高中数学巩固练习 二项式定理理基础
2023年高考数学一轮复习点点练37二项式定理含解析理
点点练37二项式定理一基础小题练透篇1．已知(2x ＋1)n的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，则n ＝( ) A ．7B ．6C ．5D ．42．[2022·上海市月考]在⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 7的二项展开式中，系数最大的是第________项( ) A ．3B ．4C ．5D ．63．若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( ) A ．10B ．20C ．30D ．1204．[2022·福建省莆田市月考]若(2x ＋1)8＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 8(x ＋1)8，则a 3＝( )A ．56B ．448C ．－56D ．－4485．[2022·重庆市检测]若(x 2＋1)(4x ＋1)8＝a 0＋a 1(2x ＋1)＋a 2(2x ＋1)2＋…＋a 10(2x ＋1)10，则a 1＋a 2＋…a 10等于( )A ．2B ．1C ．54D ．－146．[2022·江西省联考]已知(x ＋1)4＋(x －2)8＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 8(x －1)8，则a 3＝( )A ．64B ．48C ．－48D ．－647．[2022·上海市模拟]已知(3x －1x)n展开式各项系数之和为64，则展开式中第5项的二项式系数是________．8．[2022·福建省质检]若二项式(1x＋2x )n的展开式中二项式系数和为64，则该二项展开式的常数项的值为________．二能力小题提升篇1.[2022·辽宁省凤城市月考]在(x －1)n的二项展开式中，仅有第6项的二项式系数最大，则n ＝( )A ．8B ．9C ．10D ．112．[2022·江西省赣抚吉联考](2x －x －1)6的展开式中含x －3项的系数为( )A ．－60B ．－240C ．60D ．2403．[2022·上海市一模]二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 30的展开式中，其中是有理项的项数共有( )A ．4项B ．7项C ．5项D ．6项4．[2022·吉林省吉林市月考]若二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x n的展开式中所有项的系数和为164，则展开式中二项式系数最大的项为( )A ．－52x 3B ．154x 4C ．－20x 3D ．15x 45．[2022·广东省广州市调研]若(1－x )5(1－2x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则a 1＋a 2＋…＋a 9的值为________．6．[2022·浙江嘉兴检测]已知⎝⎛⎭⎪⎫3x 2＋1x n展开式中的各二项式系数的和比各项系数的和小240，则n ＝________；展开式中的系数最大的项是________．三高考小题重现篇1.[2020·北京卷]在(x －2)5的展开式中，x 2的系数为( ) A ．－5B ．5C ．－10D ．102．[2019·全国卷Ⅲ](1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( ) A ．12B ．16C ．20D ．243．[2020·全国卷Ⅰ]⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为( )A ．5B ．10C ．15D ．204．[2020·全国卷Ⅲ]⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 6的展开式中常数项是______(用数字作答).5．[2021·上海卷]若(x ＋a )5，则x 2的系数为80，则a ＝________．6．[2021·浙江卷]已知多项式(x －1)3＋(x ＋1)4＝x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4，则a 1＝________，a 2＋a 3＋a 4＝________．四经典大题强化篇1.已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.求下列各式的值： (1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5； (2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|；(3)a 1＋a 3＋a 5.2．[2022·江苏省镇江市模拟]已知(x 2＋2x)m的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为12.(1)求m 的值；(2)求展开式中所有项的系数和与二项式系数和； (3)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率．点点练37 二项式定理一 基础小题练透篇1．答案：C解析：因为（2x ＋1）n的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，所以C 2n ＝C 3n ，由组合数的性质可得n ＝2＋3＝5.2．答案：C解析：在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 7的展开式中，通项公式为T r ＋1＝C r 7 ·x 7－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r＝（－1）r C r 7x 7－2r ，故第r ＋1项的系数为（－1）r C r7 ，当r ＝0，2，4，6时，系数为正，因为C 07 <C 17 ＝C 67 <C 27 <C 47 ，所以当r ＝4时，系数最大的项是第5项． 3．答案：B解析：根据题意可得2n＝64，解得n ＝6，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 6展开式的通项为C r 6 x 6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝C r 6 x 6－2r，令6－2r ＝0，得r ＝3，所以常数项为：C 36x 6－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＝C 36 ＝20.4．答案：D解析：由题意，（2x ＋1）8＝[2（x ＋1）－1]8＝a 0＋a 1（x ＋1）＋a 2（x ＋1）2＋…＋a 8（x ＋1）8，通项T r ＋1＝C r 8 [2（x ＋1）]8－r×（－1）r ，0≤r ≤8，r ∈N *，令r ＝5，可得a 3＝C 58 ×23×（－1）5＝－448.5．答案：D解析：令x ＝0，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝（0＋1）×（0＋1）8＝1，令x ＝－12，则a 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋1×（－2＋1）8＝54，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝1－54＝－14.6．