高中数学二项式定理的应用-证明整除货求余数练习题

二项式定理.版块四.二项式定理的应用1证明整除或求余数.教师版普通高中数学复习讲义Word版

1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项011222...n n n n nn n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr nT C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．知识内容证明整除或求余数④通项公式是()n a b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r rr n T C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr rn nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,nn n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ．当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n m n n C C -=得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅， ()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．， ()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1knn n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1nn C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n nC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项．这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项式定理的应用1证明整除或者求余数【例1】利用二项式定理证明：22389n n +--是64的倍数．典例分析【考点】证明整除或求余数【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】64是8的平方，问题相当于证明22389n n +--是28的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形221139(81)n n n +++==+，将其展开后各项含有8k ，与28的倍数联系起来．∵22389n n +--11989(81)89n n n n ++=--=+--11121118C 8C 8C 8189n nn nn n n n +-+++=+⋅++⋅+⋅+-- 1112118C 8C 88(1)189n n n n n n n +-++=+⋅++⋅+++--1112118C 8C 8n nn n n +-++=+⋅++⋅112111(8C 8C )64n n n n n +--++=+⋅++⋅是64的倍数．【例2】若*n ∈N ，证明：2332437n n +-+能被64整除．【考点】证明整除或求余数【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】考虑先将233n +拆成与8的倍数有关的和式，再用二项式定理展开．2332437n n +-+22332437n n +=⋅-+1392437n n +=⋅-+ 13(81)2437n n +=⋅+-+011211111113[8888]2437n n n n n n n n n n C C C C C n +-++++++=⋅⋅+⋅+⋅++⋅+-+1121113[888(1)81]2437n n n n n C C n n +-++=⋅+⋅+⋅+++⋅+-+1121121113[8888(89)]2437n n n n n n n C C C n n +--+++=⋅+⋅+⋅++⋅++-+211223111138[888]3(89)2437n n n n n n n C C C n n ----+++=⋅+⋅+⋅+++⋅+-+1122311364[888]64n n n n n C C ---++=⋅+⋅+⋅++，∵18n -，1218n n C -+⋅，2318n n C -+⋅，…均为自然数， ∴上式各项均为64的整数倍． ∴原式能被64整除．点评：用二项式定理证明整除问题，大体上就是这一模式，先将某项凑成与除数有关的和式，再展开证之．该类题也可用数学归纳法证明，但不如用二项式定理证明简捷．【例3】证明：22(1(1(*)n n n +-∈N 能被12n +整除．【考点】证明整除或求余数【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】∵22(1(1(4(42[(2(2]n n n n n n n ++=++-=++，∴只需证(2(2n n ++能被2整除．而222444(2(22[222]C C n n n n n n n --+-=+⋅⋅+⋅⋅+能被2整除，因此22(1(1(*)n n n +-∈N 能被12n +整除．【例4】证明：2121(1(1(*)n n n +++∈N 能被12n +整除．【考点】证明整除或求余数【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】21212222(1(1(1(1(1]n n n n n n ++++-=+-++--．22(1]n n +--也能被12n +整除．一样的道理，该式子可化为：22(1]2(2]n n n n +-=-，所以也只需证(2]n n +-能被2整除即可．331234(2]]2[(3)(3)]C C C C n n n n n -=+=++综上可知原命题结论成立．【例5】 ⑴3023-除以7的余数________；⑵555515+除以8的余数是__________； ⑶20001991除以310的余数是．【考点】证明整除或求余数【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】⑴将302分解成含7的因数，然后用二项式定理展开，不含7的项就是余数．3023-310(2)3=-10(8)3=-10(71)3=+-01019910101010107773C C C C =++++- 091891010107[77]2C C C =⨯+++-又∵余数不能为负数，需转化为正数 ∴3023-除以7的余数为5 ∴应填：5⑵将5555写成55(561)-，然后利用二项式定理展开． 555515+55(561)15=-+05515454555555555556565615C C C C =-++-+容易看出该式只有55551514C -+=不能被8整除，因此555515+除以8的余数，即14除以8的余数，故余数为6．∴应填：6．⑶200020001991(20009)=-，用二项式定理展开后，易知除了最后一项，其它都能被310整除．因此只需考虑20009除以310的余数．200020002000119991997319982199920002000200020009(101)10(10)(10)(10)(10)1-C C C C =-=+-+-+只需考虑最后3项，不难算出余数为1【例6】 100111-的末尾连续零的个数是（）A ．7B ．5C ．3D ．2【考点】证明整除或求余数【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】10010011(101)=+0100199973982991001001001001001001001010...101010C C C C C C =++++++上述展开式中，最后一项为1；倒数第二项为1000；倒数第三项为495000，末尾有三个0；倒数第四项为16170000，末尾有四个0；依次前面各项末尾至少有四个0．所以100111-的末尾连续零的个数是3．故选C ．【答案】C。

