线性代数 第3讲 中国人民大学 吴赣昌
吴赣昌高等数学教材
吴赣昌高等数学教材《吴赣昌高等数学教材》高等数学是大学数学中的重要一门课程，旨在培养学生的抽象思维能力和解决实际问题的能力。
作为高等数学教育领域的重要奠基人之一，吴赣昌教授以其丰富的数学知识和教学经验编写了一本高等数学教材，为广大学子提供了一本权威、系统且易于理解的学习材料。
第一章微积分在微积分这一章节，吴赣昌教授系统地介绍了微积分的基本概念和原理，包括函数、极限、导数、积分等内容。
他通过深入浅出的讲解，帮助学生建立起对微积分的扎实理解和应用能力。
第二章线性代数线性代数是数学的重要分支，也是应用数学和工程学科中的必修课。
吴赣昌教授在这一章中详细介绍了向量、矩阵、线性方程组等内容，并通过大量的例题和实际应用案例，帮助学生掌握线性代数的基本方法和思维模式。
第三章概率论与数理统计概率论与数理统计是研究随机现象规律和统计规律的数学分支。
吴赣昌教授在本章中引入了概率的基本概念和统计学的基本原理，帮助学生了解概率与统计的应用范围，并通过生动的案例和实验，培养学生的观察与分析能力。
第四章微分方程微分方程是研究变化规律的数学分支，广泛应用于自然科学和工程技术领域。
吴赣昌教授在这一章节中引入了常微分方程和偏微分方程的解法方法，让学生能够熟练掌握微分方程的解题技巧及其实际意义。
第五章多元函数微分学多元函数微分学是数学分析的重要内容，研究多元函数的极限、连续性、可微性等性质。
吴赣昌教授在本章中详细介绍了多元函数的概念、偏导数、方向导数等，并通过实例让学生了解多元函数在实际问题中的应用。
第六章多元函数积分学多元函数积分学是微积分的重要分支，用于计算曲线的弧长、曲面的面积、物体的质量等。
吴赣昌教授在这一章节中详细讲解了多重积分和曲线曲面积分的计算方法，让学生掌握多元函数积分的基本理论和实际应用。
通过《吴赣昌高等数学教材》，学生能够系统、全面地掌握高等数学的基本概念和方法，提高数学计算和问题解决能力。
同时，该教材还注重理论与实践的结合，通过大量的实例和应用案例，帮助学生理解数学在实际问题中的应用价值。
线性代数讲稿
安康学院讲稿2010～2011 学年第一学期课程名称线性代数院系数学系教研室应用数学适用专业园林授课年级10级专升本授课教师刘铁教材名称《线性代数》吴赣昌等著二○一○年九月目录目录第一章行列式 (1)第一节二阶与三阶行列式 (1)第二节N阶行列式的定义 (1)第三节行列式的性质 (3)第四节行列式按行(列)展开 (6)第五节克莱姆法则 (8)第二章矩阵 (10)第一节矩阵的概念 (10)第二节矩阵的运算 (11)第三节逆矩阵 (16)第四节矩阵分块法 (18)第五节矩阵的初等变换 (22)第六节矩阵的秩 (25)第三章线性方程组 (29)第一节消元法 (29)第二节向量组及其线性组合 (29)第三节向量组的线性相关性 (31)第四节向量组的秩 (33)第五节向量空间 (34)第六节线性方程组解的结构 (36)第四章矩阵的特征值与特征向量 (2)第一节向量的内积 (2)第二节方阵的特征值与特征向量 (40)第三节相似矩阵 (43)第四节实对称矩阵的对角化 (46)第五章二次型 (47)第一节二次型及其矩阵 (47)第二节化二次型为标准形 (48)第三节正定二次型 (50)第二章 矩阵第一章 行列式第一节 二阶与三阶行列式内容分布图示 ★ 二阶行列式 ★ 简例 ★ 二元线性方程组 ★ 例1★ 三阶行列式 ★ 例2-例3★ 三元线性方程组 ★ 例4内容要点: 一、二阶行列式2112221122211211a a a a a a a a -=二、二阶线性方程组⎩⎨⎧=+=+)2()1(22221211212111b x a x a b x a x a三、三阶行列式333231232221131211a a a a a a a a a =112233122331a a a a a a + 132132132231112332122133.a a a a a a a a a a a a +---三阶行列式有6项，每一项均为不同行不同列的三个元素之积再冠于正负号，其运算的规律性可用“对角线法则”或“沙路法则”来表述之。
高等数学(上册)第3章(1)习题答案_吴赣昌_人民大学出版社_高数_理工类