答案：C解析：由（x ＋1）4＋（x －2）8＝[（x －1）＋2]4＋[（x －1）－1]8＝a 0＋a 1（x －1）＋a 2（x －1）2＋…＋a 8（x －1）8，得a 3·（x －1）3＝C 14 ·（x －1）3·2＋C 58 ·（x －1）3·（－1）5，∴a 3＝8－C 58 ＝－48.故选C. 7．答案：15解析：取x ＝1代入二项式得⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1x n＝（3－1）n ＝2n＝64，解得n ＝6，第5项的二项式系数为C 46 ＝15.8．答案：240解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2x n展开式的二项式系数和为2n＝64，解得n ＝6，故展开式中第r ＋1项为：T r ＋1＝C r6 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 6－r （2x ）r ＝C r 6 2r x 3r2－6，r ＝0，1， (6)令3r 2－6＝0，得r ＝4，所以展开式中的常数项为T 5＝C 46 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2()2x 4＝15×16＝240. 二 能力小题提升篇1．答案：C解析：因为在（x －1）n的二项展开式中，仅有第6项的二项式系数最大，即C 5n 最大，所以n ＝10.2．答案：C解析：二项式（2x －x －1）6的展开式T r ＋1＝C r 6 ·（2x ）6－r ·（－x －1）r ＝（－1）r ·26－r·C r6 ·x 6－3r2，当r ＝4，此时T 5＝60x －3，可得（2x －x －1）6展开式中x －3项的系数为60. 3．答案：D解析：二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 30的展开式中，通项公式为C r 30 ·（x ）30－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C r30·x 15－56r ，0≤r ≤30，∴r ＝0，6，12，18，24，30时满足题意，共6项． 4．答案：A解析：令x ＝1可得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝164＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－126，所以n ＝6，展开式有7项，所以二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 6展开式中二项式系数最大的为第4项T 4＝（－1）3C 36 ⎝ ⎛⎭⎪⎫126－3x 3＝－52x 3.5．答案：－1解析：由条件得：在等式左右两边取x ＝0，计算得a 0＝1，令x ＝1，计算得a 0＋a 1＋…＋a 9＝0，于是a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1.6．答案：4 108x 5解析：⎝⎛⎭⎪⎫3x 2＋1x n展开式中，各二项式系数的和比各项系数的和小240，即2n－（3＋1）n＝－240，化简得22n －2n －240＝0，解得2n ＝16或2n＝－15（不合题意，舍去），所以n ＝4.所以⎝⎛⎭⎪⎫3x 2＋1x 4＝81x 8＋4×27x 5＋6×9x 2＋4×3x ＋1x 4，展开式中的系数最大的项是108x 5.三 高考小题重现篇1．答案：C解析：由二项式定理得（x －2）5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5 （x ）5－r （－2）r ＝C r5 （－2）rx 5－r2，令5－r 2＝2，得r ＝1，所以T 2＝C 15 （－2）x 2＝－10x 2，所以x 2的系数为－10.2．答案：A解析：展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成，则x 3的系数为C 34 ＋2C 14 ＝4＋8＝12.3．答案：C解析：要求⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2x （x ＋y ）5的展开式中x 3y 3的系数，只要分别求出（x ＋y ）5的展开式中x 2y 3和x 4y 的系数再相加即可，由二项式定理可得（x ＋y ）5的展开式中x 2y 3的系数为C 35 ＝10，x 4y 的系数为C 15＝5，故⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2x （x ＋y ）5的展开式中x 3y 3的系数为10＋5＝15.4．答案：240解析：展开式的通项为T r ＋1＝C r6 （x 2）6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r＝2r C r 6 x 12－3r，令12－3r ＝0，解得r ＝4，故常数项为24C 46 ＝240.5．答案：2解析：（x ＋a ）5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5 x 5－r a r，令5－r ＝2，得r ＝3，则C 35 a 3＝80，解得a ＝2.6．答案：5 10解析：（x －1）3＝x 3－3x 2＋3x －1， （x ＋1）4＝x 4＋4x 3＋6x 2＋4x ＋1， 所以a 1＝1＋4＝5，a 2＝－3＋6＝3，a 3＝3＋4＝7，a 4＝－1＋1＝0，所以a 2＋a 3＋a 4＝10.四 经典大题强化篇1．解析：（1）令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1. （2）令x ＝－1，得－35＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5. 由（2x －1）5的通项T r ＋1＝C r 5 （－1）r ·25－r·x5－r，知a 1，a 3，a 5为负值，所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35＝243. （3）由a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1， －a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35， 得2（a 1＋a 3＋a 5）＝1－35， 所以a 1＋a 3＋a 5＝1－352＝－121.2．解析：（1）展开式的通项为T r ＋1＝C rm·（x 2）m －r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12r＝C r m ·2r ·x 2m －5r 2， ∴展开式中第4项的系数为C 3m ·23，倒数第4项的系数为C m －3m ·2m －3，∴C 3m ·23C m －3m ·2m －3＝12，即12m －6＝12，∴m ＝7. （2）令x ＝1可得展开式中所有项的系数和为37＝2187，展开式中所有项的二项式系数和为27＝128.（3）展开式共有8项，由（1）可得当2m －5r2为整数，即r ＝0，2，4，6时为有理项，共4项，∴由插空法可得有理项不相邻的概率为A 44 A 45 A 88 ＝114.。
