完整20192020高中数学专题汇编十八——圆锥曲线与方程,文档.docx
2019-2020高中数学专题汇编（十八）——圆锥曲线与方程
1.已知方程的图象是双曲线，那么的取值范围是（）。
A. B. C.或 D.
2.曲线与曲线（）的（）。
A. 长轴长相等
B. 短轴长相等
C. 离心率相等
D. 焦距相等
3.双曲线的一条渐近线与直线垂直，则这双曲线的离心率为（）。
A.B. C.
D.
4.已知抛物线：的焦点为，点，不垂直于轴的直线与抛物线相交于、两点，若轴
平分，则的面积的取值范围是（）。
A. B. C. D.
5.如图，椭圆的中心在坐标原点，为左焦点，，分别为长轴和短轴上的一个顶点，当时，此类
椭圆称为“黄金椭圆”。类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为（）。
A.
B.
C.
D.
6. 已知双曲线的虚轴长是实轴长的两倍，则实数的值是（）。
A.
B. C.
D.
7.下面给出四个命题：
①若，则；
②是一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件；
③在数列中，是数列为递增数列的必要不充分条件；
④方程表示的曲线是一个圆和一条直线。其中为真命题的是（）。
A. ①②③
B. ①③④
C.②④
D.①②③④
8. 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形。面面，在面内有一个动点
。记到面的距离为，若，则动点在面内的轨迹是（）。
A.圆的一部分
B.椭圆的一部分
C.双曲线的一部分
D.抛物线的一部分
9. 设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于、两点，且点恰为的中点，
则（）。
A. B. C. D.
10. 已知双曲线的焦点为、，为双曲线上一点，以为直径的圆与双曲线的一个交
点为，且，则双曲线的离心率为（）。
A. B. C. D.
11. 若，则关于，的方程所表示的曲线是（）。
A. 焦点在轴上的椭圆
B. 焦点在轴上的椭圆
C. 焦点在轴上的双曲线
D. 焦点在轴上的双曲线
12. 平面内有两定点、及动点，设命题甲：“是常数”，命题乙：“点的轨迹是以，为焦点的
椭圆”，那么甲是乙成立的（）。
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 非充分非必要条件
13. 已知是双曲线（）上一点，、是左右焦点，的三边长成等差数列，且
，则双曲线的离心率等于（）。
A. B. C. D.
14.已知，，，当或时，点的轨迹为（）。
A. 双曲线和一条直线
B. 双曲线和两条直线
C. 双曲线的一支和一条直线
D. 双曲线的一支和一条射线
15.若顶点、的坐标分别为、，、边上的中线长之和为，则的重心的
轨迹方程为（）。
A.（）
B.（）
C.（）
D.（）
16.已知，椭圆的方程为，双曲线的方程我为，与的离心率之积
为，则的渐近线方程为（）。
A. B. C. D.
17. 正方体中，在底面内运动，到点的距离等于它到的距离，则点的
轨迹为（）。
A. 圆的一部分
B. 椭圆的一部分
C. 双曲线的一部分
D. 抛物线的一部分
18. 到两坐标轴距离之和为的点的轨迹方程是（）。
A. B. C. D.
19. 抛物线上两点，，已知的中点在直线上，为抛物线焦点，则（）。
A. B. C. D.
20. 过椭圆：上任一点，作椭圆的右准线的垂线（为垂足），延长到点，使
（），当点在椭圆上运动时，点的轨迹的离心率的取值范围为（）。
A. B. C. D.
21. 已知抛物线，，，过的直线与抛物线交于点，，直线与抛物线交于另一点
，则的最小值为（）。
C. D.
A. B.
22. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，、在准线上的射影分别为、，则（
）。
A. 等于
B. 大于
C. 小于
D. 不能确定
23. 如图，，是双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分
别交于，两点。若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）。
A.
B.
C.
D.
24. 方程表示双曲线的必要不充分条件是（）。
A.且
B.且
C.
D.
