2020高考数学复习专题训练

高考数学复习专题训练 数列

一、选择题：

1、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．27

2、设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =（ ）

Ａ．2

Ｂ．4

Ｃ．6

Ｄ．8

3、已知0x >，0y >，x a b y ，，，成等差数列，x c d y ，，，成等比数列，则2

()a b cd

+的最

小值是（ ） Ａ．0 Ｂ．1

Ｃ．2

Ｄ．4

4、在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于（ ）

(A)122n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n

-

二、填空题：

5、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1S ，22S ，33S 成等差数列，则{}n a 的公比为______．

6、设{}n a 是公比为q 的等比数列，其前n 项的积为n T ，并且满足条件1a 1>，

9999100100110,01

a a a a --><-，给出下列结论：（1）01;q << (2) 1981;T <(3) 991011a a <;(4)使

1n T <成立的最小自然数n 等于199。其中正确结论的编号是 。

三、解答题

7、在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*

+==++-∈N ，，其中0λ>．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （Ⅲ）证明存在k *

∈N ，使得11n k n k

a a

a a ++≤对任意n *∈N 均成立．

8、已知数列{a n }中，a 1＝1

2

，点(n ，2a n ＋1－a n )(n ∈N *)在直线y ＝x 上，

（1）计算a 2，a 3，a 4的值；

（2）令b n ＝a n ＋1－a n －1，求证：数列{b n }是等比数列；

（3）设S n 、T n 分别为数列{a n }、{b n }的前n 项和，是否存在实数λ，使得数列{S n ＋λT n

n

}为等

差数列？若存在，试求出λ．的值；若不存在，请说明理

二、向量与圆锥曲线专项训练

一、选择题：

1、直线3y x =-与抛物线2

4y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为,P Q ，则梯形APQB 的面积为（ ）

（A ）48 （B ）56 （C ）64 （D ）72

2、平面上的动点P 到定点F(1,0)的距离比P 到y 轴的距离大1,则动点P 的轨迹方程为（ ）

A y 2=2x

B y 2=2x 和 ??

?≤=0

x y C y 2=4x D y 2=4x 和

3、 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60o

的直线与双

曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）

（A ）(1,2] （B ）(1,2) （C ）[2,)+∞ （D ）(2,)+∞

4、 已知点A(1，2)，过点D(5，-2)的直线与抛物线y 2

=4x 交于B 、C 两点，则△ABC 的形状是（ ）

A.钝角三角形

B.直角三角形

C.锐角三角形

D.无法确定 二、填空题：

5、已知F 1，F 2分别为双曲线的左右焦点，点P 在双曲线上，若△POF 2是面积为1的正三角形，

则b 的值为

6、设过点()y x P ,的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关

于y 轴对称，O 为坐标原点，若PA BP 2=，且1=?AB OQ ，则P 点的轨迹方程是

三、解答题

7、 已知点1

1

(,)A x y ,2

2

(,)B x y 12

(0)x x ≠是抛物线2

2(0)y px p =>上的两个动点,O 是坐标

原点,向量OA u u u r ,OB uuu r 满足OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r

.设圆C 的方程为

2

2

1

2

1

2

()()0x y x x x y y y +-+-+=

(I) 证明线段AB 是圆C 的直径;

(II)当圆C 的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为25时，求p 的值。

8、如图，已知直线l 与抛物线y x 42

=相切于点P(2, 1)，且与x 轴交于点A ，定点B 的坐标为(2, 0) . （I ）若动点M 满足02=+

?AM BM AB ，求点M 的轨迹C ；

（II ）若过点B 的直线l '（斜率不等于零）与（I ）中的轨迹C 交于不同的两点E 、F （E 在B 、F 之间），试求?OBE 与?OBF 面积之比的取值范围.