2022_2023高中数学第4章计数原理-二项式定理第1课时二项式定理同步练习湘教版选择性必修第一册
4.4 二项式定理第1课时二项式定理A级必备知识基础练1.(1-2x)6展开式中,x3的系数为()A.20B.-20C.160D.-1602.(2022四川南充高二期末)在x-6的二项展开式中,常数项为()A.256B.240C.192D.1603.S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4x-3,则S=()A.x4B.x4+1C.(x-2)4D.x4+44.若(1+3x)n(n∈N+)的二项展开式中,第三项的二项式系数为6,则第四项的系数为()A.4B.27C.36D.1085.1-(1+x)6展开式中x2的系数为()A.-5B.5C.15D.306.在x2-9的二项展开式中,第4项的二项式系数是,第4项的系数是.7.x3+6的展开式中x6的系数为-160,则a= .8.(2022江苏泰州高二期末)已知n的二项展开式中,第2项与第4项的二项式系数之比为1∶12.(1)求正整数n的值;(2)求二项展开式中的常数项.B级关键能力提升练9.使3x+n(n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的n为()A.4B.5C.6D.710.(2022河南名校联盟高二期中)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x3的系数为15,则a的值为()A. B.C. D.111.(多选题)若二项式x+6展开式中的常数项为15,则实数m的值可能为()A.1B.-1C.2D.-212.(多选题)(2022山东菏泽十二校高二期中)在2x-4的展开式中,有理项为()A.16x4B.8x2C.24xD.13.(多选题)(2022福建龙岩高二期中)若二项式x-n的展开式中含x2的项,则n的取值可能为()A.6B.8C.10D.1414.对于二项式+x3n(n∈N+),有以下四种判断:①存在n∈N+,展开式中有常数项;②对任意n∈N+,展开式中没有常数项;③对任意n∈N+,展开式中没有x的一次项;④存在n∈N+,展开式中有x的一次项.其中正确的是()A.①③B.②③C.②④D.①④15.若x+n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为.16.已知n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162,求:(1)n的值;(2)展开式中含x3的项;(3)二项展开式的常数项;(4)二项展开式的所有有理项.C级学科素养创新练17.(2022安徽滁州高二期中)(1)求证:32n+3+40n-27(n∈N+)能被64整除;(2)求+…+除以9的余数.参考答案4.4二项式定理第1课时二项式定理1.D(1-2x)6展开式的通项为T r+1=·(-2x)r=(-2)r··x r,则x3的系数为(-2)3·=-160.故选D.2.B x-6二项展开式的通项为T r+1=x6-r-r=(-2)r.令6-r=0,解得r=4,所以常数项为T4+1=x0·(-2)4=240,故选B.3.A S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1=(x-1)4+(x-1)3+(x-1)2+(x-1)+=[(x-1)+1]4=x4,故选A.4.D(1+3x)n二项展开式的通项为T r+1=(3x)r.由=6,得n=4,则T4=·(3x)3,故第四项的系数为33=108.5.A由于(1+x)6二项展开式的通项为T r+1=x r.当r=2时,x2的系数为=15;当r=3时,x3的系数为=20,故1-(1+x)6展开式中x2的系数为15-20=-5.故选A.6.84-T r+1=·(x2)9-r·-r=-r··x18-3r.当r=3时,T4=-3··x9=-x9,所以第4项的二项式系数为=84,项的系数为-.7.-2x3+6的二项展开式的通项为T r+1=·a r·x18-4r.令18-4r=6,解得r=3.可得展开式中x6的系数为·a3=-160,则a=-2.8.解(1)∵第2项与第4项的二项式系数之比为1∶12,∴=1∶12,即,化简可得n2-3n-70=0,解得n=10或n=-7(舍去).(2)由(1)得二项展开式的通项为T r+1=·()10-r-r=(-2)r.令=0,则r=2,∴常数项为第3项,即T3=(-2)2=180.9.B由题得,T r+1=(3x)n-r r=.当T r+1是常数项时,n-r=0,当r=2,n=5时,成立.故最小的n为5.10.C(1+ax)(1+x)5的展开式中含x3的项为1×x3+ax×x2=(10+10a)x3,所以10+10a=15,解得a=,故选C.11.AB x+6二项展开式的通项为T r+1=x6-r·r=m r.令6-r=0,得r=4.故常数项为m4=15,m4=1,解得m=±1.故选AB.12.ACD2x-4的二项展开式的通项为T r+1=(2x)4-r-r=·24-r·(-1)r.因为4-∈Z,且0≤r≤4,所以r=0,2,4.当r=0时,T1=24x4=16x4,故A正确;当r=2时,T3=·22·(-1)2x=24x,故C正确;当r=4时,T5=·20·(-1)4x-2=,故D正确.故选ACD.13.BD x-n的二项展开式的通项为T r+1=·x n-r·(-x-2)r=(-1)r··x n-3r.由题意知可得r=∈N,故n=3r+2,r∈N,故n是被3除余2的正整数,故8,14符合题意.故选BD.14.D的二项展开式的通项为T r+1=x4r-n,由通项公式可知,当n=4r(k∈N+)和n=4r-1(k∈N+)时,展开式中分别存在常数项和一次项.15.56由题意知,,则n=8.∵T r+1=·x8-r·r=·x8-2r,当8-2r=-2时,可得r=5,∴的系数为=56.16.解(1)n的二项展开式的通项为T r+1=)n-r-r=(-2)r(0≤r≤n).由题意可得,4-(-2)=2n(n-1)+2n=2n2=162,解得n=9或n=-9(舍去).(2)由(1)可得n展开式的通项为T r+1=(-2)r(0≤r≤9).令=3,可得r=1,则含x3的项为T2=-18x3.(3)令=0,可得r=3,则二项展开式的常数项为(-2)3=-672.(4)求展开式的有理项,则为整数,即r为奇数.因为0≤r≤9,可得r=1,3,5,7,9,则二项展开式中的所有有理项为T2=-18x3,T4=-672,T6=-4032x-3,T8=-4608x-6,T10=-512x-9.17.(1)证明由题得,32n+3+40n-27=3×(8+1)n+1+40n-27=3×(·8n+1+…+·8+)+40n-27=3×(·8n+1+…+·82)+24(n+1)+3+40n-27=3×82×(·8n-1+…+)+64n,故原式能被64整除.(2)解由题得,(1+x)29=·x+·x2+·x3+…+·x29,令x=1,得+…+=229-1=4×(23)9-1=4×(9-1)9-1=4×(×99-×98+…+×91-×90)-1=4×(×99-×98+…-×92+×9)-4-1=9×[4×(×98-×97+…-×9+)-1]+4,故原式除以9的余数是4.。
二项式定理-高考数学复习
＝59.