25. 过椭圆：（）的左顶点且斜率为的直线交椭圆于另一个点，点在轴上的
射影恰好为右焦点，若，则椭圆离心率的取值范围是（）。
A. B. C. D.
26.椭圆上有个不同的点：，，，，椭圆的右焦点为，数列是公差大于
的等差数列，则的最大值是（）。
A. B. C. D.
27.与圆外切，又与轴相切的圆的圆心的轨迹方程是（）。
A. B.（）和
C.（）
D.（）和（）
28.双曲线（）的焦点坐标为（）。
A. B. C. D.
29.已知点是椭圆上一点，且在轴上方，、分别为椭圆的左、右焦点，直线的
斜率为，则的面积为（）。
A. B. C. D.
30.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为，，两条曲线在第一象限的交点记为
，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是（）。
A. B. C. D.
31.已知抛物线：的焦点为，直线与交于，两点，则（）。
A. B. C. D.
32.在平面斜坐标系中，点的斜坐标定义为：“若（其中，分别为与斜
坐标系的轴，轴同方向的单位向量），则点的坐标为”。若，，且动点满足，则点在斜坐标系中的轨迹方程为（）。
A. B. C. D.
33.一个平整的操场上竖立着两根相距米的旗杆，旗杆高度分别为米和米，地面上动点满足：从处分
别看两旗杆顶部，两个仰角总相等，则的轨迹是（）。
A. 直线
B. 线段
C. 圆
D. 椭圆
34. 已知斜率为的直线与双曲线：（，）交于，两点，若点是线段的
中点，则的离心率等于（）。
A. B. C. D.
35. 过抛物线（）的焦点且倾斜角为的直线与抛物线在第一、四象限分别交于、两点，
则的值等于（）。
A. B. C. D.
36. 已知直线：和直线：，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的
最小值是（）。
A. B.
C. D.
37. 设为抛物线的焦点，，，为该抛物线上三点，若，则
等于（）。
A. B. C. D.
38. 已知点，分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交
于、两点，若是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）。
A. B. C. D.
39. 椭圆的左、右焦点分别为，，弦过，若的内切圆周长为，，两点的
坐标分别为，，则值为（）。
A. B. C. D.
40. 由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆” ，如图所示，其中
，。由右椭圆的焦点和左椭圆的焦点，确定的叫做果圆的焦点三角形，若果圆的焦点三角形为锐角三角形，则右椭圆的离心率的取值范围为（）。
A.
B.
C.
D.
41. 点是双曲线在第一象限的某点，、为双曲线的焦点。若在以为直径
的圆上且满足，则双曲线的离心率为（）。
A.
B. C. D.
42. 设、分别为双曲线（，）的左、右焦点，双曲线上存在一点使得
，，则该双曲线的离心率为（）。
A. B. C.
D.
43. 已知两点和，若直线上存在点，使，则称该直线为“型直线”。给出下
列直线：①；②；③；④，其中为“ 型直线”的是（）。
A. ①②
B. ①③
C.①④
D. ③④
44. 设，，常数，定义运算“ ”：，若，则动点的轨迹是
（）。
A. 圆
B. 椭圆的一部分
C. 双曲线的一部分
D. 抛物线的一部分
45. 设点为坐标原点，已知点为抛物线：上与不重合的任意一点，直线为抛物线在点处的
切线，过点且与垂直的直线与轴交于点，轴于点，则（）。
A.
B. C. D.
46. 已知点，分别为椭圆：的右顶点和上顶点，点在椭圆上，则使为等腰三角形
的点的个数是（）。
A. B. C. D.
47. 已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别为，，与在第一象限
的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，与的离心率分别为，，则的取值范围是（）。
B.C.
D.
A.
