钢铁企业投入产出模型
投入产出模型
投入产出模型投入产出模型是指对于经济系统（这一经济系统可以是一个国家，一个地区，一个行业或一个企业的经济活动）的多部门的投入与产出进行研究，编制投入产出表，并建立其数学模型，称作投入产出模型。
这种将经济系统的投入产出关系编制成投入产出表，建立投入产出模型进行研究的方法叫做投入产出法。
投入产出法是由美国著名经济学家瓦西里·列昂节夫20世纪30年代首先提出的。
最初是由研究一国的国民经济各个产业部门间的联系发展起来的,因此被人们称作部门联系平衡法,又叫产业关联法。
利用投入产出模型对经济活动进行分析和进行经济预测，这是一种重要的经济数量分析，叫做投入产出分析。
投入产出分析的理论基础是第七章我们所介绍的一般均衡理论，主要是对一个国家或一个地区宏观经济的研究。
但随着这一方法的广泛应用，它也可以研究一个部门（行业）的经济活动，一个公司或企业的生产经营活动。
本章将在介绍投入产出模型的基础上，着重介绍投入产出模型在国民经济预测和企业经济预测方面的应用。
第一节投入产出模型的基本形式一、投入产出表所谓投入，是指产品生产所需原材料、辅助材料、燃料、动力、固定资产折旧和劳动力的投入；所谓产出，是指产品生产的总量及其分配使用的方向和数量，包括生产消费（中间产品）、生活消费、积累和净出口等。
生产过程就是投入与产出关系的客观反映，一定时期内产品的产出受投入的影响。
投入与产出的数量关系可以编制成一种矩形的表格表示，即投入产出表。
投入产出表可以按实物形态编制，也可以按价值形态编制。
按实物形态编制的投入产出表叫实物表，按价值形态编制的投入产出表叫价值表，两者基本结构形式是相同的，它们之间只差一个价格因素。
投入产出表按编制的范围不同，可以分作世界投入产出表、国家投入产出表、地区投入产出表、部门投入产出表和企业投入产出表。
这里仅以价值形态的全国表为例介绍投入产出表的结构。
假设把国民经济划分为n 个部分，用1，2，…，n 等号码表示。
产业关联
n
xij
Gj
j 1 n
(i 1,2,, n)
xij Yi
j 1
这个指标反映了各产业部门的总产品中有多少作为中间产品，即原材料为各产业作
需求。中间需求率越高，表明该产业部门就越带有原材料产业的性质。
“中间需求率+最终需求率=1”
依据中间需求率，就可比较精确地计算出各产业部门产品用于生产资料和消费资料
完全消耗系数是直接消耗联系与间接消耗联系的全面反映。它能深刻地反映一个部
门的生产与本部门和其他部门发生的经济数量关系，因此它比直接消耗系数更本质、
更全面地反映部门内部和部门之间的技术经济联系，这对正确地分析国民经济、产
业结构是十分重要的。
完全消耗系数的经济含义是指某产业部门单位产品的生产对各产业部门产品的直接
的比例，从而较准确地把握各产业部门在国民经济中的地位与作用。
某一产业的中间投入率：指该产业部门在一定时期内（通常为一年），生产过程中的
中间投入与总投入之比。其计算公式为：
n
xij
Fj n
i 1
( j 1,2,, n)
xij Dj N j
i 1
中间投入率指标反映各产业在自己的生产过程中，为生产单位产值的i )n1
和
X
(
xi
)
分别表示最终需
n1
求矩阵和总产出矩阵，则有：
bij
aij
n
bik akj (i, j 1,2,, n)
k 1
将直接消耗系数 aij 代入，可得： AX Y X Y (E A) X X (E A)1Y
上式常被用于宏观经济的规划和调控。
第三节 产业结构分析
第二节 投入产出方法 一、投入产出的涵义
