辽宁高考数学第一轮复习知识点分类

辽宁高考数学第一轮复习知识点分类

一、集合与简易逻辑

1.集合元素具有确定性、无序性和互异性.

（1）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若{0,2,5}P =，

}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的有________个。

（答：8） （2）非空集合}5,4,3,2,1{?S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6”，这样的S 共有_____

个（答：7）

2. “极端”情况否忘记?=A ：集合{|10}A x ax =-=，{}

2|320B x x x =-+=，且A

B B =，则实数a ＝______.（答：10,1,

2

a =） 3.满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有______个。 （答：7）

4.运算性质：设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，}4{)(=B A C U ，

}5,1{)()(=B C A C U U ，则A ＝_____，B ＝___.（答：{2,3}A =，{2,4}B =）

5.集合的代表元素：（1）设集合{|M x y ==

，集合N ＝{}

2|,y y x x M =∈，则

M N =___（答：[4,)+∞）；（2）设集合{|(1,2)(3,4),

M a a

R λλ==+∈，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+，}R λ∈，则=N M _____（答：)}2,2{(--）

6.补集思想：已知函数12)2(24)(2

2

+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使0)(>c f ，求实数p 的取值范围。 （答：3(3,)2

-）

7.复合命题真假的判断：在下列说法中：⑴“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件；⑵“p 且q ”为假是“p 或q ”为真的充分不必要条件；⑶“p 或q ”为真是“非p ”为假的必要不充分条件；⑷“非p ”为真是“p 且q ”为假的必要不充分条件。其中正确的是____答：⑴⑶）

8.充要条件：（1）给出下列命题：①实数0=a 是直线12=-y ax 与322=-y ax 平行的充要条件；②若0,,=∈ab R b a 是b a b a +=+成立的充要条件；③已知R y x ∈,，“若0=xy ，则0=x 或0=y ”的逆否命题是“若0≠x 或0≠y 则0≠xy ”

；④“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是假命题 。其中正确命题的序号是_______（答：①④）；

（2）设命题p ：|43|1x -≤；命题q:0)1()12(2

≤+++-a a x a x 。若┐p 是┐q 的必要

而不充分的条件，则实数a 的取值范围是 （答：1

[0,]2

）

9. 一元一次不等式的解法：已知关于x 的不等式0)32()(<-++b a x b a 的解集为)3

1

,(--∞，则关于x 的不等式0)2()3(>-+-a b x b a 的解集为_______（答：{|3}x x <-）

10. 一元二次不等式的解集：解关于x 的不等式：01)1(2

<++-x a ax 。

（答：当0a =时，1x >；当0a <时，1x >或1x a <；当01a <<时，1

1x a

<<；当1a =时，x ∈?；当1a >时，

1

1x a

<<） 11. 对于方程02

=++c bx ax 有实数解的问题。（1）()()222210a x a x -+--<对一切

R x ∈恒成立，则a 的取值范围是_______（答：(1,2]）；（2）若在[0,]2

π

内有两个不等的实

根满足等式cos 221x x k =+，则实数k 的范围是_______.（答：[0,1)）

12.一元二次方程根的分布理论。

（1）实系数方程2

20x ax b ++=的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则1

2

--a b 的取值范围是_________（答：（

4

1

，1）） （2）不等式2

3210x bx -+≤对[1,2]x ∈-恒成立，则实数b 的取值范围是____（答：?）。

二、函 数

1.映射f : A →B 的概念。

（1）设:f M N →是集合M 到N 的映射，下列说法正确的是 A 、M 中每一个元素在

N 中必有象 B 、N 中每一个元素在M 中必有原象 C 、N 中每一个元素在M 中的原象是唯一的 D 、N 是M 中所在元素的象的集合（答：A ）；（2）点),(b a 在映射f 的作用下的象是),(b a b a +-，则在f 作用下点)1,3(的原象为点________（答：（2，－1））；（3）若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个，

A 到

B 的函数有 个（答：81,64,81）

；（4）设集合{1,0,1},{1,2,3,4,5}M N =-=，映射:f M N →满足条件“对任意的x M ∈，()x f x +是奇数”

