初等数论基础By张文泰
一般情况下，0不参与数论问题的讨论，所以在以后的讨论中，把正整数和自然数看成等价的概念。
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第一章 整除
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定理 1.1.2. 设m ∈ N ， m ̸= e，那么，必有唯一的n ∈ N 使得n+ = m， 即N 中每个不等于e的元素必是某个元素的后继，e是唯一一个没有后继的 元素。 定理 1.1.3 (归纳证明原理). 设P (n)是关于自然数n的一种性质或者命题。 如果当n = e时， P (e)成立，以及有P (n)成立必可推出P (n+ )成立，那么， P (n)对所有的n ∈ N 都成立。 归纳证明原理作为一种相当基础的证明算法，在解决一些关于集合的 命题的时候往往会被使用。在验证某些恒等式的时候，由于等式的变量取 值为正整数，也可以巧妙地使用归纳证明原理来证明。
第四章 不定方程 4.1 4.2 4.3 一次不定方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pythagoras 方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lagrange 定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
初等数论1
张文泰2 20100102-rev20
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本文介绍了非常多的基础理论的知识，是为了形成一个完整的初等数论体系，有助
于一个良好的数学基础的形成。 2 e-mail: rchardx@
目录
第一章 整除 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Peano 公理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 整除 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 带余除法与辗转相除法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 最大公约数和最小公倍数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 算术基本定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 阶乘的分解式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
第三章 同余方程 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 同余方程基本概念 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 一次同余方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 一次同余方程组，孙子定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 模为素数的二次同余方程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Legendre 符号，Gauss 二次互反律 . . . . . . . . . . . . . . .
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第一章
整除
整除理论是数论的基础，它主要是对整数除法运算的内容作抽象的、 系统的总结。本章的主要内容是算术基本定理，同时有对其他基础理论的 讨论。
1.1 Peano 公理
本节将会介绍自然数1 最重要的两个性质，自然数的归纳原理和最小自 然数原理。 自然数的本质属性是由归纳属性刻画的，它是自然数公理化定义的核 心。自然数集合严格的抽象的定义是由 Peano 公理给出的，它刻画了自然 数的本质属性，并导出有关的运算和性质。
顺序
对给定的a, b ∈ N ，如果存在x ∈ N ，使得b = a + x，那么，我们就
说b在a之后（或a在b之前） ，也说b大于a（或者a小于b） ，记作 b>a 由此推出 定理 1.1.4. 对任意的a, b ∈ N ，a = b, a > b, a < b有且仅有一个成立。 or a<b
