高考数学(理)二轮练习【专题8】(第3讲)分类讨论思想(含答案)
第3讲分类讨论思想
1．分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．
2．分类讨论的常见类型
(1)由数学概念引起的分类讨论．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．
(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．
(3)由数学运算要求引起的分类讨论．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．
(4)由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．
(5)由参数的变化引起的分类讨论．某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．(6)由实际意义引起的讨论．此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．
3．分类讨论的原则
(1)不重不漏．
(2)标准要统一，层次要分明．
(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．
4．解分类问题的步骤
(1)确定分类讨论的对象，即对哪个变量或参数进行分类讨论．
(2)对所讨论的对象进行合理的分类．
(3)逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决．
(4)归纳总结，将各类情况总结归纳.
热点一 由数学概念、性质、运算引起的分类讨论
例1 (1)(2014·浙江)设函数f (x )＝?
????
x 2＋x ，x <0，
－x 2，x ≥0，若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值范围是
________．
(2)在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝9
2，则a 1＝________.
答案 (1)a ≤2 (2)3
2
或6
解析 (1)f (x )的图象如图，由图象知，满足f (f (a ))≤2时，得f (a )≥－2，而满足f (a )≥－2时，得a ≤ 2.
(2)当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝3
2，
S 3＝3a 1＝9
2
，显然成立；
当q ≠1时，由题意，得???
a 1q 2
＝a 3
＝3
2，
a 1
(1－q 3
)1－q
＝S 3
＝9
2.
所以???
a 1q 2＝3
2
， ①
a 1
(1＋q ＋q 2
)＝9
2
， ②
由①②，得1＋q ＋q 2
q 2
＝3，即2q 2－q －1＝0， 所以q ＝－1
2
或q ＝1(舍去)．
当q ＝－12时，a 1＝a 3q 2＝6.综上可知，a 1＝3
2
或a 1＝6.
思维升华 (1)由数学概念引起的讨论要正确理解概念的内涵与外延，合理进行分类；(2)运算引起的分类讨论有很多，如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．
(1)已知函数f (x )＝?
????
log 2(x ＋1)，x >3，
2x －3＋1， x ≤3满足f (a )＝3，则f (a －5)的值为( )
A ．log 23 B.1716 C.3
2
D ．1
(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n －1(p 是常数)，则数列{a n }是( ) A ．等差数列 B ．等比数列
C ．等差数列或等比数列
D ．以上都不对 答案 (1)C (2)D
解析 (1)分两种情况分析，?
???? a ≤32a －3＋1＝3①或者?????
a >3
log 2(a ＋1)＝3②，①无解，由②得，a ＝7，
所以f (a －5)＝22－
3＋1＝32，故选C.
(2)∵S n ＝p n －1，
∴a 1＝p －1，a n ＝S n －S n －1＝(p －1)p n －
1(n ≥2)，
当p ≠1且p ≠0时，{a n }是等比数列； 当p ＝1时，{a n }是等差数列；
当p ＝0时，a 1＝－1，a n ＝0(n ≥2)，此时{a n }既不是等差数列也不是等比数列． 热点二 由图形位置或形状引起的讨论 例2 (1)不等式组????
?
x －y ＋3≥0，x ＋y ≥0，
x ≤2表示的平面区域内有________个整点(把横、纵坐标都是
整数的点称为整点)．
(2)设圆锥曲线T 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线T 上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，则曲线T 的离心率为________． 答案 (1)20 (2)12或3
2
解析 (1)画出不等式组表示的平面区域(如图)． 结合图中的可行域可知
x ∈[－3
2，2]，y ∈[－2,5]．
由图形及不等式组，知 ?????
－x ≤y ≤x ＋3，－32
≤x ≤2，且x ∈Z . 当x ＝－1时，1≤y ≤2，有2个整点； 当x ＝0时，0≤y ≤3，有4个整点； 当x ＝1时，－1≤y ≤4，有6个整点； 当x ＝2时，－2≤y ≤5，有8个整点；
所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＝20(个)．
(2)不妨设|PF 1|＝4t ，|F 1F 2|＝3t ，|PF 2|＝2t ，若该圆锥曲线为椭圆，则有|PF 1|＋|PF 2|＝6t ＝2a ，|F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 6t ＝1
2；若该圆锥曲线是双曲线，则有|PF 1|－|PF 2|＝2t ＝2a ，
|F 1F 2|＝3t ＝2c ，e ＝c a ＝2c 2a ＝3t 2t ＝3
2.
所以圆锥曲线T 的离心率为12或3
2
.
思维升华 求解有关几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，所以需要根据图形的特征进行分类讨论．
一般由图形的位置或形状变化引发的讨论包括：二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化．
(1)已知变量x ，y 满足的不等式组????