二项式定理的十大应用

二项式定理的十方面应用一、利用二项式定理求展开式的某一项或指定项的系数1.(2012年高考安徽卷理科7)2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是（） ()A 3- ()B 2- ()C 2 ()D 3【答案】D【解析】第一个因式取2x ，第二个因式取21x 得：1451(1)5C ⨯-= 第一个因式取2，第二个因式取5(1)-得：52(1)2⨯-=- 展开式的常数项是5(2)3+-=.2.(2012年高考天津卷理科5)在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为（）（A ）10 （Ｂ）-10 （Ｃ）40 （Ｄ）-40点评：利用二项式定理求展开式的某一项或指定项的系数，实际上就是对二项展开式的通项公式的考查，此类问题是高考考查的重点．3．在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是解：r r r r x T C )1(11111-=-+ ∴要使项的系数最小，则r 必为奇数，且使C r 11为最大，由此得5=r ，从而可知最小项的系数为462)1(5511-=-C 二、利用二项式定理求展开式的系数和1、若2013201322102013...)21(x a x a x a a x ++++=-)(R x ∈，则_______)()()()(20130302010=++++++++a a a a a a a a 。

(用数字作答)解析：在2013201322102013...)21(x a x a x a a x ++++=-中，令0=x ，则10=a ，令1=x ，则1)1(201320043210=-=+++++a a a a a 故)()()()(20130302010a a a a a a a a ++++++++=20130a +201320133210=+++++a a a a a 。

点评：赋值法是解决二项展开式的系数和的有效方法，通过对二项展开式中的字母或代数式赋予允许值，以达到解题目的．三、利用二项式定理求幂指数n1.(2012年高考全国卷理科15)若1()n x x +的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为 .点评：利用二项式定理求幂指数n ，主要是体现了方程思想在二项展开式中的应用，我们只要根据题目条件建立关于n 的方程，即可获解．四．求展开式1．求4)13(x x -的展开式；分析：解决此题，只需要把4)13(x x -改写成4)]1(3[x x -+的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。

二项式定理十大典型例题配套练习

精锐教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：高二课时数： 3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：教学内容1．二项式定理：011()()n n n r n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅.③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n rr n C a b -叫做二项式展开式的通项。

用1r n r rr nT C a b -+=表示。

3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。

()n a b +与()nb a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。

b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。

各项的次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.rnn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈L L5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n nn n n n n C C C C C ++++++=L L ，变形式1221r n nn n n n C C C C +++++=-L L 。

