数学归纳法证明经典事例
(完整版)数学归纳法经典例题详解
例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n Λ． 请读者分析下面的证法：证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k Λ． 那么当n =k +1时，有：()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k Λ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3211211211217151513131121k k k k Λ 322221321121++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立．由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．正确方法是：当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k Λ ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式：a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立，并证明你的结论．分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组．⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=60322426321211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3．故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立．下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．因为起始值已证，可证第二步骤．假设n =k 时，等式成立，即a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2)那么当n =k +1时，a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1= k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3]=(k +1)(k 2+2k +3k +6)=(k +1)(k +2)(k +3)=(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2]这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．例3．证明不等式n n 2131211<++++Λ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++Λ．那么当n =k +1时，11131211++++++k k Λ1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k Λ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．例4．已知数列{a n }满足a 1=0，a 2=1，当n ∈N 时，a n +2=a n +1+a n ．求证：数列{a n }的第4m +1项(m ∈N )能被3整除．分析：本题由a n +1=a n +1+a n 求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法．①当m =1时，a 4m +1=a 5=a 4+a 3=(a 3+a 2)+(a 2+a 1)=a 2+a 1+a 2+a 2+a 1=3，能被3整除．②当m =k 时，a 4k +1能被3整除，那么当n =k +1时，a 4(k +1)+1=a 4k +5=a 4k +4+a 4k +3=a 4k +3+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1=a 4k +2+a 4k +1+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1=3a 4k +2+2a 4k +1由假设a 4k +1能被3整除，又3a 4k +2能被3整除，故3a 4k +2+2a 4k +1能被3整除．因此，当m =k +1时，a 4(k +1)+1也能被3整除．由①、②可知，对一切自然数m ∈N ，数列{a n }中的第4m +1项都能被3整除．例5．n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？分析：设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证．当n=2时，由图(1)．两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f (2)=4=22．当n=3时，由图(2)．三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f (3)=9=32．由n=4时，由图(3)．三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f (4)=16=42．