首钢能耗分析模型及软件的开发应用
张延平 胡雄光 蔡九菊 谢国威 胡云芝
（ 钢技 术研 究 院） （ 首 东北 大 学）
摘 要 针对钢铁企业 的能流与物流耦合特点 ，开发 了能 源多级投 入产 出模 型 ，建立 了全流程 能耗分 析与
辅助决策系统 的应用软件 。该 系统根据钢铁企业产品结构 调整和设 备运行情 况 ，动态分 析 了能源结构 和能
目标 的前 提是 科学 准 确 的能耗 分析 和预 测 ，即建
织改变 ，实时计算 、分析企业生产及能耗水平 ， 定 量 预测 能源 系统 的指 标变 化 ，从 而为企 业 调整 生产结 构 和保 证稳 定生 产 提供决 策依 据 。
１ 研 究方法 与模型建立
投 入 产 出法是 运用 现代 数学 方法 和计 算 机手
ｉｄｃｔ ｓｂ ｓｄ ｎ ｔｅ ｉ ａｉ ｓ ｏ ｒｄ ｃ ｉ ａｊｓ ｅ ｔ ｎ ａｉｔ ｓ ｒｎ ｉｇ Ｔ ｒｕｈ ｎ ｉａ ｒ ａｅ ｏ ｈ ｓｕ ｔ ｎ ｆ ｐｏｕ ｔ ｍ ｘ ｄｕｔ ｎ ｏ ｔ ｏ ｍ ａｄ ｆｃ ｉｅ ｎｎ ． ｈｏ ｇ ｌｉ ｕ
ｃ ｃ ｌｔｏ ｎ ｎ ｌ ｓｓｏ ｉ ｅ ｅ ｔｐ ｏ ｕ ｔｏ ｉｕ ｔｏ ｓ，ｔ ｅ ｆ ｒ ｃ ｓ ｅ ｕ ｔ ｒ ｏ ｄ． ｌ ａ ｕ ａｉｎ ａ ｄ ａ ａｙ ｉ ｎ ｄ ｆ ｒ ｎ ｒ ｄ ｃ ｉｎ ｓｔ ａｉ ｎ ｈ ｏ ｅ ａ ｔｒ ｓ ｌｓ ａ ｅ ｇ ｏ Ｋｅ ｏ ｄ ｉ ｐ ｔｏ ｔ ｕ ｄ ｌ ｅ ｅ ｇ ｏ ｓ ｍｐ ｉｎ ａ ａｙ ｉ ， ｅ ｅ ｇ ｎ ｇ ｍｅ ｔ ｙＷ ｒ ｓ ｎ ｕ ｕ ｐ ｔｍｏ ｅ ， ｎ ｒｙ ｃ ｎ ｕ ｔ ｎ ｌ ｓｓ ｏ ｎ ｒ ｍａ ａ ｅ ｎ ｙ
Ａｂ ｔａ ｔ Ａｃ ｏ ｄ ｎ ｔ ｔ ｃ ｕ ｌｎ ｃ ａ ａ ｔ ｒｓｉｓ ｆ ｎ ｒ ｆｏ ｓｒ ｃ ｃ ｒ ｉ ｇ ｏ ｈｅ ｏ ｐ ｉ ｇ ｈ ｒ ｃｅ ｔ ｏ ｅ ｅ ｇ ｌ ｗ ａ ｄ ｕ ｐ ｙ ｈ ｉ ｏ ｓｅ ｌ ｉ ｃ ｙ ｎ ｓ ｐ ｌ ｃ ａ ｎ ｆ ｔｅ ｅ ｔｒ ｉｓ ｓ ｎ ｅ ｅ ｇ ｎ ｅｐｒ ｅ ，ａ ｎ ｒ ｍｕｌ ｌｖ ｌｉ ｐ － ｕ ｐ ｔ ｍｏ ｅ ｓ ｄｅ ｅｏ ｅ ａ ｄ ａ ｐ ｌｃ ｔ ｎ ｓ ｆｗａ ｅ ｆ ｒ ｙ ｔ ｅ ｅ ｎ ｕｔｏ ｔ ｕ ｄ ｌｉ ｖ ｌ ｐ ｄ ｎ ｎ ａ ｐ ｉａ ｉ ｏ ｔ ｒ ｏ ｉ ｏ ｅ ｅ ｇ ｏ ｓ ｍｐｔ ｎ ｎ ｌｓｓ ｆ ｗｈ ｌ ｐ ｏ ｅ ｓ ｎ ｄ ｃｓｏ ｍａ ｉ ｇ ｓ ｉｔｎ ｉ ｅ ｔ ｂ ｉｈｅ ｎｒ ｃｎｕ ｙ ｉ ａ ａ ｙ ｉ ｏ ｏｅ ｒ ｃ ｓ ａ ｄ ｅ ｉｉｎ— ｋ ｎ ａ ｓｓａ ｔ ｓ ｓａ ｌｓ ｄ． Ｔｈ ｏ ｅ ｓ ｓｅ ｃ ｕ ｄ ｙ ａ ｃ ｌｙ ｎ ｌ ｚ ｔ ｅ ｎ ｒ ｓｒ ｃｕｒ ａ ｄ ｈ ｃ ａ ｇ ｏ ｅ ｅ ｇ ｃ ｎ ｕ ｔｏ ｙ ｔ ｍ ｏ ｌ ｄ ｎ ｍｉ ａｌ ａ ａｙ ｅ ｈ ｅ ｅ ｇ ｙ ｔｕ ｔ ｅ ｎ ｔ ｅ ｈ ｎ ｅ ｆ ｎ ｒ ｙ ｏ ｓ ｍｐ ｉｎ
投入产出模型资料
§6.1投入产出模型在对某地区作经济分析时，先把该地区分为若干个部门投入----各个经济部门在进行经济活动时的消耗。
例如：原材料，设备，能源等。
产出——各经济部门在进行经济活动时的成果。
如，产品投入产出模型——反映国民经济系统内各部门之间的投入与产出的依存关系的数学模型。
