【高三】2021年高三上册数学九月份月考试题(有答案)
2021届高三9月月考数学(文)试题+答案
2021届高三上学期九月月考文科数学试题一．选择题（每小题5分，共60分）1．若集合{|3},{|2}A x x B x =<=≤，则A B =（ ）A ．{|3}x x <B ．{|03}x x ≤<C ．{|03}x x <<D ．{}|4x x ≤2．若复数21z i=-，则下列结论正确的是（ ） A ．||2z =B ．z 的虚部为iC ．1z i =-+D ．22z i =3．设,m n R ∈，则“m n >”是112m n-⎛⎫< ⎪⎝⎭的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数1()3()3x xf x =-，则函数()f x （ ）A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数5．命题“10,1x lnx x∀>≥-”的否定是（ ） A ．101x lnx x ∃≤≥-, B ．101x lnx x ∃≤<-, C ．101x lnx x∃>≥-, D ．101x lnx x∃><-, 6．已知()()2,3,4,5A B -，则与AB 共线的单位向量是（ ）A ．31010,e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭B ．31010,e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭或31010,e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭C ．(6,2)e =-D ．()6,2e =-或()6,2e =7.已知函数()()3log 1,01,02019x m x f x x ⎧+-≥⎪=⎨<⎪⎩的图象经过点()3,0，则()()2(f f = )A ．2019B ．12019C ．2D ．18.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（意思是：某商人善于经营，从第2个月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），3月份入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人1月份的入贯数为（ ） A ．5B ．10C ．12D ．159．如图，已知A 、B 、C 、D 四点在同一条直线上，且面PAD 与地面垂直，在山顶P 点测得点A 、C 、D 的俯角分别为30︒、60︒、45︒，并测得200AB m =，100CD m =，现欲沿直线AD 开通穿山隧道，则隧道BC 的长为（ ） A ．100(31)m +B ．200(31)m +C ． 2003mD ．1003m10．如图，过点0(1)M ，的直线与函数()sin π02y x x =≤≤的图象交于A ，B 两点，则()OM OA OB ⋅+等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．411．已知函数f (x )=2sin(x +π6) (x ∈R )，将()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动6π个单位长度，得到()y g x =的图象，则以下关于函数()y g x =的结论正确的是（ ） A ．若1x ，2x 是()g x 的零点，则12x x -是2π的整数倍B ．函数()g x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 图象的对称中心 D ．3x π=是函数()g x 图象的对称轴12．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知c =2sin cos sin sin a C B a A b B =-+sin C ，点O 满足0OA OB OC ++=，3cos 8CAO ∠=，则ABC ∆的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．二．填空题（每小题5分，共20分）13. 已知平面向量(1,2),(4,)a b m == ，若a b ⊥，则m =______14．已知定义在R 上的函数()f x 满足f(x +2)=f(x)，当0<x ≤1时，()21x f x =-，则f(5)= ___________15.若x 0是函数f （x ）＝2x +3x 的零点，且x 0∈（a ，a +1），a ∈Z ，则a ＝_____．16．己知函数()sin cos f x x x =，3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有以下结论：①()f x 的图象关于直线y 轴对称 ②()f x 在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ③()f x 的一个对称中心是,02π⎛⎫⎪⎝⎭④()f x 的最大值为12则上述说法正确的序号为__________（请填上所有正确序号） 三．解答题（17题10分，18-22每题12分，共70分） 17．（共10分）已知函数f (x )=sin (2x −π6)+12. （1）求()y f x =的单调减区间； （2）当[,]63x ππ∈时，求()f x 的最大值和最小值.18.（共12分）已知数列{}n a 的前n 项和为2230n S n n =-．（1）求出它的通项公式； （2）求使得n S 最小时n 的值.19. （共12分）已知ABC ∆的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =，(sin ,n B =sin )A ，(2,2)p b a =--.（1）若//m n ，求证：ABC ∆为等腰三角形；（2）若m p ⊥，边长2c =，角π3C =，求ABC ∆的面积.20. （共12分）设函数f(x)=x 2+1−lnx （1）求f(x)的单调区间；（2）求函数g(x)=f(x)−x 在区间[12,2]上的最小值．21．（共12分）已知向量()25cos ,sin ,(cos ,sin ),5a b a b ααββ==-=.（1）求cos()αβ-的值；（2）若0,022ππαβ<<-<<，且5sin 13β=-，求sin α.22.（共12分）已知函数()(sin cos )e x f x x x x =+-，()'f x 为()f x 的导函数．（1）设()()()g x f x f x '=-，求()g x 的单调区间；（2）若0x ≥，证明：()1f x x ≥-．高三上学期9月月考答案 一．选择题1.B2.D3.C4.A5.D6.B7.B8. D9.C 10.B 11.D 12.A 二．填空题 13.−2 14. 1 15.-1 16.②④ 三．解答题17.解：（1）函数f (x )=sin (2x −π6)+12.令3222,262k x k k πππππ+-+∈Z ≤≤，解得5,36k x k k Z ππππ+≤≤+∈则()f x 的单调减区间为5[,]36k k ππππ++，k ∈Z . （2）令26t x π=-，因为[,]63x ππ∈，则,62t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()1sin ,,262f t t t ππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，由于()sin f t t = 在,62t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，则当6t π=时，()min 1f t =；当2t π=时，()max 32f t =.即()f x 的最大值为32，最小值为1.18. （1）当1n =时，1128a S ==-；当2n ≥时,1n n n a S S -=-22(230)2(1)30(1)n n n n ⎡⎤=-----⎣⎦432n =-1a 也适合此式，432n a n ∴=-.（2）22152252302()22n S n n n =-=--又因为n 是正整数，所以当7n =或8时，n S 最小.19.⑴因为，所以sin sin a A b B =，即··22a ba b R R=,其中R 是ABC ∆的外接圆半径， 所以a b =，所以ABC ∆为等腰三角形.⑵因为m p ⊥，所以()()220a b b a -+-=.由余弦定理可知，()22243a b ab a b ab =+-=+-，即()2340ab ab --= 解方程得：4ab =（1ab =-舍去）所以11sin 4sin 223S ab C π==⨯⨯=20.（1）定义域为(0,+∞)，f ＇(x )=2x −1x ，由f ＇(x )>0得x >√22，∴f (x )的单调递减区间为(0,√22)，单调递增区间为(√22，+∞)；（2）g(x)=x 2+1−lnx −x g′(x )=2x −1x −1=(2x+1)(x−1)x，由g′(x )>0得x >1，∴g (x )在(12 ， 1)上单调递减，在（1，2）上单调递增， ∴g (x )的最小值为g (1)=1. 21.22.（1）由已知，()(1cos sin )e (sin cos )e (12sin )e xxxf x x x x x x x x '=++++-=++，所以()()()(1sin cos )e x g x f x f x x x =-=++'，()(12cos )e xg x x =+'，令()0g x '>，得1cos 2x >-，解得2π2π2π2π,33k x k k Z -+<<+∈， 令()0g x '<，得1cos 2x <-，解得2π4π2π2π,33k x k k Z +<<+∈， 故()g x 的单调递增区间是2π2π(2π2π),33k k k -++∈Z ，； 单调递减区间是2π(2π,3k +4π2π),3k k +∈Z . （2）要证()1f x x ≥-，只需证：()10f x x +-≥．设()()1h x f x x =+-，0x ≥，则()()1(12sin )e 1xh x f x x x '+'=-=+-．记()()(12sin )e 1x t x h x x x ==++-'，则()(22sin 2cos )e xt x x x x =+'++．当[0,π]x ∈时，sin 0x ≥，又22cos 0x +≥，e 0x >，所以()0t x '； 当(π,)x ∈+∞时，πx >，2sin 2x ≥-，所以2sin π20x x +>->，又22cos 0x +≥，e 0x >，所以()0t x '． 综上，当0x ≥时，()0t x '恒成立，所以()t x 在[0,)+∞上单调递增．所以，()(0)0t x t ≥=，即()0h x '≥，所以，()h x 在[0,)+∞上递增，则()(0)0h x h ≥=，证毕．。
2021年高三上学期9月月考数学试题含答案
（第6题图）2021年高三上学期9月月考数学试题含答案参考公式样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑nx i ．锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1. 已知集合，，则集合中元素的个数为 ▲ .2. 若复数z 满足z (1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z |＝ ▲ .3. 命题“”的否定是 ▲ .4. 已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的方差为 ▲ .5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ▲ .6．如图，它是一个算法的流程图，最后输出的k 值为 ▲ . 7. 如右f (x )＝A sin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0，ϕ∈[0，2π) )图象的一部分，则f (0)的值为 ▲ .8. 对于直线l，m ，平面α，m ⊂α，则“l ⊥m ”是“l ⊥α”成立的 ▲ 条件．（在“充（第7题图）注 意 事 项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题～第20题，共20题)。
本试卷满分160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。
