小学奥数—平移、旋转、割补
4-2-5.平移、旋转、割补
例题精讲
图形变换，是指不改变图形的大小、形状，只通过位置关系的改变（旋转、平移、折叠等），构成新的图形．
【例 1】右图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10．中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，它们的宽都是2，求草地部分的面积（阴影部分）有多大？
【例 2】如图所示，一个正十二边形的边长是1厘米，空白部分是等边三角形，一共有12个．请算出阴影部分的面积．
【例 3】如图所示，梯形中，平行于，又，，．试求梯形
ABCD AB CD4
BD=3
AC=5
AB CD
+=ABCD 的面积．
D C
B
A
E
D
C
B
A
【例 4】如下图，六边形中，，，，且有平行于，平行于ABCDEF AB ED
=AF CD
=BC EF
=AB ED AF ，平行于，对角线垂直于，已知厘米，厘米，请问六边形CD BC EF FD BD24
FD=18
BD=
的面积是多少平方厘米？
ABCDEF
F
E
D
B
A
G
F
E
D
C
B
A
【例 5】 如图2，六边形为正六边形，为对角线上一点，若、的面积为与，
ABCDEF P CF PBC PEF 34
则正六边形的面积是 ．
ABCDEF E
【例 6】 正六边形A1A2A3A4A5A6的面积是2009平方厘米，B1,B2,B3,B4,B5,B6分别是正六边形各边的中点；
那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．
A 3
【例 7】
按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已知甲三角形两条直角
边分别为和，乙三角形两条直角边分别为和，求图中阴影部分的面积．
2cm 4cm 3cm 6cm
【例
8】 在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段(见右图)，求图中阴影
部分的面积占整个图形面积的几分之几.
【例 9】 如下左图，有两个大小相同的完全重叠在一起的正方形，现在以点为中心转动一个正方形．当
P 厘米，厘米，厘米时(如下右图)，
求右图中的两个正方形相重叠部分的面积5AB =13BC =
12CA =(注意，图的尺寸不一定准确)．
P
【例 10】 如图，在直角三角形中有一个正方形，已知厘米，厘米，求阴影部分的面积．
10BD =7DC =
【例 11】 四边形ABCD 中,AB =30,AD =48,BC =14,CD =40.又已知∠ABD +∠BDC =900,求四边形ABCD 的面
积．
D
C
B
A
【例 12】 如图,在三角形ABD 中,当AB 和CD 的长度相等时,请求出“?”所示的角是多少度,给出过程．
D
C
A
B
?
30°
40°
【例 13】 如图所示的四边形的面积等于多少？
【例 14】 如图，三角形是等腰直角三角形，是三角形外的一点，其中，，求
ABC P 90BPC ∠=︒10cm AP =四边形的面积．
ABPC P
D
C
B
A
P'
P
D
C
B
A
【例 15】 如图所示，中，，，，以为一边向外作正方形
ABC ∆90ABC ∠=︒3
AB =
5BC =AC ABC ∆，中心为，求的面积．
ACDE O OBC ∆
【例 16】 如图，直角梯形中，，，，，将腰以为中心逆时针
ABCD AD BC ∥AB BC ⊥2AD =3BC =CD D 旋转至，连接、，则的面积是 ．
90︒ED AE CE ADE ∆E
D C
B
A
H F
E
D
C
B
A
【例 17】 如图，正方形和有一个公共点，试比较三角形和三角形的面积．
ABCD DEFG D ADG CDE G
F
E
D
C
B
A
A'G
F
E
D
C
B
A
【例 18】 如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形，，、交于
AB ABE 90AEB ∠=︒AC BD ．已知、的长分别为、，求三角形的面积．
O
AE BE 3cm 5cm OBE
F
【例 19】 如图，已知，，
，，则
4cm AB AE ==BC DC =90BAE BCD ∠=∠=︒10cm AC =
S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++=
．
2cm
E
D
C
B
A
D
E
C '
A '
C
B
A
【例 20】 如图所示的四边形中，，，厘米，连接对角线，
ABCD 45A C ∠=∠=°105ABC ∠=°15AB CD ==BD ．求四边形的面积．
30ABD ∠=︒ABCD D
C
B A D
E
C
B
A
【例 21】 如图，在中，，求“？”的度数．
ABD ∆AB CD
=40°
30°
?D
C
B
A
【例 22】 下图三角形是等腰三角形，，．三角形是正三角形，点在
ABC AB AC =120BAC ∠=︒ADE D BC 边上，．当三角形的面积是时，三角形的面积是多少？
:2:3BD DC =ABC 250cm ADE E
D
C
B
A
G
P R Q F E
C
B
A
【例 23】 如图，正方形有三个顶点分别在的三条边上，．求正方形的面积．
PQRS ABC ∆BQ QC =PQRS
【例 24】 如下图,△ABC 是边长为1的等边三角形,△BCD 是等腰三角形BD =CD ，顶角
∠BDC =1200,∠MDN =600,求△AMN 的周长.
120°
60°M B
D C
N
A
【例 25】 若干个大小相同的正五边形如右图排成环状，下图中所示的只是3个五边形．那么要完成这一圈
共需
个正五边形．
【例 26】 如图，ABCD 是矩形，BC =6cm , AB=10cm ,AC 和BD 是对角线，图中的阴影部分以C 为轴旋转一
周，则阴影部分扫过的立体的体积是多少立方厘米？（π取3.14）
【例 27】一个半径为1厘米的圆盘沿着一个半径为4厘米的圆盘外侧做无滑动的滚动，当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动90度后（如图2），小圆盘运动过程中扫出的面积是（ ）平方厘米。
（=3.14）。
高斯小学奥数六年级下册含答案第04讲_曲线形问题综合提高
第四讲 曲线形问题综合提高本讲知识点汇总：一、 基本曲线形计算1. 圆：2ππC r d =⨯⨯=⨯；222ππ44πd C S r =⨯==． 2. 扇形：2π360nl r =⨯⨯⨯； 2π3602n l r S r ⨯=⨯⨯=． 3. 圆柱体：V S h =⨯底．4. 圆锥体：13V S h =⨯⨯底．二、 曲线形计算技巧：1. 割补法2. 平移、旋转3. 重叠（容斥）例1． （1）如图1，有一个长是10、宽是6的长方形，那么两个阴影部分的面积之差为多少？（π取3.14）（2）如图2，三角形ABC 是直角三角形，AB 长40厘米，以AB 为直径做半圆，阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米．求AC 的长度．（π取3.14）「分析」（1）阴影是不规则图形，无法直接求出面积，需要进行割补整体法求解；（2）阴影分别加上空白部分均会变成规则图形直接求出面积．练习1、如图，扇形AOB 的圆心角是90度，半径是2，C 是弧AB 的中点．求两个阴影部分的面积差．（π取3.14）例2． （1）如下左图，两个相同的直角扇形放在一起，重叠部分恰好是一个长方形，且长和宽分别为15和5．那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）（2）如下右图，以直角三角形ABC 的三条边为直径做半圆，已知6AB =，8AC =，那么，图中阴影部分的面积是多少？（π取3.14）「分析」（1）正方形的对角线刚好是扇形的半径；（2）这道题目可能会用到勾股定理．BC图1图2练习2、（1）如下左图，三角形ABC 是等腰直角三角形，以AC 为直径画半圆，以BC 为半径画扇形．已知10ACBC ==，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）（2）如下右图，由一个长方形与两个直角扇形构成，其中阴影部分的面积是多少？（π取3.14）例3． 如图，一只小狗被拴在建筑物的一角，四周都是空地．建筑物是一个边长为10米的正方形，绳长是20米，那么小狗的活动范围能有多少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3）「分析」首先画出小狗活动范围的图形，然后根据每块扇形的半径求出面积．练习3、如图，一只小狗被拴在建筑物的一角，四周都是空地．建筑物是一个边长为2米的等边三角形，绳长是3米，那么小狗的活动范围是多少？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3）狗A 狗例4．一个半径为1的圆绕着边长为4的正方形滚动一周又回到原来的位置，扫过的面积是多少？（π取3.14）「分析」注意拐角处扇形的半径．练习4、一个半径为1的圆绕着边长为4的正六边形滚动一周又回到原来的位置，扫过的面积是多少？（π取3.14）例5．面上有7个大小相同的圆，位置如图所示．如果每个圆的面积都是10，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）「分析」这道题目较难，需要进行巧妙的割补求解．例6．（1）如下左图，将对角线长度为6的正方形，按照如图所示的方式旋转一周，那么得到的旋转体的体积是多少？（π取3.14）（2）如下右图，将上底是2，下底是4，高是4的梯形，按照图中所示的方式旋转一周，那么得到的旋转体的体积是多少？（π取3.14）「分析」求出必要数据，结合公式即可得出答案．作业1. 如下图所示，如果正方形的边长为2，那么阴影部分的面积为多少？（π取3.14）2. 在下图中大圆的面积为30，三个小圆完全相同，那么图中阴影部分的面积为多少？3. 如图，阴影部分的面积是多少？（π取3.14）4. 一个半径为1的圆绕着边长为4的等边三角形滚动一周又回到原来的位置时，扫过的面积是多少？（π取近似值3.14）5. 如图，一只小狗被拴在建筑物的一角，四周都是空地．建筑物是一个边长为4米的等边三角形，绳长是6米，那么小狗的活动范围是多少？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3）4狗第四讲 曲线形问题综合提高例7． 答案：（1）18.5；（2）32.8．解答：(1)大块“阴影+空白”刚好构成直角扇形，小块“阴影+空白”刚好构成长方形，所以直角扇形与长方形的面积差即是两块阴影面积的差21106018.54π⨯⨯-=． （2）“阴影①+空白”刚好构成半圆，“阴影②+空白”刚好等于直角三角形，半圆面积为21206282π⨯⨯=，所以，直角三角形面积为62828656+=，另一条直角边32.8AC =．例8． 答案：242.5；24．解答：（1）两个直角扇形面积之和减去长方形面积即为阴影面积： ()221515752242.52π⨯⨯+-⨯=．例9． 答案：1050．解答：狗的活动范围如图，分为A 、B 、C 三部分， 求面积得：22312010350105042πππ⨯⨯+⨯⨯==平方米．例10． 答案：44.56．解答：四个半径为2的直角扇形+四个相同的长方形 即为该圆扫过的面积，212424444.564π⨯⨯⨯+⨯⨯=．例11． 答案：20．解答：阴影包括中间的一个圆和周围六个花瓣状的小小图形．这个图形可以割补成一个顶角60°的扇形，因此六个这样的图形面积和正好等于一个圆；阴影部分的面积等于两个圆的面积，为20．例12． 答案：56.52；879275． 解答：（1）可以把得到的立体图形看做两个锥体，体积为2133256.523π⨯⨯⨯⨯=；可以把得到的立体图形看做两个锥体体积之差，体积为： 2211879248243375ππ⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=． 练习：练习1、答案：0．简答：两个阴影分别加上下部的空白部分可得到扇形和半圆，而扇形和半圆面积相等，所以，面积之差是0．练习2、答案：28.5；12.765．简答：（1）半圆+圆心角是45度的扇形面积之和减去直角三角形面积：22111510101028.5282ππ⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=；（2）阴影面积为两个直角扇形面积之和减去长方形面积，2211521012.76544ππ⨯⨯+⨯⨯-=．练习3、答案：24.5．简答：解法同例3，首先画出小狗活动的范围图，然后把活动范围分成几个扇形来求解，2230024031=24.5360360ππ⨯⨯+⨯⨯．练习4、答案：60.56．简答：圆所扫过的面积可以分成6个长方形和6个扇形，面积之和为24262=60.56π⨯⨯+⨯．作业1.答案：0.86．简答：正方形的面积是4，圆的面积是3.14，所以，阴影的面积是0.86．2.答案：20．简答：大圆的半径是小圆的三倍，所以，大圆的面积是小圆面积的9倍，那么，阴影面积是整个面积的三分之二，即阴影面积为20．3.答案：4.56．简答：阴影面积为两个半圆的面积之和减去直角形的面积，两个半圆的面积之和为12.56，直角三角形的面积是8，所以，阴影面积为4.56．4.答案：36.56．简答：扫过的面积为三个相同的长方形，加三个相同的圆心角为120度的扇形，长方形总面积2×4×3=24，扇形总面积为12.56，所以，扫过的整个面积是36.56．5.答案：98．简答：活动范围由三个扇形构成，最大的扇形面积为半径是6的圆的四分之三，即90，两个小扇形的面积之和为18，总面积为98．。
小学奥数 圆与扇形(一) 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积．圆的面积2πr =；扇形的面积2π360nr =⨯；圆的周长2πr =；扇形的弧长2π360nr =⨯．一、跟曲线有关的图形元素：①扇形：扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形，扇形是圆的一部分．我们经常说的12圆、14圆、16圆等等其实都是扇形，而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几分之几．那么一般的求法是什么呢？关键是360n．比如：扇形的面积=所在圆的面积360n⨯；扇形中的弧长部分=所在圆的周长360n⨯扇形的周长=所在圆的周长+360n⨯2⨯半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长)②弓形：弓形一般不要求周长，主要求面积．一般来说，弓形面积=扇形面积-三角形面积．(除了半圆)③”弯角”：如图：弯角的面积=正方形-扇形④”谷子”：如图：“谷子”的面积=弓形面积2⨯二、常用的思想方法：①转化思想(复杂转化为简单，不熟悉的转化为熟悉的) ②等积变形(割补、平移、旋转等) ③借来还去(加减法)④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手，看与要求的部分之间的”关系”)板块一 平移、旋转、割补、对称在曲线型面积中的应用【例 1】 如图，圆O 的直径AB 与CD 互相垂直，AB =10厘米，以C 为圆心，CA 为半径画弧。