投入产出模型是由美国经济学家列昂节夫(Wassily Leontief)于1936年创建，并于1973年获得诺贝尔经济学奖。
投入产出模型由平衡表与平衡方程构成，分为价值型和实物型。
价值型投入产出平衡表。
1.概念投入产出表通常是以年度为单位编制的。
规模可以是全国，也可以是某地区或某企业。
最终产品——本年内不再加工，可直接提供给人们消费或积累或出口的产品。
纯收入——利税净产值——劳动报酬与纯收入之和。
也即总产值减去中间消耗。
价值型——以货币单位为计量单位的表。
总产品=总产值2.表的构成：投入产出平衡表主要由三大部分组成(1)部门间流量x ij把国民经济分解为n 个部门，每个部门都有双重身分。
一方面，它在生产过程中要消耗各部门的产品。
另方面，它的产品也要分配给各部门使用。
用ij x 表示部门j 在本年度生产过程中对部门i 的产品的消耗量。
也即是本年内部门i 分配给部门j 的产品量。
称为部门间流量。
(2)最终产品i yi y 表示部门i 的总产值扣除分配给各部门作中间消耗的产品后的剩余量。
(3)净产值Z j设部门j 的劳动报酬为j v ，纯收入为j m ，则j j jm v z +=(4)部门j 的总产值为x j ，j=1，2，……，n 3.平衡方程（1） 分配平衡方程i i nj ijx y x=+∑=1i=1，2，……，n,(6.1)反映部门i 的分配情况 （2） 消耗平衡方程j j ni ijx z x=+∑=1j=1，2，……，n , (6.2)反映部门ｊ的消耗情况 （3） 综合平衡方程 ∑∑===nj jmi i zy 11(6.3) 这可由上两方程而得直接消耗系数为了更深入地研究各部门、生产与消耗的关系，引入直接消耗系数的概念。
投入产出分析投入产出专门模型
§3.4 投入产出专门模型（一）投入产出方法在经济分析、预测、计划、综合平衡和政策分析等方面的应用，往往需要建立专门模型以用于专门领域，为了专门的目的。
可以将专门投入产出模型分为两大类。
一类是不改变投入产出表的基本结构，即仍维持四象限投入产出表式和基本平衡关系，以此为基础建立的模型；一类是改变了投入产出表的基本结构，以此为基础建立的模型。
当然还可以有许多其它分类方法，这里按这样的分类将专门投入产出模型分两节介绍。
本节中仅介绍前一类，以能源投入产出模型和信息—经济投入产出模型为例。
一、能源投入产出模型一般的经济投入产出表（包括价值型和实物型），主要揭示了国民经济各个部门、各种产品之间的技术经济联系。
包括能源部门、能源产品与其它部门、其它产品的联系。
它可以用于能源分析，但也存在一些问题。
例如，在进行能源预测时，若利用实物型投入产出表，或者因为所包括的实物产品种类不全而影响预测值，或者因为包括的实物产品种类太多而使计算工作量太大。
若利用价值型投入产出表，表中都是以货币为单位的，由于不同能源有不同价格，同一种能源用于不同的部门也有不同的价格，而现行价格并不是以能源所含热值为标准的，因此用价值表预测能源需求量，往往会因价格问题而造成混乱；而且价值型投入产出表部门分类比较粗，一、二次能源往往不能严格分开，所得到的往往是某个能源部门的以货币量表示的产值指标，而不是某种能源产品的以热量或能量单位表示的产量指标。
所以，一般的实物型、价值型投入产出表在用于能源需求预测时都存在一些问题。
又如，考察一下能源从资源开采到最终使用的全过程，就会发现非能源部门（如钢铁、机械、农业、居民等）的需求并不是笼统的一次能源，二次能源的直接投入，而是最终用能形式的直接投入，比如工艺热、动力电、照明、采暖等。