二项式定理.版块四.二项式定理的应用1证明整除或求余数.学生版

1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项011222...n n n n nn n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()na b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r rr nT C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．知识内容证明整除或求余数④通项公式是()n a b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r rr n T C a b -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1rr n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nr rn nn n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T +=r n r rnC a b -()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)n x +的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,nn n n n C C C C ，从函数的角度看r n C 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ．当6n =时，()f r 的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式m n m n n C C -=得到．②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01211,,112n n n n n n C C C -===⋅， ()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．， ()()()()112...2123....1k n n n n n k C k ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...21123...1knn n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，1nn C =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r n C 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n nC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项．这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nnCC-+=．③二项式系数的和为2n ，即012......2r n n nn n n n C C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即0241351......2n n n n n n n C C C C C C -+++=+++=．常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项式定理的应用1证明整除或者求余数【例1】利用二项式定理证明：22389n n +--是64的倍数．典例分析【例2】若*n ∈N ，证明：2332437n n +-+能被64整除．【例3】证明：22(1(1(*)n n n +-∈N 能被12n +整除．【例4】证明：2121(1(1(*)n n n +++∈N 能被12n +整除．【例5】 ⑴3023-除以7的余数________；⑵555515+除以8的余数是__________； ⑶20001991除以310的余数是．【例6】100的末尾连续零的个数是（）111A．7 B．5 C．3 D．2。

