高考数学专题复习分类讨论思想

二、分类讨论思想

高考动向

分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是中学数学中经常使用的数学思想方法之一.突出考查学生思维的严谨性和周密性，以及认识问题的全面性和深刻性，提高学生分析问题，解决问题的能力，能体现“着重考查数学能力”的要求.因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点.而且也是高考的一个难点.数学中的分类讨论贯穿教材的各个部分，它不仅形式多样，而且具有很强的综合性和逻辑性.

知识升华

1．分类讨论的常见情形

（1）由数学概念引起的分类讨论：主要是指有的概念本身是分类的，在不同条件下有不同结论，则必须进行分类讨论求解，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等.

（2）由性质、定理、公式引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同条件下结论不一致，如二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，由a的正负而导致开口方向不确定，等比数列前n项和公式因公比q是否为1而导致公式的表达式不确定等.

（3）由某些数学式子变形引起的分类讨论：有的数学式子本身是分类给出的，如ax2+bx+c ＞0，a=0，a＜0，a＞0解法是不同的.

（4）由图形引起的分类讨论：有的图形的类型、位置也要分类，如角的终边所在象限，点、线、面的位置关系等.

（5）由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中常见.

（6）由参数变化引起的讨论：所解问题含有参数时，必须对参数的不同取值进行分类讨论；含有参数的数学问题中，参变量的不同取值，使得变形受限导致不同的结果.

2．分类的原则

（1）每次分类的对象是确定的，标准是同一的；分类讨论问题的难点在于什么时候开始讨论，即认识为什么要分类讨论，又从几方面开始讨论，只有明确了讨论原因，才能准确、恰当地进行分类与讨论.这就要求我们准确掌握所用的概念、定理、定义，考虑问题要全面.函数问题中的定义域，方程问题中根之间的大小，直线与二次曲线位置关系中的判别式等等，常常是分类讨论划分的依据.

（2）每次分类的对象不遗漏、不重复、分层次、不越级讨论.当问题中出现多个不确定因素时，要以起主导作用的因素进行划分，做到不重不漏，然后对划分的每一类分别求解，再整合后得到一个完整的答案.数形结合是简化分类讨论的重要方法.

3．分类讨论的一般步骤

第一，明确讨论对象，确定对象的范围；

第二，确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；

第三，逐类讨论，获得阶段性结果；

第四，归纳总结，得出结论.

4. 分类讨论应注意的问题

第一，按主元分类的结果应求并集.

第二，按参数分类的结果要分类给出.

第三，分类讨论是一种重要的解题策略，但这种分类讨论的方法有时比较繁杂，若有可

能，应尽量避免分类.

经典例题透析

类型一：不等式中的字母讨论

1、（2010·山东）若对于任意，恒成立，则a的取值范围是________.

举一反三：

【变式1】解关于的不等式:（）.

【变式2】解关于的不等式:.

类型二：函数中的分类讨论

2、设为实数，记函数的最大值为，

（Ⅰ）设，求的取值范围，并把表示为的函数；

（Ⅱ）求；

（Ⅲ）试求满足的所有实数.

解析：

（I）∵，

∴要使有意义，必须且，即

∵，且……①

∴的取值范围是，

由①得：，

∴，，

（II）由题意知即为函数，的最大值，

∵时，直线是抛物线的对称轴，

∴可分以下几种情况进行讨论：

（1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，

由知在上单调递增，故；

（2）当时，，，有=2；

（3）当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，

若即时，，

若即时，，

若即时，，

综上所述，有=

（III）当时，；

当时，，，∴，

∴，

故当时，；

当时，，由知：，故；

当时，，故或，从而有或，

要使，必须有，，即，

此时，，

综上所述，满足的所有实数为：或.

举一反三：

【变式1】函数的图象经过点(-1，3)，且f(x)在(-1，+∞)上恒有f(x)<3，求函数f(x).

解析：f(x)图象经过点(-1，3)，则，

整理得：，解得或

(1)当时，则，此时x∈(-1，+∞)时，f(x)>3，不满足题意；

(2)当，则，此时，x∈(-1，+∞)时，

即f(x)<3，满足题意为所求.

综上，.

【变式2】已知函数有最大值2，求实数的取值.

解析：

令，则().

(1)当即时，，

解得:或（舍）；

(2)当即时，,

解得:或（舍）；

(3)当即时，，解得（全都舍去）.

综上，当或时，能使函数的最大值为2.

举一反三：

【变式1】设，

（1）利用函数单调性的意义，判断f(x)在（0，+∞）上的单调性；

（2）记f(x)在0

解析：

（1）设0

则f(x2)-f(x1)=

由题设x2-x1>0，ax1·x2>0

∴当0

即f(x2)

当0，

即f(x2)>f(x1)，则f(x)在区间（，+∞）单调递增.

（2）因为0

当0<≤1即a≥1时，g(a)=f()=2-;

当>1，即0

综上，所求的函数y=g(a)＝.

类型三：数列

4、数列{a n}的前n项和为S n，已知{S n}是各项均为正数的等比数列，试比较与

的大小，并证明你的结论.

解析：设等比数列{S n}的公比为q，则q>0

①q=1时，S n=S1=a1

当n=1时，，a2=0，∴，即

当n≥2时，a n=S n-S n-1=a1-a1=0，，即

(2)q≠1时，S n=S1·q n-1=a1·q n-1

当n=1时，

∴，即.

当n≥2时，

a n=S n-S n-1=a1·q n-1-a1·q n-2=a1·q n-2(q-1)

此时

∴q>1时，，

0

总结升华：等比数列前n项和公式分q=1或q≠1两种情况进行讨论.

举一反三：

【变式1】求数列：1，a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,……（其中a≠0）的前n项和S n. 解析：数列的通项a n=a n-1+a n+…+a2n-2

讨论：

（1）当a=1时，a n=n，S n=1+2+…+n=

（2）当a=-1时，，∴，

（3）当a≠±1且a≠0时，，∴

.

【变式2】设{a n}是由正数组成的等比数列，S n是其前n项和，证

明:.

解析：

（1）当q=1时，S n=na1，从而，（2）当q≠1时，，从而

由（1）（2）得:.

∵函数为单调递减函数.

∴

∴.

【变式3】已知{a n}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列.

(Ⅰ)求q的值；

(Ⅱ)设{b n}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S n，当n≥2时，比较S n 与b n的大小，并说

明理由.

解析：

(Ⅰ)由题设2a3=a1+a2，即2a1q2=a1+a1q,

∵a1≠0，∴2q2-q-1=0，

∴或，

(Ⅱ)若q=1，则

当n≥2时，

若

当n≥2时，

故对于n∈N+，当2≤n≤9时，S n>b n；当n=10时，S n=b n；当n≥11时，S n

【变式4】对于数列，规定数列为数列的一阶差分数列，其中

；一般地，规定为的k阶差分数列，其中

且k∈N*，k≥2。

（1）已知数列的通项公式。试证明是等差数列；

（2）若数列的首项a1=―13，且满足，求数列

及的通项公式；

（3）在（2）的条件下，判断是否存在最小值；若存在，求出其最小值，若不存在，说明理由。

解析：

（1）依题意：，

∴

∴，

∴数列是首项为1，公差为5的等差数列。

（2），

（3）令，

则当时，函数单调递减；

当时，函数单调递增；

又因，

而，

所以当n=2时，数列a n存在最小值，其最小值为－18。