求月牙形ADBEA （阴影部分）的面积。
例题精讲圆与扇形D【考点】圆与扇形 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，决赛，第9题，10分【解析】 ①月牙形ADBEA (阴影部分)的面积＝半圆的面积+△ABC 的面积－扇形CAEBC 的面积②月牙形ADBEA 的面积＝211π525π502524⨯⨯+-⨯⨯=（平方厘米）,所以月牙形ADBEA 的面积是25平方厘米。
4-3-2平移、旋转、割补
图形变换，是指不改变图形的大小、形状，只通过位置关系的改变（旋转、平移、折叠等），构成新的图形．【例 1】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？FEABDCGFEABDC【解析】 如图，我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合，将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．【例 2】 如图所示，梯形ABCD 中，AB 平行于CD ，又4BD =，3AC =，5AB CD +=．试求梯形ABCD 的面积．ABC DABC D E【解析】 如右图，将AB 沿AC 平移至CE ,连接BE ,在三角形BDE 中，有4BD =，3BE AC ==，5DE AB CD =+=，有222BD BE DE +=，所以三角形BDE 为直角三角形．由于ABD ABC BCE S S S ∆∆∆==，所以梯形ABCD 的面积与三角形BDE 的面积相等，为13462⨯⨯=．【例 3】 右图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10．中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，它们的宽都是2，求草地部分的面积（阴影部分）有多大？例题精讲平移、旋转、割补【解析】（16-2）×（10-2）=112．【例4】如图所示，一个正十二边形的边长是1厘米，空白部分是等边三角形，一共有12个．请算出阴影部分的面积．【解析】如图，将阴影部分分割成一个正六边形和12个小三角形，再把正六边形分割成6个正三角形，由于正十二边形的每个内角为()180********︒⨯-÷=︒，所以阴影小三角形的顶角等于15060230︒-︒⨯=︒，每个顶角的两边和与其相邻的正三角形的底边所成的角都是306090︒+︒=︒，所以通过如右上图所示的平移可以组成6个边长为1厘米的正方形，所以所求阴影部分面积为2166⨯=平方厘米．【例5】按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已知甲三角形两条直角边分别为2cm和4cm，乙三角形两条直角边分别为3cm和6cm，求图中阴影部分的面积．【解析】如右图，我们将三角形甲与乙进行平移，就会发现平行四边形面积等于平移后两个长方形面积之和．所以阴影部分面积为：2346236242211cm⨯+⨯-⨯÷+⨯÷=（）（）【例6】在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段(见右图)，求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几.【解析】阴影总值是一个梯形.我们用三种方法解答.⑴割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形.将这两个直角三角形拼成一个长方形(见下图).显然，阴影部分正好是长方形的13，所以原题阴影部分占整个图形面积的13.⑵拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形(下页左上图).显然，图中阴影面积占平行四边形面积的13.根据商不变性质，将阴影面积和平行四边形面积同时除以2，商不变.所以原题阴影部分占整个图形面积的13.⑶ 等分法将原图等分成9个小三角形(见右上图)，阴影部分占3个小三角形，所以阴影部分占整个图形面积的3193=. 注意，后两种方法对任意三角形都适用.也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立.【例 7】 如下左图，有两个大小相同的完全重叠在一起的正方形，现在以点P 为中心转动一个正方形．当5AB =厘米，13BC =厘米，12CA =厘米时(如下右图)，求右图中的两个正方形相重叠部分的面积(注意，图的尺寸不一定准确)．P【解析】 右图由左图旋转而得，则右图中的8个空白小三角形都是完全相同的，右图中重叠部分的面积等于正方形面积减去4个小三角形的面积，从右图中可以看出正方形的边长为5131230++=厘米，所以重叠部分的面积为：2304(5122)780-⨯⨯÷=(平方厘米)．【例 8】 如图，在直角三角形中有一个正方形，已知10BD =厘米，7DC =厘米，求阴影部分的面积．【解析】 绕D 点逆时针旋转CED ∆，使E 与F 重合，则C 点落在AB 边上的'C 点处，且'C D CD =．则阴影部分面积转化为直角三角形'BC D 的面积，所以阴影部分的面积为107235⨯÷=平方厘米．【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？DCB13131212【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)【例 10】 如图，三角形ABC 是等腰直角三角形，P 是三角形外的一点，其中90BPC ∠=︒，10cm AP =，求四边形ABPC 的面积．P DCBAP'PDCBA【解析】 因为BAC ∠和BPC ∠都是直角，和为180︒，所以ABP ∠和ACP ∠的和也为180︒，可以旋转三角形APC ，使AC 和AB 重合，则四边形的面积转化为等腰直角三角形'AP P ，面积为1010250⨯÷=平方厘米．【例 11】 （2008年武汉明心奥数挑战赛）如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC为一边向ABC ∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【解析】 如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠， 所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为218164⨯=．根据面积比例模型，OBC ∆的面积为516108⨯=．【例 12】 （2008年武汉明心奥数挑战赛）如图，直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，2AD =，3BC =，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90︒至ED ，连接AE 、CE ，则AD E ∆的面积是 ．ED CBAH FEDCBA【解析】 如图所示，将AD E ∆以D 为中心顺时针旋转90︒，到FDC ∆的位置．延长FD 与BC 交于H ．由于ABCD 是直角梯形，AD 与FD 垂直，则四边形ADHB 是长方形，则BH AD =．由于ADE ∆与FDC ∆面积相等，而FDC ∆的底边2FD AD ==，高321CH BC BH =-=-=，所以FDC ∆的面积为2121⨯÷=，那么AD E ∆的面积也为1．【例 13】 如图，正方形ABCD 和DEFG 有一个公共点D ，试比较三角形ADG 和三角形CDE 的面积．GFEDCBAA'GFEDCBA【解析】 因为ADC ∠和GDE ∠是直角，所以ADG ∠和CDE ∠是互补角，将三角形ADG 顺时针旋转90︒到达'A DE ∆的位置，则'A 、D 、C 在同一条直线上，且'A D AD CD ==，即D 是'A C 的中点，所以三角形CDE 和三角形'A D E 面积相等，则三角形CDE 和三角形ADG 面积相等．【例 14】 (2008年全国小学数学资优生水平测试)如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．DFD【解析】 如图，连接DE ，以A 点为中心，将AD E ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==，所以梯形AFBE 的面积为：()1353122+⨯⨯=(2cm )．又因为ABE ∆是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以21172ABD S AB ∆==(2cm )．那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm )，所以12.52OBE BDE S S ∆∆==(2cm )．【例 15】 (2008年迎春杯高年级组决赛)如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++= 2cm ．DCEBABCA'C'EDA【解析】 将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形'AEC 和'A DC ，再连接''A C ，显然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系： ''AEC A DC S S ∆∆=；''AEC A DC S S ∆∆=；'CED C DE S S ∆∆=．所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯= ．【例 16】 (第八届华杯赛总决赛)如图所示的四边形ABCD 中，45A C ∠=∠=°，105ABC ∠=°，15AB CD ==厘米，连接对角线BD ，30ABD ∠=︒．求四边形ABCD 的面积．ABCDEABCD【解析】 由45A ∠=°，30ABD ∠=︒，可得1804530105ADB ∠=︒-︒-︒=︒，1053075DBC ∠=︒-︒=︒．将DBC ∆剪下来，翻转，再贴在BD 边上，即将B 点粘在D 点上，D 点粘在B 点上，如右上图所示．则C 点在E 点的位置．由于10575180ADB EDB ∠+∠=︒+︒=︒，所以A 、D 、E 三点在同一条直线上．由于45A E C ∠=∠=∠=°，所以90ABE ∠=︒，即ABE ∆是等腰直角三角形，它的面积就等于四边形ABCD 的面积，所以四边形ABCD 的面积为1515112.52⨯=平方厘米．【例 17】 如图，在ABD ∆中，AB CD =，求“？”的度数．40°30°?DCBADE【解析】 如图，由于AB CD =，可以将ABC ∆移动到D C E ∆，由于180(3040)110A C B ∠=︒-︒+︒=︒，18011070ACD ∠=︒-︒=︒，所以7040110ACE ∠=︒+︒=︒，又110CED ∠=︒，而AC DE =，所以四边形ACED 是等腰梯形，有180********ADE CED ∠=︒-∠=︒-︒=︒，703040ADC ∠=︒-︒=︒．点评：通过构造全等三角形来转化．【例 18】 下图三角形ABC 是等腰三角形，AB AC =，120BAC ∠=︒．三角形ADE 是正三角形，点D 在BC边上，:2:3BD DC =．当三角形ABC 的面积是250cm 时，三角形ADE 的面积是多少？EDCBAG P R Q F EDCA【解析】 以点A 为中心，由三个三角形ABC 可拼成右图：连结QE 、RF 、GD ，则DEQFRG 是一个正六边形．连结RD 、DQ 、RQ ，显然RDQ 是一个等边三角形，并且它的面积是正六边形面积的一半，所以是三角形ADE 的面积的3倍．由于23150cm PBC ABC S S ∆∆=⨯=，根据“鸟头定理”，22336cm 3223DQC PBC S S ∆∆=⨯⨯=++，所以2342cm RDQ PBC DQC S S S ∆∆∆=-⨯=，则2342314cm ADE RDQ S S ∆∆=÷=÷=．【例 19】 如图，正方形PQRS 有三个顶点分别在ABC ∆的三条边上，BQ QC =．求正方形PQRS 的面积．【解析】 如下图，我们设ABC ∆的面积为1，有161279341()122132111311143a e c db =---+=-⨯-⨯-⨯=，所以682143a e ==，751143bcd a ++=-=， 所以6875a b c d =++．如下图左，将三角形c 和三角形d 分别以P 、R 为中心按箭头方向旋转90︒，形成由两个直角三角形连在一起的一个四边形，如下图右，b 、c 、d 被虚线分成两个直角三角形，它们的面积之和为：276292230cm b c d ++=⨯÷+⨯÷=，所以2683027.2(cm )75a =⨯=．。
小学奥数技巧.03.解几何题技巧附答案
学习奥数的重要性1. 学习奥数是一种很好的思维训练。
奥数包含了发散思维、收敛思维、换元思维、反向思维、逆向思维、逻辑思维、空间思维、立体思维等二十几种思维方式。
通过学习奥数，可以帮助孩子开拓思路，提高思维能力，进而有效提高分析问题和解决问题的能力，与此同时，智商水平也会得以相应的提高。
2. 学习奥数能提高逻辑思维能力。
奥数是不同于且高于普通数学的数学内容，求解奥数题，大多没有现成的公式可套，但有规律可循，讲究的是个“巧”字；不经过分析判断、逻辑推理乃至“抽丝剥茧”，是完成不了奥数题的。
所以，学习奥数对提高孩子的逻辑推理和抽象思维能力大有帮助3. 为中学学好数理化打下基础。
等到孩子上了中学，课程难度加大，特别是数理化是三门很重要的课程。
如果孩子在小学阶段通过学习奥数让他的思维能力得以提高，那么对他学好数理化帮助很大。
小学奥数学得好的孩子对中学阶段那点数理化大都能轻松对付。
4. 学习奥数对孩子的意志品质是一种锻炼。