48. 设抛物线：（）的焦点为，点在抛物线上，，线段中点的横坐标为
，若以为直径的圆过点，则抛物线的焦点到准线的距离为（）。
A.或
B.或
C.或
D.或
49. 设双曲线：（，）的上顶点为，直线与交于，两点，过
，分别作，的垂线交于点，若到点的距离不超过，则的离心率的取值范围是（）。
A. B. C. D.
50. 过双曲线（，）的焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，为虚轴上的
一个端点，且为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（）。
A. B.
C. D.
51.椭圆：（）的左右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，且的
最大值的取值范围是，其中，则椭圆的离心率的取值范围是。
52.若直线（）与抛物线相交于，两点，且，两点在抛物线的准线上的射影
分别是，，若，则的值是。
53.是曲线上一个动点，，和关于点对称，则点的轨迹方程为。
54.直线与抛物线相交于、两点且的中点为，则的方程为。
55.在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，线段的中
点的轨迹方程是。
56.已知两定点，，若直线上存在点，使得，则实数的取值范
围是。
57.过抛物线的焦点作直线与其交于、两点，作平行四边形，则点的轨迹方程为。
58.椭圆:（）的左、右焦点分别为，，过作轴的垂线与椭圆的一个交点为，
若，则椭圆的离心率。
59.已知、分别为双曲线（，）的左右焦点，为双曲线左支上的一点，若
，则双曲线的离心率的取值范围是。
60.已知命题：实数满足（），命题：实数满足方程表示焦点
在轴上的椭圆，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为。
61. 椭圆：的左、右顶点分别为、，点在上，且直线斜率的取值范围是，
那么直线斜率的取值范围是。
62.设，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，
，则。
63.已知双曲线（，），若过右焦点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交
点，则此双曲线离心率的取值范围是。
64.已知，为双曲线：（，）的左右焦点，过的直线与双曲线的一条渐近线
垂直，与双曲线的左右两支分别交，两点，且，双曲线的渐近线方程为。
65.已知双曲线与椭圆有相同的焦点，，为它们的一个交点，且，则双曲线方
程为。
66.在平面直角坐标系中，双曲线（，）的右支与焦点为的抛物线
（）相交于，两个不同点，若，则该双曲线的离心率是。
67.抛物线的焦点为，过点的直线与该抛物线相交于，两点，直线，分别交抛物线
于点，。若直线，的斜率分别为，，则。
68.已知直线（）与抛物线：相交于，两点，为的焦点，若，
则。
69. 平面与平面相交成锐角，面内一个圆在面上的射影是离心率为的椭圆，则角等于弧度。
70.若在抛物线上存在两个不同的点、关于直线对称，则实数的取值范围是。
71.（本小题满分 12 分）
已知椭圆：（），离心率，短轴长为。
（ 1）求椭圆的标准方程；
（ 2）如图，椭圆左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于，两点．试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论。
72.（本小题满分 12 分）已知抛物线
：（）过点。
（ 1）求抛物线的方程，并求其准线的方程；
（ 2）若点，求过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线的方程。
73.（本小题满分 12 分）已知定点
，，曲线是使得为定值（大于）的点的轨迹，且曲线过点。
（ 1）求曲线的方程；
（ 2）若直线过点，且与曲线交于、两点，当的面积取得最大值时，求直线的方程。74.（本小题满分 12 分）
已知椭圆：（）的离心率，右焦点到直线的距离，为坐标原点。
（ 1）求椭圆的方程；
（ 2）若直线的斜率存在且与椭圆交于，两点，以为直径的圆过原点，求到直线的距离。
75. 已知椭圆：（）的短轴长为，离心率为，直线：与椭圆交于、
两点，且线段的垂直平分线通过点。
（ 1）求椭圆的标准方程。
（ 2）当（为坐标原点）面积取最大值时，求直线的方程。
76.（本小题满分 12 分）已知椭圆
的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为。
（ 1）求椭圆的标准方程；
（ 2）过右焦点的直线与椭圆相交于，两点，且以为直径的圆过原点，求直线的斜率。
77.（本小题满分 12 分）
如图轴，点在的延长线上，，当点在圆上运动时，
（ 1）求：动点的轨迹的方程；
（ 2）若，，是曲线上的一个动点，求的取值范围。
78.（本小题满分 12 分）
如图，椭圆（）的左焦点为，过点的直线交椭圆于，两点。当直线经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为。
（ 1）求该椭圆的离心率；
（ 2）设线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于，两点。记的面积为，（为原点）的面积为，求的取值范围。
79.（本小题满分 10 分）
如图，已知（）与椭圆：交于，两点，过点的直线与垂直，且与椭圆的另一个交点为。
（ 1）求直线与的斜率之积；
（ 2）若直线与轴交于点，求证：与轴垂直。
80. 已知直线经过椭圆：（）的左顶点和上顶点，椭圆的右顶点为
，点为椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线：分别交于，两点。
（ 1）求椭圆的方程。
（ 2）求证：直线与的斜率的乘积为定值。
（3）求线段的长度的最小值。
81.（本小题满分 12 分）如图，已知抛物线
：的焦点为，椭圆的中心在原点，为其右焦点，点为曲线和曲线在第一象限的交点，且。
（ 1）求椭圆的标准方程；
（ 2）设，为抛物线上的两个动点，且使得线段的中点在直线上，为定点，求面积的最大值。
82.（本小题满分 12 分）
已知抛物线的焦点为，设经过点的直线与抛物线交于点，两点。
（ 1）若，求直线的方程；
（ 2）请你从、、、、、中取出三个量，使其构成等比数列，你能构成几组不同的等比数列？证明之。
83.（本小题满分 14 分）
如图所示，椭圆长轴端点为点、，为椭圆的中心，为椭圆的上焦点，且，。
（ 1）求椭圆的标准方程；
（ 2）若四边形的四个顶点都在椭圆上，对角线，互相垂直并且它们的交点恰为点，求四边形面积的最大值和最小值。
84.（本小题满分 12 分）
已知双曲线（，）的两条渐近线与抛物线：（）的准线分别交于、两点，为坐标原点。若双曲线的离心率为，的面积为。
（ 1）求抛物线的方程；
（ 2）过点的直线与抛物线交于不同的两点、，若在轴上存在一点使得是等边三角形，求的值。
85. 已知动点到点与直线的距离比为。
（ 1）求动点的轨迹方程。
（ 2）设动点的轨迹为，直线（）关于直线对称的直线为，直线、与轨迹分别交于点、和、，记直线的斜率为。
①求证为定值。
②当变化时，试问直线是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由。
86.（本小题满分 12 分）斜率为
的直线经过抛物线：（）的焦点，且被抛物线所截得弦的长为。
（ 1）求实数的值；
（ 2）点是抛物线上一点，线段在轴上，的内切圆方程为，求面积的最小值。
87.（本小题满分 12 分）
如图，椭圆（）的左、右焦点分别为，，已知点在椭圆上，且点到两焦点距离之和为。
（ 1）求椭圆的方程；
（ 2）设与（为坐标原点）垂直的直线交椭圆于，（，不重合），求的取值范围。88.（本小题满分 12 分）