这样，在产生某种最终用能形式的一次、二次能源之间是可以互相代替的，也是可以进行优化的。
而在一般的投入产出表中，认为能源消费部门是直接消耗能源供应转换部门的产品，而且互相之间不可替代，以这样的投入产出表为基础构造的模型在整个能源系统模型体系中难以与其它模型相连接，尤其难以与能源系统优化模型连接。
实物型投入产出分析在济钢的建立与实践
环节， 而且还拥有焦化、 耐火、 机修、 动力、 运输等庞大的辅助
生产和附属生产体系。它们之间形成了一种相互联 系、 相互 制约的一环扣一环的复杂系统。 济钢在不断扩大的生产规模
是对整个企业生产经营全过程进行核算 ， 即通过统一的具体 内在联系的指标体系， 来系统地反映整个企业生产经营的全 貌， 在企业要成为独立的商品生产者和经营者后 ， 必须根据
、
投 入产出分析的必要性
１ ． 是企业推行现代化管理的需要。投入产出方法的应用
是企业管理水平、 技术进步的综合反映， 是研究企业综合经 济效益的重要方法。它是利用统计资料、 数理方法和电子计 算机反映一个企业各个部门、 各种产品之间的数量依存关系
二、 投入产出分析制度的建立
１ ９３１９ 年建章立制阶段。在这个阶段中我们相继 ． ９—９５ １ 制定和实施了以下管理制度 ，关于认真做好实物型投入产 《 出分析的通知》《 、大宗原燃料管理方法》 通过管理制度的 等。 贯彻落实， 从抓基础管理工作人手 ， 分别针对各分厂的生产 特点建立健全了明细账、 综合台账， 并要求日清月结、 账账相
的分析 方法。 象济钢这样的特 大型钢铁联合企业， 是一个有 机整体， 各个部门 之间， 各种产品之间有着复杂而密切的联
系， 为了深入地认识这种联系， 除了在性质上的研究和论证
之外 ， 还需进一步科学地测定和分析它们之间确切的数量储
存关系。 这对于按经济规律办事， 加强对企业的科学管理， 提
要求有准确、 完备的决策参数（ 如产品小时边际贡献） ， 其次
充分考虑各种影响系统决策的因素， 如市场销售、 生产故障 、 交叉供应链等。
企业投入产出效益模型
企业投入产出效益模型企业投入产出效益模型是一种用于评估企业经营效益的工具。
该模型通过分析企业的投入和产出，计算出企业的效益水平，从而帮助企业管理者更好地了解企业的经营状况，制定更加科学的经营策略。
企业投入产出效益模型主要包括以下几个方面：1. 投入方面：包括企业的人力、物力、财力等各种资源投入。
这些投入是企业正常运营所必需的，也是企业实现产出的基础。
2. 产出方面：包括企业的产品、服务、利润等各种产出。
这些产出是企业运营的目的，也是企业实现效益的关键。
3. 效益方面：通过对企业的投入和产出进行比较，计算出企业的效益水平。
这个效益水平可以用各种指标来衡量，如ROI、ROE、EBITDA 等。
企业投入产出效益模型的优点在于它能够帮助企业管理者更好地了解企业的经营状况，从而制定更加科学的经营策略。
通过对企业的投入和产出进行分析，管理者可以找到企业运营中的瓶颈和问题，并采取相应的措施来解决这些问题。
此外，企业投入产出效益模型还可以帮助企业管理者更好地了解企业的市场竞争力和盈利能力，从而制定更加科学的市场营销策略和财务管理策略。
当然，企业投入产出效益模型也存在一些缺点。
首先，该模型只能反映企业的经营效益，而不能反映企业的社会责任和环境影响等方面的效益。
其次，该模型只能反映企业的静态效益，而不能反映企业的动态效益。
最后，该模型只能反映企业内部的效益，而不能反映企业与外部环境的关系。