三、函数、导数与不等式专项训练

一.选择题

1、设函数()y f x =对一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，如果方程()0f x =恰好有4个不同的根，那么这些根之和为（ ）

A 0

B 2

C 4

D 8

2

、已知函数2()log (2)x

f x a =，对任意x ∈1,2轹÷+?ê÷÷?ê?都有意义，则实数a 的取值范围是 ( )

A (0,41]

B (0,41)

C ［41,1)

D (41,21

） 3、3(0)()()(1)(0)

.[1,2].(,2).[1,).(,1]x a x f x f x x a f x x A B C D -ì-???==í?->??-???设若有且仅有三个解，则实数的取值范围是 （ ） 4、某学生对函数f(x)=xsinx 进行研究后，得出如下结论：①函数f(x)在[,]22

ππ-上单调递增；

②存在常数M ＞0，使｜f(x)|≤M|x|对一切实数x 均成立；③函数f(x)在（0，π）上无最小值，

但一定有最大值；④点（π，0）是函数y=f(x)图象的一个对称中心 其中正确的是（ ） A ①③ B ②③ C ②④ D ①②④ 二.填空题(把答案填在题目中的横线上) 5、为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量

y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为a t y -???

??=161（a 为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： （Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 . （Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能

6、设函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0M >，使()f x M x ￡对一切实数均成立，则称

()f x 为G 函数，给出下列函数2①f(x)=0,②f(x)=

x cos )x x +③f(x)=

④2()1

x

f x x x =++⑤()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数12,x x 均有

1212()()f x f x x x -?，其中是G 函数的序号为 。 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

7、已知向量)1,0(),0,1(==，规定+∈∈+--=N m R x m x x x A m x ,),1()1(其中ΛΛ，且.10

=x A

函数)0(13)(2

31≠++=+ab bA aA x f x x 在x=1处取得极值，在x=2处的切线平行于向量

).5,5(a b +=

（1）求)(x f 的解析式； （2）求)(x f 的单调区间；

（3）是否存在正整数m ，使得函数 ()g x =)(x f -（3

16

6-

x ）在区间（m ，m +1）内有且只有两个不同零点？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由.

8、已知a 是实数，函数

2()223f x ax x a =+--．如果函数()y f x =在区间[1,1]-上有 零点，求a 的取值范围．

四、排列、组合、概率统计专题训练

一选择题

1、有6名新生，其中有3名优秀学生，现随机将他们分到三个班级去，每班2人，则每个班都分到优秀学生的概率是（ ） A

45 B 35 C 25 D 15

2、某种动物由出生算起活到10岁的概率为0.9，活到15岁的概率为0.6.现有一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是（ ） (A)

53 (B)103 (C)32 (D)50

27 3、已知在1升水中有2只微生物，任取0.1升化验，则取出的0.1升水中含有微生物的概率是（ ）

A ．0．1

B ．0.81

C ．0.3

D ．0.19

4、定义：一个没有重复数字的n 位正整数（),3*

∈≥N n n ，各数位上的数字从左到右依次成

等差列，称这个数为期望数。则由1，2，3，4，5，6，7，8，9构成四位数中期望的个数为 （ ） A ．9 B ．12 C ．18 D ．20 二填空题

5、名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)

6

、已知22)()n n N x

*

∈的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1。

则展开式中系数最大的项是 三解答题

7、在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到．．两只苍蝇都飞出，再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇．．．．．

的只数. （Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）；

（Ⅱ）求数学期望E ξ； （Ⅲ）求概率P （ξ≥E ξ）.

8、现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资十万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万

元的概率分别为

16、12、1

3

;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是(01)p p <<,设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一

年内的下降次数为ξ,对乙项目每投资十万元, ξ取0、1、2时, 一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量1ξ、2ξ分别表示对甲、乙两项目各投资十万元一年后的利润. (I) 求1ξ、2ξ的概率分布和数学期望1E ξ、2E ξ; (II) 当12E E ξξ<时,求p 的取值范围.