已知椭圆（）的一个焦点为，左右顶点分别为，，经过点的直线与椭圆交于，两点。
（ 1）求椭圆方程；
（ 2）记与的面积分别为和，求的最大值。
已知椭圆：（），以抛物线的焦点为顶点，且离心率为。
（ 1）求椭圆的方程；
（ 2）已知、为椭圆上的点，且直线垂直于轴，直线：与轴交于点，直线与交于点；
（ i）求证：点恒在椭圆上；
（ ii ）求面积的最大值。
90. 已知椭圆：（）的短轴长为，且离心率为，过原点的直线交椭圆于、
两点。
（ 1）求椭圆的标准方程。
（ 2）点为线段的中垂线与椭圆的一个公共点，求面积的最小值，并求此时直线的方程。
91.（本小题满分 12 分）
平面直角坐标系中，过椭圆：（）右焦点的直线：交于、两点，为的中点，当时，的斜率为。
（ 1）求的方程；
（ 2）在轴上是否存在点，使得变化时总有。若存在，请求出点的坐标。若不存在，请说明理由。
92.（本小题满分 12 分）
已知椭圆（）的离心率为，右顶点为，直线与椭圆交于、两点，且以为直径的圆恰好经过点。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）所有满足条件的直线是否经过一个定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由。
93.（本小题满分 12 分）
已知椭圆：（）过点，且它的离心率为。
（ 1）求椭圆的标准方程；
（ 2）与圆相切的直线：（，）交椭圆于、两点，若椭圆上一点满足（为坐标原点），求实数的取值范围。
94.（本小题满分 14 分）
已知直线与椭圆（）相交于、两点。
（ 1）若椭圆的离心率为，焦距为，求线段的长；
（ 2）若向量与向量互相垂直（其中为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆长轴长的最大值。
95. 已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，抛物线与椭圆有相同的焦
点，且椭圆过点。
（ 1）求椭圆的标准方程。
（ 2）若椭圆的右顶点为，直线交椭圆于，两点（，与点不重合），且满足，若点为中点，求直线斜率的最大值。
96.（本小题满分 13 分）
设，，，为直角坐标平面内，轴正方向上的单位向量，若向量，
，。
（ 1）求点的轨迹的方程；
（ 2）过点作直线与曲线交于、两点，设，是否存在这样的直线，使得四边形是矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由。
97.（本小题满分 15 分）
设，分别为椭圆（）的左、右顶点，椭圆的长半轴长等于焦距，且长半轴长与半焦距的和等于。
（ 1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上异于，的点，求证：直线与的斜率之积为定值；
（3）设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点，，设线段的中点为，试探究、、（为坐标原点）三点是否共线？并说明理由。
98.（本小题满分 14 分）
已知椭圆：()的离心率为，椭圆的四个顶点所围成菱形的面积为。
（ 1）求椭圆的方程；
（ 2）四边形的顶点在椭圆上，且对角线，均过坐标原点，若。
①求的取值范围；
②求证：四边形的面积为定值。
99.（本小题满分 14 分）
已知、分别是椭圆：（）的左、右焦点，且，离心率。
1.求椭圆的标准方程；
2.过椭圆右焦点作直线交椭圆于、两点；
（ 1）当直线的斜率为时，求线段的长；
（ 2）若椭圆上存在点，使得以、为邻边的四边形为平行四边形（为坐标原点），求直线的方程。
100. 已知抛物线：（）的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有，当点的横坐标为时，为正三角形。
（1）求的方程。
（2）若直线，且和有且只有一个公共点。
①证明：直线过定点，并求出定点坐标。
②的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。
(完整版)高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为： ； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心 率用集合表示为： ； （2）标准方程和性质：
注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为：
（2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；
二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。
圆锥曲线的定义方程和性质知识点总结
椭圆的定义、性质及标准方程 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<
(新)高中数学圆锥曲线方程知识点总结
§8.圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程 1. 椭圆方程的第一定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于定长（定长通常等于2a ，且2a >F 1F 2） 的点的轨迹叫椭圆。 为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ （1）①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12 22 2 b a b y a x =+ . ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12 22 2 b a b x a y =+ . 注：A.以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中2 2 2 b a c =-； B.在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2 x 和 2y 的分母的大小。 ②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+. ③椭圆的标准方程：12 22 2=+ b y a x 的参数方程为???==θ θsin cos b y a x （一象限θ应是属于20π θ ）. ⑵椭圆的性质 ①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±. ②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2. ③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距：2221,2b a c c F F -==. ⑤准线：c a x 2±=或c a y 2 ±=. ⑥离心率：)10( e a c e = .【∵0a c >>，∴01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆。当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为2 2 2 x y a +=。】 ⑦焦（点）半径： i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a b y a x =+上的一点，21,F F 为左、右焦点，则 ii.设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2 b a a y b x =+上的一点，21,F F 为上、下焦点，则 ?-=+=0201,ex a PF ex a PF ? -=+=0201,ey a PF ey a PF