分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）．9. 已知一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则该圆柱的体积为 ▲ . 10. 已知函数f (x )＝13x 3＋x 2－2ax ＋1，若函数f (x )在(1，2)上有极值，则实数的取值范围为▲ .11. 已知平行四边形ABCD 中，AD ＝2，∠BAD ＝60°．若E 为DC 中点，且，则的值为 ▲ .12．设为实常数，是定义在R 上的奇函数，且当时，．若对一切成立，则的取值范围是 ▲ .13．已知函数，当时，，则实数的取值范围是 ▲ .14. 已知函数与轴相切若直线与分别交的图象于四点且四边形的面积为25则正实数的值为 ▲ .二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15.（本小题满分14分）已知,. (1)若,求的值；(2)若, 的三个内角对应的三条边分别为、、,且,,,求.16（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 为侧棱P A 的中点． （1）求证：PC // 平面BDE ；（2）若PC ⊥P A ，PD ＝AD ，求证：平面BDE ⊥平面P AB ．17. （本小题满分14分）设，()()2cos sin cos cos 2f x x a x x x π⎛⎫=-+-⎪⎝⎭满足， P ABCDE（第16题图）(Ⅰ)求函数的单调递增区间；（Ⅱ）设三内角所对边分别为且，求在上的值域．18. （本小题满分16分）已知二次函数满足条件，且方程有等根.（1）求得解析式；（2）是否存在实数，使得定义域和值域分别为和？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.19. （本小题满分16分）某地开发了一个旅游景点，第1年的游客约为100万人，第2年的游客约为120万人. 某数学兴趣小组综合各种因素预测：①该景点每年的游客人数会逐年增加；②该景点每年的游客都达不到130万人. 该兴趣小组想找一个函数来拟合该景点对外开放的第年与当年的游客人数（单位：万人）之间的关系.（1）根据上述两点预测，请用数学语言描述．．．．．．．函数所具有的性质；（2）若=，试确定的值，并考察该函数是否符合上述两点预测；（3）若=，欲使得该函数符合上述两点预测，试确定的取值范围．20. （本小题满分16分）已知函数．(1)求函数在点处的切线方程；(2)求函数的单调区间；(3)若存在，使得(是自然对数的底数)，求实数的取值范围．淮安市淮海中学xx 届高三数学周练试题数学参考答案及评分标准 xx.09说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 5 2. 2 3. 4. 5. 6. 5 7.3228. 必要不充分 9. 10. (32，4) 11. 3 12. 13. [] 14.4二、解答题：本大题共6小题，共90分．15. 解:(1) …………………3分 …………………6分 (2)==…………………8分 (9)分 (10)分 …………………11分 由余弦定理可知: …………………12分7cos cos 2AB AC AB AC A bc A ∴⋅===(其它方法酌情给分) ……………14分 16．证明：（1）连结AC ，交BD 于O ，连结OE ．因为ABCD 是平行四边形，所以OA ＝OC ． ……………2分 因为 E 为侧棱PA 的中点，所以OE ∥PC ． ………4分 因为PC /⊂平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以PC // 平面BDE ． ………6分（2）因为E 为PA 中点，PD ＝AD ，所以PA ⊥DE ．…8分PABCDEO因为PC ⊥P A ，OE ∥PC ，所以P A ⊥OE ．因为OE ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，OE ∩DE ＝E ， 所以P A ⊥平面BDE ． …………………12分 因为P A ⊂平面P AB ，所以平面BDE ⊥平面P AB ． …………………14分 17. 解：(Ⅰ)由1()(0)1,322a f f a π-=+=-=得解得 …………………3分因此()2cos 22sin(2).6f x x x x π=-=-令得故函数的单调递增区间 …………………7分（Ⅱ）由余弦定理知：c a cC b B c C ab B ac cb a bc a -===-+-+2cos cos cos 2cos 2222222，即， 又由正弦定理知：()A C B C B B C B A sin sin cos sin cos sin cos sin 2=+=+=， 即,所以 …………………10分 当时，，，故在上的值域为 …………………14分 18.解：（1）由可知，函数图像的对称轴为○1 又方程有等根,即有等根. ,代入○1可得.. ………………… ………6分 (2)221111()(1)2222f x x x x =-+=--+≤,函数存在实数,使得定义域和值域分别为和,则有即是方程的两根,且. ……… ………10分 由得存在这样的实数, …………………………16分19.解：（1）预测①：在上单调递增；预测②：对恒成立； …………………3分 （2）将（1，100）、（2，120）代入到中，得，解得. 因为所以，故在上单调递增，符合预测①； 又当时，所以此时不符合预测②. …………………8分（3）由，解得.因为要想符合预测①，则即，从而或. …………………10分 （i ）当时，，此时符合预测①，但由，解得，即当时，，所以此时不符合预测②； …………………12分（ii ）当，此时符合预测①，又由知，所以；从而欲也符合预测②，则，即又，解得.综上所述，的取值范围是 …………………16分 20.[解] (1)∵函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a (a >0，且a ≠1)，∴f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ，∴f ′(0)＝0.又f (0)＝1，∴函数f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. …………………………4分(2)由(1)知，f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝2x ＋(a x －1)ln a .∵当a >0，且a ≠1时，总有f ′(x )在R 上是增函数． 又f ′(0)＝0，∴不等式f ′(x )>0的解集为(0，＋∞)，故函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0)．………………………10分(3)∵存在x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1成立， 当x ∈[－1,1]时，|f (x 1)－f (x 2)|≤f (x )max －f (x )min ， ∴只要f (x )max －f (x )min ≥e －1即可．又当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示∴f (x )在[－∴当x ∈[－1,1]时，f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝1，f (x )的最大值f (x )max 为f (－1)和f (1)中的最大值． …………………………12分∵f (1)－f (－1)＝(a ＋1－ln a )－⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋ln a ＝a －1a －2ln a ， 令g (a )＝a －1a －2ln a (a >0)，而g ′(a )＝1＋1a 2－2a ＝⎝⎛⎭⎫1－1a 2≥0， ∴g (a )＝a －1a －2ln a 在(0，＋∞)上是增函数， …………………………13分又g (1)＝0，∴当a >1时，g (a )>0，即f (1)>f (－1)； 当0<a <1时，g (a )<0，即f (1)<f (－1)．∴当a >1时，f (1)－f (0)≥e －1，即a －ln a ≥e －1，又函数y ＝a －ln a 在(1，＋∞)上是增函数， …………………………14分 ∴解得a ≥e ；当0<a <1时，f (－1)－f (0)≥e －1，即1a ＋ln a ≥e －1，又函数y ＝1a ＋ln a 在(0,1)上是减函数，∴解得0<a ≤1e.综上可知，实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，1e ∪[e ，＋∞)． …………………………16分23886 5D4E 嵎31838 7C5E 籞+30414 76CE 盎36388 8E24 踤+34433 8681 蚁H33540 8304 茄28266 6E6A 湪\'26480 6770 杰38536 9688 隈。
上海市2021高三数学上学期9月月考试题(含解析)
高三数学上学期9月月考试题（含解析）一、填空题1.方程4260x x --=的解为______． 【答案】2log 3x = 【解析】 【分析】换元20x t =>，可得出260t t --=，解此方程，求出正数t 的值，即可得出x 的值. 【详解】令20x t =>，由4260x x --=，可得260t t --=，解得3t =或2t =-（舍去）. 即23x =，解得2log 3x =. 故答案为：2log 3x =.【点睛】本题考查指数方程的求解，同时也考查了指数式与对数式的互化，解题的关键就是利用换元法将方程变为二次方程求解，考查运算求解能力，属于中等题. 2.设复数11z i =+，()22z xi x =+∈R ，若12z z ⋅∈R ，则x 的值等于______． 【答案】2- 【解析】 【分析】利用复数的乘法将复数12z z ⋅表示为一般形式，结合题意得出其虚部为零，由此可解出实数x 的值. 【详解】11z i =+，()22z xi x =+∈R ，()()()()121222z z i xi x x i ∴⋅=++=-++，12z z R ⋅∈，20x ∴+=，解得2x =-，因此，2x =-.故答案为：2-.【点睛】本题考查复数乘法运算以及复数的概念，考查计算能力，属于基础题.3.函数()2f x =______． 【答案】[)0,1 【解析】【分析】根据被开方数非负、分母不为零、真数大于零列出关于x 的不等式组，解出即可得出函数()y f x =的定义域.【详解】由题意可得()10lg 310lg1310x x x ->⎧⎪+≥=⎨⎪+>⎩，即10311x x ->⎧⎨+≥⎩，解得01x ≤<.因此，函数()y f x =的定义域为[)0,1. 故答案为：[)0,1.【点睛】本题考查具体函数的定义域的求解，解题时要根据函数解析式有意义列出关于自变量的不等式组进行求解，考查运算求解能力，属于中等题. 4.已知线性方程组的增广矩阵为103210⎛⎫⎪⎝⎭，则其对应的方程组解为______．【答案】36x y =⎧⎨=-⎩【解析】 【分析】根据增广矩阵得出二元一次方程组，解出即可.【详解】由题意可知，线性方程组为320x x y =⎧⎨+=⎩，解得36x y =⎧⎨=-⎩.因此，该线性方程组的解为36x y =⎧⎨=-⎩.故答案为：36x y =⎧⎨=-⎩.【点睛】本题考查线性方程组的求解，同时也考查了增广矩阵定义的应用，根据增广矩阵得出线性方程组是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题. 5.在二项式252()x x-展开式中，x 的一次项系数为 ．（用数字作答）【答案】80- 【解析】试题分析：二项式的通项251031552()()(2)r rr r r r r T C x C x x--+=-=-，令1031,3r r -==，此时x 的一次项系数为335(2)80C -=-.考点：二项式定理.6.已知双曲线()22210k x y k -=>的一条渐近线的法向量是()1,2，那么________.【答案】【解析】【详解】由题意双曲线()22210k x y k -=>的一条渐近线的法向量是()1,2,可得该渐近线的斜率为12-,由于该双曲线的渐近线方程为y kx =±, 故12k =, 故答案为12. 7.圆锥的底面半径为3，高为1，则圆锥的侧面积为 ． 【答案】【解析】试题分析：那么圆锥的母线，所以侧面积为考点：圆锥的侧面积8.设无穷等比数列{}n a 的公比12q =-，11a =，则()2462lim n n a a a a →∞++++=______．【答案】23- 【解析】 【分析】求出2a 的值，然后利用等比数列的求和公式求出2462n a a a a ++++，由此可计算出所求极限值.【详解】由等比数列的定义可知2112a a q ==-， 222214n n a q a +==，所以，数列{}2n a 是以212a =-为首项，以14为公比的等比数列，24621112124113414n n n a a a a ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭∴++++==-- ⎪⎝⎭-.因此，()2462212lim lim 1343n n n n a a a a →∞→∞⎡⎤⎛⎫++++=--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故答案为：23-. 【点睛】本题考查数列极限的计算，同时也考查了等比数列求和，解题时要熟悉几种常见的数列极限的计算，考查计算能力，属于中等题.9.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C上且AK =，则AFK △的面积为__________．【答案】8 【解析】抛物线C ：28y x =的焦点为()2,0F ,准线与x 轴的交点为()2,0K -设A 点坐标为28y y ，⎛⎫⎪⎝⎭，则有22222222288y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪++=⨯-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,解得216y = AFK ∴的面积为14482⨯⨯=10.现有10个数，它们能构成一个以1为首项，2-为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是______． 【答案】710【解析】 【分析】先求出这10个数的值，找出其中小于8的数的个数，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】由题意知，这10个数分别为1、2-、4、8-、16、32-、64、128-、256、512-，其中小于8的数为1、2-、4、8-、32-、128-、512-，共7个，因此，从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是710. 故答案为：710. 【点睛】本题考查利用古典概型的概率的计算，同时也考查了等比数列定义的应用，解题的关键就是求出题中所涉及的数，考查计算能力，属于中等题.11.设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，110(){2011ax x f x bx x x +-≤<=+≤≤+，，，，其中a b R ∈，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ． 