定理 1.1.5 (最小自然数原理). 自然数集合N 的任一子集T 中都存在一个最小 的元素。 定理 1.1.6 (最大自然数原理). 对于自然数集合N 的一个子集M ，如果M 存 在上界，那么M 中必定存在一个最大的元素。 最小自然数原理是常用的第二种数学归纳法的基础。 定理 1.1.7 (第二种数学归纳法). 设P (n)是关于自然数n的一种性质或者命 题。如果 (i) 当n = 1时，P (1)成立； (ii) 设n > 1，若对所有的自然数m < n，P (m)成立，则必有P (n)成立。 那么，P (n)对所有自然数n成立。 这一章完全是各种基础的概念，作为一个背景简单说明一下。下面开 始介绍比较重要而又很基础的一些内容。
1.3 带余除法与辗转相除法
带余除法作为数论中最常使用的基本方法，具有很高的实用性。它是 数论证明中最重要、最基本、最直接的工具。 IMO 中的大部分数论题目
第一章 整除
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都可以用带余除法解决，虽然过程可能不太直观，但是并不能影响它的地 位。 定理 1.3.1 (带余数除法). 设a，b是两个给定的整数，a ̸= 0。那么一定存在 唯一的一对整数q 与r，满足 b = qa + r, 此外，a|b的充要条件是r = 0。 在具体应用的时候，往往并不要求r满足最小性，第二种形式如下： 定理 1.3.2. 设a，b是两个给定的整数，a ̸= 0，再设d是一给定的整数。那么 一定存在唯一的一对整数q1 与r1 ，满足 b = q1 a + r1 , 此外，a|b的充要条件是a|r1 。 上面的定理可以由定理1.3.1推出。我们一般把式1.1中的r称为b被a除后 的最小非负余数。式1.2中的r1 称为绝对最小余数。 下面是一个关于整数分类的推论： 推 论 1.3.3. 设a > 0。 任 一 整 数 被a除 后 所 得 的 最 小 非 负 余 数 是 且 仅 是0, 1, . . . , a − 1这a个数中的一个。 例题 1.3.1. 设a > 2是奇数。证明： (i) 一定存在正整数d ≤ a − 1，使得a|2d − 1。 (ii) 设d0 是满足 (i) 的最小正整数d。那么， a|2h − 1(h ∈ N )的充要条件 是d0 |h。 证. 先证 (i)。考虑以下a个数： 20 , 21 , 22 , . . . , 2a−1 显然，a 2j (0 ≤ j < a)。由定理1.3.1知，对于每一个j ，0 ≤ j < a， 2j = qj a + rj , 0 < rj < a d ≤ r < |a| + d (1.2) 0 ≤ r < |a| (1.1)
(ii) a|b且b|c ⇒ a|c； (iii) a|b且a|c ⇐⇒ 对任意的x, y ∈ Z 有a|bx + cy 。该定理还有其一般形式； (iv) 设m ̸= 0。那么，a|b ⇐⇒ ma|mb； (v) a|b且b|a ⇒ b = ±a； (vi) 设b ̸= 0。那么，a|b ⇒ |a| ≤ |b|。 例题 1.2.1. 设a, b是两个给定的非零整数，且有整数x, y ，使得ax + by = 1。 证明：若a|n且b|n，则ab|n。 证. 由n = n(ax + by ) = (na)x + (nb)y ，及ab|na，ab|nb即得所要的结论2 。 2 定义 1.2.2. 设整数p ̸= 0, ±1。如果它除了显然约数±1, ±p外没有其他的约 束，那么p被称为是 不可约数，也叫做 素数3 。若a ̸= 0, ±1且a不是不可约 数，则a称为合数。 下面几个定理是容易得到的 定理 1.2.2. 若a是合数，则必有一个素数p满足p|a。 定理 1.2.3. 若整数a ≥ 2，则a必可以表示为若干个素数的乘积，即 a = p1 p2 p3 · · · ps 由定理1.2.3可以得到下面的推论 推论 1.2.4. 设整数a ≥ 2。
2 3
事实上，满足题中的所给条件的a, b是互素的。 以后我们提到素数的时候，若无特殊情况，都假定它是正的。
第一章 整除 1. 若a是合数，则必有素数p，p ≤ a1/2 ； 2. 若a有定理1.2.3中的表达式，则必有不可约数p，p ≤ a1/s 。
5