，这样的映射f 有____个（答：12）

2.函数f : A →B 是特殊的映射。若函数422

12

+-=

x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b ＝ （答：2）

3.若解析式相同，值域相同，但其定义域不同的函数，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为2

y x =，值域为{4，1}的“天一函数”共有__个（答：9）

4.研究函数问题时要树立定义域优先的原则）： （1）函数

lg 3y x =

-的定义域是____(答：(0,2)(2,3)(3,4)

)；（2）设函数2()lg(21)f x ax x =++，①若()f x 的定义域是R ，求实数a 的取值范围；②若()f x 的值域是R ，求实数a 的取值范围（答：①1a >；②01a ≤≤）

（2）复合函数的定义域：（1）若函数)(x f y =的定义域为??

????2,21，则)(log 2x f 的定义

域为__________（答：{}

42|≤≤x x ）；（2）若函数2

(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________（答：[1,5]）．

5.求函数值域（最值）的方法：

（1）配方法―（1）当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2

-++=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是___（答：2

1-

≥a ）； （2）换元法（1）2

2sin 3cos 1y x x =--的值域为_____（答：17

[4,

]8

-）；（2

）21y x =++_____（答：(3,)+∞）

t =，0t ≥。运用换元法时，要

特别要注意新元t 的范围）；3）s i n c o s s i n c o s y x x x x

=++的值域为____

（答：1

[1,2

-）；（4

）4y x =+的值域为____

（答：4]）；

（3）函数有界性法―求函数2sin 11sin y θθ-=+，313x x y =+，2sin 1

1cos y θθ

-=

+的值域（答： 1(,]2-∞、（0,1）、3(,]2

-∞）； （4）单调性法――求1(19)y x x x =-<<，2

29sin 1sin y x x

=++的值域为______（答：

80(0,)9、11

[,9]2

）

； （5）数形结合法――已知点(,)P x y 在圆22

1x y +=上，求2

y x +及2y x -的取值范围

（答：[33

-

、[）； （6）不等式法―设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则2

12

21)(b b a a +的取值

范围是____________.（答：(,0][4,)-∞+∞）。

（7）导数法―求函数32

()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。（答：－48）

6.分段函数的概念。（1）

设函数2

(1).(1)

()41)

x x f x x ?+

取值范围是____（答：(,2][0,10]-∞-）；（2）已知1(0)()1(0)x f x x ≥?=?-

，则不等式

(2)(2)5x x f x +++≤的解集是___（答：3

(,]2

-∞）

7.求函数解析式的常用方法：

（1）待定系数法―已知()f x 为二次函数，且 )2()2(--=-x f x f ，且f(0)=1,图象在x 轴上截得的线段长为22,求()f x 的解析式 。（答：2

1()212

f x x x =

++） （2）配凑法―（1）已知,s i n )c o s

1(2

x x f =-求()

2x f 的解析式___（答

：242()2,[f x x x x =-+∈）；（2）若22

1)1(x

x x x f +=-，则函数)1(-x f =___（答：

223x x -+）

； （3）方程的思想―已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式（答：2

()33

f x x =--）； 8. 反函数：

（1）函数2

23y x ax =--在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是

A 、(],1a ∈-∞

B 、[)2,a ∈+∞

C 、[1,2]a ∈

D 、(],1a ∈-∞[)2,+∞

（答：D ）

（2）设)0()1(

)(2

>+=x

x

x x f .求)(x f 的反函数)(1x f -（答：1()1)f x x -=>）． （3）反函数的性质：

①单调递增函数)(x f 满足条件)3(+ax f = x ，其中a ≠ 0 ，若)(x f 的反函数)(1

x f -的

定义域为??

????a

a 4,1 ，则)(x f 的定义域是____________（答：[4,7]）.

②已知函数13

2)(-+=

x x x f ，若函数()y g x =与)1(1

+=-x f y 的图象关于直线x y =对

称，求(3)g 的值（答：7

2

）；

③（1）已知函数)24

(

log )(3+=x

x f ，则方程4)(1=-x f 的解=x ______（答：1）

； ④已知()f x 是R 上的增函数，点()()1,1,1,3A B -在它的图象上，()1f x -是它的反函数，那

么不等式()12log 1f x -<的解集为________（答：（2,8））；

9.函数的奇偶性。

（1）①定义法：判断函数

y =

____（答：奇函数）。

②等价形式：判断11

()()212

x f x x =+-的奇偶性___.（答：偶函数）

③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称。 （2）函数奇偶性的性质：若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==.