目录
解题技法
赋值法的应用
（1）对形如（ ax ＋ b ） n ，（ ax 2 ＋ bx ＋ c ） m （ a ， b ， c
∈R， m ， n ∈N * ）的式子求其展开式的各项系数之和，只
需令 x ＝1即可；
（2）对（ ax ＋ by ） n （ a ， b ∈R， n ∈N*）的式子求其展开式各项
n ）， g （ r ）≠0，则：
（1） h （ r ）＝0⇔ Tr ＋1是常数项；
（2） h （ r ）是非负整数⇔ Tr ＋1是整式项；
（3） h （ r ）是负整数⇔ Tr ＋1是分式项；
（4） h （ r ）是整数⇔ Tr ＋1是有理项.
目录
2. 两个常用公式
（1） C0 ＋ C1 ＋ C2 ＋…＋ C ＝2 n ；
PART
2
目录
二项式中的特定项及系数问题
【例1】
1
（1）（2 x － ）5的展开式中 x 的系数是（
A. －40
B. 40
C. －80
D. 80
）
1
解析：（1）（2 x － ）5展开式的通项公式为 Tr ＋1＝ 5 （2 x ）5
－ r （－ 1 ） r ＝（－1） r 25－ r x 5－2 r （ r ＝0，1，…，5），令5
理数的项的个数是
16 2
，系数为有
5 .
解析：由二项展开式的通项公式可知 Tr ＋1＝ C9 ·
（ 2 ）9－ r ·xr ， r
∈N，0≤ r ≤9，当项为常数项时， r ＝0， T 1＝ C90 ·
（ 2 ）9·x 0＝
（ 2 ）9＝16 2 .当项的系数为有理数时，9－ r 为偶数，可得 r ＝
二项式定理专题训练——2023届高三数学一轮复习
二项式定理专项训练一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 6的展开式中，含x 4项的系数为( ) A ．160B ．192C ．184D ．1862．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 的展开式中第3项是常数项，则n ＝( ) A ．6B ．5C ．4D ．33．(1＋3x )2＋(1＋2x )3＋(1＋x )4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝( )A ．49B ．56C ．59D ．644．(x ＋y )(2x －y )6的展开式中x 4y 3的系数为( )A ．－80B ．－40C ．40D ．805．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2n 的展开式中所有项的系数和等于1256，则展开式中项的系数的最大值是( )A ．72B ．358C ．7D ．70 6．多项式(x 2＋1)(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)展开式中x 3的系数为( )A ．6B ．8C ．12D ．137．(1＋x ＋x 2＋x 3)4的展开式中，奇次项系数的和是( )A ．64B ．120C ．128D ．256二、选择题：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．8．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －ax 2n (a <2)的展开式中第3项的二项式系数为45，且展开式中各项系数和为1 024，则下列说法正确的是( )A ．a ＝1B ．展开式中偶数项的二项式系数和为512C ．展开式中第6项的系数最大D ．展开式中的常数项为459．关于多项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －24的展开式，下列结论中正确的有( ) A ．各项系数之和为0B ．各项系数的绝对值之和为256C ．存在常数项D ．含x 项的系数为－4010．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》给出了著名的杨辉三角，以下关于杨辉三角的猜想中正确的有( )A ．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：C m n ＝C n －m nB ．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：C k n ＋1＝C k －1n ＋C k n C ．由“n 行所有数之和为2n ”猜想：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2nD ．由“111＝11,112＝121,113＝1 331”猜想115＝15 101 051三、填空题：11.已知(x ＋1)n 的二项式系数和为128，则C 0n －C 1n 2＋C 2n 4＋…＋C n n (－2)n ＝________．12．若(1＋2x )2 022＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 022x 2 022(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 02222 022的值为________．13．已知(33＋2x )n (n ∈N ＋，1≤n ≤12)的展开式中有且仅有两项的系数为有理数，试写出符合题意的一个n 的值________．四、解答题：14．在(1＋x )5＋(1－2x )6的展开式中，（1）所有项的系数和（2）含x 4的项的系数15．已知(x ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a x －15的展开式中的常数项为13 （1）则实数a 的值（2）展开式中的各项系数之和。
高中数学二项式定理基础练习题
高中数学二项式定理基础练习题1.在展开式(x-3)^10中，x^6的系数为9C10.2.若(x-1)^n展开式的第4项为含x^3的项，则n等于8.3.在展开式(x^2-2x)^9中，x^9的系数是-252.4.在展开式(1/3x - 1)^12中，常数项为-2205/2.5.若(x^3 + 1/x)^n的展开式中的常数项为84，则n=6.6.已知在展开式(1/x^2 - 1/2x)^n中，第9项为常数项，则n的值为8.展开式中x^5的系数为-1260.7.(1-x)^13的展开式中系数最小的项是第7项。
8.在展开式(1-x^3)(1+x)^10中，x^5的系数为-297.9.若(x+3y)^n展开式的系数和等于(7a+b)^10展开式中的二项式系数之和，则n的值为15.10.在展开式(1/3x - 1)^4中，常数项为1/81.11.在二项式展开式(a-b)^10中，系数最小项是C^10_5.12.设(1+x)+(1+x)^2+(1+x)^3+…+(1+x)^n=a+a1x+a2x^2+…+anx^n，当a+a1+a2+…+an=254时，求n的值为6.13.在二项式展开式(1-2x)^6中，所有项的系数之和为0.14.(1-x)^10的展开式中，中间项是第6项，为C^10_5 *x^5.其余各项的系数和为0，因为展开式中x的次数总和为10，而每个二项式都有一个正次幂和一个负次幂，相加后系数和为0.展开式中系数最大的项是第1项，为1.15.已知(1-2x+3x^2)^7=a+a1x+a2x^2+…+a13x^13+a14x^14，则a1+a2+…+a14=0，因为展开式中x的次数总和为14，而每个二项式都有一个正次幂和一个负次幂，相加后系数和为0.a1+a3+a5+…+a13=C^7_1 * (-2)^1 + C^7_3 * (-2)^3 +C^7_5 * (-2)^5 + C^7_7 * (-2)^7 = -1120.a1+a2+…+a14=C^7_0 * 1 + C^7_1 * (-2) + C^7_2 * 3 + …+ C^7_14 * (-2)^7 = -2187.。