?
x ≥0，y ≥2x ，
kx －y ＋1≥0
表示的是一个直角三角形围成
的平面区域，则实数k 等于( ) A ．－1
2
B.12 C ．0
D ．－12
或0
(2)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 2
4＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角
形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1|
|PF 2|
的值为________． 答案 (1)D (2)2或7
2
解析 (1)不等式组????
?
x ≥0，y ≥2x ，
kx －y ＋1≥0
表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知若不等式组
????
?
x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0
表示的平面区域是直角三角形，只有直线y ＝kx ＋1与直线x ＝0垂直(如图①)或直线y ＝kx ＋1与直线y ＝2x 垂直(如图②)时，平面区域才是直角三角形．
由图形可知斜率k 的值为0或－12.
(2)若∠PF 2F 1＝90°， 则|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2， ∵|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝25， 解得|PF 1|＝
143，|PF 2|＝43，∴|PF 1||PF 2|＝7
2
. 若∠F 2PF 1＝90°， 则|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2， 解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2， ∴
|PF 1||PF 2|＝2.综上所述，|PF 1||PF 2|＝2或72
. 热点三 由参数引起的分类讨论
例3 (2014·四川改编)已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．
设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值． 解 由f (x )＝e x －ax 2－bx －1， 有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .
因此，当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]． 当a ≤1
2时，g ′(x )≥0，
所以g (x )在[0,1]上单调递增，
因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；
当a ≥e
2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，
因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当12 2 时，令g ′(x )＝0得x ＝ln(2a )∈(0,1)， 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 于是，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b . 综上所述，当a ≤1 2时，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (0)＝1－b ； 当12 2时，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e 2时，g (x )在[0,1]上的最小值是 g (1)＝e －2a －b . 思维升华 一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响进行分类讨论，此种题目为含参型，应全面分析参数变化引起结论的变化情况，参数有几何意义时还要考虑适当地运用数形结合思想，分类要做到分类标准明确，不重不漏． 已知函数g (x )＝ax x ＋1 (a ∈R )，f (x )＝ln(x ＋1)＋g (x )． (1)若函数g (x )过点(1,1)，求函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程； (2)判断函数f (x )的单调性． 解 (1)因为函数g (x )过点(1,1)，所以1＝a 1＋1，解得a ＝2，所以f (x )＝ln(x ＋1)＋2x x ＋1.由f ′(x ) ＝ 1x ＋1＋2 (x ＋1)2＝x ＋3(x ＋1)2 ，则f ′(0)＝3，所以所求的切线的斜率为3.又f (0)＝0，所以切点为(0,0)，故所求的切线方程为y ＝3x . (2)因为f (x )＝ln(x ＋1)＋ ax x ＋1 (x >－1)， 所以f ′(x )＝1 x ＋1＋a (x ＋1)－ax (x ＋1)2＝x ＋1＋a (x ＋1)2. ①当a ≥0时，因为x >－1，所以f ′(x )>0， 故f (x )在(－1，＋∞)上单调递增． ②当a <0时，由? ???? f ′(x )<0， x >－1，得－1 故f (x )在(－1，－1－a )上单调递减； 由? ???? f ′(x )>0，x >－1，得x >－1－a ， 故f (x )在(－1－a ，＋∞)上单调递增． 综上，当a ≥0时，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增； 当a <0时，函数f (x )在(－1，－1－a )上单调递减， 在(－1－a ，＋∞)上单调递增． 分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”．用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集)．做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论． 常见的分类讨论问题有： (1)集合：注意集合中空集?的讨论． (2)函数：对数函数或指数函数中的底数a ，一般应分a >1和0 (3)数列：由S n 求a n 分n ＝1和n >1的讨论；等比数列中分公比q ＝1和q ≠1的讨论． (4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论． (5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论． (6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论； (7)平面解析几何：直线点斜式中k 分存在和不存在，直线截距式中分b ＝0和b ≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论． (8)排列、组合、概率中的分类计数问题． (9)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等． 真题感悟 1．(2014·课标全国Ⅱ)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC 等于( ) A ．5 B. 5 C ．2 D ．1 答案 B 解析 ∵S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×1×2sin B ＝1 2， ∴sin B ＝ 22，∴B ＝π4或3π4 . 