【答案】－10 【解析】因为()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，所以31()()22f f =-，且(1)(1)f f -=，故11()()22f f =-，从而121211212b a +=-++，322a b +=-①.由(1)(1)f f -=，得212b a +-+=，故2b a =-. ② 由①②得2a =，4b =-，从而310a b +=-.点睛：分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处函数值.12.定义函数348122(){1()222x x f x x f x --≤≤=>，则函数()()6g x xf x =-在区间内的所有零点的和为 . 【答案】【解析】当时，，，可知当时，；当时，，则，，当时，；当时，，则，，当时，；所以()()6g x xf x =-在区间内的所有零点的和为.考点：函数的零点. 二、选择题13.“tan 1x =-”是“()24x k k ππ=-+∈Z ”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件【答案】B 【解析】 【分析】解方程tan 1x =-，得出x 的值，然后根据集合的包含关系可判断出“tan 1x =-”是“()24x k k ππ=-+∈Z ”的必要非充分条件关系.【详解】解方程tan 1x =-，得()4x k k Z ππ=-+∈，因此，“tan 1x =-”是“()24x k k ππ=-+∈Z ”的必要非充分条件.故选：B.【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，一般转化为两集合的包含关系来进行判断，也可以根据两条件的逻辑性关系进行判断，考查推理能力，属于基础题.14.函数1(0)y x =<的反函数是 （ ）A. 0)y x =<B. 0)y x =<C. 2)y x =>D. 2)y x =>【答案】D 【解析】【详解】因为1(0)y x =<，所以2y >，可得2)x y =>，,x y互换可得函数1(0)y x <的反函数是2)y x =>，故选：D.15.定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x =，则5π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为( )A. 12-B.2C. D.12【答案】B 【解析】 分析：要求53f π⎛⎫⎪⎝⎭，则必须用()sin f x x =来求解，通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上，再应用其解析式求解 详解：()f x 的最小正周期是π552333f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x 是偶函数33f f ππ⎛⎫⎛⎫∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，533f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()sin f x x =，则53 sin 3332f f πππ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选B点睛：本题是一道关于正弦函数的题目，掌握正弦函数的周期性是解题的关键，考查了函数的周期性和函数单调性的性质。
2021年高三上学期9月月考数学试卷(文科)含解析
2021年高三上学期9月月考数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设等差数列{an }的公差为非零常数d，且a1=1，若a1，a3，a13成等比数列，则公差d=（）A．1 B．2 C．3 D．52．已知各项均为正数的等比数列{an }中，lg（a3•a8•a13）=6，则a1•a15的值等于（）A．10000 B．1000 C．100 D．103．已知数列{an }，an=2n+1，则=（）A．B．1﹣2n C．D．1+2n4．已知数列{an }中a1=1以后各项由公式an=an﹣1+（n≥2）给出，则a4=（）A．B．﹣C．D．5．已知数列﹣1，a1，a2，﹣4成等差数列，﹣1，b1，b2，b3﹣4成等比数列，则的值是（）A．B．C．或D．6．已知Sn 为等比数列{an}的前n项和，a1=2，若数列{1+an}也是等比数列，则Sn等于（）A．2n B．3n C．2n+1﹣2 D．3n﹣17．数列{a n}满足a1=1，a2=，且（n≥2），则a n等于（）A． B．（）n﹣1C．（）n D．8．若S n为等差数列{a n}的前n项和，S9=﹣36，S13=﹣104，则a5与a7的等比中项为（）A． B． C． D．329．设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值10．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f（n）=n（n+1）（2n+1）吨，但如果年产量超过150吨，会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是（）A．5年B．6年C．7年D．8年二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把答案填在题中横线上）11．已知数列{a n}的前n项和S n和通项a n满足S n=（1﹣a n），则数列{a n}的通项为．12．已知{a n}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．等比数列{b n}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，则{b n}的前n项和S n=．13．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，若n≥2时，a n是S n与S n的等差中项，则S5=．﹣1=f（a n），则a xx=．14．已知函数f（x）对应关系如表所示，数列{a n}满足a1=3，a n+1x 1 2 3f（x） 3 2 12=p（n≥2，n∈N×，p为常数），则称{a n}为“等方差数列”，15．在数列{a n}中，若a n2﹣a n﹣1下列是对“等方差数列”的判断；①若{a n}是等方差数列，则{a n2}是等差数列；②{（﹣1）n}是等方差数列；③若{a n}是等方差数列，则{a}（k∈N，k为常数）也是等方差数列；+④若{a n}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．其中正确命题序号为．（将所有正确的命题序号填在横线上）三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）=4a n﹣2，且a1=2．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n+1﹣2a n为常数C，并求出这个常数C；（Ⅰ）求证：对任意n∈N*，a n+1（Ⅱ）如果，求数列{b n}的前n项的和．17．在等比数列{a n}中，a n＞0（n∈N*），且a1a3=4，a3+1是a2和a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；+log2a n（n=1，2，3…），求数列{b n}的前n项和S n．（Ⅱ）若数列{b n}满足b n=a n+118．设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13．（Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意的n∈N*，点（a n，S n）都在直线2x﹣y﹣2=0的图象上．（1）求{a n}的通项公式；（2）是否存在等差数列{b n }，使得a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =（n ﹣1）•2n +1+2对一切n ∈N *都成立？若存在，求出{b n }的通项公式；若不存在，说明理由． 20．已知数列{a n }满足a 1=3，a n +1﹣3a n =3n （n ∈N +）．数列{b n }满足b n =3﹣n a n ． （1）求证：数列{b n }是等差数列；（2）设S n =+++…+，求满足不等式＜＜的所有正整数n 的值． 21．已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10=2a 5． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m 的项的个数记为b m ．求数列{b m }的前m 项和S m ．xx学年山东省潍坊市临朐中学高三（上）9月月考数学试卷（文科）（1）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设等差数列{a n}的公差为非零常数d，且a1=1，若a1，a3，a13成等比数列，则公差d=（）A．1 B．2 C．3 D．5【考点】等比数列的性质；等差数列的通项公式．【分析】由a1，a3，a13成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，又数列{a n}为等差数列，利用等差数列的通项公式化简所得的关系式，把a1的值代入得到关于d的方程，根据d不为0，即可得到满足题意的d的值．【解答】解：∵a1，a3，a13成等比数列，∴a32=a1•a13，又数列{a n}为等差数列，∴（a1+2d）2=a1•（a1+12d），又a1=1，∴（1+2d）2=1+12d，即d（d﹣2）=0，由d≠0，可得d=2．故选B2．已知各项均为正数的等比数列{a n}中，lg（a3•a8•a13）=6，则a1•a15的值等于（）A．10000 B．1000 C．100 D．10【考点】等比数列的性质．【分析】由等比数列和对数可得a8=100，进而可得a1•a15=a82=10000【解答】解：由题意可得lg（a3•a8•a13）=lg（a83）=3lga8=6，解得lga8=2，a8=100，∴a1•a15=a82=10000故选：A3．已知数列{a n}，a n=2n+1，则=（）A． B．1﹣2n C． D．1+2n【考点】等比数列的前n项和．【分析】先求出数列的第n项=，然后根据等比数列的求和公式进行求解即可．【解答】解：a n﹣a n=2n+1+1﹣（2n+1）=2n+1∴=∴=++…+=故选C．4．已知数列{a n}中a1=1以后各项由公式a n=a n+（n≥2）给出，则a4=（）﹣1A． B．﹣C． D．【考点】数列递推式．【分析】因为，由此可知，，．【解答】解：∵，∴，，．故选A．5．已知数列﹣1，a1，a2，﹣4成等差数列，﹣1，b1，b2，b3﹣4成等比数列，则的值是（）A． B． C．或D．【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】由等差数列的通项公式可得﹣4=﹣1+3d，求得公差d=a2﹣a1的值，由等比数列的通项公式可得﹣4=﹣1q4，求得q2的值，即得b2的值，从而求得的值．【解答】解：∵数列﹣1，a1，a2，﹣4成等差数列，由﹣4=﹣1+3d，求得公差d=a2﹣a1==﹣1．∵﹣1，b1，b2，b3，﹣4成等比数列，由﹣4=﹣1q4，求得q2=2，∴b2=﹣1q2=﹣2．则==，故选A．6．已知S n为等比数列{a n}的前n项和，a1=2，若数列{1+a n}也是等比数列，则S n等于（）A．2n B．3n C．2n+1﹣2 D．3n﹣1【考点】等比数列的性质；数列的求和．【分析】根据{a n}为等比数列可知a1a3=a22，由数列{a n+1}也是等比数列可知（a1+1）（a3+1）=（a2+1）2，两式联立可得a1=a3，推断{a n}是常数列，每一项是2，进而可得S n．【解答】解：{a n}为等比数列，则a1a3=a22，数列{a n+1}也是等比数列，则（a1+1）（a3+1）=（a2+1）2得：a1+a3=2a2∴（a1+a3）2=4（a2）2=4（a1a3）∴（a1﹣a3）2=0∴a1=a3即{a n}是常数列，a n=a1=2{a n+1}也是常数列，每一项都是3故S n=2n故答案选A7．数列{a n}满足a1=1，a2=，且（n≥2），则a n等于（）A． B．（）n﹣1C．（）n D．【考点】数列递推式．【分析】将递推公式变形，得到一个新的等差数列，再求它的通项公式，然后求a n．【解答】解：∵（n≥2），∴∵a1=1，a2=，∴∴数列{}是以1为首项，以公差的等差数列，∴=∴故答案选A8．若S n为等差数列{a n}的前n项和，S9=﹣36，S13=﹣104，则a5与a7的等比中项为（）A． B． C． D．32【考点】等差数列的前n项和；等比数列的性质．【分析】利用等差数列的求和公式及S9=﹣36，S13=﹣104可求首项及公差d，进而可求a5与a7，等比中项为A，则A2=a5•a7，代入可求【解答】解：设等差数列的首项为a1，公差为d由题意可得，解可得，a1=4，d=﹣2设a5与a7的等比中项为A，则A2=a5•a7=（﹣4）×（﹣8）=32所以，故选：C9．设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值【考点】等差数列的前n项和．，易推出a6＞0，a7=0，a8＜0，然后逐一分析各【分析】利用结论：n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1选项，排除错误答案．【解答】解：由S5＜S6得a1+a2+a3+…+a5＜a1+a2++a5+a6，即a6＞0，又∵S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0，故B正确；同理由S7＞S8，得a8＜0，∵d=a7﹣a6＜0，故A正确；而C选项S9＞S5，即a6+a7+a8+a9＞0，可得2（a7+a8）＞0，由结论a7=0，a8＜0，显然C 选项是错误的．∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴S6与S7均为S n的最大值，故D正确；故选C．10．