高考数学一轮复习---二项式定理知识点与题型复习
二项式定理知识点与题型复习一、基础知识1.二项式定理(1)二项式定理：(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)(2)通项公式：T k＋1＝C k n a n－k b k，它表示第k＋1项；(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C0n，C1n，…，C n n.2.二项式系数的性质注：(1)项数为n＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.二项式系数与项的系数的区别二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关.如(a＋bx)n的二项展开式中，第k＋1项的二项式系数是C k n，而该项的系数是C k n a n－k b k.当然，在某些二项展开式中，各项的系数与二项式系数是相等的.二、考点解析考点一二项展开式中特定项或系数问题考法(一)求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例1、(1)522⎪⎭⎫⎝⎛+xx的展开式中x4的系数为()A.10B.20C.40D.80(2)若(2x－a)5的二项展开式中x3的系数为720，则a＝________.(3)已知5⎪⎭⎫⎝⎛+xax的展开式中x5的系数为A，x2的系数为B，若A＋B＝11，则a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤第一步，利用二项式定理写出二项展开式的通项公式T r＋1＝C r n a n－r b r，常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错)；第二步，根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r；第三步，把r代入通项公式中，即可求出T r＋1，有时还需要先求n，再求r，才能求出T r＋1或者其他量.考法(二)求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例2、(1)(1－x)6(1＋x)4的展开式中x的系数是()A.－4B.－3C.3D.4(2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________.[解题技法]求形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，根据二项式定理把(a＋b)m与(c＋d)n分别展开，并写出其通项公式；第二步，根据特定项的次数，分析特定项可由(a＋b)m与(c＋d)n的展开式中的哪些项相乘得到；第三步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.考法(三)求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量例3、(1)(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为()A.10B.20C.30D.60(2)将344⎪⎭⎫⎝⎛-+xx展开后，常数项是________.[解题技法]求形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤第一步，把三项的和a＋b＋c看成是(a＋b)与c两项的和；第二步，根据二项式定理写出[(a ＋b )＋c ]n 的展开式的通项；第三步，对特定项的次数进行分析，弄清特定项是由(a ＋b )n －r 的展开式中的哪些项和c r 相乘得到的； 第四步，把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 跟踪训练1.在(1－x 3)(2＋x )6的展开式中，x 5的系数是________.(用数字作答)3.5212⎪⎭⎫⎝⎛++x x (x ＞0)的展开式中的常数项为________.考点二 二项式系数的性质及各项系数和[典例精析](1)若531⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是( ) A.63x B.4x C.4x 6x D.4x或4x 6x(2)若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-12的展开式中含x 的项为第6项，设(1－3x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则a 1＋a 2＋…＋a n的值为________.(3)若(a ＋x )(1＋x )4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________.[解题技法] 1.赋值法的应用二项式定理给出的是一个恒等式，对于x ，y 的一切值都成立.因此，可将x ，y 设定为一些特殊的值.在使用赋值法时，令x ，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”，有时也取其他值.如： (1)形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R )的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x ＝1即可. (2)形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可. 2.二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法 若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则f (x )的展开式中 (1)各项系数之和为f (1).(2)奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2.(3)偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.跟踪训练1.已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝()A.1B.243C.121D.1222.