周世勋《量子力学教程》(第2版)-微扰理论笔记和课后习题(含考研真题)详解(圣才出品)
《量子力学教程》周世勋_课后问题详解
量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学教程(第二版)周世勋习题解答
(10) (11) (12) (13)
ek1a B sin k 2aC cosk 2aD 0 0
k1ek1a B k 2 cosk 2aC k 2 sin k 2a D 0 0
0 sin k 2aC cosk 2aD ek1a F 0
(x) c (x)
⑤
④乘 ⑤，得 (x) (x) c2 (x) (x) ， 可见，c 2 1 ，所以 c 1
当 c 1时， (x) (x) ， (x) 具有偶宇称，
当 c 1时， (x) (x) ， (x) 具有奇宇称，
18
当势场满足 U (x) U (x) 时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。
3
第一章 绪论
1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律： mT b, b 2.9 10 3 m0C 。
证明：由普朗克黑体辐射公式：
d
8h c33Βιβλιοθήκη 1hd ，
ekT 1
及 c 、 d c d 得
2
8hc 5
1，
hc
ekT 1
令 x hc ，再由 d 0 ，得 .所满足的超越方程为
kT
d
2
(x)
E
2
(x)
②
12
Ⅲ： x a
2 2m
d2 dx2
3
(x)
U
(x)
3
(x)
E
3
(x)
③
由于(1)、(3)方程中，由于U (x) ，要等式成立，必须
1(x) 0 2 (x) 0
即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程(2)可变为
d
2 2 ( dx2
周世勋《量子力学教程》(第2版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第4章 态和力学量的表象——第6章
n
中，以 Sn 为矩阵元的矩阵 S 称为变换矩阵。设态 在 A，B 表象中的矩阵表示分别为 a，
b，S 为两表象之间的幺正变换，则态在两表象之间的变换为
b S 1a ，算符在两表象之间的变换为 F ' S 1FS 。
1
(2) 2
动量本征函数，则
C( p,t) 即为该态在动量表象中的波函数。 C( p,t) 的物理意义为： C( p.t) 2 dp 表示在该态
中，测量粒子的动量所得结果在 p 到 p+dp 范围内的几率。
二、幺正变换
1．变换矩阵
满足 S S 1 的矩阵称为幺正矩阵，幺正矩阵不是厄米矩阵。由幺正矩阵所表示的变
1 / 50
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a1
(t
)
a2 (t) 函数，则 (x,t) 在力学量 Q 表象中矩阵表示可写为： 。
a
n (t
)
aq (t)
3．算符 F 在 Q 表象中的矩阵表示．
算符 F 在 Q 表象中对应一个矩阵（方阵），矩阵元是 Fnm un* Fumdx ，平均值公式是
3．其他常用关系式
（1）粒子数算符本征方程 N | n n | n ；
（2）哈密顿量本征方程
H
p ( x)
1
i px
1e
(2 ) 2
本征方程
p p'
p ' p'
C( p,t) ( p' p) p ( p p' ) p' ( p p' )
5．一个典型的例子分析
量子力学第二版答案_周世勋
第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kThc kT hc e kT hc e hcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThce kThc λλ ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λ nmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
周世勋《量子力学教程》(第2版)-绪论笔记和课后习题(含考研真题)详解(圣才出品)
子由能量为 Em 的定态跃迁到能量为 En 的定态时所吸收或发射的辐射频率 满足：
四、微粒的波粒二象性
1．玻尔理论所遇到的困难说明探索微观粒子运动规律的迫切性
在光的波粒二象性的启示下，德布罗意提出微粒具有波粒二象性的假设。
微粒的粒子性（E,p）与波动性（ , 或，k ）的关系满足
E h
p
h
n
k
这公式称为德布罗意公式，或德布罗意关系。
戴维孙-革末的电子衍射实验 该实验充分说明电子具有波动性，验证了德布罗意波的存在。
vd
v
8hv 3 c3
1
hv
dv ，
e kT 1
以及
