当两平面平行时，其中一平面内的任一直线平行于另一平面．『练一练』1．a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题 ①⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β ②⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β③⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α ④⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γα∥γ⇒α∥a其中正确的命题是________(填序号)．『解析』②正确．①错在α与β可能相交．③④错在a 可能在α内． 『答案』②2．如图所示，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件______时，有MN ∥平面B 1BDD 1.『解析』由平面HNF ∥平面B 1BDD 1知，当M 点满足在线段FH 上有MN ∥平面B 1BDD 1.『答案』M ∈线段FH考点一线面平行、面面平行的基本问题1．有互不相同的直线m ，n ，l 和平面α，β，给出下列四个命题： ①若m ⊂α，l ∩α＝A ，A ∉m ，则l 与m 不共面；②若m ，l 是异面直线，l ∥α，m ∥α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α； ③若m ，n 是相交直线，m ⊂α，m ∥β，n ⊂α，n ∥β，则α∥β； ④若l ∥α，m ∥β，α∥β，则l ∥m . 其中真命题有________个．『解析』由异面直线的判定定理，易知①是真命题；由线面平行的性质知，存在直线l ′⊂α，m ′⊂α，使得l ∥l ′，m ∥m ′，∵m ，l 是异面直线，∴l ′与m ′是相交直线，又n ⊥l ，n ⊥m ，∴n ⊥l ′，n ⊥m ′，故n ⊥α，②是真命题；由线面平行的性质和判定知③是真命题；满足条件l ∥α，m ∥β，α∥β的直线m ，l 或相交或平行或异面，故④是假命题．『答案』32．(2014·济宁模拟)过三棱柱ABC A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1 平行的直线共有________条．『解析』过三棱柱ABC A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，E 1F 1，EE 1，FF 1，E 1F ，EF 1均与平面ABB 1A 1平行，故符合题意的直线共6条．『答案』6『备课札记』『类题通法』解决有关线面平行、面面平行的基本问题要注意(1)判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽视．(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断． (3)举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．考点二直线与平面平行的判定与性质『典例』 (2013·新课标卷Ⅱ)如图，直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C A 1DE 的体积． 『解』 (1)证明：连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点． 又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD . (2)因为ABC A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD .由已知AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB .又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3， 故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D . 所以VC A 1DE ＝13×12×6×3×2＝1.『备课札记』在本例条件下，线段BC 1上是否存在一点M 使得DM ∥平面A 1ACC 1？ 解：存在．当M 为BC 1的中点时成立． 证明如下：连结DM ，在△ABC 1中， D ，M 分别为AB ，BC 1的中点 ∵DM 綊12AC 1，又DM ⊄平面A 1ACC 1AC 1⊂平面A 1ACC 1，∴DM ∥平面A 1ACC 1.『类题通法』证明线面平行的关键点及探求线线平行的方法(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线； (2)利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；(3)注意说明已知的直线不在平面内，即三个条件缺一不可． 『针对训练』如图，已知四棱锥P ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝DC ＝12AB ＝1，M 是PB 的中点．(1)求证：AM ＝CM ；(2)若N 是PC 的中点，求证：DN ∥平面AMC .证明：(1)∵在直角梯形ABCD 中，AD ＝DC ＝12AB ＝1，∴AC ＝2，BC ＝2，∴BC ⊥AC ，又P A ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴BC ⊥P A ，又P A ∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面P AC ，∴BC ⊥PC .在Rt △P AB 中，M 为PB 的中点，则AM ＝12PB ，在Rt △PBC 中，M 为PB 的中点， 则CM ＝12PB ，∴AM ＝CM .(2)如图，连结DB 交AC 于点F ， ∵DC 綊12AB ，∴DF ＝12FB .取PM 的中点G ，连结DG ，FM ， 则DG ∥FM ，又DG ⊄平面AMC ，FM ⊂平面AMC ， ∴DG ∥平面AMC .连结GN ，则GN ∥MC ，GN ⊄平面AMC ， MC ⊂平面AMC . ∴GN ∥平面AMC ， 又GN ∩DG ＝G ，∴平面DNG ∥平面AMC ， 又DN ⊂平面DNG ，∴DN ∥平面AMC .考点三平面与平面平行的判定与性质『典例』 (2013·陕西高考)如图，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 是底面中心， A 1O ⊥底面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.(1)证明：平面 A 1BD ∥平面CD 1B 1； (2)求三棱柱ABD A 1B 1D 1的体积． 『解』 (1)证明：由题设知，BB 1綊DD 1， ∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形， ∴BD ∥B 1D 1. 又BD 平面CD 1B 1， ∴BD ∥平面CD 1B 1. ∵A 1D 1綊B 1C 1綊BC ，∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥D 1C . 又A 1B 平面CD 1B 1， ∴A 1B ∥平面CD 1B 1. 又∵BD ∩A 1B ＝B ， ∴平面A 1BD ∥平面CD 1B 1. (2)∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O 是三棱柱ABD A 1B 1D 1的高． 又∵AO ＝12AC ＝1，AA 1＝2，∴A 1O ＝AA 21－OA 2＝1.又∵S △ABD ＝12×2×2＝1，∴VABD A 1B 1D 1＝S △ABD ×A 1O ＝1.『备课札记』『类题通法』判断面面平行的常用方法(1)利用面面平行的判定定理；(2)面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)；(3)利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．『针对训练』如图，在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B，D1D，DA的中点．求证：(1)平面AD1E∥平面BGF；(2)D1E⊥AC.证明：(1)∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F綊BE.∴四边形BED1F是平行四边形，∴D1E∥BF；又∵D1E⊄平面BGF，BF⊂平面BGF，∴D1E∥平面BGF.∵FG是△DAD1的中位线，∴FG∥AD1；又AD1⊄平面BGF，FG⊂平面BGF，∴AD1∥平面BGF.又∵AD1∩D1E＝D1，∴平面AD1E∥平面BGF.(2)连结BD，B1D1，∵底面是正方形，∴AC⊥BD.∵D1D⊥AC，D1D∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.∵D1E⊂平面BDD1B1，∴D1E⊥AC.『课堂练通考点』1．已知直线a，b，平面α，则以下三个命题：①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥b，a∥α，则b∥α；③若a∥α，b∥α，则a∥b.其中真命题的个数是________．『解析』对于①，若a ∥b ，b ⊂α，则应有a ∥α或a ⊂α，所以①不正确；对于②，若a ∥b ，a ∥α，则应有b ∥α或b ⊂α，因此②不正确；对于③，若a ∥α，b ∥α，则应有a ∥b 或a 与b 相交或a 与b 异面，因此③是假命题．综上，在空间中，以上三个命题都是假命题．『答案』02．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是________．『解析』对于图形①，平面MNP 与AB 所在的对角面平行，即可得到AB ∥平面MNP ；对于图形④，AB ∥PN ，即可得到AB ∥平面MNP ；图形②③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行．『答案』①④3．