五、三角函数向量专题训练

一、选择题

1．已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4

π

=x 处取得最小值，

则函数)4

3(

x f y -=π

是（ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,2

3(π

对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,2

3(

π

对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 2．如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值，则（ ）

A ．111A

B

C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B ．111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C ．111A B C ?是钝角三角形，222A B C ?是锐角三角形

D ．111A B C ?是锐角三角形，222A B C ?是钝角三角形

3．设两个向量22

(2cos )a λλα=+-r ，和sin 2m b m α??=+ ???

r ，，其中m

λα，，为实数．若2a b =r r ，则m

λ

的取值范围是（ ）

Ａ．[-6，1] Ｂ．[48]，

Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6] 4. 设O 是△ABC 内部一点，且AOC AOB OB OC OA ??-=+与则,2的面积之比为（ ）

A ．2

B ．

2

1

C ．1

D ．

5

2 二、填空题

5．如图2,OM ∥AB,点P 在由射线OM 、线段OB 及AB

,且OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r

,则x 的取值范围是 ;

当1

2

x =-

时,y 的取值范围是 . 6、已知函数f (x )=|sin

x |+cos x , 则当x ∈[－π，π]时f (x )的值域为 .

三、解答题 7、如图，已知OPQ 是半径为1，圆心角为θ的扇形，A 是扇形弧PQ 上的动点，AB 平行于OQ ，

OP 与AB 交于点B ， AC 平行于OP ，OQ 与AC 交于点C 。

（1） 当θ2

π

=时，求点A 的位置，使矩形ABOC 的面积最大，并求出这个最大面积；

当3

π

θ=时，求点A 的位置，使平行四边形ABOC 的面积最大，并求出这个最大面积。

8、已知α、.cos 2

3

),cos ,(sin ),cos 1,(sin ),2

,

0(αββααπ

β-=

?=-=∈且 （1）求向量b a 与的夹角θ； （2）求α、β的值.

O

C Q P

P

六、空间向量与立体几何专题训练

一选择题

1．下面有四个命题：

①各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；②三条侧棱都相等的棱锥是正三棱锥；③底面是正三角形的棱锥是正三棱锥；④顶点在地面上的射影既是底面三角形的内心又是外心的棱锥是正棱锥。其中正确命题的个数是（ ）

A 1

B 2

C 3 D4

2．在棱长为1的正方体 1111ABCD A B C D -的底面11A C 内取一点E ，使AE 与AB AD 、所成的角都是0

60，则线段AE 的长为（ ） A

3 B 6 C 2 D 3 3．已知：AB CD 、是夹在两平行平面a b 、之间的两条线段，,2,AB CD AB AB ^=与平面a 成030角，则线段CD 的范围是（ ）

A 23(

,23)3 B 23[,)3+? C 3(1,)3

D [1,)+? 4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于

（A ）348π+

(B) 3

44π+ (C) π48+ (D) 3

10π

二、填空题

5．已知m n 、是两条不重合的两条直线，a b 、是两个不重合的两个平面，给出以下四个命题：

a a ①m ∥n,n ∥,则m ∥； ② ,,m n m a a

b b a b 烫∥,n ∥,则∥；

③ ,m m a b a b ^^∥, 则； ④ ,m n a a ^^∥,

则m n ． 其中所有正确命题的序号是 ．

6．根据以下三视图想象物体原形，可得原几何体的体积是 。

三、解答题

7、如图，O ，P 分别是正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1底面中心，E 是AB 的中点，AB=kAA 1， (Ⅰ)求证：A 1E ∥平面PBC ；

（Ⅱ）当k ＝2时，求直线P A 与平面PBC 所成角的大小；

(Ⅲ) 当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心？

8、如图，在正四棱锥P —ABCD 中，E 是侧棱PB 的中点，侧棱P A 与底面ABC D 所成角的正切值为

.2

6 （I ）求侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小； （II ）求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；

（III ）在侧面P AD 上寻找一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，

试确定点F 的位置，并证明你找出的点F 满足EF ⊥侧面PB

一、数列专题训练

一选择题BBBC.

O D C P A 1 1 C 1 B 1

二填空题 5、

1

3

6、（1）， （3）， （4）。 三、解答题

7、Ⅰ）由11(2)2()n n n n a a n λλλ+*

+=++-∈N ，0λ>，

可得11

1221n n

n n n n

a a λλλλ+++??

??-=-+ ? ?????