（1）
v c ，
（2）
v dv d ，
（3）
有
dv d
v
()
d
d
c
v () 2
c
8 hc 1
5
hc
ekT 1
这里的 的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时， 取得极大值，因此，就得要求 对λ的一阶导数为零，
的，这样则有
mT
hc xk
把 x 以及三个物理常量代入到上式便知
b mT 2.9 103 m K
这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较
量子力学第二版答案_周世勋
第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kThc kT hc e kT hc e hcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThce kThc λλ ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λ nmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
《量子力学教程》周世勋_课后答案
量子力学课后习题详解第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有[,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThc e kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有@xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λhP =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么>ep E μ22=如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ：最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
《量子力学教程》周世勋课后答案
量子力学课后习题详解第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
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第5章
微扰理论
5.1复习笔记
一、定态微扰理论1．适用范围及使用条件
求分立能级及所属波函数的修正。
适用条件是：一方面要求H 可分成两部分，即'0H H H +=，
同时0H 的本征值和本征函数已知或较易计算；另一方面又要求0H 把H 的主要部分尽可能包括进去，使剩下的微扰'
H 比较小，以保证微扰计算收敛较快，即
'(0)(0)
(0)(0)
1,mn
n m
n m
H E E E E <<≠-（1）非简并情况
微扰作用下的哈密顿量可表示为：'
0H H H +=第n 个能级可近似表示为：∑+-++=m
m
n
nm
nn n
n E
E
H H E E
)0()0(2'
'
'
)
0(相应的波函数可近似表示为：∑
+-+=m
m m
n mn n
n E E H )
0()
0()0(''
)0(ψψψ（2）简并情况
能级的一级修正由久期方程
0det )
1('=-v k v E H μμδ即
)
1(''2
'1
'
2)1('22'
21
'1'
12)1('11=---n
kk k k k
n
k
n
E H H H H E H H H H E H
给出。
个实根，记为有k k f E )
1(k k f E ,,2,1,)
1( =αα，分别把每一个根)
1(αk E 代入方程
∑==-k
f v v v k v
a E H 1
)
1('
0)(μαμ
δ，即可求得相应的解，记为v a α，于是可得出新的零级波函数
∑>>=v
kv v
kv a φα
||。
相应的能量为：)1()0(αk k k E E E +=。
2．氢原子的一级斯塔克效应
（1）斯塔克（Stark）效应：原子在外电场作用下所产生的谱线分裂的现象。
（2）用简并情况下的微扰论解释氢原子的斯塔克效应：
由于电子在氢原子中受到球对称的库仑场的作用，第n 个能级有2
n 度简并。
加上电场后，势场的对称性受到破坏，能级发生分裂，使简并部分被消除。
二、变分法
1．变分法求体系基态能量方法总结：
选择含有参数λ的尝试波函数)(λψ，计算H 的平均能量)(λH ，它是变分参量λ的函数。
由极值条件
0)
(=λ
λd H d ，求出)(λH 的最小值。
它表示基态能量的上限。
2．变分法在氦原子基态中的应用举例（1）选择适当的尝试波函数
