利息理论年金

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利息理论第二章年金

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基本年金图示
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 ------1
---1 1 ----
1 1
1
1---- 延付永久年金 1---- 初付永久年金 0--0--初付年金延付年金
0 0 1 0
0
1
2
3
-------
n
n+1 n+2---
Page 6
2.1.1期末付年金
1 0 1
Page 20
假设分别在 1、2、3、…、n 时刻付款 1 的 n 次付款所形成的付款系列，记该系列付款在 t 时的值为 V(t)，则 V(0)、V(1)、V(n)、V(n+1)分别为
an 、 an 、 sn 和 sn ，对于其他任意（整数）点 t，
（1）如果 t<0（这里为了方便，我们允许负数作为时间的标识数，其意义符合逻辑顺序，如-1 表示在 0 前一期，-5 表示在 0 前 5 期），则 V(t)= (1+i)t an = v t an = ant - at 注意，这里 t<0 为负数；（2）如果 1<t<n，则 V(t)= (1+i)t an = vnt sn = st + ant ；（3）如果 t>n+1，则 V(t)= (1+i)t an = (1 i)t n sn = st - st n ；
Page 21
2.1.3 任意时刻的年金值
例某人从1980年1月1日起开始向希望工程捐款，每年捐款支付3000元，到 2005年1月1日为止从未间断。该人还表示，他的捐款将持续到2019年1月1 日为止。假设年实质利率为6%，分别求该人的全部捐款在下列各时刻的价值：（1）1960年1月1日；（2）1979年1月1日；（3）1980年1月1日；（4）2000年1月1日；（5）2019年1月1日；（6）2020年1月1日；

(完整版)利息理论第二章年金部分习题参考答案

第二章年金部分习题参考答案证明：(1)(1)(1)(1)(1)(1)[]()m nn m m n m n m n v v v v v v i iv v i i a a i i⌝⌝----=---=⨯--=⨯-=⨯-证明：n n n-t t n t t n tttt nnnnn nn t t tt t t t t t t t n na S a a v a a v a =a S v a v a v a v a i v a ia 1111v =====1v v a viv a v v v--+=+----（1-）（1-）（1-）（1-）6. 解：由公式得：mn m+n mva =a a-71118777v a =a a 7.036=9.180 5.153i i=1=0.08299---也即：（1+）解得：7. 设X 可取得的存款额为S,根据题意：5712120.08 0.0818187121000(10.08)1000(10.08)100037.45024 1.0839169.84S S S -=+=+=⨯⨯=12. 解：根据题意，有1010301030101000a 1000a v =a a v K K +-又由于，则上式经整理得：10v =1/21030101030101030101030101111(1)a -a v 10001-v -v (1v )5822111a +a v 1-v +v (1v )91(1)8221800K K ----====--+-=解得：14. 设该永续年金每年支付R ，结合公式: nn a =a v a ∞∞+根据题意该永续年金为三人年金现值之和，即：n n n a a Ra =Rv a 22RR ∞∞++又由于三人所领取的年金现值相等，有:nnn n n 1v a v 2=v a R =R 2i i v =1/3R R ∞- 即，所以，19. 根据题意：22i i 2222222i i 222105105i i 22105i 2i 21051051000=1700011==171=t t t 17t 15=0f()t t 17t 15escart t=f =-0.00117fS S S S t D ⨯++++++-++-+（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）-1+（）-1则：令，上式经过整理为：令=根据规则，上式最多有两个正根，而1显然不符合实际，故排除。

第1章利息理论

2.1.6 利息问题求解
一个简单的利息问题通常包括以下四个基本量： 1.原始投资的本金 2.投资时期的长度 3.利率 4.本金在投资期末的积累值如果已知其中的任何三个，就可以建立一个价值等式，由此等式确定第四个量。
利息问题求解举例
例1：某人借款50000元，每半年结算一次利息，年名义利率为6%，两年后他还了30000元，又过3 年后还了20000元，求7年后的欠款额为多少。
●
积累函数a (t)有时也称作 t 期积累因子;
称 a-1(t)为折现函数或 t 期折现因子。特别地，把一期折现因子a-1(1)简称为折现因子。
●
在复利方式下，当年利率不变时通常记
1 a (t ) (1 i)t
1
1 v a (1) 1 i
1
a (t )
现值
1
1 本金
a (t )
常数利率时
A(t ) A(0)(1 பைடு நூலகம் it )
• 复利：利上生利的计息方式
A(n) A(0)(1 i1)(1 i2)(1 in)
常数利率时
A(t ) A(0)(1 i)t
a(t ) (1 i)t 此时累积函数为
例1. 某人到银行存入1000元，第一年末他存折上的余额为1050元，第二年末他存折上的余额为1100元，问：第一年、第二年的实际利率分别是多少？
价值等式
f (i) ＝2000×(1＋i)5＋3000×(1＋i)2 －6000
可利用中点插值法求解
补充作业：
1、设 m 1，请把的次序排列。
i, i
( m)
, d, d
( m)
, 按从大到小