， 所以2n

n n a λλ????

??-?? ???????

为等差数列，其公差为1，首项为0，故21n n n a n λλ??-=- ???，所以数列{}

n a 的通项公式为(1)2n n

n a n λ=-+．

（Ⅱ）解：设234123(2)(1)n n

n T n n λλλλλ-=++++-+-L ， ①

345123(2)(1)n n n T n n λλλλλλ+=++++-+-L ② 当1λ≠时，①式减去②式，

得21231

1(1)(1)(1)1n n n n n T n n λλλλλλλλλ

+++--=+++--=

---L ， 211212

22

(1)(1)(1)1(1)n n n n n n n n T λλλλλλλλλ++++----+=-=---．

这时数列{}n a 的前n 项和212

12

(1)22(1)

n n n n n n S λλλλ+++--+=+--． 当1λ=时，(1)2n n n T -=．这时数列{}n a 的前n 项和1

(1)222

n n n n S +-=+-．

（Ⅲ）证明：通过分析，推测数列1n n a a +??????的第一项21

a

a 最大，下面证明：

21214

,22

n n a a n a a λ++<=≥． ③ 由0λ>知0n a >，要使③式成立，只要2

12(4)(2)n n a a n λ+<+≥，

因为222(4)(4)(1)(1)2n n

n a n λλλλ+=+-++

124(1)424(1)2n n n n n n λλλ++>-+?=-+·

1212222n n n n a n λ++++=，≥≥．

所以③式成立．

因此，存在1k =，使得

1121

n k n k a a a

a a a ++=≤对任意n *∈N 均成立． 8、解 (1)由题意，2a n ＋1－a n ＝n ，又a 1＝12，所以2a 2－a 1＝1，解得a 2＝3

4

，

同理a 3＝11 8 ，a 4＝35

16

．

(2)因为2a n ＋1－a n ＝n ，

所以b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1－1＝ a n ＋1＋n ＋1 2－a n ＋1－1＝ n －a n ＋1－1

2

，

b n ＝a n ＋1－a n －1＝a n ＋1－(2a n ＋1－n )－1＝n －a n ＋1－1＝2b n ＋1，即 b n ＋1 b n ＝1

2

又b 1＝a 2－a 1－1＝－34，所以数列{b n }是以－34为首项，1

2

为公比的等比数列．

(3)由(2)得，b n ＝－34×(12)n －1＝－3×(12)n ＋1，T n ＝ －34×(1－ 1 2n ) 1－12

＝3×(12)n ＋1－3

2

．

又a n ＋1＝n －1－b n ＝n －1＋3×(12)n ＋1，所以a n ＝n －2＋3×(1

2)n ，

所以S n ＝ n (n ＋1) 2－2n ＋3× 12×(1－ 1 2n ) 1－12

＝ n 2－3n 2＋3－3

2n

．

由题意，记c n ＝S n ＋λT n

n ．要使数列{c n }为等差数列，只要c n ＋1－c n 为常数．

c n ＝S n ＋λT n n ＝ ( n 2－3n 2＋3－3 2n )＋λ[3×(12)n ＋1－32] n ＝ n －3 2＋(3－3

2λ)× 1－1 2n

n

，

c n －1＝ n －4 2＋(3－3

2λ)× 1－1 2n －1

n －1

，

则c n －c n －1＝12＋(3－3

2λ)×( 1－1

2n n － 1－1 2n －1 n －1

)．

故当λ＝2时，c n －c n －1＝1

2为常数，即数列{S n ＋λT n n

}为等差数列．

二、向量与圆锥曲线专项训练参考答案

一、选择题： ADCA 二、填空题：5、

6、

()0,0132

322

>>=+y x y x

三．解答题

7、 (I)证明1: 22

,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q 222222OA OA OB OB OA OA OB OB +?+=-?+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，整理得: 0OA OB ?=u u u r u u u r

