最新中考专题研究用勾股定理解决最短路线问题

用勾股定理巧求最短距离

无论在平时练习或中考试题中，常出现一类利用勾股定理，求空间图形中两点之间通过表面的最短路径问题．对于这类题目，一般要将其转化为平面图形中两点之间线段最短的问题来解决．

例1 如图1（1），已知圆柱体底面圆的半径为

2

π

，高为2，AB CD ，分别是两底面的直径，AD BC ，是母线．若一只小虫从A 点出发，从侧面爬行到C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是 （结果保留根式）．

析解：如图1（2），假设将圆柱体的侧面沿AD 剪开并铺平，就会得到长方形AA ′D ′D ．连接AC ，则线段AC 就是小虫爬行的最短路线．

在Rt △ABC 中，AB=

2π×2π×2

1

=2，BC=2，由勾股定理，得 AC 2=AB 2＋BC 2=22＋22=8，

∴

=

例2如图2（1），正四棱柱的底面边长为5㎝，侧棱长为8㎝，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的顶点A 沿棱柱的表面到顶点C ′处吃食物，那么它需要爬行的最短路程的长是多少？

B

（1） （2） （图1）

D′

A ′

D C B

A D

C

B

A

D '

C '

B '

A '

C

B

A

C '

B '

A '

（1） （2） （3）

（图2）

B

A

D ' C '

B '

A '

分析：由题可知，沿正四棱柱的表面从A到C′的走法有两大类：过底面或过侧面．由对称性知只需考虑两种情况：（1）沿面A′AB到面A′B′C′；（2）沿面A′AB到面B′BC．将立体图形转化为平面图形后，由两点之间线段最短确定最短路线。

解：（1）沿底边A′B′，将底面A′B′C′和侧面A′AB展开如图2（2），连接AC′，则AC′就是蚂蚁走的最短路线．

在Rt△ABC′中，AB=5，BC′=BB′＋B′C′=8＋5=13，由勾股定理，得

AC′ 2=AB2＋B′C′ 2=52＋132=194，

∴AC′

（2）沿侧棱BB′，将侧面A′AB和侧面B′BC展开如图2（3），连接AC′，则AC′就是蚂蚁走的最短路线．

在Rt△ACC′中，AC=AB＋BC=5＋5=10，CC′=8，由勾股定理，得

AC′ 2=AC2＋CC′ 2=102＋82=164，

∴AC′=

=

∴蚂蚁需要爬行的最短路程的长是

点评：在将空间图形中最短路径问题转化为平面图形问题来解决的同时，还必须全方位考虑各种可能性，只有这样才能得到正确的答案．

用勾股定理解决最短路线问题

行程最短问题是日常生活中常见的问题之一，其解法一般要用到勾股定理，现举几例如下：

例1 如图1，学校有一块长方形花铺，有极少数人从A 走到B ，为了避开拐角C 走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．

分析：由图可见，走出来的“路”是直角边分别为3ｍ和4ｍ的直角三角形的斜边，由勾股定理，得该“路”的长为5ｍ，因此，行人仅仅少走了2米（即10步）路．

【点评】爱护花草人人有责，仅仅因为少走10步而不惜踩伤花草，破坏环境的确是大不应该的。由此可见，只有懂得“三角形两边之和大于第三边”的人才知道走“捷径”的比经过拐角处的路程近些，但掌握的数学知识如果不能用正当的行为上，那将是数学的悲哀。

例2 如图2，一圆柱的底面周长为24cm ，高AB 为4cm ，BC 是直径，一只蚂蚁从点A 出发沿着圆柱体的表面爬行到点C 的最短路程大约是（ ）

A ．6cm

B ．12cm

C ．13cm

D ．16cm

分析：把圆柱沿直径BC 剪开成两半，展开成平面后可得如图3，则蚂蚁从点A

爬行到点C 的最短路程是矩形的对角线AC 的长，由已知，AB=4，BC=12，故.6≈13（cm ），

故选C ．

【点评】解立体图形问题的基本思想是把立体图形平面化，因此，圆柱问题通常要把它沿一条母线剪开，然后铺展为矩形，这里要注意到蚂蚁从点A 出发到点C

，当圆柱沿母线AB 展开成矩形时，点C 对应的是矩形一边的中点。想一想：如果蚂蚁从点A 出发沿圆柱侧面爬到点B 时，蚂蚁爬行的最短路程是多少？

图2

图3

Ａ

1D

1

C Ｄ 1

B Ｂ

图4

1A

Ｃ

Ａ

Ｂ 图5

Ｃ

1

图1

例3 如图4，已知正方体的棱长为2，则正方体表面上从A 点到1C 的最短距离为＿＿＿．

分析：显然，从点A 到点1C 的最短距离就是把正方体展开后线段A 1C 的长，易知正方体展开后的部分图形如图5所示，此时A 1C

=

【点评】将正方体展开为平面图形进行正方体有关计算时，要注意展开的技巧，不要盲目展开。如本题中应使前正面1A AB 1B 与右侧面1B BC 1C 构成一个矩形，这样才能便于计算。请大家想一想：如果图4是一个鱼缸，里面装满水，一条鱼从点A 游到点1C 的最短路程是多少？

寻找最短线路

最短距离问题是勾股定理在实际生活中的具体应用，一般地求最短距离要把“立体问题”转化为平面问题，再利用“两点之间线段最短”，或点到直线“垂线段最短”以及“勾股定理”等性质来解决问题，下面举例加以说明. 一、台阶中的最值问题

例1、如图1，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A 和B 是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短线路是多少？

分析：由于蚂蚁沿台阶爬行,

故把台阶展开成平面图行,根据两点之间线段最短发现AB 长为最短路线.根据勾股定理可得即可求得.

图1

解：如图2,∵AC=3×3+1×3=12,BC=5,∴.1692

22=+=BC AC AB 二、圆柱(锥)中的最值问题

例2、 图3，有一圆形油罐底面圆的周长为24m ，高为6m ，一只老鼠从距底面1m 的A 处爬行到对角B 处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？

分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A 、B 分别在圆柱侧面展开图的宽1m 处和长24m 的中点处，即AB 长为最短路线.(如图4) 解：AC = 6 – 1 = 5 ， BC = 24 ×

2

1

= 12， 由勾股定理得

，169222=+=BC AC AB

∴AB=13(m) .

三、正方体中的最值问题

例3、如图4，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A 出发沿着正方体的外表面爬到顶点B 的最短距离是（ ）

（A ）3 （B ） √5 （C ）2 （D ）1

分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如图5）. AB 即为所求.

解：∵AC=1 AB=2

∴AB=2221+=5 . 故选B.

四、长方体中的最值问题

例4、如图6，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图6所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？

分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况(如图①②③ ),由勾股定理可求得图中AC 1爬行的路线最短.

A

图3

图

4

1

B

图4

图

5

A C

C 1

解：如图①中AC 1.

∵AB=4 1BC =BC+CC 1=2+1=3 ∴AC 1=253422=+

解：：如图2中AC 1. ∵AB=4 BC=2 ∴AC=6 又∵CC 1=1

∴AC 1=371622=+

解：如图3中AC 1

∵AA 1=1 A 1B 1=4 B 1C 1=2 ∴AC 1=292522=+ ∴按第一种路线走路线最短.

说明:此题注意分类讨论的数学思想.

C 1 A

B

D

C D11

1

2

4 图①

4

1

2

A

B

C

C 1

B 1

A 1

图②

1

C 1

图③