若定义在R 上的偶函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，且)31

(f =2，则不等式2

)(log 8

1>x f 的解集为______.（答：(0,0.5)(2,)+∞）

④(0)0f =若22

()21

x x a a f x +-=+·为奇函数，则实数a ＝____（答：1）.

⑤设)(x f 是定义域为R 的任一函数， ()()

()2

f x f x F x +-=，()()()2f x f x G x --=。①

判断)(x F 与)(x G 的奇偶性； ②若将函数)110lg()(+=x

x f ，表示成一个奇函数)(x g 和一

个偶函数)(x h 之和，则)(x g ＝____（答：①)(x F 为偶函数，)(x G 为奇函数；②)(x g ＝1

2

x ）

10.函数的单调性。

（1）若()f x 在区间(,)a b 内为增函数，则()0f x '≥，已知函数3

()f x x ax =-在区间

[1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是____(答：(0,3]）)；

（2）若函数2)1(2)(2

+-+=x a x x f 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数a 的取值范围是______(答：3-≤a ）)；

（3）已知函数1

()2

ax f x x +=

+在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围_____（答：1

(,)2

+∞）； （4）函数()2

12

log 2y x x =-+的单调递增区间是________(答：（1,2）)。

（5）已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数,若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数

m 的取值范围。（答：1223

m -

<<） 11. 常见的图象变换

①设()2,()x

f x

g x -=的图像与()f x 的图像关于直线y x =对称，()

h x 的图像由()g x 的图像向右平移1个单位得到，则()h x 为__________(答： 2()log (1)h x x =--)

②函数()lg(2)1f x x x =?+-的图象与x 轴的交点个数有____个(答：2)

③将函数a a

x b

y ++=的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线x y =对称,那么

0,1)(≠-=b a A R b a B ∈-=,1)( 0,1)(≠=b a C R b a D ∈=,0)( (答：

C)

④函数()ax f y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴伸缩为原来的a 1

得到的。如若函数(21)y f x =-是偶函数，则函数(2)y f x =的对称轴方程是_______(答：1

2

x =-)．

12. 函数的对称性。

①已知二次函数)0()(2

≠+=a bx ax x f 满足条件)3()5(-=-x f x f 且方程x

x f =)(有等根，则)(x f ＝_____(答：2

12

x x -

+)； ②己知函数33

(),()232

x f x x x -=≠-,若)1(+=x f y 的图像是1C ,它关于直线y x =对称

图像是22,C C 关于原点对称的图像为33,C C 则对应的函数解析式是_______（答：

221

x y x +=-+）；

③若函数x x y +=2

与)(x g y =的图象关于点（-2，3）对称，则)(x g ＝______（答：276x x ---）

13. 函数的周期性。

（1）类比“三角函数图像”已知定义在R 上的函数()f x 是以2为周期的奇函数，则方程

()0f x =在[2,2]-上至少有__________个实数根（答：5）

（2）由周期函数的定义

(1) 设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.47(f 等于_____(答：5.0-)；(2)已知()f x 是偶函数，且(1)f =993，()g x =(1)f x -是奇函数，求(2005)f 的值(答：993)；（3）已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则=-

)2

(T

f ____（答：0） （2）利用函数的性质

（1）设函数()()f x x N ∈表示x 除以3的余数，则对任意的,x y N ∈，都有 A 、

(3)()f x f x += B 、()()()f x y f x f y +=+ C 、(3)3()f x f x = D 、()()()f xy f x f y =（答：

A ）；

（2）设)(x f 是定义在实数集R 上的函数，且满足)()1()2(x f x f x f -+=+，如果

2

3

lg

)1(=f ，15lg )2(=f ，求)2001(f （答：1）；（3）已知定义域为R 的函数)(x f 满足)4()(+-=-x f x f ，且当2>x 时，)(x f 单调递增。如果421<+x x ，且0)2)(2(21<--x x ，则)()(21x f x f +的值的符号是____（答：负数） （3）利用一些方法