高中数学圆锥曲线详解【免费】
解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典 结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结 解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02 020=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020=-k b y a x （3）y 2 =2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2 =4x 上一点P 到点A(3,42) (2)抛物线C: y 2 =4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结
圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数 2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝 对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|， 则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方 程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时1 22 22=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1 （0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条 件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，2 2 y x +的最小值是___ ） （2）双曲线：焦点在x 轴上： 2 2 22b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22 Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴 上，离心率2= e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=） （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开 口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在 分母大的坐标轴上。 如已知方程1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴 上的椭圆，则m 的取值范围是__（答：)2 3 ,1()1,( --∞） （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦 点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）： ①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长 为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =± ； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆 越圆；e 越大，椭圆越扁。 如（1）若椭圆152 2 =+m y x 的离心率510 = e ，则m 的值是__（答：3或 3 25）； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角 形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答： 22） （2）双曲线（以22 22 1x y a b -=（0,0a b >>）为 例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等 时，称为等轴双曲线，其方程可设为 2 2 ,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤ 离心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线 ?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大； ⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以2 2(0)y px p =>为例）：①范围： 0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2 p ，其中p 的几 何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线： 一条准线2 p x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线 ?1e =。 如设R a a ∈≠,0，则抛物线2 4ax y =的焦点坐标为 ________（答：)161 , 0(a ）； 5、点00(,)P x y 和椭圆122 22=+b y a x （0a b >>）的 关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外?2200 221x y a b +>；（2） 点00(,)P x y 在椭圆上?220 220b y a x +＝1；（3）点 00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< 6．直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交：0?>?直线与椭圆相交； 0?>?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0?>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0?>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0?>?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0?>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0?>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。 （2）相切：0?=?直线与椭圆相切；0?=?直线与双曲线相切；0?=?直线与抛物线相切； （3）相离：0?中， 以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 p y 。 提醒：因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要 条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0?>！ 11．了解下列结论 （1）双曲线1 2 222 =-b y a x 的渐近线方程为0=±b y a x ； （2）以x a b y ±=为渐近线（即与双曲线 12222=-b y a x 共渐近线）的双曲线方程为λ λ(22 22=-b y a x 为参数，λ≠0）。 （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为2 2 1mx ny +=； （4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称 轴的弦）为2 2b a ，焦准距（焦点到相应准线的距离） 为2b c ，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ； （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （6）若抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦为AB ， 1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++； ②2 21212,4 p x x y y p ==- （7）若OA 、OB 是过抛物线2 2(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p 12.圆锥曲线中线段的最值问题： 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)
高中数学圆锥曲线专题-理科
圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程，认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用； 2.会求直线的一般式方程，理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义：懂得一元二 次方程的图像是直线； 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系（方向向量、法向量）； 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角，掌握点到直线的距离公式。 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义，并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上，以 及求曲线交点； 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程； 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性，掌握求这些曲线方程的基本 方法，并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题； 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定，确定它们之间的位置关系，并能利用 解析法解决相应的几何问题。 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图，已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2)，过点B引椭圆的割线（与椭圆相交的直线）BD与椭圆交于C、D两点 （1）确定直线BD斜率的取值范围 （2）若割线BD过椭圆的左焦点 12 ,F F是椭圆的右焦点，求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O
二、轨迹问题 例2 如图，已知平行四边形ABCO ，O 是坐标原点，点A 在线段MN 上移动，x=4,y=t (33)t -≤≤上移动，点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动，求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l ：22 2,: 1169 x y y kx C =++=，问椭圆上是否存在相异两点A 、B ，关于直线l 对称，请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--，点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上，且直线PA 与PB 的倾斜角互补 （1）求证：直线AB 的斜率为定值 （2）当直线AB 在y 轴上的截距为正值时，求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - （1）求点P （x, y ）的轨迹C 的方程 （2）直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点，且在以点D （0，-1）为圆 心的同一圆上，求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R ，,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量，若向量 (2)a x i y j → →→=++，且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += （1）求点M （x, y ）的轨迹方程 （2）过点(0，3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB → → → =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由
高中数学圆锥曲线小结论
椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为 直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
“圆锥曲线与方程”复习讲义
“圆锥曲线与方程”复习讲义 高考《考试大纲》中对“圆锥曲线与方程”部分的要求： (1) 圆锥曲线 ①了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. ②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. ③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质. ④了解圆锥曲线的简单应用. ⑤ 理解数形结合的思想. （2）曲线与方程：了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 第一课时 椭 圆 一、基础知识填空： 1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1 ，F 2的距离的和__________________的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的_________ , 两焦点之间的距离叫做椭圆的________. 2.椭圆的标准方程：椭圆)0b a (1 b y a x 22 22>>=+的中心在______，焦点在_______轴上, 焦点的坐标分别是是F 1 ______，F 2 ______； 椭圆)0b a (1 b x a y 22 22>>=+的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标 分别是F 1 _______，F 2 ______. 3.几个概念：椭圆与对称轴的交点，叫作椭圆的______.a 和b 分别叫做椭圆的______长和______长。 椭圆的焦距是_________. a,b,c 的关系式是_________________。 