12120x x y y ∴?+?=，设M(x,y)是以线段AB 为直径的圆上的任意一点,则0MA MB ?=u u u r u u u r

即1212()()()()0x x x x y y y y --+--=，整理得:22

1212()()0x y x x x y y y +-+-+=

故线段AB 是圆C 的直径，证明2: 22

,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q 222222OA OA OB OB OA OA OB OB +?+=-?+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，整理得: 0OA OB ?=u u u r u u u r

12120x x y y ∴?+?= (1)

设(x,y)是以线段AB 为直径的圆上则，即

21

1221

1(,)y y y y x x x x x x x x --?=-≠≠-- 去分母得: 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=

点11122122(,),(,),(,)(,)x y x y x y x y 满足上方程,展开并将(1)代入得:

221212()()0x y x x x y y y +-+-+= 故线段AB 是圆C 的直径，

证明3: 22

,()()OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q

2222

22OA OA OB OB OA OA OB OB +?+=-?+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，整理得: 0OA OB ?=u u u r u u u r 12120x x y y ∴?+?= (1)

以线段AB 为直径的圆的方程为2222121212121

()()[()()]224

x x y y x y x x y y ++-+-=-+-

展开并将(1)代入得:22

1212()()0x y x x x y y y +-+-+= 故线段AB 是圆C 的直径，

(II)解法1:设圆C 的圆心为C(x,y),则121222

x x x y y y +?=???+?=??，22

11222,2(0)y px y px p ==>Q

22121224y y x x p ∴=，又因12120x x y y ?+?=，1212x x y y ∴?=-?，22

12122

4y y y y p

∴-?= 12120,0x x y y ?≠∴?≠Q ，2124y y p ∴?=-，

2222121212121211()(2)2444x x y y x y y y y y y p p p +==+=++-221(2)y p p

=+

所以圆心的轨迹方程为22

2y px p =-， 设圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,则

2

2221|

(2)2|

y p y d +-==

=22=

当y=p 时,d

5=

，2p ∴=. 解法2: 设圆C 的圆心为C(x,y),则121

22

2

x x x y y y +?=???+?=??

22

11222,2(0)y px y px p ==>Q ，2212122

4y y x x p ∴=，又因12120x x y y ?+?=

1212x x y y ∴?=-?，2212122

4y y y y p

∴-?=，12120,0x x y y ?≠∴?≠Q ，2

124y y p ∴?=- 2222121212121211()(2)2444x x y y x y y y y y y p p p +==+=++-221(2)y p p

=+

所以圆心的轨迹方程为2

2

2y px p =-设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0

的距离为

5

,则 2m =±，因为x-2y+2=0与222y px p =-无公共点,

所以当x-2y-2=0与2

2

2y px p =-仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0

， 22

220(2)

2(3)

x y y px p --=??=-?L L 将(2)代入(3)得222220y py p p -+-=，22

44(22)0p p p ∴?=--= 0

2.

p p >∴=Q 解法3: 设圆C 的圆心为C(x,y),则

121

222

x x x y y y +?=???

+?=??， 圆心C 到直线x-2y=0的距离为d,

则1212|()|x x y y d +-+=

22

1

1222,2(0)y px y px p ==>Q ，22

12122

4y y x x p ∴=，又因12120x x y y ?+?=

1212x x y y ∴?=-?，2212122

4y y y y p

∴-?=，12120,0x x y y ?≠∴?≠Q ，2

124y y p ∴?=- 2212122221212121|()()|

4545y y y y p

d p

+-+∴==

22

1245p

=

当122y y p +=时,d 有最小值

5,由题设得2555

=

，2p ∴=. 8、解：（I ）由y x 42

=得241x y =， ∴x y 2

1='.

∴ 直线l 的斜率为12='=x y ，

故l 的方程为1-=x y ， ∴点A 的坐标为（1，0）.

设),(y x M ，则=AB （1，0），),2(y x BM -=，),1(y x AM -=， 由02=+?AM BM AB 得0)1(20)2(2

2=+-?+?+-y x y x ，

整理，得

12

22

=+y x

. ∴动点M 的轨迹C 为以原点为中心，焦点在x 轴上，长轴长为22，短轴长为2的椭圆. (II)如图，由题意知l '的斜率存在且不为零， 设l '方程为)0)(2(≠-=k x k y ①，

将①代入12

22

=+y x ，整理，得 0)28(8)12(2222=-+?-+k x k x k ，由0>?得

.2

1

02<

设),(11y x E 、),(22y x F ，

则,122812822

2122

21???