由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f (n)=n2．用数学归纳法证明如下：①当n=2时，上面已证．②设n=k时，f (k)=k2，那么当n=k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了k+1段圆弧．∴ f (k+1)=k2+k+(k+1)=k2+2k+1=(k+1)2∴满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧．由①、②可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧．说明：这里要注意；增加一个半圆时，圆弧段增加了多少条？可以从f (2)=4，f (3)=f (2)+2+3，f (4)=f (3)+3+4中发现规律：f (k+1)=f (k)+k+(k+1)．。
数学归纳法故事
数学归纳法故事从前有一个小村庄，村庄里住着一个聪明的小男孩小明。
小明热爱数学，每天都在数学书中学习各种数学原理和定理。
有一天，他偶然听到了一个关于数学归纳法的故事，这个故事让他对数学归纳法产生了浓厚的兴趣。
故事开始的地方是一个神奇的森林。
森林里生活着一群兔子，这些兔子都非常喜欢吃胡萝卜。
小明对此感到好奇，于是他来到了这个神奇的森林。
小明发现，这里的一只兔子过了一天之后，就会生下两只小兔子。
而这两只小兔子长到第二天，又会分别生下两只小兔子。
这样循环下去，每只兔子在它的第n天，都会生下2^n只小兔子。
小明观察了几天，发现如果第一天开始只有一只兔子，那么第二天就有两只小兔子，第三天就有四只小兔子，第四天就有八只小兔子，以此类推。
小明很惊讶，他想知道第n天森林里兔子的总数是多少。
小明开始思考，他打算利用数学归纳法求解这个问题。
首先，他将问题分解为几个子问题，每个子问题都是一个天数的兔子总数。
小明从第一天开始，计算出了前几天兔子的总数，他发现一种规律。
第一天：1只兔子。
第二天：2只兔子。
第三天：4只兔子。
第四天：8只兔子。
...小明观察到，兔子的总数y=n个，其中n是天数的幂次。
然后，他用数学归纳法进行推理，假设第n天总数是2^n只兔子。
接下来，他需要证明，如果第n+1天的兔子总数是2^(n+1)只兔子。
假设第n天兔子总数为y=n^2个。
对于第n+1天，兔子的总数应该是2倍，即2^n个。
根据归纳假设，第n+1天兔子总数为2^n个。
所以，小明成功地使用数学归纳法证明了这个问题。
小明非常高兴，他意识到数学归纳法是一个非常有用的工具，可以解决很多数学问题。
他决定将这个故事分享给他的数学老师，希望能够在课堂上向其他同学们展示数学归纳法的魅力。
通过这个故事，我们可以了解到数学归纳法的基本原理和应用。
数学归纳法是一种用来证明数学命题的强大工具，在许多领域都有重要的应用。
它的核心思想是通过证明第一个命题成立，然后证明如果第n 个命题成立，那么第n+1个命题也成立。
数学归纳法经典例题及答案
数学归纳法经典例题及答案数学归纳法是解决数学问题中常用的一种证明方法，它基于两个基本步骤：证明基准情况和证明归纳假设，通过这两个步骤逐步推导证明，从而得到结论。
下面将介绍一些经典的数学归纳法例题及其答案。
例题一：证明1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2，其中n∈N（自然数）。
解答：首先，我们先验证这个等式在n=1时是否成立。
当n=1时，左边等式为1，右边等式为1(1+1)/2=1，两边相等，因此基准情况成立。
其次，我们假设对于任意的k∈N，当n=k时等式成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2。
接下来，我们需要证明当n=k+1时等式也成立。
根据归纳假设，我们已经知道1+2+3+...+k=k(k+1)/2，现在我们要证明1+2+3+...+k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2。
将左边等式的前k项代入归纳假设得到：(k(k+1)/2)+(k+1)=(k+1)(k/2+1)= (k+1)(k+2)/2。
所以，当n=k+1时，等式也成立。
根据数学归纳法的原理，我们可以得出结论，对于任意的n∈N，都有1+2+3+...+n=n(n+1)/2。
例题二：证明2^n > n，其中n∈N，n>1。
解答：首先，我们验证这个不等式在n=2时是否成立。
当n=2时，左边等式为2^2=4，右边等式为2，显然不等式成立。
其次，我们假设对于任意的k∈N，当n=k时不等式成立，即2^k > k。
接下来，我们需要证明当n=k+1时不等式也成立。
根据归纳假设，我们已经知道2^k > k，现在我们要证明2^(k+1) > k+1。
我们可以将左边等式进行展开得到：2^(k+1) = 2^k * 2。
由归纳假设可知，2^k > k，所以2^(k+1) = 2^k * 2 > k * 2。
我们可以观察到当k>2时，k * 2 > k + 1，当k=2时，k * 2 = k + 1。
数学归纳法典例精讲
