高二理科数学专题 圆锥曲线与方程

1．已知双曲线22:1C x y -=及直线:1l y kx =-．（1）若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围；（2）若直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且AOB △的面积为2， 求实数k 的值． 【答案】（1）(2,1)(1,1)(1,2)---；（2）0k =或62k =±． 【解析】（1）由2211x y y kx ⎧-=⎨=-⎩，消去y 整理得22(1)220k x kx -+-=，由题意知2221048(1)0k Δk k ⎧-≠⎪⎨=+->⎪⎩，解得22k -<<且1k ≠±， 所以实数k 的取值范围为(2,1)(1,1)(1,2)---．（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由（1）得12221k x x k +=--，12221x x k =--， 又直线l 恒过点(0,1)D -，①当120x x <时，1212111||||||2222AOB OAD OBD S S S x x x x =+=+=-=△△△； ②当120x x >时，1212111||||||||||2222AOB AOD OBD S S S x x x x =-=-=-=△△△， 所以222121212()()4(22)x x x x x x -=+-=，即22228()811k k k-+=--， 所以0k =或62k =±， 由（1）知上述k 的值符合题意，所以0k =或62k =±． 典题温故圆锥曲线与方程2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，点(1)3M -在椭圆上，椭圆C 的离心率为12． （1）求椭圆的方程；（2）设点A 为椭圆长轴的左端点，P ，Q 为椭圆上异于椭圆C 长轴端点的两点，记直线AP ，AQ 斜率分别为1k ，2k ，若1214k k =-，请判断直线PQ 是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）过定点，直线PQ 过定点(1,0)． 【解析】（1）由点1)-在椭圆上，且椭圆C 的离心率是12， 可得22222811312a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得222431a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）设点P ，Q 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，①当直线PQ 斜率不存在时，由题意知，直线方程和曲线方程联立得3(1,)2P ，3(1,)2Q -；②当直线PQ 的斜率存在时，设方程为y kx m =+，联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去y ，得222(43)8(412)0k x kmx m +++-=，由222222644(43)(412)48(43)0Δk m k m k m =-+-=-+>，有2243k m +>，由韦达定理得122843km x x k +=-+，212241243m x x k -=+，∴1212121(2)(2)4y y k k x x ==-++， 12124(2)(2)0y y x x +++=，∴221212(41)(42)()440k x x km x x m ++++++=，故有222224128(41)(42)4404343m kmk km m k k -+-+++=++，化简整理得2220m km k --=，解得2m k =或m k =-，当2m k =时，直线PQ 的方程为2y kx k =+，即(2)y k x =+，过定点(2,0)-不合题意；当m k =-时，直线PQ 的方程为y kx k =-，即(1)y k x =-过定点(1,0)， 综上，由①②知，直线PQ 过定点(1,0)．一、选择题1．曲线223440x xy y x y ---+-=与y 轴的交点坐标是（ ） A ．(0,2)-B ．(0,2)C ．(0,3)D ．(0,2)-或(0,2)2．已知双曲线2213y x m m -=的一个焦点为(0,2)，椭圆221y x n m+=的焦距等于4，则n =（ ） A ．3B ．4C ．5D ．63．已知椭圆的方程为2221(4)16x y a a +=>，它的两个焦点分别为1F ，2F ，且12||10F F =，弦AB 过1F ，则2ABF △的周长为（ ） A ．10B ．20C ．241D ．4414．抛物线24y x =的焦点到双曲线221169x y -=渐近线的距离为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．455．已知直线l 交22142x y +=于A ，B 两点，且线段AB 的中点为(1,1)-，则l 的斜率k 为（ ） A ．12B ．12-C ．1D ．1-经典集训6．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点1F ，2F 在y 轴上，离心率为2，过点1F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且2ABF △的周长为16，那么C 的方程为（ ）A ．221168y x +=B ．2211610y x +=C ．221104y x +=D ．221106y x +=7．已知||4AB =，A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，2133OP OA OB =+， 点P 的轨迹方程为（ ）A ．229911664x y +=B ．229916416x y +=C ．2211664y x +=D ．2216416y x +=8．若点O 和点F 分别为椭圆2211615x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为（ ） A ．20 B ．25 C ．26 D ．27二、填空题9．抛物线24y x =上一点P 到焦点F 的距离||4PF =，则点P 的坐标为 ． 10．已知抛物线22y x =过点(2,1)Q 作一条直线交抛物线于A ，B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程为 ．三、简答题11．求满足以下条件的双曲线方程．（1）以320x y ±=为渐近线，且经过点(1,2)；（2）与椭圆2255x y +=共焦点且一条渐近线方程为0y =．12．过抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 作直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，当点A 的纵坐标为1时，||2AF =． （1）求抛物线C 的方程；（2）若抛物线C 上存在点0(2,)M y -，使得MA MB ⊥，求直线l 的方程．13．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率2e =，且椭圆过点1)2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点A 为椭圆C 的下顶点，M ，N 是椭圆C 上两个不重合的点，若直线AM 与直线AN 的斜率之和为6b ，试判断是否存在定点P ，使得直线MN 恒过点P ？