若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________.3.已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为____.考点三二项展开式的应用例、设a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，则a＝()A.0B.1C.11D.12[解题技法]利用二项式定理解决整除问题的思路(1)要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.(2)用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开.但要注意两点：①余数的范围，a＝cr＋b，其中余数b∈[0，r)，r是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；②二项式定理的逆用.跟踪训练]1.使得多项式81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1能被5整除的最小自然数x为()A.1B.2C.3D.4课后作业1.3422⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中的常数项为( ) A.－32 B.32 C.6 D.－6 2.设(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，则a 2＋a 4a 1＋a 3的值为( )A.－6160B.－122121C.－34D.－901213.若二项式72⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式的各项系数之和为－1，则含x 2项的系数为( )A.560B.－560C.280D.－2804.已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( ) A.29 B.210 C.211 D.2125.二项式9221⎪⎭⎫⎝⎛-x x 的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( )A.－671B.671C.672D.673 6.在(1－x )5(2x ＋1)的展开式中，含x 4项的系数为( )A.－5B.－15C.－25D.257.若(x 2－a )101⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中x 6的系数为30，则a 等于( )A.13B.12C.1D.2 8.若(1＋mx )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，且a 1＋a 2＋…＋a 6＝63，则实数m 的值为( ) A.1或3 B.－3 C.1 D.1或－3 9.(2x －1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)10.9⎪⎭⎫ ⎝⎛+x a x 的展开式中x 3的系数为－84，则展开式的各项系数之和为________.11.511⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x 展开式中的常数项为________.12.已知nx x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+41的展开式中，前三项的系数成等差数列. (1)求n ；(2)求展开式中的有理项；(3)求展开式中系数最大的项.。
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选修 2-3 1.3.1 二项式定理一、选择题1．二项式 (a ＋ b)2n 的展开式的项数是 ( )A ．2nB ．2n ＋1C ．2n － 1D ．2(n ＋1)2．(x －y)n 的二项展开式中，第 r 项的系数是 ()A ．C rr ＋1nB ．C nr －1D ．(－ 1) r －1 r －1C ．C n C n．在 － 10 的展开式中， x 6的系数是 ( )3 (x 3)64A ．－ 27C 10B ．27C 106 4C ．－ 9C 10D ．9C 104．(2010 全·国Ⅰ理， 5)(1＋2x)3(1－ 3x)5 的展开式中 x 的系数是 ( )A ．－ 4B ．－ 2C ．2D ．45．在 2x 3＋ 12 n ∈ * 的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是 ( )x (n N )A ．3B ．5C ．8D ．10．在 － 3 ＋ x) 10的展开式中 x 5的系数是 ( )6 (1 x )(1 A ．－ 297 B ．－ 252C ．297D ．2077．(2009 北·京 )在 x 2－1 n的展开式中，常数项为 15，则 n 的一个值可以是x()A ．3B ．4C ．5D ．6a 53的系数为 10，则实数 a 等于8．(2010 陕·西理， 4)(x ＋x ) (x ∈R)展开式中 x ()19．若 (1＋ 2x)6 的展开式中的第 2 项大于它的相邻两项，则 x 的取值范围是()11 1 1A.12＜ x ＜ 5B.6＜x ＜51 21 2C.12＜ x ＜ 3D.6＜x ＜5．在3120的展开式中，系数是有理数的项共有 ()102x － 2A ．4 项B ．5 项C ．6 项D ．7 项二、填空题． ＋ ＋ 2·－ x) 10 的展开式中， x 5 的系数为 ____________． 11 (1 x x ) (1． ＋ 2 － x) 5 的展开式中 x 3的系数为 ________． 12 (1 x) (12 ＋ 1 63 5 ．若 x 的二项展开式中 x 的系数为 ，则 a ＝________(用数字作答 )．13 ax 2． ·宁理，辽 ＋ ＋ 2－1 6 的展开式中的常数项为 ________． 14 (201013)(1x x )(xx)三、解答题15．求二项式 (a ＋2b)4的展开式．16． m 、 n ∈ N * ，f(x)＝ (1＋x)m ＋(1＋x)n 展开式中 x 的系数为 19，求 x 2 的系数的最小值及此时展开式中 x 7 的系数．17．已知在 (3x －1)n 的展开式中，第 6 项为常数项．3(1)求 n ；(2)求含 x 2 的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．118．若x ＋4n 展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最 2 x大的项．1.[答案 ]B2[答案 ] D 3 [ 答案 ] D[ 解析 ]r 10－ r(－ 3) r.令 10－r ＝ 6，∵ T r ＋1 ＝C 10x解得 r ＝ 4.∴系数为 (－4443) C 10＝9C 10. 