总之，企业投入产出效益模型是一种非常重要的工具，可以帮助企业管理者更好地了解企业的经营状况，制定更加科学的经营策略。
但是，该模型也存在一些缺点，需要在使用时加以注意。
投入产出模型
投入产出模型投入产出模型是指对于经济系统（这一经济系统可以是一个国家，一个地区，一个行业或一个企业的经济活动）的多部门的投入与产出进行研究，编制投入产出表，并建立其数学模型，称作投入产出模型。
这种将经济系统的投入产出关系编制成投入产出表，建立投入产出模型进行研究的方法叫做投入产出法。
投入产出法是由美国著名经济学家瓦西里·列昂节夫20世纪30年代首先提出的。
最初是由研究一国的国民经济各个产业部门间的联系发展起来的,因此被人们称作部门联系平衡法,又叫产业关联法。
利用投入产出模型对经济活动进行分析和进行经济预测，这是一种重要的经济数量分析，叫做投入产出分析。
投入产出分析的理论基础是第七章我们所介绍的一般均衡理论，主要是对一个国家或一个地区宏观经济的研究。
但随着这一方法的广泛应用，它也可以研究一个部门（行业）的经济活动，一个公司或企业的生产经营活动。
本章将在介绍投入产出模型的基础上，着重介绍投入产出模型在国民经济预测和企业经济预测方面的应用。
第一节投入产出模型的基本形式一、投入产出表所谓投入，是指产品生产所需原材料、辅助材料、燃料、动力、固定资产折旧和劳动力的投入；所谓产出，是指产品生产的总量及其分配使用的方向和数量，包括生产消费（中间产品）、生活消费、积累和净出口等。
生产过程就是投入与产出关系的客观反映，一定时期内产品的产出受投入的影响。
投入与产出的数量关系可以编制成一种矩形的表格表示，即投入产出表。
投入产出表可以按实物形态编制，也可以按价值形态编制。
按实物形态编制的投入产出表叫实物表，按价值形态编制的投入产出表叫价值表，两者基本结构形式是相同的，它们之间只差一个价格因素。
投入产出表按编制的范围不同，可以分作世界投入产出表、国家投入产出表、地区投入产出表、部门投入产出表和企业投入产出表。
这里仅以价值形态的全国表为例介绍投入产出表的结构。
假设把国民经济划分为n 个部分，用1，2，…，n 等号码表示。
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钢铁企业投入产出模型及程序设计指导老师：李家庸年级：95级计算机（1）班设计人：吕耀华时间：一九九年五月目录第一章概述第一节投入产出模型的概念第二节投入产出在国民经济中的应用第二章钢铁企业投入产出模型第一节企业投入产出模型的建立第二节投入产出模型的结构说明第三节投入产出模型的数学表达第三章直接消耗系数的计算第四章完全消耗系数的计算第一节完全消耗系数的求解第二节计算完全消耗系数的表上递推法第五章投入产出模型在市场经济中的应用第六章程序设计第一节程序的设计思想及特点第二节程序框图第三节程序清单第四节打印结果第一章概述随着计算机技术的飞速发展, 计算机在企业生产的过程控制和经营管理方面得到了广泛的应用.现在我们把计算机与数学模型结合起来研究企业生产过程中的平衡问题,而投入产出技术是解决这一问题的有效手段. 投入产出技术经过几十年的不断完善和提高已经成为一种实用性很强,的有效的经济分析和科学管理技术.第一节投入产出模型的概念投入产出方法于本世纪三十年代产生于美国,是美国经济学家列昂节夫( W.Leontief ) 在他的一些文章和书籍中提出了投入产出方法,并且利用美国的经济统计资料,编制了1919,1929,1939年的投入产出表.