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f（n）=n（n+1）（2n+1）吨，但如果年产量超过150吨，会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是（）A．5年B．6年C．7年D．8年【考点】函数模型的选择与应用．【分析】先化简得到第n年的产量函数，再令第n年的年产量小于等于150，即可求得该厂这条生产线拟定最长的生产期限．【解答】解：第n年的年产量y=∵∴f（1）=3，当n ≥2时，，∴f （n ）﹣f （n ﹣1）=3n 2． n=1时，也满足上式， ∴第n 年的年产量为y=3n 2． 令3n 2≤150， ∴n 2≤50， ∵n ∈N ，n ≥1 ∴1≤n ≤7∴n max =7． 故选C ．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把答案填在题中横线上） 11．已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足S n =（1﹣a n ），则数列{a n }的通项为 a n =（）n ．【考点】数列递推式．【分析】由S n =（1﹣a n ）知，当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣a n +a n ﹣1，整理可得=，由S 1=a 1=（1﹣a 1）⇒a 1=，从而可知数列{a n }是首项为，公比为的等比数列，于是可求得数列{a n }的通项．【解答】解：因为S n =（1﹣a n ），所以，当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=（1﹣a n ）﹣（1﹣a n ﹣1）=﹣a n +a n ﹣1， 化简得2a n =﹣a n +a n ﹣1，即=．又由S 1=a 1=（1﹣a 1），得a 1=，所以数列{a n }是首项为，公比为的等比数列． 所以a n =×（）n ﹣1=（）n ．故答案为：a n =（）n12．已知{a n }为等差数列，且a 3=﹣6，a 6=0．等比数列{b n }满足b 1=﹣8，b 2=a 1+a 2+a 3，则{b n }的前n 项和S n = 4（1﹣3n ） ． 【考点】等比数列的前n 项和．【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式与求和公式即可得出． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 3=﹣6，a 6=0，∴， 解得a 1=﹣10，d=2，∴a n =﹣10+（n ﹣1）•2=2n ﹣12．设等比数列{b n }的公比为q ，∵b 2=a 1+a 2+a 3=﹣24，b 1=﹣8， ∴﹣8q=﹣24，即q=3，∴{b n }的前n 项和为S n ==4（1﹣3n ）． 故答案为：4（1﹣3n ）．13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，若n ≥2时，a n 是S n 与S n ﹣1的等差中项，则S 5= 81 ．【考点】数列的求和．【分析】根据已知条件推知数列{a n }的通项公式，从而易求S 5的值． 【解答】解：由题意知n ≥2时，2a n =S n +S n ﹣1，①∴2a n +1=S n +1+S n ，②由②﹣①得：2a n +1﹣2a n =a n +1+a n ， ∴a n +1=3a n （n ≥2），又n=2时，2a 2=S 2+S 1， ∴a 2=2a 1=2，∴数列{a n }中，a 1=1，a 2=2，a n =2×3n ﹣2（n ≥2）， ∴S 5=81．故答案是：81．14．已知函数f （x ）对应关系如表所示，数列{a n }满足a 1=3，a n +1=f （a n ），则a xx = 3 ． x 1 2 3 f （x ） 3 2 1 【考点】函数的对应法则．【分析】根据表格中给出的值，归纳得到f （x ）的函数式，把a n 和a n +1代入后得到递推式以a n +1=﹣a n +4，把n 换成n +1得另外一个式子，两式作差后得出数列{a n }的规律，从而求出a xx ．【解答】解：由表可知：f （1）=3，f （2）=2，f （3）=1， 所以f （x ）=﹣x +4， 因为a n +1=f （a n ），所以a n +1=﹣a n +4① 则a n +2=﹣a n +1+4②②﹣①得：a n +2=a n ，则a xx =a 2011=…=a 1=3． 故答案为3．15．在数列{a n }中，若a n 2﹣a n ﹣12=p （n ≥2，n ∈N ×，p 为常数），则称{a n }为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断；①若{a n }是等方差数列，则{a n 2}是等差数列； ②{（﹣1）n }是等方差数列；③若{a n }是等方差数列，则{a }（k ∈N +，k 为常数）也是等方差数列； ④若{a n }既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列． 其中正确命题序号为 ①②③④ ．（将所有正确的命题序号填在横线上） 【考点】等差数列的性质．【分析】根据等差数列的性质及题中的等方差数列的新定义，即可判断出正确的答案． 【解答】解：①因为{a n }是等方差数列，所以a n 2﹣a n ﹣12=p （n ≥2，n ∈N ×，p 为常数）成立，得到{a n 2}为首项是a 12，公差为p 的等差数列；②因为a n 2﹣a n ﹣12=（﹣1）2n ﹣（﹣1）2n ﹣1=1﹣（﹣1）=2，所以数列{（﹣1）n }是等方差数列；③数列{a n }中的项列举出来是：a 1，a 2，…，a k ，a k +1，a k +2，…，a 2k ，…，a 3k ，… 数列{a kn }中的项列举出来是：a k ，a 2k ，a 3k ，…因为a k +12﹣a k 2=a k +22﹣a k +12=a k +32﹣a k +22=…=a 2k 2﹣a k 2=p所以（a k +12﹣a k 2）+（a k +22﹣a k +12）+（a k +32﹣a k +22）+…+（a 2k 2﹣a 2k ﹣12）=a 2k 2﹣a k 2=kp ， 类似地有a kn 2﹣a kn ﹣12=a kn ﹣12﹣a kn ﹣22=…=a kn +32﹣a kn +22=a kn +22﹣a kn +12=a kn +12﹣a kn 2=p 同上连加可得a kn +12﹣a kn 2=kp ，所以，数列{a kn }是等方差数列；④{a n }既是等方差数列，又是等差数列，所以a n 2﹣a n ﹣12=p ，且a n ﹣a n ﹣1=d （d ≠0），所以a n +a n ﹣1=，联立解得a n =+，所以{a n }为常数列，当d=0时，显然{a n }为常数列，所以该数列为常数列． 综上，正确答案的序号为：①②③④ 故答案为：①②③④三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n +1=4a n ﹣2，且a 1=2．（Ⅰ） 求证：对任意n ∈N *，a n +1﹣2a n 为常数C ，并求出这个常数C ； （Ⅱ）如果，求数列{b n }的前n 项的和． 【考点】数列递推式；数列的求和． 【分析】（Ⅰ） 利用S n +1=4a n ﹣2，与S n =4a n ﹣1﹣2，推出a n +1﹣2a n =（a 2﹣a 1）•2n ﹣1． 通过a 2+a 1=4a 1﹣2，a 1=2，推出a 2=4．得到C=0．（Ⅱ）利用，求出数列{b n }的通项公式，然后求出数列前n 项的和． 【解答】解：（Ⅰ）∵S n +1=4a n ﹣2，且S n =4a n ﹣1﹣2，相减得：a n +1=4（a n ﹣a n ﹣1）， a n +1﹣2a n =2（a n ﹣a n ﹣1），∴a n +1﹣2a n =（a 2﹣2a 1）•2n ﹣1． 又a 2+a 1=4a 1﹣2，∵a 1=2，∴a 2=4．∴a n +1﹣2a n =0． ∴C=0．… （Ⅱ）∵， ∴=． ，所以数列{b n }是等比数列， ∴=…17．在等比数列{a n }中，a n ＞0（n ∈N *），且a 1a 3=4，a 3+1是a 2和a 4的等差中项． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n }满足b n =a n +1+log 2a n （n=1，2，3…），求数列{b n }的前n 项和S n ． 【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和． 【分析】（I ）求数列{a n }的通项公式，设出公比为q ，由a 1a 3=4，a 3+1是a 2和a 4的等差中项，这两个方程联立即可求出首项与公比，通项易求． （II ）若数列{b n }满足b n =a n +1+log 2a n （n=1，2，3…），由（I ）知求数列{b n }的前n 项和S n 要用分组求和的技巧． 【解答】解：（I ）设等比数列{a n }的公比为q ． 由a 1a 3=4可得a 22=4， 因为a n ＞0，所以a 2=2 依题意有a 2+a 4=2（a 3+1），得2a 3=a 4=a 3q 因为a 3＞0，所以，q=2.. 所以数列{a n }通项为a n =2n ﹣1 （II ）b n =a n +1+log 2a n =2n +n ﹣1 可得=18．设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1=b 1=1，a 3+b 5=21，a 5+b 3=13． （Ⅰ）求{a n }、{b n }的通项公式； （Ⅱ）求数列的前n 项和S n ．【考点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和． 【分析】（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d 和q ，进而可得{a n }、{b n }的通项公式．（Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n 项和S n ． 【解答】解：（Ⅰ）设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则依题意有q ＞0且 解得d=2，q=2．所以a n =1+（n ﹣1）d=2n ﹣1，b n =q n ﹣1=2n ﹣1．（Ⅱ）， ，① S n =，②①﹣②得S n =1+2（++…+）﹣， 则===．19．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的n ∈N *，点（a n ，S n ）都在直线2x ﹣y ﹣2=0的图象上．（1）求{a n }的通项公式；（2）是否存在等差数列{b n }，使得a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =（n ﹣1）•2n +1+2对一切n ∈N *都成立？若存在，求出{b n }的通项公式；若不存在，说明理由． 【考点】数列与函数的综合；数列的求和． 【分析】（1）由题意得2a n ﹣S n ﹣2=0可得当n ≥2时由2a n ﹣S n ﹣2=0，2a n ﹣1﹣S n ﹣1﹣2=0两式相减可得即a n =2a n ﹣1可证（2）假设存在等差数列b n ，使得a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =（n ﹣1）•2n +1+2对一切n ∈N *都成立，则n=1时，b 1，当n ≥2时由a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =（n ﹣1）•2n +1+2，a 1b 1+a 2b 2+a n ﹣1b n ﹣1=（n ﹣1﹣1）•2n +2，两式相减可求 【解答】解：（I ）由题意得2a n ﹣S n ﹣2=0 当n=1时，2a 1﹣S 1﹣2=0得a 1=2当n ≥2时由2a n ﹣S n ﹣2=0（1）得2a n ﹣1﹣S n ﹣1﹣2=0（2） （1）﹣（2）得2a n ﹣2a n ﹣1﹣a n =0即a n =2a n ﹣1 因为a 1=2所以，所以a n 是以2为首项，2为公比的等比数列 所以a n =2•2n ﹣1=2n（2）假设存在等差数列b n ，使得a 1b 1+a 2b 2++a n b n =（n ﹣1）•2n +1+2对一切n ∈N *都成立 则当n=1时，a 1b 1=（1﹣1）•21+2得b 1=1当n ≥2时由a 1b 1+a 2b 2++a n b n =（n ﹣1）•2n +1+2（3） 得a 1b 1+a 2b 2+a n ﹣1b n ﹣1=（n ﹣1﹣1）•2n +2（4） （3）﹣（4）得a n b n =n •2n 即b n =n 当n=1时也满足条件，所以b n =n因为为等差数列{b n }，故存在b n =n （n ∈N *）满足条件20．已知数列{a n }满足a 1=3，a n +1﹣3a n =3n （n ∈N +）．数列{b n }满足b n =3﹣n a n ． （1）求证：数列{b n }是等差数列；（2）设S n =+++…+，求满足不等式＜＜的所有正整数n 的值．【考点】数列递推式；数列与不等式的综合．【分析】（1）由b n =3﹣n a n 得a n =3n b n ，则a n +1=3n +1b n +1．由此入手，能够证明数列{b n }是等差数列；（2）因为数列{b n }是首项为b 1=3﹣1a 1=1，公差为等差数列，所以，a n =3n b n =（n +2）×3n ﹣1．由此能手能够求出满足不等式的所有正整数n 的值．【解答】（1）证明：由b n =3﹣n a n 得a n =3n b n ，则a n +1=3n +1b n +1． 代入a n +1﹣3a n =3n 中，得3n +1b n +1﹣3n +1b n =3n ，即得．所以数列{b n }是等差数列．（2）解：因为数列{b n }是首项为b 1=3﹣1a 1=1，公差为等差数列， 则，则a n =3n b n =（n +2）×3n ﹣1．从而有，故．则，由，得．即3＜3n ＜127，得1＜n ≤4．故满足不等式的所有正整数n 的值为2，3，4．21．已知等差数列{a n }的前5项和为105，且a 10=2a 5．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）对任意m ∈N *，将数列{a n }中不大于72m 的项的个数记为b m ．求数列{b m }的前m 项和S m ．【考点】数列的求和；等差数列的前n 项和；等差数列的性质．【分析】（I ）由已知利用等差数列的通项公式及求和公式代入可求a 1，d ，从而可求通项 （II ）由（I ）及已知可得，则可得，可证{b m }是等比数列，代入等比数列的求和公式可求【解答】解：（I ）由已知得：解得a 1=7，d=7，所以通项公式为a n =7+（n ﹣1）•7=7n ．（II ）由，得n ≤72m ﹣1，即．∵=49∴{b m }是公比为49的等比数列，∴．xx年11月30日35664 8B50 譐27542 6B96 殖-W(26288 66B0 暰36557 8ECD 軍/L`-823162 5A7A 婺(26372 6704 朄。
