第2课时与方位角、坡角有关的运用举例
利用三角函数解实际中的方位角、坡角问题课件(共18张PPT)
You made my day!
我们，还在路上……
AE 3 ∴AE=3BE=3CF=66.84(m),
AD=AE+EF+DF=AE+BC+DF
=66.84+6+55.71 = 128.55≈128.6 (m).
知2－讲
(2)横截面的面积 S1BCADCF
2
16128.5522.28
2 1498.9(m2)，
需用土石方V=Sl=1498.9×150=224835（m3）.
（来自《点拨》）
知1－练
1 (中考·河北)如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东 70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北 方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的 N处，则N处与灯塔P的距离为( ) A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里
（来自《典中点》）
知1－练
2 如图，一船向正北方向匀速行驶，在C处看见正西 方两座相距10海里的灯塔A和B恰好与该船在同一直 线上，继续航行半小时后，在D处看见灯塔B在南偏 西60°方向上，灯塔A在南偏西75°方向上，则该 船的速度应该是( )海里/小时． A．10 B．5
∵cos ∠BCD＝ C D , BC
∴BC＝ cos CD BCDco4 s0 55。 70.2(米 ).
∴t甲≈
57.21038.6(秒), 2
t乙≈
70.2 2
35.1(秒).
∴t甲＞t乙．∴乙先到达B处．
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
解答本题运用了转化思想，即将求时间问题转化 为求线段长度的问题．
知2－讲
答：斜坡CD的坡角约为21°48′，坡底宽约为128.6m，建 造这个大坝需用土石方约为224835m³.
第2课时 与坡度、方位角有关的应用问题
,
）
方位角
概念：指南或指北的方向线于目标方向线构成小 于90°的角叫做方位角
例如： 1、点A在点O的北偏东30°方向 2、点B在点O的男偏西45°方向 （或西南方向）。
例2：如图，一搜船以40km/h的速度向正 东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60° 方向上，继续航行1h到达B处，这时测得 灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔 C处的四周30km内有暗礁，问这搜船继 续向东航行是否安全？
4.4 解直角三角形的应用 方位角、坡度与坡角有关的应用问题
观察
图中的(1)和(2)，哪个山坡比较陡？
(2)中的山坡比较陡.
（1）
（2）
动脑筋
如何用数量来反映哪个山坡陡呢？
（1）
（2）
如图，从山坡脚下点P上坡走到点N 时， 升高的高度h(即线段MN的长)与水平前进的距 离l(即线段PM的长度)的比叫作坡度，用字母i 表示，即
i hl
坡度通常写成 1 : m 的形式．
如图中的∠MPN叫作坡角(即山坡与地平面的夹角).
显然，坡பைடு நூலகம்等于坡角的正切. 坡度越大，山坡越陡.
例1 如图，一山坡的坡度 i = 1:2，小刚从
山坡脚下点P上坡走了240m到达点N，他上升
了多少米(精确到0.1m)？这座山坡的坡角是多
少度(精确到0.01°)？（
北
C
30°
60°
东
A
BD
28.2 应用举例 方位角、坡度、坡角
因为在 Rt△EBD 中,i=DB∶EB=1∶1, 所以 BD=EB,所以 CD+BC=AE+AB, 即 2+x=4+ 5 x,解得 x=12,所以 BC=12 米.
上,则船C到海岸线l的距离是
km. 3
4.(2017海南)为做好防汛工作,防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固,专家提供 的方案是水坝加高2米(即CD=2米),背水坡DE的坡度i=1∶1(即DB∶EB=1∶1),如图所示,已 知AE=4米,∠EAC=130°,求水坝原来的高度BC.(参考数据:sin 50°≈0.77, cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.20)
探究点二:坡度与坡角问题 【例2】 如图,水坝的横断面为梯形ABCD,已知上底长CB=5米,迎水面坡度为1∶ 面坡度为1∶1,坝高为4米,求:坝底AD和迎水面CD的长及坡角α 和β .
,背3 水
【导学探究】 1.作CE⊥AD,BF⊥AD,由坡度可得,CE∶ DE =1∶ 2.由坡度是坡角的 正切 值可得坡角.