数学归纳法典例精讲1.已知等比数列a n 的首项a 1=2，公比q =3，设S n 是它的前n 项和，求证：S n +1S n≤3n +1n 思路：根据等比数列求和公式可化简所证不等式：3n ≥2n +1，n =k 时，不等式为3k ≥2k +1；当n =k +1时，所证不等式为3k +1≥2k +3，可明显看到n =k 与n =k +1中，两个不等式的联系，从而想到利用数学归纳法进行证明证明：S n =a 1q n -1 q -1=3n-1，所证不等式为：3n +1-13n -1≤3n +1n ∴n 3n +1-1 ≤3n +1 3n -1 ⇔n ⋅3n +1-n ≤n ⋅3n +1+3n -3n -1⇔3n ≥2n +1，下面用数学归纳法证明：(1)验证：n =1时，左边=右边，不等式成立(2)假设n =k k ≥1,k ∈N 时，不等式成立，则n =k +1时，3k +1=3⋅3k ≥32k +1 =6k +3>2k +1 +1所以n =k +1时，不等式成立∴∀n ∈N ∗，均有S n +1S n≤3n +1n 2.已知数列a n 满足a n >0，其前n 项和S n >1，且S n =16a n +1 a n +2 ,n ∈N ∗(1)求数列a n 的通项公式(2)设b n =log 21+1a n ，并记T n 为数列b n 的前n 项和，求证：3T n >log 2a n +32 ,n ∈N ∗解：(1)6S n =a 2n +3a n +2①6S n -1=a 2n -1+3a n -1+2n ≥2,n ∈N ∗②①-②可得：6a n =a 2n -a 2n -1+3a n -3a n -1⇒3a n +a n -1 =a 2n -a 2n -1∵a n >0所以两边同除以a n +a n -1可得：a n -a n -1=3∴a n 是公差为3的等差数列∴a n =a 1+3n -1 ，在6S n =a 2n +3a n +2中令n =1可得：6S 1=a 21+3a 1+2⇒a 1=1(舍)或a 1=2∴a n =3n -1(2)思路：利用(1)可求出b n 和T n ，从而简化不等式可得：32⋅65⋅⋯⋅3n 3n -13>3n +22，若直接证明则需要进行放缩，难度较大。
利用数学归纳法证明的公式
利用数学归纳法证明的公式数学归纳法是一种非常厉害的数学证明方法，它就像一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多数学公式的证明大门。
咱先来说说啥是数学归纳法。
打个比方，你要证明一群鸭子都长得一样，那你先看看第一只鸭子，然后假设第k 只鸭子和前面的都一样，再证明第 k + 1 只鸭子也和前面的一样，这样就能得出所有鸭子都长得一样的结论。
数学归纳法差不多就是这个意思。
比如说，咱们来证明等差数列的前 n 项和公式：Sn = n(a1 + an) / 2 。
首先，当 n = 1 时，S1 = a1 ，显然成立。
假设当 n = k 时，Sk = k(a1 + ak) / 2 成立。
那么当 n = k + 1 时，Sk+1 = Sk + ak+1 。
Sk+1 = k(a1 + ak) / 2 + ak+1 ，经过一番化简和整理，就能得到 Sk+1 = (k + 1)(a1 + ak+1) / 2 。
这不就证明了对于任意的正整数 n ，这个公式都成立嘛！我记得我之前教过一个学生，这孩子一开始怎么都理解不了数学归纳法。
我就给他举了个特别简单的例子，比如说我们要证明所有人从 1 岁开始每年都会长一岁。
那先看 1 岁的时候，确实长了一岁；假设到 k 岁的时候每年都长一岁成立，那到 k + 1 岁的时候，因为 k 岁的时候长了一岁，所以 k + 1 岁也长了一岁。
这孩子听完，眼睛一下子亮了，好像突然就开窍了。
再比如说，证明1 + 2 + 3 + …… + n = n(n + 1) / 2 这个公式。
当 n = 1 时，左边是 1，右边是 1×(1 + 1) / 2 = 1 ，成立。
假设当 n = k 时，1 + 2 + 3 + …… + k = k(k + 1) / 2 成立。
当 n = k + 1 时，左边是1 + 2 + 3 + …… + k + (k + 1) ，把前面的 1到 k 的和用假设的式子替换，得到 k(k + 1) / 2 + (k + 1) ，化简后就是(k + 1)(k + 2) / 2 ，正好等于右边。
数学归纳法证明经典事例
数学归纳法证明经典事例数学归纳法证明经典事例1当n=1 的时候上面的式子 = 3^4-8-9=64成立假设当n=k 的时候3^(2k+2)-8k-9能够被64整除当n=k+1式子= 3^(2k+4)-8k-17=9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64因为 3^(2k+2)-8k-9能够被64整除∴ 9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64 能够被64整除n=k+1 时，成立根据上面的由数学归纳法3的2n+2次方-8n-9(n属于n*)能被64整除。
数学归纳法证明经典事例2n=1时 3^4-8-9=81-17=64 能被4整除·····(特殊性)设当n=k时，仍然成立。
当n=k+1时，·····················(一般性)3^(2(k+1)+2)-8(k+1)-9=3^(2k+2+2)-8k-17=9*3^(2k+2)-72k+64k-81+64=9(3^(2k+2)-8k-9)+64k+64因为3^(2k+2)-8k-9能被64整除不用写了吧··正确请采纳数学归纳法当n=1 的`时候上面的式子 = 3^4-8-9=64成立假设当n=k (k>=1)数学归纳法证明经典事例 (菁选2篇)扩展阅读数学归纳法证明经典事例 (菁选2篇)（扩展1）——高中数学归纳法证明题 (菁选2篇)高中数学归纳法证明题11/2+2/2^2+3/2^3+......+n/2^n=2 - n+2/2^n.1/2+2/2^2+3/2^3+......+n/2^n=2 - (n+2)/2^n.1、当n=1时候，左边=1/2;右边=2-3/2=1/2左边=右边，成立。
