高考数学知识点分类复习指导

四、三角函数 1、α的终边与

6π的终边关于直线x y =对称，则α＝_____。（答：Z k k ∈+,3

2ππ） 若α是第二象限角，则2

α

是第_____象限角（答：一、三）；已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的

中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：22

cm ） 2、三角函数的定义：（1）已知角α的终边经过点P(5，－12)，则ααcos sin +的

值为＿＿。（答：713

-）；（2）设α是第三、四象限角，m m --=432sin α，则m 的

取值范围是_______（答：（－1，)2

3

）；

3.三角函数线（1）若08

π

θ-

<<，则sin ,cos ,tan θθθ的大小关系为_____(答：

tan sin cos θθθ<<)；

（2）若α为锐角，则,sin ,tan ααα的大小关系为_______ （答：sin tan ααα<<）；（3）函数)3sin 2lg(cos 21+++=x x y 的定义域是_______（答：

2(2,2]()3

3

k k k Z π

π

ππ-

+

∈） 4.同角三角函数的基本关系式：（1）已知53sin +-=

m m θ，)2

(524cos πθπ

θ<<+-=m m ，则θtan ＝____（答：125-）；（2）已知11tan tan -=-αα，则ααααcos sin cos 3sin +-＝____；2cos sin sin 2

++ααα＝___（答：35-；5

13）；（3）已知x x f 3cos )(cos =，则)30(sin

f 的值为______（答：－1）。 5.三角函数诱导公式（1）97cos tan()sin 2146

ππ

π+-+的值为________

（答：-）；（2）已知5

4)540sin(-=+α ，则=-)270cos(

α______，若α为第二象限角，则=+-+-)

180tan()]360cos()180[sin(2

ααα

________。（答：54-；1003-） 6、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：

（1）下列各式中，值为12的是 A 、1515sin cos B 、221212

cos sin ππ

- C 、

22251225tan .tan .-

D （答：C ）；

（2）命题P ：0tan(A B )+=，命题Q ：0tan A tan B +=，则P 是Q 的 A 、充要条件 B 、充分不必

要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件（答：C ）；（3）已知35sin()cos cos()sin αβααβα---=，那么2cos β的值为____（答：725

）

；（4）1310sin -的值是______（答：4）；(5)已知0tan110a =，求0tan 50的值（用a

，乙求

得的结果是2

12a a

-，对甲、乙求得的结果的正确性你的判断是______（答：甲、乙都对）

7. 三角函数的化简、计算、证明

（1）巧变角：（1）已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____（答：3

22

）；（2）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3

cos()5

αβ+=-，则y 与x 的函数关系为

______（答：

43

(1)55

y x x =<<）

(2)三角函数名互化(切割化弦)，（1）求值sin 50(13tan10)+（答：1）；（2）已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值（答：1

8

）

(3)公式变形使用设

ABC ?

中，tan A tan B Atan B +

=，sin Acos A =形是____三角形（答：等边）

(4)三角函数次数的降升函数2

5f (x )sin x cos x

x =-x R )∈的单调递增区间为___________（答：512

12

[k ,k ](k Z )π

π

ππ-

+

∈） (5)式子结构的转化（1）tan (cos sin )ααα- sin tan cot csc αα

αα

++

+（答：sin α）；（2）求证：

21tan 1sin 212sin 1tan 22αααα++=

--；（3）化简：42212cos 2cos 22tan()sin ()44

x x x x ππ-+

-+（答：1cos 22x ） (6)常值变换主要指“1”的变换已知tan 2α=，求22

sin sin cos 3cos αααα+-（答：35

）.

(7)“知一求二”（1）若 sin cos x x t ±=，则sin cos x x = __（答：21

2

t -±)

，特别提醒

：这里

[t ∈；（2）若1(0,),sin cos 2απαα∈+=，求tan

α的值。（答：）； 8、辅助角公式

中辅助角的确定：

（1）若方程sin x x c =有实数解，则c 的取值范围是___________.（答：[－2,2]）；（2）当函数23y cos x sin x =-取得最大值时，tanx 的值是______(答：32-)；（3）如果()()sin 2cos()f x x x ??=+++是奇函数，则tan ?= (答：－2)；（4）求值：=?+?

-?20sin 6420cos 1

20sin 322

2________(答：32) 9、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质： （1）若函数sin(3)6y a b x π=-+的最大值为23，最小值为21-，则=a __，=b ＿（答：1,12a b ==y

T

A x

α B S

O M P

或1b =-）；（2）函数x x x f cos 3sin )(+=（]2,

2[π

π-

∈x ）的值域是____（答：[－1, 2]）；（3）若2αβπ+=，则6y cos sin βα=-的最大值和最小值分别是____ 、_____（答：7；－5）

；（4）

函数2()2cos sin()3

f x x x x π

=+sin cos x x +的最小值是_____，此时x ＝__________（答：2；

()12k k Z ππ+∈）

；（5）己知21cos sin =βα，求αβcos sin =t 的变化范围（答：1

[0,]2

）；（6）若αβαcos 2sin 2sin 22=+，求βα22sin sin +=y 的最大、最小值（答：1max =y ，222min -=y ）。

（3）周期性： (1)若3

sin )(x

x f π=，则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++＝___（答：0）；(2) 函

数4()cos f x x =2sin cos x x -4

sin x -的最小正周期为____（答：π）；(3) 设函数)5

2

sin(

2)(π

π

+=x x f ，

若对任意R x ∈都有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则||21x x -的最小值为____（答：2）

（4）奇偶性与对称性：（1）函数522y sin x π??