大部分孩子刚学奥数时都是兴趣盎然、信心百倍，但随着课程的深入，难度也相应加大，这个时候是最能考验人的：少部分孩子凭着天分，凭着在困难面前的百折不挠和愈挫愈坚的毅力，坚持了下来、学了进去、收到了成效；一部分孩子在家长的“威逼利诱”之下，硬着头皮熬了下来；不少孩子更是或因天资不足、或惧怕困难、或受不了这份苦、再或是其它原因而在中途打了退堂鼓。
我以为，只要能坚持学下来，不论最后取得什么样的结果，都会有所收获的，特别是对孩子的意志力是一次很好的锻炼，这对他今后的学习和生活都大有益处。
（三）解几何题技巧1.等分图形【均分整体】有些几何问题，只要把大图形均分为若干个小图形，就能找到问题的答案。
例如，下面两图中的正方形分别内接于同一个等腰直角三角形（内接指四个顶点全在三角形的边上）。
已知左图（图4.11）中正方形面积为72平方厘米，求右图（4.12）中正方形的面积。
由于左右两个三角形完全相同，我们不妨把这两个图形进行等分，看看这两个正方形分别与同一个等腰直角三角形有什么样的关系。
小学奥数 几何类 几何图形周长和面积的基本计算 平移、旋转、割补.题库版
图形变换，是指不改变图形的大小、形状，只通过位置关系的改变（旋转、平移、折叠等），构成新的图形． 【例 1】 右图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10．中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，它们的宽都是2，求草地部分的面积（阴影部分）有多大？【考点】平移、旋转、割补 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 如图所示，将道路平移后的()()162102112-⨯-=。
【答案】112【例 2】 如图所示，一个正十二边形的边长是1厘米，空白部分是等边三角形，一共有12个．请算出阴影部分的面积．1cm【考点】平移、旋转、割补 【难度】3星 【题型】解答【解析】 如图，将阴影部分分割成一个正六边形和12个小三角形，再把正六边形分割成6个正三角形，由于正十二边形的每个内角为()180********︒⨯-÷=︒，所以阴影小三角形的顶角等于15060230︒-︒⨯=︒，每个顶角的两边和与其相邻的正三角形的底边所成的角都是306090︒+︒=︒，所以通过如右上图所示的平移可以组成6个边长为1厘米的正方形，所以所求阴影部分面积为2166⨯=平方厘米．【答案】6【例 3】 如图所示，梯形ABCD 中，AB 平行于CD ，又4BD =，3AC =，5AB CD +=．试求梯形ABCD 的面积．D CBAEDCBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】3星 【题型】解答【解析】 如右图，将AB 沿AC 平移至CE ,连接BE ,在三角形BDE 中，有4BD =，3BE AC ==，5DE AB CD =+=，有222BD BE DE +=，所以三角形BDE 为直角三角形．由于ABD ABC BCE S S S ∆∆∆==，所以梯形ABCD 的面积与三角形BDE 的面积相等，为13462⨯⨯=．例题精讲4-2-5.平移、旋转、割补【例 4】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？FD BAGFE DCBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答【解析】 如图，我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合，将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．【答案】432【例 5】 如图2，六边形ABCDEF 为正六边形，P 为对角线CF 上一点，若PBC 、PEF 的面积为3与4，则正六边形ABCDEF 的面积是．E【考点】平移、旋转、割补 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】2007年，迎春杯、中年级、初赛、7题【解析】 这是一道几何问题，考察同学们对常见图形性质的认识．正六边形的六条边都相等，每个角都是，每一组对边都互相平行，正六边形可以看作是由六个正三角形拼成的（如图（1））．其中正六边形的面积是正三角形面积的6倍．每相邻两个正三角形拼成的是一个平行四边形．如图（2），连结BF ，三角形ABF 的面积是平行四边形ABFO 面积的一半．六边形ABCDEF 的面积是平行四边形ABFO 的3倍，故六边形ABCDEF 的面积是三角形ABF 的面积的6倍． 如图（3），连结BF ，CE ，三角形BCP 的面积与三角形EFP 的面积和是平行四边形BFEC 面积的一半．而六边形ABCDEF 的面积是平行四边形BFEC 的1.5倍，故六边形ABCDEF 的面积是三角形BCP 的面积与三角形EFP 的面积和的3倍．图（1）OAB CDEF图（2）OB ACDEF图（3）E所以，由PBC △、PEF △的面积分别为3与4， 可知正六边形ABCDEF 的面积是(34)321+⨯=．【例 6】 正六边形A1A2A3A4A5A6的面积是2009平方厘米，B1,B2,B3,B4,B5,B6分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．A 3【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】2009年、迎春杯、六年级、初赛、14题【解析】 如图，设62B A 与13B A 的交点为O ，则图中空白部分由6个与23A OA △一样大小的三角形组成，只要求出了23A OA △的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积.4A 3A 654连接63A A 、61B B 、63B A设116A B B △的面积为“1”，则126B A B △面积为“1”，126A AB △面积为“2”，那么636A A B △面积为126A A B △的2倍，为“4”，梯形1236A A A A 的面积为224212⨯+⨯=，263A B A △的面积为“6”，123BAA △的面积为2 根据蝴蝶定理，1263261316B A B A A B B O A O S S ===△△∶∶，故21233612167A OAB A A S S ==+△△， 所以231236A A A A 121277A OA S S =△梯形∶∶∶1∶，即23A OA △的面积为梯形1236A A A A 面积的17，故为六边形123456A A A A A A 面积的114，那么空白部分的面积为正六边形面积的136147⨯=，所以阴影部分面积为32009111487⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭(平方厘米).【答案】1148【例 7】 按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已知甲三角形两条直角边分别为2cm 和4cm ，乙三角形两条直角边分别为3cm 和6cm ，求图中阴影部分的面积．【考点】平移、旋转、割补 【难度】3星 【题型】解答【解析】 如右图，我们将三角形甲与乙进行平移，就会发现平行四边形面积等于平移后两个长方形面积之和．所以阴影部分面积为：2346236242211cm ⨯+⨯-⨯÷+⨯÷=（）（）【答案】11【例 8】在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段(见右图)，求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几.【考点】平移、旋转、割补 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 阴影总值是一个梯形.我们用三种方法解答.⑴ 割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形.将这两个直角三角形拼成一个长方形(见下图).显然，阴影部分正好是长方形的13，所以原题阴影部分占整个图形面积的13.⑵ 拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形(下页左上图).显然，图中阴影面积占平行四边形面积的13.根据商不变性质，将阴影面积和平行四边形面积同时除以2，商不变.所以原题阴影部分占整个图形面积的13.⑶ 等分法将原图等分成9个小三角形(见右上图)，阴影部分占3个小三角形，所以阴影部分占整个图形面积的3193=. 注意，后两种方法对任意三角形都适用.也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立. 【答案】13【例 9】 如下左图，有两个大小相同的完全重叠在一起的正方形，现在以点P 为中心转动一个正方形．当5AB =厘米，13BC =厘米，12CA =厘米时(如下右图)，求右图中的两个正方形相重叠部分的面积(注意，图的尺寸不一定准确)．P【考点】平移、旋转、割补 【难度】3星 【题型】解答【解析】 右图由左图旋转而得，则右图中的8个空白小三角形都是完全相同的，右图中重叠部分的面积等于正方形面积减去4个小三角形的面积，从右图中可以看出正方形的边长为5131230++=厘米，所以重叠部分的面积为：2304(5122)780-⨯⨯÷=(平方厘米)．【答案】780【例 10】 如图，在直角三角形中有一个正方形，已知10BD =厘米，7DC =厘米，求阴影部分的面积．【考点】平移、旋转、割补 【难度】4星 【题型】解答【解析】 绕D 点逆时针旋转CED ∆，使E 与F 重合，则C 点落在AB 边上的'C 点处，且'C D CD =．则阴影部分面积转化为直角三角形'BC D 的面积，所以阴影部分的面积为107235⨯÷=平方厘米．【答案】35【例 11】 四边形ABCD 中,AB =30,AD =48,BC =14,CD =40.又已知∠ABD +∠BDC =900,求四边形ABCD 的面积．DBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答【解析】 如下图,以BD 的垂直平分线为对称轴L ,做△ABD 关于L 的对称图形△A 'BD .连接A 'C ．A 1IABCD因为∠ABD +∠BDC =9000而∠ABD =∠A 'DB =900,所以有∠A 'DB +∠BDC =900． 那么A 'CD 为直角三角形,由勾股定理知2A C '=22AB CD +=2500,所以50A C '=.而在△A 'BC 中,有A 'B =AD =48,有482+142=2500,即A 'B 2+BC 2=A 'C 2,即△A 'BC 为直角三角形． 有A CD A BCSS''+130402=⨯⨯114489362+⨯⨯=. 而|ABCDS 四边形A CD A BC S S ''=+936=.评注:Ⅰ.本题以∠ABC +∠BDC =900突破口,通过对称变换构造出与原图形相关的角三角形Ⅱ.对于这道题我们还可以将△BCD 作L 的对称图形.如下：C 1lABCD【答案】936【例 12】 如图,在三角形ABD 中,当AB 和CD 的长度相等时,请求出“?”所示的角是多少度,给出过程．DCAB?30°40°【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答【解析】 因为AB =CD ,于是可以将三角形ABC 的边BA 边与CD 对齐,如下图． 在下图中有∠BCA =110°,所以∠ACD =70°于是∠AC C '=∠ACD +∠DC C '=∠ACD +∠ABC =70°+40°=110°；A 1D C 1CB 1BA即∠AC C '=110°=∠CC D '；又因为C A ''只是CA 移动的变化,所以C A ''=CA ；则A B CA ''是一等腰梯形．于是,∠ADC '=180°-110°=70°；又∠CDC '=30°,所以∠ADC =70°-30°=40°.【答案】40°【例 13】 如图所示的四边形的面积等于多少？DB13131212【考点】平移、旋转、割补 【难度】4星 【题型】解答【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)【答案】144【例 14】 如图，三角形ABC 是等腰直角三角形，P 是三角形外的一点，其中90BPC ∠=︒，10cm AP =，求四边形ABPC 的面积．P DCBAP'PDCBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答【解析】 因为BAC ∠和BPC ∠都是直角，和为180︒，所以ABP ∠和ACP ∠的和也为180︒，可以旋转三角形APC ，使AC 和AB 重合，则四边形的面积转化为等腰直角三角形'AP P ，面积为1010250⨯÷=平方厘米．【答案】50【例 15】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC ∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】2008年、武汉明心奥数【解析】 如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠， 所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为218164⨯=．根据面积比例模型，OBC ∆的面积为516108⨯=．【答案】10【例 16】 如图，直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，2AD =，3BC =，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90︒至ED ，连接AE 、CE ，则ADE ∆的面积是 ．ED CBAH FEDCBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】2008年、武汉明心奥数【解析】 如图所示，将ADE ∆以D 为中心顺时针旋转90︒，到FDC ∆的位置．延长FD 与BC 交于H ．由于ABCD 是直角梯形，AD 与FD 垂直，则四边形ADHB 是长方形，则BH AD =．由于ADE ∆与FDC ∆面积相等，而FDC ∆的底边2FD AD ==，高321CH BC BH =-=-=，所以FDC ∆的面积为2121⨯÷=，那么ADE ∆的面积也为1．【答案】1【例 17】 如图，正方形ABCD 和DEFG 有一个公共点D ，试比较三角形ADG 和三角形CDE 的面积．