(2014·南京学情调研)已知α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线， 下列命题：(1)若m ∥n ，n ∥α，则m ∥α； (2)若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；(3)若α∩β＝n ，m ∥α，m ∥β，则m ∥n ； (4)若α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n . 其中是真命题的是________(填序号)．『解析』对于(1)，由m ∥n ，n ∥α得m ∥α或m ⊂α，故(1)错误；根据空间中直线与平面的平行、垂直关系进行一一判断．『答案』(2)(3)(4)4.如图所示，在四面体ABCD 中，M ，N 分别是△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．『解析』连结AM 并延长，交CD 于E ，连结BN ，并延长交CD 于F ，由重心性质可知，E ，F 重合为一点，且该点为CD 的中点E ，由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB .因此，MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .『答案』平面ABC、平面ABD5.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.证明：(1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC.∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形．∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG.∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.。
高三数学复习(理)：第1讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程[学生用书P164]1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l的倾斜角α的取值范围是[0°，180°)．2．斜率公式(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan_α．(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝y2－y1 x2－x1．3．直线方程的五种形式名称已知条件方程适用范围点斜式斜率k与点(x1，y1)y－y1＝k(x－x1)不含直线x＝x1斜截式斜率k与直线在y轴上的截距by＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1 (x 1≠x 2，y 1≠y 2)不含直线x ＝x 1(x 1＝x 2)和直线y ＝y 1(y 1＝y 2) 截距式 直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，bx a ＋y b ＝1 (a ≠0，b ≠0) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式Ax ＋By ＋C ＝0 (A 2＋B 2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用常用结论1．直线倾斜角和斜率的关系不是倾斜角越大，斜率k 就越大，因为k ＝tan α，当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，α越大，斜率k 就越大，同样α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时也是如此，但当α∈[0，π)且α≠π2时就不是了．2．五种特殊位置的直线方程 (1)x 轴：y ＝0. (2)y 轴：x ＝0.(3)平行于x 轴的直线：y ＝b (b ≠0)． (4)平行于y 轴的直线：x ＝a (a ≠0)． (5)过原点且斜率存在的直线：y ＝kx .一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( ) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(4)经过点P (x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示．( )(5)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)对倾斜角的概念掌握不牢；(2)由直线方程求斜率的思路不清；(3)忽视直线斜率不存在的情况；(4)忽视截距为0的情况．1．若直线x＝2的倾斜角为α，则α＝________；若直线y＝2的倾斜角为β，则β＝________．答案：90°0°2．直线l：x sin 30°＋y cos 150°＋a＝0的斜率为________．解析：设直线l的斜率为k，则k＝－sin 30°cos 150°＝33.答案：3 33．过直线l：y＝x上的点P(2，2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为________．解析：①若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x＝2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m的斜率k＝0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；③若直线m的斜率存在且不为0，设其方程为y－2＝k(x－2)，令y＝0，得x＝2－2k，依题意有12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2k×2＝2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1k＝1，解得k＝12，所以直线m的方程为y－2＝12(x－2)，即x－2y＋2＝0.综上可知，直线m的方程为x－2y＋2＝0或x＝2.答案：x－2y＋2＝0或x＝24．过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________．解析：当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋ya ＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5，所以直线方程为x ＋y －5＝0. 答案：3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0[学生用书P165]直线的倾斜角与斜率(典例迁移)(1)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.[)0，π B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π(2)直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．【解析】 (1)设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.因为sin α∈[－1，1]，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π，故选B.(2)如图，因为k AP ＝1－02－1＝1，k BP ＝3－00－1＝－3，所以直线l 的斜率k ∈(]－∞，－3∪[)1，＋∞. 【答案】 (1)B (2)(]－∞，－3∪[)1，＋∞【迁移探究1】 (变条件)若将本例(2)中P (1，0)改为P (－1，0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围．解：因为P (－1，0)，A (2，1)，B (0，3)， 所以k AP ＝1－02－（－1）＝13，k BP ＝3－00－（－1）＝ 3.如图可知，直线l 斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.【迁移探究2】 (变条件)若将本例(2)中的B 点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的范围．解：如图，直线P A 的倾斜角为45°，直线PB 的倾斜角为135°，由图象知l 的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤 ①求出斜率k ＝tan α的取值范围；②利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围． (2)斜率的求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tanα求斜率；②公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．[提醒] 直线倾斜角的范围是[)0，π，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，π2与⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π三种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当倾斜角α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，斜率k ∈[)0，＋∞；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，斜率k ∈()－∞，0.1．若点A (4，3)，B (5，a )，C (6，5)三点共线，则a 的值为________． 解析：因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.答案：42．已知点(－1，2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0(a ≠0)的同侧，则直线l倾斜角的取值范围是________．