至少存在一点
ξ (a,b)
使得
( x) 0
f / (ξ ) f (b) f (a) ba g / (ξ )
3.2 洛必 达 法则
基本形式 通 分 或 取 倒 数化 为 基本形式
0 0
型与
型未定式
0 型或 型； 0 0 2） 0 型：常用取倒数的手段化为 型或 型，即： 0 0 0 0 或0 ； 1/ 0 1/ 0
14 (1,2) ， ξ 即为满足定理的数值。 9
★★★6.设
f ( x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且 f (1) 0 。求证：
f (ξ ) f (ξ ) 。 ξ
存在 ξ (0, 1) ，使
知识点：罗尔中值定理的应用。 思路 ：从 f (ξ )
f (ξ ) 。 ξ
f ( x) ，只要 x
注：辅助函数的构造方法一般可通过结论倒推，如：要使 f ( x)
f ( x) 1 [ xf ( x)] [ln f ( x)] [ln x] [ln xf ( x)] 0 0 [ xf ( x)] 0 f ( x) x xf ( x)
知识点：罗尔中值定理的应用。 思路：连续两次使用罗尔中值定理。 证明：∵ f ( x) 在 (a,b) 内具有二阶导函数，∴ f ( x) 在 [ x1 ,x 2 ] 、 [ x 2 ,x 3 ] 内连续，
在 ( x1 ,x 2 ) 、 ( x 2 ,x 3 ) 内可导，又 ∴由罗尔定理，至少有一点 ξ1 使得
★★8.若 4 次方程 a 0 x
4
(ξ1 ,ξ 2 ) ( x1 ,x 3 ) ，使得 f (ξ ) 0 。
大学文科数学课程教学大纲
《大学文科数学》课程教学大纲学时数：54—72学分数：3—4适用专业：纯文科类专业执笔：吴赣昌编写日期：2007年6月课程的性质、目的和任务大学文科数学包含了大学数学的基本知识、基本技能，以及蕴涵于其中的基本数学思想方法和基本的哲学常识，是对高等学校公共事业、教育学、心理学、文学、法学、英语等纯文科类专业学生进行知识技术教育、文化素质教育与塑造世界观的一门重要基础课程，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量建设人才服务的。
通过本课程的学习，要使学生理解大学文科数学的基本概念，了解其知识框架结构，掌握必要的基本理论和基本知识、技能；培养学生的量化意识、量化能力、抽象思维能力、创造思维能力、必要的逻辑推理能力和几何直观空间想象能力；提高发现、提出、分析和解决人文社会科学实际问题的能力，从而为将来从事工作和进一步深造打下坚实的基础。
在传授数学知识的同时，适当地介绍典型数学史料，有机地渗透辨证唯物主义、历史唯物主义和爱国主义教育，融会基本的数学思想方法和数学文化内涵，调动学生学习大学文科数学的兴趣，为获得实事求是的精神、科学的态度和方法、良好的个性品质以及形成正确的世界观进行启迪性教育。
课程教学的主要内容与基本要求第一部分微积分一、函数、极限与连续主要内容：绪言；实数与区间，函数的概念及其表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；反函数、复合函数和隐函数，基本初等函数与初等函数；极限的概念与性质，函数的左、右极限；极限的四则运算；两个重要极限；无穷小与无穷大，无穷小的比较；连续函数的概念，函数的间断点；初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质；阿基米德介绍。
基本要求：1、理解函数的概念，掌握函数的表示法；了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；了解复合函数、反函数、隐函数和分段函数的概念；2、知道基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念；3、了解数列极限和函数极限(包括左、右极限)的概念；知道极限的四则运算法则，会用两个重要极限；4、了解无穷小与无穷大的概念，了解无穷小比较方法，会利用无穷小等价求极限的方法；5、了解函数的连续与间断的概念，了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质。