高中数学-二项式定理精讲精练

高中数学-二项式定理精讲精练1．二项式定理（1）二项式定理011()C C C C ()n n n k n k k n nn n n n a b a ab a b b n --*+=+++++∈L L N ，这个公式叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做()na b +的二项展开式，共有____________项，其中各项的系数_____________叫做二项式系数.说明：二项式定理中的,a b 既可以取任意实数，也可以取任意的代数式，还可以是别的.在二项式定理中，如果设1,a b x==，则得到公式：0122(1)C C C C C n k k n n n n n n n x x x x x +=++++++L L .（2）二项展开式的通项二项展开式中的C kn kk n ab -叫做二项展开式的通项，用1k T +表示，即通项为展开式的第__________项：1C k n k k k n T a b -+=.2．“杨辉三角”与二项式系数的性质（1）杨辉三角当n 依次取1,2，3，…时，()na b +展开式的二项式系数可以表示成如下形式：该表称为“杨辉三角”，它蕴含着许多规律：例如：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两个数字之_______. （2）二项式系数的性质①对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数_________.事实上，这一性质可直接由公式C C m n mn n -=得到.②增减性与最大值.当12n k +<时，二项式系数是逐渐增大的；当12n k +>时，二项式系数是逐渐减小的，因此二项式系数在中间取得最大值.当n 是偶数时，中间的一项的二项式系数_________最大；当n 是奇数时，中间的两项的二项式系数_________相等且最大.③各二项式系数的和.已知0122(1)C C C C C n k k n nn n n n n x x x x x +=++++++L L .令1x =，则0122C C C C n nn n n n =++++L .也就是说，()na b +的展开式的各个二项式系数的和为_________.K 知识参考答案：1．（1）n +1C ({0,1,2,,})kn k n ∈L （2）1k +2．（1）和（2）①相等②2C nn 1122C,Cn n nn-+③2nK —重点二项式定理及二项展开式的通项公式K —难点用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题 K —易错容易混淆项与项的系数，项的系数与项的二项式系数一、二项展开式中特定项（项的系数）的计算求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k ,再将k 的值代回通项求解,注意k 的取值范围（0,1,2,,k n =L ）.一定要记准二项式的展开式，对于较复杂的二项式，有时先化简再展开更简捷. 【例1】已知在的展开式中，第6项为常数项.（1）求含的项的系数；（2）求展开式中所有的有理项.【解析】（1）由通项公式得，因为第6项为常数项，所以时，有，解得，令，得，故所求系数为.（2）根据通项公式，由题意得1023010rr r -∈≤≤∈⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩Z Z ,令,则，即，因为，所以应为偶数，所以可以取，即可以取2,5,8，所以第3项、第6项、第9项为有理项，它们分别为， ,，即22456345,,48256x x . 【名师点睛】第m 项是令1k m +=；常数项是该项中不含“变元”，即“变元”的幂指数为0；有理项是通项中“变元”的幂指数为整数.【例2】（2015陕西）二项式(1)()n x n *+∈N 的展开式中2x 的系数为15，则n = A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】C【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C r r r n Τx +=，令2r =得2x 的系数是2C n ，因为2x 的系数为15，所以2C 15n =，即2300n n --=，解得6n =或5n =-，因为n *∈N ，所以6n =，故选C ．二、与二项式定理有关的求和问题二项式定理011()C C C C ()n n n k n k k n n n n n n a b a a b a b b n --*+=+++++∈L L N 中，,a b 既可以取任意实数，也可以取任意的代数式，还可以是别的.我们在求和时，要根据具体问题灵活选取,a b 的值.【例3】在的展开式中，求：（1）二项式系数的和；（2）各项系数的和；（3）奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；（4）奇数项的系数和与偶数项的系数和；（5）x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和. 【解析】设,各项系数和即为,奇数项系数和为,偶数项系数和为,x 的奇次项系数和为,x 的偶数项系数和为.由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和. （1）二项式系数的和为.（2）令x ＝y ＝1,得各项系数和为.（3）奇数项的二项式系数和为.偶数项的二项式系数和为.（4）令x＝y＝1,得①.令x＝1,y＝－1(或x＝－1,y＝1)，得②.①＋②得,故奇数项的系数和为.①－②得,故偶数项的系数和为.（5）x的奇次项系数和为；x的偶次项系数和为.【名师点睛】二项式定理是一个恒等式，即对,a b的一切值都成立，在做题时，,a b的-，1或0.值一般取1三、整除、求余问题有关整除、求余问题是二项式定理的应用之一，关键在于如何把问题转化为一个二项式问题，注意结合二项式定理和整除、求余的有关知识来解决.∈N)能被25整除.【例4】利用二项式定理证明2n+2·3n+5n－4(n*【解析】因为2n+2·3n＝4×(1＋5)n，所以2n+2·3n＋5n－4，则n ≥2时，2n +2·3n ＋5n －4能被25整除，当n ＝1时，2n +2·3n ＋5n －4＝25. 所以，当n *∈N 时，2n +2·3n ＋5n －4能被25整除. 四、混淆项的系数与项的二项式系数【例5】若28()a x x -的展开式中常数项为1120,则展开式中各项系数之和为 .【错解】28()a x x-的展开式中各项系数之和为012888888C C C C 2++++=L .【错因分析】错解中误把求展开式中各项系数之和理解为求展开式中二项式系数的和，二者是不同的概念.【正解】28()a x x -的展开式的通项为82282188C ()C ()r r r r r r rr T x a x a x---+=-=-,令8-2r =0,解得r =4,则·(-a 2)4=1120,解得a 2=2,故2882()()a x x x x-=-，令x =1,则展开式中各项系数之和为(1-2)8=1.