解析：点(－1，2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0同侧的充要条件是(－a－2＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫33a ＋1>0，解得－3<a <－1，即直线l 的斜率的范围是(－3，－1)，故其倾斜角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，3π4.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，3π4求直线的方程(师生共研)根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5，10)，且与原点的距离为5.【解】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0≤α＜π)，从而cos α＝±31010，则k＝tan α＝±13.故所求直线方程为y＝±13(x＋4)，即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.(2)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为xa＋y12－a＝1，又直线过点(－3，4)，从而－3a＋412－a＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0满足题意；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋10－5k＝0.由点到直线的距离公式，得|10－5k|k2＋1＝5，解得k＝34.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.求直线方程的注意事项(1)在求直线方程时，根据题目的条件选择适当的形式．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类与整合思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．(3)重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的适用性．求满足下列条件的直线方程：(1)经过点A(－5，2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍；(2)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．解：(1)当直线不过原点时，设所求直线方程为x2a＋ya＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a＝－12，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－25，所以直线方程为y＝－25x，即2x＋5y＝0.故所求直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.(2)由题意可知，所求直线的斜率为±1.又过点(3，4)，由点斜式得y－4＝±(x－3)．所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.直线方程的综合问题(典例迁移)(一题多解)已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．【解】方法一：设直线l的方程为xa ＋yb＝1(a>0，b>0)，将点P(3，2)代入得3 a ＋2b＝1≥26ab，得ab≥24，从而S△AOB＝12ab≥12，当且仅当3a＝2b时等号成立，这时k＝－ba ＝－23，从而所求直线l的方程为2x＋3y－12＝0.所以△ABO 的面积的最小值为12，所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0. 方法二：依题意知，直线l 的斜率k 存在且k <0， 可设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)， 则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ，0，B (0，2－3k )，S △ABO ＝12(2－3k )⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2k ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋（－9k ）＋4（－k ） ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2（－9k ）·4（－k ）＝12×(12＋12)＝12， 当且仅当－9k ＝4（－k ），即k ＝－23时，等号成立．此时直线l 的方程为2x＋3y －12＝0.所以△ABO 的面积的最小值为12，所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0. 【迁移探究1】 (变问法)若本例条件不变，求|OA |＋|OB |的最小值及此时直线l 的方程．解：方法一：由原例题方法一知3a ＋2b ＝1. 因为|OA |＋|OB |＝a ＋b ，所以(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋2b ＝5＋3b a ＋2a b ≥5＋2 6.当且仅当2a ＝3b ，且3a ＋2b ＝1， 即a ＝3＋6，b ＝2＋6时， |OA |＋|OB |的最小值为5＋2 6. 此时，直线l 的方程为x 3＋6＋y2＋6＝1， 即6x ＋3y －6－36＝0. 方法二：由原例题方法二知|OA |＋|OB |＝3－2k ＋2－3k (k <0) ＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＋(－3k )≥5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ·（－3k ）＝5＋2 6.当且仅当－2k ＝－3k ，即k ＝－63时， |OA |＋|OB |取最小值5＋2 6.此时直线l 的方程为y －2＝－63(x －3)， 即6x ＋3y －6－36＝0.【迁移探究2】 (变问法)若本例条件不变，求P A →·PB →的最大值及此时直线l 的方程．解：由原例题方法二知A (3－2k ，0)，B (0，2－3k )，P A →·PB →＝(－2k ，－2)·(－3，－3k )＝6k ＋6k ＝－[(－6k )＋(－6k )]≤－2 （－6k ）·（－6k ）＝－12，当且仅当－6k ＝－6k 时，即k ＝－1时等号成立，此时直线l 的方程为x ＋y －5＝0.所以P A →·PB →的最大值为－12，所求直线l 的方程为x ＋y －5＝0.(1)给定条件求直线方程的思路①考虑问题的特殊情况，如斜率不存在的情况，截距等于零的情况； ②在一般情况下准确选定直线方程的形式，用待定系数法求出直线方程； ③重视直线方程一般形式的应用，因为它具有广泛的适用性． (2)与直线有关的最值问题的解题思路①借助直线方程，用y 表示x (或用x 表示y )； ②将问题转化成关于x (或y )的函数；③利用函数的单调性或基本不等式求最值．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________．解析：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小．答案：12[学生用书P167]核心素养系列17 直观想象——妙用斜率求解问题一、比较大小已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，且a >b >c >0，则f （a ）a ，f （b ）b ，f （c ）c 的大小关系为________．【解析】作出函数f (x )＝log 2(x ＋1)的大致图象，如图所示，可知当x >0时，曲线上各点与原点连线的斜率随x 的增大而减小，因为a >b >c >0，所以f （a ）a <f （b ）b <f （c ）c . 【答案】f （a ）a <f （b ）b <f （c ）c对于函数f(x)图象上的两点(a，f(a))，(b，f(b))，比较f（a）a与f（b）b的大小时，可转化为这两点与原点连线的斜率来比较大小．二、求最值已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求y＋3x＋2的最大值和最小值．【解】如图，作出y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)的图象(曲线段AB)，则y＋3x＋2表示定点P(－2，－3)和曲线段AB上任一点(x，y)的连线的斜率k，连接P A，PB，则k P A ≤k≤k PB.易得A(1，1)，B(－1，5)，所以k P A＝1－（－3）1－（－2）＝43，k PB＝5－（－3）－1－（－2）＝8，所以43≤k≤8，故y＋3x＋2的最大值是8，最小值是43.对于求形如k＝y2－y1x2－x1，y＝c＋dxa＋bx的最值问题，可利用定点与动点的相对位置，转化为求直线斜率的范围，借助数形结合进行求解．三、证明不等式已知a，b，m∈(0，＋∞)，且a<b，求证：a＋mb＋m>ab.【证明】如图，设点P，M的坐标分别为(b，a)，(－m，－m)．因为0<a<b，所以点P在第一象限，且位于直线y＝x的下方．又m>0，所以点M在第三象限，且在直线y＝x上．连接OP，PM，则k OP＝ab，k MP＝a＋m b＋m.因为直线MP的倾斜角大于直线OP的倾斜角，且两条直线的倾斜角都是锐角，所以k MP>k OP，即a＋mb＋m > a b.根据所证不等式的特点，寻找与斜率公式有关的信息，从而转变思维角度，构造直线斜率解题，这也是解题中思维迁移的一大技巧，可取得意想不到的效果．[学生用书P401(单独成册)][A级基础练]1．倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是()A.3x－y＋1＝0B．3x－y－3＝0C.3x＋y－3＝0D.3x＋y＋3＝0解析：选D.由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1，0)，所以方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.2．