取两个类氢原子基态本征函数的乘积做尝试波函数)()(),(2100110021r r r r ψψψ=（2）以有效电荷数做参量，求H 的平均能量)
(Z H
（3）求
0)
=λ
d Z H d 的极值，得出Z=1.69（4）将Z=1.69代回)(Z H 表达式，求得其基态能量上限0
2
085
.2a e E s -=说明：能精确求解的量子体系并不是很多，而有时问题也并不一定要求有十分精确的答案，于是我们就需要发展求解的近似方法。
从时间的关系讲，近似方法有一类是与时间无关的，用以求能级、期望值等；另一类是随时间变化的，主要求跃迁几率等。
从取近似的做法而言，有小参数展开的，如微扰论、WKB 近似等；有从整体讨论问题的，如变分法。
要根据具体问题的特征选择恰当的近似方法。
三、与时间有关的微扰理论
1．定态微扰论和与时间有关微扰论研究对象比较：
（1）定态微扰论与时间无关，研究在有微扰作用下，定态能量与波函数的修正，从而得到有微扰时的能量和波函数。
（2）与时间相关的微扰论的哈密顿算符与时间有关，体系的能量不守恒。
因而不存在定态，也就谈不上对能量的修正。
故只能研究有微扰时的波函数，量子状态之间的跃迁，以及体系对光的吸收和发射（能量变化）等。
2．含时微扰体系理论
含时微扰体系哈密顿量)
()('
0t H H t H
+=体系波函数ψ所满足的薛定谔方程ψψ
)(t H t
i =∂∂将ψ按0H
的本征函数n φ展开∑=n
n n t a φψ)(，则在t 时刻发现体系处于m φ态的概率
是2
)(t a m 。
若体系t=0时处于0H
的本征态k φ，则
nk n a δ=)0()
0(，
⎰=t
t i mk m dt e t H i t a mk 0
'''')(1)(ω ，
体系在微扰作用下由初态k φ跃迁到终态m φ态的概率为：
2
'
''2
2
'
)(1)(⎰=
=→t
t i mk m m k dt e t H t a W mk ω ，其中)(1
k m mk εεω-=
上式的适用条件是：()1k m W t →<<，m k ≠。
3．跃迁概率计算
（1）如果末态是连续谱，由能量为k E 的态跃迁到能量间隔为m m m E E E ∆+→的态的跃迁几率可由费米黄金规则给出：
)
(22
'm H t W mk ρπ
=单位时间内的跃迁概率（跃迁速度）为：
)(22
'm H w mk ρπ
=。
（2）若作用于体系的是周期微扰)('t
i t
i e e F H ωω-+= ，则
)(22
ωεεδπ±-=
→k m mk m k F t W
单位时间内体系由k φ态跃迁到m φ态的概率为：
)(22
ωεεδπ±-=
→k m mk m k F w。
4．能量时间的不确定关系
~t E ∆∆由此关系可知，测量能量越准确（E ∆小），则用于测量的时间越长（t ∆大）。
四、光的发射和吸收1．几个相关概念
（1）自发跃迁：在不受外界影响的情况下体系由能级m ε跃迁到较低能级k ε，这种跃迁称为自发跃迁。
（2）受激跃迁：体系在外界（例如辐射场）作用下由m ε跃迁到较低能级k ε，这种跃迁称为受激跃迁。
2．自发辐射
自然光照射到原子上，跃迁几率由坐标矩阵给出，是偶极跃迁。
设原子从k 态跃迁到m 态（并设k m E E >），受激辐射系数km B 等于吸收系数mk B ，为：
2
2
2234mk
s km
mk r e B B π==。
自发辐射系数为：
2
3
3
234mk
mk s mk
r c e A ω=原子由m φ态自发跃迁到k φ态的辐射强度为：
2
3
4
234mk mk s m mk
r c
e N J ω=。
3．为了获得受激发射必须满足两个条件：
（1）单位时间内由m φ态到k φ态的受激辐射应该超过由k φ态到m φ态的吸收。
即粒子数必须反转。
（2）自发发射应远小于受激发射。
五、选择定则
一般把不能实现的跃迁称为禁戒跃迁。
偶极跃迁中角量子数和磁量子数的选择定则是：
⎩⎨⎧±=-=∆±=-=∆1
,01'
'm m m l l l 对于总量子数n 没有选择定则。
如果在任何级近似中跃迁概率均为零，则这种跃迁称为严格禁戒跃迁。
说明：无论是自发辐射还是受激辐射或是受激吸收，都要满足相同的选择定则。
5.2课后习题详解
5.1如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为r 0、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。
据题意知：
)()(ˆ0
r U r U H -='其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即
204Ze U r r
πε=-
（）)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，r
Ze r U 02
4)(πε-
=。