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题 1．【答案】B【解析】令0x =，得2440y y -+-=，所以2(2)0y -=，故曲线223440x xy y x y ---+-=与y 轴的交点坐标是为(0,2)． 2．【答案】C【解析】由题意可知0m >，且43m m =+，解得1m =，故椭圆221y x n m+=的方程可化为221y x n +=，故其焦距24c ==或24c ==，解得5n =或3n =-（此时方程不表示椭圆，舍去）． 3．【答案】D【解析】∵4a >，∴椭圆的焦点在x 轴， 由12||10F F =，得5c =，∴21625a -=，∴a =由椭圆的定义知2ABF △的周长，221212||||||||||||||4L BA F B F A BF BF AF AF a =++=+++==4．【答案】C【解析】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，双曲线221169x y -=的一条渐近线为340x y -=，距离35d ==． 5．【答案】A【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由线段AB 的中点(1,1)M -，则122x x +=-，122y y +=，则22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得12121212()()()()042x x x x y y y y +-+-+=，∴121212y y x x -=-，∴直线l 的斜率为12k =． 6．【答案】A【解析】依题意设椭圆C 的标准方程为22221(0)x x a b a b+=>>，由e =2212c a =，从而22212a b a -=，2212b a =，由2ABF ∆的周长为221212||||||||||||||416AB BF AF AF AF BF BF a ++=+++==，得4a =，∴28b =，故椭圆C 的标准方程为221168y x +=．7．【答案】A【解析】设动点P 的坐标为(,)x y ，(0,)A a ，(,0)B b ， 由2133OP OA OB =+，得21(,)(0,)(,0)33x y a b =+，∴32a y =，3b x =， ∵||4AB =，∴2216a b +=，∴223()(3)162y x +=， 即229911664x y +=． 8．【答案】A【解析】由题意得(1,0)F -，设点00(,)P x y ，则2200015(1)(44)16x y x =--≤≤， 222200000001(1)15(1)(8)111616x OP FP x x y x x x ⋅=++=++-=++，当04x =时，OP FP ⋅取得最大值20．二、填空题9．【答案】或(3,-【解析】设(,)P m n ，由于抛物线24y x =的准线为1x =-，由定义可得||14PF m =+=，解得3m =， 则212n =，解得n =-n = 即点P的坐标为或(3,-． 10．【答案】217()24y x -=-【解析】设弦AB 的中点为M ，并设点A ，B ，M 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，(,)x y ，由题意有2112y x =①，2222y x =②，122x x x +=③，122y y y +=④，当12x x ≠时，①-②得2212122()y y x x -=-，∴12121y y x x y-=-，又∵AB MQ k k =，∴121212y y y x x x --=--，∴112y x y-=-，即22y y x -=-，∴217()24y x -=-， 当12x x =时，则点(2,0)M ，满足上述轨迹方程， 综上所述，弦AB 的中点的轨迹方程为217()24y x -=-．三、简答题11．【答案】（1）2249177y x -=；（2）2213y x -=． 【解析】（1）设所求双曲线方程为2294(0)x y λλ-=≠，将点(1,2)代入方程可得7λ=-，则所求双曲线方程为22947x y -=-，即2249177y x -=． （2）由已知得椭圆2255x y +=的焦点为(2,0)±，由双曲线的一条渐近线方程为0y -=，则另一条渐近线方程为0y +=，设所求的双曲线方程为223(0)x y λλ-=>，则23a λ=，2b λ=，所以222443c a b λ=+==，所以3λ=，故所求的双曲线方程为2213y x -=．12．【答案】（1）24x y =；（2）21y x =+．【解析】（1）抛物线2:2(0)C x py p =>的准线方程为2p y =-，焦点为(0,)2p F ， ∵当点A 的纵坐标为1时，||2AF =，∴122p+=，解得2p =， ∴抛物线C 的方程为24x y =．（2）∵点0(2,)M y -在抛物线C 上，∴20(2)14y -==， 又∵(0,1)F ，∴设直线l 的方程为1y kx =+，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124x x k +=，124x x =-，11(2,1)MA x y =+-，22(2,1)MB x y =+-，∵MA MB ⊥，∴0MA MB ⋅=，∴1212(2)(2)(1)(1)0x x y y +++--=， ∴248440k k -++-=，解得2k =或0k =，当0k =时，l 过点M （舍），∴2k =，∴直线l 的方程为21y x =+．13．【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，定点1(,1)3P ．【解析】（1）椭圆C 的离心率e =2a =，即224a b =，又∵点1)2在椭圆C 上，∴223114a b+=，则21b =，24a =，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=． （2）当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为(1)y kx t t =+≠±，代入2214x y +=，得222(14)8440k x ktx t +++-=， ∴22226416(14)(1)0Δk t k t =-+->，即241t k -<， 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122814kt x x k-+=+，21224414t x x k -=+， ∵直线AM 与AN 斜率之和为6b ， ∴121212121111AM AN y y kx t kx t k k x x x x +++++++=+=+1212(1)()22661t x x k k b x x t ++-=+===-， ∴113t k =-，∴直线MN 的方程为111()133y kx t kx k k x =+=+-=-+， 显然直线1()13y k x =-+经过定点1(,1)3；当直线MN 斜率不存在时，设直线MN 的方程为x m =，∵直线AM 与直线AN 的斜率之和为6b ，设(,)M m n ，则(,)N m n -，∴11266AM AN n n k k b m m m +-++=+===，解得13m =， 此时直线MN 的方程为13x =，显然直线13x =必然经过定点1(,1)3， 综上，存在定点1(,1)3P ，使得直线MN 恒过点P ．。