有关向量组的线性相关性命题的思考
有关向量组的线性相关性命题的思考作者：兰华龙来源：《赤峰学院学报·自然科学版》 2014年第22期兰华龙（成都信息工程学院银杏酒店管理学院，四川成都600007）摘要：向量组的线性相关性概念内容丰富，加上与其等价的命题，它们将线性代数中的部分重要知识点有机地联系在一起，这对于解决相关问题往往能起到行之有效的作用，本文结合题目，从不同的角度出发给出多种解答方法，力求更深入理解向量组的线性相关性概念。
关键词：向量组；线性相关性；秩；等价中图分类号：O151文献标识码：A文章编号：1673-260X（2014）11-0001-02向量组的线性相关性概念及应用是学习线性代数知识的一个重点，也是一个难点，正确理解向量组的线性相关性概念和与其等价命题的关系，是学好此部分知识内容的关键(1)齐次线性方程组AX=0只有零解；(2)向量组的(m≥1)秩等于m，即R(A)=m下面利用向量组的线性相关性概念及其等价命题，选择不同的切入点，,串联相关知识点，采用不同的方法给出题目的多种解答题目1已知:向量组a1,a2,a3线性无关，若b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a1证明向量组b1,b2,b3线性无关。
证法1用向量组线性无关定义证明故此方程组只有零解x1=x2=x3=0。
所以向量组b1,b2,b3线性无关。
证法2利用矩阵的秩证明因为又由a1,a2,a3线性无关可得R(a1,a2,a3)，且秩也等于3，所以R(b1,b2,b3)=3，故向量组b1,b2,b3线性无关。
证法3利用反证法证明假设向量组b1,b2,b3线性相关，即线性方程组x1b1+x2b2+x3b3=0有非零解，此时实数x1,x2,x3不全为零由x1b1+x2b2+x3b3=0得x1(a1+a2)+x2(a2+a3)+x3(a3+a1)=0所以(x1+x3)a1+(x1+x2)a2+(x2+x3)a3=0因为实数x1,x2,x3不全为零，所以实数(x1+x2),(x2+x3),(x3+x1)不全为零,故向量组a1,a2,a3线性相关，这与已知a1,a2,a3线性无关矛盾，所以假设不能成立，只能是向量组b1,b2,b3线ci表示性i无关。
3.2 向量的线性组合—线性代数(吴赣昌-第四版)
结束
பைடு நூலகம்
三. 向量组的线性表示 1. 线性表示 设有两个向量组
1 , 2 , , s
1 , 2 , , t
如果A中每一向量都可由组B线性线性表示, 则称向量组A可由向量组B线性表示. 2. 若向量组B能由向量组A线性表示，则存在
(A) (B)
k1 j , k2 j ,
使得
《线性代数》
, ksj ( j 1,2,
k12 k22 ks 2
系数矩阵
k1t k2 t k st
《线性代数》
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结束
3. 引理 若 C sn Ast Bt n ， （1）则称矩阵C的列向量能由A的列向量线性表示， B为该表示的系数矩阵； （2）矩阵C的行向量能由B的行向量线性表示， A为该表示的系数矩阵； 4. 定理 如果向量组A可由向量组B表示, 而向量组B又可由向量组C表示, 则向量组A也可由向量组C表示.
向量组 1 , 2 ,
, m T为矩阵Ａ的行向量组．
《线性代数》
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结束
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个 矩阵. ｎ个ｍ维列向量.所组成的向量组 构成一个m n 矩阵.
1 , 2 , , n
n
A 1 2
ｍ个ｎ维行向量.所组成的向量组
1T , 2T , , mT
an bn an bn
称为α与β的和向量. 称为α与β的差向量. （2）数乘
( ) a1 b1 a2 b2
a1 a2
an , k R ka2 kan
规定 k k ka1 称为数ｋ与向量α的数量积.