（1）若x R ∈，()f x 满足()()f x y f x +=()f y +，则()f x 的奇偶性是______（答：奇函数）；（2）若x R ∈，()f x 满足()()f xy f x =()f y +，则()f x 的奇偶性是______（答：偶函数）；（3）已知()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数，当03x <<时，()f x 的图像如右图所示，那么不等式()cos 0f x x <的解集是_____________（答：(,1)(0,1)(,3)22

π

π

-

-）

；

三、数 列

1、数列的概念：（1）已知*

2

()156n n a n N n =

∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：125）；（2）数列}{n a 的通项为1

+=bn an

a n ，其中

b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答：

n a <1+n a ）；（3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；

A B C D

2.等差数列的有关概念：

(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = （答：210n +）；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：8

33

d <≤）

（1）数列 {}n a 中，*11(2,)2n n a a n n N -=+

≥∈，32n a =，前n 项和15

2

n S =-，则1a ＝＿，n ＝＿（答：13a =-，10n =）；（2）已知数列 {}n a 的前n 项和2

12n S n n =-，求数

列{||}n a 的前n 项和n T （答：2*

2*12(6,)

1272(6,)

n n n n n N T n n n n N ?-≤∈?=?-+>∈??）.

（4）等差中项

3.等差数列的性质：

（1）等差数列{}n a 中，12318,3,1n n n n S a a a S --=++==，则n ＝____（答：27）；（2）在等差数列{}n a 中，10110,0a a <>，且1110||a a >，n S 是其前n 项和，则A 、12

10,S S S 都

小于0，

1112,S S 都大于0 B 、1219,S S S 都小于0，2021,S S 都大于0 C 、125

,S S S 都小于0，67

,S S 都大于0 D 、1220,S S S 都小于0，2122

,S S 都大于0 （答：B ）

等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为 。（答：225） （2）在等差数列中，S 11＝22，则6a ＝______（答：2）；（2）项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.

设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若3

41

3-+=

n n T S n n ，那么

=n n b a ___________（答：62

87

n n --） （3）等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：

前13项和最大，最大值为169）；（2）若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，

200320040a a ?<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是 （答：4006） 4.等比数列的有关概念： （1）等比数列的判断方法：（1）一个等比数列{n a }共有21n +项，奇数项之积为100，偶数

项之积为120，则1n a +为____（答：

5

6

）；（2）数列{}n a 中，n S =41n a -+1 (2n ≥)且1a =1，若n n n a a b 21-=+ ，求证：数列｛n b ｝是等比数列。

（2）等比数列的通项：设等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -=，前n 项和n S ＝

126，求n 和公比q . （答：6n =，1

2

q =或2） （3）等比数列的前n 和：（1）等比数列中，q ＝2，S 99=77，求9963a a a +++ （答：44）；

（2）

)(101

∑∑==n n

k k

n

C

的值为__________（答：2046）；

（4）等比中项：已知两个正数,()a b a b ≠的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大

小关系为______（答：A ＞B ）

有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）奇数个数成等比，可设为…，

22

,,,,a a

a aq aq q q

…（公比为q ）；但偶数个数成等比时，不能设为…

33

,,,aq aq q

a q a ，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为2

q 。 5.等比数列的性质：

（1）在等比数列{}n a 中，3847124,512a a a a +==-，公比q 是整数，则10a =___（答：512）；（2）各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ?=，则3132310log log log a a a +++= （答：10）。

（1）已知0a >且1a ≠，设数列{}n x 满足1l o g 1l o g a n a

n x x +=+(*)n N ∈，且12100

100x x x

++

+=，则101102200x x x ++

+= . （答：100100a ）

；（2）在等比数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，若140,1330101030=+=S S S S ，则20S 的值为______（答：40）

若{}n a 是等比数列，且3n n S r =+，则r ＝ （答：－1）

设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q 的值为-_____（答：－2）

设数列{}n a 的前n 项和为n S （N ∈n ）， 关于数列{}n a 有下列三个命题：①若

)(1

N ∈=+n a a n n ，则{}n a 既是等差数列又是等比数列；②若()R ∈+=b a n b n a S n 、

2，则{}n a 是等差数列；③若()n n S 11--=，则{}n a 是等比数列。这些命题中，真命题的序号是

（答：②③）

6.数列的通项的求法：

已知数列 ,32

1

9,1617,815,413

试写出其一个通项公式：__________（答：11

212

n n a n +=++

） ①已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+，求n a （答：

{

3,1

2,2

n n n a n ==≥）；②数列{}

n a 满足

12211

12522

2n

n

a a a n +++

=+，求n a （答：{

114,1

2,2n n n a n +==≥） 数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ，则=+53a a ______（答：