????+-=+=+k k x x k k x x ② 令OBF OBE S S

??=λ， 则BF

BE =λ，

由此可得 BF BE ?=λ，22

21--=x x λ，且10<<λ. 由②知 2

21214

)2()2(k x x +-=-+-，

2

212121212

4)(2)2()2(k

x x x x x x +=++-=-?-. ∴ 812)1(22

+=

+k λλ, 即.21)1(422

-+=λλk ∵ 2

102

<

<-+<λλ， 解得 .223223+<<-λ 又∵10<<λ， ∴1223<<-λ，

∴?OBE 与?OBF 面积之比的取值范围是（223-， 1）.

三、函数、导数与不等式专项训练参考答案

一.选择题

1、 D 提示：函数()y f x =的图像关于直线2x =对称，故四个根两两关于直线2x =，则四个根之和为8。

2、B 提示：当x ∈1,2轹÷+?ê÷÷?ê?时，真数恒大于零，即1

2x 3时，函数 3、 B

提示：0x >时，周期为1 当0a =时，函数如图所示 有三个解，然后图象上下平移 可得。

4、 B 提示：①

()(sin )sin cos f x x x x x x ⅱ==+在[,]22

ππ

-

上符号不定，

非单调；②()sin f x x x x =?成立；③求导同上来判断；④为偶函数。 二.填空题

5、??

???>??

? ??≤≤=-1.0,1611.00101

.0t t t y t ，

6.0

6、①④⑤ 提示：① 显然()1f x < ② 若2()f x x M x =<，则有

2

2()f x x x M x ==<，即x M <，不存在这样的M 。 ③ 当0x =

时，(0)0f M =，

不存在M 。 ④当0x ￡时，一定成立；当0x >时，22133

1()244

x x x ++=++?，也成立。 ⑤

令12,0x x x ==，奇函数，(0)0f =，可得证。 三、解答题：

7、解：（1）由已知1)3(31)1(3)1()1()(2

3++-+=+-+-+=x b a bx ax x bx x x x a x f

(1)

???-==??

?

??+=

=∴+-+=4655)2(0

)1()3(63)(''2'b a b a

f f b a bx ax x f 解得………3′ 16126)(2

3++-=∴x x x x f …………………………………………………4′

（2）)1)(13(662418)(2

'--=+-=x x x x x f Θ

由)('

x f ＞0得，)3

1,(),1(,311-∞+∞<>和）在（即或x f x x 上单调递增。

由)('

x f ＜0得，)1,3

1()(,131在即x f x <<上单调递减……………………8′

（3）函数()g x =3216

()(61836193

f x x x x ---+)=

则3

400)()43(187254)('

2'===-=-=x x x g x x x x x g 或得令

当)(,0)()34,0('

x g x g x ∴<∈时，是单调减函数；

当)(,0)(),3

4('

x g x g x ∴>+∞∈时，是单调增函数……………………11′

019)2(,03

7

)34(,01)1(>=<-=>=g g g Θ

∴函数g （x ）在区间)2,3

4(),34,1(内分别 有唯一零点……………………13′ ∴存在正整数m=1使得函数()g x =16

()(6)3

f x x --

在区间（1，2）上有且只有两个不相等的零点。

8、若0a = , ()23f x x =- ,显然在上没有零点, 所以 0a ≠ 令 ()248382440a a a a ?=++=++= 得

32

a -±= 当

a =

时, ()y f x =恰有一个零点在[]1,1-上; 当 ()()()()11150f f a a -=--

点在[]1,1-上;

当 ()y f x =在[]1,1-上有两个零点时, 则

()()208244011121010a a a a f f >???=++>??-<-

21010a a a a f f

??=++>??-<-

?

-≤?