椭圆的________与________的比称为椭圆的离心率，记作e=_____,e 的范围是_________. 二、典型例题： 例1.（2006全国Ⅱ卷文、理）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23 ＋y 2 ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦 点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 例2.（2007全国Ⅱ文）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率为（ ） (A) 3 1 (B) 3 3 (C) 2 1 (D) 2 3 例3．（2005全国卷III 文、理）设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A B C ．2 D 1 例4.（2007重庆文）已知以F 1（-2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线04y 3=++x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ） （A ）23 （B ）62 （C ）72 （D ）24 三、基础训练： 1.(2007安徽文)椭圆142 2 =+y x 的离心率为（ ） （A ） 23 （B ）4 3 （C ） 22 （D ）3 2 2.（2005春招北京理）设0≠abc ，“0>ac ”是“曲线c by ax =+2 2为椭圆”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件 3．（2004福建文、理）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结7558
圆锥曲线 1、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 在椭圆122 22=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0 202y a x b ； 在双曲线22 221x y a b -=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 202y a x b ；在抛物线 22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 p y 。 提醒：因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0?>！ 2．了解下列结论 （1）双曲线1222 2=-b y a x 的渐近线方程为02222 =-b y a x ； （2）以x a b y ±=为渐近线（即与双曲线12222=-b y a x 共渐近线）的双曲线方程为λλ(2222 =-b y a x 为参数，λ≠0）。 （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为22 1mx ny +=； （4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为2 2b a ，焦准距（焦点到相应准线 的距离）为2 b c ，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ； （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （6）若抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦为AB ，1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++； ②2 21212,4 p x x y y p ==- （7）若OA 、OB 是过抛物线2 2(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p 3、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1）在ABC ?中，给出() 12 AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,等于已知AD 是ABC ?中BC 边的中线; （2）在ABC ?中，给出2 22OC OB OA ==，等于已知O 是ABC ?的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （3）在ABC ?中，给出=++，等于已知O 是ABC ?的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）； （4）在ABC ?中，给出?=?=?，等于已知O 是ABC ?的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）； （5） 给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=r r 使；③若存在实数 ,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+u u u r u u u r u u u r 且使,等于已知C B A ,,三点共线. （6） 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已 知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知AMB ∠是锐角,
高考的数学中圆锥曲线重要结论地最全的总结
高考数学圆锥曲线重要结论 一、定义：第一定义:平面内到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离和为定值（大于两定点间的距离|F1F2|）2a的点的轨迹叫椭圆，两定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距，与坐标轴的交点叫顶点。 第二定义：平面内到一个定点F的距离与到定直线1的距离比为常数e（0 圆锥曲线与方程单元知识总结、公式及规律 一、圆锥曲线 1．椭圆 (1)定义 定义1：平面内一个动点到两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)． 定义2：点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常 数＝＜＜时，这个点的轨迹是椭圆． e (0e 1)c a (2)图形和标准方程 图－的标准方程为：＋＝＞＞图－的标准方程为：＋＝＞＞811(a b 0) 821(a b 0) x a y b x b y a 222 2222 2 (3)几何性质 2．双曲线 (1)定义 定义1：平面内与两个定点F F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点 1、 的轨迹叫做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点)． 定义2：动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线(这定点叫做双曲线的焦点)． (2)图形和标准方程 图8－3的标准方程为： x a y b 2 2 2 2 －＝＞，＞ 1(a0b0) 图8－4的标准方程为： y a x b 2 2 2 2 －＝＞，＞ 1(a0b0) (3)几何性质 3．