当B ＝3π 4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋2＋2＝5，所以AC ＝5， 此时△ABC 为钝角三角形，符合题意； 当B ＝π 4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋2－2＝1，所以AC ＝1，此 时AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意．故AC ＝ 5. 2．(2013·安徽)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C 解析 当a ＝0时，f (x )＝|(ax －1)x |＝|x |在区间(0，＋∞)上单调递增； 当a <0时，结合函数f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |的图象知函数在(0，＋∞)上单调递增，如图(1)所示； 当a >0时，结合函数f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |的图象知函数在(0，＋∞)上先增后减再增，不符合条件，如图(2)所示． 所以，要使函数f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)上单调递增只需a ≤0. 即“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的充要条件． 3．(2014·广东)设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为( ) A ．60 B ．90 C ．120 D ．130 答案 D 解析 在x 1，x 2，x 3，x 4，x 5这五个数中，因为x i ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5，所以满足条件1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3的可能情况有“①一个1(或－1)，四个0，有C 15×2种；②两个1(或 －1)，三个0，有C 25×2种；③一个－1，一个1，三个0，有A 25种；④两个1(或－1)，一个－1(或1)，两个0，有C 25C 13×2种；⑤三个1(或－1)，两个0，有C 35×2种．故共有C 15×2＋C 25×2＋A 25＋C 25C 13×2＋C 35×2＝130(种)，故选D. 押题精练 1．已知函数f (x )＝? ???? ax 2＋1， x ≥0， (a ＋2)e ax x <0为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．[－2,0) C ．[－1,0) D ．[－1，＋∞) 答案 C 解析 若a ＝0，则f (x )在定义域的两个区间内都是常函数，不具备单调性；若a >0，函数f (x )在两段上都是单调递增的，要使函数在R 上单调递增，只要(a ＋2)e 0≤1，即a ≤－1，与a >0矛盾，此时无解．若－2 2．等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是( ) A ．1 B ．－1 2 C ．1或－1 2 D ．－1或1 2 答案 C 解析 当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝7，S 3＝3a 1＝21，符合要求． 当q ≠1时，a 1q 2 ＝7，a 1(1－q 3)1－q ＝21，解之得，q ＝－12或q ＝1(舍去)．综上可知，q ＝1或－1 2. 3．抛物线y 2＝4px (p >0)的焦点为F ，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若△OPF 为等腰三角形，则这样的点P 的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 答案 C 解析 当|PO |＝|PF |时，点P 在线段OF 的中垂线上，此时，点P 的位置有两个；当|OP |＝|OF |时，点P 的位置也有两个；对|FO |＝|FP |的情形，点P 不存在．事实上，F (p,0)，若设P (x ，y )，则|FO |＝p ，|FP |＝(x －p )2＋y 2，若(x －p )2＋y 2＝p ，则有x 2－2px ＋y 2＝0，又∵y 2＝4px ，∴x 2＋2px ＝0，解得x ＝0或x ＝－2p ，当x ＝0时，不构成三角形．当x ＝－2p (p >0)时，与点P 在抛物线上矛盾．所以符合要求的点P 一共有4个． 4．6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为( ) A ．1或3 B ．1或4 C ．2或3 D ．2或4 答案 D 解析 设6位同学分别用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示． 若任意两位同学之间都进行交换共进行15次交换，现共进行了13次交换，说明有两次交换没有发生，此时可能有两种情况： (1)由3人构成的2次交换，如a －b 和a －c 之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有b ，c 两人． (2)由4人构成的2次交换，如a －b 和c －e 之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有a ，b ，c ，e 四人．故选D. 5．已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝(4－a n )q n － 1 (q ≠0，n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ， 由已知，得????? 3a 1＋3d ＝6，8a 1＋28d ＝－4，解得? ???? a 1＝3， d ＝－1. 故a n ＝3－(n －1)＝4－n . (2)由(1)可得b n ＝n ·q n － 1， 于是S n ＝1·q 0＋2·q 1＋3·q 2＋…＋n ·q n － 1. 若q ≠1，将上式两边同乘q ，得 qS n ＝1·q 1＋2·q 2＋…＋(n －1)·q n － 1＋n ·q n . 两式相减，得(q －1)S n ＝nq n －1－q 1－q 2－…－q n － 1 ＝nq n －q n －1q －1＝nq n ＋ 1－(n ＋1)q n ＋1 q －1 . 于是，S n ＝nq n ＋ 1－(n ＋1)q n ＋1 (q －1)2 . 若q ＝1，则S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1) 2 . 综上，S n ＝? ???? n (n ＋1) 2 (q ＝1)，nq n ＋1 －(n ＋1)q n ＋1 (q －1)2 (q ≠1). 6．已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1，试讨论函数f (x )的单调性． 解 由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1 x . ①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． ②当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减． ③当－1 －a ＋1 2a ， 则当x ∈? ?? ?? 0， － a ＋12a 时，f ′(x )>0； 当x ∈? ?? ?? －a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )<0. 故f (x )在? ?? ?? 0， － a ＋12a 上单调递增， 在? ?? ??