第2课时 方位角、坡度、坡角
一、方位角 1.平面测量时,经常以正北、正南方向为基准描述物体运动的方向,这种表示方向的角叫 做方位角. 2.如图,射线OA,OB,OC,OD分别表示北偏东30°,南偏东70°,南偏西50°,北偏西35°.
二、坡度、坡角 1.坡度:坡面的铅直高度(h)与水平宽度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比),记作 i,即 i= h .
在 Rt△BCD 中,∠CBD=30°,tan 30°= CD = 3 ,所以 CD= 3 BD≈115(km),
人教版九年级下册数学28.2.2应用举例——方位角、坡角(共13张PPT)
7 10
)
二、创设情景 知识预备
1 、 方位角:指北或指南方向线与目标方向线所
成的小于90°的角叫做方位角。
画出方向图（表示东南西北四个方向的）并依次画
出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东
34度方向的射线. 西
北
北
西
东
东
南
南
2、坡度
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 表示。
坡度（坡比）：坡面的铅直高度h和水平距离l的 比叫做坡度，用字母 i 表示，如图，坡度通常写成
（4）得到实际问题的答案．
2如图，已知∠C=90°，∠B=30°，∠ADC=45°，AC=1.
P C 72.8 72.8 1 、 方位角:指北或指南方向线与目标方向线所 P B 130.23 (参考数据：sin35°≈ ，cos35°≈ ，tan35°≈ ) sin B sin 34 0.559 四、巩固应用，当堂检测
谈谈你本节课有一些什么收获？
在Rt△BPC中，＝∠B8＝03×4°cos25°
5m，求路基的下底宽是多少？
65° A
≈80×0.91 解：如图 ，在Rt△APC中，
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.
P
在Rt△BPC中，∠B＝34° 3如图，小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，35°.
第2课时 应用举例（2）
P
2如图，已知∠C=90°，∠B=30°，∠ADC=45°，AC=1.
C
间后，到达位于灯塔P的南偏东34 1 计算: 4sin30°- cos45°+ tan60°．
中考演练 3．“为了安全，请勿超速”.
与方位角,坡角有关的解直角三角形应用题ppt 人教版
l
h
α
与测坝高相比，测山高的困难在于；坝坡是“直”的，而山坡 是“曲”的，怎样解决这样的问题呢？
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡 “化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部分小段， 划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可 以量出这段坡长l1，测出相应的仰角a1，这样就可以算出这
A 60 C
0
AB×tanA=500×tan60°= 5 0 0 3 .
4.海中有一个小岛A，它的周围8海里内有暗礁，渔船跟踪
鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上， 航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向 上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危 险？
坡度(坡比)、坡角：
(1)坡度也叫坡比，用i表示. 即i=h/l，h是坡面的铅直高度，
l为对应水平宽度，如图所示
(2)坡角：坡面与水平面的夹角. (3)坡度与坡角(若用α表示)的关系：i=tanα. 方向角：指南或北方向线与目标方向线所成的小于90° 的角，叫方向角.
【例】如图，一艘海轮位于灯塔P的北 偏东65°方向，距离灯塔80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后， 到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的
P
C 34° 65° A
B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔
P有多远？（精确到0.01海里）
B
【解析】如图 ，在Rt△APC中， PC＝PA· cos（90°－65°） ＝80×cos25° ≈80×0.91 =72.8海里 在Rt△BPC中，∠B＝34°
PC sinB PB
34° 65°
A
C
18.4
谢谢
•
新人教版九年级数学 第二课时 方向角和坡角在解直角三角形中的应用 教学课件
课堂小结
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为_几__何___图__形__）; （2）根据条件特点，适当选用_三___角__函__数___等去解直角三角形; （3）得到数学问题的答案; （4）得到__实__际__问__题___的答案.