【名师点睛】一个二项展开式的第1k +项的二项式系数是C kn ，所有的二项式系数是一组仅与二项式的次数n 有关的1n +个组合数，与,a b 的取值无关，且是正数；而第1k +项的系数则是二项式系数C kn 与数字系数的积，可能为负数.只有当数字系数为1时，二项式系数恰好就是项的系数.1．10(1)x +的二项展开式中的一项是A ．45B ．290xC．3120x D．4252x2．二项式102xx⎛-⎪⎝⎭的展开式的二项式系数和为A．1B．1-C．102D．03．化简得A．B．C．D．4．二项式的展开式中只有一项的系数为有理数,则的可能取值为A．6B．7C．8D．95．的展开式中,各项系数之和为,各项的二项式系数之和为,且,则展开式中的常数项为A．6B．9C．12D．186．设a∈Z，且0≤a＜13，若512012＋a能被13整除，则a＝A．0B．1C．11D．127．()73x -的展开式中，x 5的系数是_________．（用数字填写答案）8．已知,则．9．已知,在的展开式中,第二项系数是第三项系数的.（1）求的值;（2）求展开式中二项式系数最大的项; （3）若+,求的值.10．设，求下列各式的值：（1）a 0.（2）a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100. （3）a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99.（4）(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2. （5）|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|.11．若()332d a x x x -=+⎰，则在的展开式中，的幂函数不是整数的项共有A ．13项B ． 14项C ．15项D ． 16项12．若26()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20，则22b a +的最小值 .13．设n a ,0≠是大于1的自然数，na x ⎪⎭⎫⎝⎛+1的展开式为n n x a x a x a a ++++Λ2210．若点)2,1,0)(,(=i a i A i i 的位置如图所示，则______=a ．14．程序框图如图所示,若输入0s =, 10n =, 0i =,则输出的为__________．15．已知展开式的二项式系数之和为256,展开式中含项的系数为112.（1）求的值;（2）求展开式中含项的系数.16．（四川）设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20i x 4D ．20i x 4 17．（新课标全国Ⅰ）5(2)x x +的展开式中，x 3的系数是.（用数字填写答案）18．（山东）若ax 25x的展开式中x 5的系数是—80，则实数a =_______.1．C 【解析】由通项公式110C k k k T x +=可知，当3k =时，有34120T x =.2．C 【解析】展开式的二项式系数和为012101010101010C C C C 2++++=L .故选C.3．B 【解析】根据题意，可知，故选4．B 【解析】展开式的通项为=,而展开式中只有一项的系数为有理数,则为有理数,即为有理数,即为3的倍数,为2的倍数.若,则的可能取值为7.选B.5．B 【解析】由题意可得，令x=1,则，又各项的二项式系数之和为，所以，解得.所以该二项式展开式的通项为.令，得该二项式展开式的常数项为.故选B.6．D 【解析】201220120201212011201112012201220122012201251(521)C 52C 52C 52C a a a =-=-+-++++L ，由于020121201120111201220122012C 52C 52C 52-+-L 含有公因数52，故能被52整除，即能被13整除，要使512012＋a 能被13整除，又a ∈Z ，且0≤a ＜13，则113a +=，故12a =.故选D.7．-189 【解析】由二项式定理得()71713C rrr rr T x -+=-，令r = 5得x 5的系数是2573C 189-=-．8．-5 【解析】,由二项式定理得,故,所以．9．【解析】（1）由题意得,解得.（2）由（1）知,二项式系数最大的值为,二项式系数最大的项为第四项,则.（3）=,令,得.10．【解析】（1）令x＝0，则展开式为a0＝2100.（2）令x＝1，可得(*)，所以.（3）令x＝－1，可得.与（2）中(*)式联立相减得.（4）原式＝(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)](a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)].（5）因为，所以a2k －1＜0(k∈N*).所以|a 0|＋|a1|＋|a 2|＋…＋|a100|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100.11． C 【解析】，由得，当时，的幂函数不是整数，即共有15项，选C.12．【解析】26()baxx+展开式的通项为266123166C()()Cr r r r r r rrbT ax a b xx---+==，令1233,r-=得3r=，所以，由63336C20a b-=得1ab=，从而2222a b ab+≥=，当且仅当a b=时，22a b+的最小值为.13．【解析】由图易知0121,3,4a a a===，则1221211C3,C()4n na aa a====，即23(1)42nan na⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得3a=．14．1024 【解析】由程序框图可知，该程序执行的是求0121010101010C C C C++++L的和，易知012101010101010C C C C21024++++==L．15．【解析】（1）由二项式系数之和为,可得,设含的项为第项,则,故,即,则,解得,,.（2）由（1）知,故含项的系数为.16．A 【解析】二项式6(i)x +的展开式的通项为616C i r r rr T x -+=，令64r -=，则2r =，故展开式中含4x 的项为24246C i 15x x =-，故选A.17．10【解析】5(2)x x +的展开式的通项为555255C (2))2C r rrr rr x x x---=(0r =，1，2，…，5)，令532r -=得4r =，所以3x 的系数是452C 10=. 18．2-【解析】因为5102552155C ()(C r r rr r rr T ax a x x---+==，所以由510522r r -=⇒=，因此2525C 80 2.a a -=-⇒=-。