数学归纳法证明经典事例
数学归纳法证明经典事例数学归纳法是一种用于证明与自然数有关的命题的重要方法。
它的基本思路是先证明当自然数取第一个值（通常是 1）时命题成立，然后假设当自然数为某个值 k 时命题成立，在此基础上证明当自然数为 k＋ 1 时命题也成立。
通过这样的“奠基”和“递推”步骤，就可以证明对于所有的自然数，命题都成立。
接下来，让我们通过几个经典事例来深入理解数学归纳法的应用。
一、证明等差数列前 n 项和公式我们都知道等差数列的通项公式为\（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\），其中\（a_1\）为首项，＼（d\）为公差。
现在要证明等差数列的前\（n\）项和公式\（S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＼）。
首先，当\（n ＝ 1\）时，＼（S_1 ＝ a_1\），而\（＼frac{1\times（a_1 ＋ a_1)｝｛2} ＝ a_1\），命题成立。
假设当\（n ＝ k\）时，＼（S_k ＝＼frac{k(a_1 ＋ a_k)｝｛2}＼）成立。
那么当\（n ＝ k ＋ 1\）时，＼（S_{k ＋ 1} ＝ S_k ＋ a_{k ＋ 1}＼）＼＼begin{align}S_{k ＋ 1}＆＝＼frac{k(a_1 ＋ a_k)｝｛2} ＋ a_1 ＋ kd\＼＆＝＼frac{ka_1 ＋ ka_k ＋ 2a_1 ＋ 2kd}｛2}＼＼＆＝＼frac{（k ＋ 1)a_1 ＋（ka_k ＋ 2kd)｝｛2}＼＼＆＝＼frac{（k ＋ 1)a_1 ＋ a_1 ＋（k ＋ 1 1)d(k ＋ 1)｝｛2}＼＼＆＝＼frac{（k ＋ 1)（a_1 ＋ a_{k ＋ 1}）｝｛2}＼end{align}＼所以当\（n ＝ k ＋ 1\）时命题也成立。
由数学归纳法可知，对于任意自然数\（n\），等差数列前\（n\）项和公式\（S_n ＝＼frac{n(a_1＋ a_n)｝｛2}＼）成立。
二、证明\（1 ＋ 2 ＋ 3 ＋＼cdots ＋ n ＝＼frac{n(n ＋ 1)｝｛2}＼）当\（n ＝ 1\）时，左边\（＝ 1\），右边\（＝＼frac{1\times （1 ＋1)｝｛2} ＝ 1\），等式成立。
归纳推理数学例子
以下是一个归纳推理在数学中的例子：
观察以下数列：1，2，3，4，5，6，...。
这是一个自然数列，并且每一个数都比前一个数多1。
根据这个观察，我们可以归纳出如下结论：对于任何正整数n，n+1是下一个数。
例如，当n=3时，下一个数是3+1=4。
当n=5时，下一个数是5+1=6。
这个结论对于任何正整数n都成立。
除了上述的例子，还有许多其他的归纳推理在数学中的应用。
以下是一些例子：
1. 三角形的面积公式：通过观察一些特殊的三角形（如等边三角形、直角三角形），我们可以归纳出一般的三角形面积公式，即底乘以高再除以2。
2. 勾股定理：通过观察一些特殊的直角三角形（如30-60-90度三角形、等腰直角三角形），我们可以归纳出勾股定理，即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
3. 阶乘：通过观察1到5的阶乘的值，我们可以归纳出阶乘的定义，即n 的阶乘等于n乘以(n-1)乘以(n-2)……乘以1。
4. 辗转相除法：通过观察一些特殊的两个数（如8和12，9和15），我们可以归纳出辗转相除法的原理，即两个数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数。
5. 数的幂的性质：通过观察1到5的幂的值，我们可以归纳出一些幂的性质，如任何数的0次幂都等于1，任何数的n次幂除以自身的n-1次幂都等于自身等。
这些例子都展示了归纳推理在数学中的应用。
通过观察特殊情况并归纳出一般情况，我们可以得到许多有用的数学结论。
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数学归纳法证明经典事例
数学归纳法证明经典事例
数学中的归纳法是很有作用的，关于这些的整除证明是怎样的呢？下面就是店铺给大家整理的数学归纳法证明整除内容，希望大家喜欢。
关于数学归纳法的简介：
数学归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。
归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。
不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。
完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。
数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。
它是一个递推的数学论证方法，论证的第一步是证明命题在n＝1(或n)时成立，这是递推的基础，第二步是假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成立，这是无限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无限。