2021-2022年高三上学期9月月考数学(理)试题 含答案
2021年高三上学期9月月考数学（理）试题含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1.设全集，集合，，则等于( )A. B. C. D.2.已知函数在是单调函数，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.3.函数的图像大致是( )4.已知，则等于( )A. B.7 C. D.5.已知中，，则B等于( )A. B.或 C. D.或6.要得到函数的导函数的图像，只需将的图像( )A.向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的（横坐标不变）B.向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）C.向右平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的（横坐标不变）D.向左平移个单位，再把各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）7.已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是BC、CD的中点，如果，那么向量等于( )A. B. C. D.8.若，则( )A. B. C. D.9. 如果，那么以A,B,C为内角的是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形10.在钝角中，角A,B,C所对的边分别为，且满足，，则的取值范围是( )A. B. C. D.11.已知函数的周期为2，当时，那么函数与函数的图像的交点共有( )A.10个B.9个C.8个D.1个12.已知．现有下列命题：①；②；③. 其中的所有正确命题的序号是（）A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13若，则的值是。
14. 如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度（单位：km）：AB=5，BC=8，CD=3，DA=5，且和互补，则AC 的长为 km 。
15.规定运算：，例如：，则函数的值域为 。
16.关于函数，有下列命题： ①若，则必是的整数倍； ②的表达式可改写为； ③的图象关于点对称；④的图象关于直线对称.其中正确的是 。
高三数学上学期9月月考试题 文含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校平罗2021届高三数学上学期9月月考试题文〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.每一小题给出的四个选项里面，只有一项符合题目要求〕． 1.全集{}06U x Z x =∈<<，{}3,4,5B =，那么UB =〔〕A.{}1,2,3B.{}1,2C.{}0,1,2D.{}0,1,2,3【答案】B 【解析】 【分析】先计算出全集U ，然后利用补集的定义求出集合UB .【详解】全集{}{}061,2,3,4,5Ux Z x =∈<<=，{}3,4,5B =，因此，{}1,2UB =，应选B.【点睛】此题考察有限数集补集的运算，解题的关键就是补集定义的应用，考察计算才能，属于根底题. 2.〕A.“假设x 2﹣3x +2＝0，那么x ＝1”“假设x ≠1，那么x 2﹣3x +2≠0” B.假设p ：∀x ≥0，sinx ≤1，那么￢p ：∃x 0≥0，sinx 0＞1 C.“p ∧q 〞p ，qD.“x ＞2”是x 2﹣3x +2＞0”的充分不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】ABC ；由充分必要条件的定义和二次不等式的解法可判断D.【详解】对于A ，“假设x 2﹣3x +2＝0，那么x ＝1”“假设x ≠1，那么x 2﹣3x +2≠0”，故A 正确； 对于B ，p ：∀x ≥0，sinx ≤1，那么￢p ：∃x 0≥0，sinx 0＞1，故B 正确； 对于C“p ∧q 〞p ，q对于D ，“x ＞2”可得x 2﹣3x +2＞0”，反之那么不成立，故“x ＞2”是x 2﹣3x +2＞0”的充分不必要条件，故D 正确. 应选：C 【点睛】.3.以下函数中，是奇函数且在定义域内为增函数的是〔〕 A.y ＝x 2B.y ＝e xC.y ＝x ﹣1D.y ＝x +sinx【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用函数奇偶性的定义依次分析选项里面函数的奇偶性与单调性，综合即可得到答案. 【详解】对于A ，y ＝x 2为二次函数，为偶函数且在其定义域内不是增函数，不符合题意； 对于B ，y ＝e x为指数函数，为非奇非偶函数，在定义域为增函数，不复合题意； 对于C ，y ＝x ﹣1为反比例函数，为奇函数，在定义域内不是增函数，不复合题意； 对于D ，y ＝x +sinx ，为奇函数，1cos 0y x '=+≥，即函数在定义域内为增函数，符合题意；应选：D【点睛】此题主要考察函数的奇偶性与单调性，需掌握函数奇偶性的定义以及函数单调性与导数的关系，属于根底题. 4.sinθ﹣cosθ15=，那么sin 2θ的值是〔〕 A.2425B.2425-C.725D.725-【答案】A 【解析】 【分析】由同角三角函数的关系以及二倍角正弦公式，对sinθ﹣cosθ15=两边平方即可求解. 【详解】由sinθ﹣cosθ15=， 两边同时平方可得221sin 2sin cos cos 25θθθθ-+=， 即11sin 225θ-=， 所以24sin 225θ=，应选：A【点睛】此题主要考察同角三角函数的关系以及二倍角公式，需熟记公式，属于根底题. 5.奇函数f 〔x 〕满足f 〔x +2〕＝﹣f 〔x 〕，且x ∈〔0，1]时，()12f x x=，那么f 〔7〕＝〔〕A.﹣1B.1C.2D.﹣2【答案】A 【解析】 【分析】 利用奇函数的性质和()()2f x f x +=-，将()7f 转化为()1f -，代入解析式即可求解.【详解】奇函数f 〔x 〕满足f 〔x +2〕＝﹣f 〔x 〕， 可得()()4f x f x +=，函数的周期为4，当x ∈〔0，1]时，()12f x x=，那么()()()()7724111f f f f =-⨯=-=-=-，应选：A【点睛】此题主要考察函数的奇偶性与周期性，利用周期性与奇偶性求函数值，属于根底题. 6.函数()3lg f x x x =-+零点所在区间为〔〕A.()0,1 B.()1,2C.()2,3D.()3,4【答案】C 【解析】 【分析】利用零点存在性定理计算()()0f a f b ⋅<，由此求得函数零点所在区间.【详解】依题意可知()f x 在()0,∞+上为增函数，且()2lg210f =-<，()3lg30f =>，()()230f f ⋅<，所以函数零点在区间()2,3.应选C.【点睛】本小题主要考察零点存在性定理的运用，属于根底题. 7.假设实数a b ，满足log 2log 2a b <，那么以下关系中不可能成立．．．．．的是〔〕 A.01b a <<< B.01a b <<< C.1a b >>D.01b a <<<【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合对数函数的性质，依次分析选项，综合即可得答案． 【详解】根据题意，实数a ，b 满足log 2log 2a b <，对于A ，假设a ，b 均大于0小于1，依题意，必有01b a <<<，故A 有可能成立；对于B ，假设log 20log 2b a >>，那么有01a b <<<，故B 有可能成立； 对于C ，假设a ，b 均大于1，由log 2log 2a b <，知必有1a b >>，故C 有可能成立；对于D ，当01b a <<<时，log 20a >，log 20b <，log 2log 2a b <不能成立，应选D ．【点睛】此题考察对数函数的单调性，注意分类讨论a 、b 的值，属于中档题. 8.函数f 〔x 〕＝﹣2sin 2x ﹣3cosx 在[0，2π〕的零点为〔〕 A.23π B.43π C.23π和43π D.23π和23π- 【答案】C 【解析】 【分析】由函数零点与方程根的关系，解方程：22sin 3cos 0x x --=即可求解.【详解】令()0f x =，即22sin 3cos 0x x --=，所以22(1cos )3cos 0x x ---=解得1cos 2x=-或者cos 2x =〔舍去〕 又因为[)0,2x π∈，所以23x π=或者43x π=，应选：C【点睛】此题考察了函数的零点以及三角函数值，需掌握零点的定义以及特殊的三角函数值，属于根底题. 9.函数f 〔x 〕＝e |x |﹣1的单调递增区间和最小值为〔〕A.〔﹣∞，0〕，1B.〔﹣∞，0〕，0C.〔0，+∞〕，1D.〔0，+∞〕，0【答案】D 【解析】 【分析】首先判断函数为偶函数，利用导函数讨论0x >的单调性即可求出单调递增区间，由函数的单调性即可求出最小值. 【详解】当0x >时，()1xf x e =-，那么()0x f x e '=>，所以函数在()0,∞+上单调递增，又()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，由偶函数的性质可得：函数在(),0-∞上单调递减，所以()()min 00f x f ==应选：D【点睛】此题主要考察利用导数求函数的单调区间以及函数的最值，解题的关键是求出导函数，属于根底题. 10.x ＝2为函数f 〔x 〕＝x 3﹣ax 的极小值点，那么f 〔x 〕的极大值为〔〕 A.﹣16 B.16C.4D.﹣4【答案】B 【解析】【分析】根据x ＝2为函数的极值点可得()20f '=，从而求出12a =，根据极值的定义即可求出极大值.【详解】由()3f x x ax =-，所以()23f x x a '=-，2x =为函数()3f x x ax =-的极小值点，()20f '∴=，即2320a ⨯-=，解得12a =,∴()2312f x x '=-，令()0f x '=解得2x =或者2x =-，令()0f x '>，解得2x >或者2x <-，所以函数()f x 的单调递增区间为(),2-∞-和()2,+∞令()0f x '<，解得22x -<<，所以函数()f x 的单调递减区间为()2,2-即2x =-为函数的极大值点，()()()32212216f -=--⨯-=应选：B【点睛】此题考察了函数的极值，需掌握函数极值的定义，解题的关键是求导函数，属于根底题.11.α、β都为锐角，且7sin α=、14cos β=，那么α﹣β＝〔〕A.3π-B.3π C.6π-D.6π 【答案】C 【解析】 【分析】由同角三角函数的关系以及两角和与差的公式即可求解.【详解】因为α、β都为锐角，且sin α=cos β=所以cos 7α=，sin 14β=，由()491sinsin cos cos sin 714714982αβαβαβ-=-=-⋅=-=-， 且α、β都为锐角，所以6παβ-=-应选：C【点睛】此题主要考察同角三角函数的关系以及两角和与差的正弦公式，属于根底题.12.偶函数f 〔x 〕的导函数是f '〔x 〕，当x ＞0时，f 〔x 〕+xf '〔x 〕＞0，且f 〔2〕＝0，那么f 〔x 〕＞0的解集为〔〕A.〔﹣∞，﹣2〕∪〔2，+∞〕B.〔﹣2，0〕∪〔0，2〕C.〔﹣2，0〕∪〔2，+∞〕D.〔﹣∞，﹣2〕∪〔0，2〕【答案】A 【解析】 【分析】根据条件构造函数()()g x xf x =，利用函数的单调性和导数之间的关系，判断函数()g x 的单调性，然后根据函数()f x 的奇偶性判断函数()f x 的取值情况，即可求得不等式的解集.【详解】构造函数()()g x xf x =，那么()()()g x f x xf x ''=+，当x ＞0时，()()0f x xf x '+>恒成立，即()()()0g x f x xf x ''=+>恒成立，∴在()0,∞+内()g x 单调递增，()20f =，∴()f x 在()0,2内恒有()0f x <；在()2,+∞内恒有()0f x >又()f x 是定义在R 上的偶函数，∴()f x 在()2,0,-内恒有()0f x <；在(),2-∞-内恒有()0f x > ∴不等式()0f x >的解集为〔﹣∞，﹣2〕∪〔2，+∞〕.应选：A【点睛】此题主要考察导数在函数中的应用，解题的关键是根据条件构造函数，并利用导数判断函数的单调性，属于中档题.二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，请将答案填在答题卡的相应位置〕．13.假设函数()()32050log x x f x x x ⎧-=⎨-+≥⎩，＜，，且f 〔a 〕＝1，那么a ＝_____【答案】﹣3或者2 【解析】 【分析】讨论a 的取值范围，代入对应的表达式解方程即可求解.【详解】∵函数()()32050log x x f x x x ⎧-=⎨-+≥⎩，＜，，且f 〔a 〕＝1，∴当a ＜0时，f 〔a 〕＝log 3〔﹣a 〕＝1，解得a ＝﹣3； 当a ≥0时，f 〔a 〕＝﹣a 2+5＝1，解得a ＝2或者a ＝﹣2〔舍〕． 综上，a 的值是﹣3或者2．