61

16

） 已知数列{}n a 满足11a =，n

n a a n n ++=

--1

11(2)n

≥，则n a =________（答：

1n a =）

已知数列}{n a 中，21=a ，前n 项和n S ，若n n a n S 2

=，求n a （答：4

(1)

n a n n =

+）

①已知111,32n n a a a -==+，求n a （答：1231n n a -=-）；②已知111,32n

n n a a a -==+，

求n a （答：11

532n n n a -+=-）；

①已知1111,31n n n a a a a --==

+，求n a （答：1

32

n a n =

-）；②已知

数列满足

1a =1，

=n a （答：21

n a n

=）

数列{}n a 满足11154,3

n n n a S S a ++=+=，求n a （答：{

1

4,1

34,2n n n a n -==≥） 7.数列求和的常用方法：

（1）公式法：（1）等比数列{}n a 的前n 项和S ｎ＝2ｎ

－１，则2

232221n a a a a ++++ ＝

_____（答：413

n -）；（2）计算机是将信息转换成二进制数进行处理的。二进制即“逢2进1”，

如2)1101(表示二进制数，将它转换成十进制形式是13212021210123=?+?+?+?，那么将二

进制

1

20052)11111(个转换成十进制数是_______（答：200521-）

（2）分组求和法： 1357(1)(21)n n S n =-+-+-

+--（答：(1)n n -?）

（3）倒序相加法：①求证：012

35(21)(1)2n

n n n n n C C C n C n +++

++=+；②已知

22

()1x f x x =+，则111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++＝______（答：7

2

） （4）错位相减法：（1）设{}n a 为等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+

++，

已知11T =，24T =，①求数列{}n a 的首项和公比；②求数列{}n T 的通项公式.（答：①11a =，2q =；

②122n n T n +=--）；（2）设函数)1(4)()1()(2

-=-=x x g x x f ，，数列}{n a 满足：

12,()n a f a =(n a =-

))(()1++∈N n a g a n n ，①求证：数列}1{-n a 是等比数列；②令212()(1)(1)h x a x a x =-+-

(1)n n a x ++-，求函数)(x h 在点38=x 处的导数)38(h '，并比较)3

8

(h '与n n -22的大小。

（答：①略；②8()(1)213n

h n '=-+，当1n =时，)3

8(h '＝n n -22；当2n =时，

)38(h '

8

(h '>n n -22） （5）裂项相消法：（1）求和：111

1447(32)(31)n n +++=??-?+ （答：

31n n +）；（2）在数列{}n a 中，1

1

++=n n a n ，且S ｎ＝９，则n ＝_____（答：99）；

（6）通项转换法：求和：111

112123123n ++++=+++++++ （答：

21

n n +） 四、三角函数

1、α的终边与

6π的终边关于直线x y =对称，则α＝_____。（答：Z k k ∈+,3

2π

π） 若α是第二象限角，则2

α

是第_____象限角（答：一、三）；已知扇形AOB 的周长是6cm ，

该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：22

cm ） 2、三角函数的定义：（1）已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααc o s s i n +的值为＿＿。（答：713-）；（2）设α是第三、四象限角，m m --=432sin α，y

