差微分方程 数学建模经典案例

差分方程作业题

黄冈职业技术学院

宋进健 胡敏 熊梦颖

1．一对年轻夫妇准备购买一套住房，但缺少资金近6万元。假设它们每月可有节余900元，且有如下的两种选择：

(1)使用银行贷款60000元。月利率0.01，贷款期25年=300个月； (2) 到某借贷公司借贷60000元，月利率0.01，22年还清。只要（i ）每半个月还316元，(ii) 预付三个月的款。 你能帮他们做出明智的选择吗？ 模型假设：

（1）银行及借贷公司在贷款期限内利率不变; （2）不考虑物价变化和经济等因素从而影响利率；

（3）银行利息按复利计算且单位时间可任意缩短至时间变量连续性变化 建立模型：

对第一种情况有: 设n 年期贷款月利率为r ，共贷款 元，贷款后第k 个月时欠款余额为 元，月还款m 元。

模型求解：

由MATLAB 得出结果m=631.9345 建立模型：

对第二种情况有: 设n 年期贷款半月利率为r ，共贷款A 0元，贷款后第k 个月时欠款余额为A k 元，半月还款m 元。

模型求解：

()()

011

1,k

k

k r A A r m k N

r

+-=+-∈1

0)1()1(300

300

300

-=

?=++r r A A

r m N

k m r A

A

k

K ∈-+=+,)

1(1

N

k m r A

A

k

K ∈-+=+,)

1(1

()()

011

1,k

k

k r A A r m

k N

r

+-=+-∈1

0)1()1(528

528

528

-=

?=++r r A A

r

m A k A 0

由MATLAB 得出结果m= 313.0038

模型分析：由第一种方式计算m=631.9345小于月节余额900元，能够承受月还款；由第二种方式计算m= 313.0038小于借贷公司要求没半个月还款316元，如果按照借贷公司要求则每月还款为632元大于第一种还款方式631.9345元，故选择第一种还款方式。

2. 在一城市的某商业区内，有两家有名的快餐店“肯德基”分店和“麦当劳”分

店。据统计每年“肯德基”保有其上一年老顾客的1/3，而另外的2/3顾客转移到“麦当劳”；每年“麦当劳”保有其上一年的老顾客的1/2，而另外的1/2顾客转移到“肯德基”。 用二维向量X k =[x k y k ]T 表示两个快餐店市场分配的情况，初始的市场分配为X 0 = [200 200]T

如果有矩阵L 存在，使得 X k +1 = LX k ，则称 L 为状态转移矩阵。

（1） 写出X k =[x k y k ]T 和X k+1=[x k +1 y k +1]T 的递推关系式，以及状态转移矩阵L 。

（2） 根据递推关系计算近几年的市场分配情况；

模型假设：

（1） 当前的肯德基和麦当劳的市场份额继续不变。

（2） 肯德基和麦当劳不推出优惠活动和新的经营计划。 模型建立：

初始的市场分配数量为：200,2000

0==y x

以一年为一时间段，则某时刻两个快餐店的顾客数量可用向量]

,[1

1y x T

X =表

示。用向量]

,[y x X k

k T

k =表示第K 年两个快餐店顾客数量分布。

???

????+

=

+

=

++x

y

y

y x

x k

k

k k

k

k 3

22

121311

1

模型求解：

故X k =[x k y k ]T

和X k+1=[x k +1

y k +1]T 的递推关系式为???

?

??

?

+

=+

=++x

y

y y x

x k

k

k k

k

k 3

221

21311

1，状

态转移矩阵??????

?

????

???=3221213

1

L

由初始数据计算近几年的市场分配情况，MATLAB 程序如下：

x0=[200;200];

L=[1/3,1/2; 1/2,2/3]; X=x0;

x(1)=X(1);y(1)=X(2); for k=2:6 X=L*X;

x(k)=X(1);y(k)=X(2); end t=0:5;

figure,bar(t,x), figure,bar(t,y) 运行结果如下：

1

2

3

4

5

20406080100120140160180

200

肯德基五年内市场分配情况

012345

50

100

150

200

250

300

麦当劳五年内市场分配情况