GFEDC BAA'GFEDCBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答【解析】 因为ADC ∠和GDE ∠是直角，所以ADG ∠和CDE ∠是互补角，将三角形ADG 顺时针旋转90︒到达'A DE ∆的位置，则'A 、D 、C 在同一条直线上，且'A D AD CD ==，即D 是'A C 的中点，所以三角形CDE 和三角形'A DE 面积相等，则三角形CDE 和三角形ADG 面积相等．【答案】相等【例 18】 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE的面积．F【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】2008年、资优杯【解析】 如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==，所以梯形AFBE 的面积为：()1353122+⨯⨯=(2cm )．又因为ABE ∆是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以21172ABD S AB ∆==(2cm )．那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm )，所以12.52OBE BDE S S ∆∆==(2cm )．【答案】2.5【例 19】 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++= 2cm ．EDCBADEC 'A 'CBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】2008年、迎春杯、高年级、复赛、10题【解析】 将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形'AEC 和'A DC ，再连接''A C ，显然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系： ''AEC A DC S S ∆∆=；''AEC A DC S S ∆∆=；'CED C DE S S ∆∆=．所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=．【答案】50【例 20】 如图所示的四边形ABCD 中，45A C ∠=∠=°，105ABC ∠=°，15AB CD ==厘米，连接对角线BD ，30ABD ∠=︒．求四边形ABCD 的面积．DCB A DECBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】第八届、华杯总决赛【解析】 由45A ∠=°，30ABD ∠=︒，可得1804530105ADB ∠=︒-︒-︒=︒，1053075DBC ∠=︒-︒=︒．将DBC ∆剪下来，翻转，再贴在BD 边上，即将B 点粘在D 点上，D 点粘在B 点上，如右上图所示．则C 点在E 点的位置．由于10575180ADB EDB ∠+∠=︒+︒=︒，所以A 、D 、E 三点在同一条直线上．由于45A E C ∠=∠=∠=°，所以90ABE ∠=︒，即ABE ∆是等腰直角三角形，它的面积就等于四边形ABCD 的面积，所以四边形ABCD 的面积为1515112.52⨯=平方厘米．【答案】112.5【例 21】 如图，在ABD ∆中，AB CD =，求“？”的度数．40°30°?DCBAD【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答【解析】 如图，由于AB CD =，可以将ABC ∆移动到DCE ∆，由于180(3040)110AC B ∠=︒-︒+︒=︒，18011070ACD ∠=︒-︒=︒，所以7040110ACE ∠=︒+︒=︒，又110CED ∠=︒，而AC DE =，所以四边形ACED 是等腰梯形，有180********ADE CED ∠=︒-∠=︒-︒=︒，703040ADC ∠=︒-︒=︒．点评：通过构造全等三角形来转化．【答案】40°【例 22】 下图三角形ABC 是等腰三角形，AB AC =，120BAC ∠=︒．三角形ADE 是正三角形，点D 在BC边上，:2:3BD DC =．当三角形ABC 的面积是250cm 时，三角形ADE 的面积是多少？EDCB AGP R Q F EDCBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答【解析】 以点A 为中心，由三个三角形ABC 可拼成右图：连结QE 、RF 、GD ，则DEQFRG 是一个正六边形．连结RD 、DQ 、RQ ，显然RDQ 是一个等边三角形，并且它的面积是正六边形面积的一半，所以是三角形ADE 的面积的3倍．由于23150cm PBC ABC S S ∆∆=⨯=，根据“鸟头定理”，22336cm 3223DQC PBC S S ∆∆=⨯⨯=++， 所以2342cm RDQ PBC DQC S S S ∆∆∆=-⨯=，则2342314cm ADE RDQS S ∆∆=÷=÷=．【答案】14【例 23】 如图，正方形PQRS 有三个顶点分别在ABC ∆的三条边上，BQ QC =．求正方形PQRS 的面积．【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答【解析】 如下图，我们设ABC ∆的面积为1，有161279341()122132111311143a e c db =---+=-⨯-⨯-⨯=，所以682143a e ==，751143bcd a ++=-=， 所以6875a b c d =++．如下图左，将三角形c 和三角形d 分别以P 、R 为中心按箭头方向旋转90︒，形成由两个直角三角形连在一起的一个四边形，如下图右，b 、c 、d 被虚线分成两个直角三角形，它们的面积之和为：276292230cm b c d ++=⨯÷+⨯÷=，所以2683027.2(cm )75a =⨯=．【答案】27.2【例 24】 如下图,△ABC 是边长为1的等边三角形,△BCD 是等腰三角形BD =CD ，顶角∠BDC =1200,∠MDN =600,求△AMN 的周长.120°60°M BD CNA【考点】平移、旋转、割补 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 如下图, 延长AC 至P ,使CP =MB ,连接DP .120°60°M BD C NA则有∠MBD =600+1163ADEDQRDEQSRT SS S ==正六边形01801202-=∠PCD ；CP =BM ；BD =CD ,所以有△MBD ≌△PCD .于是∠MDC =∠PDC ；又因为∠MDB +∠NDC =600,所以∠PDC +∠NDC =∠NDP =600； MD =PD ,在△MDN 、△PND 中,∠NDM =∠NDP ,ND =ND ,MD =PD ,于是△MND ≌△PND .有MN =PN .因为NP =NP =NC +CP ,而AM =AB -MB =AB -CP , 所以AM +AN +MN =(AB -CP )+AN +(NC +CP )=AB +AN +NC =2.即△AMN 的周长为2.【答案】2【例 25】若干个大小相同的正五边形如右图排成环状，下图中所示的只是3个五边形．那么要完成这一圈共需个正五边形．【考点】平移、旋转、割补 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】2009年、迎春杯、六年级、初赛、5题【解析】 如图，设O 为圆心，A 、B 、C 、D 为五边形的顶点，连接OA 、OB 、OC .DC BAO从图中可以看出，OAB △和OBC △是完全相同的，所以OBA OBC ∠=∠，又五边形内角和为540°，所以正五边形的每个内角都为5405108÷=°°，即108ABD CBD ∠=∠=°， 那么3601082144ABC ∠=︒-︒⨯=︒，则144272OBA ∠=÷=°°， 又OAB OBA ∠=∠，所以18072236AOB ∠=︒-︒⨯=︒ 所以要用3603610+=°°个正五边形才能围成一圈.【答案】10【例 26】 如图，ABCD 是矩形，BC =6cm , AB=10cm ,AC 和BD 是对角线，图中的阴影部分以C 为轴旋转一周，则阴影部分扫过的立体的体积是多少立方厘米？（π取3.14）【考点】平移、旋转、割补 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】2006年，第十一届、华杯赛、决赛、第11题【解析】 ①设三角形BCO 以CD 为轴旋转一周所得到的立体的体积是s ，S 等于高为10厘米，底面半径是6厘米的圆锥的体积减去2个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积。
6年级奥数几何综合问题(中)例题解析
【内容概述】本讲将涉及到图形的对称、平移、旋转、割补及其他等积变换，下面我们就这些变换的预备知识及变换本身进行学习和探讨．反之，如果知道上面某种情况的成立，则那两条直线平行．3．两个相似三角形的面积比值为相似系数的平方．【例题】题1．如下图，六边形ABCDEF中，AB＝ED，AF＝CD，BC＝EF，且有AB平行ED，AF平行CD，BC平行EF，对角线FD垂直与BD．已知FD＝24厘米，BD＝18厘米，试求六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？「分析与解」如图，我们将BCD平移使得CD与AF重合，DEF平移使得ED与AB 重合．这样就组成一个长方形，显然有面积为24×18＝432平方厘米，即ABCDEF 的面积为432平方厘米．题2．四边形ABCD中，AB＝30，AD＝48，BC＝14，CD＝40．又已知∠ABD+∠BDC ＝90°，求四边形ABCD的面积．「分析与解」如下图，以BD的垂直平分线为对称轴，做△ABD关于l的对称图形△A′BD．连接A′C．因为∠ABD+∠BDC＝90°，而∠ABD＝∠A′DB＝90°，所以有∠A′DB+∠BDC＝90°．那么△A′CD为直角三角形，由勾股定理知A′C2＝AB2+CD2＝2500，所以A′C＝50．而在△A′BC中，有A′B＝AD＝48，有482+142＝2500，即A′B2+BC2＝A′C2，即△A′BC为直角三角形．有S △A ′CD +S △A ′BC ＝30×40×+14×48×＝936．而S 四边形ABCD ＝S △A ′CD +S △A ′BC ＝936．评注：Ⅰ．本题以∠ABD+∠BDC ＝90°为突破口，通过对称变换构造出与原图形相关的直角三角形．这样面积就很好解决．Ⅱ．对于这道题我们还可以将△BCD 作l 的对称图形，如下：题3．如下图所示，梯形ABCD 中，AB 平行与CD ，又BD ＝3，AC ＝4，AB+CD ＝5，试求梯形ABCD 的面积．「分析与解」如下图，将AB 沿AC 平移至CE ，连接BE ．在三角形BDE 中，有BD ＝3，BE ＝4，DE ＝5，有BD 2+BE 2＝DE 2，所以三角形BDE 为直角三角形．有S梯形ABCD ＝S△BDE＝×3×4＝6．题4．如图，在三角形ABD中，当AB和CD的长度相等时，请求出“？”所示的角是多少度，给出过程．「分析与解」因为AB＝CD，于是可以将三角形ABC的边BA边与CD对齐，如右图．在右图中有∠BCA＝110°，所以∠ACD＝70°于是∠ACC′＝∠ACD＋∠DCC′＝∠ACD＋∠ACB＝70°＋40°＝110°；于是∠ACC′＝110°＝∠CC′D；又因为C′A′只是CA移动的变化，所以C′A′＝CA；则AB′C′A′是一等腰梯形．于是，∠ADC′＝180°－110°＝70°；又∠CDC′＝30°，所以∠ADC＝70°－30°＝40°．题5．如下图所示，有六边ABCDEF，已知∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝120°，AB＝BC＝CD；AF＝DE；∠ECF＝60°；已知FEC的面积为6，求六边形ABCDEF的面积为多少？「分析与解」如下图，因为BC＝CE，所以我们可以将△CDE绕C点转到E′点，使E′B平行CD．连接E′、F；E′、B，设E′F、AB交于Q点．有△E′BC≌△EDC．而在△E′BQ、△FAQ中，∠E′BQ＝∠FAQ＝120°，∠E′QB＝∠AQF(对顶角相等)，E′B＝AF＝ED，所以有△E′BQ≌△FAQ．所以△E′FC即为六边形ABCDEF除△CEF所剩下的部分的等积图形；而在△E′FC、△EFC中，E′C＝EC，FC＝FC，∠E′CF＝∠ECF，所以△E′FC≌△EFC．所以S六边形ABCDEF ＝2×S△CEF；于是，S六边形ABCDEF＝6×2＝12．题6．如下图，△ABC为边长为1的等边三角形，△BCD是等腰三角形，BD＝CD，顶角∠BDC＝120°，∠MDN＝60°，求△AMN的周长．「分析与解」如下图，延长AC至P，使CP＝MB，连接DP．则有∠MBD＝60°＋＝∠PCD；CP＝BM；BD＝CD，所以有△MBD≌△PCD．于是∠MDB＝∠PDC；又因为∠MDB＋∠NDC＝60°，所以∠PDC＋∠NDC＝∠NDP＝60°；MD＝PD．在△MND、△PND中，∠NDM＝∠NDP，ND＝ND，MD＝PD，于是△MND≌△PND．有MN＝PN．因为MN＝NP＝NC+CP，而AM＝AB－MB＝AB－CP，所以AM＋AN＋MN＝(AB－CP)+AN+(NC+CP)＝AB+AN+NC＝2．即△AMN的周长为2．题7．如下图，三角形ADC，是AC边与AD边长度相等的等腰三角形．求出下图中？的角度．「分析与解」作△ADB关于AB的对称图形，为△AD′B，在BC上选择E点使EA=CA;△BD′A≌△BCA，∠BD′A＝∠BDA，注意到∠BED′似直角，D′EA似为等边三角形．如果解决，则，显然就有∠BDA＝∠BD′A＝？，答案显然为105°．注意到∠AEC＝30°，则∠EAC＝120°，于是∠D′AE＝60°，又因为D′A＝DA＝AC＝AE，所以三角形D′AE为等边三角形．∠D′EC＝∠D′EA＋∠AEC＝60°＋30°＝90°；于是∠D′EB＝180°－90°＝90°．又知道∠BEA＝90°＋60°＝150°；所以∠BAE＝180°－150°－15°＝15°；所以BEA为等腰三角形；于是BE＝EA＝ED′；BED′为等腰直角三角形．综合以上分析知∠BDA＝105°．题8．下图为半径20厘米、圆心角为144°的扇形图．点C、D、E、F、G、H、J 是将扇形的B、K弧线分为8等份的点．求阴影部分面积之和．「分析与解」如下图，做出辅助线△KMA与△ANG形状相同(对应角相等)，大小相等(对应边相等)，有△KMA≌△ANG，S△KMA ＝S△ANG，而△KMA是两个三角形的公共部分，所以上图中的阴影部分面积相等．所以，GNMK与扇形KGA的面积相等，那么KGEB的面积为2倍扇形KGA的面积．扇形KGA的圆心角为×3＝54°，所以扇形面积为×202×π＝60π平方厘米．那么KGEB的面积为60π×2＝120π平方厘米．如右图，做出另一组辅助线．△JQA与△ARH形状相同(对应角相等)，大小相等(对应边相等)，有△JQA≌△ARH，S△JQA ＝S△ARH，而△PQA是两个三角形的公共部分，所以上图中的阴影部分面积相等．所以，JHPQ与扇形JHA的面积相等，那么JHDC的面积为2倍扇形JHA的面积．扇形JHA的圆心角为＝18°，所以扇形面积为×202×π＝20π平方厘米．那么JHDC的面积为10π×2＝40π平方厘米．所以，原题图中阴影部分面积为SKGEB －SJHDC＝120π－40π＝80π≈80×3.14＝251.2平方厘米．题9．如下图，三角形ABC中AB＝AC，∠BAC＝120°，三角形ADE为正三角形，点D在BC边上．并且有BD：DC＝2：3．三角形ABC的面积为50平方厘米，试求三角形ADE的面积？「分析与解」以点A为中心，使三角形ABC旋转120°，240°使其与原图形形成一个正三角形，并使QC：PQ＝RP：BR＝2：3．在正三角形PBC的内部连接成一个正六边形图，再连接正六角形的顶点得到正三角形DQR．有S△PBC ＝S△ABC×3＝150，S△DCQ＝S△PBC××＝36，S△DQR＝S△PBC－3S△DCQ＝42，S△ADE ＝S正六边形DQR＝S△DQR＝14平方厘米．。