推论1.2.4给出了一种在某一范围内寻找素数的有效方法。我们一般称 之为 Eratosthenes 筛法。由于比较容易推出，所以不再赘述。 定理 1.2.5. 素数有无穷多个。 证. 假设只有有限个素数，令它们为p1 , p2 , . . . , pk 。考虑Ek = p1 p2 · · · pk +1， 可 以 发 现， Ek > 2且 必 有 某 个pi |Ek ，所 以pi |Ek − p1 p2 · · · pk ，而 Ek − p1 p2 · · · pk = 1，但pi ≥ 2，显然不可能，矛盾，所以假设错误。 上面提到了Ek ，我们称之为欧拉数。下面是前几项的结果： E1 = 3, E2 = 7, E3 = 31, E4 = 211, E5 = 2311, E6 = 30031, E7 = 510511, . . . 对于欧拉数，还没有关于其中是否存在无限多素数或合数的结论。一 个关于它们的显然性质是对于正整数m ̸= n， (Em , En ) = 1。另外，对 于En (n > 1)，我们可以写出表达式
Peano 公理 设N 是一个非空集合，满足以下条件： (i) 对每一个元素n ∈ N ，一定有唯一的一个N 中的元素与之对应，这个 元素记作n+ ，称为n的后继元素。 (ii) 有元素e ∈ N ，它不是任一元素的后继。 (iii) N 中的元素至多是一个元素的后继。 (iv) （归纳公（原）理）设S 是N 的一个子集合，e ∈ S 。如果n ∈ S ，则必 有n+ ∈ S ，那么，S = N 。 由此立刻可以得出几个定理： 定理 1.1.1. 对任意的n ∈ N 有n ̸= n+ 。
初等数论_精品文档
初等数论初等数论是数学中的一个分支，研究的是整数的性质和特殊的数学关系。
它是数学发展的基础，对于数学中的许多其他分支，如代数、几何和数值分析都具有重要的影响。
初等数论可以追溯到古希腊时代，当时的数学家们对整数之间的关系进行了研究，并推导出了许多重要的结论。
在初等数论中，最基础的概念是整数和素数。
整数是自然数、负自然数和零的总称，它们可以用来表示数量。
素数是只能被1和自身整除的正整数，它们没有其他的因子。
素数在初等数论中具有重要的地位，因为他们是其他整数的构成单元。
在初等数论中，我们可以探讨整数的因子分解。
因子分解是将一个整数表示为素数的乘积的过程。
例如，将数字20分解成素数的乘积可以得到2×2×5=20。
因子分解在数论中起着重要的作用，它有助于我们理解整数之间的数学关系。
初等数论中的另一个重要概念是最大公约数和最小公倍数。
最大公约数是两个整数中能够同时被整除的最大的正整数。
最小公倍数是能够同时整除两个整数的最小的正整数。
最大公约数和最小公倍数可以帮助我们解决一些实际问题，比如找到最简分数、解线性方程等。
初等数论中还有一个重要的概念是同余。
同余是指两个整数除以一个正整数得到的余数相同。
例如，当两个整数被3除得到的余数相同时，我们可以说这两个整数互为3的同余数。
同余关系在数论中起着重要的作用，它可以帮助我们研究整数之间的性质和特殊的数学规律。
初等数论还涉及到数论函数的研究。
数论函数是定义在整数上的函数，它们可以帮助我们描述整数的性质和特征。
常见的数论函数包括欧拉函数、莫比乌斯函数等。
这些函数在数论中有广泛的应用，可以帮助我们研究素数分布、整数方程的解等问题。
除了以上几个基本概念，初等数论还包括一些其他的内容，如二次剩余、费马小定理、威尔逊定理等。
这些概念和定理都有着重要的理论意义和实际应用。
初等数论在数学中具有广泛的应用。
它不仅是其他数学分支的基础，还有着许多实际应用。
例如，在计算机科学中，初等数论可以帮助我们设计和分析算法、构建密码系统等。
《初等数论》教学大纲
引言概述：初等数论是数学的一个重要分支，它研究整数的性质和关系，是一门基础性的课程。
本文旨在为《初等数论》课程的教学制定一份详细的大纲，以帮助教师合理安排教学内容，提高教学效果。
正文内容：一、素数与合数1.素数的定义与性质素数的定义：只能被1和自身整除的正整数。
2.合数的定义与性质合数的定义：不是素数的正整数。
二、因数与倍数1.因数的概念因数的定义：能整除一个数的整数。
因子的分类：负因数、正因数、真因数。
2.最大公因数与最小公倍数最大公因数的定义与性质：两个数公共因子中最大的一个。
最小公倍数的定义与性质：两个数公共倍数中最小的一个。
三、整数的整除性与除法算法1.整除的概念与性质整除的定义：一个数能够被另一个数整除。
整除的性质：整数除法原则、整数的对称性。
2.整数的除法算法除法算法的步骤与原理：用减法、用乘法、整数除法算法的应用。
四、余数与模运算1.余数的概念与性质余数的定义：做除法时除不尽的部分。
余数的性质：余数的范围、余数的基本性质。
2.模运算的概念与性质模运算的定义：对于整数a和正整数n，a与n的商所得的余数。
模运算的性质：模运算的加法、减法和乘法规则。
五、同余与模运算应用1.同余的定义与性质同余的定义：对于整数a、b和正整数n，当a与b对n取余相等时，称a与b模n同余。
同余的性质：同余的传递性、同余的运算性质。
2.模运算的应用模运算在代数方程中的应用：线性同余方程、模运算的性质在方程求解中的应用。
总结：本文从素数与合数、因数与倍数、整除性与除法算法、余数与模运算以及同余与模运算应用等五个大点进行阐述。