二项式定理课件

100 的余数.
0
90
91
1
又 992=(10-1)92=C92
·1092-C92
·1091+…+C92
·102-C92
·10+1,
前 91 项均能被 100 整除,后两项和为-919,因余数为正,可从前
面的数中分离出 1 000,结果为 1 000-919=81,故 9192 被 100 除所得
余数为 81.
用1110=(10+1)10的展开式进行证明,第(2)小题则可利用9192=(1009)92的展开式,或利用(90+1)92的展开式进行求解.
9
1
(1)证明 ∵1110-1=(10+1)10-1=(1010+C10
·109+…+C10
·10+1)-1
1
2
=1010+C10
·109+C10
·108+…+102
答案:-56
1.如何正确区分二项展开式中某一项的系数与二项式系数
剖析两者是不同的概念. C (r=0,1,2,…,n)叫做二项式系数,而某
一项的系数是指此项中除字母外的部分.如(1+2x)7 的二项展开式的
第 4 项的二项式系数为C73 =35,而其第 4 项的系数为C73 ·23=280.
2.如何用组合的知识理解二项式定理
二项式定理
1.二项式定理
二项展开式:(a+b)n=C0 + C1 − 1 + ⋯ + C − +
⋯ + C (n∈N*)叫做二项式定理,其中各项的系数C (k∈
{0,1,2,…,n})叫做二项式系数.