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( )A ．ab >0，bc <0B ．ab >0，bc >0C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <0解析：选A.由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b .易知－a b <0且－cb >0，故ab >0，bc <0.3．两直线x m －y n ＝a 与x n －ym ＝a (其中a 为不为零的常数)的图象可能是( )解析：选B.直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －ym ＝a 可化为y ＝mn x －ma ，由此可知两条直线的斜率同号．4．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2，0)∪(0，2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C.令x ＝0，得y ＝b2， 令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2，0)∪(0，2]．5．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1，1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C.因为直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1，1)， 所以a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1， 所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．所以直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.6.直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率k 的取值范围是________．解析：设直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k .令－3＜1－2k ＜3，解不等式得k ＜－1或k ＞12. 答案：k ＜－1或k >127．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是________．解析：由题意可知a ≠0.当x ＝0时，y ＝a ＋2. 当y ＝0时，x ＝a ＋2a .所以a ＋2a ＝a ＋2，解得a ＝－2或a ＝1. 答案：－2或18．设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值．所以b 的取值范围是[－2，2]． 答案：[－2，2]9．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3，4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3，3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)×⎝ ⎛⎭⎪⎫4k ＋3＝±6，解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6， 所以b ＝±1.所以直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10．已知射线l 1：y ＝4x (x ≥0)和点P (6，4)，试在l 1上求一点Q 使得PQ 所在直线l 和l 1以及直线y ＝0在第一象限围成的面积达到最小值，并写出此时直线l 的方程．解：设点Q 坐标为(a ，4a )，PQ 与x 轴正半轴相交于M 点． 由题意可得a ＞1，否则不能围成一个三角形． PQ 所在的直线方程为y －4＝4a －4a －6(x －6)，令y ＝0，x ＝5aa －1， 因为a ＞1，所以S △OQM ＝12×4a ×5aa －1，则S △OQM ＝10a 2a －1＝10⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2－2a ＋1＋2a －2＋1a －1＝ 10⎣⎢⎡⎦⎥⎤（a －1）＋1a －1＋2≥40， 当且仅当(a －1)2＝1时取等号． 所以a ＝2时，Q 点坐标为(2，8)， 所以此时直线l 的方程为x ＋y －10＝0.[B 级 综合练]11．已知直线(a －1)x ＋y －a －3＝0(a >1)，当此直线在x ，y 轴上的截距和最小时，实数a 的值是( )A ．1B ． 2C ．2D ．3解析：选D.当x ＝0时，y ＝a ＋3，当y ＝0时，x ＝a ＋3a －1，令t ＝a ＋3＋a ＋3a －1＝5＋(a －1)＋4a －1.因为a >1，所以a －1>0.所以t ≥5＋2（a －1）·4（a －1）＝9.当且仅当a －1＝4a －1，即a ＝3时，等号成立．12．若直线l ：kx －y ＋2＋4k ＝0(k∈R )交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，则当△AOB 的面积取最小值时直线l 的方程为( )A ．x －2y ＋4＝0B ．x －2y ＋8＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选 B.由l 的方程，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4k k ，0，B (0，2＋4k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋4k k <0，2＋4k >0，解得k >0.因为S ＝12|OA |·|OB |＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋4k k ·|2＋4k |＝12·（2＋4k ）2k ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫16k ＋4k ＋16≥12(2×8＋16)＝16，当且仅当16k ＝4k ，即k ＝12时等号成立．此时l的方程为x －2y ＋8＝0.13．已知动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0，c ＞0)恒过点P (1，m )且点Q (4，0)到动直线l 的最大距离为3，则12a ＋2c 的最小值为________．解析：因为动直线l ：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0，c ＞0)恒过点P (1，m )，所以a ＋bm ＋c －2＝0，又点Q (4，0)到动直线l 的最大距离为3，所以（4－1）2＋（－m ）2＝3，解得m ＝0，所以a ＋c ＝2，则12a ＋2c ＝12(a ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12(52＋2c 2a ·2a c )＝94，当且仅当c ＝2a ＝43时取等号． 答案：9414.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1， k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )， 所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1，0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.[C 级 提升练]15．我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是圆内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆的周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就．现作出圆x 2＋y 2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为( )A ．x ＋(2－1)y －2＝0B ．(1－2)x －y ＋2＝0C ．x －(2＋1)y ＋2＝0D ．(2－1)x －y ＋2＝0解析：选C.如图所示可知A (2，0)，B (1，1)，C (0，2)，D (－1，1)， 所以直线AB ，BC ，CD 的方程分别为y AB ＝1－01－2(x －2)，y BC ＝(1－2)x ＋2， y CD ＝(2－1)x ＋ 2. 整理为一般式即 x ＋(2－1)y －2＝0， (1－2)x －y ＋2＝0， (2－1)x －y ＋2＝0.16．已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与两点A (－1，0)，B (1，0)连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是____________．解析：设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3，得y x ＋1·yx －1＝3，即y 2＝3x 2－3.联立⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋3m ＝0，y 2＝3x 2－3，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2－3x 2＋23m x ＋6＝0.要使直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与两点A (－1，0)，B (1，0)连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则Δ＝⎝⎛⎭⎪⎫23m 2－24⎝ ⎛⎭⎪⎫1m 2－3≥0，即m 2≥16. 所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－66∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－66∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫66，＋∞。