故答案为：﹣3或者2【点睛】此题考察分段函数求参数值，考察了分类讨论的思想，属于根底题. 14.函数f 〔x 〕23x=-在点〔1，f 〔1〕〕处的切线方程为_____ 【答案】y ＝﹣2x +1 【解析】 【分析】 求出()12f '=-，利用导数的几何意义得出切线的斜率，由点斜式方程即可求解.【详解】由题得点为〔1，﹣1〕，()22f x x '=-，所以斜率为()12f '=-，所以切线方程为y ＝﹣2〔x ﹣1〕﹣1＝﹣2x +1． 故答案为：y ＝﹣2x +1【点睛】此题考察曲线的切线方程，需理解导数的几何意义以及点斜式方程，属于根底题. 15.函数f 〔x 〕是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f 〔x 〕＝2x+x ，那么f 〔﹣1〕＝_____ 【答案】3- 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性即可求值.【详解】根据题意，当x ＞0时，f 〔x 〕＝2x+x ，那么f 〔1〕＝2+1＝3， 又由f 〔x 〕为奇函数，那么f 〔﹣1〕＝﹣f 〔1〕＝﹣3； 故答案为：3-【点睛】此题考察利用函数的奇偶性求函数值，需掌握奇偶性的特征，属于根底题. 16.sin15°+cos15°=__. 【答案】【解析】三、解答题〔本大题一一共5小题，一共70分.解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕． 17.函数f 〔x 〕＝x 2﹣x ﹣alnx ．〔1〕当a ＝3时，求f 〔x 〕在[1，2]上的最大值与最小值； 〔2〕假设f 〔x 〕在〔0，+∞〕上单调递增，求a 的取值范围．【答案】〔1〕33()342min f x ln =-，f 〔x 〕max ＝0〔2〕18∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦， 【解析】 【分析】〔1〕首先求出函数的导函数，利用导函数判断函数的单调性，再结合函数的定义域即可求解.〔2〕利用导函数转化为f ′〔x 〕≥0在〔0，+∞〕上恒成立，采用别离参数法即a ≤2x 2﹣x 在〔0，+∞〕上恒成立，令()22gx x x =-，求()g x 在()0,∞+的最小值即可.【详解】〔1〕解：当a ＝3时，f 〔x 〕＝x 2﹣x ﹣3lnx 〔x ＞0〕；()()()231321x x f x x x x-+'=--=； ∴f 〔x 〕在312⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在322，⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增； ∴当x ∈[1，2]时，333()3242min f x f ln ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；f 〔1〕＝0，f 〔2〕＝2﹣3ln 2；∴f 〔x 〕max ＝f 〔1〕＝0； 〔2〕解：()21af x x x'=--； 假设f 〔x 〕在〔0，+∞〕上单调递增， 即()0f x '≥在〔0，+∞〕上恒成立；那么a ≤2x 2﹣x 在〔0，+∞〕上恒成立； 令g 〔x 〕＝2x 2﹣x ，那么g ′〔x 〕＝4x ﹣1； 易知，11()48ming x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；∴a 18≤-，即a 的取值范围是18∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦，． 【点睛】此题主要考察导数求函数的最值以及根据函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题. 18.角α的终边过点〔1，2〕．〔1〕求()()()2sin cos cos sin πααπαα----+的值；〔2〕假设tan 〔α+β〕＝﹣1，求tan 2β的值． 【答案】〔1〕3〔2〕34- 【解析】 【分析】〔1〕根据终边上的点求出tan 2α=，再利用诱导公式化简、代入求值即可. 〔2〕利用正切的两角和的公式展开求出tan 3β=，再根据正切的二倍角公式即可求值.【详解】由角α的终边过点P 〔1，2〕，可得tanα＝2，〔1〕()()()2221221121sin cos sin cos tan cos sin cos sin tan παααααπααααα-----⨯-====-+-+--3．〔2〕∵tan 〔α+β〕2112tan tan tan tan tan tan αββαββ++===---1，∴解得：tanβ＝3， ∴tan 2β2222331134tan tan ββ⨯===---．【点睛】此题主要考察三角函数的诱导公式以及正切的两角和与差的公式、二倍角公式，需熟记公式，属于根底题.19.第三高三年级统计学生的最近20次数学周测成绩，现有甲乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示: 〔1〕根据茎叶图求甲乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完好； 〔2〕根据茎叶图比较甲乙两位同学数学成绩的平均值及稳定程度〔不要求计算出详细值，给出结论即可〕； 〔3〕现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件A 为“其中2个成绩分别属于不同的同学〞，求事件A 发生的概率.【答案】〔1〕见解析；〔2〕乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中；〔3〕35. 【解析】 【分析】〔1〕直接由茎叶图求解.〔2〕由茎叶图中数据的集中程度直接判断．〔3〕甲同学的不低于140分的成绩有2个设为a ，b ，乙同学的不低于140分的成绩有3个，设为c ，d ，e ，即可求得任意选出2个成绩有10种，其中2个成绩分属不同同学的情况有6种，利用古典概型概率公式即可得解．【详解】〔1〕甲的成绩的中位数是119，乙的成绩的中位数是128，同学乙的成绩的频率分布直方图如下：〔2〕从茎叶图可以看出，乙的成绩的平均分比甲的成绩的平均分高，乙同学的成绩比甲同学的成绩更稳定集中.〔3〕甲同学的不低于140分的成绩有2个设为a ，b ，乙同学的不低于140分的成绩有3个，设为c ，d ，e ,现从甲乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩有：(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )一共10种， 其中2个成绩分属不同同学的情况有：(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )一共6种，因此事件A 发生的概率P(A)=63105=. 【点睛】此题主要考察了茎叶图知识，考察了平均数计算及稳定性判断，还考察了古典概型概率计算，属于根底题．20.椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞的左右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线交椭圆C 与A 、B 两点，△AF 2B的周长为C 经过点12⎛ ⎝⎭，．〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕当AB 的中点坐标为2133⎛⎫- ⎪⎝⎭，时，求△AF 2B 的面积． 【答案】〔1〕22x +y 2＝1〔2〕43 【解析】【分析】〔1〕根据椭圆的定义求出a =1b =即可.〔2〕根据设出直线方程，将直线与椭圆联立，利用中点弦公式求出直线方程，再由弦长公式以及点到直线的间隔即可求解.【详解】〔1〕∵△AF 2B 的周长为，故4a ＝，即a =又椭圆经过点〔1，∴21122b +=1，即b ＝1， ∴椭圆方程为22x +y 2＝1． 〔2〕由椭圆方程可知F 1〔﹣1，0〕，F 2〔1，0〕．∵AB 的中点〔23-，13〕在第二象限，显然直线AB 有斜率且斜率大于0， 设直线AB 的方程为y ＝k 〔x +1〕〔k ＞0〕， 代入椭圆方程可得：〔12+k 2〕x 2+2k 2x +k 2﹣1＝0， 设A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕，即2122222132k x x k +=-=-⨯+， 解得：k ＝1，于是x 1x 2＝0，∴|AB|==43=．又直线AB 的方程为：y ＝x +1，F 2〔1，0〕，∴F 2到直线AB 的间隔d == ∴△ABF 2的面积为14233⨯=． 【点睛】此题主要考察椭圆的HY 方程、直线与椭圆的位置关系，需掌握住弦长公式、点到直线的间隔公式，属于中档题.21.函数f 〔x 〕＝e x﹣ax ﹣1，a ∈R ．〔1〕当a ＝2时，求函数f 〔x 〕的单调性；〔2〕设a ≤0，求证：x ≥0时，f 〔x 〕≥x 2．【答案】〔1〕f 〔x 〕在〔﹣∞，ln 2〕上单调递减，在〔ln 2，+∞〕上单调递增〔2〕证明见解析【解析】【分析】〔1〕将a 代入，求函数的导函数，由函数的单调性与导数即可求解.〔2〕利用分析法，将不等式转化为f〔x〕﹣x2＝e x﹣ax﹣1﹣x2≥0恒成立，令g〔x〕＝e x﹣ax﹣1﹣x2，研究()g x的单调性即可证明.【详解】〔1〕解：当a＝2时，f〔x〕＝e x﹣2x﹣1；f′〔x〕＝e x﹣2；当f′〔x〕＝0时，x＝ln2；∴f〔x〕在〔﹣∞，ln2〕上单调递减，在〔ln2，+∞〕上单调递增；〔2〕证明：令g〔x〕＝f〔x〕﹣x2；即证当x≥0时，g〔x〕＝f〔x〕﹣x2＝e x﹣ax﹣1﹣x2≥0恒成立；g′〔x〕＝e x﹣2x﹣a；令h〔x〕＝g′〔x〕，那么h′〔x〕＝e x﹣2；由第〔1〕问可知，h〔x〕min＝h〔ln2〕＝2﹣2ln2﹣a；∵a≤0；∴h〔ln2〕＞0；∴g′〔x〕＞0，即g〔x〕在[0，+∞〕上单调递增；∴g〔x〕≥g〔0〕＝0；∴当x≥0时，f〔x〕≥x2．【点睛】此题考察利用导函数研究函数的单调性以及不等式的证明，考察学生的逻辑推理才能，属于中档题请考生在题〔22〕〔23〕中任选一题答题，假设多做，那么按所做的的第一题计分．做题时需要用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并填写上序号．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1212xy t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔t为参数〕，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝4cosθ．〔1〕求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；〔2〕假设直线l与x轴的交点为F，直线l与曲线C的交点为A、B，求|FA|+|FB|的值．【答案】〔1〕直线l的普通方程为10x-=，曲线C的直角坐标方程为y2＝4x〔2〕16【解析】【分析】〔1〕消参即可求出直线l 的普通方程，由sin cos y x ρθρθ=⎧⎨=⎩代入即可求出曲线C 的直角坐标方程. 〔2〕将直线的参数方程代入曲线方程，根据韦达定理求出12t t +=t 1•t 2＝﹣16〔t 1和t 2为A 、B 对应的参数〕，由12FA FB t t +=-即可求解.【详解】〔1〕直线l的参数方程为1212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔t 为参数〕，转换为直角坐标方程为10x -=．曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cosθ．整理得〔ρsinθ〕2＝4ρcosθ，转换为直角坐标方程为y 2＝4x ． 〔2〕由于直线l 与x 轴的交点坐标为〔1，0〕，所以把直线l的参数方程1212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩〔t 为参数〕代入y 2＝4x ，得到24142t ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，即2160t --=，所以12t t +=t 1•t 2＝﹣16〔t 1和t 2为A 、B 对应的参数〕， 所以|FA |+|FB|1216t t =-===．【点睛】此题考察了参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，考察了直线与抛物线相交的焦点弦长，属于根底题.23.设()22f x x x =-++〔1〕解不等式()6f x ≥； 〔2〕对任意的非零实数x ，有2()2f x m m ≥-+恒成立，务实数m 的取值范围.【答案】〔1〕33x x ≤-≥或〔2〕12m -≤≤【解析】【分析】〔1〕通过讨论x 的范围去绝对值符号，从而解出不等式．〔2〕2()2f x m m ≥-+恒成立等价于2min ()2f x m m ≥-+恒成立的问题即可解决．【详解】〔1〕()22f x x x =-++ 令202,202x x x x -=⇒=+=⇒=- 当2x -≤时()()2262263x x x x x -++≥⇒---+≥⇒≤- 当2x ≥时()()2262263x x x x x -++≥⇒-++≥⇒≥当22x -<<时()()22622646x x x x -++≥⇒--++≥⇒≥综上所述33x x ≤-≥或〔2〕2()2f x m m ≥-+恒成立等价于2min ()2f x m m ≥-+()()()22224f x x x x x =-++≥--+=〔当且仅当()()220x x -⋅+≤时取等〕 222min ()24220f x m m m m m m ∴≥-+⇒≥-+⇒--≤恒成立【点睛】此题主要考察理解绝对值不等式以及恒成立的问题，在解绝对值不等式时首先考虑去绝对值符号．属于中等题．。
高三上学期九月月考数学试题(附答案)
2021-2021高三上学期九月月考数学试题（附答案）考生进行数学复习离不开做题，查字典数学网整理了高三上学期九月月考数学试题，请考生及时练习。