=- ???

的奇偶性是______（答：偶函数）；（2）已知函数31f (x )ax b sin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5f ()-=______（答：－5）；（3）函数)cos (sin cos 2x x x y +=的图象的对称中心和对称轴分别是__________、____________（答：128k (,)(k Z )ππ-∈、28

k x (k Z )ππ

=+∈）

；（4）

已知f (x )sin(x )x )θθ=+++为偶函数，求θ的值。（答：6

k (k Z )π

θπ=+

∈）

（5）单调性：

16、形如sin()y A x ω?=+的函数：

()sin()(0,0f x A x A ω?ω=+>>，||)2

π

?<

_____（答：15()2sin(

)23

f x x π

=+）

； （1）函数2sin(2)14

y x π

=--的图象经过怎样的变换才能得到y =象？（答：2sin(2)14y x π

=-

-向上平移1个单位得2sin(2)4y x π=-的图象，再向左平移8

π

个单位得2sin 2y x =的图象，横坐标扩大到原来的2倍得2sin y x =的图象，最后将纵坐标缩小到原来的1

2

即得

sin y x =的图象）；(2) 要得到函数cos()24x y π=-的图象，只需把函数sin 2

x

y =的图象向___平移____

个单位（答：左；2

π）；（3）将函数72sin(2)13y x π

=-+图像，按向量a 平移后得到的函数图像关于原点

对称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出a ；若不唯一，求出模最小的向量（答：存在但不唯一，模最小的向量(,1)6

a π

=-

-）；（4）若函数()[]()cos sin 0,2f x x x x π=+∈的图象与直线y k =有且仅有四

个不同的交点，则k 的取值范围是

（答：）

（5）研究函数sin()y A x ω?=+性质的方法：（1）函数23

y sin(x )π

=-+

的递减区间是______（答：

51212[k ,k ](k Z )π

πππ-

+∈）；（2）12

34x y log cos()π=+的递减区间是_______（答：

336644[k ,k ](k Z )ππππ-+∈）；（3）设函数)2

2,0,0)(sin()(π?πω?ω<<->≠+=A x A x f 的图象关于直线3

2π=x 对称，它的周期是π，则A 、)21,0()(的图象过点x f B 、()f x 在区间52[,]123ππ上是减函数 C 、)0,12

5()(π是的图象的一个对称中心x f D 、()f x 的最大值是A （答：C ）

；（4）对于函数()2sin 23f x x π?

?=+ ??

?给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；②图象关于直线12x π=成轴对称；③

图象可由函数2sin 2y x =的图像向左平移

3

π

个单位得到；④图像向左平移12π个单位，即得到函数

2cos 2y x =的图像。其中正确结论是_______（答：②④）

；（5）已知函数()2sin()f x x ω?=+图象与直线1y =的交点中，距离最近两点间的距离为3

π

，那么此函数的周期是_______（答：π）

x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =cos x +的周期为2

π

，而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626

y x y x ππ

=-+=-+，|tan |y x =的周期不变；

ABC ?中，若C B A B A 2222

2sin sin cos cos sin =-，判断ABC ?的形状（答：直角三角形）

。 （1）ABC ?中，A 、B 的对边分别是 a b 、，且A=60 4,a b ==，那么满足条件的ABC ? A 、

有一个解 B 、有两个解 C 、无解 D 、不能确定（答：C ）；（2）在ABC ?中，A ＞B 是sin A sin B >成立的_____条件（答：充要）；（3）在ABC ?中， 112(tan A)(tan B )++=，则2log sinC ＝_____（答：1

2

-）

；(4)在ABC ?中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若(a b c )(sin A sin B +++3sinC )a sin B -=，则C ∠＝____（答：60）；（5）在ABC ?中，若其面积222

S =，则C ∠=____（答：30）；（6）

在ABC ?中，60 1A ,b ==，则ABC ?外接圆的直径是_______（答：3

）；（7）在△ABC 中，a 、b 、c 是角A 、B 、C 的对边，21,cos 32

B C a A +==则= ，22b c +的最大值为

（答：19

32

;

）；（8）在△ABC 中AB=1，BC=2，则角C 的取值范围是 （

答

：

06

C π

<≤

）；（9）设O 是锐角三角形ABC 的外心，若75C ∠=，且,,AOB BOC COA ???的面积满足

关系式AOB BOC COA S S ???+，求A ∠（答：45）．

19.求角的方法（1）若,(0,)αβπ∈，且tan α、tan β是方程2

560x x -+=的两根，则求αβ+的

值______（答：

34

π）；（2）ABC ?中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1A B B A +=+=，则C ∠＝_______（答：3

π）；（3）若02αβγπ≤<<<且0sin sin sin αβγ++=，0cos cos cos αβγ++=，求βα-的值（答：23

π）.