第三章--基本年金(利息理论-陈萍)课件资料讲解

《利息理论》等额年金知识分析

4
1、期末付年金（Annuity-immediate）
期末付年金的含义：在 n 个时期中，每个时期末付款1。
年金
111
时间 0 1 2 3
11 n-1 n
5
期末付年金的现值因子
（annuity-immediate present value factor）
a ：a-angle-n n
n期期末付年金的现值因子 a ，a表示annuity，i表示每 ni
a 1v n
vn1
1 vn 1 vn
1v d
s ——期初付年金的积累值因子 n|i
s (1 i) (1 i)n (1 i)[1 (1 i)n1] n
(1 i)n 1 (1 i)
(1 i)n 1
(1 i) 1
d
16
a n|
和
s 的关系 n|
（1）
s a (1 i)n
n|
n|
（2） 1 1 d an sn
a
a m
m|
a n
vmna
m|
a n
a
a m
vmna
0
m
m+n
a m
m|
a n
vmna
a
38
6、可变利率年金（了解）
问题：如果用 ik 表示第k个时期的利率，即从时刻k-1到时刻 k 这段时间的利率， i1，i2，，it 分别表示第1， 2，…，t 期的利率。如何计算年金的现值和累积值？
34
解：10万元每年产生的利息是7000元。
A所占的份额是 7000a 7000(7.0236) 49165 10|
B所占的份额是 7000(a a ) 7000(10.5940 7.0236) 24993 20| 10|

第二章利息理论2

1)10000(1.08)5 10000 4693.28
2)5 (10000 0.08) 4000 10000 3) R 2504.56; I 5 2504.56 10000 2522.8 a5 0.08
例. 某人以月计息的年名义利率5.58%从银行贷款30万元，计划在15年里每月末等额偿还。问：（1）他每月等额还款额等于多少？（2）假如他想在第五年末提前还完贷款，问除了该月等额还款额之外他还需一次性付给银行多少钱？（1）Ra1512 0.00465 300000
单利与复利两者关系：t 1,( 1 i ) 1 i t
t
0 t 1,( 1 i )t 1 i t
t 1,( 1 i ) 1 i t
t
单利的实际利率逐期递减，复利的实际利率保持恒定。
0 t 1 相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大
利息问题求解
利息问题求解四要素 1）原始投资本金； 2）投资时期长度； 3）利率及计息方式期初/期末计息：利率/贴现率积累方式：单利计息、复利计息利息转换时期：实质利率、名义利率、利息力 4）本金在投资期末的积累值；
利息问题求解原则本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题。工具：现金流图
( 1 1%)
(12)
为12%，问本金翻倍需要几年？
i( 12 ) 12%时，
12 n
ln 2 2n 5.8 12 ln1.01
第二节年金
定义:按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。分类： 1）基本年金等时间间隔付款；付款频率与利息转换频率一致；每次付款金额恒定； 2）一般年金不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金

第二章利息理论

现值和贴现率

在单利下，
现值和贴现率

将应在未来某时期支付的金额提前到现在支付，则支付额中应扣除一部分金额，这个扣除额叫贴现额。相当于资金投资在期初的预付利息。
贴现率：单位货币在单位时间内的贴现额，单位时间
以年度衡量时，成为实际贴现率。
d表示一年的贴现率:
d

A(1) A(0) a(1) 1 1 i 1 i A(1) a(1) 1 i 1 i

定义：

利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。本金利率时期长度

影响利息大小的三要素：

（一）总额函数

总额函数是t时资金累积额（本利和），
以 A(t) 表示。

其中，I(t)=A(t)-A(0)。 I(t)表示t时利息。
0
1
2
3
-------
n
n+1 n+2---
期首付年金现值
an 1 2 3 n1
1 n = 1 1 n = d
期末付年金现值
an 2 3 n
(1 n ) = 1
1 n = i
m m
等价公式