高中数学第一轮复习
高中数学第一轮复习1高中数学第一轮复习建构知识网络第一轮复习应将教材中大量的数学概念、定理、公式等陈述性知识，让学生在主动参与、积极构建的基础上，进行梳理、归纳，按教材中每章小结的知识网络图形成本章的知识结构;将教材中章与章之间的知识网络按知识的内在联系和规律，形成中学数学学科越来越有层次的知识体系和网络，以便应用时能迅速、准确地提取相关知识，解决数学问题。
这样，学生在整个学习过程中会体会到教材所蕴涵的数学思想、数学，从而形成解决问题的方式。
比如，对于“函数”这一章的复习，学生在教师指导下首先将高中所学的函数知识(函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等)进行系统梳理，并用简明的图表形式把基础知识进行串联，以便找出自己的缺漏，明确复习的重点，合理安排复习计划。
否则，学生在梳理知识的过程中过于被动、机械，只是将课本或是参考书中的内容抄在本子上，就会将知识与方法隔裂开来，整理的东西自然就没什么用。
注重基础，立足教材第一轮复习要注重基础、立足教材。
即要认真阅读、梳理教材，挖掘教材中概念、定理、公式和习题的可变因素进行深入的理解、应用，夯实教材的基础知识、基本技能、基本方法和基本题型。
比如，“数列”这一章中的等差数列和等比数列的前n项求和公式的推导过程分别使用了“倒序相加法”和“错位相减法”，而这两种方法又是数列求和的重要方法。
因此，在复习中我们要紧扣课本，对课本中的例题、知识点加以概括和延伸，达到举一反三、触类旁通的效果;要通过师生共同挖掘一些辐射作用强的知识点，以点连成线，以线连成面，构成一个严格有序的知识体系;要通过分析综合、比较归类、抽象概括、归纳演绎等思维方法，把长期学习的各部分知识“组装”起来，融会贯通，透彻理解，使之形成系统化知识。
2高中数学必修一复习策略全面复习，不忘第一轮复习为全面复习阶段，指导思想是“既要全面系统地梳理知识，不留空白和死角，又要适当突出重点”。
按《考试说明》对知识内容的不同层次要求，全面系统地复习，切实抓好“三基”的学习，形成知识网络，以求融会贯通。
2021届高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1讲直线的倾斜角斜率与直线的方程创新教学案含解析
第八章平面解析几何第1讲直线的倾斜角、斜率与直线的方程[考纲解读］ 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式，并能根据两条直线的斜率判断这两条直线的平行或垂直关系．（重点)2．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等），并了解斜截式与一次函数的关系．（难点）[考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲是命题的热点，但很少独立命题．预测2021年高考对本讲内容将考查:①直线倾斜角与斜率的关系、斜率公式；②直线平行与垂直的判定或应用，求直线的方程．试题常以客观题形式考查,难度不大。
1。
直线的斜率(1）当α≠90°时，tanα表示直线l的斜率，用k表示，即错误!k ＝tanα。
当α＝90°时，直线l的斜率k不存在．（2)斜率公式给定两点P1(x1,y1）,P2（x2,y2)(x1≠x2)，经过P1,P2两点的直线的斜率公式为错误!k＝错误!.2．直线方程的五种形式名称已知条件方程适用范围点斜式斜率k与点（x1，y1）错误!y－y1＝k（x－x1)直线不垂直于x轴斜截式斜率k与直线在y轴上的截距b错误!y＝kx＋b直线不垂直于x轴两点式两点（x1,y1），(x2，y2）错误!错误!＝错误!（x1≠x2,y1≠y2)直线不垂直于x轴和y轴截距式直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b错误!错误!＋错误!＝1（a≠0，b≠0)直线不垂直于x轴和y轴,且不过原点一般式—错误!Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）任何情况1．概念辨析（1）直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α。
( )（2）斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(3）经过点P（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．( ）(4)经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)（x2－x1）＝(x－x1）（y2－y1)表示．（）答案(1）×(2)×（3)×（4）√2．小题热身(1）直线l经过原点和点（－1，－1),则直线l的倾斜角是( ）A．45° B．135°C．135°或225° D．60°答案A解析由已知,得直线l的斜率k＝错误!＝1，所以直线l的倾斜角是45°.(2）在平面直角坐标系中，直线错误!x＋y－3＝0的倾斜角是（)A.错误!B。
高中数学一轮总复习解析几何重点知识整理
高中数学一轮总复习解析几何重点知识整理解析几何是高中数学中的一门重要的分支，它通过代数方法研究几何问题，是数学与几何相结合的产物。
在高中数学的学习中，解析几何占据着很重要的地位。
本文将为大家总结解析几何的重点知识，并进行整理。
一、直线与圆的方程在解析几何中，直线和圆是最基本的几何图形。
直线的方程可以通过点斜式、两点式、截距式等不同的表达方式来表示。
其中最常用的是点斜式，表示为 y - y₁ = k(x - x₁)。
其中 (x₁, y₁) 是直线上的一点，k 是直线的斜率。
圆的方程有两种形式，一是标准方程：(x - a)² + (y - b)² = r²，其中 (a,b) 是圆心坐标，r 是半径；二是一般方程：x² + y² + Dx + Ey + F= 0。
二、直线与圆的交点直线与圆的交点是解析几何的一个重要概念。
当直线与圆相交时，可以通过解方程的方法求得交点的坐标。
例如，已知直线 L: 2x + y - 3 = 0 和圆 C: x² + y² - 4x - 2y - 8 = 0，求直线 L 与圆 C 的交点坐标。
解：将直线的方程代入圆的方程中，得到 x² + (2x + 3)² - 4x - 2(2x + 3) - 8 = 0。
整理得到 5x² + 10x - 10 = 0，解得 x₁ = 1，x₂ = -2。
将 x 的值代入直线的方程中，得到 y₁ = 1，y₂ = 5。
所以直线 L 和圆 C 的交点坐标为 (1, 1) 和 (-2, 5)。
三、圆与圆的位置关系圆与圆之间的位置关系有三种情况：相离、相切、相交。
当两个圆相离时，它们的半径之和小于两圆之间的距离。
当两个圆相切时，它们的半径之和等于两圆之间的距离。
当两个圆相交时，它们的半径之和大于两圆之间的距离。
四、直线与平面的位置关系直线与平面之间的位置关系有两种情况：平行和相交。
2019年《·高考总复习》数学：第七章 第1讲 直线的方程
截距式
ax＋by＝1(ab≠0)
不含垂直于坐标轴和 过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为 零)
平面直角坐标系内的 直线都适用
2019年7月10日
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4.过点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程 (1)若 x1＝x2，且 y1≠y2， 则 直 线 垂 直 于 x 轴 ， 方 程 为 _____x_＝__x_1_________. (2) 若 x1≠x2 ， 且 y1 ＝ y2 ， 则 直 线 垂 直 于 y 轴，方程为 ______y_＝__y1_________. (3)若 x1≠x2，且 y1≠y2，直线方程为yy2－－yy11＝xx2－－xx11.
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【规律方法】请注意本题是指直线 l 与线段 AB(而不是直线
AB)有公共点.首先求出直线 PA ，PB 的斜率(边界)，然后数形结
合利用倾斜角及斜率的变化规律得出斜率的取值范围；也可以 利用特殊值法选定结果，如 kPA＝5，kPB＝－12，最终的结果只可 能是－12，5或－∞，－12∪[5，＋∞)两种情形，过点 P 作 x 轴的平行线(k＝0)，此直线显然不合题意，即斜率的取值范围内 不应含 0，故应为－∞，－12∪[5，＋∞).
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5.线段的中点坐标公式
若点 P1，P2 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段 P1P2 的
x1＋x2
中点 M 的坐标为(x，y)，则x＝
2
，
y1＋y2
y＝
2
第1讲 直线及其方程
高三数学复习第1讲 直线及其方程【必做题】1．过点(1, 3)P -且垂直于直线230x y -+=的直线方程为 （ ）A ．210x y +-=B ．250x y +-=C ．250x y +-=D ．270x y -+=2．经过两点A (4,0),B (0,-3)的直线方程是 （ ）A ．34120x y --=B ．34120x y +-=C ．43120x y -+=D ．43120x y ++=3．直线x －3y ＋a ＝0(a 为常数)的倾斜角α为 ( )A ．π6B ．π3C ．23πD ．56π 4．过点(－1,2)且倾斜角为150°的直线方程为 ( )A ．3x －3y ＋6＋3＝0B ．3x －3y －6＋3＝0C ．3x ＋3y ＋6＋3＝0D ．3x ＋3y －6＋3＝05．已知A (3,1)，B (－1，k )，C (8,11)三点共线，则k 的取值是 ( )A ．－6B ．－7C ．－8D ．－96．直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是 ( )A ．1B ．－1C ．－2或－1D ．－2或17．过点M (3，－4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 ．8．直线x sin α－y ＋1＝0的倾斜角的变化范围是 ．9．过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则a 的取值范围是 ．10．已知△ABC 中，A (1，－4)，B (6,6)，C (－2,0)．求：(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的截距式方程；(2)BC 边的中线所在直线的斜截式方程．11．求下列直线l 的方程：(1) 过点A (0,2)，它的倾斜角的正弦值是35； (2) 过点A (2,1)，它的倾斜角是直线l 1：3x ＋4y ＋5＝0的倾斜角的一半．【选做题】12. 已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，当△ABO 的面积的 最小时直线l 的方程是 ．。