五年级奥数专题 等积变换、切割、平移、旋转(学生版)
学科培优数学等积变换、切割、平移、旋转学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲是几何知识体系中的一个基石同时也是一个升华,等积变换试平面几何的基础,解决三角形问题几乎无处不在,切割、平移、旋转是解决个性问题的个性思想,在几何中举足轻重,能使复杂的问题巧妙化解。
所以本讲是非常重要的一讲,也是竞赛常考的知识板块。
重点难点：1. 等积变换中等地等高三角形的寻找。
2．化未知图形为已知图形。
3. 合理做辅助线4. 平移、旋转、切割等知识的适用范围主要考点：1. 面积和边的比例关系2. 利用平移、旋转解复杂问题知识梳理常见图形面积的解题方法我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变,高越大（小）,三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变,底越大（小）,三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时,它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是,当三角形的底和高同时发生变化时,三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍,底变为原来的1/3,则三角形面积与原来的一样。
这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积,而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下,可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中,我们还会常常用到以下结论： 1、等底等高的两个三角形面积相等．2、若两个三角形的高相等,其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．若两个三角形的底相等,其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍． 3、夹在一组平行线之间的等积变形,如下图,和夹在一组平行线之间,且有公共底边那么；反之,如果,则可知直线平行于。
4、把未知图形转化为三角形、长方形、正方形来求解。
小学奥数平移、旋转、割补
图形变换，是指不改变图形的大小、形状，只通过位置关系的改变（旋转、平移、折叠等），构成新的图形． 【例 1】 右图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10．中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，它们的宽都是2，求草地部分的面积（阴影部分）有多大？【考点】平移、旋转、割补 【难度】2星 【题型】解答【例 2】 如图所示，一个正十二边形的边长是1厘米，空白部分是等边三角形，一共有12个．请算出阴影部分的面积．1cm1cm 1cm【考点】平移、旋转、割补 【难度】3星 【题型】解答【例 3】 如图所示，梯形ABCD 中，AB 平行于CD ，又4BD =，3AC =，5AB CD +=．试求梯形ABCD 的面积．D CBAEDCBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】3星 【题型】解答【例 4】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？FED CBAGFE DCBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答【例 5】 如图2，六边形ABCDEF 为正六边形，P 为对角线CF 上一点，若PBC 、PEF 的面积为3与4，则正六边形ABCDEF 的面积是 ．例题精讲4-2-5.平移、旋转、割补E【考点】平移、旋转、割补 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】迎春杯、中年级、初赛、7题【例 6】 正六边形A1A2A3A4A5A6的面积是2009平方厘米，B1,B2,B3,B4,B5,B6分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是平方厘米．4A 3【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答【关键词】迎春杯、六年级、初赛、14题【例 7】 按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已知甲三角形两条直角边分别为2cm 和4cm ，乙三角形两条直角边分别为3cm 和6cm ，求图中阴影部分的面积．【考点】平移、旋转、割补 【难度】3星 【题型】解答【例 8】 在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段(见右图)，求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几.【考点】平移、旋转、割补 【难度】3星 【题型】解答【例 9】 如下左图，有两个大小相同的完全重叠在一起的正方形，现在以点P 为中心转动一个正方形．当5AB =厘米，13BC =厘米，12CA =厘米时(如下右图)，求右图中的两个正方形相重叠部分的面积(注意，图的尺寸不一定准确)．P【考点】平移、旋转、割补 【难度】3星 【题型】解答【例 10】 如图，在直角三角形中有一个正方形，已知10BD =厘米，7DC =厘米，求阴影部分的面积．【考点】平移、旋转、割补 【难度】4星 【题型】解答【例 11】 四边形ABCD 中,AB =30,AD =48,BC =14,CD =40.又已知∠ABD +∠BDC =900,求四边形ABCD 的面积．DCBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答【例 12】 如图,在三角形ABD 中,当AB 和CD 的长度相等时,请求出“?”所示的角是多少度,给出过程．DCAB30°40°【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答【例 13】 如图所示的四边形的面积等于多少？DB13131212【考点】平移、旋转、割补 【难度】4星 【题型】解答【例 14】 如图，三角形ABC 是等腰直角三角形，P 是三角形外的一点，其中90BPC ∠=︒，10cm AP =，求四边形ABPC 的面积．P DCBAP'PDCBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答【例 15】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC ∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】武汉明心奥数【例 16】 如图，直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，2AD =，3BC =，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90︒至ED ，连接AE 、CE ，则ADE ∆的面积是 ．ED CBAH FEDCBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答【例 17】 如图，正方形ABCD 和DEFG 有一个公共点D ，试比较三角形ADG 和三角形CDE 的面积．GFEDCBAA'GFEDCBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答【例 18】 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．F【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】资优杯【例 19】 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++= 2cm ．EDCBADEC 'A CBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】迎春杯、高年级、复赛、10题【例 20】 如图所示的四边形ABCD 中，45A C ∠=∠=°，105ABC ∠=°，15AB CD ==厘米，连接对角线BD ，30ABD ∠=︒．求四边形ABCD 的面积．DCB A DECBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】第八届、华杯总决赛【例 21】 如图，在ABD ∆中，AB CD =，求“？”的度数．40°30°DCBAD【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答【例 22】 下图三角形ABC 是等腰三角形，AB AC =，120BAC ∠=︒．三角形ADE 是正三角形，点D 在BC边上，:2:3BD DC =．当三角形ABC 的面积是250cm 时，三角形ADE 的面积是多少？EDCBAGP R Q F ECBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答【例 23】 如图，正方形PQRS 有三个顶点分别在ABC ∆的三条边上，BQ QC =．求正方形PQRS 的面积．【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答【例 24】 如下图,△ABC 是边长为1的等边三角形,△BCD 是等腰三角形BD =CD ，顶角∠BDC =1200,∠MDN =600,求△AMN 的周长.120°60°M BD CNA【考点】平移、旋转、割补 【难度】4星 【题型】解答【例 25】 若干个大小相同的正五边形如右图排成环状，下图中所示的只是3个五边形．那么要完成这一圈共需个正五边形．【考点】平移、旋转、割补 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】迎春杯、六年级、初赛、5题【例 26】 如图，ABCD 是矩形，BC =6cm , AB=10cm ,AC 和BD 是对角线，图中的阴影部分以C 为轴旋转一周，则阴影部分扫过的立体的体积是多少立方厘米？（π取3.14）【考点】平移、旋转、割补 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】华杯赛、决赛、第11题【例 27】 一个半径为1厘米的圆盘沿着一个半径为4厘米的圆盘外侧做无滑动的滚动，当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动90度后（如图2），小圆盘运动过程中扫出的面积是（ ）平方厘米。
(小学奥数)平移、旋转、割补
圖形變換，是指不改變圖形的大小、形狀，只通過位置關係的改變（旋轉、平移、折疊等），構成新的圖形．【例 1】右圖是一塊長方形草地，長方形的長是16，寬是10．中間有兩條道路，一條是長方形，一條是平行四邊形，它們的寬都是2，求草地部分的面積（陰影部分）有多大？【考點】平移、旋轉、割補 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 如圖所示，將道路平移後的()()162102112-⨯-=。