通过这些内容的学习，学生将能够了解整数的性质和关系，理解数论的基本原理，为后续数学学习打下坚实的基础。
教师在教学过程中，应注重拓展学生的数学思维、培养其解决问题的能力，并结合实际生活和其他数学知识进行应用。
通过系统的教学大纲指导，教师能够更好地组织教学内容，提高学生的学习效果。
初等数论第一章5
第五节 辗转相除法
因此对于任意的自然数k，有 1 m(x kn) = n(km y)， 这样，当k充分大时，总可找出正整数x0，y0 ，使 得 1 mx0 = ny0 。 上式说明，如果放y0次（每次放n个），那么在使 m个盒子中各放x0个后，还多出一个硬币。把这 个硬币放入含硬币最少的盒子中（这是可以做 到的），就使它与含有最多硬币的盒子所含硬 币数量之差减少1。因此经过若干次放硬币后， 必可使所有盒子中的硬币数目相同。
求出整数x，y，使得
ax by = (a, b) 。
(4)
为此所需要的除法次数是O(log10b)。但是如果只
需要计算(a, b)而不需要求出使式(4)成立的整
数x与y，则所需要的除法次数还可更少一些。
第五节 辗转相除法
例1 设a和b是正整数，那么只使用被2除的除法
运算和减法运算就可以计算出(a, b)。
P0 =1，P1 =q1，Pk =qkPk 1 Pk 2，k 2，
Q0 =0，Q1 =1，Qk =qkQk 1 Qk 2，k 2，
则
aQk bPk = (1)k 1rk，k = 1, 2, , n . 证明 当k = 1时，式(3)成立。 当k = 2时，有 Q2 = q2Q1 Q0 = q2，P2 = q2P1 P0 = q2q1 1， (3)
Fk > k 2，k n，
则
第五节 辗转相除法
Fn + 1 = Fn Fn 1 > n 2 n 3 = n 3( 1) =
n 3 2 = n 1，
即当k = n 1时式(2)也成立。由归纳法知式(2)
对一切n 3成立。 证毕。
初等数论第一章1
第一节 数的整除性
例8 设a1, a2, , an是整数，且 a1 a2 an = 0，a1a2
则4n。
an = n，
解 如果2 n|，则n, a1, a2, , an都是奇数。于是a1 a2 an是奇数个奇数之和，不可能等于 零，这与题设矛盾，
所以2n，即在a1, a2, , an中至少有一个偶数。
n2 1= (2k 1)2 1 = 4k(k 1)。 在k和k 1中有一个是偶数，所以8n2 1。 例9的结论虽然简单，却是很有用的。例如，使
用例3中的记号，我们可以提出下面的问题： 问题 d(1)2 d(2)2 d(1997)2被4除的余数是
多少？
第一节 数的整除性
例10 证明：方程
第一节 数的整除性
定理1 下面的结论成立： (ⅰ) ab ab； (ⅱ) ab，bc ac； (ⅲ) bai，i = 1, 2, , k ba1x1 a2x2 akxk，此处xi(i = 1, 2, , k)是任意的整数； (ⅳ) ba bcac，此处c是任意的非零整数； (ⅴ) ba, a0 |b| |a|; ba且|a| < |b| a = 0。
是否为偶数？
解对于n的每个约数d，都有n = d 正约数d与 是n 成对地出现的。
d
n，因此，n的
d
第一节 数的整除性
只有当d = ,dn即n = d2时，d 和
才n 是同一个数。
d
故当且仅当n是完全平方数时，d(n)是奇数。
因为442 < 1997 < 452，所以在d(1), d(2), , d(1997)中恰有44个奇数，故d(1) d(2) d(1997)是偶数。
(ⅰ) A和B的元素个数相同；
《初等数论(闵嗣鹤、严士健)》第三版课件
唯一性:设q1 , r1是满足(2)的另两个整数, 则
因而
a bq1 r1,0 r1 b, bq1 r1 bq r,
于是
bq q1 r1 r,
7
三、带余数除法
定理4 设a与b是两个整数，b > 0，则存在唯一
的两个整数q和r，使得
a bq r, 0 r b
(1)
定义2：（1）式通常写成
5解 : (1)无,(2)x 1, 2,2.
6证 : (1)3 n n 3m,所以7 3m ,又7 7m ,
7 7m 2 3m m,从而21 n.
(2)21 7n, 21 3n 21 7n 1 3n 2 n.
14
q为偶数，且b 0时，令s q , t a bs a q b
10
练习： 1.设a 2t 1,若a 2n,则a n. 2.设a,b是两个给定的非零整数,且有整数x, y使 ax by 1,证明 : 若a n,且b n,则ab n.
3.设n 1,证明 : n 12 nk 1 n 1 k .
4.若x2 ax b 0有整数根x0 0,则x0 b . 一般地,若xn an1 xn1 a0 0有整数根x0 0, 则x0 a0 .