一、选择题：(本大题共有12道小题，每小题5分，共60分)1.已知集合 , ,则 ( B )A. B. C. D.2. 下列函数中既是奇函数，又在上单调递增的是 ( C )A. B. C. D.3. 给出两个命题:命题命题存在的否定是任意命题：函数是奇函数. 则下列命题是真命题的是( C )A. B. C. D.4.若函数f(x)=x2-ax- a在区间[0,2]上的最大值为1，则实数a等于( D )A.-1B.1C.-2D. 25 已知函数是函数的导函数，则的图象大致是( A )A. B. C. D.6.已知命题p：x2+2x-3命题q：xa，且的一个充分不必要条件是，则a的取值范围是 ( B )A.(-，1]B.[1，+)C.[-1，+)D.(-，-3]7.7. 已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1的图象与x轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是 ( B )A.(0，2)B.(-，1]C.(-，1)D.(0，2]8.若f(x)=ax，x1，4-a2x+2，x1是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为( C )A.(1，+)B.(4，8)C.[4，8)D.(1，8)9. 已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且当时，不等式成立，若a=30.2 f(30.2)，b= (log2) f(log2)， c= f ，则，，间的大小关系 ( A )A. B. C. D.10. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+)上单调递增.若实数a满足f( )+f( )2f(2)，则a的取值范围是( D)A.(-，4]B. (0，4]C.D.11.(文)已知是奇函数，则 ( A )A..14B. 12C. 10D.-811. (理)若函数的大小关系是 (C )A. B.C. D.不确定12.已知函数y=f(x)为奇函数，且对定义域内的任意x都有f(1+x)=-f(1-x).当x(2，3)时，f(x)=log2(x-1).给出以下4个结论：其中所有正确结论的为 ( A )①函数y=f(x)的图象关于点(k，0)(kZ)成中心对称;②函数y=|f(x)|是以2为周期的周期函数;③函数y=f(|x|)在(k，k+1)(kZ)上单调递增;④当x(-1，0)时，f(x)=-log2(1-x).A.①②④B.②③C.①④D.①②③④二、填空题(本大题共有4道小题，每小题5分,共20分)13.已知实数满足则的最大值__-4_______14. 已知，则函数在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 .15. 若函数 ( )满足且时， ,函数 ,则函数在区间内零点的个数有__12_个.16. 存在区间 ( )，使得，则称区间为函数的一个稳定区间.给出下列4 个函数：其中存在稳定区间的函数有②__③_ .(把所有正确的序号都填上)三、解答题(本大题共有5道小题，每小题12分,共60分)17.(本小题满分12分)设向量，，其中，，函数的图象在轴右侧的第一个最高点(即函数取得最大值的点)为，在原点右侧与轴的第一个交点为 .(Ⅰ)求函数的表达式;(Ⅱ)在中，角A，B，C的对边分别是，若，且，求边长 .解：解：(I)因为， -----------------------------1分由题意， -----------------------------3分将点代入，得，所以，又因为 -------------------5分即函数的表达式为 . --- ------------------6分(II)由，即又 ------------------------8分由，知，所以 -----------------10分由余弦定理知所以 ----------------------------------------------------12分18.(文)(本小题满分12分)为了解某市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为：5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：评估的平均得分全市的总体交通状况等级不合格合格优秀(Ⅰ)求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级;(Ⅱ)用简单随机抽样方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.【解析】：(Ⅰ)6条道路的平均得分为 .-----------------3分该市的总体交通状况等级为合格. -----------------5分(Ⅱ)设表示事件样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 . -----7分从条道路中抽取条的得分组成的所有基本事件为：，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件. -----------------9分事件包括，，，，，，共个基本事件，答：该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过的概率为 .------12分18.(理)(本小题满分l 2分)在2021年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题.规定：至少正确回答其中2题的便可通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答;考生乙每题正确回答的概率都为23，且每题正确回答与否互不影响.(I)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其数学期望;(II)试用统计知识分析比较两考生的通过能力.解析：(I)设考生甲、乙正确回答的题目个数分别为，则的可能取值为1，2，3，P(=1)=C14C22C36=15 ，P(=2)=C24C12C36=35，P(=3)=C34C02C36=15，考生甲正确完成题数的分布列为123P153515E=115+235+315=2. ..4分又～B(3，23)，其分布列为P(=k)=Ck3(23)k(13)3-k，k=0，1，2，3;E=np=323=2. 6分(II)∵D=(2-1)215+(2-2)235+(2-3)215=25，D=npq=32313=23， D∵P(2)=35+15=0.8，P(2)=1227+8270.74，P(2)2). 10分从回答对题数的数学期望考查，两人水平相当;从回答对题数的方差考查，甲较稳定;从至少完成2题的概率考查，甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的实验通过能力较强.12分19(理)在四棱锥中，平面，是的中点，(Ⅰ)求证： ;(Ⅱ)求二面角的余弦值.解：(Ⅰ)取的中点 ,连接 , ,则∥ .因为所以 .1分因为平面，平面所以又所以平面 3分因为平面 ,所以又∥ ，所以又因为 ,所以平面 5分因为平面，所以 6分(注：也可建系用向量证明)(Ⅱ)以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 . 则 , , ， , ,8分设平面的法向量为，则所以令 .所以 . 9分由(Ⅰ)知平面 , 平面 ,所以 .同理 .所以平面所以平面的一个法向量 . 10分所以， 11分由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为 . 12分19.(文)在四棱锥中，平面，是的中点， ,(Ⅰ)求证：∥平面 ;(Ⅱ)求证： .证明：(Ⅰ)取的中点 ,连接 , . 则有∥ .因为平面，平面所以∥平面 .2分由题意知 ,所以∥ .同理∥平面 .4分又因为平面 , 平面 ,所以平面∥平面 .因为平面所以∥平面 . 6分(Ⅱ)取的中点 ,连接 , ,则∥ .因为 ,所以 . 7分因为平面，平面，所以又所以平面 9分因为平面所以又∥ ，所以又因为 ,所以平面 11分因为平面所以 12分20. (本小题满分12分) 已知椭圆的离心率为，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切..(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)若直线与椭圆C相交于A、B两点，且，判断△AOB的面积是否为定值?若为定值，求出定值;若不为定值，说明理由.【解析】：(1)由题意知，，即，又，，故椭圆的方程为 4分(II)设，由得12分21.(文)已知函数，其中aR.(1)当时，求曲线在点处的切线的斜率;(2)当时，求函数的单调区间与极值.解：(1)当a=0时，f(x)=x2ex，f(x)=(x2+2x)ex，故f(1)=3e.所以曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e. 4分(2)f(x)=[x2+(a+2)x-2a2+4a] ex令f(x)=0，解得x=-2a，或x=a-2， 6分由a23知，-2aa-2.以下分两种情况讨论：①若a23，则-2ax(-，-2a)-2a(-2a，a-2)a-2(a-2，+)f(x)+0-0+f(x) 极大值极小值所以f(x)在(-，-2a)，(a-2，+)上是增函数，在(-2a，a-2)上是减函数.函数f(x)在x=-2a处取得极大值为f(-2a)，且f(-2a)=3ae-2a.函数f(x)在x=a-2处取得极小值为f(a-2)，且f(a-2)=(4-3a)ea-2. 9分②若a23，则-2aa-2，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(-，a-2)a-2(a-2，-2a)-2a(-2a，+)f(x)+0- 0+f(x) 极大值极小值所以f(x)在(-，a-2)，(-2a，+)上是增函数，在(a-2，-2a)上是减函数.函数f(x)在x=a-2处取得极大值f(a-2)，且f(a-2)=(4-3a)ea-2.函数f(x)在x=-2a处取得极小值f(-2a)，且f(-2a)=3ae-2a. 12分21. (理)已知函数 ( ).(1) 当时，证明：在上， ;(2)求证： .解：(1) 根据题意知，f(x)=a1-xx (x0)，当a0时，f(x)的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，+当a0时，f(x)的单调递增区间为(1，+)，单调递减区间为(0,1];当a=0时，f(x)不是单调函数.所以a=-1时，f( x)=-ln x+x-3，在(1，+)上单调递增，所以f(x)f(1 )，即f(x)-2，所以f(x)+2 6分(2) 由(1)得-ln x+x-3+20，即-ln x+x-1 0，所以ln x则有0ln 22ln 33ln 44ln nn 122334n-1n=1n(n2，nN*). 12分四、请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.⊙O交直线OB于E，D，连接EC，CD.(Ⅰ )求证：直线AB是⊙O的切线;(Ⅱ)若tanCED=12，⊙O的半径为3，求OA的长.解：(1)证明：连接OC，∵OA=OB，CA=CB，OCOB，又∵OC是圆的半径，AB是圆的切线. 4分(2)∵ED是直径，ECD=90，EDC=90，又BCD+OCD=90，OCD=ODC，BCD=E，又CBD=EBC，△BCD∽△BEC，BCBE=BDBCBC2=BDBE，又tanCED=CDEC=12，△BCD∽△BEC，BDBC=CDEC=12，设BD=x，则BC=2x，∵BC2=BDBE，(2x)2=x(x+6)，BD=2，OA=OB=BD+OD=2+3=5. 10分23.(本题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线 (t为参数)， ( 为参数).(Ⅰ)化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;(Ⅱ)过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲线于两点，求 .解：⑴曲线为圆心是，半径是1的圆.曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆.4分⑵曲线的左顶点为，则直线的参数方程为 ( 为参数) 将其代入曲线整理可得：，设对应参数分别为，则所以 10分24.(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知函数，且的解集为 .(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若，且，求证： .解：(Ⅰ)因为，所以等价于，2分由有解，得，且其解集为 . 4分又的解集为，故 .(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知，又， 7分 =9.9分(或展开运用基本不等式).10分高三上学期九月月考数学试题的内容就是这些，更多精彩内容请考生持续关注查字典数学网。
2021年高三上学期第一次月考9月数学试题(理)含答案