高考一轮复习第8章解析几何第1讲直线的倾斜角斜率与直线的方程
第八章 解析几何第一讲 直线的倾斜角、斜率与直线的方程知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，把x 轴__正向__与直线l__向上__方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__0°__．(2)倾斜角的取值范围为__[0°，180°)__． 知识点二 直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角α的__正切值__叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝__tan_α__，倾斜角是90°的直线斜率不存在．(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(其中x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝__y 2－y 1x 2－x 1__．知识点三 直线方程的五种形式 名称 方程适用范围 点斜式 __y －y 0＝k(x －x 0)__不含直线x ＝x 0 斜截式 __y ＝kx ＋b 不含垂直于x 轴的直线 两点式y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1不含垂直于坐标轴的直线截距式x a ＋y b ＝1 不含垂直于x 轴、平行于x 轴和__过原点的__直线一般式 Ax ＋By ＋C ＝0 其中要求__A 2＋B 2≠0__适用于平面直角坐标系内的所有直线重要结论直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系： α 0° 0°＜α＜90° 90° 90°＜α＜180° k 0k ＞0且α越大，k 就越大不存在k ＜0且α越大，k 就越大双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．( × ) (2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．( × ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角一定相等．( √ )(4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示．( × ) (5)不经过原点的直线都可以用x a ＋yb＝1表示．( × )(6)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示．( √ )题组二 走进教材2．(必修2P 38T3)经过两点A(4,2y ＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为3π4，则y ＝( B )A ．－1B ．－3C ．0D ．2[解析] 由2y ＋1－－34－2＝2y ＋42＝y ＋2，得y ＋2＝tan 3π4＝－1，∴y ＝－3．3．(必修2P 100A 组T9)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为__3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0__．[解析] 当截距为0时，直线方程为3x －2y ＝0； 当截距不为0时，设直线方程为x a ＋ya＝1，则2a ＋3a ＝1，解得a ＝5．所以直线方程为x ＋y －5＝0． 题组三 走向高考4．(2016·北京，7)已知A(2,5)，B(4,1)，若点P(x ，y)在线段AB 上，则2x －y 的最大值为( C ) A ．－1 B ．3 C ．7D ．8[解析] 线段AB 的方程为y －1＝5－12－4(x －4)， 2≤x≤4．即2x ＋y －9＝0,2≤x≤4，因为P(x ，y)在线段AB 上，所以2x －y ＝2x －(－2x ＋9)＝4x －9．又2≤x≤4，则－1≤4x－9≤7，故2x －y 最大值为7．5．(2010·辽宁)已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( D )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π[解析] 由题意可知切线的斜率k ＝tan α＝－4exe x＋12＝－4e x＋1ex ＋2，∴－1≤tan α＜0，又0≤α＜π，∴3π4≤α＜π，故选D ．考点突破·互动探究考点一 直线的倾斜角与斜率——自主练透例 1 (1)(2021·兰州模拟)直线2xcos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的变化范围是( B )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3(2)(2020·贵州遵义航天高级中学期中，11)经过点P(0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围为( A )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，πB ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤34π，π (3)已知曲线f(x)＝ln x 的切线经过原点，则此切线的斜率为( C )A ．eB ．－eC ．1eD ．－1e[解析] (1)直线2xcos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α．由于α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．由于θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3，即倾斜角的变化范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3．(2)如图所示，设直线l 的倾斜角为α，α∈[0，π)． k PA ＝－1＋20－1＝－1，k PB ＝－1－10－2＝1．∵直线l 与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点， ∴－1≤tan α≤1．∴α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34π，π．故选A ．(3)解法一：∵f(x)＝ln x ，∴x ∈(0，＋∞)，f′(x)＝1x ．设切点P(x 0，ln x 0)，则切线的斜率k ＝f′(x 0)＝1x 0＝ln x 0x 0，∴ln x 0＝1，x 0＝e ，∴k ＝1x 0＝1e．解法二(数形结合法)：在同一坐标系中作出曲线f(x)＝ln x 及曲线f(x)＝ln x 经过原点的切线，如图所示，数形结合可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C ．[引申1]若将例(2)中“有公共点”改为“无公共点”，则直线l 的斜率的范围为__(－∞，－1)∪(1，＋∞)__．[引申2]若将题(2)中A(1，－2)改为A(－1,0)，其它条件不变，求直线l 斜率的取值范围为__(－∞，－1]∪[1，＋∞)__，倾斜角的取值范围为__⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4__．[解析]∵P(0，－1)，A(－1,0)，B(2,1)，∴k AP ＝－1－00－－1＝－1，k BP ＝1－－12－0＝1．如图可知，直线l 斜率的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4．名师点拨(1)求倾斜角的取值范围的一般步骤：①求出斜率k ＝tan α的取值范围，但需注意斜率不存在的情况；②利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆，数形结合确定倾斜角α的取值范围．(2)求直线斜率的方法： ①定义法：k ＝tan α； ②公式法：k ＝y 2－y 1x 2－x 1；③导数法：曲线y ＝f(x)在x 0处切线的斜率k ＝f′(x 0)．(3)注意倾斜角的取值范围是[0，π)，若直线的斜率不存在，则直线的倾斜角为π2，直线垂直于x 轴．〔变式训练1〕(1)(2021·大庆模拟)直线xsin α＋y ＋2＝0的倾斜角的范围是( B ) A ．[0，π)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π (2)(多选题)(2021·安阳模拟改编)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l ：y ＝k(x －2)＋1与线段AB 相交，则k 的值可以是( ABC )A ．12 B ．－2 C ．0D ．1[解析] (1)设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝－sin α，所以－1≤tan θ≤1，又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π，选B ．(2)由已知直线l 恒过定点P(2,1)，如图所示，若l 与线段AB 相交，则k PA ≤k≤k PB ， ∵k PA ＝－2，k PB ＝12，∴－2≤k≤12，故选A 、B 、C ．