巩固拓展
巩固拓展
解：过点B作BD⊥AD于点D，EA⊥CA于点A，
FC⊥CA于点C， 由题意得∠BAE=60°，∠BCFቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ30° ∴ ∠CAB=30°， ∴ ∠DCB=60°，∴ ∠DBC=30°， ∴ ∠CBA=∠CBD-∠CAB=30°， ∴ ∠CAB=∠CBA，∴ AC=CB=200m，
即渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险．
巩固拓展
4.如图，在一次暖气管道的铺设工作 中，工程是由A点出发沿正西方向进 行的， 在A点的南偏西60°的方向上有一所 学校，学校占地是以B点为中心方圆 100米的圆形，当工程进行了200米 时请到根达据C题处中，所提供的信息计算、分析一下， 此工时程B继在续C进的行南下偏去西，30是°的否方会向穿上过，学校？
巩固拓展
解：∵ ∠CAC=30°，
∴∠D∠ABBA=C6=06°0，°-30°=30°，∠ABC=90°∴60∠°=A3B0C°=，∠BAC，∴ BC=AC=12（海 里∵ ）∠C，AC=30°，∠A =∴9C0D°，=21 AC=6（海里），
由勾股定理得 AC 122 62 6 3 10.392＞8
1.如下图，在一次数学课外活动中， 测得电线杆底部B与钢缆固定点O 的距 离为4米，钢缆与地面的夹角∠BOA为 6则0这º，条钢缆在电线杆上的固定点A 到地面的距离AB 是多少米． （结果保留根号）．
28.2.2应用举例：与方向角,坡角有关的实际应用(教案)
本节课将通过以下案例进行讲解：
1.在地图上确定目标位置，求方向角；
2.计算建筑物的高度，求坡角；
3.解决户外徒步时，如何根据方向角和坡角选择最佳路线的问题。
二、核心素养目标
1.理解方向角和坡角的概念，培养学生的空间想象能力；
2.掌握方向角和坡角的计算方法，提高学生的数学运算能力；
-在坡角计算中，教师应详细解释如何从实际情境中提取必要数据，并将其转化为数学计算模型；
-针对实际问题的综合应用，教师应设计具有挑战性的案例，指导学生如何将方向角和坡角知识综合运用，解决如多路径选择、最短距离计算等问题。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《应用举例：与方向角，坡角有关的实际应用》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要确定方向或计算坡度的情况？”（例如：在地图上找方向，评估建筑物的高度等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索方向角和坡角的奥秘。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调方向角的计算方法和坡角的实际应用这两个重点。对于难点部分，如方向角的转换和坡角的计算，我会通过实际例子和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与方向角或坡角相关的实际问题，如设计一条通往山顶的最佳路线。
1.教学重点
-理解方向角的概念及其在实际问题中的应用，如地图上的方向定位；
-掌握坡角的定义及其在生活中的应用，如建筑物的倾斜度；
-学会计算方向角和坡角，并能Biblioteka 用于解决实际问题，如户外徒步导航。
28.2.2 应用举例第2课时 方向角、坡度、坡角课件2023-2024学年人教版+数学+九年级下册
D.24 m
2.为加强防汛工作,某市对一拦水坝进行加固.如图所示,加固前拦水
坝的横断面是梯形 ABCD.已知迎水坡面 AB=12 m,背水坡面 CD=12 m,
∠B=60°,加固后拦水坝的横断面为梯形 ABED,tan E=
为 8
m.
,则 CE 的长
1.“绿水青山就是金山银山”.如图所示,某村准备在坡角为α的山坡
的北偏东45°方向,若渔船继续向正东方向航行,则渔船与灯塔C的最
短距离是 (6 +6) n mile.
坡度与坡角问题
[例2] 如图所示,扶梯AB的坡度为4∶3,滑梯CD的坡度为1∶2.已知
AE=30 dm,BC=50 dm,BC∥AD,一女孩从扶梯走到滑梯的顶部,然后从
滑梯滑下,她经过的总路程是多少(结果保留根号)?
于灯塔 P 的北偏东 67°方向上的 B 处,此时与灯塔 P 的距离约为
50 n mile(参考数据:sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈). Nhomakorabea
3.如图所示,某河堤的横断面是梯形 ABCD,BC∥AD,迎水坡 AB 长 13 m,
且 tan∠BAE= ,则河堤的高 BE 为 12 m.
∴AF=AB·sin 50°≈40×0.77=30.8(n mile),
∴AE=AF+EF≈64(n mile).
在 Rt△ADE 中,AD=
°
≈
=80(n mile),
.
∴货船与 A 港口之间的距离约为 80 n mile.