线性代数（经管类完整版）教学大纲
《线性代数》（经管类）课程教学大纲学时数：36学分数：2适用专业：经济类本科执笔：吴赣昌编写日期：2009年6月课程的性质、目的和任务本课程是高等学校经济类本科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量建设人才服务的。
通过本课程的学习，要使学生获得行列式、矩阵、线性方程组、矩阵的特征值与特征向量、二次型等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为后续课程的学习奠定必要的代数基础。
在课程的教学过程中，要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、数学运算能力、综合解题能力、数学建模与实践能力以及自学能力。
课程教学的主要内容与基本要求一、行列式主要内容：二阶行列式与三阶行列式，n阶行列式的定义；行列式的性质，行列式按行（列）展开法则；克莱姆法则。
基本要求：1、会求n元排列的逆序数；2、深入领会n阶行列式的定义；3、熟练掌握行列式的性质，并且会正确使用行列式的有关性质化简行列式，利用“三角化”计算行列式；4、理解行列式元素的子式、余子式和代数余子式的概念，灵活掌握行列式按行（列）展开法则（降价法）；5、理解克莱姆法则，并会用克莱姆法则判定线性方程组解的存在性、唯一性及求出方程组的解。
二、矩阵主要内容：矩阵的概念及应用，熟悉几种特殊矩阵：行矩阵、列矩阵、对角矩阵、单位矩阵数量矩阵；矩阵的运算：线性运算、乘法、线性变换、转置及其运算规律，方阵的幂，对称矩阵与共轭矩阵；逆矩阵的概念，伴随矩阵及其与逆矩阵的关系，逆矩阵的运算性质，矩阵方程及其解法，*矩阵多项式及其运算；分块矩阵的概念，分块矩阵的运算；矩阵的初等变换，初等矩阵，求逆矩阵的初等变换法；矩阵的秩及其求法。
基本要求：1、深入理解矩阵的概念及应用；2、了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、共轭矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质；3、掌握矩阵的线性运算、乘法运算、线性变换、转置运算，以及它们的运算规律，了解方阵的幂、方阵的行列式；4、理解逆阵的概念，掌握逆阵的性质，以及矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求逆阵；5、了解分块矩阵及其运算；6、了解共轭矩阵；7、掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念；8、清楚矩阵秩的概念，重点掌握用矩阵的初等变换求矩阵的秩和逆矩阵。
微积分课件-经管类(吴赣昌 中国人民大学)CH1第三节 常用经济函数
C (x ) 10x 270000
而需求函数为
x 900P 45000 C (P ) 9000P 270000
R (P ) P ( 900P 45000) 900P 2 45000P
L(P ) R (P ) C (P ) 900(P 2 60P 800) 900(P 30)2 90000
称为单位成本函数或平均成本函数。成本函数是单调增加函 数，称为成本曲线。
C x C x , x 0 x
例5 某工厂生产某产品，每日最多生产200单位，它的日固 定成本为150元，生产一个单位产品的可变成本为16元。求 该厂日总成本函数及平均成本函数。
C C x 150 16x , 0 x 200
§1.3 常用经济函数
一、单利与复利
利息：借款者向贷款者支付的报酬，它是根据本金的数额 按一定比例计算出来的。 主要有存款利息、贷款利息、债券利息、贴现利息等形式
单利计算公式： 设初始本金为p元，银行年利率为r，则：
第一年未本利和： s 1 第二年未本利和： s 2 ……
第n年未本利和：
p rp p (1 rห้องสมุดไป่ตู้)
R R p (1 r ) 得p n (1 r )
n
R表示第n年后到期票据金额，r表示贴现率，p为贴现金额， 1/(1+r)n为贴现因子。
若票据持有者手中持有若干张不同期限及不同面额的票据， 且每张票据的贴现率都是相同的，则一次性向银行转让票 据而得到的现金为：
R2 p R0 2 (1 r ) (1 r )
到期的票 据金额
R1
1 Rn n (1 r )
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将第2个方程乘(-2)加到第3,4个方程上
x1 - x2 3 x4 - 1
x2 2 x3 - 2 x4 0 - x4 0
-3x3 9 x4 3
x1 - x2 3 x4 - 1
x2 2 x3 - 2 x4 0 - x4 0
-3x3 9 x4 3
再将第3,4方程乘(-1),(-1/3),并交换位置
2x1 -2x2 6x4 -2
2x1 - x2 2x3 4x4 -2 3x1 - x2 4x3 4x4 -3
5x1 -3x2 x3 20x4 -2
(2.1)
将结果(1,2,-1,0)回代到方程(2.1)中验算:
21- 22
60 -2
21- 2 2(-1) 40 -2
1 -1 0 3 -1 1
0
1
2 -2
0
2
0 2 4 -5 0 3
0 2 1 5
3
4
1 -1 0 3 -1 1
43 22 ((-- 22))00
1 0
2 -2 0 2 0 -1 0 3
0 0 -3 9 3 4
1 -1 0 3 -1 1
0 1
2
-2
0
2
0 0 0 -1 0 3
0 0 -3 9
程组经初等变换后得到的方程组是原方程组 的同解方程组.任何一个方程组都可经上述初 等变换化成容易求解的同解阶梯形方程组.