精品文档2021年高三上学期第一次月考9月数学试题（理）含答案第I卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．复数，则对应的点所在的象限为A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．若集合，，则A．B．C． D．3. 设p：x<3，q：-1<x<3，则p是q成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．设f（x）＝，则f（f（－2））＝A．－1 B．C．D．5．在等差数列中，已知，则（）A．10 B．18 C．20 D．286.是双曲线上一点,分别是双曲线左右焦点,若||=9,则||= ( )A.1B.17C.1或17D.以上答案均不对7.若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积等于（） A．30 B．12 C．24 D．48．设函数的图象上的点处的切线的斜率为k，若，则函数的图象大致为（）32 3精品文档9.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 （ ） A. 14B. 15C. 16D. 1710．中是边上的一点（包括端点），则的取值范围是 （ ） A ． B ． C ． D ．11.如图过拋物线的焦点F 的直线依次交拋物线及准线于点A ，B ，C ，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则拋物线的方程为 （ ） A. B. C ．D ．12.若直角坐标平面内A 、B 两点满足①点A 、B 都在函数的图象上；②点A 、B 关于原点对称，则点（A,B ）是函数的一个“姊妹点对”.点对（A,B ）与（B,A ）可看作是同一个“姊妹点对”.已知函数 ，则的“姊妹点对”有 ( )A. 2个B. 1个C. 0个D. 3个第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.) 13.设变量满足约束条件，则的最大值为 . 14.在的展开式中的的系数为 . 15．已知(为自然对数的底数),函数 则 .16 .已知数列的前n 项和，若不等式对 恒成立，则整数的最大值为 .三、解答题:（本大题共5小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分） 在中是其三个内角的对边且. (I)求角的大小(II)设，求的面积的最大值. 18.（本小题满分12分）开始0,1S n ==输出n 结束3?S <-21log 2n S S n +=++否是1n n =+第117届中国进出品商品交易会（简称xx年秋季广交会）将于2015年8月15日在广州举行，为了搞好接待工作，组委会在广州某大学分别招募8名男志愿者和12名女志愿者，现将这20名志愿者的身高组成如下茎叶图（单位：cm），若身高在175cm以上（包括175cm）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”.(I)计算男志愿者的平均身高和女志愿者身高的中位数（保留一位小数）.(II)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用表示所选志愿者中为女志愿者的人数，试写出的分布列，并求的数学期望.19．（本小题满分12分）如图正方形与梯形所在的平面互相垂直点在线段上.(I)当点为中点时求证平面(II)当平面与平面所成锐二面角的余弦值为时，求三棱锥的体积.20.（本小题满分12分）椭圆的焦点在x轴上，其右顶点（a,0）关于直线的对称点在直线 (c为半焦距长) 上.（I）求椭圆的方程；(II)过椭圆左焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，交直线于点C. 设O为坐标原点，且求的面积.21．（本小题满分12分）已知函数（为无理数，）(I)求函数在点处的切线方程；(II)设实数，求函数在上的最小值；（III）若为正整数，且对任意恒成立，求的最大值．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时请写题号．22．（本小题满分10分）【选修4—1：几何证明选讲】如图，在正△ABC中，点D,E分别在边AC, AB上，且AD=AC， AE= AB，BD，CE相交于点F．(I)求证：A，E，F，D四点共圆；(II)若正△ABC的边长为2，求，A，E，F，D所在圆的半径．23. （本小题满分10分）【选修4—4：极坐标与参数方程】在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ=2acosθ（a ＞0），已知过点P （-2，-4）的直线l 的参数方程为，直线l 与曲线C 分别交于M ，N ． （1）写出曲线C 和直线l 的普通方程；（2）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a 的值． 24. （本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】已知a ，b ∈R +，a ＋b ＝1，，∈R +． (I)求的最小值； (II)求证：．xx 届山东省滕州市第一中学高三9月月考数学答案 （理）一．选择题:二．填空题: 13. 6 14. －910 15. 7 16. 4 三.解答题: 17 解：（Ⅰ）∵2sin(2)2sin 2,sin(2)sin 233ππ∴+=∴+=A B A B，或，由，知，所以不可能成立，所以， 即，所以（Ⅱ）由（Ⅰ），，所以，22222222213cos 3321222+-+-=⇒-=⇒-=+-⇒-=+≥⇒≤a b c a b C ab a b ab a b ab ab ab ab即△ABC 的面积S 的最大值为 18.解：（1）根据茎叶图可得：男志愿者的平均身高为159169170175176182187191176.1()8+++++++≈cm女志愿者身高的中位数为（2）由茎叶图可知，“高个子”有8人，“非高个子”有12人，而男志愿者的“高个子”有5人，女志愿者的“高个子”有3人，的可能值为0,1,2,3， 故即的分布列为：所以的数学期望19．解：（1）以直线、、分别为轴、轴、轴 建立空间直角坐标系，则，，， 所以.∴.........2分又，是平面的一个法向量.∵ 即 ∴∥平面 .................4分 （2）设，则，又设，则，即...6分 设是平面的一个法向量，则取 得 即又由题设，是平面的一个法向量，......................8分 ∴2166)1(4222|,cos |22=⇒=-+==><λλλn OA ...................10分 即点为中点，此时，，为三棱锥的高，∴ ................................12分 20.解：（1）椭圆的右顶点为（2，0）， 设（2，0）关于直线的对称点为（， 则………………4分 解得则，所求椭圆方程为--------------------------6分（2）设A由,01248)4k (3),1(,1443222222=-+++⎩⎨⎧+==+k x k x x k y y x 得 所以…………①，…………② 因为即，所以……③……6分 由①③得代入②得，，整理得…………8分所以所以……10分由于对称性，只需求时，△OAB 的面积.此时，所以……12分21.⑴∵()(0,)()ln 1,()()2f x f x x f e e f e ''+∞=+==定义域为又():2(),2y f x e y x e e y x e ∴==-+=-函数在点(，f(e))处的切线方程为即------3分（2）∵时，单调递减； 当时，单调递增.当min 1,()[,2],[()]()ln ,a f x a a f x f a a a e≥==时在单调递增 min 111112,[()]2a a a f x f e e e e e ⎛⎫<<<<==- ⎪⎝⎭当时,得-------------------------------6分 (3) 对任意恒成立，即对任意恒成立， 即对任意恒成立 令2ln ln 2()(1)'()(1)1(1)x x x x x g x x g x x x x +--=>⇒=>-- 令1()ln 2(1)'()0()x h x x x x h x h x x-=-->⇒=>⇒在上单调递增。
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【高三】2021年高三上册数学九月份月考试题（有答案）
来
2022-2022学年第一学期高三9月份试题
数学试题
（考试时间：90分钟）（考试内容：全部）
一、：（每小题6分）
1.如果集合已知，则（）
a.b.c.d.
2.如果复数的实部和虚部相等，那么实数（）
a.b.c.d.
如果有三名志愿者参与不同的计划，他们每个人都不能承担这四项工作中的一项，每个人也不能分别承担其中一项
a.种
b.
c.种
d.种
4）在展开式中，只有第六项的系数最大，则其常数项为（）
a.120
b.210
c.252
d.45
设不等式系统表示的平面区域为，如果圆不通过区域上的点，则的值范围为xkb1 co
a.b.c.d.
6.假设图中图像对应的函数① 是y=f（x），对应于图中图像的函数② 是（）
a.b.c.d.
7.函数的零点数为a.1b 2c。
3d。
四
8.已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的的值之和是
a、 13b。
18c。
21d。
26
9.已知函数,其中为实数,若对恒成立,且.则下列结论正确的是
a、 b。
c.是奇函数
d.的单调递增区间是
10.均匀地掷硬币，两边的概率为。
反复扔。
序列定义如下：如果，事件“”的概率为（）
a．b.c.d.
11.已知外接圆半径为1，圆心为O，值为（）
a.b.c.d.
12.已知平面中有两个固定点，如果运动点的轨迹不变，则穿过平面中运动点的垂直线为垂直脚
a．圆b．椭圆c．抛物线d．双曲线
二、问题（每个子问题6分）
13.三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为_________.
14.遵循以下公式：
，，，
，
…………
如果一个数字根据上述定律展开，发现等式右侧有一个数字“”，则___
15.已知当取得最小值时，直线与曲线的交点个数为
16.众所周知，它是一个定义在r上的函数，并不总是零，对于任何一个函数，它都满足，，
考查下列结论：①；②为偶函数；③数列为等比数列；④数列为等差数列。
其中正确的是_________.
三、回答问题
17.（本题满分12分）已知数列满足，，数列满足.
（1）证明该序列是一个等差序列，并求出该序列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
18.（本分题满分14分）
现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击两次,每次命中的概率为,每命中一次得1分,没有命中得0分;向乙靶射击一次,命中的概率为,命中得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.
（i）找出射手准确命中两次的概率；
(ii)求该射手的总得分的分布列及数学期望;
19.（这道题的满分是14分）
设是抛物线上相异两点，到y轴的距离的积为且．
（1）求抛物线的标准方程
（2）过q的直线与抛物线的另一交点为r，与轴交点为t，且q为线段rt的中点，试求弦pr长度的最小值．
20.（这道题的满分是14分）假设曲线在该点的切线垂直于直线
(1)求的值;
（2）如果常量为true，则查找
(3)求证：2021-2021学年第一学期高三9月月考题
数学问题的答案
一、
一百二十三兆四千五百六十七亿八千九百一十万一千一百一十二
babbdcbcdbac
2、头衔
13.14.15.216._①③④_
三、回答问题
17.解（1）证明：由，得，
——2分
所以数列是等差数列，首项，公差为-----------4分
——6分
（2）-------------------------7分
----①
-------------------②----------9分
① - ② 收到
-----------------------------------11分
------------------------------------------12分
18.解:(i)记:“该射手恰好命中两次”为事件,“该射手第一次射击甲靶命中”为事件,“该射手第二次射击甲靶命中”为事件,“该射手射击乙靶命中”为事件.
从标题的意思来看，，
所以
... 6分
(ii)根据题意,的所有可能取值为0,1,2,3,4.
,.
,
,
,……11分
因此，分发列是
01234
..................... 12分
所以.………………………14分
19.解决方案：（1）∵ op→ OQ→ = 0，那么x1x2+y1y2=0，---------------1点
又p、q在抛物线上，故y12＝2px1，y22＝2px2，故得
y122py222p＋y1y2＝0，y1y2＝4p2
--------------------------3分
x1x2=4，所以4p2=4，P=1
所以抛物线的方程为:------------5分
（2）让直线PQ通过点E（a，0），方程为x=y+a
联立方程组
当x被消除时，y2-2y-2a=0
∴①--------------------------------7分
让线PR在点（B，0）与X轴相交，然后让线PR方程为X=NY+B，并让R（X3，Y3），同理可知②--------------------------9分
可从① 和②
由题意，q为线段rt的中点，∴y3＝2y2，∴b=2a
从（I）开始，y1y2=-4，代入①, 我们可以
－2a＝－4 ∴a＝2．故b＝4．----------------------11分
∴
∴
.
当n=0，即直线pq垂直于x轴时pr取最小值--------------------14分
20.解决方案：（1）--------------2分
由题设，
，.------------------------------- 4分
(2),，，即
设置，即
-------------------------------------6分
① 如果，这与问题相矛盾-------------------8分
②若方程的判别式
当，立即单调递减，
，即不等式成立.----------------------------------------------------------------------9分
当时，方程，它的根，，
当,单调递增，，与题设矛盾.
总而言之--------------------------------------------------------------------10分
(3)由(2)知,当时,时,成立.
还不如
所以，
----------------------11分
来。