T

A x

α

B S

O M P

则m 的取值范围是_______（答：（－1，)2

3

）； 3.三角函数线（1）若08

π

θ-

<<，则s i n

,c o s ,t a n θθθ的大小关系为_____(答：t a n s i n c o s θθθ<<)；

（2）若α为锐角，则,sin ,tan ααα的大小关系为_______ （答：sin tan ααα<<）

；（3）函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是_______（答：2(2,2]()33

k k k Z ππ

ππ-+∈）

4.同角三角函数的基本关系式：（1）已知53sin +-=m m θ，)2

(524cos πθπ

θ<<+-=m m ，则θ

t a n ＝____（答：12

5-）

；（2）已知11tan tan -=-αα，则ααα

αc o s s i n c o s 3s i n +-＝____；2cos sin sin 2++ααα＝___（答：35-；5

13）；（3）已知x x f 3cos )(cos =，则)30(sin

f 的值为______（答：－1）。

5.三角函数诱导公式（1）97cos tan()sin 2146

ππ

π+-+的值为________（答：-）；（2）已知5

4)540sin(-=+α

，则=-)270c o s ( α

______，若α为第二象限角，则=+-+-)180tan()]360cos()180[sin(2

ααα

________。（答：54-；1003-） 6、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： （1）下列各式中，值为

1的是 A 、1515sin cos B 、221212

cos sin ππ

- C 、

22251225tan .tan .- D （答：C ）；

（2）命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的 A 、充要条件 B 、

充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件（答：C ）；（3）已知

35sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为____（答：

7

25

）；（4）

11080

sin sin -的值是______（答：4）；(5)已知0tan110a =，求0

tan 50的值（用a 表示）

，乙求得的结果是212a a -，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是

______（答：甲、乙都对）

7. 三角函数的化简、计算、证明

（1）巧变角：（1）已知2tan()5αβ+=

，1tan()44πβ-=，那么tan()4

π

α+的值是_____（答：322）；（2）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3

cos()5

αβ+=-，则y 与x 的

函数关系为______

（答：43

(1)55

y x x =<<） (2)三角函数名互化(切割化弦)，（1）求值sin 50(13tan10)+（答：1）；（2）已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值（答：1

8

）

(3)公式变形使用设ABC ?

中，tan A tan B Atan B +=

，sin Acos A =

则此三角形是____三角形（答：等边）

(4)三角函数次数的降升

函数2

5f (x )sin xcos x x =

-x R )∈的单调递增区间为___________（答：51212

[k ,k ](k Z )π

π

ππ-

+

∈）

(5)式子结构的转化（1）tan (cos sin )ααα- sin tan cot csc αα

αα

+++（答：sin α）；（2）求证：

21tan 1sin 212sin 1tan 22αααα++=

--；（3）化简：42212cos 2cos 22tan()sin ()44

x x x x ππ-+

-+（答：1cos 22x ） (6)常值变换主要指“1”的变换已知tan 2α=，求22

sin sin cos 3cos αααα+-（答：35

）.

(7)“知一求二”（1）若 sin cos x x t ±=，则sin cos x x = __（答：21

2

t -±)，特别提醒：

这里[t ∈；（2）若1(0,),sin cos 2απαα∈+=，求tan α的值。

（答：）；

8、辅助角公式中辅助角的确定：（1）

若方程sin x x c -=有实数解，则c 的取值范围是___________.（答：[－2,2]）；（2）当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tanx 的值是

______(答：3

2

-)；（3）如果()()sin 2cos()f x x x ??=+++是奇函数，则tan ?= (答：－

2)；（4）求值：=?+?

-?20sin 6420cos 1

20sin 322

2________(答：32) 9、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质：

（1）若函数sin(3)6

y a b x π=-+的最大值为23，最小值为21

-，则=a __，=b ＿（答：

1,12

a b ==或1b =-）；（2）函数x x x f cos 3sin )(+=（]2,2[ππ-∈x ）的值域是____（答：

[－1, 2]）；（3）若2αβπ+=，则6y cos sin βα=-的最大值和最小值分别是____ 、_____

（答：7；－5）；（4）

函数2

()2cos sin()3

f x x x x π

=+-sin cos x x +的最小值是_____，

此时x ＝__________（答：2；()12

k k Z π

π+

∈）

；（5）己知2

1

cos sin =βα，求αβco s s i

n =t

的变化范围（答：1[0,]2

）；（6）若αβαcos 2sin 2sin 22=+，求βα2

2si n si

n +=y 的最大、

最小值（答：1max =y ，222min -=y ）。

（3）周期性： (1)若3

sin )(x

x f π=，则(1)(2)(3)(2003)

f f f f ++++＝___（答：0）；(2) 函数4()cos f x x =2sin cos x x -4

sin x -的最小正周期为____（答：π）；(3) 设函数)5

2sin(2)(π

π+=x x f ，若对任意R x ∈都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则||21x x -的最小

值为____（答：2）

（4）奇偶性与对称性：（1）函数522y sin x π??