三、数 列

1、数列的概念：（1）已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（答：1

25

）

；（2）数列}{n a 的通项为1

+=bn an

a n ，其中

b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答：n a <1+n a ）；（3）

已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；

A B C D

2.等差数列的有关概念：

(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = （答：210n +）；（2）首项为-24

的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______（答：

8

33

d <≤） （1）数列 {}n a 中，*

11(2,)2n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和152

n S =-，则1a ＝＿，n ＝

＿（答：13a =-，10n =）；（2）已知数列 {}n a 的前n 项和2

12n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n

T （答：2*2*

12(6,)1272(6,)

n n n n n N T n n n n N ?-≤∈?

=?-+>∈??）. （4）等差中项

3.等差数列的性质：

（1）等差数列{}n a 中，12318,3,1n n n n S a a a S --=++==，则n ＝____（答：27）；（2）在等差数列

{}n a 中，10110,0a a <>，且1110||a a >，n S 是其前n 项和，则A 、12

10,S S S 都小于0，1112

,S S 都大

于0 B 、1219,S S S 都小于0，2021

,S S 都大于0 C 、

125,S S S 都小于0，67

,S S 都大于0 D 、

12

20,S S S 都小于0，2122

,S S 都大于0 （答：B ）

等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为 。（答：225）

（1）在等差数列中，S 11＝22，则6a ＝______（答：2）；（2）项数为奇数的等差数列{}n a 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5；31）.

设{n a }与{n b }是两个等差数列，它们的前n 项和分别为n S 和n T ，若

3

41

3-+=

n n T S n n ，那么=n n b a ___________（答：62

87

n n --） （1）等差数列{}n a 中，125a =，917S S =，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若{}n a 是等差数列，首项10,a >200320040a a +>，

200320040a a ?<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是 （答：4006）

4.等比数列的有关概念： （1）等比数列的判断方法：（1）一个等比数列{n a }共有21n +项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，

则1n a +为____（答：

56

）；（2）数列{}n a 中，n S =41n a -+1 (2n ≥)且1a =1，若n n n a a b 21-=+ ，求证：数列｛n b ｝是等比数列。

（2）等比数列的通项：设等比数列{}n a 中，166n a a +=，21128n a a -=，前n 项和n S ＝126，求n 和公比q . （答：6n =，1

2

q =

或2） （3）等比数列的前n 和：（1）等比数列中，q ＝2，S 99=77，求9963a a a +++ （答：44）；（2）

)

(101

∑∑==n n

k k

n

C

的值为__________（答：2046）；

（4）等比中项：已知两个正数,()a b a b ≠的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为______（答：A ＞B ）

有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）奇数个数成等比，可设为…，

2

2,,,,a a a aq aq q q ...（公比为q ）；但偶数个数成等比时，不能设为 (33)

,,,aq aq q

a q a ，…，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为2

q 。

5.等比数列的性质：

（1）在等比数列{}n a 中，3847124,512a a a a +==-，公比q 是整数，则10a =___（答：512）；（2）各项均为正数的等比数列{}n a 中，若569a a ?=，则3132310log log log a a a +++= （答：10）

。 （1）已知0a >且1a ≠，设数列{}n x 满足1log 1log a n a n x x +=+(*)n N ∈，且12100100x x x +++=，

则101102200x x x ++

+= . （答：100100a ）

；（2）在等比数列}{n a 中，n S 为其前n 项和，若140,1330101030=+=S S S S ，则20S 的值为______（答：40）

若{}n a 是等比数列，且3n n S r =+，则r ＝ （答：－1）

设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q 的值为_____（答：－2）

设数列{}n a 的前n 项和为n S （N ∈n ）， 关于数列{}n a 有下列三个命题：①若)(1

N ∈=+n a a n n ，则

{}n a 既是等差数列又是等比数列；②若()R ∈+=b a n b n a S n 、

2，则{}n a 是等差数列；③若()n

n S 11--=，则{}n a 是等比数列。这些命题中，真命题的序号是 （答：②③）

6.数列的通项的求法：

已知数列 ,32

19,1617,815,413

试写出其一个通项公式：__________（答：11

212n n a n +=++）

①已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+，求n a （答：{

3,1

2,2

n n n a n ==≥）；②数列{}n a 满足

12211125222

n n a a a n +++=+，求n a （答：{

1

14,1

2,2n n n a n +==≥） 数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2

321n a a a a n = ，则=+53a a ______（答：6116

）

已知数列{}n a 满足11a =，n

n a a n n ++=--

11

1(

2)n ≥，则n a =________（答：1n a =）