思考 28 6 14 3 4 (余 2) 正确吗？
9
eg5 已知： 782 + 8161能被57整除， 求证：783 +8163也能被57整除。
证明：783 + 8163 = 7 ( 782 + 8161 )－7 × 8161 + 8163 = 7 ( 782 + 8161 ) + 8161 × 57 ∵782 + 8161和57都能被57整除 ∴原式得证。
(1) a 14,b 3
初等数论
整数. 则 min( rk , sk ) min( r1 , s1 ) min( r2 , s2 ) gcd(a,b)= p1 p2 pk ,
max( rk , sk ) max( r1 , s1 ) max( r2 , s2 ) p p p lcm(a,b)= 1 2 k
例4 求150和220的最大公约数和最小公倍数.
扩展的Euclid算法
例9：求10关于模17的乘法逆元 17 = 10 + 7 10 = 7 + 3 7=32+1 1=7-32 = 7 - (10 – 7) 2 = 7 3 - 10 2 = (17 – 10) 3 - 10 2 = 17 3 - 10 5 = 17 3 - 17 10 + 17 10 - 10 5 = 10 12 - 17 7 所以10关于模17的乘法逆元为12
3 同余
例7： 3455的个位数是多少? 解：设3455的个位数为x，则3455≡x(mod10). 由34≡1(mod 10), 有 3455=34113+3≡33≡7(mod 10), 故3455的个位数是7.
3 同余
• 模m逆元 定义5 如果ab≡1(mod m), 则称b是a的模m逆元, 记作a1(mod m)或a1. a1(mod m)是方程ax≡1(mod m)的解. 性质： • 当a与m互素时, 方程 x a-1(mod m) 有唯一解 即：ax – km = 1 • 当a与m不互素时, 此方程无解。 • 一个数关于某一个模m的乘法逆元不一定存在。 如 2关于模14的乘法逆元不存在，因为2与14不 互素
2 最大公约数和最小公倍数
定理4： (1) 若a | m, b | m, 则 lcm(a,b)| m. (2) 若d |a, d |b, 则d | gcd(a,b). 证 (1) 记M=lcm(a,b), 设m=qM+r, 0≤r<M. 由a | m, a | M, 及r=mqM, 可推出a | r. 同理, 有b | r. 即, r是a 和b的公倍数. 根据最小公倍数的定义, 必有r=0. 得证M | m. (2) 记D=gcd(a,b), 令m=lcm(d,D). 若m=D, 自然有d |D, 结
初等数论第一章6
留作习题。
第六节 算术基本定理
推论1 使用式(2)中的记号，有
(ⅰ) n的正因数d必有形式
d
p 1 1
p 2 2
pk k，
iZ，0 i i，1 i k；
(ⅱ) n的正倍数m必有形式
m
p1 1
p2 2
pkk M,
MN，iN，i i，1 i k。
第六节 算术基本定理
推论2 设正整数a与b的标准分解式是
ab = cn ，(a, b) = 1，
(5)
则存在正整数u，v，使得
a = un，b = vn，c = uv，(u, v) = 1。
证明
设
c
p 1 1
p 2 2
p k k
，其中
p1, p2,
, pk
是互不相同的素数，i（1 i k）是正整数。
第六节 算术基本定理
又设
a
p1 1
p2 2
pk k
有一个能被另一个整除。
5.