考点二 直线的方程——师生共研例2 求适合下列条件的直线的方程： (1)在y 轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是35；(2)经过点A(－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半； (3)过点(5,2)且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍； (4)与直线3x －4y －5＝0关于y 轴对称．[解析] (1)设直线的倾斜角为α，则sin α＝35．∴cos α＝±45，直线的斜率k ＝tan α＝±34．又直线在y 轴上的截距是－5， 由斜截式得直线方程为y ＝±34x －5．即3x －4y －20＝0或3x ＋4y ＋20＝0．(2)由3x ＋y ＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为3．又直线过点(－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)，即3x －y ＋6＝0． (3)若直线过原点，则其斜率k ＝25，此时直线方程为y ＝25x ，即2x －5y ＝0．若直线不过原点，则设其方程为x 2b ＋y b ＝1，由52b ＋2b ＝1得b ＝92，故所求直线方程为x 9＋2y9＝1，即x＋2y －9＝0．∴所求直线的方程为x ＋2y －9＝0或2x －5y ＝0．(4)直线3x －4y －5＝0的斜率为34，与y 轴交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，故所求直线的斜率为－34，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－54，∴所求直线方程为y ＝－34x －54，即3x ＋4y ＋5＝0．名师点拨求直线方程应注意的问题(1)要确定直线的方程，只需找到直线上两个点的坐标，或直线上一个点的坐标与直线的斜率即可．确定直线方程的常用方法有两种：①直接法：根据已知条件确定适当的直线方程形式，直接写出直线方程；②待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定的系数，最后代入求出直线的方程．(2)选择直线方程时，应注意分类讨论思想的应用：选用点斜式或斜截式前，先讨论直线的斜率是否存在；选用截距式前，先讨论在两坐标轴上的截距是否存在或是不是0．〔变式训练2〕(1)已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B(3，－3)，C(0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为__x ＋13y ＋5＝0__．(2)直线3x －y ＋4＝0绕其与x 轴的交点顺时针旋转π6所得直线的方程为__3x －3y ＋4＝0__．(3)已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，则直线l 的方程为__x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0__．[解析] (1)由题意可知BC 的中点为H ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴k AH ＝0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－5－32＝－113．故所求直线的方程为y －0＝－113(x ＋5)，即x ＋13y ＋5＝0．(2)直线3x －y ＋4＝0与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－433，0，斜率为3，倾斜角θ为π3，可知所求方程直线的倾斜角为π6，斜率k ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫或由k ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6求，故所求直线的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋433，即3x －3y ＋4＝0．(3)设直线方程为y ＝16x ＋b ，则3b 2＝3，∴b ＝±1，故所求直线方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0．考点三 直线方程的应用——多维探究例3 已知直线l 过点M(2,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求： (1)当△AOB 面积最小时，直线l 的方程；(2)当在两坐标轴上截距之和取得最小值时，直线l 的方程； (3)当|MA|·|MB|取最小值时，直线l 的方程； (4)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l 的方程． [解析] 设直线的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，则2a ＋1b＝1．(1)∵2a ＋1b ≥22ab ⇒12ab≥4，当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时，△AOB 面积S ＝12ab 有最小值为4．此时，直线l 的方程是x 4＋y2＝1．即x ＋2y －4＝0．(2)a ＋b ＝(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ＝3＋2b a ＋a b ≥3＋22b a ·a b ＝3＋22．故a ＋b 的最小值为3＋22，此时2ba＝a b ，求得b ＝2＋1，a ＝2＋2．此时，直线l 的方程为x 2＋2＋y2＋1＝1．即x ＋2y －2－2＝0． (3)解法一：设∠BAO ＝θ，则sin θ＝1|MA|，cos θ＝2|MB|，∴|MA|·|MB|＝2sin θcos θ＝4sin 2θ，显然当θ＝π4时，|MA|·|MB|取得最小值4，此时k l ＝－1，所求直线的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y－3＝0．解法二：|MA|·|MB|＝－MA →·MB →＝－(a －2，－1)·(－2，b －1)＝2a ＋b －5＝(2a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b －5＝2b a ＋2ab≥4．当且仅当a ＝b ＝3时取等号，∴|MA|·|MB|的最小值为4，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0． 解法三：若设直线l 的方程为y －1＝k(x －2)，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1k ，0，B(0,1－2k)，∴|MA|·|MB|＝1k 2＋1·4＋4k 2＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1k＋－k ≥4，当且仅当－k ＝－1k ，即k ＝－1时，取等号．故|MA|·|MB|的最小值为4，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0．(4)同(3)|MA|＝1sin θ，|MB|＝2cos θ，∴|MA|2＋|MB|2＝1sin 2θ＋4cos 2θ ＝(sin 2θ＋cos 2θ)⎝⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋4cos 2θ＝5＋cos 2θsin 2θ＋4sin 2θcos 2θ≥9． ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当cos 2θ＝2sin 2θ，即tan θ＝22时取等号∴|MA|2＋|MB|2的最小值为9，此时直线的斜率k ＝－22， 故所求直线的方程为y －1＝－22(x －2)， 即2x ＋2y －2(2＋1)＝0．注：本题也可设直线方程为y －1＝k(x －2)(k ＜0)求解．名师点拨利用最值取得的条件求解直线方程，一般涉及函数思想即建立目标函数，根据其结构求最值，有时也涉及均值不等式，何时取等号，一定要弄清．〔变式训练3〕已知直线l 过点M(2,1)，且与x 轴、y 轴正半轴分别交于A 、B ，O 为坐标原点．若S △AOB ＝92，求直线l的方程．[解析] 设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1b ＝1，ab ＝9解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝32故所求直线方程为x 3＋y 3＝1或x 6＋2y3＝1，即x ＋y －3＝0或x ＋4y －6＝0．名师讲坛·素养提升(1)定点问题例4 (此题为更换后新题)已知直线l ：kx －y ＋1＋3k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不过第一象限，求k 的取值范围．[解析] (1)证明：直线l 的方程可化为y －1＝k(x ＋3)，故无论k 取何值，直线l 必过定点(－3,1)． (2)令x ＝0得y ＝3k ＋1，即直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧k ＜0，3k ＋1≤0解得k≤－13．故k 的取值范围是(－∞，－13]．(此题为发现的重题，更换新题见上题)已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不过第四象限，求k 的取值范围．[解析] (1)证明：直线l 的方程可化为y －1＝k(x ＋2)，故无论k 取何值，直线l 必过定点(－2,1)． (2)令x ＝0得y ＝2k ＋1，即直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧k≥0，2k ＋1≥0解得k≥0．故取值范围是[0＋∞)．名师点拨过定点A(x 0，y 0)的直线系方程为y －y 0＝k(x －x 0)(k 为参数)及x ＝x 0．方程为y －y 0＝k(x －x 0)是直线过定点A(x 0，y 0)的充分不必要条件．(2)曲线的切线问题例5 (2021·湖南湘潭模拟)经过(2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线与坐标轴围成的三角形面积为( A )A ．2B ．12C ．1D ．3[解析] 设切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，1m ，m≠0，y ＝1x 的导数为y′＝－1x 2，可得切线的斜率k ＝－1m 2，切线方程为y －1m ＝－1m 2(x －m)，代入(2,0)，可得－1m ＝－1m 2(2－m)，解得m ＝1，则切线方程为y －1＝－x ＋1，切线与坐标轴的交点坐标为(0,2)，(2,0)，则切线与坐标轴围成的三角形面积为12×2×2＝2．故选A ．〔变式训练4〕(1)直线y ＝kx －k －2过定点__(1，－2)__．(2)(2018·课标全国Ⅱ)曲线y ＝2ln x 在点(1,0)处的切线方程为__2x －y －2＝0__．。