【答案】112【例 2】如圖所示，一個正十二邊形的邊長是1釐米，空白部分是等邊三角形，一共有12個．請算出陰影部分的面積．1cm1cm 1cm【考點】平移、旋轉、割補 【難度】3星 【題型】解答【解析】 如圖，將陰影部分分割成一個正六邊形和12個小三角形，再把正六邊形分割成6個正三角形，由於正十二邊形的每個內角為()180********︒⨯-÷=︒，所以陰影小三角形的頂角等於15060230︒-︒⨯=︒，每個頂角的兩邊和與其相鄰的正三角形的底邊所成的角都是306090︒+︒=︒，所以通過如右上圖所示的平移可以組成6個邊長為1釐米的正方形，所以所求陰影部分面積為2166⨯=平方釐米．【答案】6例題精講4-2-5.平移、旋轉、割補【例 3】如圖所示，梯形ABCD 中，AB 平行於CD ，又4BD =，3AC =，5AB CD +=．試求梯形ABCD 的面積．DCBAEDCBA【考點】平移、旋轉、割補 【難度】3星 【題型】解答【解析】 如右圖，將AB 沿AC 平移至CE ,連接BE ,在三角形BDE 中，有4BD =，3BE AC ==，5DE AB CD =+=，有222BD BE DE +=，所以三角形BDE 為直角三角形．由於ABD ABC BCE S S S ∆∆∆==，所以梯形ABCD 的面積與三角形BDE 的面積相等，為13462⨯⨯=． 【答案】6【例 4】如下圖，六邊形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行於ED ，AF 平行於CD ，BC 平行於EF ，對角線FD 垂直於BD ，已知24FD =釐米，18BD =釐米，請問六邊形ABCDEF 的面積是多少平方釐米？FED CBAGFEDCBA【考點】平移、旋轉、割補 【難度】5星 【題型】解答 【解析】 如圖，我們將BCD ∆平移使得CD 與AF 重合，將DEF ∆平移使得ED 與AB 重合，這樣EF 、BC 都重合到圖中的AG 了．這樣就組成了一個長方形BGFD ，它的面積與原六邊形的面積相等，顯然長方形BGFD 的面積為2418432⨯=平方釐米，所以六邊形ABCDEF 的面積為432平方釐米．【答案】432【例 5】如圖2，六邊形ABCDEF 為正六邊形，P 為對角線CF 上一點，若PBC 、PEF 的面積為3與4，則正六邊形ABCDEF 的面積是 ．E【考點】平移、旋轉、割補 【難度】4星 【題型】解答 【關鍵字】迎春杯、中年級、初賽、7題【解析】 這是一道幾何問題，考察同學們對常見圖形性質的認識．正六邊形的六條邊都相等，每個角都是，每一組對邊都互相平行，正六邊形可以看作是由六個正三角形拼成的（如圖（1））．其中正六邊形的面積是正三角形面積的6倍．每相鄰兩個正三角形拼成的是一個平行四邊形．如圖（2），連結BF ，三角形ABF 的面積是平行四邊形ABFO 面積的一半．六邊形ABCDEF 的面積是平行四邊形ABFO 的3倍，故六邊形ABCDEF 的面積是三角形ABF 的面積的6倍． 如圖（3），連結BF ，CE ，三角形BCP 的面積與三角形EFP 的面積和是平行四邊形BFEC 面積的一半．而六邊形ABCDEF 的面積是平行四邊形BFEC 的1.5倍，故六邊形ABCDEF 的面積是三角形BCP 的面積與三角形EFP 的面積和的3倍．图（1）OAB CDEF 图（2）OB ACDEF图（3）E所以，由PBC △、PEF △的面積分別為3與4， 可知正六邊形ABCDEF 的面積是(34)321+⨯=．【答案】21【例 6】正六邊形A1A2A3A4A5A6的面積是2009平方釐米，B1,B2,B3,B4,B5,B6分別是正六邊形各邊的中點；那麼圖中陰影六邊形的面積是 平方釐米．A 3【考點】平移、旋轉、割補 【難度】5星 【題型】解答【關鍵字】迎春杯、六年級、初賽、14題 【解析】 如圖，設62B A 與13B A 的交點為O ，則圖中空白部分由6個與23A OA △一樣大小的三角形組成，只要求出了23A OA △的面積，就可以求出空白部分面積，進而求出陰影部分面積.4A 3A 654連接63A A 、61B B 、63B A設116A B B △的面積為“1”，則126B A B △面積為“1”，126A A B △面積為“2”，那麼636A A B △面積為126A A B △的2倍，為“4”，梯形1236A A A A 的面積為224212⨯+⨯=，263A B A △的面積為“6”，123B A A △的面積為2 根據蝴蝶定理，1263261316B A B A A BB O A O S S ===△△∶∶，故21233612167A OAB A A S S ==+△△， 所以231236A A A A121277A OA S S =△梯形∶∶∶1∶，即23A OA △的面積為梯形1236A A A A 面積的17，故為六邊形123456A A A A A A 面積的114，那麼空白部分的面積為正六邊形面積的136147⨯=，所以陰影部分面積為32009111487⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭(平方釐米). 【答案】1148【例 7】按照圖中的樣子，在一平行四邊形紙片上割去了甲、乙兩個直角三角形．已知甲三角形兩條直角邊分別為2cm 和4cm ，乙三角形兩條直角邊分別為3cm 和6cm ，求圖中陰影部分的面積．【考點】平移、旋轉、割補 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 如右圖，我們將三角形甲與乙進行平移，就會發現平行四邊形面積等於平移後兩個長方形面積之和．所以陰影部分面積為：2346236242211cm ⨯+⨯-⨯÷+⨯÷=（）（）【答案】11【例 8】在一個等腰三角形中，兩條與底邊平行的線段將三角形的兩條邊等分成三段(見右圖)，求圖中陰影部分的面積占整個圖形面積的幾分之幾.【考點】平移、旋轉、割補 【難度】3星 【題型】解答【解析】 陰影總值是一個梯形.我們用三種方法解答.⑴ 割補法從頂點作底邊上的高，得到兩個相同的直角三角形.將這兩個直角三角形拼成一個長方形(見下圖).顯然，陰影部分正好是長方形的13，所以原題陰影部分占整個圖形面積的13.⑵ 拼補法將兩個這樣的三角形拼成一個平行四邊形(下頁左上圖).顯然，圖中陰影面積占平行四邊形面積的13.根據商不變性質，將陰影面積和平行四邊形面積同時除以2，商不變.所以原題陰影部分占整個圖形面積的13.⑶ 等分法將原圖等分成9個小三角形(見右上圖)，陰影部分占3個小三角形，所以陰影部分占整個圖形面積的3193=.注意，後兩種方法對任意三角形都適用.也就是說，將例題中的等腰三角形換成任意三角形，其他條件不變，結論仍然成立. 【答案】13【例 9】如下左圖，有兩個大小相同的完全重疊在一起的正方形，現在以點P 為中心轉動一個正方形．當5AB =釐米，13BC =釐米，12CA =釐米時(如下右圖)，求右圖中的兩個正方形相重疊部分的面積(注意，圖的尺寸不一定準確)．P【考點】平移、旋轉、割補 【難度】3星 【題型】解答【解析】 右圖由左圖旋轉而得，則右圖中的8個空白小三角形都是完全相同的，右圖中重疊部分的面積等於正方形面積減去4個小三角形的面積，從右圖中可以看出正方形的邊長為5131230++=釐米，所以重疊部分的面積為：2304(5122)780-⨯⨯÷=(平方釐米)．【答案】780【例 10】 如圖，在直角三角形中有一個正方形，已知10BD =釐米，7DC =釐米，求陰影部分的面積．【考點】平移、旋轉、割補 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 繞D 點逆時針旋轉CED ∆，使E 與F 重合，則C 點落在AB 邊上的'C 點處，且'C D CD =．則陰影部分面積轉化為直角三角形'BC D 的面積，所以陰影部分的面積為107235⨯÷=平方釐米．【答案】35【例 11】 四邊形ABCD 中,AB =30,AD =48,BC =14,CD =40.又已知∠ABD +∠BDC =900,求四邊形ABCD 的面積．DBA【考點】平移、旋轉、割補 【難度】5星 【題型】解答【解析】 如下圖,以BD 的垂直平分線為對稱軸L ,做△ABD 關於L 的對稱圖形△A 'BD .連接A 'C ．A 1IABCD因為∠ABD +∠BDC =9000而∠ABD =∠A 'DB =900,所以有∠A 'DB +∠BDC =900．那麼A 'CD 為直角三角形,由畢氏定理知2A C '=22AB CD +=2500,所以50A C '=.而在△A 'BC 中,有A 'B =AD =48,有482+142=2500,即A 'B 2+BC 2=A 'C 2,即△A 'BC 為直角三角形．有A CD A BCSS''+130402=⨯⨯114489362+⨯⨯=. 而|ABCD S 四边形A CDA BCSS''=+936=.評注:Ⅰ.本題以∠ABC +∠BDC =900突破口,通過對稱變換構造出與原圖形相關的角三角形Ⅱ.對於這道題我們還可以將△BCD 作L 的對稱圖形.如下：C 1lABCD【答案】936【例 12】 如圖,在三角形ABD 中,當AB 和CD 的長度相等時,請求出“?”所示的角是多少度,給出過程．DCAB?30°40°【考點】平移、旋轉、割補 【難度】5星 【題型】解答【解析】 因為AB =CD ,於是可以將三角形ABC 的邊BA 邊與CD 對齊,如下圖． 在下圖中有∠BCA =110°,所以∠ACD =70°於是∠AC C '=∠ACD +∠DC C '=∠ACD +∠ABC =70°+40°=110°；A 1D C 1CB 1BA即∠AC C '=110°=∠CC D '；又因為C A ''只是CA 移動的變化,所以C A ''=CA ；則ABC A ''是一等腰梯形．於是,∠ADC '=180°-110°=70°；又∠CDC '=30°,所以∠ADC =70°-30°=40°.【答案】40°【例 13】 如圖所示的四邊形的面積等於多少？DB13131212【考點】平移、旋轉、割補 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 題目中要求的四邊形既不是正方形也不是長方形，難以運用公式直接求面積.我們可以利用旋轉的方法對圖形實施變換： 把三角形OAB 繞頂點O 逆時針旋轉，使長為13的兩條邊重合，此時三角形OAB 將旋轉到三角形OCD 的位置.這樣，通過旋轉後所得到的新圖形是一個邊長為12的正方形，且這個正方形的面積就是原來四邊形的面積. 因此，原來四邊形的面積為1212144⨯=.(也可以用畢氏定理) 【答案】144【例 14】 如圖，三角形ABC 是等腰直角三角形，P 是三角形外的一點，其中90BPC ∠=︒，10cm AP =，求四邊形ABPC 的面積．PDCBAP'PDCBA【考點】平移、旋轉、割補 【難度】5星 【題型】解答 【解析】 因為BAC ∠和BPC ∠都是直角，和為180︒，所以ABP ∠和ACP ∠的和也為180︒，可以旋轉三角形APC ，使AC 和AB 重合，則四邊形的面積轉化為等腰直角三角形'AP P ，面積為1010250⨯÷=平方釐米．【答案】50【例 15】 如圖所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 為一邊向ABC ∆外作正方形ACDE ，中心為O ，求OBC ∆的面積．【考點】平移、旋轉、割補 【難度】5星 【題型】解答 【關鍵字】武漢明心奧數 【解析】 如圖，將OAB ∆沿著O 點順時針旋轉90︒，到達OCF ∆的位置．由於90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠， 所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那麼B 、C 、F 三點在一條直線上．由於OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜邊BF 為538+=，所以它的面積為218164⨯=．根據面積比例模型，OBC ∆的面積為516108⨯=． 【答案】10【例 16】 如圖，直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，2AD =，3BC =，將腰CD 以D 為中心逆時針旋轉90︒至ED ，連接AE 、CE ，則ADE ∆的面積是 ．ED CB AH FEDCBA【考點】平移、旋轉、割補 【難度】5星 【題型】解答 【關鍵字】武漢明心奧數 【解析】 如圖所示，將ADE ∆以D 為中心順時針旋轉90︒，到FDC ∆的位置．延長FD 與BC交於H ．由於ABCD 是直角梯形，AD 與FD 垂直，則四邊形ADHB 是長方形，則BH AD =． 由於ADE ∆與FDC ∆面積相等，而FDC ∆的底邊2FD AD ==，高321CH BC BH =-=-=，所以FDC ∆的面積為2121⨯÷=，那麼ADE ∆的面積也為1．【答案】1【例 17】 如圖，正方形ABCD 和DEFG 有一個公共點D ，試比較三角形ADG 和三角形CDE 的面積．GFEDCBAA'GFEDCBA【考點】平移、旋轉、割補 【難度】5星 【題型】解答 【解析】 因為ADC ∠和GDE ∠是直角，所以ADG ∠和CDE ∠是互補角，將三角形ADG 順時針旋轉90︒到達'A DE ∆的位置，則'A 、D 、C 在同一條直線上，且'A D AD CD ==，即D 是'A C 的中點，所以三角形CDE 和三角形'A DE 面積相等，則三角形CDE 和三角形ADG 面積相等．【答案】相等【例 18】 如圖，以正方形的邊AB 為斜邊在正方形內作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交於O ．已知AE 、BE 的長分別為3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面積．F【考點】平移、旋轉、割補 【難度】5星 【題型】解答 【關鍵字】資優杯 【解析】 如圖，連接DE ，以A 點為中心，將ADE ∆順時針旋轉90︒到ABF ∆的位置．那麼90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四邊形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==， 所以梯形AFBE 的面積為：()1353122+⨯⨯=(2cm )． 又因為ABE ∆是直角三角形，根據畢氏定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以21172ABD S AB ∆==(2cm )． 那麼()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm )， 所以1 2.52OBE BDE S S ∆∆==(2cm )．【答案】2.5【例 19】 如圖，已知4cmAB AE ==，BC DC=，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cmAC =，則S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++=2cm ．ED CB A D EC 'A 'CBA【考點】平移、旋轉、割補 【難度】5星 【題型】解答【關鍵字】迎春杯、高年級、復賽、10題【解析】 將三角形ABC 繞A 點和C 點分別順時針和逆時針旋轉90，構成三角形'AEC 和'A DC ，再連接''A C ，顯然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 關於正方形的中心O 中心對稱，在中心對稱圖形''ACA C 中有如下等量關係：''AEC A DC S S ∆∆=；''AEC A DC S S ∆∆=；'CED C DE S S ∆∆=． 所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=． 