证明：
1
1 2
n1（n
2）不是整数。
6. 设a, b是正整数, 证明：存在a1, a2, b1, b2，
使得 a = a1a2，b = b1b2，(a2, b2) = 1，
并且[a, b] = a2b2。
证明 为了叙述方便，不妨假定a，b，c是正
整数。
(ⅰ) 设
a
p1 1
p2 2
pkk，b
p1 1
p1 2
p k k
第六节 算术基本定理
其中p1, p2, , pk是互不相同的素数, i，i(1 i
k)都是非负整数。由定理1推论2 ，有
(a,b)
p1 1
初等数论(第三版)
谢谢观看
2.1同余类与剩余系的基本性质 2.2剩余系的整体性质及其结构 习题二
3 Euler函数φ（m）
3.1 φ（m）的性质 3.2公开钥密码系统 习题三
4 Wilson定理
习题四
01
1同余方程 的基本概念
02
2一元一次 同余方程
03
3一元一次 同余方程 组——孙子 定理
04
4一元同余 方程的一般 解法
7 n！的素因数分解 式
1自然数与整数
1.1基本性质我们先来回顾自然数与整数的基本知识. 1.2最小自然数原理与数学归纳原理 习题一
2整除的基本知识
2.1整除的定义与基本性质 2.2素数与合数 2.3最大公约数与最小公倍数 习题二
3带余数除法
3.1带余数除法及其基本应用 3.2辗转相除法 习题三
习题九
1指数 2原根
3指标、指标组与既 约剩余系的构造
4二项同余方程
1指数
习题一
2原根
习题二
3指标、指标组与既约剩余系的构造
习题三
4二项同余方程
习题四
1 x21+x22+x23+x24=
n
2 x2+y2=n
3 ax2+by2+cz2=0 4 x3+y3=z3
1 x21+x22+x23+x24=n
2 π（x）的上、下界估计
2.1 Чебышев不等式 2.2 Betrand假设 2.3 Чебышев函数θ（x）与ψ（x） 习题二
3 Euler恒等式
习题三
1积性函数
2 Möbius变换及其 反转公式
3数论函数的均值 4 Dirichlet特征
初等数论第七章原根
第七章原根原根是数论的理论和应用中一个很重要的概念。
本章要介绍原根以及与它有关的基本知识。
第一节指数及其基本性质定义1 设m > 1，(a, m) = 1，则使a r 1 (mod m) (1)成立的最小的正整数r，称为a对模m的指数，记为m(a)，在不致误会的情况下，简记为(a)。
由Euler定理，当r = (m)时式(1)成立，因此，恒有m(a) (m)。
若a b (mod m)，(a, m) = 1，则显然有m(a) = m(b)。
定义2 若m(a) = (m)，则称a是模m的原根。
例如，当m = 7时，因为21 2，22 4，23 1 (mod 7)，所以7(2) = 3。
又因为31 3，32 2，33 6，34 4，35 5，36 1 (mod 7)，所以7(3) = 6 = (7)，3是模7的原根。
以后，在谈到a对模m的指数时，总假定m > 1，(a, m) = 1。
定理1 记 = m(a)，则a0, a1, , a 1对模m两两不同余。
证明用反证法。
若有0 i < j 1，使得a i a j (mod m)，则由(a, m) = 1得到a j i 1 (mod m)，这与 = m(a)的定义矛盾，所以定理成立。
证毕。
定理1说明，若g是模m的原根，则g0, g1, , g(m) 1构成模m的简化剩余系。
定理2 设 = m(a)，r与r是正整数，则a r a r (mod m) (2) 的充要条件是r r (mod )。
(3)特别地，a r 1 (mod m)的充要条件是r。
证明不妨设r > r。
因为(a, m) = 1，所以式(2)等价于a r r 1 (mod m)。
(4)若式(4)成立，记r r = q t，qN，0 t < ，则由定义1，有a t a q t = a r r 1 (mod m)。
由m(a)的定义可知t = 0，即r r ，也即式(3)成立。
初等数论第一章整除14
= pd.由于2 ≤ d ≤ k，由归纳假定知存在素数q1 , q2 , , ql，使得d = q1q2ql，从而k 1 = pq1q2ql . 从而由归纳法推出式(1)对任何大于1的整数a成立。
证毕。
2024/7/14
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推论
任何大于1的合数a必有一个不超过a1/2的素 因数。 证明 由于 a是合数，故存在整数 b和 c使 a＝bc, 其中: 1<b<a, 1<c<a. 若b和c均大于 a1/2 , 则a＝bc＞a1/2·a1/2＝a, 这是不可能的. 因此b和c中必有一个小于或等于a1/2.
最大公因数与最小公倍数
2024/7/14
08:10
定义3 最大公因数
设al ,a2 ,…, ak和d都是整数, k≥2. 若d|ai， 1≤i≤k, 则称d是al , a2 ,…, ak的公因数. 所有公因数中最大的那一个数，称为 al , a2 ,…, ak的最大公因数, 记为 (al , a2 ,…, ak). 由于每个非零整数的约数的个数是有限的， 所以最大公约数是存在的，并且是正整数。 显然，(a , 1) = 1，(a , 0) = |a|，(a , a) = |a|；
2024/7/14
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定理 11
(ⅰ) [a1 , a2]=[a2 , a1]=[-a1 , a2] . 一般地有, [a1 , a2 , , ai , , ak]= [ai , a2 , , a1 , , ak] = [-a1 , a2 , , ai ,, ak] (ⅱ) 若a2|a1 , 则[a1 , a2]=|a1|； (ⅲ) 对任意的d|a1 [a1 , a2]=[a1 , a2 , d] [a1 , a2 , , ak]= [a1 , a2 , , ak , d]