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第1讲 直线的方程随堂演练巩固1.已知两点A(-1,-5),B(3,-2),直线l 的倾斜角是直线AB 倾斜角的两倍,则直线l 的斜率是( ) A.724 B.247 C.7 D.24【答案】B【解析】因为A(-1,-5),B(3,-2),所以253314AB k -+==+.若设直线AB 的倾斜角为θ,则tan 34θ=.这时直线l 的倾斜角为2θ,其斜率为tan 22322tan 4242371tan 1()4θθθ⨯===--.2.若A(-2,3),B(3,12)()2C m -,,三点共线,则m 的值为( ) A.12 B.12- C.-2 D.2【答案】A【解析】由AB BC k k =,即23232132m --+=,+-得12m =,选A.3.直线x -2cos 30([])63y ααππ+=∈,的倾斜角的变化范围是( ) A.[]64ππ, B.[]63ππ, C.2[]43ππ, D.[]43ππ,【答案】A【解析】直线x -2cos 30y α+=的斜率12cos k α=, ∵[]63αππ∈,,∴12≤cos α≤.故11]2cos k α=∈.设直线的倾斜角为θ,则有tan 1]θ∈,由于[0θ∈,π),∴[]64θππ∈,.4.经过点A(-5,2),且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程是 .【答案】x +2y +1=0或2x +5y =0【解析】设直线在x 轴上的截距为2a ,则其在y 轴上的截距为a ,则直线经过点(2a ,0),(0,a ). 当a =0时,直线的斜率25k =-,此时,直线方程为y =25x -,即2x +5y =0.当0a ≠时,则2005202a a a --=,---得12a =-,此时,直线方程为x +2y +1=0.综上所述,所求直线的方程为x +2y +1=0或2x +5y =0.课后作业夯基基础巩固1.过A(1,1),B(0,-1)两点的直线方程是( )A.111y x +=+ B.1111y x --=-- C.110111y x --=--- D.y =x 【答案】A 【解析】所求直线方程为(1)01(1)10y x ---=,---即111y x +=+.故选A. 2.若直线l :ax +y -2-a =0在x 轴和y 轴上的截距相等,则a 的值是( )A.1B.-1C.-2或-1D.-2或1【答案】D 【解析】由22a a a++=,得a =-2或1. 3.若直线22(23)()4m m x m m y m +-+-=-1在x 轴上的截距为1,则实数m 的值为( )A.1B.2C.12-D.2或12- 【答案】D【解析】∵直线在x 轴上有截距,∴2230m m +-≠,当2230m m +-≠时, 在x 轴上截距为241123m m m -=,+-即22320m m --=, ∴m =2或12m =-. 4.若直线l 与直线y =1,x =7分别交于点P ,Q ,且线段PQ 的中点坐标为(1,-1),则直线l 的斜率为( ) A.13 B.13- C.32- D.23【答案】B【解析】由直线l 与直线y =1,x =7分别交于点P 、Q ,可设11(1)(7)P x Q y ,,,,再由线段PQ 的中点坐标为(1,-1),可解得:1153x y =-,=-,即直线l 上有两点P (-5,1),Q (7,-3),代入斜率公式可解得直线l 的斜率为131573k +==---. 5.直线1l :3x -y +1=0,直线2l 过点(1,0),且2l 的倾斜角是1l 的倾斜角的2倍,则直线2l 的方程为( )A.y =6x +1B.y =6(x -1)C.3(1)4y x =-D.3(1)4y x =-- 【答案】D【解析】设直线1l 的倾斜角为α,则由tan 3α=可求出直线2l 的斜率k =tan 22tan 3241tan ααα==-,-再由直线2l 过点(1,0)即可求得其方程. 6.直线经过A(2,12)(1)(B m m ,,∈R )两点,那么直线l 的倾斜角α的取值范围是( )A.0α≤<πB.04απ≤≤或2απ<<πC.04απ≤≤ D.42αππ≤<或2απ<<π 【答案】B【解析】直线l 的斜率2211112m k m -==-≤,-又直线l 的倾斜角为α,则有tan 1α≤,即tan 0α<或0≤tan 1α≤,所以2π<α<π或04απ≤≤.故选B. 7.经过点A(-2,2)并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程是( )A.x +2y -2=0或x +2y +2=0B.x +2y +2=0或2x +y +2=0C.2x +y -2=0或x +2y +2=0D.2x +y +2=0或x +2y -2=0 【答案】D【解析】设直线在x 轴、y 轴上的截距分别是a 、b ,则有12S =|a b ⋅|=1.∴2ab =±.设直线的方程是1y x a b+=, ∵直线过点(-2,2),代入直线方程得2a -+2b=1,即b =22a a ,+ ∴2222a ab a ==±+.解得12a b =-,⎧⎨=-⎩ 或21a b =,⎧⎨=.⎩ ∴直线方程是112y x +=--或121y x +=,即2x +y +2=0或x +2y -2=0. 8.有一直线20(x a y a a +-=>0,a 是常数),当此直线在x ,y 轴上的截距和最小时,a 的值是( )A.1B.2 2 D.0【答案】A 【解析】直线方程可化为11y x a a +=,因为a >0,所以截距之和12t a a =+≥,当且仅当1a a=,即a =1时取等号.9.直线2x +3y +a =0与两坐标轴围成的三角形的面积为12,则a 的值为 .【答案】12±【解析】令x =0得3a y =-; 令y =0得2a x =-. ∴直线与x 轴,y 轴交点分别为(0)(0)23a a A B -,,,-. ∴12AOBS =⋅|2a -|⋅|3a -|=12. ∴21212a =⨯.∴12a =±. 10.已知A(3,0),B(0,4),动点P (x ,y )在线段AB 上移动,则xy 的最大值等于 .【答案】3【解析】AB 所在直线方程为134y x +=, ∴211()344344y y x x ⋅≤+=. ∴3xy ≤,当且仅当34y x =时取等号. 11.已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3,且过定点A(-3,4).求直线l 的方程.【解】设直线l 的方程是y =k (x +3)+4,它在x 轴、y 轴上的截距分别是4334k k--,+, 由已知,得|(3k 44)(3)k+--|=6, 解得128233k k =-,=-. 所以直线l 的方程为2x +3y -6=0或8x +3y +12=0.12.过点M (0,1)作直线,使它被两直线1l :x 23100y l -+=,:2x +y -8=0所截得的线段恰好被M 所平分,求此直线方程.【解】法一:过点M 且与x 轴垂直的直线是y 轴,它和两已知直线的交点分别是10(0)3,和(0,8),显然不满足中点是点M (0,1)的条件.故可设所求直线方程为y =kx +1,与两已知直线12l l ,分别交于A 、B 两点,联立方程组 13100y kx x y =+,⎧⎨-+=,⎩ ① 1280y kx x y =+,⎧⎨+-=,⎩② 由①解得731A x k =,-由②解得72B x k =+. ∵点M 平分线段AB ,∴2A B M x x x +=,即770312k k +=-+. 解得14k =-,故所求直线方程为x +4y -4=0. 法二:设所求直线与已知直线12l l ,分别交于A 、B 两点.∵点B 在直线2l :2x +y -8=0上,故可设B(t,8-2t).又M (0,1)是AB 的中点,由中点坐标公式,得A(-t,2t-6).∵A 点在直线1l :x -3y +10=0上,∴(-t)-3(2t-6)+10=0,解得t=4.∴B(4,0),A(-4,2),故所求直线方程为x +4y -4=0.13.设直线l 的方程为(a +1)x +y 20(a a +-=∈R ).(1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等,求直线l 的方程;(2)若直线l 不经过第二象限,求实数a 的取值范围.【解】(1)令x =0,得y =a -2.令y =0,得2(1)1a x a a -=≠-+. ∵直线l 在两坐标轴上的截距相等, ∴221a a a --=+. 解之,得a =2或a =0.∴所求的直线l 方程为3x +y =0或x +y +2=0.(2)直线l 的方程可化为y =-(a +1)x +a -2.∵直线l 不过第二象限,∴(1)020a a -+≥,⎧⎨-≤.⎩∴1a ≤-. ∴a 的取值范围为(1]-∞,-.拓展延伸14.已知直线l :kx -y +1+2k =0.(1)证明:直线l 过定点;(2)若直线l 交x 轴负半轴于A,交y 轴正半轴于B,△AOB 的面积为S,试求S 的最小值并求此时直线l 的方程.【解】(1)证明:由已知得k (x +2)+(1-y )=0,∴无论k 取何值,直线过定点(-2,1).(2)令y =0得A 点坐标为1(20)k--,, 令x =0得B 点坐标为(0,2k +1)(k >0), ∴12AOBS =|12k--||2k +1| 1111(2)(21)(44)22k k k k=++=++ 1(44)42≥+=. 当且仅当14k k =,即12k =时取等号. 即△AOB 的面积的最小值为4,此时直线l 的方程为1112x y -++=0,即x -2y +4=0.。