在计算机中解方程组(2.1)是将方程组保存为 一个矩形数表, 称之为方程的增广矩阵
2x1 -2x2 6x4 -2
2x1 - x2 2x3 4x4 -2 3x1 - x2 4x3 4x4 -3
3
4
34 3 (( --411) /3) 100
-1 1 0
0 2 1
3 -2 -3
-1 0 -1
1 2 3
0 0 0 1 0 4
1 -1 0 3 -1 1
0
1
2 -2
02Βιβλιοθήκη 0 0 1 -3 -1 3
0 0 0 1
0
4
1 -1 0 0 -1 1
1 3 2444 (-323 )00
1 0
2 0 0 1 0 -1
x1 - x2 3 x4 - 1
x2 2 x3 - 2 x4 0 2 x2 4 x3 - 5x4 0
2 x 2 x3 5 x 4 3
x1 - x2 3 x4 - 1
x2 2 x3 - 2 x4 0 2 x2 4 x3 - 5x4 0
2 x 2 x3 5 x 4 3
3 -1 4 4 -3 3 5 -3 1 20 -2 4
1 -1 0 3 -1 1
2 -1 2 4 -2 2
3 -1 4 4 -3 3 5 -3 1 20 -2 4
1 -1 0 3 -1 1
423 111(( (---235 )))00
1 2
2 -2 4 -5
0 0
2 3
0 2 1 5 3 4
2 3
0 0 0 1 0 4
1 -1 0 0 -1 1
0
1
20
0
2
0 0 1 0 -1 3
0
0
01
0
4
1 -1 0 0 -1 1
2 3 (-2 )0 1 0 0 2 2 0 0 1 0 -1 3 0 0 0 1 0 4
1 -1 0 0 -1 1
0
1
00
2
2
0 0 1 0 -1 3
0
x1 - x2 3 x4 - 1
x2 2 x3 - 2 x4 0 x3 - 3x4 -1
x4 0
x1 - x2 3x4 -1
x2 2x3 -2x4 0 x3 -3x4 -1
x4 0
(2.2)
由(2.2)易知x4=0, 将其代入第3方程得x3-1,再 回代前两个方程, 分别得x2=2, x1=1. 所以(1,2,1,0)是原方程组(2.1)的解. 形如(2.2)的方程组称为阶梯形线性方程组.
31-
2
4 (-1)
40
-3
51-32 (-1) 200 -2
从上述解题过程可以看出, 用高斯消元法解线
性方程组的具体做法是对方程组反复施行下 列三种变换: 用一个非零常数乘某一个方程, 简称倍乘初等 变换; 把某个方程乘以常数再加到另一个方程上, 简 称为倍加初等变换; 互换两个方程的位置, 简称为互换初等变换. 这三种变换称为方程组的初等变换. 可证明方
a22
am1 am2
a1n b1
a2n
b2
(2.4)
amn
bn
表示
定义 数域F中mn个数aij(i=1,2,...,m;j=1,2,....,n) 排成m行n列, 并括以方括弧(或圆括弧)的数表
a11 a12
a21
a22
am1
am2
a1n
a2
n
(2.5)
amn
称为F上的mn矩阵, 通常用大写字母记 作A或Amn, 有时也记作
线性代数 第3讲 中国人民大学 吴 赣昌
x1 - x2 3x4 -1
2 x1 - x2 2 x3 4 x4 -2 3x1 - x2 4 x3 4 x4 -3
5 x1 - 3 x2 x3 20 x4 -2
将第1个方程乘(-2),(-3),(-5)分别加到2,3,4个
方程上, 得
5x1 -3x2 x3 20x4 -2
(2.1)
2 -2 0 6 -2
2
-1
2
4
-
2
3 -1 4 4 -3
5
-3
1
20
-
2
2 -2 0 6 -2 1 2 -1 2 4 -2 2 3 -1 4 4 -3 3 5 -3 1 20 -2 4
1 -1 0 3 -1 1 1 122 -1 2 4 -2 2
A=[aij]mn (i=1,2,...,m;j=1,2,...,n) 其中aij称为矩阵A的第i行第j列元素.
mn个元素全为零的矩阵称为零矩阵, 记作0. 当m=n时, 称A为n阶矩阵(或n阶方阵). 线性方程组(2.3)对应的矩阵(2.4)称为方程组 (2.3)的增广矩阵, 记作[A,b], 其中由未知元的 系数排成的矩阵A称为方程组的系数矩阵.
0
01
0
4
1 0 0 0 1 1
1 210 1 0 0
2
2
0 0 1 0 -1 3
0 0 0 1
0
4
线性方程组
a11x1 a12x2
a21x1
a22
x2
am1x1 am2x2
a1nxn b1 a2nxn b2 (2.3)
amnxn bm
可用一张矩形数表
a11 a12
a21
例2 求解线性方程组
x1 - x2 -x3 3x5 -1, 1