一般公式
a (t ) e

0 s ds
t
恒定利息效力场合 ln(1 i) a(n) exp{n } ln v a 1 (n) exp{n }
例4

确定1000元按如下利息效力投资10年的积累值

保险精算之利息理论第二章

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汉英名词对照
▪ 年金 ▪ 支付期 ▪ 延付年金 ▪ 初付年金 ▪ 永久年金 ▪ 变额年金 ▪ 递增年金 ▪ 递减年金
Page ▪ 4
▪ Annuity ▪ Payment period ▪ Annuity-immediate ▪ Annuity-due ▪ perpetuity ▪ Varying annuity ▪ Increasing annuity ▪ Decreasing annuity
a 1 vn ,故有：
n
d
da 1 vn； n
1=da +vn n
s (1 i)n 1，有
n
d
(1 i)n =ds 1 n
s a (1 i)n
n
n
Page ▪ 16
1 1 d
as
n
n
2.1.2期初付年金
显然，a 与a ; s 与s 之间存在一定的联系。
n
nn
n
a =1+v+v2 n
年金的分类
▪ 分类1
– 基本年金 • 等时间间隔付款 • 付款频率与利息转换频率一致 • 每次付款金额恒定
– 一般年金 • 不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金
▪ 分类2
– 付款时刻不同：初付年金/延付年金 – 付款期限不同：有限年金/永久年金
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基本年金图示
1 1 1 ---- 1 1 1---- 延付永久年金
第二章年金
深圳大学经济学院 Economics school Shenzhen university
Page ▪ 1
第一节基本年金
Page ▪ 2
年金的定义
• 所谓年金是指一系列按照相等时间间隔支付的款项。 • 原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列
付款。
Page ▪ 3
n
n
11
i
a ni
s ni
as
nnBiblioteka 推导：1 sn
i
1
i
in
1
i
i
i 1 i 1 in
n
1
i
i 1 in 1 in 1
i 1 vn
1 a
n
Page ▪ 11
2.1.1期末付年金
▪ 例2.1 计算年利率为6%的条件下，每年年末投资1000元，投资10年的现值及其累积值。
▪ 例2.2 某银行客户想通过零存整取的方式在1年后获得10000元，在月复利为0.5%的情况下，每月末存入多少钱，才能达到要求。
图（2-1） n 期延付年金的付款情况图
a ni
s ni
Page ▪ 7
2.1.1期末付年金
1 1 1…
1 1 1 (付款额)
a ni
s ni
0 1 2 3…
n-2 n-1 n（时间）
图（2-1） n 期延付年金的付款情况图
a v v2 n
1 ia vn n
vn v(1 vn ) 1 vn
1 11
---- 1 1 1---- 初付永久年金
1 1 1 ---- 1 0 0 0---
初付年金
1 1 1 ---- 1 0 0---
延付年金
0 1 2 3 ------- n n+1 n+2---
Page ▪ 6
2.1.1期末付年金
1 1 1…
1 1 1 (付款额)
0 1 2 3…
n-2 n-1 n（时间）
n
1 v iv
d
s (1 i)n (1 i)n1 (1 i) (1 i) (1 i)n 1 (1 i)n 1 (1 i)n 1
n
(1 i) 1
iv
d
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2.1.2期初付年金
1 本金
d d d d…
dd
利息流
0 1 2 3…
n-2 n-1 n 时间
本金支出
1
图（2-4）投资 1 产生的以贴现的方式支付利息的现金流图
同理，
vn1 v v2 v
vn
a n
a (1 v)
vn
s =s 1 i nn
a = v v2
n
v
a 1 n1
vn
a n1
vn
1 i a
vn1 a
ia
vn1
v
n1
n1
n1
Page ▪ 17
2.1.2期初付年金
▪ 例2.5 某银行客户想通过零存整取的方式在1年后获得10000元，在月复利为0.5%的情况下，每月初存入多少钱，才能达到要求。
5
5
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V(6)= s ；V(7)= s 。
5
5
Page ▪ 21
假设分别在 1、2、3、…、n 时刻付款 1 的 n 次付款所形成的付款系列，记该系列付款在 t 时的
值为 V(t)，则 V(0)、V(1)、V(n)、V(n+1)分别为
a 、 a 、 s 和 s ，对于其他任意（整数）点 t，
1 v
i
经济解释
Page ▪ 8
2.1.1期末付年金
1 1 1…
1 1 1 (付款额)
a ni
s ni
0 1 2 3…
n-2 n-1 n（时间）
图（2-1） n 期延付年金的付款情况图
s 1 (1 i) n
(1 i)n 1 is n
(1 i)n1
1 (1 i)n
(1 i)n
1
1 (1 i)
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2.1.3 任意时刻的年金值
1 1 … …1 1
……
（共 n 次付款）
aa nn
ss
n
n
图（2-6）年金在四个特殊时间点上的价值图
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1 1 11 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
aa
5
5
ss
5
5
图（2-7）年金时间图
V(1)= a ；V(2)= a ；
2.1.2期初付年金
1111
11
付款额
0 12 3
n-2 n-1 n 时间
图（2-3）初付年金付款情况图
a n
s n
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2.1.2期初付年金
1111
11
付款额
0 12 3
n-2 n-1 n 时间
图（2-3）初付年金付款情况图
a 1 v v2 vn1 1 vn 1 vn 1 vn
i
经济解释
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2.1.1期末付年金
a 与s 之间的关系
n
n
a v v2 vn v(1 vn ) 1 vn
n
1 v
i
a ni
s ni
1 in a 1 in v v2 vn n
1 in1 1 in2
1
i
1
s n
Page ▪ 10
2.1.1期末付年金
a 与s 之间的关系
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2.1.1期末付年金
▪ 例2.4 已知年实际利率为8%，乙向银行贷款1000元，期限为5年，计算下面的三种还款方式中利息所占的额度。
▪ （1）贷款的本金和利息累积值在第5年末一次还清； ▪ （2）每年末致富贷款利息，第5年末归还本金； ▪ （3）贷款每年年末均衡偿还。
Page ▪ 13
n
n
n
n
（1）如果 t<0（这里为了方便，我们允许负数作为时间的标识数，其意义符合逻辑顺序，如-1 表示在 0 前一期，-5 表示在 0 前 5 期），则