【答案】50【例 20】 如圖所示的四邊形ABCD 中，45A C ∠=∠=°，105ABC ∠=°，15AB CD ==釐米，連接對角線BD ，30ABD ∠=︒．求四邊形ABCD 的面積．D CB A DEC B A【考點】平移、旋轉、割補 【難度】4星 【題型】解答【關鍵字】第八屆、華杯總決賽【解析】 由45A ∠=°，30ABD ∠=︒，可得1804530105ADB ∠=︒-︒-︒=︒，1053075DBC ∠=︒-︒=︒．將DBC ∆剪下來，翻轉，再貼在BD 邊上，即將B 點粘在D 點上，D 點粘在B 點上，如右上圖所示．則C 點在E 點的位置．由於10575180ADB EDB ∠+∠=︒+︒=︒，所以A 、D 、E 三點在同一條直線上．由於45A E C ∠=∠=∠=°，所以90ABE ∠=︒，即ABE ∆是等腰直角三角形，它的面積就等於四邊形ABCD 的面積，所以四邊形ABCD 的面積為1515112.52⨯=平方釐米． 【答案】112.5【例 21】 如圖，在ABD ∆中，AB CD =，求“？”的度數．40°30°?D C B AD【考點】平移、旋轉、割補 【難度】5星 【題型】解答【解析】 如圖，由於AB CD =，可以將ABC ∆移動到DCE ∆，由於180(3040)110ACB ∠=︒-︒+︒=︒，18011070ACD ∠=︒-︒=︒，所以7040110ACE ∠=︒+︒=︒，又110CED ∠=︒，而AC DE =，所以四邊形ACED 是等腰梯形，有180********ADE CED ∠=︒-∠=︒-︒=︒，703040ADC ∠=︒-︒=︒．點評：通過構造全等三角形來轉化．【答案】40°【例 22】 下圖三角形ABC 是等腰三角形，AB AC =，120BAC ∠=︒．三角形ADE 是正三角形，點D 在BC 邊上，:2:3BD DC =．當三角形ABC 的面積是250cm 時，三角形ADE 的面積是多少？ED C B A G PR QFE C B A【考點】平移、旋轉、割補 【難度】5星 【題型】解答【解析】 以點A 為中心，由三個三角形ABC 可拼成右圖：連結QE 、RF 、GD ，則DEQFRG是一個正六邊形．連結RD 、DQ 、RQ ，顯然RDQ 是一個等邊三角形，並且它的面積是正六邊形面積的一半，所以是三角形ADE 的面積的3倍．由於23150cm PBC ABC S S ∆∆=⨯=，根據“鳥頭定理”，22336cm 3223DQC PBC S S ∆∆=⨯⨯=++， 所以2342cm RDQ PBC DQC S S S ∆∆∆=-⨯=，則2342314cm ADE RDQ S S ∆∆=÷=÷=．【答案】14【例 23】 如圖，正方形PQRS 有三個頂點分別在ABC ∆的三條邊上，BQ QC =．求正方形PQRS 的面積．【考點】平移、旋轉、割補 【難度】5星 【題型】解答 【解析】 如下圖，我們設ABC ∆的面積為1，有161279341()122132111311143a e c db =---+=-⨯-⨯-⨯=， 所以682143a e ==，751143bcd a ++=-=， 所以6875a b c d =++．如下圖左，將三角形c 和三角形d 分別以P 、R 為中心按箭頭方向旋轉90︒，形成由兩個直角三角形連在一起的一個四邊形，如下圖右，b 、c 、d 被虛線分成兩個直角三角形，它們的面積之和為：276292230cm b c d ++=⨯÷+⨯÷=，所以2683027.2(cm )75a =⨯=．【答案】27.2【例 24】 如下圖,△ABC 是邊長為1的等邊三角形,△BCD 是等腰三角形BD =CD ，頂角∠BDC =1200,∠MDN =600,求△AMN 的周長.120°60°MBD C NA【考點】平移、旋轉、割補 【難度】4星 【題型】解答【解析】 如下圖, 延長AC 至P ,使CP =MB ,連接DP .120°60°MBD P C NA則有∠MBD =600+1163ADE DQR DEQSRT S S S ==正六边形001801202-=∠PCD ；CP =BM ；BD =CD ,所以有△MBD ≌△PCD .於是∠MDC =∠PDC ；又因為∠MDB +∠NDC =600,所以∠PDC +∠NDC =∠NDP =600； MD =PD ,在△MDN 、△PND 中,∠NDM =∠NDP ,ND =ND ,MD =PD ,於是△MND ≌△PND .有MN =PN .因為NP =NP =NC +CP ,而AM =AB -MB =AB -CP ,所以AM +AN +MN =(AB -CP )+AN +(NC +CP )=AB +AN +NC =2.即△AMN 的周長為2.【答案】2【例 25】 若干個大小相同的正五邊形如右圖排成環狀，下圖中所示的只是3個五邊形．那麼要完成這一圈共需 個正五邊形．【考點】平移、旋轉、割補 【難度】4星 【題型】解答【關鍵字】迎春杯、六年級、初賽、5題【解析】 如圖，設O 為圓心，A 、B 、C 、D 為五邊形的頂點，連接OA 、OB 、OC .DC B A O從圖中可以看出，OAB △和OBC △是完全相同的，所以OBA OBC ∠=∠，又五邊形內角和為540°，所以正五邊形的每個內角都為5405108÷=°°，即108ABD CBD ∠=∠=°，那麼3601082144ABC ∠=︒-︒⨯=︒，則144272OBA ∠=÷=°°，又OAB OBA ∠=∠，所以18072236AOB ∠=︒-︒⨯=︒所以要用3603610+=°°個正五邊形才能圍成一圈.【答案】10【例 26】 如圖，ABCD 是矩形，BC =6cm , AB=10cm ,AC 和BD 是對角線，圖中的陰影部分以C 為軸旋轉一周，則陰影部分掃過的立體的體積是多少立方釐米？（π取3.14）【考點】平移、旋轉、割補 【難度】3星 【題型】解答【關鍵字】華杯賽、決賽、第11題【解析】 ①設三角形BCO 以CD 為軸旋轉一周所得到的立體的體積是s ，S 等於高為10釐米，底面半徑是6釐米的圓錐的體積減去2個高為5釐米，底面半徑是3釐米的圓錐的體積。
小学奥数教程之 图形的平移、旋转、割补计算题
图形变换，是指不改变图形的大小、形状，只通过位置关系的改变（旋转、平移、折叠等），构成新的图形． 【例 1】 右图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10．中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，它们的宽都是2，求草地部分的面积（阴影部分）有多大？【考点】平移、旋转、割补 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 如图所示，将道路平移后的()()162102112-⨯-=。
【答案】112【例 2】 如图所示，一个正十二边形的边长是1厘米，空白部分是等边三角形，一共有12个．请算出阴影部分的面积．1cm【考点】平移、旋转、割补 【难度】3星 【题型】解答【解析】 如图，将阴影部分分割成一个正六边形和12个小三角形，再把正六边形分割成6个正三角形，由于正十二边形的每个内角为()180********︒⨯-÷=︒，所以阴影小三角形的顶角等于15060230︒-︒⨯=︒，每个顶角的两边和与其相邻的正三角形的底边所成的角都是306090︒+︒=︒，所以通过如右上图所示的平移可以组成6个边长为1厘米的正方形，所以所求阴影部分面积为2166⨯=平方厘米．【答案】6【例 3】 如图所示，梯形ABCD 中，AB 平行于CD ，又4BD =，3AC =，5AB CD +=．试求梯形ABCD 的面积．D CBAEDBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如右图，将AB 沿AC 平移至CE ,连接BE ,在三角形BDE 中，有4BD =，3BE AC ==，5DE AB CD =+=，有222BD BE DE +=，所以三角形BDE 为直角三角形．由于ABD ABC BCE S S S ∆∆∆==，所以梯形ABCD 的面积与三角形BDE 的面积相等，为13462⨯⨯=．【答案】6【例 4】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形例题精讲4-2-5.平移、旋转、割补ABCDEF 的面积是多少平方厘米？FD BAGFE DCBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 如图，我们将BCD ∆平移使得CD 与AF 重合，将DEF ∆平移使得ED 与AB 重合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为2418432⨯=平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．【答案】432【例 5】 如图2，六边形ABCDEF 为正六边形，P 为对角线CF 上一点，若PBC 、PEF 的面积为3与4，则正六边形ABCDEF 的面积是．E【考点】平移、旋转、割补 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】迎春杯、中年级、初赛、7题 【解析】 这是一道几何问题，考察同学们对常见图形性质的认识．正六边形的六条边都相等，每个角都是，每一组对边都互相平行，正六边形可以看作是由六个正三角形拼成的（如图（1））．其中正六边形的面积是正三角形面积的6倍．每相邻两个正三角形拼成的是一个平行四边形．如图（2），连结BF ，三角形ABF 的面积是平行四边形ABFO 面积的一半．六边形ABCDEF 的面积是平行四边形ABFO 的3倍，故六边形ABCDEF 的面积是三角形ABF 的面积的6倍． 如图（3），连结BF ，CE ，三角形BCP 的面积与三角形EFP 的面积和是平行四边形BFEC 面积的一半．而六边形ABCDEF 的面积是平行四边形BFEC 的1.5倍，故六边形ABCDEF 的面积是三角形BCP 的面积与三角形EFP 的面积和的3倍．图（1）OAB CDEF图（2）OB ACDEF图（3）E所以，由PBC △、PEF △的面积分别为3与4， 可知正六边形ABCDEF 的面积是(34)321+⨯=．【答案】21【例 6】 正六边形A1A2A3A4A5A6的面积是2009平方厘米，B1,B2,B3,B4,B5,B6分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是 平方厘米．4A 3【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答【关键词】迎春杯、六年级、初赛、14题 【解析】 如图，设62B A 与13B A 的交点为O ，则图中空白部分由6个与23A OA △一样大小的三角形组成，只要求出了23A OA △的面积，就可以求出空白部分面积，进而求出阴影部分面积.4A 3A 654连接63A A 、61B B 、63B A设116A B B △的面积为“1”，则126B A B △面积为“1”，126A A B △面积为“2”，那么636A A B △面积为126A A B △的2倍，为“4”，梯形1236A A A A 的面积为224212⨯+⨯=，263A B A △的面积为“6”，123B A A △的面积为2根据蝴蝶定理，1263261316B A B A A B B O A O S S ===△△∶∶，故21233612167A OAB A A S S ==+△△， 所以231236A A A A 121277A OA S S =△梯形∶∶∶1∶，即23A OA △的面积为梯形1236A A A A 面积的17，故为六边形123456A A A A A A 面积的114，那么空白部分的面积为正六边形面积的136147⨯=，所以阴影部分面积为32009111487⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭(平方厘米).【答案】1148【例 7】 按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已知甲三角形两条直角边分别为2cm 和4cm ，乙三角形两条直角边分别为3cm 和6cm ，求图中阴影部分的面积．【考点】平移、旋转、割补 【难度】3星 【题型】解答【解析】 如右图，我们将三角形甲与乙进行平移，就会发现平行四边形面积等于平移后两个长方形面积之和．所以阴影部分面积为：2346236242211cm ⨯+⨯-⨯÷+⨯÷=（）（）【答案】11【例 8】在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段(见右图)，求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几.【考点】平移、旋转、割补 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 阴影总值是一个梯形.我们用三种方法解答.⑴ 割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形.将这两个直角三角形拼成一个长方形(见下图).显然，阴影部分正好是长方形的13，所以原题阴影部分占整个图形面积的13.⑵ 拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形(下页左上图).显然，图中阴影面积占平行四边形面积的13.根据商不变性质，将阴影面积和平行四边形面积同时除以2，商不变.所以原题阴影部分占整个图形面积的13.⑶ 等分法将原图等分成9个小三角形(见右上图)，阴影部分占3个小三角形，所以阴影部分占整个图形面积的3193=. 注意，后两种方法对任意三角形都适用.也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立. 【答案】13【例 9】 如下左图，有两个大小相同的完全重叠在一起的正方形，现在以点P 为中心转动一个正方形．当5AB =厘米，13BC =厘米，12CA =厘米时(如下右图)，求右图中的两个正方形相重叠部分的面积(注意，图的尺寸不一定准确)．P【考点】平移、旋转、割补 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 右图由左图旋转而得，则右图中的8个空白小三角形都是完全相同的，右图中重叠部分的面积等于正方形面积减去4个小三角形的面积，从右图中可以看出正方形的边长为5131230++=厘米，所以重叠部分的面积为：2304(5122)780-⨯⨯÷=(平方厘米)．【答案】780【例 10】 如图，在直角三角形中有一个正方形，已知10BD =厘米，7DC =厘米，求阴影部分的面积．