完整版二项式定理的练习及答案

项式定理的练习及答案基础知识训练(一)选择题1(x 2x ) 6展开式中常数项是()A.第 4 项B. 24C ：C. C ：D.22. (x - 1)11展开式中x 的偶次项系数之和是( )A.-2048B.-1023C.-1024D.10243. (1 i2)7展开式中有理项的项数是()A.4B.5C.6D.74•若C 仃与C n 同时有最大值，则 m 等于( )A.4 或 5B.5 或 6C.3 或 4D.55•设(2x-3) 4=a o a 1X a ?x 2 a a x 3 a q X 4，贝y a o +a 1+a 2+a 3的值为(A.1B.16C.-15D.1531 116. (x 3 一)展开式中的中间两项为( )x(二)填空题17•在(2x y)7展开式中，x 5y 2的系数是310. (2x-1) 5展开式中各项系数绝对值之和是 ______________ .23 1011. ___________________________________________________ (1 3x 3x x )展开式中系数最大的项是、512. ___________________________________ 0.991精确到0.01的近似值是 • (三)解答题13 .求 (1+x+x 2)(1-x) 10展开式中 x 4 的系数.14 .求 (1+x)+(1+x) 2+…+(1+x) 10展开式中 x 3 的系数 +15•已知(1-2x) 5展开式中第2项大于第1项而不小于第 3,求x 的取值范围•16•若f (x) (1 x)m (1 x)n (m n N)展开式中，x 的系数为21,问m n 为何值时, 17.自然数n 为偶数时，求证:A. CkXcb 12B. C 61X 9, C ；110x C.C^x 13D.C 1X 17138. C 03C n 2 2 3 C n 3n c n9. (3.520)的展开式中的有理项是展开式的第_________ 项*x 2的系数最小?18 •求8011被9除的余数+19•已知(..x-2r)n 的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为x2520 •在(x +3X+2)的展开式中，求 x 的系数+ 21 •求(2x+1) 12展开式中系数最大的项 +参考解答： 11. (1+3x+3x 2+x 3) 10=(1+x) 30,此题中的系数就是二项式系数，系数最大的项是 T 16=C30X 15.12.0.991 5=(1-0.009) 5=C 0 C ；0.009 0.9613. (1 x x 2)(1x)10 (1 x 3)(1 x)9,要得到含x 4的项，必须第一个因式中的1与(1-x) 9展开式中的项C ：( x)4作积，第一个因式中的一x 3与(1-x) 9展开式中的项C9( x)作积，故x 4的系数是C ；C ；135.10 1114. (1 x) (1 x)2 (1 x )10°—x)[1 ° ―1 -------- __°，原式中 x 3实为这分子中 1 (1 x) x的x 4,则所求系数为C 7V18. 8011(81 1)11 C 1018111 C ；811014; 3，求展开式的常数项.1 •通项T r 1C 6x 6r 《)r C 6x3 r22r , 由6 -r24，常数项是T s 4 4C 6 2，选(B )2.设 f(x)=(x-1)11,偶次项系数之和是f(1) f( 1)(22)11 /21024，选(C ).3.通项 T r 1rC 7( -2)r C ；22,当r=0 ，2, 4, 6 时, 均为有理项，故有理项的项数为 4个，选(A ) 4•要使 C ：7最大，因为17为奇数，则m=8=4,2若n=9,要使C m 最大，则m17 1 或2 1——或m 2匕」 n 8或n=9,若n=8,要使C ；最大，则m 4或m=5综上知，m=4或m=5故选(A )5.C 10. 224 ;8.43(2x-1) 5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1) 5展开式系数之和，故令x=1，则所求和为35+6.C7.9.3,9,15,2115•由C 5( 2x)1C 5( 2x)C ； c ；( 2x)21 x101 1 x41016•由条件得 m+n=21, x 2的项为 C ；x 2 C ：x 2，则 C ； C ： (n -21)22时上式有最小值，也就是 m=11和n=10,或m=10和n=11时，x 的系数最小.399 4.因n € N ,故当n=10或1117 •原式=(C 0 c l. C 2c n 1C：) (C ： 35 CnCnC：1) 2n 2n1 3.2nC ；081 1 81k 1(k Z),••• k € Z,二9k-1 € Z,「. 8111被9 除余&19•依题意C：: C：14:3 3C：14C：••• 3n(n-1)( n-2)( n-3)/4!=4 n(n-1)/2! n=10*10 5r 设第叶1 项为常数项，又T r 1C；0(..x)10r( -22)r( 2)r C；0xhx10 5r令0 r 2, T2 1 C10( 2) 180.此所求常数项为180+22 5 5 520• (x 3x 2) (x 1) (x 2)在(x+1) 5展开式中，常数项为1,含x的项为C；5x，在(2+x) 5展开式中，常数项为25=32，含x的项为1 4C52 x 80x•••展开式中含x的项为1 (80x) 5x(32) 240x，此展开式中x的系数为240+21 •设T r+1的系数最大，则T r+1的系数不小于T r与T r+2的系数，即有•••展开式中系数最大项为第5项，T5=16C：2X4 7920X4三.拓展性例题分析- 1n例1在二项式,x ——的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项.2如分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决.解：二项式的展开式的通项公式为:前三项的r 0,1,2.得系数为: t11 1^1^2 C n n,t32 2C n；-n(n 1),8由已知：2t21t1t3n 1 n(n1 3 81),• n 8通项公式为/ 16 3rr 1 —T r 1C8〒x 4 r 0,1,2 8,T r 1为有理项，故16 3r是4的倍数, 2• r 0,4,8.1 35 依次得到有理项为「x4,T5 C；—— x,T92 8 c8*x 1 2---- x256说明：本题通过抓特定项满足的条件, 利用通项公式求岀了r的取值，得到了有理项. 100的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r的取值，得到共有17页系数和为3n.例2 ( 1)求(1 x)3(1 X)10展开式中X5的系数；(2)求(X - 2)6展开式中的常数项.X分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，(1 )可以视为两个二项展开式相乘；(2)可以经过代数式变形转化为二项式.解：(1) (1 x)3(1 x)10展开式中的X5可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：3 10 5 55 3用(1 X)展开式中的常数项乘以(1 X)展开式中的X项，可以得到C10X ;用(1 X)展开式中的一次项乘以(1 X)10展开式中的X4项可得到(3x)(G；x4) 3C：o X5；用(1 x)3中的X2乘以(1 X)10展开式3 5 3 Q 10 Q3C w x ；用(1 x)中的X3项乘以(1 X)展开式中的X2项可得到C 3 2 23x C10X C10X 5，合并同类项得X项为:(C10 C10 3C；。