=-

???

的奇偶性是______（答：偶函数）；（2）已知函数3

1f (x )ax b sin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5f()-=______（答：－5）；（3）函数)c o s (s in c o s 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是__________、

____________（答：128k (,)(k Z )ππ-∈、28

k x (k Z )ππ

=+∈）；（4）已

知

f (x )s i n )c o s (x )θθ=+++为偶函数，求θ的值。（答：6

k (k Z )π

θπ=+

∈）

（5）单调性：

16、形如sin()y A x ω?=+的函数：

()sin()(0,0f x A x A ω?ω=+>>，||)2

π

?<

则()f x ＝_____（答：15()2sin()23

f x x π

=+）；

（1）函数2sin(2)14

y x π

=-

-sin y x =的图象？（答：2sin(2)14y x π=--向上平移1个单位得2sin(2)4

y x π

=-的图象，再向左平移

8

π

个单位得2sin 2y x =的图象，横坐标扩大到原来的2倍得2sin y x =的图象，最后将纵坐标缩小到原来的12即得sin y x =的图象）；(2) 要得到函数cos()24x y π

=-的图

象，只需把函数sin 2x y =的图象向___平移____个单位（答：左；2

π

）；（3）将函数

72sin(2)13

y x π

=-

+图像，按向量a 平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出a ；若不唯一，求出模最小的向量（答：存在但不唯一，模最小的向量(,1)6

a π

=-

-）

；（4）若函数()[]()cos sin 0,2f x x x x π=+∈的图象与直线y k =有且仅有四个不同的交点，则k 的取值范围是

（答：）

（5）研究函数sin()y A x ω?=+性质的方法：（1）函数23

y sin(x )π

=-+的递减区间是

______（答：51212[k ,k ](k Z )π

πππ-

+∈）

；（2）12

34x y log cos()π=+的递减区间是_______（答：336644[k ,k ](k Z )π

πππ-+∈）

；（3）设函数)2

2,0,0)(sin()(π?πω?ω<<->≠+=A x A x f 的图象关于直线3

2π=x 对称，它的周期是π，则A 、)21,0()(的图象过点x f B 、()f x 在区间52[,]123ππ上是减函数 C 、)0,12

5()(π是的图象的一个对称中心x f D 、()f x 的最大值是A （答：C ）；（4）对于函数()2sin 23f x x π?

?=+ ??

?给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；

②图象关于直线12x π=成轴对称；③图象可由函数2sin 2y x =的图像向左平移3

π

个单位得到；

④图像向左平移12

π

个单位，即得到函数2cos 2y x =的图像。其中正确结论是_______（答：②④）；（5）已知函数()2sin()f x x ω?=+图象与直线1y =的交点中，距离最近两点间的距

离为3

π

，那么此函数的周期是_______（答：π）

x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =cos x +的周期为2

π

，而1|2s i n (3)|,|2s i n (3)2|

626

y x y x ππ

=-+=-+，|tan |y x =的周期不变； ABC ?中，若C B A B A 22222sin sin cos cos sin =-，判断ABC ?的形状（答：直角

三角形）。

（1）ABC ?中，A 、B 的对边分别是 a b 、，且A=60 4,a b ==，那么满足条件的

ABC ? A 、 有一个解 B 、有两个解 C 、无解 D 、不能确定（答：C ）

；（2）在ABC ?中，A ＞B 是sin A sin B >成立的_____条件（答：充要）；（3）在ABC ?中，

112(tan A)(tan B )++=，则2log sinC ＝_____（答：12

-）；(4)在ABC ?中，a,b,c 分别

是角A 、B 、C 所对的边，若(a b c )(sin A sin B +++3sinC )a sin B -=，则C ∠＝____（答：

60）；（5）在ABC ?中，若其面积222

S =，则C ∠=____（答：30）；（6）在ABC

?

中，60 1A ,b ==，则ABC ?外接圆的直径是_______（答：

3

）；

（7）在△ABC 中，a 、b 、c 是角A 、B 、C 的对边，

21,cos 32

B C

a A +==则= ，

22b c +的最大值为

（答：

19

32

;）；（8）在△ABC 中AB=1，BC=2，则角C 的取值范围是