投入是指从事一项生产活动经济活动的消耗,如果我们进行的是生产活动,那么生产过程中各种原材料,辅助材料,燃料,电力等的消耗,就是这项生产活动的投入.产出是指经济活动的结果,如生产活动的结果就是生产出一定数量的产品,这些产品就是这项生产活动的产出.由于技术(生产技术,管理技术)上的原因,各项经济活动的投入与产出之间具有一定的数量依存关系.投入产出方法就是利用数学方法和电子计算机来研究经济活动中投入与产出之间的数量依存关系,特别是研究和分析国民经济中各部门在产品的生产与消耗之间的数量依存关系的一种方法.在利用投入产出方法研究经济问题的过程中,通常通过建立数学模型,也就是用数学方程式(线性方程, 非线性方程等) 来表示所研究的经济活动之间的数量依存关系. 投入产出方法是进行经济平衡和计划管理的一种重要工具。
第二节投入产出在国民经济中的应用整个国民经济的物质生产部门划分成相互联系着的二大类，即生产生产资料的部门和生产消费资料的部门，在社会再生产的过程中，二个部门之间需要保持一定的比例。
因为投入产出表的直接消耗系数和完全消耗系数，具体地刻画了国民经济各部门之间的直接和完全的经济联系强度和比例。
因此，直接和完全消耗系数能利用这种平衡模型，研究整个国民经济的发展变化。
第二章钢铁企业投入产出模型第一节企业投入产出模型的建立一个大型现代化的钢铁企业有复杂的生产工艺，它拥有采矿、选矿、烧结、炼铁、炼钢、轧钢等主要生产环节，消耗着大量的能源，产品与产品之间形成了一种错综复杂的，相互联系，相互制约的一环扣一环的复杂系统。
对于这样一个复杂系统，需要用现代数学方法来模拟和刻画它的生产经营活动，以便提高管理水平和经济效益。
产品之间的投入产出关系，也就是生产与消费的关系。
如果在一张棋盘式的表中，能够概括所有列入模型的产品间的投入和产出关系，则称这张表为投入产出表。
根据钢铁的主要生产环节上的工艺流程顺序，把选定的主要金属制品以序编号（因时间有限，暂选7种）再把它们按排好的轶序纵横交错地叠加在一起，便构成一张能够概栝企业全部特征产品之间投入产出关系的棋盘式平衡表，我们称他是一个钢铁企业投入产出表。
钢铁企业投入产出表第二节投入产出模型的结构说明投入产出表反映了各种产品生产和消耗的内在联系。
通过这张表可看出钢铁企业产品消耗的相互依存关键在于系，表中的每一行代表一种产品或外来料按经济用途的分配情况，而每一列代表各种产品消耗的原料来源和构成。
我们把表用双线分成四个部分，按照左上、右上、左下、右下的次序，分别称为第Ⅰ,第Ⅱ,第Ⅲ和第Ⅳ象限。
第Ⅰ象限说明了各种产品用于其它各种产品消耗的情况，表中X i j说明第j个生产部门生产过程中消耗第i个部门产品的数量。
第Ⅱ象限说明了本企业最终产品的实物构成，指除了生产性消耗外用于储备、商品出售的数量。
表中用Y i 表示第i 项产品的最终产品和计量，用Z i表示第i项产品的总产量。
第Ⅲ部分说明生产过程中消耗的外来料和回收料的情况，第Ⅳ部分表明外来料和回收料的总需要量。
第三节投入产出模型的数学表达投入产出表为我们分析产品比例关系和运用数学工具进行平衡计算提供了客观基础。
对于第Ⅰ、Ⅱ两部分有如下关系式：X11+X12+X13+·········+X1 n+Y1=Z1X21+X22+X23+·········+X2 n+Y2=Z2·······························X n1+X n2+X n3+·········+X n n+Y n=Z n它说明各部门的总产品等于中间产品与最终产品价值之和。