高中数学专题讲义-二项式定理的应用证明整除或求余数

1．二项式定理⑴二项式定理()()011222...nn n n n n n nn n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N 这个公式表示的定理叫做二项式定理．⑵二项式系数、二项式的通项011222...n n n n n n n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()n a b +的二项展开式，其中的系数()0,1,2,...,r n C r n =叫做二项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r r r n T C a b -+=．⑶二项式展开式的各项幂指数二项式()na b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是①各项的次数都等于二项式的幂指数n ．②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ．⑷几点注意①通项1r n r rr nT C a b -+=是()na b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =．②二项式()na b +的1r +项和()nb a +的展开式的第1r +项r n r rn C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的．③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负．知识内容证明整除或求余数④通项公式是()n a b +这个标准形式下而言的，如()na b -的二项展开式的通项公式是()11rr n rrr nTC ab -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）代入二项式定理）这与这与1r n rrr nTC ab -+=是不同的，在这里对应项的二项式系数是相等的都是rnC ，但项的系数一个是()1rrn C -，一个是rn C ，可看出，二项式系数与项的系数是不同的概念．二项式系数与项的系数是不同的概念．⑤设1,a b x ==，则得公式：()12211......nrrnn n n x C x C x C x x +=++++++． ⑥通项是1r T+=rn rrnC ab-()0,1,2,...,r n =中含有1,,,,r T a b n r +五个元素，五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．只要知道其中四个即可求第五个元素．⑦当n 不是很大，x 比较小时可以用展开式的前几项求(1)nx +的近似值．的近似值．2．二项式系数的性质⑴杨辉三角形：⑴杨辉三角形：对于n 是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可二项式系数也可以直接用杨辉三角计算．以直接用杨辉三角计算．杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1．其余各数都等于它肩上两个数字的和．” ⑵二项式系数的性质：⑵二项式系数的性质：()na b +展开式的二项式系数是：012,,,...,n n n n n C C C C ，从函数的角度看rnC 可以看成是r 为自变量的函数()f r ，其定义域是：{}0,1,2,3,...,n ．当6n =时，()f r 的图象为下图：的图象为下图：这样我们利用“杨辉三角”和6n =时()f r 的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质． ①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．①对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．事实上，这一性质可直接由公式mn mn n C C -=得到．得到．②增减性与最大值②增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．由于展开式各项的二项式系数顺次是由于展开式各项的二项式系数顺次是 ()01211,,112n n n n n nC C C -===⋅， ()()312123n n n n C --=⋅⋅，．．．，，．．．， ()()()()112...2123....1k nn n n n k Ck ----+=⋅⋅⋅⋅-，()()()()()12...2112 3...1k n n n n n k n k C k k---+-+=⋅⋅⋅-，．．．，，．．．， 1nnC =．其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1的数（如,1,2,...n n n --），分母是乘以逐次增大的数（如1，2，3，…）．因为，一个自然数乘以一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k 依次取1，2，3，…等值时，r nC 的值转化为不递增而递减了．又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等，所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小，且二项式系数最大的项必在中间．当n 是偶数时，1n +是奇数，展开式共有1n +项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为2n nC ．当n 是奇数时，1n +是偶数，展开式共有1n +项，所以有中间两项．项，所以有中间两项．这两项的二项式系数相等并且最大，最大为1122n n nn C C -+=．③二项式系数的和为2n，即012......2r n nnnnnnC C C C C ++++++=． ④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即④奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 0241351 (2)n nnnnnnC C C C C C -+++=+++=．常见题型有：常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题．二项式定理的应用1证明整除或者求余数【例1】利用二项式定理证明：22389n n +--是64的倍数．典例分析【例2】若*n ∈N ，证明：2332437n n +-+能被64整除．【例3】证明：22(13)(13)(*)n n n ++-∈N 能被12n +整除．【例4】证明：2121(13)(13)(*)n n n ++++-∈N 能被12n +整除．【例5】 ⑴3023-除以7的余数________；⑵555515+除以8的余数是__________； ⑶20001991除以310的余数是．【例6】100111的末尾连续零的个数是（）A．7 B．5 C．3 D．2 。