抛物线 (1)定义 平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线． (2)抛物线的标准方程，类型及几何性质，见下表： ①抛物线的标准方程有以下特点：都以原点为顶点，以一条坐标轴为对称轴；方程不同，开口方向不同；焦点在对称轴上，顶点到焦点的距离等于顶点到准线距离． ②p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离． ③弦长公式：设直线为＝＋抛物线为＝，＝y kx b y 2px |AB|212+k |x x ||y y |2121－＝－11 2+ k 焦点弦长公式：|AB|＝p ＋x 1＋x 2 4．圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义 与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e 表示，当0＜e ＜1时，是椭圆，当e ＞1时，是双曲线，当e ＝1时，是抛物线． 二、利用平移化简二元二次方程 1．定义 缺xy 项的二元二次方程Ax 2＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(A 、C 不同时为0)※，通过配方和平移，化为圆型或椭圆型或双曲线型或抛物线型方程的标准形式的过程，称为利用平移化简二元二次方程． A ＝C 是方程※为圆的方程的必要条件． A 与C 同号是方程※为椭圆的方程的必要条件． A 与C 异号是方程※为双曲线的方程的必要条件． A 与C 中仅有一个为0是方程※为抛物线方程的必要条件． 高中数学圆锥曲线解题 技巧总结 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 解圆锥曲线问题的常用方法大全 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020 =-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =现，当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。 高考数学常用公式及结论 圆锥曲线 1.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=??=?. 2.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式 )(21c a x e PF +=，)(2 2x c a e PF -=. 3．椭圆的的内外部 （1）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的内部22 00221x y a b ?+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的外部22 00221x y a b ?+>. 4. 椭圆的切线方程 (1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=. （2）过椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程 是 00221x x y y a b +=. （3）椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是 22222A a B b c +=. 5.双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式 21|()|a PF e x c =+，2 2|()|a PF e x c =-. 6.双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部22 00221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部22 00221x y a b ?-<. 7.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-22 22 b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦 点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. 8. 双曲线的切线方程 (1)双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是 00221x x y y a b -=. （2）过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦 方程是 00221x x y y a b -=. 高中数学选修2－1 第二章 圆锥曲线与方程 知识点： 一、曲线的方程 求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化 ①建立适当的直角坐标系； (),M x y 及其他的点； ③找出满足限制条件的等式； ④将点的坐标代入等式； ⑤化简方程，并验证（查漏除杂）。 二、椭圆 1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12 F F ）的点的轨迹称为椭圆。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距。()12222MF MF a a c +=> 2、椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 2210y x a b a b +=>> 第一定义 到两定点21F F 、 的距离之和等于常数2a ，即21||||2MF MF a +=（212||a F F >） 第二定义 到一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即 (01)MF e e d =<< 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 长轴的长2a = 短轴的长2b = 对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 3、设M 是椭圆上任一点，点M 到F 对应准线的距离为1d ，点M 到F 对应准线的距离为2d ，则121 2 F F e d d M M ==。 常考类型 类型一：椭圆的基本量 1．指出椭圆36492 2 =+y x 的焦点坐标和离心率. 【变式1】椭圆 116 252 2=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离=________ 【变式2】椭圆 125 162 2=+y x 的两个焦点分别为21F F 、，过2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，则1ABF ?的周长1ABF C ?=___________. 【变式3】已知椭圆的方程为11622 2=+m y x ，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是（ ）。 专题：解圆锥曲线问题常用方法（一） 【学习要点】 解圆锥曲线问题常用以下方法： 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则 有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)圆锥曲线与方程单元知识总结
高中数学圆锥曲线解题技巧总结
高考数学圆锥曲线的常用公式及结论(非常推荐)
圆锥曲线与方程复习资料
高中数学圆锥曲线问题常用方法经典例题(含答案)