【考点】平移、旋转、割补 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 绕D 点逆时针旋转CED ∆，使E 与F 重合，则C 点落在AB 边上的'C 点处，且'C D CD =．则阴影部分面积转化为直角三角形'BC D 的面积，所以阴影部分的面积为107235⨯÷=平方厘米．【答案】35【例 11】 四边形ABCD 中,AB =30,AD =48,BC =14,CD =40.又已知∠ABD +∠BDC =900,求四边形ABCD 的面积．DBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 如下图,以BD 的垂直平分线为对称轴L ,做△ABD 关于L 的对称图形△A 'BD .连接A 'C ．A 1IABCD因为∠ABD +∠BDC =9000而∠ABD =∠A 'DB =900,所以有∠A 'DB +∠BDC =900．那么A 'CD 为直角三角形,由勾股定理知2A C '=22AB CD +=2500,所以50A C '=.而在△A 'BC 中,有A 'B =AD =48,有482+142=2500,即A 'B 2+BC 2=A 'C 2,即△A 'BC 为直角三角形．有A CD A BCSS''+130402=⨯⨯114489362+⨯⨯=. 而|ABCD S 四边形A CD A BC S S ''=+936=.评注:Ⅰ.本题以∠ABC +∠BDC =900突破口,通过对称变换构造出与原图形相关的角三角形Ⅱ.对于这道题我们还可以将△BCD 作L 的对称图形.如下：C 1lABCD【答案】936【例 12】 如图,在三角形ABD 中,当AB 和CD 的长度相等时,请求出“?”所示的角是多少度,给出过程．DCAB?30°40°【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 因为AB =CD ,于是可以将三角形ABC 的边BA 边与CD 对齐,如下图． 在下图中有∠BCA =110°,所以∠ACD =70°于是∠AC C '=∠ACD +∠DC C '=∠ACD +∠ABC =70°+40°=110°；A 1D C 1C B 1BA即∠AC C '=110°=∠CC D '；又因为C A ''只是CA 移动的变化,所以C A ''=CA ；则ABC A ''是一等腰梯形．于是,∠ADC '=180°-110°=70°；又∠CDC '=30°,所以∠ADC =70°-30°=40°.【答案】40°【例 13】 如图所示的四边形的面积等于多少？DB13131212【考点】平移、旋转、割补 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.因此，原来四边形的面积为1212144⨯=.(也可以用勾股定理)【答案】144【例 14】 如图，三角形ABC 是等腰直角三角形，P 是三角形外的一点，其中90BPC ∠=︒，10cm AP =，求四边形ABPC 的面积．P DCBAP'PDCBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 因为BAC ∠和BPC ∠都是直角，和为180︒，所以ABP ∠和ACP ∠的和也为180︒，可以旋转三角形APC ，使AC 和AB 重合，则四边形的面积转化为等腰直角三角形'AP P ，面积为1010250⨯÷=平方厘米．【答案】50【例 15】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC ∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】武汉明心奥数 【解析】 如图，将OAB ∆沿着O 点顺时针旋转90︒，到达OCF ∆的位置．由于90ABC ∠=︒，90AOC ∠=︒，所以180OAB OCB ∠+∠=︒．而OCF OAB ∠=∠， 所以180OCF OCB ∠+∠=︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．由于OB OF =，90BOF AOC ∠=∠=︒，所以BOF ∆是等腰直角三角形，且斜边BF 为538+=，所以它的面积为218164⨯=．根据面积比例模型，OBC ∆的面积为516108⨯=．【答案】10【例 16】 如图，直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，2AD =，3BC =，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90︒至ED ，连接AE 、CE ，则ADE ∆的面积是 ．ED CBAH FEDCBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】武汉明心奥数 【解析】 如图所示，将ADE ∆以D 为中心顺时针旋转90︒，到FDC ∆的位置．延长FD 与BC 交于H ．由于ABCD 是直角梯形，AD 与FD 垂直，则四边形ADHB 是长方形，则BH AD =．由于ADE ∆与FDC ∆面积相等，而FDC ∆的底边2FD AD ==，高321CH BC BH =-=-=，所以FDC ∆的面积为2121⨯÷=，那么ADE ∆的面积也为1．【答案】1【例 17】 如图，正方形ABCD 和DEFG 有一个公共点D ，试比较三角形ADG 和三角形CDE 的面积．GFEDCBAA'GFEDCBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 因为ADC ∠和GDE ∠是直角，所以ADG ∠和CDE ∠是互补角，将三角形ADG 顺时针旋转90︒到达'A DE ∆的位置，则'A 、D 、C 在同一条直线上，且'A D AD CD ==，即D 是'A C 的中点，所以三角形CDE 和三角形'A D E 面积相等，则三角形CDE 和三角形ADG 面积相等．【答案】相等【例 18】 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE的面积．F【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】资优杯 【解析】 如图，连接DE ，以A 点为中心，将ADE ∆顺时针旋转90︒到ABF ∆的位置．那么90EAF EAB BAF EAB DAE ∠=∠+∠=∠+∠=︒，而AEB ∠也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且3AF AE ==，所以梯形AFBE 的面积为：()1353122+⨯⨯=(2cm )．又因为ABE ∆是直角三角形，根据勾股定理，222223534AB AE BE =+=+=，所以21172ABD S AB ∆==(2cm )．那么()17125BDE ABD ABE ADE ABD AFBE S S S S S S ∆∆∆∆∆=-+=-=-=(2cm )，所以12.52OBE BDE S S ∆∆==(2cm )．【答案】2.5【例 19】 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++=2cm ．EDCBADEC 'A 'CBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】迎春杯、高年级、复赛、10题 【解析】 将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形'AEC 和'A DC ，再连接''A C ，显然'AC AC ⊥，'AC A C ⊥，''AC A C AC ==，所以''ACA C 是正方形．三角形'AEC 和三角形'A DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形''ACA C 中有如下等量关系： ''AEC A DC S S ∆∆=；''AEC A DC S S ∆∆=；'CED C DE S S ∆∆=．所以2'''11101050cm 22ABC ACE CDE AEC ACE CDE ACA C S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++==⨯⨯=．【答案】50【例 20】 如图所示的四边形ABCD 中，45A C ∠=∠=°，105ABC ∠=°，15AB CD ==厘米，连接对角线BD ，30ABD ∠=︒．求四边形ABCD 的面积．DCB A DECBA【考点】平移、旋转、割补 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】第八届、华杯总决赛 【解析】 由45A ∠=°，30ABD ∠=︒，可得1804530105ADB ∠=︒-︒-︒=︒，1053075DBC ∠=︒-︒=︒．将DBC ∆剪下来，翻转，再贴在BD 边上，即将B 点粘在D 点上，D 点粘在B 点上，如右上图所示．则C 点在E 点的位置．由于10575180ADB EDB ∠+∠=︒+︒=︒，所以A 、D 、E 三点在同一条直线上．由于45A E C ∠=∠=∠=°，所以90ABE ∠=︒，即ABE ∆是等腰直角三角形，它的面积就等于四边形ABCD 的面积，所以四边形ABCD 的面积为1515112.52⨯=平方厘米．【答案】112.5【例 21】 如图，在ABD ∆中，AB CD =，求“？”的度数．40°30°?DCBAD【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答【解析】 如图，由于AB CD =，可以将ABC ∆移动到D C E ∆，由于180(3040)110A C B ∠=︒-︒+︒=︒，18011070ACD ∠=︒-︒=︒，所以7040110ACE ∠=︒+︒=︒，又110CED ∠=︒，而AC DE =，所以四边形ACED 是等腰梯形，有180********ADE CED ∠=︒-∠=︒-︒=︒，703040ADC ∠=︒-︒=︒． 点评：通过构造全等三角形来转化．【答案】40°【例 22】 下图三角形ABC 是等腰三角形，AB AC =，120BAC ∠=︒．三角形ADE 是正三角形，点D 在BC边上，:2:3BD DC =．当三角形ABC 的面积是250cm 时，三角形ADE 的面积是多少？ECBAGP R Q F EDCA【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答 【解析】 以点A 为中心，由三个三角形ABC 可拼成右图：连结QE 、RF 、GD ，则DEQFRG 是一个正六边形．连结RD 、DQ 、RQ ，显然RDQ 是一个等边三角形，并且它的面积是正六边形面积的一半，所以是三角形ADE 的面积的3倍．由于23150cm PBC ABC S S ∆∆=⨯=，根据“鸟头定理”，22336cm 3223DQC PBC S S ∆∆=⨯⨯=++，所以2342cm RDQ PBC DQC S S S ∆∆∆=-⨯=，则2342314cm ADE RDQ S S ∆∆=÷=÷=． 【答案】14【例 23】 如图，正方形PQRS 有三个顶点分别在ABC ∆的三条边上，BQ QC =．求正方形PQRS 的面积．【考点】平移、旋转、割补 【难度】5星 【题型】解答【解析】 如下图，我们设ABC ∆的面积为1，有161279341()122132111311143a e c db =---+=-⨯-⨯-⨯=，所以682143a e ==，751143bcd a ++=-=， 所以6875a b c d =++．如下图左，将三角形c 和三角形d 分别以P 、R 为中心按箭头方向旋转90︒，形成由两个直角三角形连在一起的一个四边形，如下图右，b 、c 、d 被虚线分成两个直角三角形，它们的面积之和为：276292230cm b c d ++=⨯÷+⨯÷=，所以2683027.2(cm )75a =⨯=．【答案】27.2【例 24】 如下图,△ABC 是边长为1的等边三角形,△BCD 是等腰三角形BD =CD ，顶角∠BDC =1200,∠MDN =600,求△AMN 的周长.120°60°M BD CNA【考点】平移、旋转、割补 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 如下图, 延长AC 至P ,使CP =MB ,连接DP .120°60°M BD C NA则有∠MBD =600+1163ADEDQRDEQSRT SS S ==正六边形01801202-=∠PCD ；CP =BM ；BD =CD ,所以有△MBD ≌△PCD .于是∠MDC =∠PDC ；又因为∠MDB +∠NDC =600,所以∠PDC +∠NDC =∠NDP =600； MD =PD ,在△MDN 、△PND 中,∠NDM =∠NDP ,ND =ND ,MD =PD ,于是△MND ≌△PND .有MN =PN .因为NP =NP =NC +CP ,而AM =AB -MB =AB -CP , 所以AM +AN +MN =(AB -CP )+AN +(NC +CP )=AB +AN +NC =2.即△AMN 的周长为2.【答案】2【例 25】 若干个大小相同的正五边形如右图排成环状，下图中所示的只是3个五边形．那么要完成这一圈共需个正五边形．【考点】平移、旋转、割补 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】迎春杯、六年级、初赛、5题 【解析】 如图，设O 为圆心，A 、B 、C 、D 为五边形的顶点，连接OA 、OB 、OC .DC B A O从图中可以看出，OAB △和OBC △是完全相同的，所以OBA OBC ∠=∠，又五边形内角和为540°，所以正五边形的每个内角都为5405108÷=°°，即108ABD CBD ∠=∠=°，那么3601082144ABC ∠=︒-︒⨯=︒，则144272OBA ∠=÷=°°，又OAB OBA ∠=∠，所以18072236AOB ∠=︒-︒⨯=︒所以要用3603610+=°°个正五边形才能围成一圈.【答案】10【例 26】 如图，ABCD 是矩形，BC =6cm , AB=10cm ,AC 和BD 是对角线，图中的阴影部分以C 为轴旋转一周，则阴影部分扫过的立体的体积是多少立方厘米？（π取3.14）【考点】平移、旋转、割补 【难度】3星 【题型】解答【关键词】华杯赛、决赛、第11题【解析】 ①设三角形BCO 以CD 为轴旋转一周所得到的立体的体积是s ，S 等于高为10厘米，底面半径是6厘米的圆锥的体积减去2个高为5厘米，底面半径是3厘米的圆锥的体积。