解得5a ≥

或a <

因此a 的取值范围是 1a > 或

a ≤

; 四、排列、组合、概率统计专题训练参考答案

一选择题CCDC

二填空题 5、48 6、11

71792T x -=

三解答题 6、解：（Ⅰ）ξ的分布列为：

ξ 0 1 2 3 4 5 6

P

728 628 528 428 328 228 1

28

（Ⅱ）数学期望为2

(162534)228

E ξ=?+?+?=． （Ⅲ）所求的概率为5432115

()(2)2828

P E P ξξξ++++===

≥≥ 8、(I).

ξ的概率分布为

E 1ξ=1.26?

+1.182?+1.171

3

?=1.18. 设i A 表示事件”第i 次调整,价格下降”(i=1,2),则 P(ξ=0)= 2

12()()(1)P A P A p =-;

P(ξ=1)=1212()()()()2(1)P A P A P A P A p p +=-;

P(ξ=2)=2

12()()P A P A p =

故

ξ的概率分布为

所以2的数学期望为

E 2ξ=2

1.3(1)p ?-+1.252(1)p p ?-+2

0.2p ?=2

0.1 1.3p p --+.

(II) 由12E E ξξ<,得:

20.1

1.3 1.18(0.4)(0.3)00.40.3p p p p p --+>?+-

因0

五、三角函数与向量

一、DDAB

二、5、(,0)-∞，13

(,)22

6、?-? 三

7、解：（1）连结OA ，设,sin ,cos AOB AB OB ααα∠===则，

1sin cos sin 2,0,0222

ABCD S π

αααααπ=?=<<∴<

2,2

π

α∴=

当4

π

α=

即时，面积最大。

1,,2

A QP Q 点在弧的中点上时面积最大最大面积为。

（2）连结,,,OA AOB A AE OP E β∠=⊥设过点

作垂足为。

sin ,cos ,,3

3

AE OE ABE BE π

β

ββ==∠=∴=

Q 又

cos 3OB OE BE

ββ∴=-

=-

(cos

)sin ABOC S OB AE βββ∴=?=?平行四边形 2cos sin βββ=-

11sin 2cos 2(sin 2cos 2)2663226

ββββ=+-=+-

)366

πβ=

+- 50,22

6

6

6

π

π

π

πββ<<

∴

<+

<

Q

2,6

2

π

π

β∴+

=

当即,6

πβ=

,,A QP 点在弧的中点时面积最大

8、解：（1）1||,2

sin

2)cos 1(sin ||22==-+=

α

αα…………………………1分

2

sin 221)2sin 21(23cos 2322α

αα+=--=-=

?b a 12sin 2sin 4122sin 2sin 412sin 22sin 221cos 2

=?≥+=+==ααααααθ……5分

又001cos 1

cos 0=∴≤≤=∴≤≤θπθθθΘ…………………6分 （2）由（1）可知，)2,0(,2sin 2

sin

41,1cos π

αααθ∈==时………………………8分

3

62212sin π

απαα=∴=∴=∴…………………………………………10分

将3

π

α=

代入3

,.3

,cos 23π

βαπβα=

==-=

?综上得b a .………………12分

六、空间向量与立体几何参考答案

一选择题ACCA ． 二填空题

5、③④

6、

56

3cm 三解答题

7：解法一：

(Ⅰ) 过P 作MN ∥B 1C 1，分别交A 1B 1、D 1C 1于M 、N ，则M 、N A 1B 1、D 1C 1的中点，连MB ，NC 由四边形BCNM 是平行四边形， ……………………… 2分 ∵E 、M 分别为AB 、A 1B 1中点，∴A 1E ∥MB