4[答案 ] C[ 解析 ] (1＋ 2 x)3(1－ 3 x)5＝(1 ＋6 x ＋ 12x ＋ 8x x)(1－3x)5，故(1＋ 2 33 5 3 (－ 3 3 0＝－ 10x ＋ 12x ＝ 2x ，所以 x 的系数为 x) (1－ x) 的展开式中含 x 的项为 1×C 5 x) ＋ 12xC 5 2.5[答案 ] Br3 n － r1 rn － rr 3n － 5r[ 解析 ] T r ＋1＝ C n (2x ) (x 2) ＝ 2·C n x .令 3n －5r ＝0，∵ 0≤r ≤ n ，r 、 n ∈ Z .∴n 的最小值为 5.6[答案 ] D[ 解析 ] x 5 应是 (1＋ x)10 中含 x 5 项与含 x 2 项． ∴其系数为 C 5 ＋ C 2 (－ 1)＝ 207.10107[答案 ] D[ 解析 ] r2 n － r1 rr r 2n －3rr通项 T r ＋ 1＝C 10( x ) (－ x ) ＝ (－ 1) C n x，常数项是 15，则 2n ＝ 3r ，且 C n ＝ 15，验证 n ＝6时， r ＝4 合题意，故选 D.8[答案 ] D [ 解析 ]r r a 5－ rr 5－ r 2r － 5 ，令 2r －5＝3， ∴r ＝ 4，C 5·x ( x ) ＝ C 5·a x4由 C 5·a ＝ 10，得 a ＝2.9[答案 ]AT 2>T 11[ 解析 ] 由C 62x>1∴1＜ x ＜1.T 2>T 3 得 1 2 2C 62x>C 6(2x) 12510[ 答案 ]Ar320－ r－ 1 r 2 r320－ r r20－r[ 解析 ] T r ＋1＝ C 20( 2x) 2 ＝ － 2·( 2) C 20·x ，∵系数为有理数，20－ r∴( 2)r与 2 3 均为有理数，∴ r 能被 2 整除，且 20－ r 能被 3 整除，故 r 为偶数， 20－r 是 3 的倍数， 0≤r ≤ 20.∴ r ＝ 2,8,14,20.11[答案 ] － 16212[ 答案 ] 5[ 解析 ] 解法一： 先 形 (1＋x)2(1 －x)5＝(1 －x)3·(1－ x 2) 2＝ (1－x)3(1 ＋x 4－ 2x 2) ，展开式中 x 3 的系数 －1＋ (－ 2) ·C 1( －1)＝ 5；3331222 1－1)＝ 5.解法二： C 5( －1) ＋C 2 ·C 5(－ 1) ＋C 2C 5( 13[ 答案 ] 232 31 320 35 3[ 解析 ] C 6(x ) ·(ax) ＝ a 3 x＝ 2x ， ∴a ＝2.14[ 答案 ] －51[ 解析 ] (1＋ x ＋x 2)(x － x )61 1 1 ＝(x －x)6＋ x (x － x )6＋x 2(x －x )6，1 6 1 1r 6 rr rr 6 2r∴要找出 (x － x )中的常数 ，x 的系数， x 2 的系数， T r ＋ 1＝C 6x－ (－ 1) x －r＝ C 6( －1) x－，令 6－ 2r ＝0， ∴r ＝ 3，令 6－ 2r ＝－ 1，无解．令 6－ 2r ＝－ 2，∴ r ＝4.∴常数 －34C6＋ C 6＝－ 5. 15[ 解析 ] 根据二 式定理n0 n 1 n －1k n － k kn n(a ＋b) ＝ C n a ＋ C n a b ＋ ⋯＋ C n a b ＋ ⋯＋ C n b n 得40 41 32 22 3 3 4 4 4 3 2 2 3 4(a ＋2b) ＝C 4 a ＋ C 4a (2b)＋ C 4a (2b) ＋ C 4a(2b) ＋ C 4(2b) ＝a ＋8a b ＋ 24a b ＋32ab ＋16b .16[ 解析 ] 由 m ＋ n ＝19，∵m ， n ∈ N *.m ＝1 m ＝2 m ＝ 18∴ ， ， ⋯，n ＝ 1 . n ＝18 n ＝ 1722 2 ＝ 1 2 1 2 2 － 19m ＋171. x 的系数 C m ＋C n 2(m －m)＋ 2 (n －n)＝ m∴当 m ＝9 或 10 ， x2的系数取最小7 的系数 7781，此 xC 9＋C 10＝ 156. 17[ 解析 ] r 3 x) n － r ·(－ 1 r(1)T r ＋1 ＝C n ·( )2 3xr1 n － r1 ·x － 1 ) r＝C n ·(x )·(－332＝( －1)r ·C r ·xn － 2r. n23∵第 6 常数 ，n －2r∴r ＝ 5 时有 ＝ 0， ∴n ＝ 10.3n －2r1(2)令3 ＝2，得 r ＝2( n －6)＝ 2，∴所求的系数为 2 1 2 45 C 10(－ ) ＝4 .210－ 2r∈Z(3)根据通项公式，由题意得：30≤ r ≤ 10r ∈Z10－2r＝ k(k ∈ Z)，则 10－ 2r ＝3k ， 令310－3k 3 即 r ＝2 ＝5－2k.∵r ∈ Z ，∴ k 应为偶数， ∴ k 可取 2,0，－ 2，∴r ＝ 2,5,8，∴ 第 3 项、第 6 项与第 9 项为有理项．21 22 51 5它们分别为 C 10·(－2)·x ，C 10(－2) ，C 8 ·(－1)8·x － 2. 102rn － r1 r[ 解析 ]x) · 4 . 通项为： T r ＋1＝ C n ·( x 22 11 1由已知条件知： C n ＋C n ·2n ·，解得： n ＝ 8.2 ＝ 2C 2 记第 r 项的系数为 t r ，设第 k 项系数最大，则有：t k ≥ t k ＋ 1 且 t k ≥ t k － 1.又 t ＝C r － 1·2－r ＋1，于是有：r8k 1 ·2－k ＋1 k·2－k C 8－≥C 8k 1 ·2－k ＋1k 2 ·2－ k ＋ 2 C 8－≥C 8－8！ × 2≥ 8！( k －1)！ ·(9 －k) ！ ，k ！ (8－k)！ 即8！8！≥( k －1)！ ·(9 －k) ！ × 2.(k － 2)！·(10－ k) ！2≥1，9－ kk∴解得 3≤ k ≤4.12≥.37 ∴系数最大项为第 3 项 T3＝ 7·x5和第 4 项 T4＝7·x4.。
高中数学二项式定理知识点总结
高中数学二项式定理知识点总结一、二项式定理的概念和公式二项式定理是指两个数的整数次幂之和在展开时，任意一个数都可以拆开成两个数相乘的形式。
根据二项式定理，可以得到以下的公式：(a+b)² = a² + 2ab + b²(a-b)² = a² - 2ab + b²(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³对于一般情况下的二项式展开，可以根据组合数的知识得出下列公式：(a+b)ⁿ = C(n,0) * aⁿ+ C(n,1) * aⁿ⁻¹b + C(n,2) * aⁿ⁻²b² + ... + C(n,n) * bⁿ其中，C(n,m)表示从n个元素中取m个元素的组合数。
二、二项式定理的应用1. 计算二项式的展开式利用二项式定理，可以将任意形式的二项式展开成为多项式，从而方便进行计算。
例如，对于 (x+2)³的展开式，根据二项式定理可以得到：(x+2)³ = x³ + 3x²*2 + 3x*2² + 2³= x³ + 6x² + 12x + 82. 求解组合数在概率论、统计学等领域中，经常需要计算组合数。
而组合数实际上就是二项式展开中的系数。
因此，通过二项式定理可以方便地求解组合数。
3. 计算二项式的特定项有时候并不需要将整个二项式展开，只需求解其中的某一项。
例如，对于(x+2)⁵ 的展开式，如果只需要求解其中x⁴ 的系数，可以直接利用二项式定理计算得出，而无需展开整个式子。