上述方程组也可简写为∑X i j + Y i =Z i( I, j =1, 2, ······n) (1)第三章直接消耗系数的计算为了进行以后的各种分析和运算，需先确定产品间的直接消耗系数（即消耗定额）。
直接消耗系数即是用各项产品的总产量去除各该产品所消耗的其它产品的数量，数学式为：a i j = x i j/x j(i, j =1, 2, ······n) (2)a i j是第j项单位产品消耗第I项产品的数量。
将（2）代入（1）式，便得：∑a i j* x j + y i = x i (i, j =1, 2, ······n)(3)写成矩阵形式是：AZ +Y=Z （4）其中:a11 a12 (1)A= a21 a22 (2)·············a n1 a n2 ············a nnX1Y1Z= X2Y= Y2┇┇X n Y nA称为直接消耗系数矩阵.Z称为总产品列向量.Y称为商品量列向量.(4)式可以写为(E - A)Z = Y (5)这里,E是单位矩阵,即主对角线上的元素等与1,非主对角线上的元素等与0.1 0 0 0E=0 1 0 0···············0 0 0 ··· 1 ▔由于矩阵A具有一定性质,(E – A)矩阵为一非异矩阵,即|E – A| = 0,故(E – A) 之逆矩阵存在,在(5)式等号左右两端都乘以(E – A) ,Z=(E – A) Y(6)于是,如果考察到市场上所需的各产品的商品量,则各项产品总产量可由(6)式求得.这也就是目前市场经济中所说的“以销定产”.第四章完全消耗系数的计算第一节完全消耗系数的求解直接消耗系数只反映产品之间的直接消耗关系,而不能反映产品之间存在的间接消耗关系.间接消耗在综合平衡,经济分析,计划预测,产品订价,核算经济效果等方面,都有重要的意义.只有即能反映直接消耗,又能反映间接消耗的完全消耗系数,才能全面反映经济联系.完全消耗系数能精确的测定产品之间所存在的间接数量依存关系。
由于完全消耗量是直接消耗量和间接消耗量的和，设C i j表示i中第j项单位产品消耗第I项产品的完全消耗系数，a i j表示直接消耗系数,求得完全消耗系数为C i j =a i j +∑C i k a k j( i, j, k=1,2,······n) (7)化为矩阵：C = A + CA因矩阵材施教（E – A）满序，故上式等于C = A（E – A）（8）这里C11 C12 ··············C1 nC = C21 C22 ·············C2 n·············C n1 C n2 ·············C求出（E – A）-1，第I 部分的完全消耗系数矩阵就可求出。
但（8）式是矩阵相乘的形式，可以化简为矩阵相减的形式，事实上，∵（E – A）（E – A）= E故由（8）式可得：C =（E – A）―（E – A）+A（E – A）=（E – A）―（E – A）（E – A）=（E – A）―E第二节计算完全消耗系数的表上递推法在实际进行完全消耗系数的计算时，考虑到直接消耗系数阵A是一个上三角阵（如非上三角阵时，也可分成两个上三角阵处理）。
所以我们采用表上递推法进行计算。
也就是从直接消耗系数阵A的最后一行开始，往上推算，把这一行的数字与相应的列的数字相乘，把积加到两个相乘数字所对应的行列上。
如果某一个生产环节存在对自身的消耗，则对角线上数字不等于零，这时可以先用（1 –该数字）去除该行对应元素，然后进行递推，最后算完时再用（1 –该数字）去除该数字所在列的全部元素，便可得到完全消耗系数。