又MB ?平面PBC ，∴A 1E ∥平面PBC 。 ……………………… 4分 (Ⅱ) 过A 作AF ⊥MB ，垂足为F ，连PF ，

∵BC ⊥平面ABB 1A 1，AF ?平面ABB 1A 1， ∴AF ⊥BC ， BC ∩MB=B ，∴AF ⊥平面PBC ，

∴∠APF 就是直线AP 与平面PBC 所成的角， ………… 6分 设AA 1=a ，则AB=

2a ，AF=

a 3

3

2，AP=a 2，sin ∠APF=3

6

=AP AF 所以，直线

AP

与平面

PBC

所成的角是

arcsin 3

6

。 ………… 9分

（Ⅲ）连OP 、OB 、OC ，则OP ⊥BC ，由三垂线定理易得OB ⊥PC ，OC ⊥PB ，所以O 在平面PBC 中的射影是△PBC 的垂心，又O 在平面PBC 中的射影是△PBC 的重心，则△PBC 为正三角形。即PB=PC=BC ………… 12分 所以k=2。

反之，当k=2时，PA=AB=PB=PC=BC ，所以三棱锥O PBC -为正三棱锥， ∴O 在平面PBC 内的射影为PBC ?的重心 ………… 14分 8．解：方法一： 设底面正方形ABCD 的中心为O ，边长为a ，

由已知得PO ⊥平面ABCD ，AO =

.2

2a （I ）取AD 的中点M ，连接MO 、PM ， 根据已知可得∠PMO 为侧面P AD 与

底面ABCD 所成的二面角的平面角，…………2分 ∠P AO 为侧棱P A 与底面ABCD 所成的角，

.

60.

3tan ,232226,26tan ?=∠∴==∠=?=∴=

∠PMO MO PO

PMO a a PO PAO Θ

∴侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角的大小为60°.…………………………4分

（II ）连结OE ，OE ∥PD ， ∴∠OEA 为异面直线PD 与AE 所成的角，………………………………………6分

,OE AO PBD OE PBD AO PO AO BD AO ⊥??

??

?⊥????⊥⊥平面平面

而OE =

2

1

PD =.5102tan ,452122==∠∴=+EO AO AEO a DO OP ∴异面直线PD 与AE 所成角的正切值为5

10

2.………………………………8分

（III ）F 在线段AD 上，且AF =4

1

AD .……………………………………………9分

延长MO 交BC 于N ，取PN 的中点G ，连结E G 、M G ，

BC PN BC MN BC ??

??

⊥⊥⊥平面PMN ，

∴平面PMN ⊥平面PBC ，

PMN PMN PN

PM ???

??

?=∠⊥60为正三角形，∴M G ⊥PN ，

∵平面PMN ∩平面PBC =PN ， ∴M G ⊥平面PBC ，∵E G ∥MF ，∴MF =

2

1

MA =E G ， ∴EF ∥M G ，∴EF ⊥平面PBC .……………………………………………………12分 方法二：设正方形ABCD 的中点为O ，边长为a ， 以射线OA 、OB 、OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴正半轴， 如图建立空间直角坐标系，根据已知，

,232622a

a PO =?=

故A （).23,0,0(),0,22,0(),0,0,22(),0,22,0(),0,0,22a P a D a C a B a -- D 1 P O C 1

B 1 A 1 O

C B

A

E

（I ）可以求得底面ABCD 的一个法向量)1,0,0(1=n ， 侧面P AD 一个法向量)3

6,1,1(2-=n ，

根据已知：侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角为锐角，设为θ，则 3

,21cos 2121πθθ=∴=

=

， 即侧面P AD 与底面ABCD 所成的二面角的大小为3

π

.…………………………4分 （II ）由已知得：),4

3,42,22(),23,22,0(),43,42,0(a a a a a a a E -=--=

设PD 与AE 所成角为,13

65

|

|||cos ,=

?=

AE PD αα则

,5102tan =

∴α即异面直线PD 与AE 所成角的正切值为5

10

2.………………8分 （III ）F 在线段AD 上，且AF =41

AD .……………………………………………9分

设),4

3,42,(),,,(a z a y x z y x F --=则

根据已知：P 、A 、F 、D 共面，即n ⊥⊥⊥,,2且，

????

?

?

???

??=-==??

??

?

?

??

?

??-=-=+=+-∴.0,82,823.8226,

42,2236z a y a

x a z y a y x a

z y x 解得

∴F 在线段AD 上，且AF =

4

1

AD .……………………………………………………12分