上植树造林,要求相邻两树之间的水平距离为 5 m,那么这两树在坡面
上的距离 AB 为( B )
《用解直角三角形解方位角、坡角的应用》PPT课件
4.4 解直角三角形的应用
第2课时 用解直角三角形解方 位角、坡角的应用
1 课堂讲解 用解直角三角形解方位角问题
用解直角三角形解坡角问题
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
观察下图中图形的方位，试着描述它们的位置.
知识点 1 用解直角三角形解方位角问题
知1－讲
1. 方向角的定义： 指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的 角叫作方向角. 特别警示：方向角和方位角不同，方位角是指从某点 的指北方向线起， 按顺时针方向到目标方向线之间 的水平夹角，变化范围为0 ~ 360°，而方向角的变 化范围是0 ~ 90° .
如图1，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BD，问哪条
路比较陡?
B
A
D
图1
知2－讲
如何用数量来刻画哪条路陡呢? 如图2，从山坡脚下点 A 上坡走到点 B 时，升高的
高度 h ( 即线段 BC 的长度 ) 与水平前进的距离 l ( 即线 段 AC 的长度 ) 的比叫作坡度，用字母 i 表示，即
i h (坡度通常写成 1：m 的形式) . l
则在Rt △ ACE 中，CE= 3x ，AC=2x，
在Rt △BCE 中，BE=CE= 3x,
∴ BC= 6x.
∵ AB=AE+BE，∴ x + 3x＝60( 6 + 2) ,
解得x = 60 2 海里.
∴ AC =120 2海里，BC = 120 3 海里.
知1－讲
解：(2) 如图，过点 D 作 DF ⊥ AC 于点 F，
俯角为 60°. 已知该山坡的坡度i 为1 ∶ 3 ，点P，H，
B，C，A 在同一个平面上，点H，B，C 在同一条直 线上，且PH ⊥ HC. (1) 山坡坡角的度数等于
人教版9下数学教案 与方向角、坡度有关的解直角三角形的应用
第2课时与方向角、坡度有关的解直角三角形的应用1．了解什么是方位角、坡度及方位角的命名特点，准确熟练解决有关方位角问题．2．巩固用解直角三角形有关知识解决实际问题的方法．▲重点运用解直角三角形解决航行、斜坡问题．▲难点灵活运用解直角三角形的方法解决生活中的实际问题．◆活动1新课导入如图，在电线杆的C处拉引线CE，CF固定电线杆．拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6 m的B处安置测角仪，在A 处测得电线杆上C处的仰角为30°.已知测角仪AB的高为1.5 m，拉线CE的长是3)__m．(结果保留根号)◆活动2探究新知1．教材P76例5.学生完成并交流展示．2．如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6 m，坝高20 m，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°.求坝底AD的长度．(精确到0.1 m，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)解：AD＝20×2.5＋6＋203＝90.64(m)．答：坝底AD的长度为90.64 m.学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．坡度、坡角概念．如图，BC表示水平面，AB表示坡面，把水平面BC与坡面AB形成的角∠ABC称为坡角α，坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ＝h l ＝tan α.2．利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：(1)将实际问题抽象为__数学__问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；(2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案．◆活动4 例题与练习例1 如图，海中一小岛A ，该岛四周10 n mile 内有暗礁，今有货轮由西向东航行，开始在A 岛南偏西55°的B 处，往东行驶20 n mile 后到达该岛的南偏西25°的C 处之后，货轮继续向东航行，你认为货轮向东航行的途中会有触礁的危险吗？解：过点A 作AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D.由题意，得∠BAD ＝55°，∠CAD ＝25°，BC ＝20 n mile.在Rt △ABD 中，∵tan ∠BAD ＝BD AD ，∴BD ＝AD·tan 55°.在Rt △ACD 中，∵tan ∠CAD＝CD AD ，∴CD ＝AD·tan 25°.∵BD ＝BC ＋CD ，∴AD·tan 55°＝20＋AD·tan 25°，∴AD ＝20tan 55°－tan 25°≈20.79(n mile)>10(nmile)．