4. 解决数学问题在数学建模、求解等问题中，二项式定理也可以被广泛应用。
通过利用二项式定理，可以简化问题的表达和计算，从而更加方便地求解问题。
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【巩固练习】
一、选择题
1．(x －1)10的展开式的第6项的系数是（ ）．
A ．610C
B ．610
C - C ．510C
D ．510C -
2．4(2x +的展开式中x 3的系数是（ ）．
A ．6
B ．12
C ．24
D ．48
3．(1－x 3)(1+x)10的展开式中x 5的系数是（ ）．
A ．－297
B ．－252
C ．297
D ．207
4．n
B Ax x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭（AB≠0）的展开式中，各项都含有x 的奇次幂，则n （ ）． A ．必为偶数 B ．必为奇数 C ．奇偶数均可 D ．不存在这样的正整数 5．二项式10x
⎛ ⎝
的展开式中二项式系数最大的项为（ ） A ．第6项 B ．第5、6项 C ．第7项 D ．第6、7项
6．设1021001210)x a a x a x a x =++++，则(a 0+a 2+a 4+…+a 10)2―(a 1+a 3+…+a 9)2的值
是（ ）
A ．1
B ．―1
C ．0
D ．101) 7．把(x―1)9按x 降幂排列，系数最大的项是（ ）
A ．第四项和第五项
B ．第五项
C ．第五项和第六项
D ．第六项
8．若n
⎛ ⎝
的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A ．―540 B ．―162 C ．162 D ．540
二、填空题
9．9192被100除所得的余数为________．
10．01235(21)n n n n n C C C n C +++++=________． 11．在(x 2+x―1)7(2x+1)4的展开式中，奇数项的系数的和为________。
12．8
展开式中系数最大的项为________。
三、解答题
13．求4
⎛ ⎝的展开式．
14．已知二项式1023x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭： （1）求展开式第四项的二项式系数．
（2）求展开式第四项的系数．
15．在(5x―2y)20的展开式中，第几项的系数最大？第几项的系数最小？ 【答案与解析】
1．【答案】D
【解析】 ∵555610(1)T C x =-，∴系数为510C -。
2．【答案】C
【解析】 (4)442144(2)2r r r
r r r
r r T C x C x -+--+=⋅=⋅⋅，由题意知：
4322
r r r -+=⇒=，则x 3的系数为224224C ⋅=。
3．【答案】D
【解析】 (1－x 3)(1+x)10=(1+x)10－x 3(1+x)10展开式中含x 5项的系数为：521010207C C -=。
4．【答案】B
【解析】 展开式中的一般项为21()r r n r r n r r n r r n n B T C Ax C A B x x ---+⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭
，要使n －2r 都是奇数，必须使n 为奇数。
5．【答案】A
【解析】 10为偶数，故10
612T T +=为二项式系数最大的项。
6．【答案】A
【解析】 令x=1，―1，则10012101)a a a a ++++=，
100123101)a a a a a -+-++=，
∴(a 0+a 2+a 4+…+a 10)2―(a 1+a 3+…+a 9)2
=(a 0+a 1+a 2+…+a 10)(a 0―a 1+a 2―a 3+…+a 10)
10101)1)1=⨯=.
7．【答案】B
【解析】 (x―1)9的展开式共有10项，中间项第五、第六项的二项式系数相等且最大，
(x―1)9的展开式的各项系数的绝对值等于它的二项式系数，且展开式的奇数项
的系数为正，偶数项的系数为负，所以第五项的系数最大。
8．【答案】A
【解析】 令x=1，2n =64⇒n=6。
由
6663221663(1)(1)3r
r
r
r r r r r T C x r x rC x -----+=⋅⋅⋅-⋅=-，令3―r=0⇒r=3。
所以常数项为33632027540C -=-⨯=-。
9．【答案】81
【解析】 利用9192=(100－9)92的展开式，或利用(90+1)92的展开式解题
10．【答案】(n+1)·2n
【解析】 设0113(21)(21)n n n n n n S C C n C n C -=+++-⋅++，
∴011(21)(21)3n n n n n n S n C n C C C -=++-+++。
∴01222(1)()2(1)2n n n n n n S n C C C C n =++++
+=+⋅。
∴S=(n+1)·2n 。
11．【答案】40
【解析】 设(x 2+x―1)7(2x+1)4=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 18x 18，则令x=1，得a 0+a 1+…+a 18=34=81 ①。
令x=－1，得a 0+a 2+…+a 18―(a 1+a 3+…+a 17)=―1 ②。
①+②得2(a 0+a 2+…+a 18)=80，
∴a 0+a 2+…+a 18=40。
即展开式中奇数项系数之和为40。
12．【答案】70x
【解析】 此二项展开式中的二项式系数与系数相等，所以第5项的系数最大。
4
44
5870T C x =⋅=。
13．
【解析】41131404213222244(3)33x x C x C x x --⎛=+=⋅+⋅⋅ ⎝
1
32213422224442121338110854C x x C x x
C x x x x x ---+⋅⋅+⋅+=++++。
14．
【解析】1023x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
的展开式通项是1011023r r r r T C x -+⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭（r=0，1，…，10）。
（1）展开式的第四项的二项式系数为310120C =。
（2）展开式的第四项的系数为3
3
71023777603C ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭。
15．【解析】T k+1的系数为20205
(2)k k k C --，所以，当k 为偶数时，系数才有可能最大；k 为
奇数时，系数才有可能最小。
下面研究T r+1的系数的绝对值。
设20120(1)1202020120(1)120205252525
2k k k k k k k k k k k k C C C C ------+-++⎧≥⎪⎨≥⎪⎩， 由此可得25215220
1k k k k ⎧≥⎪⎪-⎨⎪-≥⎪+⎩。
又k ∈Z ，且k≥0，∴k=5，或k=6。
∴展开式的第7项的系数最大，第6项的系数最小。