这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对任何自然数(或n≥n且n∈N)结论都正确”。
由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全归纳。
运用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，最终实现目标完成解题。
运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。
关于n的例子：
1.当n=1 的时候
上面的式子 = 3^4-8-9=64
成立
假设当n=k 的时候
3^(2k+2)-8k-9能够被64整除
当n=k+1
式子= 3^(2k+4)-8k-17
=9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64
因为 3^(2k+2)-8k-9能够被64整除
∴ 9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64 能够被64整除
n=k+1 时，成立
根据上面的由数学归纳法
3的2n+2次方-8n-9(n属于Nx)能被64整除。
2.n=1时 3^4-8-9=81-17=64 能被4整除·····(特殊性)
设当n=k时，仍然成立。
当n=k+1时，·····················(一般性)
3^(2(k+1)+2)-8(k+1)-9=3^(2K+2+2)-8K-17 =9x3^(2K+2)-72K+64K-81+64=9(3^(2k+2)-8k-9)+64k+64
因为3^(2k+2)-8k-9能被64整除
不用写了吧··
正确请采纳
数学归纳法
当n=1 的时候
上面的式子 = 3^4-8-9=64
成立
假设当n=k (k>=1)
3.当3^(2k+2)-8k-9能够被64整除
当n=k+1(k>=1)
式子= 3^(2k+4)-8k-17
=9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64
由9[3^(2k+2) -8k-9] +64k+64-(3^(2k+2)-8k-9)可以被64整出
n=k+1 时，成立
根据上面的由数学归纳法
3的2n+2次方-8n-9(n属于Nx)能被64整
数学归纳法证明的步骤：
1.基本步骤
（一）第一数学归纳法：
一般地,证明一个与自然数n有关的命题P(n）,有如下步骤：
（1）证明当n取第一个值n0时命题成立.n0对于一般数列取值为0或1,但也有特殊情况；
（2）假设当n=k（k≥n0,k为自然数）时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.
综合（1）（2）,对一切自然数n（≥n0）,命题P(n）都成立.
（二）第二数学归纳法：
对于某个与自然数有关的命题P(n）,
（1）验证n=n0时P(n）成立；
（2）假设n0≤nn0）成立,能推出Q(k）成立,假设Q(k）成立,能推出 P(k+1）成立；
综合（1）（2）,对一切自然数n（≥n0）,P(n）,Q(n）都成立.
2.原理
最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。
证明分下面两步：
证明当n= 1时命题成立。
假设n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。
（m代表任意自然数）
这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。
当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。
把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。
例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你可以：
证明第一张骨牌会倒。
证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。
3.解题要点
数学归纳法对解题的形式要求严格，数学归纳法解题过程中，
第一步：验证n取第一个自然数时成立
第二步：假设n=k时成立，然后以验证的条件和假设的条件作为论证的依据进行推导，在接下来的推导过程中不能直接将n=k+1代入假设的原式中去。
最后一步总结表述。
需要强调是数学归纳法的两步都很重要，缺一不可，否则可能得到下面的荒谬证明：
证明1：所有的马都是一种颜色
首先，第一步，这个命题对n=1时成立，即，只有1匹马时，马的颜色只有一种。
第二步，假设这个命题对n成立，即假设任何n匹马都是一种颜色。
那么当我们有n+1匹马时，不妨把它们编好号：
1, 2, 3……n, n+1
对其中（1、2……n）这些马，由我们的假设可以得到，它们都是同一种颜色；
对（2、3……n、n+1）这些马，我们也可以得到它们是一种颜色；
由于这两组中都有（2、3、……n）这些马，所以可以得到，这n+1种马都是同一种颜色。
这个证明的错误来于推理的第二步：当n=1时，n+1=2，此时马的编号只有1、2，那么分的两组是（1）和（2）——它们没有交集，所以第二步的推论是错误的。
数学归纳法第二步要求n→n+1过程对n=1，2，3……的数都成立，而上面的证明就好比多米诺骨牌的第一块和第二块之间间隔太大，推倒了第一块，但它不会推倒第二块。
即使我们知道第二块倒下会推倒第三块等等，但这个过程早已在第一和第二块之间就中断了。