答：轮船继续向东行驶，不会有触礁危险．例2 如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m ，坝高23 m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶3，斜坡CD 的坡度i ＝1∶2.5，求斜坡AB 的坡角α，坝底宽AD 和斜坡AB 的长．(精确到0.1 m)解：过点B 作BE ⊥AD 于点E ，过点C 作CF ⊥AD 于点F.在Rt △ABE 和Rt △CDF 中，∵BE AE ＝13，CF FD ＝12.5，∴AE ＝3BE＝3×23＝69(m)，FD ＝2.5CF ＝2.5×23＝57.5(m)，∴AD ＝AE ＋EF ＋FD ＝69＋6＋57.5＝132.5(m)．∵斜坡AB 的坡度i ＝tan α＝13≈0.33，∴α≈18.43°.在Rt △ABE 中，由勾股定理，得AB ＝AE 2＋BE 2≈72.7(m)．答：斜坡AB的坡角α约为18.43°，坝底宽AD为132.5 m，斜坡AB的长约为72.7 m.练习1．教材P77练习第1，2题．2．如图，某办公大楼正前方有一根高度是15 m的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20 m，梯坎坡长BC是12 m，梯坎坡度i＝1∶3，则大楼AB的高度约为(精确到0.1 m，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)(D)A．30.6 m B．32.1 m C．37.9 m D．39.4 m3．如图，海上有座灯塔P，在它周围3 n mile有暗礁，一艘客轮以每小时9 n mile的速度由西向东航行，行至A处测得灯塔P在它的北偏东60°，继续航行10 min后到达B处，又测得灯塔P在它的东北方向．若客轮不改变方向，有无触礁危险？解：过点P作PD⊥AB于点D.在Rt△PAD中，∠PAD＝30°.又∵∠PBD＝45°，故设PD＝x，则BD＝PD＝x，AD＝3x.又∵AB＝9×1060＝1.5(n mile)，∴AD＝1.5＋x，∴x＋1.5＝3x，解得x＝34(3＋1)<3，∴有触礁危险．◆活动5完成《名师测控》随堂反馈手册◆活动6课堂小结1．方向角、坡度的概念．2．掌握与方向角、坡度有关的问题．1．作业布置(1)教材P78习题28.2第5，9题；(2)《名师测控》对应课时练习．2．教学反思________________________________________________________________________。
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【规律总结】 利用方位角解决直角三角形实际问题时,准确区分方位角,再建立直角 三角形模型.
类型二:坡度与坡角在直角三角形中的应用 例2 水库堤坝的横断面是梯形.测得BC长为6 m,CD长为60 m,斜坡的坡比为 1∶2.5,斜坡AB的坡比为1∶3,求: (1)斜坡CD的坡角∠D和坝底的宽(角度精确到1′,宽度精确到0.1 m);
第2课时与方位角、坡角 有关的运用举例
2020/8/15
2.坡度与坡角(重点) (1)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做 坡度 写成i=1∶m,如i=1∶5. (2)坡面与水平面的夹角α叫 坡角 .
.坡度一般用i来表示,即i=
,一般
坡度与坡角α的关系是
.
显然,坡度越大,坡角α就 i= =ta,n坡α面就
【思路点拨】 (1)理解坡度与坡角;
(2)若堤坝长L=150 m,问建造这个堤坝需用多少土石方?(精确到1 m3) 【思路点拨】 (2)准确掌握坡度与坡角的关系:i= =tan α.
【方法技巧】 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是: (1)将实际问题抽象为数学问题;(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题) (2)根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案.
A
2.(宁夏中考)如图是某水库大坝横断面示意图.其中AB,CD分别表示水库上下底面的水 平线,∠ABC=120°,BC的长是50 m,则水库大坝的高度h是( A )
3.(成都中考)如图,某山坡的坡面AB=200米,坡角∠BAC=30°,则该山坡的高BC的长为 100 米.
4.如果由点A测得点B在北偏东15°方向,那么点B测得点A的方向为 南偏西15° .
(1)求点B距水平面AE的高度BH;
(2)求广告牌CD的高度.
.
越大
越陡
类型一:方位角在直角三角形中的应用
例1 如图,在东西方向的海岸线上有A,B两个港口,甲货船从A港沿北偏东60°
的方向以4 n mile/h的速度出发,同时乙货船从B港沿西北方向出发,2小时后相
遇在点P处,问乙货船每小时航行
海里.
【思路点拨】 (1)准确在图示中找出对应的方位角. (2)结合实际问题建立直角三角形模型,利用解直角三角形的方法解决问题.